Điều kiện sử dụng phương pháp: Bấm máy tính tìm được ít nhất 2 nghiệm A,B phân biệt Nếu PT có chứa P x thì giả sử biểu thức cần xuất hiện có dạng: ,trong đó a,b,c là các số nguyên .Do A[r]
(1)Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) KĨ THUẬT “ĐÁNH CẢ CỤM” KHI DÙNG CASIO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ (dành cho bạn đọc muốn thử sức với số PT vô tỉ phức tạp phải dùng máy tính Casio trợ giúp và thử sức giải phương trình bậc 3) Bài viết này xin giới thiệu các phương trình dùng máy tính cầm tay tìm biểu thức liên k hợp có dạng ax +bx +c− √ P( x ) ,với a,b,c là các số nguyên Sau đây là các thí dụ đơn giản dạng này (phương pháp tìm biểu thức nêu chuyên đề phần sau các thí dụ) Thí dụ Giải phương trình √ x 2+10 x+7+ √−12 x3−2 x+12=4 x 2+3 x+5 Hướng dẫn Biểu thức cần tìm là PTcó nghiệm x= x +3 x +2− √5 x +10 x+7 và x +3−√−12 x3 −2 x+12 −1±√ Thí dụ Giải phương trình √ x 2−7 x+7+√ x3−x 2−3 x+7=4 x 2−2 x +2 Hướng dẫn Biểu thức cần tìm là x= PTcó nghiệm x −2 x+1−√ x −7 x+7 và x +1−√ x3 −x −2 x +7 1±√ 17 Thí dụ Giải phương trình √ 18 x 2+5 x−5+ √64 x2 +16 x−23=6 x 2+3 x +2 Biểu thức cần tìm là x + x+1−√18 x +5 x−5 và x 2+2 x +1− √64 x +16 x−23 (2) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) x= PTcó nghiệm 1±√ 17 ; x= −3± √ 33 Thí dụ Giải phương trình √ 14 x 2+11 x+6+√ 32 x 2+32 x+9=6 x 2+3 x +3 Hướng dẫn Biểu thức cần tìm là PTcó nghiệm x= x + x+2−√14 x2 +11 x+6 và x +2 x +1− √32 x2 +32 x +9 1±√ 17 ; x=−1 ; x= −1 Thí dụ Giải phương trình √ x 2+10 x +5+ √24 x 2+36 x +17=6 x 2+3 x+2 Biểu thức cần tìm là PTcó nghiệm x= x + x+1−√ x +10 x+5 và x +2 x +1− √24 x +36 x+17 1±√ 17 Thí dụ Giải phương trình √ x 2+10 x+5+ √(x+1 )(8 x 2+21 x+17 )=6 x 2+4 x+2 Hướng dẫn Biểu thức cần tìm là x + x+1−√ x +10 x+5 và x +3 x+1− √( x+1)(8 x2 +21 x+17 ) PTcó nghiệm x= 1±√ 17 Thí dụ Giải phương trình √ x 2+10 x +5+ √8 x 3+37 x 2+44 x +20=6 x 2+4 x +3 Hướng dẫn (3) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Biểu thức cần tìm là và x + x+1−√ x +10 x+5 x +3 x +2−√8 x 3+37 x +44 x +20 PTcó nghiệm x= 1±√ 17 Giải phương trình Thí dụ (3 x+1 ) √ x−1+ √ 14 x3 −2 x 2−6 x −2 x + x +1 =1 Hướng dẫn 2x + x+1−(3 x+1) √2 x−1 Biểu thức cần tìm là 2x −√ 14 x 3−2x −6 x−2 và 3 5+ √359−12 √78+ √359+12 √ 78 x= PT đã cho có nghiệm: x=1 ; Thí dụ Giải phương trình (3 x+1 ) √ x−1+ √ 14 x3 −2 x 2−6 x −2 x + x +1 =1 Hướng dẫn 2x + x+1−(3 x+1) √2 x−1 Biểu thức cần tìm là 2x −√ 14 x 3−2x −6 x−2 và 5+ √359−12 √78+ √359+12 √ 78 x= PT đã cho có nghiệm: x=1 ; Thí dụ 10 Giải phương trình ( x+1 ) √ x+ 1+ √ x + x + x−2 x + x +3 =1 Hướng dẫn Biểu thức cần tìm là x +x+2−(x +1 )√ x+1 và x +1− √ x +4 x +x−2 (4) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) PT đã cho có nghiệm: x=1 ; 27−√ 633+ √ 27+ √ 633 √ x= √18 Thí dụ 11 Giải phương trình ( x+ 2) √ x +1+ √−x3 +4 x + 10 x−4 x + x +4 =1 Hướng dẫn 2 x + x+3−( x +2) √ x+1 Biểu thức cần tìm là và PT đã cho có nghiệm: x +1−√ −x +4 x +10 x−4 −5+ √ 5(281+18 √ 249 )−√ 5(281−18 √ 249 ) x= 12 x=1 ; Thí dụ 12 Giải hệ phương trình x +2 y = xy +4 ( x +2 ) √ x + +3 √ x + x + x +8 =9 x + y ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Hướng dẫn Phương trình thứ hệ tương đương với x=2 x= y −2≥−2 Với x=2 các bạn tự xử lí trường hợp dễ này Với x= y −2≥−2 thay vào PT thứ hệ ta ( x+2 ) √3 x +4+3 √ x +2 x +8 x +8=9 x +x +2(∗) Biểu thức cần tìm là x2 +x+2−( x +2) √ x2 +4 và x −√ x +2 x +8 x +8 −1+ PT(*) có nghiệm: x=2 ; x= √ 3 √183−31 3 √ 183+31 − 4 √ Đến đây các bạn tự giải tiếp (5) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Thí dụ 13 Giải hệ phương trình x 2− y + =0 √ x +1 √ y −2 y +2 y √ x + 13 + √ x +16 x +41 =3 x + y +5 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Hướng dẫn Sử dụng Hàm đặc trưng có x= y −2≥−2 Phương trình thứ hệ tương đương Với x= y −2≥−2 thay vào PT thứ hệ ta ( x+2 ) √ x +13+ √ x2 +16 x+41=3 x +3 x +11(∗) Biểu thức cần tìm là x +3 x +6−( x +2) √ x2 +13 và x +5− √2 x +16 x+41 3 −2+2 √3 √ 57−1−2 √ √ 57+1 x= PT(*) có nghiệm: x=2 ; Đến đây các bạn tự giải tiếp Thí dụ 14 Giải hệ phương trình 2 x − xy + x − y +2=0 y √ x + 13 + √ x +10 x +67= x + x +15 ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Hướng dẫn x=1 Phương trình thứ hệ tương đương với x= y −2≥−2 Với x=1 các bạn tự xử lí trường hợp dễ này Với x= y −2≥−2 thay vào PT thứ hệ ta ( x+2 ) √3 x +13+ √ x2 +10 x+67=3 x +3 x+15(∗) Biểu thức cần tìm là x +3 x +7−( x +2) √ x +13 và x +8−√ x +10 x +67 (6) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 3 −1+ √17+9 √ 681−√ 17−9 √681 x= PT(*) có nghiệm: x=1 ; Đến đây các bạn tự giải tiếp Sử dụng lí thuyết chuyên đề đây có thể tìm các biểu thức cần xuất Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP THẾ TRONG THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐỂ TÌM NHÂN TỬ CHUNG HOẶC TÌM BIỂU THỨC TRONG NHÂN LIÊN HỢP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Một kĩ hữu ích có thể giúp ta giải phương trình vô tỉ là kĩ tìm nhân tử chung tìm biểu thức nhân liên hợp Đôi việc tìm các biểu thức đó là khó khăn ta không có máy tính cầm tay trợ giúp Bài viết này xin giới thiệu kĩ thuật dùng máy tính cầm tay tìm nhân tử chung biểu thức để ta xử lí nhân liên hợp k có dạng ax +bx +c− √ P( x ) ,với a,b,c là các số nguyên Sau đây là các thí dụ Thí dụ Giải phương trình x −3 x +3 x +6 x−10 x2 +1+2 √ x −3 x +6 =2 Lời giải Phương trình(PT) đã cho tương đương với PT: x −3 x +3 x −8 x2 +6 x−12−4 √ x 2−3 x +6=0(1) Ta tìm nghiệm PT(1) máy tính CASIO fx-570VN PLUS sau: (7) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Nhập biểu thức vế trái(VT) PT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X=2 Ấn nút sang trái để quay lại PT(1) Sửa biểu thức thành VT(1):( X-2) bấm SHIFT SOLVE =, máy cho ta nghiệm X =−2 ,546818277 Máy hỏi Solve for X ta bấm −10 Bấm SHIFT STO A (lưu nghiệm vừa tìm vào A) Giả sử nhân tử PT(1) có dạng ax +bx +c− √ x −3 x +6 chứa nghiệm vừa tìm Nghiệm X=2 suy a+2 b+c−2=0 Nhân tử PT(1) trở thành: ⇒ c=−4 a−2 b+ ax +bx−4 a−2 b+2− √ x −3 x+6 =a( x−2)( x +2)+b ( x−2)+2−√ x −3 x+6 Xét a( x−2 )( x+2)+b( x−2 )+2−√ x 2−3 x +6=0 suy b= √ x −3 x +6−2 −a (x +2 ) x −2 (2) Vì A là nghiệm PT(2) nên ta tìm a,b là số nguyên cách bấm máy tính sau: MODE máy f(X)= ,ta nhập Máy Start? Ta bấm −9 √ A2−3 A+6−2 −( A +2) X A−2 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=1=a thì F(X)=0=b là số nguyên Như a=1,b=0,c= −2 bấm = (8) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Nên nhân tử cần tìm là x 2−2−√ x −3 x+6 4( x 2−2−√ x2 −3 x+6) Suy PT xuất x −3 x +3 x −12 x +6 x−4 Biểu thức còn lại là Biểu thức này chứa nhân tử cần tìm nên nó chứa nhân tử sau: 2 ( x −2 ) −( x −3 x +6 )=x −5 x +3 x−2 Thật vậy,sử dụng kĩ chia đa thức ta x −3 x +3 x −12 x +6 x−4 2 =( x −5 x +3 x −2)( x +2 ) Do đó PT (1)⇔( x −5 x +3 x−2 )( x +2)+4( x −2−√ x 2−3 x+6 )=0 ⇔(x −2− √ x −3 x +6 )( x 2−2+ √ x −3 x+6 )( x +2 )+4 ( x2 −2−√ x −3 x+6)=0 ⇔(x −2− √ x −3 x +6 ) ( x +( x +2 ) √ x −3 x +6 )=0 ⇔ [ √ x −3 x +6=x 2−2(3 ) ¿ [¿ [ x +( x +2) √ x −3 x +6=0(4 ) Dễ thấy PT(4) vô nghiệm ⇔ x −2≥0 ( x −2 )( x +2 x − x +1 )=0 ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ PT ( ) ⇔ x −2≥0 x 2−3 x + = x −4 x2 + ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ −2− Giải tiếp ta nghiệm x=2 và x= √ 61+9 √ 29 61−9 √ 29 − 2 −2− Vậy PT đã cho có nghiệm: x=2 ; x= √ √ 61+9 √ 29 61−9 √ 29 − 2 Thí dụ Giải phương trình √ (9) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) x +x +2 x +6 x 3+( x +2 ) √ x +9 x +3 =1 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với PT: x +x +2 x +6 x−3−( x +2) √8 x +9 x +3=0 (1) Nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X =2, 25992105 Bấm SHIFT STO A Nhập biểu thức VT (1):( X− A ) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm = , chờ gần phút máy Can’t Solve Khi này ta chuyển sang hướng tìm nghiệm ngoại lai (nếu có)của PT cách đổi dấu trước PT đã cho.Dẫn tới tìm nghiệm PT sau: x +x +2 x +6 x−3+( x +2 )√ x +9 x +3=0(2 ) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) PT(2) sau: Bấm MODE máy f(X)= Ta nhập biểu thức vế trái PT(2) bấm = Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Khi này xem bảng ta thấy X =− thì F(X)=0 Vậy nghiệm ngoại lai cần tìm là x= -1 Giả sử nhân tử PT(1) có dạng ax +bx +c− √8 x +9 x +3 Vì x= -1 nghiệm ngoại lai nên nó là nghiệm PT: suy a−b+c +2=0 ⇒ c=−a+b−2 ax +bx +c + √ x3 +9 x +3=0 (10) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Nhân tử PT(*) trở thành: ax +bx−a+b−2−√ x +9 x +3 =a( x−1)( x+1)+b ( x+1 )−2− √8 x +9 x +3 Xét a( x−1 )( x+1 )+b( x+1)−2−√ x +9 x +3=0 b= √ suy x +9 x +3+ −a( x−1 )∈Z x +1 Ta tìm a,b cách bấm máy tính sau: MODE máy f(X)= ,ta nhập √8 A3 +9 A2+3+2 −( A−1) X A+1 bấm = Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=1 thì F(X)=3 là số nguyên x +3 x−√ x3 +9 x +3 Như a=1,b=3,c=0.Ta nhân tử là Mà 2 ( x +3 x ) −(8 x +9 x +3 )=x −2 x −3 PT(1) trở thành: x −2 x3 −3+( x +2)( x +3 x− √8 x +9 x −6 )=0 ⇔(x +3 x− √ x +9 x −6 )(2 x +3 x +2+ √ x +9 x +3 )=0 ⇔ [ √ x + x2 + 3=x +3 x (3 ) ¿ [¿ [ 2( x+ )2 + + √ x 2−3 x +6=0(4 ) Dễ thấy PT(4) vô nghiệm PT (3 )⇔ x + x ≥0 ( x + ) ( ( x −1 ) −2 ) =0 ¿ ¿{¿¿¿ Vậy PT đã cho có nghiệm ⇔ x=1+ √ x=1+ √ Thí dụ Giải phương trình 10 (11) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) √ x −3 x +2−x 1+ √ 36 x −44 x +17 x −x−4 =1 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với PT: √ x 2−3 x +2− √36 x −44 x +17 x −x−4−x−1=0(1 ) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) PT(1) sau: Bấm MODE máy f(X)= Ta nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm = Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Khi này ta thấy X=1 thì F(X)=0 Nhập biểu thức VT(1):( X-1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi X=? ta bấm =, máy cho ta nghiệm X =−0 , 629960524 x 2−3 x +2−2 √ b= −a( x+1) x−1 Làm tương tự các thí dụ trên ta được: b= √ Nên và 36 x −44 x +17 x 2−x −4−2 −a ( x+1 ) x−1 √ x 2−3 x+2−(2 x 2−x +1 ) và x −3 x+1−√ 36 x −44 x +17 x2 −x−4 là các biểu thức cần xuất phương trình PT(1) trở thành: 2( √ x −3 x+2−2 x + x−1)+(4 x −3 x +1− √36 x −44 x +17 x −x−4 )=0 ⇔2× x 2−3 x +2−( x −x+1 ) √5 x 2−3 x +2+2 x2 −x +1 + ( x 2−3 x +1 ) −36 x +44 x −17 x + x +4 4 x −3 x +1+ √ 36 x −44 x +17 x −x−4 11 =0 (12) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) ⇔ ( x −4 x + x−1 ) [ −2 2 √5 x −3 x +2+2 x −x +1 + −5 4 x −3 x +1+ √ 36 x −44 x +17 x −x−4 ⇔ [ x=1 ¿ ⇔ x −4 x + x−1=0 ⇔(x−1)(4 x +1)=0 [ x=− √ [¿ Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn Vậy PT đã cho có nghiệm x=1 ; x=− √ Thí dụ Giải phương trình x −2 x +14−√ x3 +7 x 2−2 x−3 x −5 x+8+ √ x +6 x +16 x −12 x−11 =1 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với PT: √ x 3+7 x 2−2 x−3+√ x 4+6 x +16 x2−12 x−11−x4+2 x 3+x 2−5 x−6=0(1) Bấm máy tính các thí dụ trên để tìm nghiệm nguyên ta thấy không có Tìm và lưu các nghiệm ta ít nghiệm là A=2, 732050808 ; B=1 , 414213562 ; C=−0 , 732050807 Chú ý: Nếu máy Continue:[=] thì ta bấm = ,đợi lúc ta nghiệm Giả sử biểu thức thứ có dạng ax +bx +c− √ x +7 x 2−2 x−3 Do A,B,C là nghiệm biểu thức nên ta có aA +bA+c=√ A +7 A2 −2 A−3 aB +bB+c= √4 B +7 B2 −2 B−3 aC +bC+c=√ C +7C −2 C−3 Bấm MODE bấm để giải hệ ẩn a,b,c gồm PT trên.Ta a=1;b=1;c=1 12 ]=0 (13) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Như biểu thức thứ cần tìm là Tương tự biểu thức thứ hai cần tìm là x +x+1−√ x +7 x2 −2 x−3 x +1−√ x +6 x +16 x2 −12 x−11 PT (1)⇔ x +x +1− √ x3 +7 x 2−2 x−3 +2 x2 +1−√ x +6 x3 +16 x 2−12 x−11+x −2 x −4 x +4 x +4=0 ⇔(x −2 x −4 x +4 x +4 )P( x )=0(2) với P( x )= + +1>0 x +x +1+ √ x +7 x −2 x −3 x2 +1+ √ x +6 x +16 x −12 x −11 Suy PT (2)⇔ x −2 x −4 x +4 x +4=0 2 ⇔(x −2 x−2)( x −2)=0 ⇔ [ x=1±√ ¿ [¿ [ x=±√ Kiểm tra điều kiện xác định thấy các nghiệm thỏa mãn x=1± √3 ; x=±√ Vậy PT đã cho có nghiệm Chú ý: Do A +C=2 ; AC =−2 nên PT có nhân tử là x −2 x−2 Mở rộng dạng toán: Nếu a,b,c nghiệm PT là các số hữu tỉ thì ta đưa tìm các biểu thức dạng k n √ P (x )−( px +qx +r ) ,với p,q,r là số nguyên và n là số nguyên dương ta tìm ta thử chọn Vấn đề đặt là liệu có phương trình mà ta phải tìm biểu thức dạng phức tạp k chẳng hạn Bài tập 2) 3) .Hãy làm bài tập đây các bạn rõ Giải phương trình 1) √ P (x )−( ax 3+bx 2+cx +d ) x −13 x +2 x 2+ √ x +16 x 2−x +2 =1 x −7 x −3−3 √ x + x2 −6 =−3 x 2−3 x +3 x −x3 +3 x2 −5 x−8 ( x 2−x +1 ) √ x +3 x +14 =1 13 (14) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 4) √3 x −2 x 3+ x +4 + √ x 2+ x +4 =1 5) √16 x −12 x +4 x2 +24 x−23−2 x 6) x +2+ √ x −12 x + x +1 7) 3−2 x + √ x +3 x +5 x−1 x2 + x+ 2 √ x +7 x −14 x+13+1 =1 1+ √ 12 x +5 x2 +2 x−3 8) 9) =1 2+ √ x −x + x −7 x+ =1 x −2 x3 +6−√ x +27 x +6 x +3 =1 20 x +x +1+ √ x +26 x +2 x +3 x −4 x +6 x+ √ x +10 x 2−4 x−3 10) 3+( x +2 ) √2 x + x −12 x +6 x =1 18 x +12−3 √ 20 x3 +9 x +30 x−20 =2 x − x+4+ √7 x + x + x −5 ( x −2 x ) √ x5 +7 x + x −4 x −3 x+ 11 ) =1 x +x −x −8 x 2−5 x +6 12) x +8 x+ √ x +21 x −15 x +27 x−5 4 2 x +14 x +6−√ x +11 x −4 x +11 x−2 =1 (28 x +29 x+11) √ x−43 x2 −4 x−5−4 x √ x √ 13) =1 2 x+1−√(36 x +25 x +11)√ x−35 x −6 x−6 14 ) √21 x6 +19 x5 −13 x −9 x +5 x −4 x−3= x +4 x −20 x −19 x +19 x +12 x 3−5 x +4 x +5 14 (15) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP CỘNG DÙNG TRONG THỦ THUẬT MÁY TÍNH CẦM TAY TRỢ GIÚP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Điều kiện sử dụng phương pháp: Bấm máy tính tìm ít nghiệm A,B phân biệt Nếu PT có chứa P (x ) thì giả sử biểu thức cần xuất có dạng: ,trong đó a,b,c là các số nguyên Do A,B là nghiệm biểu thức nên √ ax +bx+c− √ P( x ) aA +bA+c−√ P( A )=0(∗) aB +bB+c− √ P( B)=0 aB 2+bB+c + √ P (B )=0 Chú ý: Nếu B là nghiệm ngoại lai ta có (các bạn tự xử lí TH này) Trừ vế với vế ta được: a( A−B)( A+B )+b( A−B )= √ P( A )−√ P(B ) b= √ P( A )−√ P(B ) −( A+B )a A−B Suy Trường hợp 1: A + B=0 thì b= √ P( A )−√ P(B ) A−B √ P( A )−√ P(B ) Nhập biểu thức Từ (*) suy A−B bấm = máy giá trị b cần tìm c=√ P( A )−aA −bA Ta tìm a,c máy tính sau: Bấm MODE máy f(X)= ta nhập Máy Start? Ta bấm −9 √ P ( A )− XA 2−bA = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = 15 bấm = (16) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Suy a=X,c=F(X) Trường hợp 2: Do b= A + B≠0 √ P( A )−√ P(B ) −( A+B )a A−B nên ta tìm a,b máy tính sau: √ P( A )−√ P(B ) −( A+B ) X A−B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập biểu thức Máy Start? Ta bấm −9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Từ đó suy a=X,b=F(X) Từ PT(*) ta tìm Nhập biểu thức c=√ P( A )−aA −bA √ P ( A )−aA 2−bA bấm = máy giá trị c cần tìm Sau đây là các thí dụ Thí dụ Giải phương trình x + √ x +6 x −6 x −2 x −2 x−8 =1 x + 12 x −x+10 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với PT: √ P (x )+ x6−3 x 4−12 x 2+x−10=0(1) Với √ P (x )=√ x 6+6 x 4−6 x 3−2 x2−2 x−8 Nhập biểu thức vế trái(VT) PT(1) bấm SHIFT SOLVE 16 bấm = (17) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X =2, 25992105 Bấm nút mũi tên sang trái để quay lại VT(1) ta bấm = để lưu VT(1) Bấm ALPHA X SHIFT STO A để lưu nghiệm vào A Bấm nút mũi tên lên để VT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm -10 = máy cho ta nghiệm X =−2 ,25992105 Bấm SHIFT STO B Bấm máy A+B máy suy b= √ P( A )−√ P(B ) A−B √ P( A )−√ P(B ) A−B Nhập biểu thức Do b= -1 nên bấm = máy -1 Vậy b=-1 c=√ P( A )−aA −(−1) A Bấm MODE máy f(X)= ta nhập Máy Start? Ta bấm −9 =√ P( A )−aA + A √ P ( A )− A X + A bấm = = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=3 thì F(X)=1 nguyên Suy a=3,c=1 Biểu thức cần tìm là: √ x6 +6 x 4−6 x 3−2 x 2−2 x−8−(3 x 2−x+1) √ P (x )−(3 x 2−x+1 )+x 6−3 x −9 x2−9=0 PT(1) trở thành 2 P ( x )−(3 x −x+1) ⇔ +x −3 x −9 x2 −9=0 √ P( x )+3 x −x +1 x −3 x −9 x −9 ⇔ +x −3 x −9 x 2−9=0 √ P( x )+3 x −x+1 17 (18) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) ⇔[ +1 ]( x −3 x −9 x 2−9)=0 √ P( x )+3 x −x+1 ⇔ x −3 x −9 x −9=0 2 ⇔(x +3 x ) −(3 x +3) =0 ⇔ [( x +1)3 =−2 ¿ [¿ [( x−1) =2 ⇔ ( ( x+1 )3 +2 )( ( x− )3−2 ) =0 Vậy PT đã cho có nghiệm 2 ⇔(x +3 x +3 x +3 )( x −3 x +3 x−3 )=0 ⇔ x=±(1+ √2 ) x=±(1+ √ ) Thí dụ Giải phương trình x −x+ 4−√ x + x +7 x +5 x +2 x−1 x + √ x + x −x +10 x −12 x +7 =1 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với PT: √ P (x )+ √Q( x )=3 x2−x+4 (1) √ P (x )=√ x +x 4−x 3+10 x 2−12 x+7 Với √ Q( x )=√ x +4 x 4+7 x 3+5 x 2+2 x−1 Tìm và lưu các nghiệm thí dụ ta nghiệm là A=0,793700526 Ta có Có ; B=−1 , 25992105 A +B=−0 , 4662205239≠0 b= √ P( A )−√ P(B ) −( A+B )a A−B nên ta tìm a,b sau: √ P( A )−√ P(B ) −( A+B ) X Bấm MODE máy f(X)= ta nhập Máy Start? Ta bấm −9 A−B = 18 bấm = (19) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy F(X)=-2 X=1 c=√ P( A )− A2 +2 A Suy a=1,b= -2 Khi này √ P ( A )− A 2+2 A Nhập biểu thức bấm = máy số Ta c=3 Biểu thức cần tìm là √ P (x )−( x 2−2 x+3 ) Tương tự biểu thức cần tìm là √ P (x )−( x 2−2 x+3 )+√ Q( x)−(2 x 2+x+1)=0 PT(1) trở thành ⇔ √ Q( x)−(2 x 2+x+1) 2 P ( x )−(x −2 x+3 ) Q (x )−(2 x + x +1) + =0 2 P( x )+x −2 x +3 Q( x )+2 x + x +1 √ √ 6 x +3 x −2 x +3 x −2 ⇔ + =0 √ P( x )+x −2 x+3 √Q (x )+2 x 2+x +1 ⇔(x +2)(2 x3 −1 )[ 3 1 + ]=0 √ P (x )+ x −2 x+3 √ Q( x )+2 x +x +1 ⇔(x +2)(2 x −1 )=0 ⇔ [ x=−√ ¿ [¿ [ x= Vậy phương trình có nghiệm √ x=−√ Vấn đề đặt là liệu với biểu thức dạng ; x= √ P (x ) √ có nào có nhiều lựa chọn biểu thức ax +bx +c− √ P( x) hay không.Ví dụ sau làm sáng tỏ điều này Thí dụ Giải phương trình 19 (20) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) x −2 x +x −2 x−3 =1 √12 x3 +24 x 2+4 x+6+√ 12 x 3+51 x 2+6 Lời giải Phương trình đã cho tương đương với PT: x −2 x3 +x 2−2 x−3−√ P ( x)−√ Q( x)=0 (1) Với √ P (x )=√ 12 x 3+24 x 2+4 x+6 và √ Q( x)=√ 12 x 3+51 x 2+6 Tìm và lưu các nghiệm ta nghiệm là A=3 , 449489743 Bấm máy tính có ; B=−1 ,449489743 A + B=2≠0 ; AB=−5 (Theo Định lí Vi-ét thì PT có nhân tử là Có b= √ x −2 x−5 ) P( A )−√ P(B ) −( A+B )a A−B nên ta tìm a,b sau: √ P( A )−√ P(B ) −( A+B ) X A−B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập biểu thức Máy Start? Ta bấm −9 bấm = = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy tất các giá trị F(X) nguyên Vì ta chọn cặp là X=2;F(X)= Suy a=2,b=1 Nhập biểu thức Suy ⇒ c=√ P( A )−2 A2− A √ P ( A )−2 A 2− A x + x+1−√ P( x ) Tương tự ta chọn bấm = máy số 1.Ta c=1 là biểu thức cần tìm x2 −x+1− √Q( x) là biểu thức cần tìm 20 (21) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Phương trình(1) tương đương với PT: x + x+1−√ P( x )+3 x −x+1−√ Q( x )+x −2 x3 −4 x 2−2 x−5=0 2 2 ⇔2 x +x+1−√ P( x )+3 x −x+1−√ Q( x )+( x −2 x −5)( x +1 )=0 x +1 x +1 ⇔(x −2 x−5) + +x +1 =0 2 x +x+1+ √ P( x ) x −x+1+ √Q( x ) ( ) ⇔ x=1± √6 ⇔ x −2 x−5=0 Vậy phương trình có nghiệm x=1± √ Chọn cặp biểu thức khác chẳng hạn giải PT theo cách nhân liên hợp x +3 x+6− √ P( x) ; x2 −x+1− √Q( x) ta Chú ý: +Việc chọn biểu thức thí dụ là tùy ý hay cần chọn hợp lí để ta dùng cách nhân liên hợp Xin dành cho người tìm hiểu điều này + Một số phương trình ta có thể tìm biểu thức phức tạp chẳng hạn √ P (x )−( ax 3+bx +cx+d ) và có thể giải theo cách bài viết đã nêu điều kiện nghiệm PT ta tìm nhiều hơn(kể nghiệm ngoại lai hay nghiệm bội) Bài tập Giải phương trình 1) x + √ 24 x + x + x−1 =1 x + x −9 x +9 2) x +9 x +5 x −5 =3 x3 x + √ x + x +12 x +7 x −4 3) 4) x +4 x+ √ 18 x +4 x +12 x+2 x +10 x +4− √6 x −2 x +6 x−1 =1 x +7 x −3−√ x +16 x +9 x +6 x −5 x+20+ √16 x +49 x +26 x+21 =1 21 (22) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 5) x −x+5−√ x −4 x +6 x −12 x+5 6) x −3 x+3−√ x +x +8 x 2−8 x −17 x +1+ √ x +4 x −11 x +2 x −15 x + √ x6 +4 x +5 x −2 x−20 =1 =1 2 x +8 x −4 x + x−14 7) =−1 1+ √ x +7 x −2 x −3 x2 −2 x−8 8) x2 −3 x+ 4−√ x + x +8 x 2−8 x +8 1+ √ x + x +5 x −2 x +5 =1 x −3 x + 24 x + x −8 x+2 9) =x 5+ √ x +33 x −4 x +8 x −8 x +3 10) x +3 x +6−√ x8 +4 x5 + x + 12 x +16 x 1+ √ x +4 x + x + x +2 x−15 =1 x +2 x 5−6 x +18 x +4 x−16 11) =2 x √ x +4 x 5−7 x +18 x +3 x2 +2 x−15 12) −6 x −15 x −18 x −9 x +11 x +x +1 x + √ x +6 x5 +19 x +22 x +14 x +2 x−8 22 =1 (23)