Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn bằng một nửa số học sinh không giỏi Toán mà cũng không giỏi Văn.. Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn, biết rắng số học sinh của [r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP VÒNG HUYỆN HUYỆN PHÚ QUỐC NĂM HỌC: 2014-2015 MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (6 điểm) ¿ a/ Chứng minh rằng: a a a3 + + ∈ Z; ¿ ¿ ∀ a∈ ¿ Z b/ Chứng minh rằng tổng các lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Bài 2: (4 điểm) Cho biểu thức P = m+ √ 16 m+ √ m− + + −2 m+2 √ m −3 √ m− √ m+3 a/ Rút gọn P b/ Tìm giá trị tự nhiên m để P là số tự nhiên Bài 3: (3 điểm) Trong lớp học có 14 học sinh giỏi Toán, 13 học sinh giỏi Văn Số học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn bằng nửa số học sinh không giỏi Toán mà không giỏi Văn Hỏi có bao nhiêu học sinh vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn, biết rắng số học sinh lớp đó là 35? Bài 4: (3 điểm) Trên đường tròn (O; R) đường kính AB lấy điểm C Trên tia AC lấy điểm M cho C là trung điểm AM a/ Xác định vị trí điểm C để AM có độ dài lớn b/ Chứng minh rằng C di động trên đường tròn (O) thì điểm M di động trên đường tròn cố định Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vuông góc với BC D cắt AC E a/ Chứng minh: AB = AE b/ Gọi I là trung điểm BE Tính số đo góc AHI .……….Hết……… (2) ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9- KỲ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học 2014-2015 Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1a Thang điểm ĐÁP ÁN Ta đặt A = a a a a( a+1)( a+2) + + = 6 Vì a(a+1)(a+2) là tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Do đó A ⋮ hay A Z 0,5 Ta có: A(n) = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 = n3 + (n3 +3n2 + 3n + 1) + (n3 + 6n2 + 12n + 8) = 3n3 – 3n + 18n + 9n + A(n) = 3n (n – 1)(n + 1) + 18n + 9n2 + Các số n – 1, n, n + là ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho 3, đó 3n(n – 1)(n + 1) chia hết cho Biểu thức A(n) là tổng bốn hạng tử chia hết cho nên A(n) chia hết cho 0,5 0,75 0,75 0,5 2a Điều kiện: m≥ , m≠ √ m+1 Rút gọn P = √m −1 0,5 1,5 b) P= 1b √m −1+2 =1+ √ m−1 √m −1 Để P N ⇒ ∈ N ⇒ √ m −1=1, √ m− 1=2 √m −1 ⇒ ¿ m∈ {4; 9} ¿ Gọi x (học sinh) là số học sinh vửa giỏi Văn vừa giỏi Toán (x là số nguyên dương) thì số học sinh giỏi Toán không giỏi Văn, số học sinh giỏi Văn không giỏi Toán, số học sinh không giỏi Văn không giỏi Toán là : 14 – x (học sinh), 13 – x (học sinh) và 2x (học sinh) Ta có phương trình: x + 14 – x – 13 – x + 2x = 35 Giải phương trình này ta được: x = Vậy lớp đó có học sinh vừa giỏi Văn vừa giỏi Toán 0,5 0,5 0,75 1,25 1 0,5 0,5 (3) Hình vẽ: 0,5điểm a) Vì AM=2.AC nên AM lớn ⇔ AC lớn ⇔ AC làđường kính đường tròn (O) ⇔ C B b) BAM có có BC vừa đường cao vừa là đường trung tuyến nên BAM cân ⇒ BM=BA=2R Điểm M cách điểm B cố định khoảng bằng 2R không đổi nên M di động trên đường tròn (B;2R) 0,25 0,5 0,25 0,75 0,75 Vẽ đúng hình 0,5đ a/ Kẻ EM AH HME = MHD = HDE = 900 ( vì AH BC, DE BC) tứ giác HMED là hình chữ nhật ME // HD AEM = C Mà BAH + ABH = 900 và ABH + C = 900 AEM = BAH Xét ABH và EAM có: AEM = BAH và AHB = AME = 900 Mặt khác: AH = HD (gt), ME = HD ( tứ giác MEDH là hình chữ nhật) AH = EM ABH = EAM ( g-c-g) AB = AE (đpcm) b/ Ta có: IB = IE (gt) ID là đường trung tuyến BED và AI là đường trung tuyến ABE IA = ID = IB = IE Xét AHI và DHI có: AH = DH , HI chung, IA = ID AHI = DHI AHI = DHI 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 (4) Ta lại có: AHI + DHI = 900 AHI = 450 (5)