b Tìm tọa độ điểm D thuộc đoạn BC sao cho diện tích tam giác ABD gấp 2 lần diện tích tam giác ACD... Tìm giá trị nhỏ nhất của.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THPT MINH CHÂU Môn thi: TOÁN 10 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (2,0 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình: a) x x 3x 0 x( x 1) x x b) C©u (2,0 ®iÓm) Cho hàm số y x 2mx 3m (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1 b) Tìm m để đường thẳng y x cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt và hoành độ chúng dương Câu (0,75 điểm) Tìm m để phương trình x - x + x = m( x - 1) có ba nghiệm phân 2 biệt x1, x2 , x3 thỏa mãn x1 + x2 + x3 = Câu sin 900 1800 (1 điểm) Cho Hãy tính các giá trị lượng giác còn lại góc cos ; tan ; cot A 1;1 ; B 3;0 ; C 4;5 Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC có: a) Tìm tọa độ tâm G và trực tâm H tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm D thuộc đoạn BC cho diện tích tam giác ABD gấp lần diện tích tam giác ACD Câu (0,75 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích Đặt a = BC , b = AC , c = AB Chứng minh cot A + cot B + cot C = a +b2 + c2 x y y x x Câu (0,75 điểm) Giải hệ phương trình: 3x x xy y 0 (2) Câu (0,75 điểm) Cho hai số dương a, b có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 2016 + + ab 4a + 4b + 2 Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm SỞ GD & ĐT HƯNG YÊN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM TRƯỜNG THPT MINH CHÂU ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN 10 Câu Nội dung + Nếu x ³ - , ta có phương trình x + x + = Phương trình 1.a) (1 điểm) này có nghiệm x =- 1, x =- thỏa mãn Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =- và x =- Đặt (1 điểm) 0,5 + Nếu x <- , ta có phương trình x + x - = Phương trình này có nghiệm x = và x =- không thỏa mãn 1.b) Điểm 0,5 x x 4 t (t 0) Phương trình trở thành t - t - = Phương trình này có nghiệm t = thỏa mãn 0,5 0,5 x x 4 2 Từ đó x = 0; x =- 3) (0,75 điểm) Suy Biến đổi phương trình trở thành éx = ( x - 1)( x - x - m) = Û ê êx - x - m = (*) ë 0,25 Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt và phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác Tức là 0,25 (3) ïìï = + 4m > Û - < m ¹ í ïïî - m ¹ Giả sử x1 =1; x2 & x3 là các nghiệm (*) Ta có 0,25 x12 + x22 + x32 = Û x22 + x32 = Û ( x2 + x3 ) - x2 x3 = Theo định lý Vi-et ta tìm m = thỏa mãn yêu cầu 6) (0,75 điểm) 2S b2 + c2 - a sin A = , cos A = bc 2bc Ta có b2 + c - a Þ cot A = = b2 + c - a 4S 2 2 2 Tương tự cot B = a + c - b , cot C = a + b - c Cộng đẳng thức trên suy điều phải chứng minh Nhận thấy x = , y=0 mãn hệ phương trình y x y x 3 x y y 3 x Khi x 0 biến đổi hệ thành (0,75 điểm) u uv v 6 u 2 3u v 5 y u x y , v v x Đặt : , hệ trở thành: x y 64 x x 0 u y v 6 y 8 x 8 x +Với (vô nghiệm) x y 2 u 2 y v x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x 1 x x 0 y x y x y 2 +Với Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là(0 ; 0), (1;-1) và (-2;2) 0,25 1 + ³ x, y > thì x y x + y (*) (1,0 điểm) Ta chứng minh với (4) Áp dụng (*) ta có: 1 6047 P= + + + 4a + 4b + 3ab 3ab ³ a +b2 +1 + 6047 6047 + ³ + 3ab 3ab ( a + b) + ab +1 3ab æa + b ö 6047 6049 ÷ < ab £ ç =1 Þ P ³ + = ÷ ç ÷ ç è ø + + 3 Vì 6049 Vậy giá trị nhỏ P và a b 1 + TXĐ; Đỉnh I(-1;-4) a + Bảng biến thiên; + Các khoảng đồng biến, nghịch biến + Đồ thị y x 2mx 3m và y x cắt hai điểm b Tìm m: phân biệt và hoành độ dương Yêu cầu bài toán PT sau có hai nghiệm dương phân biệt x 2mx 3m x x 2( m 1) x 3m 0 ' 3(m 1) 2(m 1) m ' m2 5m ( m 1)( m 4) m Kết hợp nghiệm, kết luận m 4 900 1800 nên cos cos sin cos 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 sin 900 1800 Vì 0,25 25 sin tan cos 12 + cos cot 2 sin + 0,5 0,25 0,25 (5) a A 1;1 ; B 3;0 ; C 4;5 1 1 8 G ; G ;2 3 3 + Tọa độ tâm: HA.BC 0 HA BC HB AC H x; y HB AC 0 (1) + Giả sử Vì HA x;1 y ; HB x; y ; BC 1;5 ; AC 3; Khi đó (1) trở thành: x y 0 3 x y 0 b 41 x x y 6 11 H 41 ; 11 11 3x y 13 y 11 41 G ;2;H ; Vậy 11 11 S ABD S ACD BD 2CD DB DC Vì Suy D chia đoạn BC theo tỷ số -2 xB xC 2.4 11 xD 2 3 11 10 D ; 3 y yB yC 2.5 10 D 2 3 Vậy tọa điểm D là: HÕt (6)