Chuyen de boi duong HSG Toan

-Gi¸o dôc cho häc sinh tÝnh cÈn thËn, vµ biÕt vËn dông c¸c kiÕn thøc to¸n häc vµo g¶i c¸c bµi to¸n trong thùc tÕ.. -Häc sinh: häc thuéc tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc vµ tÝnh chÊt d·y tû sè b»[r]

I.Môc tiªu: -Häc sinh n¾m ch¾c tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng biÕt vËn dông lµm bµi tËp -RÌn cho häc sinh kü n¨ng tr×nh bµy c¸c bµi to¸n vÒ tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng -RÌn cho häc sinh cã t s¸ng t¹o gi¶i to¸n -Gi¸o dôc cho häc sinh tÝnh cÈn thËn, vµ biÕt vËn dông c¸c kiÕn thøc to¸n häc vµo g¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ II.Träng t©m: Hai tiÕt ®Çu: hai d¹ng to¸n ®Çu III.ChuÈn bÞ: - Gi¸o viªn: chän läc ph©n laäi bµi tËp, so¹n bµi b»ng v¨n b¶n vµ GA§T, m¸y chiÕu, m¸y tÝnh -Häc sinh: häc thuéc tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc vµ tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng IV.Hoạt động dạyhọc: A.Lý thuyÕt: * C¸c tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc: + NÕu a = c ⇔ ad=bc b d a,b,c ,d≠0 + NÕu ad bc  th× : a c   b d a b   c d d c   b a d b  c a * VÒ tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau: a c = b d + Tõ d·y tØ sè hoÆc a = c = e Theo tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: b d a c a+c a − c = = = b d b+ d b− d * * a = c = e = a+ c+ e = a − c − e = b d f b+d + f b −d − f f B.C¸c d¹ng to¸n: D¹ng 1: T×m c¸c sè biết tổng (hoặc tích) và tỷ số chúng VD1: T×m x,y,z biÕt: a) x = y = z vµ x+ y+ z=18 ; b) x = y = z Gi¶i: a) Cỏch 1: áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x y z x+ y+ z 18 = = = = =2 ⇒ 2+ 3+4 x=2 2=4 y=2 3=6 z =2 4=8 ¿{ { Cách 2: Đặt tỷ số k rút x,y,z theo k  x 2k x y z    k   y 3k (1)  z 4k   x  y  z 2k  3k  4k 9k  9k 18  k 2 Theo (1) ta có: x = 4; y = 6; z = Cách 3: Rút x, y theo z  x z  x y z       y 3 z   x  y  z  z  z  z  z 18 4  z 8; x 4; y 6 b) x y z x − y − z 15 = = = = =−3 ⇒ 2− 3− −5 x =−3 2=−6 y=− 3=−9 z=−3 4=−12 ¿{{ VD2: T×m x, y,z biÕt: vµ x − y − z =15 a) x = y = z vµ x+ y + z=− 93 ; b) x = y = z vµ −2 x+ y − z=34 Gi¶i: áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: a) x y z y z x +2 y +4 z −93 = = = = = = =−3 ⇒ 20 3+ 8+20 31 x=− 3=9 y =−3 4=12 z=−3 5=15 ¿{ { b) x y z x z − x + y −3 z 34 = = = = = = =−2 ⇒ 15 − 6+ −15 − 17 x=− 3=− y=− 4=− z=−2 5=−10 ¿{ { VD3: T×m x, y,z biÕt: Gi¶i: 2x 3y 4z = = vµ x+2y+4z=220 ; a) Tõ x = y = z ⇒ x = y = z 18 16 15 áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x y z x +2 y +4 z 220 = = = = =2⇒ 18 16 15 18+32+60 110 x=2 18=36 y =2 16=32 z=2 15=30 ¿{{ VD 4: T×m x, y biÕt: a) x=7 y vµ x+ y =51 ; x − y=b − a Gi¶i: a) Tõ x=7 y ⇒ x = y áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x y x +2 y 51 = = = =3⇒ 7+ 10 17 x=21 y=15 ¿{ b) a x =b y ( a ≠ ,b ≠ , b ≠ a) vµ b) Tõ a x =b y ⇒ x = y b a áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x y x − y b −a = = = =1⇒ b a b − a b −a x =b y=a ¿{     VD5: Tính các góc tam giác ABC biết 2A=B; 3B=C Gi¶i: Tõ:          3B=C    2A=B    C  A  B  C  A  B  C 180 200 2A=B; 9  200 ; B  400 ; C  1200  A Tæng qu¸t : x y z = = T×m x,y,z biÕt a b c vµ mx+ny+pz=d (*) Víi a, b, c, d lµ c¸c sè cho tríc vµ m,n,p≠ Phơng pháp giải là: ta cần áp dụng tính chất dãy tỉ số để để tạo tû sè lµ h»ng sè Cô thÓ: x y z mx ny pz mx  ny  pz d = = = = =   Tõ a b c ma nb pc ma  nb  pc ma  nb  pc VD6: T×m x,y,z biÕt: a) x = y vµ xy 24 ; b) x = y = z 3 Gi¶i: a) Cách 1: 2 x y  x  y x y xy 24          4  2  3 6 x  2  x 4 Với x =  y = Với x = -  y = - vµ xyz 24 x y Cách 2: §Æt = =k ⇒ x=2 k ; y=3 k Thay x=2 k ; y=3 k vào x+ y+ z=18 ta đợc: k k =6 k 2=24 ⇒ k 2=4 ⇒ k=± -Víi k =2⇒ x =4 ; y =6 -Víi k =−2 ⇒ x=− ; y=− b) §Æt x = y = z =k ⇒ x=2 k ; y=3 k ; z=4 k Thay x=2 k ; y=3 k ; z=4 k vào xyz 24 ta đợc: 3 k k k=24 k =24 ⇒ k =1 ⇒k =1⇒ x=2 y=3 z=4 ¿{{ VD7: T×m x, y,z biÕt: a) x = y = z vµ x 2+2 y +4 z 2=141 b) x = y = z vµ −2 x 2+ y −3 z 2=−77 3 4 5 Gi¶i: x y z   (1) x2 y z    16 25 a) Tõ áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x y z 2 y z x  y  z 141       1  x 9  x 3 16 25 32 100  32  100 141 ¿ ⇒ x=−3 x=3 kÕt hîp víi (1) y=4 hoÆc y=− z=−5 z=5 ¿{{ ¿{ { ¿ 2 b) Tõ x = y = z (1)⇒ x = y = z 16 25 áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: x y z 2 x 3z  x  y  3z  77       1  x 9  x 3 16 25 18 75  18 16  75  77 ¿ ⇒ x=−3 x=3 kÕt hîp víi (1) y=4 hoÆc y=− z=−5 z=5 ¿{{ ¿{ { ¿ Tæng qu¸t : T×m x,y,z biÕt x = y = z a b c vµ mxk + ny k + pz k =d Víi a , b , c , d , m ,n , p , d , k lµ c¸c sè kh¸c k ∈ N * Ph¬ng ph¸p gi¶i nh sau: k Tõ k k x y z mx ny pz = = ⇒ = = a b c ma k nb k pc k k k k ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng cho d·y tØ sè mxk =ny k =pz k ma k k k k k nb pc ta đợc: k mx ny pz mx +ny +pz d = k= k= k = k k k k k k ma nb pc ma +nb + pc ma + nb +pc Dạng 2: Chứng minh đẳng thức từ hệ thức cho trớc VD1: Cho tØ lÖ thøc: a = c (a , b , c , d ≠0 ; a≠ ± b ; c ≠ ± d ) b d Chøng minh r»ng: a b c d  d b) b a+ b c+ d a) a− b = c −d Gi¶i: a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số Từ a = c ⇒ a = b áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: b d c d a b a+b a − b = = = c d c +d c −d : a+b = a − b ⇒ a+b = c+ d c+ d c −d a− b c−d Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k và mẫu:  a  b kb  b k    a kb  a  b kb  b k  a c  k     b d c kd  c  d  kd  d  k   c  d kd  d k  Đặt a+ b c+ d Vậy: a− b = c −d Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức b a+b a+b c+d =  = b d b)do: d c+d Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k và mẫu: Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức a c a c a b c  d   1  1   d b d Cách 4: b d b a c = VD2: Cho tØ lÖ thøc: b d Chøng minh r»ng: 2a+3b 2c+3d = 2a-3b 2c-3d a) b) 3a +5ab 3c +5cd = 7a -10b 7c -10d Gi¶i: a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số do: a c a b = ⇒ = áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: b d c d a b 2a 3b 2a+3b 2a-3b = = = = = c d 2c 3d 2c+3d 2c-3d 2a+3b 2a-3b 2a+3b 2c+3d =  = từ : 2c+3d 2c-3d 2a-3b 2c-3d Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k và mẫu:  2a+3b 2kb+3b 2k+3 = = a=kb  2a-3b 2kb-3b 2k-3 a c = =k     b d c=kd  2c+3d = 2kd+3d = 3k+3  2c-3d 2kd-3d 2k-3 Đặt 2a+3b 2c+3d = Vậy: 2a-3b 2c-3d Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức b) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số do: a c a b = ⇒ = áp dụng tính chất dãy tỉ số ta đợc: b d c d 2 a b  a  b a b a b ab =    =    =  c d  c d c d c d cd 3a 7a 10b 5ab 3a +5ab 7a -10b  2= 2=   = 3c 7c 10d 5cd 3c +5cd 7c -10d 3a +5ab 3c +5cd  = 7a -10b 7c -10d từ 3a +5ab 7a -10b 3a +5ab 3c +5cd =  = 3c +5cd 7c -10d 7a -10b 7c -10d Cách 2: Đặt tỷ số k rút tử theo k và mẫu: Cách 3: Áp dụng tính chất tỷ lệ thức Tæng qu¸t : a c = Nếu: b d thì: ma+nb mc+nd a) = m'a+n'b m'c+n'd ma +nb +kab mc +nd +kac b) = m'a +n'b2 +k'ab m'c +n'd +kcd Nhận xét: Hầu hết các bài tập hai dạng toán trên có thể giải nhiều cách nhiên bài ta nên chọn c ách giải hợp lý VD 3: Cho tØ lÖ thøc: Gi¶i: a c a+ b c+ d  = b d a− b c −d Chøng minh r»ng: a b c d a  b  2b c  d  2d 2b 2d     1 1  a b c d a b c d a b c d c d a b c a a c         2d 2b 2d 2b b d D¹ng 3: Tính giá trị biểu thức a +b +c a b c M= = = (a+b+c) Ví dụ: Cho : b c a hãy tính giá trị biểu thức Gi¶i: a b c a+b+c = = = =1  a = b = c b c a a+b+c a +b +c a +a +a 3a 3a  M= = = = = (a+b+c) (a+a+a) (3a) 9a C.Bµi tËp vËn dông Bµi 1: T×m hai sè x vµ y biÕt: x  y vµ 5x – 2y = 87; a) x y  b) 19 21 vµ 2x – y = 34; Bµi 2: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30 Bµi 3: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: x y z   a) 10 24 vµ 5x + y – 2z = 28; x y y z   b) ; vµ 2x + 3y – z = 186; 2x 3y 4z   c) 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32;d) vµ x + y + z = 49; x y z   vµ 2x + 3y – z = 50; e) Bµi 4: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: x y3 z3   b) 64 216 vµ x2 + y2 + z2 = 14 x y z   a) vµ xyz = 810; Bµi 5: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng: y  z 1 x  z  x  y     x y z x yz ; a)  2y  4y  6y 2x  3y  2x  3y      24 6x ; 6x b) 18 c) Bài 6: Ba người cùng góp vốn kinh doanh tổng số tiền là 180 triệu đồng Biết lần số vốn người thứ lần số vốn người thứ hai và lần số vốn người thứ hai lần vốn người thứ Tính số vốn mà người đã góp Bµi a c  7: Cho tØ lÖ thøc: b d 5a  3b 5c  3d  a) 5a  3b 5c  3d ; Bµi 8: Cho tØ lÖ thøc: ; Chøng minh r»ng: b) 7a  3ab 7c  3cd  11a  8b 11c  8d a c  Chøng minh r»ng: b d x y z bz  cy cx  az ay  bx     b c a b c Chøng minh r»ng: a 2a  13b 2c  13d  3a  7b 3c  7d Bµi 9: Cho d·y tØ sè : Bµi 10: Cho sè a1; a2; a3; a4 tho¶ m·n: a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4 a13  a 32  a 33 a1  3 a  a  a a4 Chøng minh r»ng: Bµi 11*: Cho tØ lÖ thøc : a  b2 ab  2 c d cd Chøng minh r»ng: a c  b d Bµi 12: Cho ba tØ sè b»ng nhau: a b c , , bc ca a b Tìm giá trị tỉ số đó ? Bµi 13: Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ kh¸c cho: a+b-c a-b+c -a+b+c = = c b a T×m gi¸ b»ng sè cña biÓu thøc: P= Bµi 14: Cho biÓu thøc: M (a+b)(b+c)(c+a) abc x+y y+z z+t t+x + + + z+t t+x x+y z+y T×m gi¸ tri cña biÓu thøc P biªt r»ng: x y z t    y+z+t z+t+x t+x+y x+y+z a a a1 a = = = 2007 = 2008 a 2008 a1 Bài 15: Cho 2008 số thoả mãn a1+a2+ +a2008  và a a Hãy tính giá trị biểu thức: Bài 16: Cho P= N= a12 +a 22 + a 22007 +a 22008 (a1 +a + +a 2007 +a 2008 ) ax + bx + c a b c = = 2 a1x + b1 x + c1 Chứng minh a1 b1 c1 Thì giá trị P không phụ thuộc vào giá trị x