Chuyên đề2 Số nguyên tố, hợp số, số chính phơng I. Mục tiêu - HS nắm đợc định nghĩa các loại số : Hợp số, số nguyên tố, số chính phơng và một số công thức tổng quát của các loại số trên - Vận dụng các kiến thức trên vào giải toán một cách thành thạo - Rèn luyện cho HS t duy toán học, khả năng phát triển. II. Chuẩn bị - Hệ thống các kiến thức cơ bản và nâng cao - Tài liệu tham khảo: Các chuyênđềsốhọc các tác giả Võ Đại Mau, Vũ D- ơng Thuỵ, Sách nhà xuất bản giáo dục III. Nội dung A.Lí thuyết I. Số nguyên tố, hợp số: 1. Định nghĩa - Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ớc số là 1 và chính nó. Ví dụ 2,3,5,7,11, . Lu ý: Chỉ có duy nhất một số nguyên tố chẳn là số 2. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n+1 hoặc 4n+3 (n N) Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng 6n+1 hoặc 6n+5 (n N) ( Ngợc lại không đúng) - Hợp số là những số tự nhiên có từ 3 ớc số trở lên(một hợp số có ít nhất hai ớc số lớn hơn 1) Lu ý: - Số 0 và số 1 không phải là hợp số và cũng không phải là số nguyên tố - Bất kì số tự nhiên nào lớn hơn 1 cũng có ít nhất là một ớc nguyên tố(thuật toán phân tích các số ra thừa số nguyên tố) 2. Một số tính chất - Dãy số nguyên tố là vô hạn - Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q - Nếu tích a.b.c chia hết cho số nguyên tố p thì có ít nhất một thừa số trong tích chia hết cho p ( nếu abc p thì a p hoặc b p hoặc c p) - Nếu a p và b p thì ab p - Muốn nhận biết một số a>2 có phải là số nguyên tố hay không ta chia lần l- ợt cho các số từ 1 đến phần nguyên của 2 a . Nếu có phép chia hết thì a không phai là số nguyên tố ,ngợc lại thì a là số nguyên tố. ( Hoặc xét các số từ 2 đến a nếu tồn tại một số là ớc của a thì a không phải là số nguyên tố) - Số ớc nguyên tố của số A = a b .c với a,b,c là các số nguyên tố, ,, là các số nguyên dơng là )1) .(1)(1( +++ 3. Hai số nguyên tố cùng nhau + (a,b) =1 a và b là hai số nguyên tố cùng nhau + (n,n+1) =1 ( n N) + Hai số nguyên tố luôn nguyên tố cùng nhau + a,b,c nguyên tố cùng nhau (a,b,c) =1 + a,b,c gọi là nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau a ,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) = (a,c) = (b,c) =1 + 3 số nguyên tố sánh đôi thì chúng nguyên tố cùng nhau, ngợc lại không đúng. 4. Một số định lý đặc biệt a. Định lý Dirichlet: Nếu a và b nguyên tố cùng thì tồn tại vô sốsố nguyên tố p có dạng: p = an + b, (n N) b. Định lý Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n, có ít nhất một số nguyên tố c. Định lý Vinogradov: 15 Mọi số lẽ lớn hơn 3 3 là tổng của 3 số nguyên tố II. Số chính phơng, số luỹ thừa. 1.Số chính phơng - Số chính phơng là số tự nhiên bằng bình phơng đúng của một số tự nhiên khác - Một số chính có chữ số hàng đơn vị là một trong các số sau: 0;1;4;5;6;9 - Không có số chính phơng nào có chữ số tận cùng là 2;3;7;8 - Một số chính phơng có một trong các dạng sau:4n, 4n+1 hoặc 3n,3n+1 ( điều ngợc lại không đúng) - Không có số chính phơng nào có dạng 4n+2 hoặc 4n+3 hoặc 3n+2 B.Bài tập I/ Số nguyên tố, hợp số 1. Tìm các số nguyên tố thoả mãn điều kiện nào đó Ví dụ1: Tìm hai số nguyên tố p, q sao cho p 2 = 8q+1 Giải Ta có p 2 =8q+1 (p-1)(p+1) = 8q Do 8q+1 là số lẽ p 2 là số lẽ nên đặt p =2k+1(k N) p 2 =(2k+1) 2 =4k 2 +4k+1 = 8q+1 4k 2 +4k =8q k(k+1)=2q k(k+1) 2 (tích hai số tự nhiên liên tiếp) q= 2 )1( + kk vì q nguyên tố nên k(k+1) 2 + Nếu k>2và k chẳn đặt k=2t(t>1) 2 )1( + kk =t(2t+1) là hợp số (vô lí) + Nếu k>2 và k lẽđặt k=2t+1(t>1) 2 )1( + kk = (2t+1)t là hợp số (vôlí) + Nếu k=1 thì q =1 không nguyên tố + Nếu k=2 thì q = 3 và khi đó ta có p =5 thoả mãn Vậy q=3 và p=5 thoả mãn điều kiên bài ra Ví dụ2 :Tìm số nguyên tố a sao cho a+10, a+14 đều là số nguyên tố Giải C1 : Xét số nguyên a : a có một trong các dạng sau : 3k,3k+1,3k+2(k N) + Nếu a=3k+1 =>a+14 =3k+13 3 không phải nguyên tố (vô lí) + Nếu a=3k+2 =>a+10 = 3k+12 3 không phảI nguyên tố (vô lí) + Do đó a có thể có dạng 3k, mà a ngyên tố nên a=3 Khi a =3 ta có: a+10 =13 nguyên tố A+14 =17 nguyên tố Vậy với a=3 là số nguyên tố thoả mãn điều kiện bài ra C2: Thử với a=2 =>a+12=12 không nguyên tố (thoả mãn) a=3 => a+10 và a+14 đều nguyên tố (không thoả mãn) Với a>3,a nguyên tố ta xét các dạng của a là: 6n+1 hoặc 6n+5 khi đó a+14 hoặc a+10 không là nguyên tố Vậy a=3 thoả mãn điều kiện bài ra. Ví dụ4: Tìm số nguyên tố b sao cho b+6,b+14,b+12,b+8 đều là những số nguyên tố (HD: giải tơng tự ví dụ3) Ví dụ5: Tìm số nguyên tố a sao cho 2a+1 là một lập phơng Giải C1 :Đặt 2a+1 = t 3 (t N,t>1) ta có : 2a+1 =t 3 2a = t 3 -1 <=> 2a =(t-1)(t 2 +t+1) Do t 2 +t+1 >2, t-1>1 và a nguyên tố a>3 nên ta có t-1 =2 và t 2 +t+1 =a => t=3 và a =13 Thử lại : 2.13+1=27 =3 3 (đúng) Vậy với số nguyên tố a=13 thì 2a+1 là một lập phơng. C2: Từ 2a =(t-1)(t 2 +t+1) ta xét tất cả các hệ phơng trình sau đó kết luận(cách này dài không tận dụng đợc giả thiết và các điều kiện của bài ra) C3: Từ 2a = (t-1)(t 2 +t+1) Vì t lẽ nên đặt t=2k+1 (k>0) => a= k(4k 2 +6k+1) + Nếu k=1=>a=13 thoả mãn + Nếu k>1 thì a là hợp số (không thoả mãn) Vậy a=13 thoả mãn yêu cầu bài ra. Ví dụ6: Tìm tất cả các số nguyên tố p để tổng các ớc của p 4 là một số chính phơng. Giải Ta cần xác định p để 1+p+p 2 +p 3 +p 4 = a 2 (1) => 4+4p+4p 2 +4p 3 +4p 4 =(2a) 2 Ta có [p(2p+1)] 2 < (2a) 2 < [p(2p+1)+2] 2 =>(2a) 2 =[p(2p+1)+1] 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra p=3 2. Chứng minh Ví dụ1: Cho p và 2p+1 là hai số nguyên tố , p>3 Chứng minh rằng 4p+1 là hợp số Giải P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng 6n+1 hoặc 6n+5 (n N,n 1) + Nếu p = 6n+1 => 2p+1 =12n +3 chia hết cho 3 (trái với gt nguyên tố) + Vậy p = 6n+5=> 2p+1 = 12n+11 nguyên tố (thoả mãn) Xét 4p+1 = 24n -3 3 Vậy p và 2p+1 là hai số nguyên tố , p>3 thì 4p+1 là hợp số. Ví dụ2: Chứng minh rằng nếu số abc nguyên tố thì b 2 - 4ac không phảI là số chính phơng. Giải Giả sử b 2 - 4ac là số chính phơng Đặt k 2 = b 2 - 4ac (k N) => b>k Ta có 4a() =400a 2 +40b+4ac = (20a+b) 2 - (b 2 -4ac) =(20a+b) 2 - k 2 =(20a+b+k)(20a+b-k) Do (20a+b+k)(20a+b-k) abc mà abc nguyên tố nên ta có 20a+b+k abc hoặc 20a+b-k abc Mà abc = 100a +10b +c > 20a+2b> 20a+b+k ( do b>k) do đó 20a+b+k abc là vô lí Tơng thự ta có abc = 100a +10b +c > 20a+b> 20a+b- k ( do b>k) do đó 20a+b-k abc là vô lí Vậy nếu abc là nguyên tố thì b 2 -4ac không phải là số chính phơng. Ví dụ3: Chứng minh rằng nếu m 2 - n 2 nguyên tố thì m,n là hai số tự nhiên liên tiếp Giải Ta có m 2 -n 2 =(m-n)(m+n) với m,n N và m>n Vì m 2 - n 2 nguyên tố và m+n>m-n => m-n =1 =>m=n+1 Hay m,n là hai số tự nhiên liên tiếp. Ví dụ4: Cho m N. Chứng minh m 4 +4 và m 4 +m 2 +1 đều là hợp số(m>1) Giải PP: Phân tích ra thừa số trong đó có ít nhất hai thừa số lớn hơn 1 + Ta có m 4 +4 = (m 4 +4m 2 +4) 4m 2 =(m 2 +2) 2 -(2m) 2 =(m 2 +2+2m)(m 2 +2-2m) =[(m+1) 2 +1][(m-1) 2 +1] là hợp số vì [(m+1) 2 +1] >1 và [(m-1) 2 +1] >1 + m 4 +m 2 +1 =m 4 +2m 2 +1 m 2 = (m 2 +1) 2 -m 2 =(m 2 +1+m)(m 2 +1-m) là hợp số. Ví dụ5 : Cho p và q là hai số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng : p q-1 +q p-1 -1 pq Giải Ta có p q-1 +q p-1 -1 = (p q-1 -1) +q p-1 Trong đó p q-1 -1 q(theo định lí fecma) và q p-1 q =>p q-1 +q p-1 -1 q Tơng tự ta c/m đợc p q-1 +q p-1 -1 p Vì (p,q)=1 =>p q-1 +q p-1 -1 pq(đpcm) Ví dụ6 : Giả sữ a,b,c,d là các số tự nhiên tuỳ y khác 0 sao cho a.c=b.d Chứng minh với mọi n N thì A=a n +b n +c n +d n là hợp số Giải + Nếu (c,b) =1 thì = c d =k (k N * ) => a n /b n =d n /c n =k n Vậy A=a n +b n +c n +d n = b n +c n +k n (b n +c n ) =(b n +c n )(k n +1) là hợp s + Nếu (c,b)=m ( m N * ) => c=mp, b=mq (p,q N * ) và (p,q)=1 Khi đó a.c=b.d =>q.d=a.p với (p,q)=1 Xét tơng tự trờng hợp trên ta suy ra A là hợp số( đpcm) Bài tập Bài1 : Tìm số nguyên dơng n để n 4 +4 là số nguyên tố Bài2 :Tìm số nguyên dơng n để n 3 -n 2 +n-1 là số nguyên tố Bài3 : Tìm số tự nhiên nhỏ nhất để n 4 +(n+1) 4 là hợp số Bài4 :P là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng p 8n +3.p 4n - 4 5 Bài5 :Tìm tất cả các số nguyên tố p để 2 p +p 2 cúng là số nguyên tố II/ Số chính phơng,số luỹ thừa Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên k thì số A=1+9 2k +77 2k +1977 2k không phải là số chính phơng. Giải Số chính phơng có dạng 3t hoặc 3t +1(t N) Ta có A=1+9 2k +77 2k +1977 2k có dạng 3l+2 (với l N) =>A không phải là số chính phơng. Ví dụ2 : Số A=1+9 2n +80 2n +1980 2n có phải là số chính phơng không ? Giải Bất kì số chính phơng nào cũng có dạng 4n ;4n+1 (với n N) A có dạng 4q+2 (với q N) => A không là số chính phơng. Ví dụ3 : Tích của hai số tự nhiên liên tiếp, tích của hai số chẳn liên tiếp có thể là số chính phơng không ? Giải + Gọi n,n+1 là hai số tự nhiên liên tiếp (với n N) Xét tích n(n+1) Ta có n 2 <n(n+1)<(n+1) 2 do đó n(n+ 1) không thể là số chính phơng. + Gọi 2 số chẳn liên tiếp là :2k,2k+2 (với k N) Xét tích 2k(2k+2) Ta có 4k 2 <2k(2k+2)<4(k+1) 2 =>2k(2k+2) không phải là số chính phơng. Ví dụ4 : Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm một đơn vị là một số chính phơng. Giải Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp lần lợt là n, n+1, n+2, n+3 (với l N) Xét n(n+1)(n+2)(n+3) +1 = (n 2 +3n)(n 2 +3n +2)+1 =(n 2 +3n) 2 +2(n 2 +3n)+1 =[(n 2 +3n)+1] 2 là số chính phơng. Ví dụ5 :Tìm số tự nhiên n để các số sau là những số chính phơng. a/ a 2 +a +1589 ; b/ a(a+3) Giải a/ Đặt a 2 +a +1589 =k 2 (k N) Ta có a 2 +a +1589 =k 2 4a 2 +4a+ 6356 =4k 2 (2a+1) 2 +6355 =(2k) 2 (2a+1+2k)(2k-1-2a) =6355.1=1271.5=205.31=155.41 Vì 2a+1+2k >2k-1-2a nên để tìm a ta tiến hành giải các hệ phơng trình sau: (I) = =++ 1212 6355212 ak ka (II) = =++ 5212 1271212 ak ka (III) = =++ 31212 205212 ak ka (IV) = =++ 41212 155212 ak ka Thực hiện giải các hệ trên ta thu đợc giá trị của a là: 1588,316,43,28 b/ Giải tơng tự nh a Ví dụ6: Cho hai số tự nhiên a và b (a 0;b 0) thoả mãn điều kiện 2a 2 +a = 3b 2 +3 Chứng minh rằng a-b,2a+2b+1 đều là các số chính phơng. Giải Nhận thấy 2a 2 +a =3b 2 +b (a-b)(2a+2b) =b 2 (*) Giả sữ tồn tại p là ớc nguyên tố của a-b và 2a+2b thì khi đó p là ớc của b => p cũng là ớc của a(do a-b p) do đó p là ớc của 1 (vì 2a+2b+1 p) (điều này vô lí vì p nguyên tố) Vậy (a-b,2a+2b+1)=1 Do (*) => a-b và 2a+2b+1 đều là các số chính phơng. Bài tập: Bài1: Cho T=2+2 112 2 +n (n N). Chứng minh rằng nếu T là số tự nhiên thì T là số chính phơng. Bài2 :Ch x 2 +2y là một số chính phơng với x,y N. Chứng minh x 2 +y bằng tổng hai số chính phơng. Bài3 : Tìm số chính phơng có 4 chữ số chia hết cho 33 Bài4 : Tổng bình phơng của 5 số tự nhiên liên tiếp có phải là số chính phơng không ? Bài5 : Tìm số có hai chữ số biết rằng nó bằng lập phơng của một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó bằng bình phơng của số tự nhiên đó. HD : 1/ Đặt a = với a N sau đó c/m T là số chính phơng. 2/ Đặt x 2 +2y = (x+t) 2 => 2y=t 2 +2tx => t 2 =2k (kN) Do đó 2y=4k 2 +4kx =>y=2k 2 +2kx => x 2 +y =(x+k) 2 +k 2 3/ = A 2 c/m A 2 33 => A 2 3 và A 2 11 => A 3 và A 11 Do đó A 2 9 và A 2 11 vì (9,11)=1 => A 2 1089 => A 2 = 1089t (t N) Mặt khác 1000 9999 => t =1,4,9 Do đó =1089,4356,9801 4/ Đặt A =n 2 + (n+1) 2 + (n+2) 2 +(n+3) 2 +(n+4) 2 =5n 2 +20n+30 =5(n 2 +4n+6) Giả sữ A là một số chính phơng =>5(n 2 +4n+6) = t 2 => (n 2 +4n+6) =5q => (n+2) 2 =5q-2=5q+3 (vô lí vì không có số chính phơng dạng này) 5/ theo giả thiết =t 3 và a+b = t 2 ( t N) 1 a+b 18 => 1 t 2 18 => 0 t 4 10 =>t 3 Do đó t=3 => =27 số luỹ thừa 2. Số luỹ thừa A k = A.A A (k N) gọi là số luỹ thừa k thừa số A - Chữ số tận cùng của A là 1 thì chữ số tận cùng của A k là 1 - Chữ số tận cùng của A là 6 thì chữ số tận cùng của A k là 6 - Chữ số tận cùng của A là 5 thì chữ số tận cùng của A k là 5 - Chữ số tận cùng của A là 0 thì chữ số tận cùng của A k là 0 C1: + Nếu A= 10a+b => b là chữ số tận cùng của A A k có chữ số tận cùng chính là chữ số tận cùng của b k + Nếu A=100a+10b +c thì hai chữ số tận cùng của A là bc A k có hai chữ số tận cùng chính là chữ số tận cùng của (bc) k C2: + Xét sự xuất hiện tuần hoàn của chữ số cuối cùng của A khi k lần lợt nhận các giá trị (k=1,2,3 ) C3: + Sữ dụng tính chất đồng d thức để tìm chữ số tận cùng Nếu tìm 1 chữ số tận cùng thì tìm đồng d 10, nếu tìm hai chữ số tận cùng thì tìm đồng d 100, . và A 11 Do đó A 2 9 và A 2 11 vì (9, 11)=1 => A 2 1 0 89 => A 2 = 1 0 89 t (t N) Mặt khác 1000 99 99 => t =1,4 ,9 Do đó =1 0 89 ,4356, 98 0 1 4/ Đặt A =n 2. Chuyên đề2 Số nguyên tố, hợp số, số chính phơng I. Mục tiêu - HS nắm đợc định nghĩa các loại số : Hợp số, số nguyên tố, số chính phơng và một số công