chuyen de phan so

CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN PHÂN SỐ Chuyên đề MỞ RỘNG KHÁI NIỆM PHÂN SỐ PHÂN SỐ BẰNG NHAU A KIẾN THỨC CẦN NHỚ a với a b số nguyên, b ≠ gọi phân số b Số có dạng Số nguyên a viết Hai phân số a a c gọi a.d = b.c b d Nếu đổi dấu tử mẫu phân số ta phân số phân số cho a −a −a a ; = = −b b −b b B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho bốn số -7; 0; 5; Hãy dùng hai bốn số để viết thành phân số Giải Với cặp hai số khác 0: -7 5; -7 9; ta viết hai phân số: −7 −7 9 ; ; ; ; ; −7 −7 Với cặp gồm số số khác 0, ta viết phân số: 0 ; ; −7 Vậy tất viết phân số Nhận xét: - Với cặp hai số nguyên khác ta viết hai phân số, trước tiên cần xác định tất cặp số nguyên khác 0; - Vì mẫu phải khác nên ghép số với số nguyên khác ta viết phân số với tử [1] Ví dụ Cho phân số A = với n ∈  n+3 Phân số A n = ; n = ; n = −3 ? Giải Với n = = A 5 = 4+3 Với n = A= 5 = = 2+3 Với n = −3 n + =−3 + =0 nên khơng tồn A Nhận xét: Chú ý phân số a tồn a, b ∈  b ≠ b Ví dụ Cho phân= số B n +1 (n ∈ ) n−2 a) Tìm điều kiện số nguyên n để B phân số b) Tìm số nguyên n để phân số B có giá trị số nguyên Giải a) Để B phân số n − ≠ hay n ≠ b) Ta có: B = n +1 = n−2 ( n − 2) + = n−2 1+ n−2 B số nguyên 3( n − ) tức n − ∈ Ư ( 3) ={−3; −1;1;3} Vậy n ∈ {−1;1;3;5} Nhận xét: Câu b) giải thích sau: B số nguyên ( n + 1)( n − ) Suy : ( n + 1) − ( n − )( n − ) 3( n − ) Sau giải tiếp [2] Ví dụ Tìm số nguyên x, y, z biết rằng: − x 14 z = = = − y 60 Giải −x x Theo đề ta= có: = hay −6 Suy x.3 = −6.2 Do x = −6.2 = −4 14 −14 Suy y.2 = −14.3 = = hay −y y Do y = Ta lại có −14.3 = −21 z 60.2 = nên z.3 = 60.2 Do = z = 40 60 3 Vậy x = −4; y = −21; z = 40 Nhận xét: Để tìm x y ta đổi dấu tử mẫu phân số: −x x 14 −14 = = ; −6 − y y Sau đó, theo định nghĩa hai phân số từ a c = ta có a.d = b.c b d Suy ra: = a b.c a.d a.d b.c = ; b = ; c = ; d d c b a C BÀI TẬP 3.1 Dùng hai ba số -4; 0; để viết thành phân số 3.2 Viết tập hợp A số nguyên x, biết rằng: −144 −40 ≤x≤ 12 3.3 Một lớp học có 45 học sinh, có 22 học sinh nữ Hỏi số học sinh nữ phần số học sinh nam? [3] 3.4 Tìm số nguyên x, y, z, t biết rằng: x 42 −7 −30 y 36 b) c) d) = ; = ; = = ; 56 48 z t −13 −5 45 3.5 Trong phân số sau, phân số có giá trị số nguyên? a) −304 ; −416 ; −3267 ; −1353 −11 3.6 Tìm số nguyên x lớn cho: 800 −533 −513 ; b) x < ; c) x < −50 41 −19 3.7 Tìm phân số có tử nhỏ mẫu “quay 1800 ” theo chiều kim đồng hồ ngược chiều kim đồng hồ, ta phân số phân số cũ a) x < 3.8 Cho năm số -3; 7; 0; 11; -13 Hãy dùng hai năm phân số để viết thành phân số 3.9 Cho M = {−3;7;0} Hãy viết tất phân số 3.10 Tìm x, y ∈  biết a với a; b ∈ M b x = x < y < y 3.11 Tìm số nguyên x lớn cho: ; 18 3.12 Tìm số nguyên x nhỏ cho: a) x < a) x > −13 ; 14 3.13 Tìm số nguyên x, biết 3.14 Cho phân số M = b) x < −14 b) x > −42 14 x 16 x < = x n−3 ( n ∈  ) n2 + a) Chứng tỏ phân số M tồn b) Tìm phân số M, biết n = ; n = ; n = −5 3.15 Tìm tập hợp số nguyên x để phân số x−3 có giá trị số nguyên x −1 3.16 Lập cặp phân số từ bốn số sau: −4; −8; −16; −32 [4] 3.17.= Cho a n+8 n ∈ * ) Tìm giá trị n để a số nguyên tố ( 2n − 3.18 Có tồn số tự nhiên n để hai phân số: 7n − 5n + đồng thời số tự 12 nhiên? 3.19 Tìm số tự nhiên x y, biết rằng: 3+ x = x + y = 16 5+ y 3.20 Tìm x, y ∈  , biết rằng: x−7 = x − y = −4 y−6 [5] Chương TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ RÚT GỌN PHÂN SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Tính chất phân số * Nếu ta nhân tử mẫu phân số với số nguyên khác ta phân số phân số cho a a.m với m ∈  m ≠ = b b.m * Nếu ta chia tử mẫu phân số cho ước chung chúng ta phân số phân số cho a a:n với n ∈ ƯC ( a, b ) = b b:n Chú ý: - Ta viết phân số có mẫu âm thành phân số có mẫu dương cách nhân tử mẫu phân số với -1 - Mỗi phân số có vơ số phân số Các phân số cách viết khác số gọi số hữu tỉ Rút gọn phân số Muốn rút gọn phân số, ta chia tử mẫu phân số cho ước chung (khác -1) chúng Phân số tối giản Phân số tối giản phân số mà tử mẫu có ước chung -1 Chú ý: - Nếu chia tử mẫu phân số cho ƯCLN chúng, ta phân số tối giản a phân số tối giản ƯCLN ( a , b ) = b - Khi rút gọn phân số, ta thường rút gọn phân số đến tối giản - Nếu a a.m phân số tối giản phân số có dạng với m ∈  m ≠ b b.m [6] B MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho ba phân số −4 ; ; −5 −6 −7 a) Viết ba phân số phân số có mẫu số dương b) Viết ba phân số phân số có mẫu 210 Giải a) Theo tính chất phân số ta có: = −5 ( −1) −3 = ; ( −5) ( −1) = −6 ( −1) −1 = ; ( −6 ) ( −1) −4 = −7 −4 ) ( −1) (= ( −7 ) ( −1) −3 −3.42 −126 = = = ; −5 5.42 210 b) −1 −1.35 −35 = = = ; −6 6.35 210 −4 4.30 120 = = = −7 7.30 210 Nhận xét: a) Có thể vận dụng định nghĩa phân số để giải Chẳng hạn −3 3.5 = = ( −5) ( −3) −5 b) Mẫu 210 ba phân số cho BCNN −5 , −6 , −7 Bài tập chuẩn bị cho chủ đề quy đồng mẫu nhiều phân số Ví dụ Sử dụng tính chất phân số giải thích phân số sau nhau: a) −18 −39 = ; 30 65 b) 23 2323 = 99 9999 Giải [7] −18 −18 : −3 −39 −39 :13 −3 a)= = ;= = 30 30 : 65 65 :13 Vậy −18 −39 = 30 65 23 23.101 2323 b) = = 99 99.101 9999 Nhận xét: Có thể giải thích cặp phân số cho cách sử dụng định nghĩa phân số 30 ( −39 ) = a) ( −18 ) 65 = ( −1170 ) nên b) 23.9999 = 23.99.101 (1) 99.2323 = 99.23.101 ( 2) −18 −39 = 30 65 So sánh (1) ( ) ta có 23.9999 = 99.2323 suy 23 2323 = 99 9999 Ví dụ Rút gọn: 132639 ; 173451 Giải A= = A = B = C B= 16515 ; 20919 C= 11.12 + 22.24 + 44.48 33.36 + 66.72 + 132.144 132639 132639 :10203 13 = = 173451 173451:10203 17 16515 16515 :1101 15 = = 20919 20919 :1101 19 11.12 (1.1 + 2.2 + 4.4 ) 1.1 11.12 + 22.24 + 44.48 = = = 33.36 + 66.72 + 132.144 33.36 (1.1 + 2.2 + 4.4 ) 3.3 Nhận xét: a) Ta có nhận xét đặc điểm số 132639 173451 sau: 132639 = 130000 + 2600 += 39 13 (10000 + 200 += 3) 13.10203 173451 = 170000 + 3400 += 51 17 (10000 + 200 += 3) 17.10203 Vì thế, để rút gọn A ta chia tử mẫu cho 10203 [8] = 15000 + 1500 + 15 = 15 (1000 + 100 += 1) 15.1101 b) Ta có 16515 20919 = 19000 + 1900 + 19 = 19 (1000 + 100 += 1) 19.1101 Vì thế, để rút gọn B ta chia tử mẫu cho 1101 c) Ta cịn rút gọn C sau: C 11.12 + 22.24 + 44.48 11.12 + 22.24 + 44.48 = = 33.36 + 66.72 + 132.144 (11.12 + 22.24 + 44.48 ) Ví dụ Chứng tỏ với số nguyên n, phân số dạng n+2 phân số tối giản 2n + Giải Gọi d ước chung n + 2n + Ta có ( n + ) d nên ( n + ) d hay ( 2n + ) d Mặt khác ( 2n + 3) d nên ( 2n + ) − ( 2n + 3) d Tức 1 d Vậy d = ±1 Nhận xét: Để chứng tỏ phân số tối giản ta cần ước chung tử mẫu -1 C BÀI TẬP 3.21 Chứng tỏ rằng: −13 −1313 −131313 −13131313 = = = 41 4141 414141 41414141 3.22 Viết dạng chung tất phân số 3.23 Viết phân số phân số 3.24 Tìm tất phân số −68 76 −36 −63 −143 có mẫu 36 , , 48 81 −156 −57 có mẫu số tự nhiên nhỏ 30 133 3.25 Rút gọn: A= 4157 − 19 ; 12471 − 57 B= 10 + 6.102 [9] 3.26 Rút gọn: B= 3.5.7.11.13.37 − 10101 1212120 + 40404 201220122012 M= ; 201320132013 N= 1326395265 1836547290 39.320.28 ; 324.243.26 Q= 215.53.26.34 8.218.81.5 A= 31995 − 81 ; 42660 − 108 3.27 Rút gọn: 3.28 Rút gọn: P= 3.29 Rút gọn: T= 24.315 + 3.561.8 + 4.124.6 + + + + + 97 + 99 − 500 25 a biết tích BCNN ( a, b ) với ( a, b ∈ , b ≠ ) có giá trị 35 b ƯCLN ( a, b ) 4235 3.30 Tìm phân số 3.31 Phân số 5n + ( n ∈  ) rút gọn cho số nào? 8n + 3.32 Tìm tất số tự nhiên n để phân số 3.33 Cho phân số 18n + rút gọn 21n + x có x + y = 316293 y − x = 51015 y a) Hãy xác định phân số rút gọn b) Nếu thêm 52 vào tử phân số sau tối giản phải thêm vào mẫu để giá trị phân số không đổi? 3.34 a) Cho phân số tối giản b−a a tối ( a, b ∈ , a < b, b ≠ ) Chứng tỏ phân số b b giản b) Nếu phân số tối giản a tối giản b ( a, b ∈ , b ≠ ) phân số a có tối giản a+b khơng? 3.35 Cho phân số a ( a ∈  ) 35 [10] Chuyên đề BA BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ 3.121 96 80 3.122 88 84 3.123 3.124 27 21 46 23 4 số 36 Vậy số 36 : = 63 7 3.125 Số học sinh giỏi học kì I : 2 = ( số học sinh lớp) 2+7 Số học sinh giỏi cuối năm bằng: Vậy học sinh = ( số học sinh lớp) 1+ − = ( số học sinh lớp) 9 Vậy số học sinh lớp 6A : = 45 (học sinh) 3.126 Lúc đầu, số thỏ chuồng A số thỏ chuồng B Sau bán , số thỏ chuồng A Vậy là: số thỏ chuồng B 2 1 − = số thỏ chuồng B Do đó, số thỏ chuồng B : : = 18 ( con) Số thỏ lúc đầu chuồng A 18 = 12 ( con)  8 3.127 10 trang 1 −  =số trang đọc ngày thứ tư  9 Vậy số trang sách lại sau ngày thứ ba : 10 : ( 90 + 10 ) = 90 ( trang)  2 trang 1 −  =số trang lại sau ngày thứ hai  7 [97] Vậy số trang lại sau ngày thứ hai : 100 : (140 + 10 ) trang 1 −  = 140 (trang) 4  =số trang lại sau ngày thứ 9 = 270 ( trang) Vậy số trang lại sau ngày thứ là: 150 : ( 270 + 10 )  1 trang 1 −  =số trang sách  5 = 350 ( trang) Vậy số trang sách Thu đọc là: 280 : 3.128 Số mét vải lại sau ngày thứ ba là: 13 : 39 (m) =  39  Số mét vải lại sau ngày thứ hai :  +  : = 38 (m)   Số mét vải lại sau ngày thứu là: ( 38 + 10 ) : Chiều dài vải : ( 60 + ) : = 60 (m) 5 = 78 (m) 3.129 100kg ; 240kg ; 152kg ; 171kg 3.130 150km 3.131 20 phút = 16 giờ; 40 phút = Trong cô thứ đánh 14 3 tài liệu, cô thứ hai đánh tài liệu 16 14 Năng suất cô thứ so với cô thứ hai là: 3 : = :8 16 14 Vì làm thời gian nên số trang đánh tỉ lệ thuận với suất người Do đó, số trang thứ đánh : 90 = 42 (trang) 7+8 [98] Số trang cô thứ hai đánh là: 3.132 Trong hai cày 90 = 48 ( trang) 7+8 ruộng 16 Và 12 làm việc hai máy cày được: Máy thứ hai cày 12 = ruộng 16 ruộng lại Nên để cày ruộng, máy thứ hai phải mất: : Tong giờ, máy thứ cày được: = 24 (giờ) 1 − = (thửa ruộng) 16 24 48 Vậy thời gian máy thứ cày xong ruộng là: 1: 3.133 = 48 (giờ) 48 2 11 = 24 phút; phút 40 giây= phút; = phút 90 Thời gian người thứ làm cơng việc + = 16 ( phút) 3 Như người thứ làm : Do đó, người thứ hai làm 16 = (công việc) 24 1 công việc phút 3 Vậy để làm công việc, người thứ hai cần : = 22 ( phút) 3.134 Thời gian xe I từ A đến B là: 14 − = (giờ) Thời gian xe II từ A đến B (14 − 0,5 ) − 9= 4,5= (giờ) Suy xe theo thứ tự AB AB Phân số 20km quãng đường AB 1 − = (AB) 18 [99] Vậy quãng đường AB dài 20 : = 360 (km) 18 Vân tốc xe I là: 360 = 60 (km/h) Có thể coi hai xe bắt đầu chúng cách 60km (vì xe I trước giờ) Do đó, chúng gặp ( kể từ xe II đi) sau: 60 : 20 = (giờ) Nơi gặp cách A 60 + 60.3 = 240 (km) 3.135 48 phút= 14 giờ; 40 phút = xe thứ : 1: xe thứ hai là: 1: Suy 14 (giờ) 14 (quãng đường AB) = 14 14 (quãng đường AB) = 14 − = = (quãng đường AB) 26km 14 14 17 Vậy khoảng cách AB 26 : = 182 (km) 3.136 So với trước, khối lượng công việc 100% + 80% = 180% = 1,8 So với trước, suất lao động bằng: 100% + 20% = 120% = 1, So với trước số công nhân tăng: 1,8 :1,= 1,5 = 150% Như số công nhân phải tăng: 150% − 100% = 50% 3.137 Lượng nước cỏ tươi 600kg Nên khối lượng cỏ khơ hồn tồn 400kg Nhưng lượng cỏ khơ hồn tồn chiếm 85% khối lượng cỏ khho Nên cỏ tươi cho 400 : 85 10 (kg cỏ khô) = 470 100 17 3.138 Giả sử có a hộp sữa loại hai, hộp chứa lượng sữa b lít Như lượng sữa loại hai tổng cộng ab (lít) Số hộp sữa loại 0,875a hoppj chứa 1,08b lít [100] Lượng sữa loại tổng cộng 0,945ab (lít) Tỉ số lượng sữa loại so với loại hai 0,945ab= : ab 0,945 = 94,5% Như lượng sữa loại lượng sữa loại hai 5,5% 3.139 (50%.5) tuổi anh ( 37,5%.2 ) tuổi em ( 7.2 ) năm Tức 100% tuổi anh 75% tuổi em 14 năm Suy (100% − 62,5% ) tuổi anh 14 − năm Tức 37,5% tuổi anh 12 năm Từ tìm được: anh 32 tuổi; em 24 tuổi 24% 3.140 Số học sinh lớp lao động buổi sáng chiếm 100% − ( 40% + 36% ) = Số học sinh lớp lao động buổi chiều chiếm: 24% + 24% = 42% Số học sinh lớp lao động buổi chiều chiếm: 40% − 40% = 10% Số học sinh lớp lao động buổi chiều chiếm: 36% + 36% = 49,5% So với buổi sáng, số học sinh lao động buổi chiều bằng: 42% + 49,5% + 10% = 101,5% 3.141 a) 30cm 10cm ; b) 300 = 3000000 10000 3.142 Trên thực tế, chiều dài khu đất tăng lên 1000 lần, chiều rộng tăng lên 1000 lần Nên diện tích tăng lên: 1000.1000 = 1000000 (lần) Vậy diện tích khu đất thực tế là: 50cm = 1000000 50000000 = cm 5000m [101] Chuyên đề nâng cao MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH PHÂN SỐ 3.143 Cách 1: ( Quy dồng mẫu): 5.17 85 ; = = 8.17 136 Vì 14 14.8 112 = = 17 17.8 136 85 112 14 nên < < 136 136 17 Cách 2: (quy đồng tử): 5.14 70 14 14.5 70 ; = = = = 8.14 112 17 17.5 85 Vì 14 70 70 nên < < 17 112 85 Cách 3: ( Sử dụng tính chất bắc cầu): Dễ thấy 5 10 10 < ( = < = ) 8 16 15 14 14 Ta lại có: = < 21 17 Từ (1) ( ) suy (1) ( 2) 14 < 17 Cách 4: (Xét phần bù đến đơn vị) 8−3 = = 1− 8 14 17 − 3 = = 1− 17 17 17 Vì (1) ( 2) 3 14 nên từ (1) ( ) suy < > 17 17 Cách 5: (Nhân chéo): Ta có : 5.17 = 85 ; Vì 5.17 < 8.14 nên 8.14 = 112 ; 85 < 112 14 < 17 Cách (Viết phân số dạng số thập phân) [102] 14 Ta có: = 0,625; ≈ 0,824 17 Vì 0,625 < 0,824 nên 14 < 17 Cách ( áp dụng tính chất phân số nhỏ 1) 5 5+9 14 hay < < nên < 8 8+9 17 Vì Cách 8.(áp dụng tính chất: Ta có Vậy 3.144 a ) a c a a+c c < < < ) b d b b+d d 5+9 < nên suy < < 8+9 14 < 17 −16 −24 > ; 121 133 b) 12 24 112 < < 35 49 217 3.145 Theo quy tắc so sánh phân số có tử dương, ta có : a a a < < (1) a+b+c+d a+b+c a+c b b b < < (2) a+b+c+d d +b+c d +b c c c < < (3) a+b+c+d a+d +c a+c d d d < < (4) a+b+c+d a+b+d d +b Cộng (1), (2), (3), (4) theo vế ta được: = a+b+c+d a b c d a+c b+d < + + + < += a+b+c+d a+b+c d +b+c a+d +c a+b+d a+c b+d 3.146 a) 49 49 47 n n+5 n+5 > > ; b) < < 56 58 58 n+7 n+7 n+6 3.147 a) 47 48 − 1 = = 1− ; 48 48 48 b) 68 69 − 1 = = 1− 69 69 69 [103] Vì 1 47 67 nên > < 48 69 48 69 Vậy −47 −68 > 48 69 b) 27 270 730 − 460 460 271 460 = = = 1− ; = 1− 73 730 730 730 731 731 Vì 460 460 27 271 nên > < 730 731 73 731 3.148 rút gọn so sánh phần bù đến đơn vị phân số đó, ta có: 66 555 4444 33333 > > > > 77 666 5555 44444 31 35 3 3 31 35 3.149 a) = 4= : : > nên > Vậy > 7 8 8 b) Vì 2 Cách A 1= = ; B 10 10 −1 −3 2 nên A < B < 10 −1 − 10 810 − 810 − + 810 + > = = A Cách B > nên B = 810 − 810 − + 810 − Vậy A < B 3.150 Viết phân số dạng hỗn số so sánh: 768 588 245 513 < < < 697 533 221 255 3.151 Viết A B dạng hỗn số so sánh: ta có A< B 10016 + = C < nên ta có: 3.152 10017 + = C 10016 + (10016 + 1) + 99 < 10017 + (10017 + 1) + 99 10016 + 100 = 10017 + 100 [104] 100.(10015 + 1) = 100.(10016 + 1) 10015 + = = D 10016 + Vậy C < D 3.153 a) Vì b) Vì 497 497 497 + 319 816 > nên > = 496 496 496 + 319 815 497 816 −497 −816 nên > < 496 815 496 815 2011 2011 2011 + 2012 < nên < = 2012 2012 2012 + 2013 2011 2012 −2011 −2012 nên < > 2012 2013 2012 2013 3.154 30 30 + 31 31 = < = ⇒ < (1) 70 70 + 71 71 31 310 310 + 311 31 311 = < = ⇒ < (2) 71 710 710 + 711 71 711 311 3110 3110 + 3112 311 3112 = < = ⇒ < (3) 711 7110 7110 + 7112 711 7112 Từ (1), (2), (3) suy ra: 3.155 Cách 3112 311 31 > > > 7112 711 71 n (n + 2) − 2 = = 1− (1) n+2 n+2 n+2 n + (n + 5) − 2 = = 1− (2) n+5 n+5 n+2 Vì 2 n n+3 nên từ (1) (2) suy ra: > < n+2 n+5 n+2 n+5 Cách n n+3 n+3 n < = < nên n +1 n + (n + 2) − n + 3.156 Ta có: a a a+a < < (1) a+b+c b+c a+b+c [105] b b b+b < < (2) a+b+c a+c a+b+c c c c+c < < (3) a+b+c b+a a+b+c Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được: = a+b+c a b c 2(a + b + c) < + + < = a+b+c b+c a+c a+b a+b+c 3.157 Áp dụng tính chất : a c a a+c c < < < ta tìm được: b d b b+d d 3 5 < < < < < < < < < < 9 3.158 Cách ta có: n n > (1) n + 2n + n +1 n +1 > (2) n + 2n + Cộng theo vế (1) (2) ta được: A= n n + 2n + + > =B n + n + 2n + Vậy A > B Cách A = n n +1 n n + 2n + 2n + + > + = > =B n + n + n + n + n + 2n + Vậy A > B 3.159 A = −1 − − 50 − 49 + + + + 1.2 2.3 3.4 49.50 =1 − 1 1 1 + − + − + + − 2 3 49 50 =− 1 + 90 = (2) 10 11 12 99 100 10 100 [106] Từ (1) (2) ta có A < 1, B > nên A < B 3.160 S = a b c + + b+c c+a a+b = (a + b + c) − (b + c) (a + b + c) − (a + c) (a + b + c) − (b + a ) + + b+c a+c b+a = − (b + c) − (c + a ) − (a + b) + + b+c c+a a+b = 7.( = = 1 )−3 + + b+c c+a a+b −3 10 49 19 − 3= 10 10 S= 19 19 > =1 10 11 11 [107] Chuyên đề nâng cao MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT 3.161 S = 2011 2012 3.162 T = 75 151 3.163 A = 202 607 3.164 S = S − A = 3.165 A =2 A − A =1 − 2011