Tìm tọa độ giao điểm của d với P và viết phương trình mặt cầu S đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với P... Giải hệ phương trình:.[r]
(1)GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG Web: http://violet.vn/vanlonghanam ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn Toán Thời gian 180 phút Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x x , có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) b.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) và đường thẳng d : y x Câu (1,0 điểm) a Giải phương trình : 4sin x.sin x 2cos x b Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (2 i )(1 i) z 4 2i Tính môđun z Câu (1,0 điểm) log 52 x log 0,2 (5 x) 0 a Giải phương trình b.Trong hộp kín có 50 thẻ giống đánh số từ đến 50 Lấy ngẫu nhiên thẻ, tính xác suất lấy đúng hai thẻ mang số chia hết cho Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = π ∫ (x+ cos2 x )sin xdx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Biết SD 2a và góc tạo đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) 30 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) Câu (1,0 điểm) ABCD Điểm E (2;3) thuộc đoạn thẳng BD , Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông các điểm H ( 2;3) và K (2; 4) là hình chiếu vuông góc điểm E trên AB và AD Xác định toạ độ các đỉnh A, B, C , D hình vuông ABCD Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3; 2) , đường thẳng x 1 y z d: 1 và mặt phẳng ( P) : x y z 0 Tìm tọa độ giao điểm d với (P) và viết phương trình mặt cầu (S) qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x y x 2 x x y 2 y ( x 1) y ( x 2) y 0 ( x, y R ) Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 x 2, y 0, z và x+ y+ z=−1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức (2) x+ y ¿ ¿ x+ z ¿2 ¿ y+z ¿ −¿ ¿ ¿ P= ¿ HẾT Câu Câu (2,0 điểm) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Nội dung Điểm a) (1,0 điểm) 1) Tập xác định : D R 2) ý: a, Giới hạn : b, Bảng biến thiên: Hàm số đb-nb- cực trị 3) Đồ thị: b) (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 x 3 x 3 x 1 0 x 1 x Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d là Suy giao điểm là A 3;1 , B 1; 1 , C 1; 3 Phương trình tiếp tuyến A 3;1 Phương trình tiếp tuyến B 1; 1 0,25 là y 9 x 26 là y 3x C 1; Câu (1,0 điểm) là y 9 x Phương trình tiếp tuyến KL: Các phương trình tiếp tuyến là: y 9 x 26 ; y 9 x ; y 3x a) (0,5 điểm) Pt 2(cos x cos x) 2 cos x cos x 0,25 0,25 0,25 0,25 5 x k 36 0,25 b) (0,5 điểm) Đặt z a bi , ( a, b R ), đó z a bi Theo bài ta có (2 i )(1 i) a bi 4 2i a (1 b)i 4 2i a 4 a 1 1 b b 3 Câu (0,5 điểm) z 12 32 10 Do đó z 1 3i , suy 0,25 0,25 2 a Đk: x>0 Pt (1) log5 x log5 (5 x) 0 log5 x log x 0 0,25 log x 3 log x 0,25 x 125 x 1/ 25 KL: Vậy tập nghiệm pt (1) là T 1/ 25;125 n C 19600 b 50 Gọi A là biến cố “ Trong thẻ lấy có đúng hai thẻ mang số chia hết cho 8”Từ đến 50 có số chia hết cho 8; 660 33 n A 660 P A 19600 980 ; 0.25 0.25 (3) Câu (1,0 điểm) 0 I ∫x sin xdx ∫cos x sin xdx u x dv sin xdx Đặt Đặt 0 du dx I1 x cos x v cos x ∫cos xdx sin x 0,25 1 cos3 x I ∫cos x sin xdx ∫cos xd (cos x) 3 0 Vậy 0,25 I1 ∫x sin xdx, I ∫cos x sin xdx 0,25 I 1 3 0,25 Câu (1,0 điểm) Gọi H là trung điểm AB Suy SH ( ABCD) và SCH 30 Ta có: SHC SHD SC SD 2a Xét tam giác SHC vuông H ta có: 0,25 SH SC.sin SCH SC.sin 300 a HC SC.cos SCH SC.cos 300 3a Vì tam giác SAB mà SH a Vậy, VS ABCD 4a S ABCD SH 3 Vì BA 2 HA nên Gọi I là hình chiếu H lên AC và K là hình chiếu H lên SI 0,25 d B, SAC 2d H , SAC Do đó: Vậy , Câu (1,0 điểm) HK SAC d B, SAC 2d H , SAC 2 HK Ta có: Giả sử , a b2 0 ABD 450 Có: a b , nên: chọn EB 4; ED 1;1 a b 0,25 0,25 A 2; là VTPT đường thẳng a Với 2a 66 11 AH : x 0 EH : y 0 EK : x 0 AK : y 0 n a; b 0,25 BD a b 0,25 b a 1 BD : x y 0 0,25 C 3; 1 nằm trên đoạn BD (thỏa mãn) Khi đó: Với a b , chọn b1 a 1 BD : x y 0 E EB 4; B 2;7 ; D 1; ED 1;1 EB 4 ED E nằm ngoài đoạn BD (L) 0,25 Vậy: A 2; ; B 2; 1 ; C 3; 1 ; D 3; Câu (1,0 điểm) x 2t y 4 t z 2t d có phương trình tham số B d ( P ) B ( t ; t ; 2t ) Gọi , B d nên 0,25 (4) Do B ( P) nên 2( 2t ) 2(4 t ) 2t 0 t 4 B(7;0; 8) 0,25 Gọi I là tâm mặt cầu (S), I thuộc d nên I ( 2a; a; 2a) Theo bài thì (S) có bán kính R IA d ( I , ( P)) (2 2a ) ( a 1) (2 2a) 9a 2a 2( 2a) 2(4 a) 2a 22 22 12 0,25 4a 16 9(9a 2a 9) (4a 16) 65a 110a 175 0 a 1; a 35 13 2 +) Với a 1 I (1;3; 2), R 4 ( S ) : ( x 1) ( y 3) ( z 2) 16 +) Với a 35 116 83 87 70 I ; ; ;R 13 13 13 13 13 Câu (1,0 điểm) 83 87 70 13456 (S ) : x y z 13 13 13 169 Điều kiện: x y Gọi hai phương trình lần 3 0,25 lượt là (1) và (2) (2) 0,25 x y 3x y y y y 3( y 1) 3 ( x y ) 3x y ( y 1) 3( y 1) Xét hàm số f (t ) t 3t có (3) f '(t ) 3t 0, t R (3) f ( x y ) f ( y 1) x y y 1, ( y 1) Do đó 0,25 2 Thế vào (1) ta x y x 2 x y x ( y 1) x y 0 ( x y 1) 0 x y 1 nên 1 x Với 1 1 x y 2 x 1 Vậy hệ đã cho có nghiệm Câu (1,0 điểm) P Ta có x 1 1 y 2 0,25 1 1 1 1 ( x; y ) ; ; ( x; y ) 2 , 1 1 1 ( z ) ( y ) ( x) (1 y) (1 z ) (1 x) Ta chứng minh Thật vậy: Với 0.25 1 (1 y ) (1 z )2 yz 1 (1 yz )[(1 z )2 (1 y )2 ] [(1 z )(1 y )]2 2 (1 y ) (1 z ) yz (1 yz )(2 z y z y ) (1 zy z y )2 0,25 2( z y )(1 zy ) 2(1 yz ) (1 zy )( y z ) zy (1 yz ) (1 zy )2 2( z y )(1 zy ) ( z y )2 (1 zy )( y z ) yz y z (1 yz ) ( y z ) yz 0 yz ( y z )2 (1 yz ) 0 Dấu “=” xảy (hiển nhiên đúng) y z 1 Ta lại có Do đó P ( x) (1 x )2 yz yz yz yz 4 1 1 (1 y ) (1 z ) yz (1 x) (1 x) 1 4 (1 x) ( x 1) 0,25 (5) Do 2 x 2 nên ( x 1) [0;8) Đặt Xét t (1 x) t [0;8) f (t ) t 8 t và P 4t 8 t với t [0;8) f '(t ) 3t 72t 240 2 (4 t ) (8 t ) (4 t ) (8 t ) 0,25 f '(t ) 0 3t 72t 240 0 t 4; t 20 (loại) Do đó P f (t ) Vậy và P P (1 x) 4 x y z 1 x y z y z 1 x 3, y z 1 HẾT 0,25 (6)