Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm K 2; 2 và tâm đường tròn nội tiếp là điểm I 0;1.. Ta chứng minh được: DB DI DC.[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN: TOÁN BẢNG B NGÀY 22.01.2016 Câu Cho hàm số y x (C) x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc đồ thi (C) cho tiếp tuyến d (C) điểm M thỏa điều kiện OM vuông góc với đường thẳng d Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm K 2; và tâm đường tròn nội tiếp là điểm I 0;1 Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết A 2; Câu Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Kí hiệu S XYZ là diện tích tam giác XYZ Chứng minh rằng: SOAB Giả sử SABC 2 SOBC SOCA S ABC k là số dương cố định Tìm thể tích lớn tứ diện OABC Câu Giải hệ phương trình x3 y x2 2x x y y4 x log 2 y5 y y4 y 0 Câu Cho a, b, c là số thực không âm có tổng Tìm GTLN biểu thức P a b b2 c c 2a Phương trình x y z 22 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương đó có bao nhiêu nghiệm thỏa đồng thời các điều kiện x 15, y 16 và z 17 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Cho hàm số y x (C) x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) Tìm điểm M thuộc đồ thi (C) cho tiếp tuyến d (C) điểm M thỏa điều kiện OM vuông góc với đường thẳng d Lời giải Đơn giản M thuộc (C) nên giả sử M x0 ; k1 x0 2 với x0 , hệ số góc OM là k Theo đề ta có: k1 k2 x0 x0 x0 x0 x0 Vậy ta có điểm M x0 Ta có hệ số góc d là: x0 x0 x0 1 x0 2x0 x0 x0 (2) Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là điểm K 2; và tâm đường tròn nội tiếp là điểm I 0;1 Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết A 2; Lời giải Ta có phương trình đường tròn C K,R KA : x 2 y 2 Đường thẳng d qua điểm AI có phương trình: 2x y Gọi D AI C D 2; Ta chứng minh được: DB DI DC 25 (1) * Suy ra: B, C nằm trên đường tròn C' D, DI Do đó: B, C là giao điểm (C) và (C’) 2 Phương trình (C’): x y 20 (2) Từ (1), (2) suy ra: B 6; ,C 2; C 6; , B 2; Chứng minh: DB DI DC * Ta có: A1 A2 , A2 B3 , B1 B2 I1 A1 B1 B2 B3 Suy tam giác BDI cân D Suy DB DI (3) Do A2 B3 , C1 A1 , A1 A2 nên C1 B3 suy tam giác BCD cân D hay DB DC (4) Từ (3),(4) ta có (*) Câu Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Kí hiệu S XYZ là diện tích tam giác XYZ Chứng minh rằng: SOAB SOBC SOCA S ABC (1) Giả sử SABC k là số dương cố định Tìm thể tích lớn tứ diện OABC Lời giải Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC Ta có: (3) OA.OB; SOBC SOAB OB.OC; SOCA Đẳng thức (1) thành: OA.OB OA2 OB2 OC2 OA BC2 OB.OC OB.OC OB.OC AH.BC BC2 AH2 OA 2 BC2 OH2 2SOBC OC.OA k ta có: 4k 2 OA.OB 4k OB.OC OA.OB.OC OA Vậy max V OC.OA OB 4k2 2 OH2 OA 2OB.OC OA.OB2 OC OA.OB.OC OA.OB.OC.3 OA.OB.OC OC OA.OB.OC 6V k 4k 27 k6 V 2187 V4 AH.BC (đpcm) OA.OB.OC Mà ta có: V VOABC Do đó: 6V3 6V 2 Vì tam giác OAH vuông O nên AH2 OA2 Với SABC AH.BC 2 AH.BC 2 OB.OC OB.OC 2 OC.OA; SABC k 4k 27 Câu Giải hệ phương trình x3 y x2 2x x y y4 x log 2 y y5 y4 y 1 Lời giải Từ (2) ta được: 2x x 2t t với t log 2 y , y Với hàm y 2t t luôn đồng biến, suy x y thay vào (1) ta được: 2y5 y4 2y3 9y2 14y y ,y 17 Câu Cho a, b, c là số thực không âm có tổng Tìm GTLN biểu thức P a b b2 c c 2a Lời giải Giả sử a max a, b,c Ta có: P a b a a abc c b ca 2 c c 2a a ab a a c b 2 bc c ca c2 a a c Dấu “=” xảy và c 0, b 1,a Vậy maxP c 0, b 1,a b c (4)