Tìm a để đồ thị của hàm số trên cắt trục tung tại điểm A, cắt trục hoành tại điểm B sao cho tam gi¸c OAB cã diÖn tÝch b»ng 2.. Từ một điểm A nằm ngoài đờng tròn, kẻ các tiếp tuyến AB vµ [r]
(1)phòng giáo dục và đào tạo §Ò thi chÝnh thøc k× thi chän häc sinh giái cÊp huyÖn m«n thi: To¸n líp Thời gian làm bài 120 phút (không tính thời gian phát đề) Ngµy thi 11 th¸ng 01 n¨m 2015 C©u (2,5 ®iÓm): a/ TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P = 14 14 x x x b/ Rút gọn biểu thức x x 1 x x víi x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ c/ Cho x 3 ; y 3 Kh«ng dïng b¶ng sè vµ m¸y tÝnh, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A = x5 + y5 C©u (2 ®iÓm): a/ Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 4 mx y 10 m b/ Tìm m để hệ phơng trình x my 4 cã nghiÖm nhÊt (x; y) cho x > 0; y > C©u (1 ®iÓm): Cho hµm sè y = (a – 1)x + a víi a ≠ Tìm a để đồ thị hàm số trên cắt trục tung điểm A, cắt trục hoành điểm B cho tam gi¸c OAB cã diÖn tÝch b»ng C©u (3 ®iÓm): Cho đờng tròn (O; R) Từ điểm A nằm ngoài đờng tròn, kẻ các tiếp tuyến AB vµ AC vu«ng gãc víi (B vµ C lµ c¸c tiÕp ®iÓm) M lµ mét ®iÓm trªn cung nhá BC, tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t AB vµ AC lÇn lît t¹i E vµ F a/ TÝnh sè ®o gãc EOF ? R b/ BiÕt EF = , tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OEF vµ diÖn tÝch tam gi¸c AEF c/ Tìm vị trí điểm M trên cung nhỏ BC cho EF có độ dài nhỏ C©u (1,5 ®iÓm): a/ Cho a; b; c lµ c¸c sè nguyªn, biÕt r»ng a + b + c chia hÕt cho Chøng minh a3 + b3 + c3 chia hÕt cho 2 b/ Chøng minh x x x 10 26 HÕt Hä vµ tªn: SBD Ch÷ kÝ GT 1: (2) Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp n¨m häc 2010-2011 m«n: to¸n 9; ngµy thi 11/1/2011 C©u §¸p ¸n §iÓm a/ 14 14 3 3 3 3 3 0,5 0,5 6 b/ x x x 6 x x 1 x x x ( x 2)( x 3) x x 1 x x x ( x 3)( x 3) (2 x 1)( x 2) C©u ( x 2)( x 3) (2,5 ®) x x ( x 2)( x 3) ( √ x +1)( √ x −2) √ x +1 ¿ = ( √ x −2)(√ x − 3) √ x −3 c/ Tính đợc x + y = và xy = Tính đợc x2 + y2= 22 Vµ x3 + y3 = 90 Tính đợc x5 + y5 = (x2 + y2)(x3 + y3) – x2y2(x + y) = 1686 HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 ® a/ Đa đợc dạng x 2 x §K cã nghiÖm x ≥ Biến đổi PT (x – 3)(4x – 5) = Tìm đợc x = (thoả mãn); x = (loại) HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 ® b/ C©u Tõ pt (2) ta cã x= 4- my Thay vµo (1) => m (4-my) + 4y = 10- m (2 ®) => 4m – m2y + 4y = 10- m <=> (4-m2)y = 10-5m <=> (2-m)(2+m)y =5(2-m) (*) §Ó hÖ pt cã nghiÖm nhÊt th× pt (*) cã nghiÖm nhÊt => (2- m)(2+m) 0 => m 2 8 m => y = m ; x= m C©u (1 ®) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Giải điều kiện y > tìm đợc m > -2 Với m > -2 và x > tìm đợc m < KÕt luËn -2 < m < vµ m HS có thể làm cách khác, GV xác định biểu điểm cho phù hợp, chi tiết đến 0,25 đ 0,25 0,25 a a/ Tìm đợc OA = a; OB = a ; 0,25 a a 1 a diÖn tÝch cña tam Ogi¸c OAB cã diÖn tÝch b»ng => =4 Đa đợcvề PT : a2 = ± 4(1 – a) Tìm đợc a = vµ a 2 2; a 2 C©u (3 ®) 0,25 a/ C F B E M A 0,25 0,25 0,25 (3) 1 1 MOE MOB MOF MOC 2 CM đợc ; 1 EOF BOC => 0 Chứng minh đợc BOC 90 => EOF 45 0,5 5R Tính đợc diện tích tam giác OEF = 12 Chøng minh SOEF = SOBEFC R => SOBEFC = 0,25 0,25 0,25 0,75 b/ 0,25 Ta cã SABOC = R2 0,25 R => SOEF = 0,25 2 c/ §Æt AE = x vµAF = y Suy EF x y Chu vi tam gi¸c AEF = 2a 0,25 x y x y 2a 2( x y ) x y suy x y x y 2a x y x y x y EF 2a VËy EF cã dé dµi nhá nhÊt b»ng x = y vËy M lµ chÝnh gi÷a cung BC a/ Ta cã: (a3 + b3 + c3 ) – (a + b + c ) = a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1) + c(c-1)(c+1) TÝch cña STN liªn tiÕp chia hÕt cho vµ nªn chia hÕt cho Từ đó suy a3 + b3 + c3 chia hết cho C©u (1,5 đ) b/Chứng minh đợc Từ đó suy a b2 c2 d ( a c)2 (b d ) x x x 10 x 22 ( x 1)2 32 26 DÊu = x¶y x = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4)