Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 21 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
21
Dung lượng
2,38 MB
Nội dung
Table of Contents HSG9-08-09-CAM LỘ HSG9-08-09-CAM LỘ HSG9-08-09-HẢI LĂNG-QUẢNG TRỊ-VÒNG HSG9-08-09-HẢI LĂNG-QUẢNG TRỊ-VÒNG HSG9-09-10 NGHỆ AN-BẢNG A HSG9-09-10 NGHỆ AN-BẢNG A HSG9-09-10-HUYỆN NGUYÊN VINH HSG9-09-10-HUYỆN NGUYÊN VINH HSG9-09-10-PHÚ THỌ HSG9-09-10-PHÚ THỌ HSG9-10_11_ĐÀ NẴNG HSG9-10-11-ĐÀ NẴNG HSG9-10-11-HỊA BÌNH HSG9-10-11-HỊA BÌNH HSG9-10-11-NGHỆ AN HSG9-10-11-NGHỆ AN-BẢNG B HSG9-10-11-THANH CHƯƠNG-VÒNG 1 HSG9-10-11-THANH CHƯƠNG-VÒNG HSG9-10-11-THANH HÓA HSG9-10-11-THANH HÓA HSG9-11-12-CẨM GIÀNG HSG9-11-12-CẨM GIÀNG HSG9-11-12-CẨM THỦY HSG9-11-12-CẨM THỦY HSG9-11-12-CHÂU THÀNH HSG9-11-12-CHÂU THÀNH HSG9-11-12-GIA LAI HSG9-11-12-GIA LAI HSG9-11-12-KIÊN GIANG HSG9-11-12-KIÊN GIANG HSG9-11-12-MỸ THỌ-PHÙ MỸ HSG9-11-12-MỸ THỌ-PHÙ MỸ HSG9-11-12-NGHỆ AN-BẢNG A HSG9-11-12-NGHỆ AN-BẢNG A HSG9-11-12-NGHỆ AN-BẢNG B HSG9-11-12-NGHỆ AN-BẢNG B HSG9-11-12-THÁI BÌNH HSG9-11-12-THÁI BÌNH HSG9-11-12-THANH HĨA HSG9-11-12-THANH HÓA 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 HSG9-08-09-CAM LỘ Câu (1 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x +2009 x +2008 x +2009 Câu (1 điểm) Giải phương trình sau x 2 x 45 x x 69 + = + 13 15 37 Câu (2 điểm) a b4 ab3 a3b a2b2 b/ Cho hai số dương a,b a=5-b 1 Tìm giá trị nhỏ tổng P= a b a/ Chứng minh Câu (2 điểm) a/ Cho a b hai số thực dương thõa mãn điều kiện a 2006 b2006 a2007 b2007 a2008 b2008 Hãy tính tổng S= a 2009 b2009 b/ Chứng minh rằng.A= 13 48 6 số nguyên Câu (1 điểm) Tìm số nguyên dương x,y thỏa mãn phương trình sau xy-2x-3y+1=0 Câu (3điểm) Cho tam giác ABC vng A có cạnh AC>AB,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm D cho HD=HA.Đường vng góc với với BC D cắt AC E a)Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng b)Chứng minh tam giác ABE cân c)Gọi M trung điểm BE vẽ tia AM cắt BC G Chứng minh GB HD BC AH HC HSG9-08-09-HẢI LĂNG-QUẢNG TRỊ-VÒNG Câu (2 điểm) Cho a, b,c Q; a, b, c đôi khác Chứng minh Câu a b b c c a bình phương số hữu tỷ (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 5x 2.5 y 5z 4500 với x y z Câu (2 điểm) x2 4x Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A x2 Câu (2 điểm) Tìm số có hai chữ số; biết số chia hết cho thêm số vào chữ số rối cộng vào số tạo thành số hai lần chữ số hàng trăm số lớn gấp lần số phải tìm Câu (2 điểm) Cho tam giác ABC cân A , có BAC 200 Trên AC lấy điểm E cho EBC 200 Cho AB AC b, BC a a) Tính CE b) Chứng minh a b3 3ab2 ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh:………………… HSG9-09-10 NGHỆ AN-BẢNG A Câu (4,5 điểm): a) Cho hàm số f (x) (x 12x 31) 2010 3 Tính f (a) a 16 16 b) Tìm nghiệm nguyên phương trình: 5(x xy y ) 7(x 2y) 2 Câu (4,5 điểm): a) Giải phương trình: x x3 x x x 1 1 x y z b) Giải hệ phương trình: 4 xy z Câu (3,0 điểm): Cho x; y; z số thực dương thoả mãn: xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức: A 1 3 3 x y y z z x3 Câu (5,5 điểm): Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt hai điểm phân biệt A B Từ điểm C thay đổi tia đối tia AB Vẽ tiếp tuyến CD; CE với đường tròn tâm O (D; E tiếp điểm E nằm đường tròn tâm O') Hai đường thẳng AD AE cắt đường tròn tâm O' M N (M N khác với điểm A) Đường thẳng DE cắt MN I Chứng minh rằng: a) MI.BE BI.AE b) Khi điểm C thay đổi đường thẳng DE qua điểm cố định Câu (2,5 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến AD Điểm M di động đoạn AD Gọi N P hình chiếu điểm M AB AC Vẽ NH PD H Xác định vị trí điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn - - - Hết - - Họ tên thí sinh: Số báo danh: HSG9-09-10-HUYỆN NGUYÊN VINH Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: a 1 a 1 P a a a 1 a a a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P tại a Câu 2: 2 x x x (2,5 điểm) Cho x, y là các số dương x y a) Chứng minh: y x b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M Câu 4: 1 (1,5 điểm) Giải phương trình: Câu 3: x y xy y x x y2 (3,0 điểm) Cho điểm M nằm nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R ( M không trùng với A và B ) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax tại I ; tia phân giác của IAM cắt nửa đường tròn O tại E, cắt IB tại F ; đường thẳng BE cắt AI tại H , cắt AM tại K a) Chứng minh điểm F , E, K , M cùng nằm một đường tròn b) Chứng minh HF BI c) Xác định vị trí của M nửa đường tròn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R ? Câu 5: (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng: x 1 x x 3 x y 11879 ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh:………………… HSG9-09-10-PHÚ THỌ Câu (4đ) a)Chứng minh A n 1 n 1 chia hết cho với số tự nhiên n b)Tìm số số nguyên n cho B n2 n 13 số phương Câu (5đ) a)Giải phương trình x 2x 2x 4x b)Giải hệ phương trình x y2 xy 2 x y 3xy 11 Câu (3đ) Cho ba số x, y, z thỏa mãn x y z 2010 1 1 x y z 2010 Tính giá trị biểu thức P x 2007 y2007 y2009 z 2009 z 2011 x2011 Câu (6đ) Cho đường tròn (O;R) dây cung AB cố định, AB R Điểm P di động dây AB (P khác A B) Gọi C;R1 đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn (O;R) A, D;R đường tròn qua P tiếp xúc với đường tròn (O;R) B hai đường tròn C;R1 D;R cắt điểm thứ hai M a)Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD điểm C, D, O, M thuộc đường tròn b)Chứng minh P di động dây AB điểm M di động đường tròn cố định đưởng thẳng MP ln qua điểm cố định N c)Tìm vị trí P để tích PM.PN lớn ? diện tích tam giác AMB lớn ? Câu Cho số dương x, y,z thỏa mãn điều kiện xy yz zx 670 Chứng minh rằng: x y z x yz 2010 y zx 2010 z xy 2010 x y z HSG9-10-11-ĐÀ NẴNG Câu (2,0 điểm) a 1 a a 1 a2 a a a 1 Cho biểu thức: M với a > 0, a a a a a a a a) Chứng minh M b) Với giá trị a biểu thức N nhận giá trị nguyên? M Câu (2,0 điểm) a) Cho hàm số bậc nhất: y 0,5x , y x y mx có đồ thị đường thẳng (d1), (d2) (m) Với giá trị tham số m đường thẳng (m) cắt hai đường thẳng (d1) (d2) hai điểm A B cho điểm A có hồnh độ âm cịn điểm B có hồnh độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M N hai điểm phân biệt, di động trục hoành trục tung cho đường thẳng MN qua điểm cố định I(1 ; 2) Tìm hệ thức liên hệ hoành độ M tung độ N; từ đó, suy giá trị nhỏ biểu thức Q 1 OM ON Câu (2,0 điểm) 17x 2y 2011 xy a) Giải hệ phương trình: x 2y 3xy b) Tìm tất giá trị x, y, z cho: x y z z x (y 3) Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (C) với tâm O đường kính AB cố định Gọi M điểm di động (C) cho M không trùng với điểm A B Lấy C điểm đối xứng O qua#A Đường thẳng vng góc với AB C cắt đường thẳng AM N Đường thẳng BN cắt đường tròn (C) điểm thứ hai E Các đường thẳng BM CN cắt F a) Chứng minh điểm A, E, F thẳng hàng b) Chứng minh tích AMAN khơng đổi c) Chứng minh A trọng tâm tam giác BNF NF ngắn Câu (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận tích mười hai số ngun dương HSG9-10-11-HỊA BÌNH Câu (4đ) 1.Phân tích thành nhân tử biểu thức sau a)A x3 3x2 y 4xy2 12y3 b)B x3 4y2 2xy x2 8y3 2.Cho a 11 11 Chứng minh a số nguyên Câu (6đ) 12 1 x x4 x x2 2.Cho hàm số y m 1 x m (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số đường thẳng cắt hai 1.Giải phương trình trục tọa độ hai điểm A, B cho tam giác OAB cân 3.Tìm x để biểu thức A x 1 x 1 đạt giá trị lớn Câu (4đ) 1.Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, có bán kính Biết BAC 600 , đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC 2.Đội cờ vua trường A thi đấu với đội cờ vua trường B, đấu thủ trường thi đấu với đấu thủ trường trận Biết tổng số trận đấu lần tổng số cầu thủ hai đội số cầu thủ trường B số lẻ Tìm số cầu thủ đội Câu (5đ) Cho nửa đường trịn tâm O bán kính R, đường kính AB Hai điểm E, F thay đổi nửa đường tròn cho số đo cun AE khác nhỏ số đo cun AF, biết EF=R Giả sử AF cắt BE H, AE cắt BF I 1.Chứng minh tứ giác IEHF nội tiếp đường tròn 2.Gọi EG FQ đường cao tam giác IEF, chứng minh độ dài QG không đổi 3.Chứng minh QG song song với AB Câu (1 điểm) Giải phương trình: x x x x 8x HSG9-10-11-NGHỆ AN-BẢNG B Câu (5,0 điểm) a) Chứng minh với số nguyên n b) Tìm tất số tự nhiên n cho n2 n không chia hết cho n2 17 số phương Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x 4x+5 = 2x+3 2x+y = x b) Giải hệ phương trình: 2y+x = y Câu (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 4x+3 x2 Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Các đường cao BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh BH.BE + CH.CF = BC b) Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh K (O) Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B C) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E, đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định HSG9-10-11-THANH CHƯƠNG-VỊNG Câu a.Phân tích Q thành nhân tử: Q x x 2 x 10 b.Tính Q biết x 13 10 Câu Cho hàm số: y x 2m ; với m tham số a.Xác định m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ O b Tính theo m tọa độ giao điểm A; B đồ thị hàm số với trục Ox; Oy H hình chiếu O AB Xác định giá trị m để OH 2 b Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng AB Câu a.Giải phương trình: x 1 x x x b.Cho a; b hai số dương thỏa mãn: a2 b2 Chứng minh: 3(a 6) (a b) c.Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 xy 2008x 2009 y 2010 Câu Cho đường tròn (O; R ) AB CD hai đường kính cố định (O) vng góc với M điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K H hình chiếu M CD AB a.Tính sin MBA sin MAB sin MCD sin MDC b.Chứng minh: OK AH (2R AH ) c.Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn Hết HSG9-10-11-THANH HÓA Câu (5,0 điểm) 1) Cho phương trình: x 2m x 2m Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1 , x2 với m Tìm giá trị lớn biểu thức P 2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn x1 x2 m thay đổi x x22 2(1 x1 x2 ) 1 1 Chứng minh A a b c a b c số hữu tỉ (b) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi phân biệt Chứng minh rằng: B 1 số hữu tỉ 2 ( x y ) ( y z ) ( z x) 2 x x 10 Câu (5,0 điểm).1) Giải phương trình: x 1 x 1 1 1 x x 1 y y 2) Giải hệ phương trình: x3 x x y2 y y3 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm D, E thuộc cạnh AC, AB, cho BD, CE cắt P diện tích tứ giác ADPE diện tích tam giác BPC Tính BPE Câu (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định ( O AB ) P điểm di động đoạn thẳng AB ( P A, B P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) A Đường tròn tâm D qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) B Hai đường tròn (C) (D) cắt N ( N P ) 1) Chứng minh ANP BNP bốn điểm O, D, C, N nằm đường tròn 2) Chứng minh đường trung trực đoạn ON qua điểm cố định P di động Câu (4,0 điểm) 1)Cho a1 , a2 , , a45 45 số tự nhiên dương thoả mãn a1 a2 a45 130 Đặt d j a j 1 a j , ( j 1, 2, , 44) Chứng minh 44 hiệu d j xuất 10 lần 2)Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: Chứng minh rằng: a b b c c a 2011 a2 b2 c2 2011 bc ca ab 2 HSG9-11-12-CẨM GIÀNG Câu (2 điểm): a) Cho a; b; c số dương thoả mãn: a + b + c + abc = Tính Q = a (4 b)(4 c) b(4 c)(4 a) c(4 a)(4 b) - abc b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + 2abc < Câu (2 điểm): a) Giải phương trình x x 10 x x 3( x 1) b) Cho x, y hai số không âm thoả mãn: x2 + y2 = Tìm giá trị lớn biểu thức A = x y Câu (2 điểm): Cho hàm số y = (m + 2)x + 2m – a) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng 3x – 2y = b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai trục toạ độ tạo với gốc toạ độ tam giác có diện tích 1/6 (đơn vị diện tích) Câu (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông A; AD tia phân giác tam giác Cho BD = cm; CD = cm a) Tính đường cao AH tam giác ABC b) Lấy E thuộc AC cho XE = 1cm Gọi I trung điểm BE, F giao điểm HI AC Tính độ dài đoạn thẳng EF Câu (1 điểm): Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y = 50 HSG9-11-12-CẨM THỦY Câu Cho biểu thức: P x x2 x x x x ( x 1)( x x ) a.Rút gọn P b.Tính P x 2 c.Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên Câu Giải phương trình: a x2 10 x 27 x x b x2 x x x x Câu a.Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: y xy 3x x 1 2x x 1 b.Cho x 1; y , chứng minh: 3 ( x 1) y y x 1 y c.Tìm số tự nhiên n để: A n 2012 n2002 số nguyên tố Câu Cho hình vng ABCD, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển CD ( E khác C, D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K 1 a.Chứng minh: không đổi AE AF b.Chứng minh: cos AKE sin EKF cos EFK sin EFK cos EKF c Lấy điểm M trung điểm đoạn AC Trình bày cách dựng điểm N DM cho khoảng cách từ N đến AC tổng khoảng cách từ N đến DC AD Câu Cho ABCD hình bình hành Đường thẳng d qua A khơng cắt hình bình hành, ba điểm H, I, K hình chiếu B, C, D đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng: BH + CI + DK có giá trị lớn Hết HSG9-11-12-CHÂU THÀNH Câu (4 điểm) 2 a) Tìm số tự nhiên có chữ số xy , biết hai chữ số đơn vị xxyy xx yy b) Biết a – b = Tính giá trị biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1) Câu (4 điểm) a) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: (a b) (b c) (c a) a2 + b2 + c2 ab+bc+ca+ 12 2011 b) Với x >0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: M= 4x2 – 3x + + 2011 4x Câu (4 điểm) a) Giải phương trình: 4x 1 – 3x = x3 x my 3m b) Cho hệ phương trình: mx y m Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 – 3x + y > Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O có cạnh BC cố định điểm A thay đổi (O) Các đường cao BD, CE tam giác cắt H a) Chứng minh bốn điểm A, E, D, H nằm đường tròn b) Tia AO kéo dài cắt (O) F Chứng minh A thay đổi (O) đường thẳng HF ln qua điểm cố định c) Giả sử AB>AC Chứng minh AB2 + CE2 > AC2 + BD2 d) Đường phân giác góc A cắt BC K (O) L Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn AK với AO Chứng minh (I, IA) tiếp xúc với (O) A tiếp xúc với BC K Câu (2 điểm) Cần dùng bìa hình trịn có bán kính để phủ kín tam giác có cạnh 3, với giả thiết không cắt bìa? HSG9-11-12-GIA LAI Câu (3,0 điểm) a)Cho x 2 1 1 Tính giá trị biểu thức A x x3 x 2x 1 2012 1 1 b)Chứng minh biểu thức P n n 36n chia hết cho với số nguyên n Câu (3,0 điểm) a)Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình y x Tìm đường thẳng điểm M(x;y) thỏa mãn đẳng thức y 3y x 2x b)Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y ax b Tìm a, b để d qua điểm B(1;2) tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình y 2x Câu (4,0 điểm) x y a)Giải hệ phương trình x y b)Gọi x1 ;x hai nghiệm phương trình 2012x 20a 11 x 2012 (a số thực) x x 1 Tìm giá tri nhỏ biểu thức P x1 x x1 x Câu (4,0 điểm) 1 1 a)Cho số thực a, b, c cho a,b,c Chứng minh a b c 10 a b c b)Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có học sinh tham gia trị chơi ném bóng vào rổ học sinh ném tất 100 bóng vào rổ Số bóng ném vào rổ học sinh khác Chứng minh có học sinh ném tổng số bóng vào rổ khơng 50 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A (AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM (H, M thuộc BC) Đường tròn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB đường thẳng AC D E (D E khác điểm A) a)Chứng minh D, H, E thẳng hàng MA vng góc với DE b)Chứng minh điểm B, E, D, C thuộc đường tròn Gọi O tâm đường tròn qua điểm B, E, C, D Tứ giác AMOH hình ? Đặt ACB ;AMB Chứng minh sin cos sin HSG9-11-12-KIÊN GIANG Câu (4 điểm) a)Cho S 32 33 34 396 397 398 399 Chứng minh S chia hết cho 40 b)Rút gọn phân thức a b3 c3 3abc a b a c b c 2 Câu (4 điểm) a)Thực phép tính: 2 2 2 2 b)Cho a b c 0; a,b,c Chứng minh đẳng thức 1 1 1 2 a b c a b c Câu (4 điểm) a)Giải phương trình: 2x2 2x 4x x y b)Giải hệ phương trình: x y 1 Câu (5 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC, BD vng góc với I (I khác O) Vẽ đường kính CE a)Chứng minh ABDE hình thang cân b)Chứng minh AB CD BC DA 2R c)Từ A B vẽ đường thẳng vng góc đến CD cắt BD F, cắt AC K Chứng A, B, K, F bốn đỉnh tứ giác đặc biệt Câu (3 điểm) Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động cho MAB tam giác có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tính giá trị lớn tích KH.KM HSG9-11-12-MỸ THỌ-PHÙ MỸ Câu ( 3,5 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n ta có: A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Câu ( 2,5 điểm) Tìm số tự nhiên n cho: n + 24 n – 65 hai số phương Câu ( 3,0 điểm) Cho a, b > a + b = 2 1 1 Chứng minh rằng: a b 12,5 a b Câu ( 3,0 điểm) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: E x y y x Câu ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC, điểm M nằm trung tuyến AD Gọi I, K trung điểm tương ứng MB, MC P, Q giao điểm tương ứng tia DI, DK với cạnh AB, AC Chứng minh: PQ // IK Câu ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi đường cao hạ từ đỉnh A,B,C xuống cạnh BC, CA AB tương ứng ha, hb, hc Gọi O điểm tam giác khoảng cách từ O xuống ba cạnh BC, CA AB tương ứng x, y z x y z Tính M hb hc HSG9-11-12-NGHỆ AN-BẢNG A Câu (4,0 điểm) a) Cho số nguyên a1, a2, a3, , an Đặt S = a1 a a n 3 P a1 a a n Chứng minh rằng: S chia hết cho P chia hết cho 6 b) Cho A = n n 2n 2n (với n N, n > 1) Chứng minh A khơng phải số phương Câu (4,5 điểm) a) Giải phương trình: 10 x 3x x y b) Giải hệ phương trình: y z z 3 x Câu (4,5 điểm) 1 x y z 1 1 Chứng minh rằng: 2x+y+z x 2y z x y 2z 2011 y2011 z 2011 b) Cho x > 0, y > 0, z > thỏa mãn x 2 Tìm giá trị lớn biểu thức: M x y z a) Cho x > 0, y > 0, z > Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O), H trực tâm tam giác Gọi M điểm cung BC không chứa điểm#A (M không trùng với B C) Gọi N P điểm đối xứng M qua đường thẳng AB AC a) Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng b) Khi BOC 120 , xác định vị trí điểm M để 1 đạt giá trị nhỏ MB MC Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B C) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E, đường thẳng vuông góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định HSG9-11-12-NGHỆ AN-BẢNG B Câu (5,0 điểm) a) Chứng minh với số nguyên n n n khơng chia hết cho b) Tìm tất số tự nhiên n cho n 17 số phương Câu (5,0 điểm) a) Giải phương trình: x 4x+5 = 2x+3 2x+y = x b) Giải hệ phương trình: 2y+x = y Câu (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 4x+3 x2 Câu (4,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE, CF tam giác ABC cắt H a) Chứng minh BH.BE + CH.CF = BC b) Gọi K điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh K (O) Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, điểm I chuyển động cung BC không chứa điểm A (I không trùng với B C) Đường thẳng vng góc với IB I cắt đường thẳng AC E, đường thẳng vng góc với IC I cắt đường thẳng AB F Chứng minh đường thẳng EF qua điểm cố định HSG9-11-12-THÁI BÌNH Câu (3,0 điểm) Cho tam giác vng có độ dài cạnh số nguyên số đo chu vi hai lần số đo diện tích Tìm độ dài cạnh tam giác Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức: P x 1 x x x 1 x x với x 1;1 Tính giá trị biểu thức P với x 1 2012 Câu (3,0 điểm) Tìm số thực x, y thỏa mãn: x 1 y 16x x 2x y 8x 3y 8xy Câu (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y x hai điểm A(-1;1), B(3;9) nằm (P) Gọi M điểm thay đổi (P) có hồnh độ m 1 m Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi I điểm nằm tam giác ABC (I không nằm cạnh tam giác) Các tia AI, BI, CI cắt BC, CA, AB M, N, P AI BI CI 2 AM BN CP 1 b) Chứng minh: AM.BN BN.CP CP.AM R OI a) Chứng minh: Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi x, y, z khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC, CA, AB r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: y zx Rr Câu (2,0 điểm) x;y R y 2 x Cho x; y thỏa mãn Chứng minh rằng: y x x;y HSG9-11-12-THANH HÓA Câu (4đ) Cho biểu thức P = x x x x 1 : 10 x x x 1 x 1)Rút gọn P 2)Tính giá trị P x = 3 2 32 4 32 3 2 Câu (4đ) Trong hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – parabol (P): y = - x2 Gọi A B giao điểm d (P) 1)Tính độ dài AB 2)Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) hai điểm C D cho CD = AB Câu (4đ) x2 x2 y 1)Giải hệ phương trình y y x 2)Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Câu (6đ) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC Gọi M trung điểm BC; H trực tâm; AD, BE, CF đường cao tam giác ABC Kí hiệu (C1) (C2) đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF DKE, với K giao điểm EF BC Chứng minh rằng: 1)ME tiếp tuyến chung (C1) (C2) 2)KH AM Câu (2đ) Với x; y; z Tìm tất nghiệm phương trình: x y z y zx z xy x yz x y z (Cán coi thi khơng giải thích thêm) ... x y 3xy 11 Câu (3đ) Cho ba số x, y, z thỏa mãn x y z 2 010 ? ?1 1 x y z 2 010 Tính giá trị biểu thức P x 200 7 y2007 y2009 z 200 9 z 2 011 x2 011 Câu (6đ) Cho... 670 Chứng minh rằng: x y z x yz 2 010 y zx 2 010 z xy 2 010 x y z HSG9- 10 -11 -ĐÀ NẴNG Câu (2,0 điểm) a ? ?1 a a ? ?1 a2 a a a ? ?1 Cho biểu thức: M với a > 0, a a a... có cạnh 3, với giả thiết khơng cắt bìa? HSG9- 11 -12 -GIA LAI Câu (3,0 điểm) a)Cho x 2 ? ?1 ? ?1 Tính giá trị biểu thức A x x3 x 2x 1? ?? 2 012 ? ?1 ? ?1 b)Chứng minh biểu thức P n n