+Để xác định cường độ điện trường do mặt phẳng tích điện gây ra tại A cách mặt phẳng một khoảng h, ta chọn mặt kín S là một hình trụ biểu diễn bằng đường nét đứt trên hình vẽ có đường si[r]
(1)Chuyên đề 3: ĐIỆN THẾ VÀ HIỆU ĐIỆN THẾ - A-TÓM TẮT KIẾN THỨC I CÔNG CỦA LỰC ĐIỆN 1-Công lực điện: A = qEd (3.1) (d là độ dài hình chiếu đường lên đường sức bất kì) 2-Chú ý: Lực điện là lực nên công lực điện không phụ thuộc vào hình dạng đường mà phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối đường II ĐIỆN THẾ HIỆU ĐIỆN THẾ 1-Điện thế: Điện điểm M điện trường đặc trưng cho điện trường mặt dự trữ lượng và đo thương số công để đưa điện tích q từ điểm M xa vô cực và điện tích q: VM = A M q (3.2) 2-Hiệu điện thế: Hiệu điện hai điểm M và N điện trường đặc trưng cho khả thực công điện trường hai điểm đó và đo thương số công lực điện làm di chuyển điện tích q từ điểm M đến điểm N và độ lớn điện tích q: UMN = VM – VN = A MN q (3.3) 3-Điện gây các điện tích điểm -Điện gây điện tích điểm Q: V = k Q ε r (3.4) ( V = 0; r là khoảng cách từ điện tích điểm Q đến điểm ta xét) -Điện gây hệ điện tích điểm Q1, Q2, …: Gọi V1, V2,… là điện các điện tích Q1, Q2,… gây điểm M điện trường Điện toàn phần hệ điện tích trên gây M là: V = V1 + V2 + … = ΣVi (3.5) Hệ thức trên là nội dung nguyên lí chồng chất điện 4-Liên hệ cường độ điện trường và hiệu điện UMN = Ed (3.6) M, N là hai điểm trên cùng đường sức; E là cường độ điện trường điện trường đều; d là khoảng cách hai điểm dọc theo đường sức có hiệu điện là U M N E III THẾ NĂNG TĨNH ĐIỆN 1-Thế điện tích q: Thế điện tích q đặt điểm M điện trường đặc trưng cho khả sinh công điện trường đặt điện tích q M: Wt = qV (3.7) 2-Thế tương tác hệ điện tích q1, q2, … (2) (q1V1+q2V2+…) (3.8) IV VẬT DẪN CÂN BẰNG ĐIỆN Wt = 1-Điện trường vật dẫn: Điện trường vật dẫn cân điện có các đặc điểm sau: -Bên vật dẫn: E = -Trên mặt vật dẫn: Vectơ E vuông góc với mặt vật dẫn và E = Q (3.9) R (R là bán kính vật dẫn hình cầu) 3-Sự phân bố điện tích vật nhiễm điện: Khi vật dẫn bị nhiễm điện, điện tích phân bố 2-Điện vật dẫn: V = k không trên mặt ngoài vật dẫn V LƯỠNG CỰC ĐIỆN 1-Định nghĩa: Lưỡng cực điện là hệ hai điện tích có độ lớn trái dấu, đặt cách khoảng nhỏ so với khoảng cách từ lưỡng cực đến điểm ta xét 2-Đặc điểm -Điện trường gây lưỡng cực điện (hình a, b): ql +Tại điểm M nằm trên trung trực lưỡng cực điện: E M = -k (3.10) εr ( l là vectơ có độ dài từ -q đến +q; r là khoảng cách từ M đến lưỡng cực điện) 2ql +Tại điểm N nằm trên lưỡng cực điện: E N = -k (3.11) εr (r là khoảng cách từ N đến trung điểm lưỡng cực điện) -Điện gây lưỡng cực điện (hình c): VM = k qlcosθ r2 ( là góc OM và AB; r = OM) EM M M r r -q A (3.12) O Hình a +q B -q A r +q O B N -q A EN O Hình c Hình b -Thế lưỡng cực điện điện trường (hình d): Wt = -qlEcosα (3.13) (α là góc hợp hướng l (từ -q đến +q) và hướng E ) +q B E F +q B F -q A Hình d VI HIỆN TƯỢNG HƯỞNG ỨNG TĨNH ĐIỆN 1-Hiện tượng hưởng ứng toàn phần: Xảy toàn đường sức xuất phát từ vật này kết thúc vật (vật này bao kín vật kia), lúc đó điện tích hưởng ứng xuất có độ lớn điện tích vật gây tượng: |q’| = |q| (3) 2-Hiện tượng hưởng ứng phần: Xảy có phần đường sức xuất phát từ vật này kết thúc vật (vật này bao kín vật kia), lúc đó điện tích hưởng ứng xuất có độ lớn nhỏ điện tích vật gây tượng: |q’| < |q| - B-NHỮNG CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP VỀ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG k Q ) áp dụng cho ε r cầu tích điện phân bố với r là khoảng cách từ tâm cầu đến điểm ta xét -Công thức tính điện gây điện tích điểm (V = -Lực điện trường là lực nên công lực điện trường không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo di chuyển điện tích mà phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối quỹ đạo: A = qU -Mối quan hệ công lực ngoài A’ và công lực điện trường A: A’ = -A = -qU N M N’ VN = VN’ -Đối với vật dẫn cân điện cần chú ý: +Vật dẫn là vật đẳng thế: Các điểm bên và trên mặt vật dẫn có cùng điện +Điện tích phân bố mặt ngoài vật dẫn, tập trung chỗ lồi và nhọn -Thế tương tác hệ điện tích điểm: Với hệ gồm các điện tích điểm q1, q2, , hệ là: W= (Vi = 1 (q1V1+q2V2+ ) = Σq i Vi (i = 1, 2, , n) 2 kq1 kq + + là điện điểm đặt qi các điện tích khác hệ gây ra) εr1i εr2i +Trường hợp hệ điện tích: W = kq kq (q1V1+q2V2), với V1 = , V2 = εr21 εr12 +Trường hợp hệ điện tích: W = (q1V1+q2V2+q3V3) Với: V1 = kq kq kq kq kq kq , V2 = , V3 = εr21 εr31 εr12 εr32 εr13 εr23 VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Với dạng bài tập công lực điện tác dụng điện tích di chuyển, điện vào hiệu điện Phương pháp giải là: -Sử dụng các công thức: +Điện gây điện tích điểm Q: V = k Q ε r ( V = 0; r là khoảng cách từ điện tích điểm Q đến điểm ta xét) +Điện gây hệ điện tích điểm Q1, Q2, …: V = V1 + V2 + … = ΣVi (V1, V2,… là điện các điện tích Q1, Q2,… gây điểm ta xét) +Công lực điện trường: A = qU; công lực ngoài: A’ = -A -Một số chú ý: (4) +Lực điện là lực nên công nó không phụ thuộc vào dạng đường mà phụ thuộc vào các điểm đầu và cuối đường +Ta có thể viết: A = qU = q E (d là hình chiếu đường lên đường sức bất kì) d +Có thể kết hợp thêm định lí động năng: Wđ = A +Các số và đơn vị: Khối lượng và điện tích electron là me = 9,1.10-31kg, -e = -,16.1019 C; các đơn vị công, lượng: 1eV = 1,6.10-19J Với dạng bài tập vật dẫn cân điện Phương pháp giải là: -Sử dụng các đặc điểm vật dẫn cân điện: Q , R là bán kính vật dẫn hình cầu (thường gặp) R +Điện tích phân bố không mặt ngoài vật dẫn, tập trung các chỗ lồi và nhọn +Vật dẫn là vật đẳng và V = k +Điện trường bên vật dẫn: E = 0; điện trường trên mặt vật dẫn luôn vuông góc với mặt vật dẫn qua điểm đó -Sử dụng các công thức: +Định luật bảo toàn điện tích cho hệ cô lập điện: q = const hay qt = qs +Điện lượng dịch chuyển: q = |q – q’| (đối với vật) -Một số chú ý: Trên bề mặt vật dẫn luôn chịu tác dụng áp suất tĩnh điện: ε0E2 , ε0 = 8,85.10-12(C2/kg.m2): số điện; E: cường độ điện trường Với dạng bài tập mối liên hệ cường độ điện trường và hiệu điện Phương pháp giải là: -Sử dụng các công thức: p= +Với điện trường đều: E = U (d là khoảng cách hình chiếu trên đường sức hai điểm ta d xét) +Với điện trường không đều: Xác định mặt đẳng (quỹ tích điểm có cùng điện thế) Sử dụng hệ thức: E = - ΔV , n là vectơ pháp tuyến với mặt đẳng thế, hướng điện giảm Δn -Một số chú ý: E luôn hướng từ nơi có điện cao đến nơi có điện thấp - C-CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG CÔNG CỦA LỰC ĐIỆN ĐIỆN THẾ VÀ HIỆU ĐIỆN THẾ 3.1 Hiệu điện hai điểm M, N điện trường U MN = 100V a)Tính công lực điện trường electron di chuyển từ M đến N b)Tính công cần thiết để di chuyển electron từ M đến N Bài giải a)Công lực điện trường Ta có: A = qUMN = -1,6.10-19.100 = -1,6.10-17 J Vậy: Công lực điện trường electron di chuyển từ M đến N là A = -1,6.10 -17 J b)Công cần thiết để di chuyển electron từ M đến N: A' = -A = 1,6.10-17 J (5) 3.2 Để di chuyển q = 10-4C từ xa vào điểm M điện trường, cần thực công A’ = 5.105 J Tìm điện M (gốc điện ) Bài giải Ta có: Công cần thực hiện: A = -A = -q( V VM ) = -10-4(0 - VM) = 5.10-5 J ' 5.105 VM 0,5 V 10 Vậy: Điện điểm M là VM = 0,5V 3.3 Khi bay qua điểm M và N điện trường, electron tăng tốc, động tăng thêm 250eV (1eV = 1,6.10-19J) Bài giải => Ta có: Công lực điện trường là A q.U AB ΔWd => U MN ΔWd 250.1,6.1019 250 V q 1,6.1019 Vậy: Hiệu điện hai điểm M và N điện trường là UMN = -250V 3.4 Electron chuyển động không vận tốc đầu từ A đến B điện trường đều, U BA = 45,5V Tìm vận tốc electron B Bài giải Ta có: Công lực điện trường: A qU AB ΔWd => vB 2qU AB m mv 2B (UAB = -UBA = -45,5V) 2.(1,6.1019 ).(45,5) 4.106 (m/s) 31 9,1.10 Vậy: Vận tốc electron B là vB = 4.106 (m/s) 3.5 Electron chuyển động quanh nhân nguyên tử hiđrô theo quỹ đạo tròn bán kính R = 5.10 -9cm a)Tính điện điểm trên quỹ đạo electron b)Khi electron chuyển động, điện trường hạt nhân có sinh công không? Tại sao? Bài giải a)Điện điểm trên quỹ đạo electron kq 9.109.1,6.1019 28,8 V ε.r 5.1011 Vậy: Điện điểm trên quỹ đạo electron là V = 28,8V Ta có: V b)Điện trường hạt nhân có sinh công không? Khi electron chuyển động, điện trường hạt nhân không sinh vì electron chuyển động theo quỹ đạo khép kín 3.6 Điện tích Q = 5.10-9C đặt O không khí a)Cần thực A’1 bao nhiêu để đưa q = 4.10-8C từ M cách Q đoạn r1 = 40cm) đến N (cách Q đoạn r2 = 25cm) b)Cần thực công A’2 bao nhiêu để đưa q từ M chuyển động chậm xa vô cùng (r3 = ) Bài giải a)Công đưa q từ M đến N (6) -Ta có: +Điện điểm M: VM k +Điện điểm N: VN k Q 9.109.5.109 112,5 V ε.r1 0,4 Q 9.109.5.109 180 V ε.r2 0,25 -Công cần thực để đưa q từ M đến N: A’1 = -A = -q.UMN = -q(VM - VN) => A’1 = - 4.10-8(112,5 - 180) = 2,7.10-6J Vậy: Công cần thực để đưa q từ M đến N là A’1 = 2,7.10-6J b)Công cần thực để đưa q từ M vô cùng Ta có: V => A’2 = -A = qU M q(VM V ) qVM A’2 = - 4.10-8.112,5 = -4,5.10-6 J Vậy: Công cần thực để đưa q từ M vô cùng là A’2 = -4,5.10-6 J 3.7 Tính hệ thống hai điện tích điểm q1, q2 cách khoảng r chân không Bài giải Ta có: +Điện q1 gây ra: V k q1 r +Thế hệ điện tích q1, q2: W = q2V = Vậy: Thế hệ điện tích q1, q2 là W = kq1q r kq1q r *Chú ý: Có thể dùng công thức tính hệ điện tích: W = (q1V1+q2V2), với V1 = kq kq kq kq kq q , V2 = nên W = (q1 +q2 ) = ( ε = 1) εr21 εr12 εr21 εr12 r 3.8 Hai điện tích q1 = 2.10-6C, q2 = -3.10-6C cách 20cm không khí Di chuyển hai điện tích để chúng cách 50cm Năng lượng hệ hai điện tích tăng hay giảm Tính độ biến thiên lượng hệ Bài giải -Thế ban đầu hệ hai điện tích: W1 = kq1q 9.109.2.106.(3.106 ) 0,27 J r1 0,2 -Thế lúc sau hệ hai điện tích: W2 = kq1q 9.109.2.106.(3.106 ) 0,108 J r2 0,5 -Độ biến thiên lượng hệ: ΔW W2 W1 0,108 0,27 0,162 J > : lượng hệ tăng Vậy: Khi di chuyển hai điện tích xa thì lượng hệ tăng 3.9 Có thể tích điện cho vào vật dẫn cô lập đến điện tối đa là bao nhiêu chiếu vào vật chùm tia electron, bay với vận tốc v? Khối lượng m và điện tích e electron coi đã hết (7) Bài giải Công cần thực để tích điện cho vật dẫn: A' = -A = -qV = => -qV = mv mv02 2 => Vmax = mv2 mv2 (khi v0 = 0) 2q 2e mv mv02 2 Vậy: Có thể tích điện cho vật dẫn cô lập đến điện tối đa là V = mv 2e 3.10 Electron cách prôtôn đoạn r = 5,2.10-9cm Muốn electron thoát khỏi sức hút prôtôn nó cần có vận tốc tối thiểu là bao nhiêu? Bài giải -Công điện trường tác dụng lên electron: ke ke r r -Để electron thoát khỏi sức hút prôtôn thì: Wđ A A = qV = e => mv ke v r v 2ke mr 2.9.109.(1,6.1019 ) 3,2.106 (m/s) 9,1.10 31.5,2.1011 Vậy: Để electron thoát khỏi sức hút prôtôn thì electron phải có vận tốc tối thiểu là v = 3,2.106(m/s) 3.11 Trong nguyên tử hiđrô, electron chuyển động quanh hạt nhân theo quỹ đạo tròn bán kính R = 5.10-9cm Tính lượng cần cung cấp để ion hóa nguyên tử hiđrô (đưa electron xa vô cực) Bài giải -Electron chuyển động xung quanh hạt nhân theo quỹ đạo tròn tác dụng lực hướng tâm, lực này chính là lực Cu-lông: Fk e mv => v r2 r -Đông electron: Wd ke mr ke ke mv m 2 mr 2r -Thế electron: Wt qV e ke ke r r -Năng lượng toàn phần electron: W = Wd + Wt = ke 0 2r -Năng lượng cần thiết để ion hóa nguyên tử hiđrô: W' = -W = => W’ = 9.109.(1,6.10 19 ) 2,3.1018 J 14,4 eV 11 2.5.10 ke 2r (8) Vậy: Năng lượng cần thiết để ion hóa nguyên tử hiđrô là W’ = 14,4 eV 3.12 Hai electron ban đầu xa nhau, chuyển động lại gần Tính khoảng cách nhỏ chúng các trường hợp sau: a)Electron I giữ cố định, electron II bay đến electron I với vận tốc đầu v b)Hai electron tự do, chuyển động phía với cùng vận tốc đầu v c)Hai electron tự do, ban đầu electron I đứng yên, electron II bay đến electron I với vận tốc đầu v0 Bài giải Chọn gốc (V 0) a)Khi electron I giữ cố định, electron II bay đến với vận tốc đầu v -Năng lượng hệ lúc đầu là động electron II: W đầu = mv02 -Năng lượng hệ lúc sau (khi dừng lại) là tương tác tĩnh điện tạo nên có mặt electron này điện trường tạo electron kia: ke ke ) r r -Theo định luật bảo toàn lượng: Wđầu = Wsau Wsau = e.( => mv02 ke 2ke r r mv02 Vậy: Khi electron I giữ cố định, electron II bay đến với vận tốc đầu v thì khoảng cách nhỏ chúng là r 2ke mv02 b)Khi hai electron tự chuyển động phía -Năng lượng hệ lúc đầu là động hai electron: Wđầu = mv02 mv02 mv02 2 ke r -Theo định luật bảo toàn lượng: Wđầu = Wsau -Năng lượng hệ lúc sau: Wsau = => mv02 ke ke r r mv02 Vậy: Khi hai electron tự chuyển động phía nhau, khoảng cách nhỏ chúng là r ke mv 02 c)Khi hai electron tự do, ban đầu electron I đứng yên, electron II chuyển động phía electron I -Năng lượng hệ lúc đầu động electron II: W đầu = mv ke mv2 ke mv r r -Theo định luật bảo toàn lượng: Wđầu = Wsau -Năng lượng hệ lúc sau: Wsau = mv02 (9) mv02 ke mv 2 r -Theo định luật bảo toàn động lượng: => m v0 m v m v v v0 => mv02 ke v2 m r => mv02 ke 4ke r r mv02 Vậy: Khi hai electron tự do, ban đầu electron I đứng yên, electron II chuyển động phía electron I, khoảng cách nhỏ chúng là r 4ke mv02 3.13 Quả cầu nhỏ khối lượng m mang điện tích +q trượt không ma sát với v = từ đỉnh B có độ cao h mặt phẳng nghiêng BC (góc nghiêng α ) Tại đỉnh góc vuông A tam giác ABC có điện tích –q Tính vận tốc cầu đến C Định α để cầu có thể đến C Bài giải -Chọn mốc hấp dẫn chân mặt phẳng nghiêng; mốc điện vô cùng -Năng lượng điện tích +q gồm có: +q B mv +Động năng: +Thế hấp dẫn: mgz h α k(q).q kq +Thế điện: r r -Năng lượng +q B: WB = + mgh + -q A kq h C (1) kq (2) mv AC -Áp dụng định luật bảo toàn lượng cho hệ kín (điện tích +q, điện tích -q và Trái Đất): WB = WC -Năng lượng +q C: WC = kq kq mv h AC mgh => v 2[gh Với AC kq 1 ( )] m h AC h kq => v 2[gh (1 tanα )] tanα mh v 2[gh (1 tanα ) kq ] mh -Để cầu m đến C thì: gh (1 tanα ) kq 0 mh (10) => tanα mgh kq Vậy: Vận tốc cầu đến C là v 2[gh (1 tanα ) góc α phải thỏa tanα kq ] , để cầu đến C thì mh mgh kq 3.14 Hai điện tích q1 = 5.10-6C và q2 = 2.10-6C đặt đỉnh A, D hình chữ nhật ABCD, AB = a = 30cm, AD = b = 40cm Tính: a)Điện B, C b)Công điện trường q = 10-9C di chuyển từ B đến C Bài giải Ta có: BD AB2 AD2 30 40 50 cm A a)Điện B và C -Điện B: VB => VB VC q1 9.109.5.10 6 9.109.2.106 1,86.105 V 0,3 0,5 -Điện C: VC => kq1 kq AB BD D q2 B C kq1 kq AC DC 9.109.5.10 6 9.109.2.106 1,5.105 V 0,5 0,3 b)Công điện trường điện tích di chuyển từ B đến C Ta có: A = q(VB - VC) = 10-9.(1,86.105 - 1,5.105) = 3,6.10-5 J Vậy: Công điện trường điện tích q di chuyển từ B đến C là A = 3,6.10 -5 J 3.15 Hai điện tích q1 = 10-8C, q2 = -5.10-8C đặt cách 12cm không khí Tính điện điểm có cường độ điện trường 0: Bài giải -Vì q1, q2 cùng dấu nên điểm có cường độ điện trường nằm q 1, q2 -Gọi C là điểm có cường độ điện trường 0, ta có: E C E1 E E1 E E1 E k (0,12 AC)2 0,12 AC 4 2 AC AC => AC 0,04m; BC 0,12 0,04 0,08m q1 q 108 4.108 k 22 2 AC BC AC (0,12 AC)2 -Điện điểm C: VC kq1 kq AC BC A q1 E2 C ' E1 B q2 (11) => VC 9.109.108 9.109.4.10 8 6750V 0,04 0,08 Vậy: Điện điểm có cường độ điện trường là VC = 6750 V 3.16 Hai điện tích q1 = 3.10-8C, q2 = -5.10-8C đặt A, B không khí, AB = 8cm Tìm điểm có điện 0: a)Trên AB b)Trên đường vuông góc với AB A Bài giải a)Những điểm có điện trên AB Gọi M là điểm có điện trên AB, ta có: VM => 3.108 5.108 AM 0,6 AM BM BM => AM 0,6BM kq1 kq 0 AM BM (BM > AM) +Nếu M nằm A, B thì: AM1 + BM1 = AB = 1,6BM1 = => BM1 = cm và AM1 = 0,6.5 = cm +Nếu M nằm ngoài A, B thì: BM2 – AM2 = AB = BM2 - 0,6BM2 = => BM2 = 20 cm và AM2 = 0,6.20 = 12 cm Vậy: Có hai điểm có điện nên trên AB là M1 và M2 với AM1 = cm, BM1 = cm; AM2 = 12 cm, BM = 20 cm b)Những điểm có điện trên đường vuông góc với AB A Gọi P là điểm có điện trên đường vuông góc với AB A: VP kq1 kq 0 AP PB P 3.108 5.108 AP 0,6BP AP BP Mặt khác: BP2 - PA2 = AB2 = 64 A B q1 q2 => BP2 - 0,36BP2 = 64 => BP2 = 100 => BP = 10 cm và AP = cm Vậy: Điểm có điện trên đường vuông góc với AB A là P với BP = 10cm và AP = 6cm 3.17 Hai điện tích điểm q và –nq (n > 1) đặt A, B cách đoạn a Chứng minh mặt có điện là mặt cầu Tính bán kính R mặt cầu và vị trí tâm O mặt cầu Áp dụng với n = 2, q = 6cm Bài giải -Điện q gây khoảng cách r1: V1 kq r1 -Điện (-nq) gây khoảng cách r2: V2 -Gọi M là điểm có điện 0, ta có: VM nkq r2 kq nkq 0 r1 r2 (12) kq nkq r => n r1 r2 r1 <=> (1) -Chọn gốc tọa độ O trục Ox vị trí đặt điện tích q thì điện tích (-nq) có tọa độ a nên điểm M có tọa độ x, ta có: r1 x ; r2 x a q a' xa n x => -nq O' ' O' a' a x 1 n 1 n -Có ba trường hợp: + x < 0: (x a) a nx x 1 n (2) + < x < a: (x a) a nx x 1 n (3) xa a nx 0 (vô lý) x 1 n -Kết hợp (1), (2), (3), ta thấy mặt có điện là mặt cầu mà đường kính cắt trục Ox hai + a < x: điểm có tọa độ a a a a 2na và ; có đường kính là: d hay có bán kính: 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 d na 2 n 1 ' -Gọi O là vị trí tâm mặt cầu, ta có: R OO' R a na a a 1 n n 1 n 1 n 1 -Áp dụng: Với n = 2, a = cm thì: R 2.6 cm; OO' cm 2 1 1 Vậy: Mặt có điện là mặt cầu có bán kính R AB, ngoài đoạn AB, cách A đoạn OO’ = na , tâm O’ nằm trên đường thẳng n2 1 a n 1 3.18 Tại đỉnh tam giác ABC cạnh a = cm không khí, đặt điện tích điểm q1 = -10-8C, q2 = q3 = 10-8C Tính: a)Điện tâm O và trung điểm M cạnh AB b)Công cần để di chuyển điện tích q = -10-9C từ O đến M Bài giải a)Điện tâm O và trung điểm M AB -Điện tâm O: VO C kq1 kq kq k (q1 q q ) AO BO CO AO Vì AO BO CO a a 0,06 3 0,06 m 3 q3 O q2 q1 A M B (13) => VO 9.109 (10 10 10 8 ) 1500 V 0,06 -Điện trung điểm M cạnh AB: VM kq1 kq kq q q q k( ) AM BM CM AM BM CM 108 10 8 10 8 ) 1000 V 0,03 0,03 0,06 3 b)Công cần để di chuyển q từ O đến M Ta có: A' = -A = -q.(VO - VM) = +10-9.(1500 - 1000) = 5.10-7 J => VM 9.109 ( Vậy: Công cần để di chuyển q từ O đến M là A’ = 5.10-7 J 3.19 Tại đỉnh ABCD hình vuông cạnh a = 20cm đặt ba điện tích âm, điện tích dương, độ lớn 7.10-8C không khí Tính điện tâm hình vuông Lấy 1,4 Bài giải Tại tâm hình vuông: VO Vì: => kq1 kq kq kq AO BO CO DO q1<0 A a 0,2 AO BO CO DO 0,1 m 2 VO 9 9.10 9.10 2.7.10 (q q q q) 0,1 0,1 8 q2<0 O C 9000 V B D q3<0 q4>0 Vậy: Điện tâm hình vuông là VO = -9000 V 3.20 Ba điện tích điểm q1 = q2 = q3 = q = 10-8C ban đầu xa Tính công cần thực để đưa điện tích đến đỉnh tam giác ABC cạnh a = 3cm đặt không khí Bài giải Chọn gốc điện vô cùng: V Giả sử ban đầu q1 đứng yên A -Công cần thực để đưa điện tích q2 từ đến đỉnh B tam giác: A qq q2 A2 = k 2 k (1) a a -Công cần thực để đưa điện tích q3 từ đến đỉnh C tam giác: A3 = q3V3 = qV3 với: V3 V1 V2 => A3 = 2kq a q1 q3 kq1 kq 2kq a a a q2 B (2) -Công cần thực để đưa ba điện tích trên đến ba đỉnh A, B và C tam giác là: kq 2kq 3kq 3.9.109.(10-8 ) + = = = 9.10-5J a a a 3.10- Vậy: Công cần thực để đưa điện tích đến đỉnh tam giác là: A = 9.10 -5J A = A2 + A3 = C (14) 3.21 Chứng minh hệ n điện tích điểm không khí là W t = n qi q j i,j rij k (với i < j) Bài giải -Công lực tác dụng lên vật trường lực độ giảm vật đó trường lực, công mà lực điện trường thực điện tích q dịch chuyển từ A tới B là: AAB = WA - WB (WA, WB là điện tích q các vị trí A và B) Ta có: WA k q1q qq C ; WB k C (C là số tùy ý) εrA εrB -Thế điện tích q1 đặt điện trường điện tích điểm q2 và cách điện tích này đoạn r là: q1q C ε.r -Thế hệ n điện tích điểm không khí: Wk n qiq j i, j rij W k C (với i < j) -Chọn gốc vô cùng: C = W n qiq j i, j rij W k (i < j) n qiq j i, j rij Vậy: Thế hệ n điện tích điểm không khí là W k (i < j) 3.22 Ba electron ban đầu đứng yên ba đỉnh tam giác cạnh a, sau đó chúng chuyển động lực tương tác tĩnh điện Tìm vận tốc cực đại electron đạt Bài giải -Tương tự bài trên, công lực điện trường để đưa ba electron xa (Wđ = Wđmax; Wt = nên v = vmax) là: A’ = - A = - 3ke a -Mặt khác: W’đ = A = 3ke a -Vì ba electron hoàn toàn bình đẳng nên W’đ = 3Wđ = => mv ke a => v = vmax = e 3ke (v0 = => W0đ = 0) a 2k ma Vậy: Vận tốc cực đại mà electron đạt là vmax = e 2k ma (15) 3.23 Hai điện tích +9q và –q giữ chặt A, B chân không, AB = a Một hạt khối lượng m, điện tích q chuyển động dọc theo đường AB hình bên Tìm vận tốc m xa A, B để nó có thể chuyển động đến B Bài giải Gọi q1 = 9q; q2 = -q; q3 = q là điện tích chuyển động dọc theo AB: q3 chịu tác dụng lực đẩy F13 q1, lực hút F23 q2 -Xét điểm C cách B khoảng x, đó ta có: F13 k q1q qq ; F23 k 2 (a x) x +Khi F13 > F23 => k A + q1 a B - q2 C q'3 q1q qq k 23 (a x) x 9q q2 => (a x) x ax x => 2x a x a Vì F13 > F23 nên lực tổng hợp tác dụng lên q3 là lực đẩy, đó q3 cách B đoạn x a thì q3 chuyển động chậm dần +Khi F13 = F23 => x x +Khi F13 < F23 => x a : lực tổng hợp tác dụng lên q3 a : lực tổng hợp tác dụng lên q3 là lực hút Như vậy, vận tốc ban đầu v0 tổi thiểu hạt là ứng với vận tốc vC hạt C (vC = 0) -Áp dụng định luật bảo toàn lượng: mv02 +Tại C, vì vC = nên hạt có điện trường q1, q2: +Ở xa vô cùng hạt có động năng: Wđ Wt (k q1 q k )q a x0 x0 +Theo định luật bảo toàn lượng: Wđ = WC mv02 q1 q (k k )q a x0 x0 => v 02 => v 02 => v0 2kq q1 q 2kq 9q q ( 2) ( ) a a m a x0 x0 m a 2 2kq 2kq 8kq ( ) m 1,5a 0,5a m 1,5a ma 8kq ma (16) Vậy: Vận tốc tối thiểu m xa A để có thể chuyển động đến B là v v0 8kq hay ma 8kq ma 3.24 Hai hạt prôtôn và hai hạt pôzitrôn ban đầu nằm yên xen kẽ các đỉnh hình M = 2000, còn điện tích thì m giống Coi bắt đầu chuyển động tự do, các hạt pôzitrôn bay xa vô cực nhanh, sau đó các prôtôn tách xa Tính tỉ số vận tốc pôzitrôn và prôtôn đã bay xa vuông, sau đó bay xa Biết tỉ số khối lượng chúng vô cực Bài giải M 2000 nên các hạt m pôzitrôn có gia tốc lớn gia tốc các hạt prôtôn 2000 lần Do đó, các hạt pôzitrôn xa vô cực nhanh sau đó các hạt prôtôn tách tương tác chúng với Vì ta có thể *Nhận xét: Ban đầu, lực tác dụng lên các hạt có độ lớn coi các pôzitrôn dịch chuyển thì các prôtôn đứng yên -Nếu không có các hạt prôtôn thì tương tác các hạt pôzitrôn là: W = eV = ke a -Điện hạt prôtôn gây vị trí hạt pôzitrôn là: p’ ke a -Thế toàn phần các hạt pôzitrôn là: V’ = W0 = W + 2eV’ + 2eV’ = => W0 = a p a ke 4ke + a a ke 4 a p p’ -Khi các hạt pôzitrôn chuyển động xa nhau, toàn này chuyển thành động chúng: W0 = Wđ ke mv = = mv2 a 2 (1) -Thế ban đầu các hạt prôtôn là: W’ = ke a -Khi các hạt prôtôn chuyển động xa nhau, toàn này chuyển thành động chúng: W’ = W’đ ke Mv'2 =2 = Mv’2 a 2 (2) M M v -Từ (1) và (2) suy ra: = 1 m m v' (17) => v = v' M 1 = m 2000 115 v Vậy: Tỉ số vận tốc pôzitrôn và prôtôn đã bay xa vô cực là 115 v' 3.25 Vòng dây tròn bán kính R tích điện với điện tích Q Tính điện M trên trục vòng dây, cách tâm đoạn h Bài giải -Chia vòng dây thành đoạn vô cùng nhỏ d l mang điện tích dq coi điện tích điểm Điện M trên trục dq vòng dây dq gây ra: dV k R dq O ε R h2 h M -Điện tổng cộng vòng dây gây M: V dV => V k ε R2 h2 kQ ε R h 2 d q với d q Q Q 4π εε R h Vậy: Điện vòng dây gây M là V Q 4π εε R h 3.26 Vòng dây bán kính R tích điện Q phân bố đều, đặt không khí Điện tích điểm q cùng dấu với Q từ A trên trục vòng chuyển động đến tâm B vòng, AB = d Tìm vận tốc nhỏ q A để q vượt qua vòng dây Khối lượng q là m Bài giải Ta có: Vận tốc nhỏ q A để q vượt qua vòng dây tương ứng vận tốc B q mv02 -Năng lượng q A: WA = k R d2 Qq Qq (vì h = 0; vB = 0) R -Áp dụng định luật bảo toàn lượng: WA = WB -Năng lượng q B: WB = k Qq mv02 Qq k R k => mv02 1 kQq( ) 2 R R d2 => v 02 => v0 R d2 2kQq 1 ( ) m R R d2 2kQq 1 ( ) m R R d2 H R B d A (18) Vậy: Vận tốc nhỏ v0 2kQq 1 ( ) m R R d2 q A để q vượt qua vòng dây là VẬT DẪN CÂN BẰNG ĐIỆN 3.27 Hai cầu kim loại nhỏ có bán kính R1 = 3R2 đặt cách đoạn r = 2cm không khí, hút nha lực F = 27.10-3N Nối hai cầu dây dẫn Khi bỏ dây nối chúng đẩy lực F’ = 6,75.10-3N Tìm điện tích lúc đầu các cầu Bài giải -Gọi điện cầu lúc ban đầu là V1, V2 Ta có: V1 k q1 q ; V2 k R1 R2 -Vì V1 V2 nên nối hai cầu dây dẫn, các điện tích di chuyển từ cầu này sang cầu điện hai cầu -Gọi điện tích và điện các cầu sau nối dây là: q1' , q '2 , V1' , V2' Ta có: V1' V2' k => q1' q' k R1 R2 q1' R 3 q '2 R -Lực hút ban đầu hai cầu: F k => q1q F.r 27.103.0,022 1,2.1015 k 9.10 -Lực đẩy lúc sau hai cầu: F k ' => q1' q '2 q1q r2 (1) q1' q '2 r2 F' r 6,75.103.0,022 3.1016 k 9.10 -Mà q1' 3q '2 => 3q '2 3.1016 => q '2 108 C; q1' 3.108 C -Theo định luật bảo toàn điện tích: q1' q '2 q1 q 4.108 C => q2 = 4.10-8 - q1 (2) 8 -Từ (1) và (2) suy ra: q 4.10 q1 1,2.10 => 15 0 q1 6.108 C; q 2.108 C q1 -2.108 C; q 6.108 C 8 8 8 8 q1 2.10 C; q -6.10 C q1 6.10 C; q 2.10 C 3.28 Có n giọt thủy ngân hình cầu giống tích điện, điện bề mặt cầu là V Nhập các giọt này thành giọt hình cầu lớn Tìm điện trên mặt giọt lớn này Bài giải (19) -Điện bề mặt giọt thủy ngân nhỏ (bán kính r) là: V0 = kq r knq R -Mặt khác, thể tích giọt thủy ngân lớn thể tích n giọt thủy ngân nhỏ nên: -Điện bề mặt giọt thủy ngân lớn (bán kính R) là: V = 4 πR n πr 3 => R = r3 n Do đó: V = knq = r.3 n n2 kq = r n V0 Vậy: Điện trên mặt giọt thủy ngân lớn là V = n V0 LIÊN HỆ GIỮA CƯỜNG ĐỘ ĐIỆN TRƯỜNG VÀ HIỆU ĐIỆN THẾ 3.29 Tam giác ABC vuông A đặt điện trường E0 E , α = ABC = 600; AB // E Biết BC = 6cm, UBC = C 120V a)Tìm UAC, UBA và cường độ điện trường E0 b)Đặt thêm C điện tích điểm q = 9.10-10C Tìm cường độ điện trường tổng hợp A α B A Bài giải a)Tính UAC, UBA và E0 -Hiệu điện hai điểm A, C: UAC = qE0.A'C' = E0 C (A'C' là hình chiếu AC lên phương đường sức) -Hiệu điện hai điểm B, A: UBA = qE0.B'A' = UBC = 120 V -Cường độ điện trường E0: => E0 U BC 120 BA (với cosα BA BCcosα ) ' ' B C BA BC E0 120 120 120 4000 (V/m) BC.cosα 0,06.cos60 0,06.0,5 α B A Vậy: Hiệu điện hai điểm AC là UAC = 0; hiệu điện hai điểm BA là UBA = 120V; cường độ điện trường E0 = 4000(V/m) b)Cường độ điện trường tổng hợp A -Cường độ điện trường q gây A: C kq kq E1 AC (BCsinα ) 9.109 9.10 10 9.109 9.10 10 3000 (V/m) (0,06.sin60 ) (0,06 ) -Cường độ điện trường tổng hợp A: q E1 B A E1 E0 E (20) E E1 E Vì E1 E E E12 E 02 = 30002 40002 5000 (V/m) Vậy: Cường độ điện trường tổng hợp A là E = 5000(V/m) 3.30 Điện tích q = 10-8C di chuyển dọc theo các cạnh tam E A giác ABC cạnh a = 10cm điện trường cường độ điện trường là: E = 300(V/m), E // BC Tính công lực điện trường q di chuyển trên cạnh tam giác B C Bài giải -Công lực điện trường q di chuyển trên cạnh AB tam giác: a 0,1 AAB = -qE.A'B' = qE 108 300 1,5.10 7 J 2 -Công lực điện trường q di chuyển trên cạnh BC tam giác: ABC = qE.BC = 10-8.300.0,1 = 3.10-7 J -Công lực điện trường q di chuyển trên cạnh CA tam giác: E A B C ACA = -qE.A'C = AAB = 1,5.107 J 3.31 Mặt phẳng diện tích S tích điện q phân bố hai kim loại có cùng diện tích S đặt bên mặt q cách mặt q đoạn nhỏ l1, l2 Tìm hiệu điện kim loại Bài giải -Trước hết cần xác định cường độ điện trường gây mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đặt chân không +Gọi σ q là mật độ điện mặt mặt phẳng tích điện (giả sử σ ) Do tính chất phân bố S điện tích trên mặt phẳng, ta thấy mặt phẳng tích điện chia không gian làm hai nửa đối xứng Vì mặt phẳng vô hạn, nên bất kì đường thẳng nào vuông n góc với mặt phẳng là trục đối xứng hệ điện E A ΔS tích Do đó, các vectơ cường độ điện trường điểm bên ngoài mặt phẳng song song với và vuông góc với mặt phẳng có độ lớn nhau, hướng xa mặt phẳng + + + + + + σ (mặt phẳng tích điện dương) và hướng phía mặt phẳng σ (mặt phẳng tích điện âm) Như n + + E nửa không gian hai bên mặt phẳng tích điện, điện trường là +Để xác định cường độ điện trường mặt phẳng tích điện gây A cách mặt phẳng khoảng h, ta chọn mặt kín S là hình trụ (biểu diễn đường nét đứt trên hình vẽ) có đường sinh vuông góc với mặt phẳng, hai đáy song song (dáy trên chứa điểm A) cách mặt phẳng khoảng h và có diện tích ΔS Chọn chiều dương pháp tuyến n hướng ngoài mặt S Vì pháp tuyến mặt xung quanh hình trụ vuông góc đường sức nên α = 900 => cosα = 0, điện thông qua mặt xung quanh Điện thông toàn phần qua mặt S còn điện thông qua hai đáy và có giá trị: 2E ΔS cosα 2E.S (21) +Điện tích q bên mặt ΔS là điện tích có trên phần mặt phẳng có diện tích ΔS giới hạn mặt trụ: q σ.ΔS +Áp dụng định lí Ostrogradski – Gauss: 2E.ΔS => E σ.ΔS ε0 σ 2ε +Điện mặt phẳng tích điện q gây kim loại cách mặt q đoạn l1, l2 là: V1 = Ex = σ.l1 σ.l2 ; V2 = Ex = 2ε 2ε -Hiệu điện hai kim loại: U12 = V1 - V2 = σ(l1 l2 ) q(l1 l2 ) 2ε 2ε 0S Vậy: Hiệu điện hai kim loại là U12 = q(l1 l2 ) 2ε 0S 3.32 Hai mặt phẳng rộng vô hạn tích điện trái dấu nhau, mật độ điện mặt σ Chọn gốc điện tích điện âm, trục Ox hướng vuông góc từ âm sang dương Tìm điện điểm khoảng hai Bài giải -Áp dụng kết tìm phần cường độ điện trường mặt phẳng rộng vô hạn tích điện gây ra, ta vận dụng định lí + Ostrogradski – Gauss cho hệ hai mặt phẳng tích điện Vì điện + σ ΔS + tích phân bố trên hai mặt phẳng nên dễ dàng nhận xét cường độ điện trường gây mặt và hai mặt có phương vuông góc với các mặt Mặt khác, cường độ điện trường E có độ lớn các điểm cách mặt phẳng Ngoài ra, - σ S1 khoảng hai mặt phẳng, vectơ E có chiều từ mặt phẳng ΔS tích điện dương sang mặt phẳng tích điện âm Chọn mặt kín S là S2 E - ΔS + S3 - mặt trụ, có hai đáy song song diện tích ΔS cách mặt phẳng và mặt xung quanh hình trụ vuông góc với mặt phẳng +Điện thông N qua toàn mặt S còn điện thông qua hai mặt đáy Đối với mặt kín S thì tổng đại số các điện tích bên mặt kín là: q σΔS (σΔS) +Áp dụng định lí Ostrogradski – Gauss: q 2E.Δ S E ε0 Như vậy, cường độ điện trường điểm khoảng không gian bên ngoài hệ hai mặt phẳng (ở hai phía hệ) 0: E +Đối với các mặt kín S1, S2 thì điện tích q bên mặt kín có độ lớn q σΔS và E ΔS Do đó: (22) q σΔS σ E ΔS E ε0 ε0 ε0 -Điện điểm khoảng hai bản: V = Ex = σ x ε0 Vậy: Điện điểm khoảng hai là V = Ex = σ x ε0 3.33 Hai kim loại phẳng đặt song song cách d = 10cm tích điện trái dấu và cùng độ lớn Một điện môi chiều dài l = 1cm nằm dọc theo đường sức, hai đầu có điện tích điểm cùng độ lớn q = 10-11C trái dấu Khi quay góc 900 quanh trục qua điểm trên để vuông góc với đường sức, cần thực công A’ = 3.10 -10J Tính hiệu điện kim loại Bài giải -Từ kết các bài trên, cường độ điện trường hai kim loại phẳng tích điện trái dấu với mật độ điện mặt σ là: E = σ = 4π kσ ε0 -Lực điện tác dụng vào cầu có độ lớn: F = qE = q 4π kσ -Khi quay góc 90o quanh trục qua điểm bất kì trên góc 90o thì đầu chuyển động dọc theo đường sức so với đầu này đoạn s = l nên công phải thực là: A’ = Fs = q 4π kσ l -Hiệu điện hai kim loại là: U = Ed => U = 4π kσ d = A' d 3.1010.10 1 = 300 V ql 10 11.10 Vậy: Hiệu điện hai kim loại là U = 300V + - + - + + l d - 3.34 Một vật dẫn tích điện phân bố trên bề mặt với mật độ điện mặt σ Tính cường độ điện trường điểm sát mặt ngoài vật dẫn Bài giải -Điện thông qua mặt kín S: EΔS.cosα = ES S -Theo định lí Ostrogradski – Gauss: = => ES = => E= 1 σS Σ q i = Σ σdS = εε εε εε σS εε σ σ = (trong chân không ε = 1) εε ε0 Vậy: Cường độ điện trường điểm sát mặt vật dẫn là E = σ ε0 3.35 Một cầu kim loại bán kính R tích điện q phân bố trên bề mặt Tính điện điểm cách tâm cầu đoạn r (23) Bài giải Trước hết cần xác định cường độ điện trường gây mặt cầu kim loại tâm O, bán kính R, tích điện q > -Điểm A1 bên ngoài mặt cầu cách tâm O khoảng r > R +Xét mặt cầu S1, tâm O, bán kính r chứa điểm A1 Vì lí đối xứng điểm trên S1 vectơ cường độ điện trường E vuông góc với S1 (tức là có phương trùng với bán kính), có độ lớn nhau, hướng xa tâm O σ > 0, hướng phía tâm O σ < +Điện thông qua mặt kín S1: 4π r E +Theo định lí Ostrogradski - Gauss: => E q q <=> 4πr E ε0 ε0 q kq 2 π r ε0 r A1 A2 r kq r -Điểm A2 bên mặt cầu tích điện cách tâm O khoảng r' < R: Vì cầu là vật đẳng nên điện +Điện A1: VA1 = Er = O R điểm bên cầu điện điểm trên mặt cầu: r’ = R +Xét mặt cầu S2, tâm O, bán kính r' = R chứa điểm A’ +Điện thông qua mặt kín S2: πR E +Áp dụng định lí Ostrogradski - Gauss: => E= q q <=> π R E ε0 ε0 q kq = 2 π R ε0 R +Điện A’: VA’ = ER = kq R kq kq ; r R: VA1 = R r 3.36 Quả cầu bán kính R tích điện với mật độ điện khối ρ Tính điện điểm cách tâm Vậy: Với r < R: VA2 = VA’ = cầu đoạn r Bài giải Vì phân bố điện tích có tính đối xứng cầu nên đường sức điện trường là đường thẳng trùng với phương bán kính, hướng xa tâm O khối cầu S > 0, hướng tâm O S < Hơn nữa, các điểm cách tâm O, cường độ điện trường có giá trị Chọn mặt kín S là mặt cầu đồng tâm với khối cầu và chứa điểm khảo sát -Điểm A1, bên ngoài khối cầu tích điện cách tâm O khoảng r > R: Xét mặt cầu S1, tâm O, bán kính r chứa điểm A1: +Điện thông qua mặt S1: E.Δ S 4π r E +Theo định lí Ostrogradski - Gauss: = q ε0 A1 A2 r O R (24) 4πr E ρ => E 4π R 3 ρR 3r 2ε +Điện A1: V = Er = ρR 3rε -Điểm A2 bên khối cầu cách tâm O khoảng r' < R +Điện thông bên mặt cầu S2: = E.Δ S E.4π r ' +Theo định lí Ostrogradski - Gauss: = 4πr '2 E ρ => E q ε0 4πr '3 3ε ρr ' 3ε ρr ' +Điện A2: V = Er = 3ε ' ρR ρR ρr ' Vậy: Với r > R thì V = ; với r = R thì V = ; với r < R thì V = 3rε 3ε 3ε (25)