Đang tải... (xem toàn văn)
Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI tại M cắt các đường thẳng BD, DC lần lượt tại P và Q.. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO..[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP VÒNG I NĂM HỌC: 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 150 phút) Đề thi gồm 01 trang _ Câu 1: (2,0 điểm) 3 a) Tính giá trị biểu thức M = a3 – 6a với a = 20 + 14 + 20 - 14 b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: N = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Câu 2: (2,0 điểm) a) Tìm x, biết: x - + - x = x - 8x + 24 a b a b2 với a, b b) Chứng minh rằng: Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm đa thức với bậc nhỏ nhất, hệ số nguyên có các nghiệm là - A= 1 x : 1 1 x 1 x2 b) Cho biểu thức Tìm giá trị x để A A Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) I là trung điểm BC, M là điểm trên đoạn CI (M khác C và I), đường thẳng AM cắt đường tròn (O) D Tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMI M cắt các đường thẳng BD, DC P và Q a) Chứng minh DM.IA = MP.IB b) Tính tỉ số MP MQ Câu 5: (1,0 điểm) 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = (x 2010) (x 2011) - H ết -(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO HƯỚNG DẪN CHẤM HSG HUYỆN LỚP VÒNG I NĂM HỌC: 2010 – 2011 (2) MÔN THI: TOÁN TẠO BÌNH GIANG === @ === Câu ý Nội dung Điểm M = a3 – 6a với a = 20 + 14 + 30.25đ 20 - 14 Đặt u = 3 a 20 14 ; v = 20 14 Ta có a = u + v 3 và u v 40 u.v = 0,5đ 0,5đ 0,25đ (20 14 2)(20 14 2) 2 a=u+v a = u3 + v + 3uv(u + v) = 40 + 6a hay a - 6a = 40 Vậy M = 40 b N = x + 6x + 7x - 6x +1 = x x + 6x + - + 0.25đ x x 2 0,5đ 1 1 = x x + + x - + 7 = x x - + x - + 9 x x x x 0,5đ 2 0,25đ 1 = x x - + 3 = x x - + 3x = (x 3x 1) x x a x x x x 24 0.25đ (1) 0.25đ Ta có: x 6 Chứng minh 0.25đ được: 0.25đ x x 2 - Dấu “=” xảy x–2= 6–x x=4 Lại có x x 24 ( x 4) 2 - Dấu “=” xảy (x – 4)2 = x-4=0 x=4 Đẳng thức (1) xảy (3) x = Vậy x=4 Ta quy đồng: 0,5đa+ b ¿2 √ a2 +b2 ≥ a+2b (1) ⇔0,5đ √2(a2+ b2 )≥ a+b ⇔ 2(a2 +b 2)≥¿ b √ a −b ¿ ≥ (2) ⇔¿ BĐT (2) luôn đúng ⇒ BĐT (1) đúng (đpcm) Đặt x = - x2 = (6 - ) = 36 - 48 + 32 x2 - 68 + 48 = x2 - 0.25đ 0.25đ a 12( - ) + =0 x2 - 12x + = Vậy có đa thức f(x) = x2 - 12x + nhận - là nghiệm ĐKX Đ: - < x < Rút gọn A = 1 x Đ ể A A ⇔ 1 x 1 x b 0.25đ ⇔ 1 x > – x (*) Vìx<1 ⇒ – x > 0, từ (*) ⇒ x (1 1 x ) > ⇒ - 1 x > ⇒ x>0 Kết luận < x < 0.25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ (4) Vẽ hình chính xác: 0,5đ 0,75đ a Chứng minh MDP ICA (g.g) DM MP = CI IA DM.IA = MP.ID hay DM.IA = MP.IB (1) 0,25đ Vì b 0,25đ 0,5đ ADC CBA; DMQ 180o AMQ 180o AIM BIA nên DMQ 0,25đ BIA (g.g) 0,5 DM MQ = BI IA hay DM.IA = MQ.IB (2) Từ (1) và (2) suy MP =1 MQ 0,5đ Ta có: P = x + 2010 + x + 2011 = - x - 2010 + 0,5đ x + 2011 ≥ x + 2011 - x - 2010 = Vậy P ≥ 1, đẳng thức xảy và khi: (x + 2011)(- x 2010) ≥ 2011 ≤ x ≤ - 2010 Do đó P đạt giá trị nhỏ là 2011 ≤ x ≤ - 2010 Chú ý: HS có cách giải khác đúng cho điểm (5) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP VÒNG II NĂM HỌC: 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 150 phút) Đề thi gồm 01 trang _ Câu 1: (2,0 điểm) c) Rút gọn biểu thức A= ( 1 a2+ 1 + − 1+ a 2+ √ a 2− √ a 1− a d) Cho a + b = Chứng minh rằng: )( ) a b 2 Câu 2: (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x 2+ √ x +5=5 b) Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3, gọi A, B là giao điểm (d) với Ox, Oy Xác định m để điện tích tam giác ABO Câu 3: (2,0 điểm) mx 2y m (1) Cho hệ phương trình 2x my 2m (2) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) với x, y là số nguyên Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn này cắt AB, AC E và F a) Chứng minh ba điểm O, E, F thẳng hàng (6) b) Tiếp tuyến với đường tròn (O) E và F cắt BC M và N Chứng minh MO // AB, NO // AC Tam giác MON có đặc điểm gì? c) Giả sử A di động cho góc BAC luôn 90o Tìm vị trí A để diện tích tứ giác EMNF lớn Câu 5: (1,0 điểm) Tính giá trị y 13 13 - H ết -(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH GIANG === @ === Câu HƯỚNG DẪN CHẤM HSG HUYỆN LỚP VÒNG II NĂM HỌC: 2010 – 2011 MÔN THI: TOÁN ý a b Nội dung Điểm - ĐKXĐ: a > 0, a 0.25đ 1 a 20,5đ a a 1 a 1 A 4(1 a) 1 a2 a 0,5đ a 1 a 2 1 a 1 a a 0,25đ a a2 (a 1) 1 (1 a)(1 a) a Đặt 0.25đ 3 m a, n a thì m3 = a, n3 = b 0,5đ Ta có m3 + n3 = a 0,5đ + b = 0,25đ Giả sử m + n > thì (m + n)3 > ⇒ m + n3 + 3mn(m + n) > ⇒ + 3mn(m + n) > ⇒ mn(m + n) > ⇒ mn(m + n) > m3 + n3 Chia hai vế cho m (7) + n > mn > m2 - mn + n2 (m – n)2 < (vô lí) Vậy m + n ĐK x ≥ −5 Đặt 0.25đ x t t x t x 5 (1) 0.25đ ⇒ Phương trình trở thành x2 + t = (2) Ta có hệ t x 5 x t 5 0.25đ 0.25đ ⇒ t2 – x2 – (x + t)=0 (x + t)(t – x - 1) a t x = t x Với t = -x ta có x x , tìm 1 x 21 Với t = x + ta có √ x+5=x+ , tìm x -1 17 Vậy b 17 21 T ; 2 Toạ độ A(32m,0), B(0,2m-3) 0,5đ OAB Vuông O 0,5đ SOAB= OA.O (8) B= |3 −2 m||2 m−3| 1 (2m 3) = (2m 3) 0 (2m 4)(2m 2) 0 m = m = Từ (1) ⇒ y= − mx+ m+1 0.25đ 0.5đ Thay vào (2), ta có: 0.25đ mx m 2 2x m 2m (m 4)x m 3m 2 Với m 2 hpt có nghiệm ⇒ { x= m2 −3 m+2 m−1 = =1 − m+2 m+ m −4 m+1 y= =2 − m+2 m+ x, y là số nguyên a 0.5đ m 1 m m 5; 3; 1;1 m 3 m Vẽ hình chính xác: Ta có: ) 180 o EOA 180o (OEA A ) 180 o FOA 180o (OFA A 0,5đ 0,25đ 2A 2A 0,25đ A ) 180o EOA FOA 360o 2(A hay EOF 180o b Vậy E, O, F thẳng hàng Theo tính chất 0,5đ (9) hai tiếp tuyến cắt 0,5đ ta có MO EH hay MO // AB Chứng minh tương tự: NO // AC Suy MON vuông O Tứ giác MEFN là 0,25đ hình thang vuông, 0,25đ đường cao EF Do đó: 0,25đ 0,25đ (MH NH) (EM FN) BC SMEFN EF EF EF 2 Vậy diện tích lớn AH lớn AH là đường trung tuyến ABC , hay ABC là tam giác vuông cân c Nhận xét y > 0,25đ y 5 13 13 0,25đ ( y 5)2 13 13 0,25đ ( y 5) 13 y 0,25đ y 10 y y 12 0 ( y 3)( y3 y y 4) 0 ( y 3) ( y 3)( y 1)( y 1) 1 0 (*) nên ( y 3)( y 1)( y 1) Vì y > >0 Từ (*) y 0 y 3 * Chú ý: HS có cách giải khác đúng cho điểm (10)