skkn 2013 2014

Trong đại số lớp 7 đã có một vài định lí được chứng minh như “tính chất của dãy tỉ số bằng nhau” – đại số 7 trang 29, tập 1, nhưng các định lí này khá cụ thể, học sinh dễ thấy ý nghĩa và[r]

SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí PHẦN I MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Cùng với việc dạy học các khái niệm, việc dạy học các định lí toán học có vị trí then chốt môn, vì nó cung cấp vốn kiến thức cho học sinh, qua đó giáo dục rèn luyện người theo mục đích môn việc dạy học các định lí trường THCS phải nhằm đạt các yêu cầu sau đây: 1) Làm cho học sinh thấy nhu cầu phải chứng minh, thấy cần thiết phải suy luận chính xác, chứng minh chặt chẽ ( với mức độ thích hợp) 2) Phát triển lực suy luận và chứng minh, từ chổ hiểu trình bày lại chứng minh đơn giản, đến chổ biết cách suy nghĩ để tìm chứng minh định lí ngày càng phức tạp, giúp học sinh nắmđược nội dung định lí, điểm mấu chốt, chứng minh, tránh việc thu nhận các định lí cách hình thức 3) Làm cho học sinh nắm hệ thống các định lí, mối liên hệ định lí này và định lí khác; từ đó có khả vận dụng các định lí vào việc giải các bài tập và giải các vấn đề thực tế Trên dây là nhu cầu và cần thiết dạy các định lí toán học vì tôi định chọn đề tài này để nghiên cứu II THỰC TRẠNG: Trong quá trình dạy và học, truyền đạt và tiếp thu dạy và học các định lí thầy và trò còn hạn chế Tôi thấy các em còn lúng túng sợ sệt gặp phải bài chứng minh Các em thường né tránh chứng minh cách vụng về, không tìm phương hướng để chứng minh dẫn đến bế tắc dẫn đến học sinh không thích học hình không thích học các bài toán chứng minh, cho nên các định lí thường học cách áp đặt dẫn đến không nhớ lâu Đó là tình trạng thường gặp các học sinh trung học sở Vì qua bài viết này tôi hy vọng nó có thể giúp ích phần nào cho các đồng nghiệp mình quá trình giảng dạy các nội dung định lí PHẦN II NỘI DUNG I LÀM CHO HỌC SINH THẤY SỰ CẦN THIẾT PHẢI CHỨNG MINH: 1.Để phát huy tính tự giác và tích cực học sinh việc học tập các định lí, điều đầu tiên là, phải làm cho các em nhận thức rõ cần thiết phải chứng minh các định lí đó Yêu cầu này đặt rõ học sinh bắt đầu học hình học Trong đại số lớp đã có vài định lí chứng minh( “tính chất dãy tỉ số nhau” – đại số trang 29, tập 1), các định lí này khá cụ thể, học sinh dễ thấy ý nghĩa và tác dụng nó, nên ít boăn khăn cách suy luận để đến định lí đó Trái lại học hình học, học sinh gặp việc chứng minh nhiều định lí mà đúng đắn chúng các em là “hiển hiên”, “còn chứng minh làm gì nữa?” Một hôm tôi đã nghe hai học sinh nói chuyện với nhau: “Hôm cô giáo mang lên lớp hai tam giác nhau, cái màu xanh, cái màu đỏ, loay hoay lúc trên bảng để nói hai tam giác nhau” Một tình tương tự xét bài tập sau đây: Chứng minh định lí: “ Hai đường thẳng xx’ và yy’ cắt O và góc xOy Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí vuông thì các góc yOx’,x’Oy’, y’Ox là góc vuông.” ( Hình học 7, chương 1, bài 53 trang 102) Đây là bài tập sách giáo khoa, yêu cầu học sinh điền vào chỗ trống sau:   1)xOy  x'Oy 1800  vì   2)900  x'Oy 1800 (theo Gt và vào )  3)x'Oy = 90 (căn vào )  4) x'Oy'  x'Oy'  = xOy (vì ) 5) = 900 ( vào )  6) y'Ox  = x'Oy (vì ) y x' x y'  7) y'Ox = 900 (căn vào ) Chúng tôi đã cho số học sinh làm lại bài tập này ( viết lại chứng minh định lí), hôm sau giáo viên đã cho các em làm và sửa bài tập trên lớp Nhưng tỉ lệ làm thấp Khi trao đổi riêng nhiều em vào hình vẽ và nói: “góc xOy 900 thì góc x’Oy kề bù với nó thì phải 900, còn lại là các góc đối đỉnh, sách phải nói vòng vòng” Nhưng các em chưa hiểu hết chứng minh là phải có và phải có lập luận chặt chẽ Có thể thấy chương trình sách giáo khoa chúng ta có điều bất hợp lí là yêu cầu chứng minh hình học quá chặt chẽ từ lớp 7; học sinh chưa thể thấy cần thiết phải chứng minh và đó công việc giáo viên đây khó khăn, nhiều trường hợp là bất lực! Xuất phát từ yêu cầu thực tế và biệp pháp giúp học sinh thấy cần thiết phải chứng minh Ví dụ, trước chứng minh định lí trường hợp “góc – cạnh – góc” (g.c.g) hai tam giác, có thể cho học sinh bài tập thực tế: A D C B E Đứng từ điểm B bên này bờ sông muốn đo khoảng cách từ B đến A bên bờ sông Người ta có thể làm sau: Lấy điểm C, D cho C,D,B thẳng   hàng và DC = CB; Kẻ DM cho CDM=CBA , trên lấy E cho A, C, E thẳng hàng DE = AB Vì có thể kết luận vậy? Phân tích để học sinh thấy đây hai tam giác ABC và EDC có BC=DC;     C D=B ; =C2 ; để có thể kết luận DE = AB ta tìm cách chứng minh hai tam giác ABC và tam giác EDC Đối với số định lí, nên làm cho học sinh thấy cần thiết phải chứng minh để có kết luận chính xác, tổng quát, thay cho việc tính toán hay đo đạc trường hợp cụ thể Ví dụ: Trước chứng minh định lí tổng các góc tam giác, có Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí giáo viên cho học sinh vẽ tam giác tùy ý, đo các góc tam giác cộng lại sau học sinh cho các kết quả: 1780, 1810, 1800, 1790, giáo viên cho học sinh thấy rằng: các kết gần với nhau, kết đúng là 1800 ; ta cần chứng minh điều này để không cần thiết phải đo trường hợp cụ thể, mà có kết chính xác Việc chọn ví dụ và vẽ hình giúp học sinh thấy cần thiết phải chứng minh Chẳng hạn, để chứng minh rằng: “ góc ngoài tam giác lớn góc không kề với nó” , ta vẽ hình với góc C là tù (hình a), thì học sinh có thể cho có gì cần phải chứng minh đâu, vì góc tù lớn góc nhọn ( góc A và góc B là hai góc nhọn) Vì phải vẽ hình góc ngoài là góc nhọn (hình b); lúc đó việc góc ngoài C lớn góc A và góc B không phải là điều hiển nhiên A A B B C C b) a) Để giúp học sinh thấy cần thiết phải chứng minh, ,không phải dựa vào đúng đắn hình vẽ thông qua mắt nhìn, nên cho học sinh thấy đôi hình vẽ “đánh lừa” mắt ta, là cho ta đánh giá nhiều vấn đề sai thật Các ảo ảnh hình học, sau đây là số ví dụ có tác dụng tốt mặt này Y X Z Đoạn thẳng nào dài hơn: XY hay YZ? AB hay CD? Các đường nằm ngang có song song không? Có phải đường tròn không? Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí Đâu là hình vuông? II NÊU RÕ NỘI DUNG CỦA ĐỊNH LÍ: Một yêu cầu quan trọng việc dạy học các định lí là làm cho học sinh nắm vững nội dung định lí: - Giả thiết định lí là gì? (cái gì đã cho?) - Kết luận định lí là gì ? (cái gì phải chứng minh?) Học sinh phải tập cho quen dùng kí hiệu để ghi vắn tắt nội dung định lí giúp cho việc chứng minh định lí và sử dụng định lí dễ dàng Ghi vắn tắt , đầy đủ và chính xác Ví dụ: Định lí đường trung bình tam giác lớp ( đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba và nửa cạnh ấy), học sinh phải viết được: GT ABC DA = DB (D  AB) EA = EC (E  AC) KL BC DE//BC và DE = Khi ghi giả thiết, không ghi “DE là đường trung bình tam giác”, mà nên ghi cụ thể trên ( theo định nghĩa đường trung bình tam giác), dễ cho việc sử dụng chứng minh và nên ghi rõ “D  AB”, “E  AC” Phải tập cho học sinh phân tích các ý định lí: Ví dụ: Đối với định lí: “ Những số tận cùng thì chia hết cho và các số đó chia hết cho 5” ( toán tập 1), học sinh phải nắm ý: - Tất các số tận cùng chia hết cho - Tất các số tận cùng chia hết cho - Tất các số khác, không tận cùng mà không tận cùng 5, không chia hết cho Học sinh cần chú ý các từ “hoặc” và “chỉ” Đối với định lí: “Nếu hai góc có cạnh tương ứng song song thì: a) Chúng hai nhọn tù; b) Chúng bù góc nhọn, góc tù” học sinh phải biết tách thành ba phần: - Hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song thì nhau; - Hai góc tù có cạnh tương ứng song song thì nhau; - Một góc nhọn và góc tù có cạnh tương ứng song song thì bù Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí Không yêu cầu học sinh phải học thuộc lòng nguyên văn cách phát biểu định lí sách giáo khoa Nên khuyến khích học sinh, trên sở nắm các ý định lí, nắm nội dung giả thiết và kết luận, phát biểu định lí khác chút ít với cách phát biểu sách giáo khoa ( dù có thể dài) nhằm chống lối học vẹt và phát triển học sinh lực diễn đạt độc lập ý nghĩ mình Ví dụ: định lí dấu hiệu chia hết cho 9: “Những số mà tổng các chữ số chia hết cho thì chia hết cho và số đó chia hết cho 9” (toán tập 1) học sinh có thể phát biểu theo nhiều cách khác, chẳng hạn như: - Tất các số có tổng các chữ số chia hết cho chia hết cho và tất các số khác thì không chia hết cho - Nếu số có tổng các chữ số chia hết cho thì nó chia hết cho và ngược lại, số chia hết cho thì nó có tổng các chữ số chia hết cho - Một số chia hết cho nó có tổng các chữ số chia hết cho và không chia hết cho nó có tổng các chữ số không chia hết cho Sau đây là vài cách phát biểu khác số định lí hình học 7: - “Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia”, “Nếu hai đường thẳng song song với thì đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này vuông góc với đường thẳng kia.” - Trong tam giác trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh thì tam giác đó là tam giác vuông.”, “Một tam giác ,có trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh thì đó là tam giác vuông.”, “Một tam giác là vuông nó có trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh ấy” Mặt khác cần cho học sinh phân tích sai lầm, thiếu sót phát biểu định lí như: “Góc ngoài tam giác tổng hai góc nó:, “Hai góc có cạnh tương ứng song song thì nhau”, “Trong tam giác cân, Phân giác đồng thời là đường cao và trung tuyến” III DẠY HỌC CHỨNG MINH ĐỊNH LÍ: Ta biết phép chứng minh mệnh đề T là dãy mệnh đề: T1T2 TN – 1TNT (*) ( T là mệnh đề cuối cùng dãy), đó m,ệnh đề T i (i = 1, ,n) là tiền đề, giả thiết, định lí đã biết ( đã chứng minh) là mệnh đề suy từ mệnh đề đứng trước nó (trong dãy) quy tắc suy luận Ta gọi mệnh đề Tk (1 < k ≤ n) dãy (*) mà không phải là tiên đề, giả thiết định lí đã biết là mệnh đề trung gian đề chứng minh T( không có mệnh đề trung gian nào thì phép chứng minh có khâu) Nhiều công trình nghiên cứu cho thấy học sinh trung học sở, là học sinh đầu cấp, có thể hiểu chứng minh đơn giản, theo nghĩa là : - Dãy (*) gồm ít mệnh đề, không có có mệnh đề trung gian (nói cách khác, phép chứng minh gồm hai khâu) - Mệnh đề trung gian và T suy chứng minh trực tiếp (không phải là chứng minh gián tiếp, chứng minh phản chứng) Học sinh thường gặp khó khăn, có đến mức không khắc phục nổi, với chứng minh mà dãy (*) gồm nhiều mệnh đề trung gian (có nhiều khâu), và với phép chứng minh phản chứng Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí để giúp học sinh hiểu và biết chứng minh, nên trình bày (và yêu cầu học sinh trình bày lại) các chứng minh thành dãy các mệnh đề (*), mệnh đề có ghi chú rõ đâu mà có (căn cứ) Ví dụ : chứng minh đẳng thức : (a + b)2 = a2 +2ab + b2 Mênh đề Căn 1.(a + b) = (a+b).(a+b) theo định nghĩa lũy thừa =a.(a+b)+b(a+b) theo luật phân phối phép nhân phép cộng =aa + ab + ba + bb theo luật phân phối phép nhân phép cộng =aa + ab + ab + bb theo luật giao hoán phép nhân =aa + 2ab + bb theo định nghĩa hệ số 2 =a + 2ab + b theo định nghĩa lũy thừa Ví dụ 2: Chứng minh định lí “Trong hình thang cân hai đường chéo nhau” A B GT: AB//CD, ADC = BCD KL: AC = BD C D Chứng minh: Mênh đề AD = BC Căn theo định lí đã biết (trong hình thang cân hai cạnh bên nhau) giả thiết hiển nhiên từ 1,2,3 và trường hợp (c.g.c) hai tam giác từ (hai cạnh tương ứng hai tam giác nhau) ADC = BCD 3.CD = CD ADC = BCD 5.AC = BD Chứng minh định lí trên còn có thể trình bày cách khác: (1) AD = BC (định lí đã biết) (2) ADC = BCD (giả thiết) (3) CD = CD (hiển nhiên) Từ (1), (2) và (3) => ADC = BCD (c.g.c) => AC = BD Ví dụ 3: Chứng minh định lí: “Đường trung bình hình thang song song với hai đáy và có độ dài nửa tổng độ dài hai đáy” Trong sách giáo khoa hình học trang 79 định lí chứng minh sau: GT Hình thang ABCD A B (AB//CD) Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang E Năm F học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí KL AE = ED, BF = FC EF//AB, EF//CD Chứng minh: Gọi K là giao điểm các đường thẳng AF và DC FBA và FCK có: Fˆ1 =Fˆ2 (đối đỉnh) BF = CF (giả thiết) B̂=Cˆ (so le trong,AB//DK) Do đó FBA = FCK (g.c.g), suy AF = FK và AB = CK E là trung điểm AD, F là trung điểm AK nên EF là đường trung bình ADK, suy EF//DK (tức EF//CD và EF//AB) và EF= DK DC+AB Mặt khác DK = DC + CK = DC + AB Do đó EF= Cách trình bày này ngắn gọn ( sách giáo khoa có thể là cần thiết), giáo viên giảng nguyên thì nhiều học sinh không hiểu được: “EF là đường trung bình tam giác ADK” suy từ đâu? Từ AF = FK và AB = CK? còn DK = DC + CK hay DK = DC + AB là đâu? Vì giáo viên cần giảng giải cách chứng minh kỹ hơn, chẳng hạn như:   AB // CD (gt) => FBA=FCE BF = CF (giả thiết ) Fˆ1 =Fˆ2 (đối đỉnh) Từ (1), (2) và (3) => FBA = FCK (g.c.g) => AF = FK (4) và AB = CK (1) (2) (3) (5) Từ EA = ED (gt) và(4) => EF//DK (//AB) và EF= DK (6) Từ (5)=>DK = AB + CD (7) DC+AB Từ (6) và (7) => EF= (đpcm) Cách trình bày này có vẻ dài nó giúp học sinh thấy rõ kết luận, mối liên hệ mệnh đề này với mệnh đề khác chứng minh Điều này càng thể trực qua ta dùng sơ đồ sau: AB//CD   FBA=FCE , FB=FC ˆ ˆ (gt) F1 =F2 (đối đỉnh) FBA = FCK (g.c.g) Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí  EA=ED (gt) AF = FK EF//DK (//CD) AB = CK EF= DK EF= DK = CD + AB AB  CD Trong số học, có nhiều định lí công nhận, không chứng minh Ví dụ định lí : “Nếu hai số a và b chia hết cho m (m ≠ 0) thì tổng a + b chia hết cho m (toán tập 1) Bên cạnh đó, có số định lí coi chứng minh cách suy luận trên ví dụ tiêu biểu Chẳng hạn các định lí dấu hiệu chia hết ch 2,5,9,3 (toán tập 1) giải thích trên ví dụ cụ thể; lập luận trên số cụ thể đó có thể áp dụng cho bất kì số nào có tính chất tương tự Khi dạy học các định lí này, nên cho học sinh lập luận trên số cụ thể, khác với số sách giáo khoa Đối với học sinh khá giỏi, có thể cho các em chứng minh tổng quát Điều quan trọng là giúp học sinh hiểu ý chính chứng minh, vì phải chứng minh mệnh đề trung gian này, vì phải vẽ thêm đường này, vì phải biến đổi biểu thức nào đó dạng khác v.v Trong nhiều trường hợp, có thể áp dụng phương pháp tìm tòi việc dạy học định lí Chú ý yêu cầu phải trình bày gọn, theo khuôn khổ có hạn sách, sách giáo khoa thường không thể giải thích ý chính chứng minh được; điều này phải giáo viên quan tâm thực thường xuyên Khi dạy định lí : “Tổng số đo ba góc của tam giác 180 0” cần hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ và thấy rằng: để chứng minh định lí, ta phải vẽ góc tổng ba góc tam giác Điều hợp lí là giữ nguyên góc đã có sẵn (góc C chẳng hạn) và vẽ hai góc kề với góc C (một góc chung cạnh CA, góc chung cạnh CB với góc C) hai góc A và B A A M C B D C B b) a) Để vẽ góc góc A và kề với góc C, ta có thể vẽ tia CD cho góc ACD góc A lúc đó CD//AB Do CD//AB nên để vẽ tiếp góc kề với góc C (có chung góc C cạnh BC) mà góc B, ta cần xét tia đối tia CD ( hình trên) Đó là ý chính chứng minh sách giáo khoa (hình học 7) Việc lấy trung điểm M cạnh AC, lấy điểm D trên tia BM cho M là trung điểm BD (hình b) là cách để dựng góc ACD kề với góc C và góc A Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí Ta có thể vẽ hai góc kề với góc C và góc A, góc B theo cách khác từ C vẽ đường thẳng song song với AB (hình sau) A B A C C B a) b) Công tác thực hành thí nghiệm có thể giúp gợi ý cách chứng minh định lí Trong ví dụ trên đây tổng các góc tam giác, trước chứng minh ta cho học sinh kiểm nghiệm định lí sau: Từ hình tam giác ABC bìa các em cắt các góc B và C ghép kề lại với góc A hình b, từ đó các em nhận xét A ta có góc bẹt Cách kiểm nghiệm này gợi cách chứng minh định lí: Từ A vẽ đường thẳng song song với BC Trên đây là ví dụ cách dẫn dắt học sinh hiểu lí vẽ các đường phụ chứng minh định lí Điều này có thể làm nhiều trường hợp Sau đây là hai ví dụ khác Xét dịnh lí: “ Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba và nửa cạnh (chương hình học 8, tập 1) Để chứng minh định lí này sách giáo khoa đã chứng minh sau: GT ABC,AD=DB, AE=EC KL A BC DE//BC, DE= D E B F C Chứng minh: Vẽ điểm F cho E là trung điểm DF AED = CEF(c.g.c, học sinh tự chứng minh) ˆ ˆ AD = CF và A=C1 Ta có AD = DB (gt) và AD = CF nên DB = CF ˆ ˆ Ta có A=C1 , hai góc này vị trí so le nên AD // CF, tức BD//CF, đó DBCF là hình thang Hình thang DBCF có hai đáy BD và CF nên hai cạnh bên DF, BC song song và 1 DE= DF  BC 2 Do đó DE//BC, Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí Có lẽ môn hình học trung học sở không có định lí nào khó chứng minh học sinh là định lí tính chất ba đường trung tuyến tam giác: “Ba trung tuyến tam giác cùng qua điểm”(hình học tập 2) Học sinh không hình dung (kể học sinh giỏi) việc chứng minh mệnh 2 GA= AMvàGB= BN 3 đề trung gian: hai trung tuyến AM và BN cắt G với Có lẻ nên phát biểu định lí dạng: “Ba trung tuyến tam giác cùng qua điểm Điểm này cách đỉnh khoảng trung tuyến qua đỉnh ấy” Cách phát biểu này thống cách phát biểu các định lí tính chất các phân giác và đường trung trực tam giác, đặt luôn cho học sinh điều cụ thể 2 GA= AMvàGB= BN 3 phải chứng minh Để chứng minh hay AG= 2GM và BG = 2GN, điều dễ hiểu là ta lấy trung điểm I AG và trung điểm K BG và thêm đoạn thẳng IK A I L G K B M N C Kí hiệu và hình vẽ là công cụ đắc lực giúp cho việc chứng minh, có thể làm cho học sinh hiểu vấn đề cách hình thức, không nắm ý chính chứng minh Sau đây là ví dụ khá tiêu biểu mà giáo viên dễ kiểm tra lại Ta hãy chú ý đến định lí : “Trong hình thang cân hai cạnh bên nhau”.(chương 1, hình học 8, tập 2) a b c d Khi dạy học các định lí, phải chú ý thay đổi các kí hiệu, các hình vẽ , tập cho học sinh có thói quen học các định lí thì tự mình chứng minh lại với kí hiệu và hình vẽ khác sách giáo khoa Phép chứng minh phản chứng là vấn đề quá khó học sinh ,đặc biệt là cấu trúc giáo trình hình học, nhiều định lí chứng minh phản chứng từ lớp Thực từ tiểu học, học sinh đã gặp vài bài toán giải phương pháp phản chứng, ví dụ các bài toán điền số (các lâp luận như: “ không thể 5, vì a thì vô lí”) bài toán đơn giản sau đây: “Bạn An có 15 hòn bi xanh, đỏ, vàng; số bi đỏ gấp lần số bi vàng Hỏi bạn Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí An có bao nhiêu bi màu?” Giải: số bi vàng không thể là vì có hai bi vàng thì có 2.7 = 14 bi đỏ và tổng số bi nhiều 15 Vậy có bi vàng từ đó có bi đỏ và 15 – – = bi xanh Những bài tập loại này khó học sinh tiểu học nói chung, các em còn có thể nhận thức vì nó gắn với đối tượng khá cụ thể Nhưng bắt đầu học hình học có hệ thống lớp và sau học “chứng minh định lí” ( chương 1, hình học 7), học sinh đã gặp lập luận như: “Đó là điều trái với kết luận bài toán” “do đó giả sử a và b có điểm chung thì chúng ta đến kết luận (1) và (2) mâu thuẫn với Vậy a và b không có điểm chung nào Đó là điều phải chứng minh” Để chứng minh các định lí này, không có cách trình bày nào khác, đó ,là điều khó tránh muốn dạy giáo trình hình học có hệ thống và tương đối chặt chẽ, đó là điều mà phần đông học sinh không thể hình dung Vài biện pháp sau đây có thể giúp học sinh khắc phục phần nào khó khăn này: + cho học sinh giải các bài toán số học trên đây, với yêu cầu chứng minh “chỉ có hòn bi vàng” Hướng dẫn để học sinh thấy có thể lập luận sau: Giả sử có hòn bi vàng là sai, tức là có ít hòn bi vàng Nếu có bi vàng thì phải có 2.7 = 14 bi đỏ… và tổng số bi lớn 15, trái với giả thiết bài toán Từ đó chuyển qua chứng minh định lí hình học phản chứng + Trước phép chứng minh phản chứng, cần nêu thật rõ ý chứng minh, vạch rõ điều mà ta “giả sử là sai” là gì và từ đó suy điều gì (trái với giả thiết, trái với định lí đã biết,…) + Đối với số định lí, quy chứng minh mệnh đề phản đảo mệnh đã cho (điều này có thể dễ hiểu học sinh hơn) trên sở hướng dẫn học sinh hiểu ý chính chứng minh các định lí, nên khuyến khích học sinh tìm cách chứng minh khác với chứng minh sách giáo khoa; có thái độ trân trọng chứng minh dài hơn, phức tạp Ví dụ có học sinh nêu cách chứng minh định lí: “Đường thẳng nối trung điểm hai đáy hình thang cân là trục đối xứng nó” (chương 1, hình học 8) Trước hết ta dễ thấy đường trung tuyến (cũng là đường phân giác, đường cao) xuất phát từ đỉnh tam giác cân là trục đối xứng tam giác Để sử dụng kết này, ta kéo dài hai cạnh bên hình thang cân ABCD, gặp E ˆ ˆ Tam giác ECD cân ( C=D ) nên trung tuyến EK là trục đối xứng tam giác ˆ ˆ ) nên trung tuyến EH là trục đối xứng ECD Tam giác EAB cân ( A=B tam giác EAB Suy EH trùng với EK và EHK là trục đối xứng hình thang cân ABCD Rõ ràng đây là cách chứng minh hay ( còn phải xét thêm trường hợp AB // CD) Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí E A B H D C K Đối với định lí đường trung bình hình thang, học sinh có thể nghĩ đến việc kẻ đường phụ các hình sau đó hai cách b và c có thể chưa hợp lí, có thể dung làm bài tập bổ ích cho lớp A D B A B C C D a) B A C D c) b) Đối với định lí tứ giác nội tiếp( “Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối 1800”, chương 2, hình học 9), học sinh có thể nghĩ nhiều cách chứng minh khác: (1) không cần vẽ các bán kính OB, OD (hình a), mà đựa và định lí đã biết (số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn) để nói     ˆ sdBCD và sd C= ˆ sdDAB , mà BCD+DAB=360 sd A= 2 (2) Kẻ tiếp tuyến đường tròn từ A (hình b) và kẻ CA (3) kẻ CA và BD (hình c),… Mỗi cách làm xuất phát từ ý tưởng ( tạo góc 2v, đưa tính tổng các góc tam giác…) A B A B B A O D C D C a) b) D C c) IV.DẠY HỌC HỆ THỐNG HÓA CÁC ĐỊNH LÍ: Cũng việc giảng dạy các khái niệm, việc giảng dạy các định lí phải nhằm giúp học sinh nắm hệ thống kiến thức Đối với định lí, cố gắng nêu lên mối liên hệ với các định lí đã học, định lí này đã chứng minh dựa vào định lí nào; nó có thể dùng để chứng minh cách khác định lí nào đã biết; nó là mở rộng hay là trường hợp đặc biệt định lí khác… cần giúp học sinh hệ thống hóa các định lí sau phần, chương, nêu rõ mối liên hệ các định lí, vị trí, tác dụng định lí… Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí Sau đây là ví dụ hệ thống hóa các định lí chương hình học 8: Ôn tập chương I – Tứ giác (hình học lớp 8) I-Mối quan hệ tập hợp các hình: Tứ giác – hình thang (T) – hình thang cân (Tc) – hình bình hành (B) – hình chữ nhật (C) – hình thoi (Th) – hình vuông (V) có thể minh họa qua sơ đồ sau: B T V C Th Ta thấy: - Tập hợp V các hình vuông là tập hợp tập hợp Th các hình thoi ( V  Th ), đồng thời V là tập hợp tập hợp C các hình chữ nhật ( V  C ), nghĩa là V là giao hai tập hợp Th và C ( V=Th  C ) Do đó hình vuông có tính chất hình thoi và tính chất hình chữ nhật - C là tập hợp tập hợp B các hình bình hành ( C  B ), đó hình chữ nhật có tất tính chất hình bình hành và hình thang cân - Th là tập hợp B ( Th  B ), nên hình thoi có tính chất hình bình hành - v.v… II-Tóm tắt tính chất các hình tứ giác: Tính chất cạnh: + Hình thang ABCD  AB//CD AD//BC + Hình bình hành ABCD  AB//CD và AD//BC  AB = CD và AD = BC  AB//CD và AB = CD + Hình thoi ABCD  AB = BC = CD = DA Tính chất góc: 0 ˆ ˆ ˆ ˆ + Hình thang ABCD  A+D=180 A+B=180 ˆ ˆ ˆ ˆ + Hình bình hành ABCD  A+B=A+D=180 ˆ ˆ ˆ ˆ + Hình chữ nhật ABCD  A=B=C=D=90 Tính chất đường chéo: + Hình thang ABCD cân AC = BD + Hình bình hành ABCD  OA = OC và OB = OD + Hình chữ nhật ABCD  OA = OC = OB = OD + Hình thoi ABCD  Oa = oc, OB = OD và AC  BD Tính chất đối xứng: + Hình bình hành tứ giác có tâm đối xứng + Hình thang cân  tứ giác có trục đối xứng + Hình chữ nhật  tứ giác có hai trục đối xứng Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí + Hình thoi  tứ giác có hai trục đối xứng + Hình vuông  tứ giác có bốn trục đối xứng PHẦN III KẾT LUẬN Trên đây tôi đã trình bày số vấn đề phương pháp dạy học định lí trường phổ thông trung học sở Đây là vấ đề mà theo tôi các giáo viên toán cần tìm hiểu kỹ trước giảng dạy vận dụng điều kiện thực tế Tôi cố gắng lấy ví dụ cụ thể (phần lớn từ sách giáo khoa chỉnh lí) để phân tích kinh nghiệm và làm rõ sở lí luận Tôi không giới thiệu xu hướng gần đây phương pháp dạy học toán gắn liền với tiến khoa học và công nghệ thông tin, đặc biệt là máy tính vì đó là vấn đề rộng và vô cùng phong phú Qua thời gian thực đề tài này tôi đã nhận thấy nhiều vấ đề hay và bổ ích cho việc dạy học các định lí toán học trường phổ thông trung học sở Hiểu rõ số định lí, đồng thời qua nghiên cứu mà tôi phát sai xót thường gặp học sinh từ đó rút kinh nghiệm cho việc dạy học Tôi hy vọng nội dung đề tài này là tài liệu tham khảo cho các bạn và các đồng nghiệp dạy học môn toán Tôi ý thức rõ đề cập đến phương pháp dạy học toán là đề cập đến lĩnh vực phong phú, luôn có vấn đề phải xem xét và tranh luận, khả còn hạn chế cho nên chắn không tránh khỏi thiếu xót Vì tôi mong nhận ý kiến nhận xét, đóng góp quý báu bạn đọc PHẦN V KIẾN NGHỊ I Trên đây là số đúc kết kinh nghiệm tôi qua nhiều năm giảng dạy, có thể nói đây là sáng kiến , kinh nghiệm nho nhỏ riêng tôi, tôi muốn bạn bè đồng nghiệp tham khảo, đóng góp, xây dựng để có phương pháp dạy học tốt nhất, đặc biệt môn toán THCS II -Tuy nhiên với khó khăn thời phương tiện thiết bị dạy học làm cho tiến trình dạy chưa đạt hiệu tốt - Hoàn cảnh học sinh học còn khó khăn, cho nên việc học toán các em có phần bị hạn chế - Thời gian tiết học là vấn đề mà giáo viên quan tâm vì phải tính toán cho đủ nội dung bài học tiết III Đề xuất: Qua thời gian ,nghiên cứu đề tài này tôi nhận thấy khả kiến thức học sinh học học các định lí còn hạn chế Các em mắc phải nhiều thiếu xót sai lầm chứng minh vì mà tôi có số đề xuất nhỏ: Nên chuyên sâu chủ đề này Cần có phương pháp dạy phù hợp Cần mở chuyên đề cho nội dung này HẾT …………………………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014 SKKN: Phương pháp dạy học chứng minh định lí Sách giáo khoa toán tập 1, tập 2 Sách giáo khoa toán tập 1, tập Sách giáo khoa toán tập 1, tập Sách giáo khoa toán tập 1, tập Sách giáo viên Sách bài giảng Sách chuẩn kiến thức kỹ Phương pháp dạy học toán học ( Hoàng Chúng) Số học bà chúa toán học ( Hoàng Chúng Giáo viên : Hoàng Thị Thùy Trang Năm học: 2013 – 2014