Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 21 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
21
Dung lượng
2,27 MB
Nội dung
TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 Table of Contents HSG9-11-12-NINH GIANG HSG9-11-12-NINH GIANG HSG9-11-12-TAM DƯƠNG HSG9-11-12-TAM DƯƠNG HSG9-12-13-BÌNH GIANG HSG9-12-13-BÌNH GIANG HSG9-12-13-CẦN THƠ HSG9-12-13-CẦN THƠ HSG9-12-13-HẢI DƯƠNG HSG9-12-13-HẢI DƯƠNG HSG9-12-13-KIÊN GIANG HSG9-12-13-KIÊN GIANG HSG9-12-13-KIM THÀNH HSG9-12-13-KIM THÀNH HSG9-12-13-PHÚ THỌ HSG9-12-13-PHÚ THỌ HSG9-12-13-QUẢNG BÌNH HSG9-12-13-QUẢNG BÌNH HSG9-12-13-THANH HĨA HSG9-12-13-THANH HÓA HSG9-12-13-THƯỢNG VŨ-KIM THÀNH HSG9-12-13-THƯỢNG VŨ-KIM THÀNH HSG9-13-14-AN GIANG HSG9-13-14-AN GIANG HSG9-13-14-CẨM GIÀNG HSG9-13-14-CẨM GIÀNG HSG9-13-14-ĐỒNG NAI HSG9-13-14-ĐỒNG NAI HSG9-13-14-HẢI DƯƠNG HSG9-13-14-HẢI DƯƠNG HSG9-13-14-HẢI PHÒNG HSG9-13-14-HẢI PHÒNG HSG9-13-14-KIM THƯ-THANH OAI HSG9-13-14-KIM THƯ-THANH OAI HSG9-13-14-PHÚ THỌ HSG9-13-14-PHÚ THỌ HSG9-13-14-THANH HÓA HSG9-13-14-THANH HĨA HSG9-13-14-VĨNH BẢO HSG9-13-14-VĨNH BẢO THẦY HƯNG TỐN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 21 Trang TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-11-12-NINH GIANG Câu (3.0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A B 4 94 94 x24 x2 x24 x2 (với x >2) 4 1 x2 x Câu (2.0điểm) 1) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 2x + 5y + 3xy = a2 b2 c2 abc 2) Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 0 bc ca ab Câu (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: x2 y a) (4 x 1) x x x b) y z z2 x Câu (2,0 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm D đoạn OB Đường trung trực đoạn AD cắt (O) C cắt AD H Đường tròn đường kính BD cắt BC E.Chứng minh rằng: a) AC song song với DE b) HE tiếp tuyến đường trịn đường kính BD Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có BAC=1050 Đường trung tuyến BM đường phân giác CD cắt K cho KB = KC Kẻ đường cao AH (H BC) Chứng minh HA = HB THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-11-12-TAM DƯƠNG Câu (2,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A x3 y3 3( x y) 2011 Biết rằng: x 3 2 3 2 ; y 17 12 17 12 b) Rút gọn biểu thức: S 1 1 + + 2 2 3 2012 2011 2011 2012 Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: x x x b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x 3x y 4 Câu (2 điểm) a) Cho a, b, c số hữu tỉ khác thoả mãn: 1 1 a b c abc Chứng minh rằng: P (1 a )(1 b )(1 c ) số hữu tỉ b) Cho a, b, c > thoả mãn: a b c abc Chứng minh biểu thức: B a (1 b)(1 c) b(1 c)(1 a) c(1 a)(1 b) abc 2011 số Câu (2,5 điểm) Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, F Đường trịn tâm O’ bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC P phần kéo dài cạnh AB, AC tương ứng điểm M, N BC CA AB a) Chứng minh rằng: BP BP = CD b) Trên đường thẳng MN ta lấy điểm I K cho CK // AB, BI // AC Chứng minh rằng: BICE hình bình hành c) Gọi (S) đường tròn qua điểm I, K, P Chứng minh rằng: (S) tiếp xúc với đường thẳng BC, BI, CK Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực không âm abc = Chứng minh rằng: 1 1 a 2b b 2c c 2a HẾT - THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-12-13-BÌNH GIANG Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức: A x2 x 1 với x 0, x x x 1 x x 1 1 x 1) Rút gọn A 2) Chứng tỏ rằng: A Câu (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x 15 17 2) Tìm x, y cho: 5x x y y Câu (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, cho: x x p với p số nguyên tố m2 2013m 2012 2) Tìm m để hàm số bậc y x 2011 hàm số nghịch biến m2 2m Câu (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O ; R), hai đường cao BE CF tam giác cắt H Kẻ đường kính AK đường tròn (O ; R), gọi I trung điểm BC a) Chứng minh AH = 2.IO b) Biết BAC 60 , tính độ dài dây BC theo R 2) Cho ABC(A 90 ) , BC = a Gọi bán kính đường trịn nội tiếp ABC r Chứng minh rằng: r 1 a Câu (1,0 điểm) Cho x 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C x y 2 –––––––– Hết –––––––– THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-12-13-CẦN THƠ Câu (5,0 điểm) 1.Cho biểu thức P 2m 16m m 2 m 3 m 2 m 1 m 3 2 a)Rút gọn P b)Tìm giá trị tự nhiên m để P số tự nhiên 2.Tính giá trị a 15a 25 2013 với a 13 13 Câu (5,0 điểm) 1.Giải phương trình: x x 15 2x x 2.Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm 2x mx mx x Câu (5,0 điểm) 1.Tìm tất số nguyên dương x, y, z thỏa 1 2 x y z x y 2.Cho hai số x, y thỏa mãn 2 x y xy Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức T x y xy Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) hai điểm A, B nằm ngồi đường trịn cho OA = 2R Tìm điểm M đường trịn để MA + MB đạt giá trị nhỏ Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi P điểm di động cung BC không chứa A 1.Gọi M, N hình chiếu vng góc hạ từ A xuống PB, PC Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Gọi I, D, E chân đường cao hạ từ A, B, C xuống cạnh BC, CA, AB Chứng minh chu vi tam giác IDE không đổi A, B, C thay đổi đường tròn (O;R) cho diện tích tam giác ABC ln a THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-12-13-HẢI DƯƠNG Câu (2,0 điểm) 1)Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2)Cho x, y thỏa mãn a (b-2c)+b (c-a)+2c2 (a-b)+abc x y- y +1+ y+ y +1 Tính giá trị biểu thức A x +x3 y+3x +xy- 2y2 +1 Câu ( 2,0 điểm) 1)Giải phương trình (x - 4x+11)(x - 8x +21) 35 x+ x +2012 y+ y +2012 2012 2)Giải hệ phương trình 2 x + z 4(y+z)+8 Câu (2,0 điểm) 1)Chứng minh với số nguyên n (n2 + n + 1) khơng chia hết cho 2)Xét phương trình x2 – m2x + 2m + = (1) (ẩn x) Tìm giá trị ngun dương m để phương trình (1) có nghiệm nguyên Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC ngoại tiếp đường trịn tâm O Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF I M điểm di chuyển đoạn CE 1)Tính BIF 2)Gọi H giao điểm BM EF Chứng minh AM = AB tứ giác ABHI nội tiếp 3)Gọi N giao điểm BM với cung nhỏ EF (O), P Q hình chiếu N đường thẳng DE, DF Xác định vị trí điểm M để PQ lớn Câu (1,0 điểm) Cho số a, b, c thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức 1 B (a+b+c+3) + + a+1 b+1 c+1 Hết THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-12-13-KIÊN GIANG Câu (4 điểm) a)Tìm m để hàm số y m 2m x m nghịch biến đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ b)Tìm giá trị nhỏ M 5x2 y2 z2 4x 2xy z c)Cho x y 5 x2 y2 11 Tính x y3 Câu (4 điểm) a)Rút gọn: A x 5x x x : 2x 3x 3x x (x 2) x 1 1 b)Cho a, b, c thỏa mãn a b c abc Tính giá trị biểu thức Q a 27 b 27 b 41 c 41 c2013 a 2013 Câu (4 điểm) x 10 17 x 2x y5 2 b)Giải hệ phương trình: y 2x x ;y 5 3x 2y 19 Câu (4 điểm) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ AK // BC (K CD ) qua B kẻ BI // AD ( I CD ); BI cắt AC F, AK cắt BD E a)Chứng minh KD = CI EF // AB b)Chứng minh AB2 CD.EF Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) M điểm di động cung BC đường trịn a)Chứng minh: MB + MC = MA b)Xác định vị trí điểm M để tổng MA + MB +MC đạt giá trị lớn Gọi H, K, Q hình chiếu M AB, BC, AC; đặt diện tích tam giác ABC S diện 3(S 2S ') tích S’ CMR :MH MK MQ M di động cung BC 3R a)Giải phương trình: THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-12-13-KIM THÀNH Câu (4,0 điểm) a)Rút gọn biểu thức A x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x b)Cho x, y, z thoả mãn: xy yz zx Hãy tính giá trị biểu thức A x Câu (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z (1 x ) (1 y ) (1 z ) (3,0 điểm) a)Cho hàm số: f x x3 12 x 31 2012 Tính f a a 16 16 b)Tìm số tự nhiên n cho n2 17 số phương? Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x x b) x2 x 2 x Câu (3,0 điểm) a)Tìm x; y thỏa mãn: x y y x xy b)Cho a; b; c số thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn: a2 b2 c2 Hãy chứng minh rằng: a b c Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK ; BD; CE cắt H a)Chứng minh: KC AC CB BA2 KB CB BA2 AC b) Giả sử: HK AK Chứng minh rằng: tan B.tan C c) Giả sử S ABC 120 cm2 BAC 60 Hãy tính diện tích tam giác ADE ? THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-12-13-PHÚ THỌ Câu ( 3,0 điểm) 1) Giải phương trình nghiệm nguyên 8x2 3xy y 25 2)Tìm tất số nguyên dương n cho A= n.4n 3n Câu ( 4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A= 10 30 2 : 10 2 1 2) Cho số thực dương a,b,c,x,y,z khác thoả mãn Chứng minh x yz y zx z xy a b c a bc b ca c ab x y z Câu ( 4,0 điểm) 1) Cho phương trình: x2 6x m (Với m tham số) Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn x12 x2 12 8x y 27 18 y 2) Giải hệ phương trình: 2 4x y 6x y Câu ( 7,0 điểm) 1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC đường trịn (O) thay đổi ln vng góc cắt BD H Gọi P,Q,R,S chân đường vng góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB a) CMR: HA2 HB2 HC HD2 không đổi b) CMR: PQRS tứ giác nội tiếp 2) Cho hình vng ABCD MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q thuộc cạnh AB,BC,CD,DA MN NP PQ QM hình vng CMR: S ABCD ≤ AC Câu ( 2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương CMR: ab bc ca abc a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang TÀI LIỆU TỐN NC NH 2021 - 2022 HSG9-12-13-QUẢNG BÌNH Câu (2.0 điểm) Cho biểu thức: P x x 26 x 19 x x 3 x x 3 x 1 x 3 a)Rút gọn P b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Câu (2.0 điểm) Cho phương trình x2 2mx m a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x13 x23 26m b) Tìm m ngun để phương trình có hai nghiệm nguyên Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn (O) Đường thẳng d thay đổi qua A cắt cung nhỏ AB điểm thứ hai E (E A) Đường thẳng d cắt hai tiếp B C đường tròn (O) M N MC cắt BN F Chứng minh rằng: a) Tam giác CAN đồng dạng với tam giác BMA, tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN b) Tứ giác BMEF tứ giác nội tiếp c) Chứng minh đường thẳng EF ln qua điểm có định d thay đổi qua A Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c =6 Chứng minh rằng: bc5 ca4 ab3 Dấu đẳng thức xảy nào? 1 a 2b 3 c Câu (1,0 điểm) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n 4n THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT hợp số Trang 10 TÀI LIỆU TỐN NC NH 2021 - 2022 HSG9-12-13-THANH HĨA Câu (2.0 điểm) x 2 x 3 x 2 x Cho biểu thức: A : x 5 x 6 2 x x x 1/ Rút gọn biểu thức A 2/ Tìm giá trị x để A Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P): y = ax2 a đường thẳng (d): y = bx + 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Câu (2.0 điểm) 1/ Cho phương trình: x (2m 1) x m m (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x 1 y 1 2/ Giải hệ phương trình: 1 x y 1 2 Câu (3.0 điểm): Cho A điểm cố định nằm ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ tới đường tròn (P Q tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng OQ M 1/ Chứng minh rằng: MO = MA 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB AC BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường trịn PQ//BC Câu (1.0 điểm) Cho x, y số thực dương thoả mãn: Chứng minh rằng: x y 5x2 y xy y THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang 11 TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-12-13-THƯỢNG VŨ-KIM THÀNH Câu (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z Hãy tính giá trị biểu thức: A = x (1 x ) (1 y ) (1 z ) Câu (3,0 điểm) a) Cho hàm số: f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) a = 16 16 b) Tìm số tự nhiên n cho n2 + 17 số phương? Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x x b) x2 x 2 x Câu (3,0 điểm) a) Tìm x; y thỏa mãn: x y y x xy b) Cho a; b; c số thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = chứng minh rằng: a+b+c Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AK; BD; CE cắt H a) Chứng minh: KC AC CB BA2 KB CB BA2 AC AK Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c) Giả sử SABC = 120 cm2 BÂC = 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE? b) Giả sử: HK = THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang 12 TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-13-14-AN GIANG Câu (3đ) Tính 1 1 T 1 2 3 4 99 100 Câu (4đ) Cho đa thức P(x) x x;g(x) x (x 1)x a)Hãy phân tích đa thức P(x) – g(x) thành tích nhân tử b)Chứng tỏ x số ngun P(x) ln chia hết cho Câu (4,0 đ) Cho x1 ;x 0;1 a)Chứng minh 1 x1 4x12 b)Chứng minh rằng: 1 x1 x x12 x 22 Câu (4,0 đ) 5x 3y Cho hệ phương trình x 5y a)Giải hệ phương trình b)Tìm phương trình bậc hai ẩn x; y nhận nghiệm nghiệm hệ phương trình cho nghiệm (0;0) Câu (5,0 đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB = cm Lấy điểm M đường tròn cho BAM 300 Tiếp tuyến với đường tròn điểm A điểm M cắt C CM cắt AB D a)Chứng minh BM song song với OC Tính diện tích tam giác ACD THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang 13 TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-13-14-CẨM GIÀNG Câu (2,0 điểm) a) Cho biểu thức: A x x 1 2013 Tính giá trị A x 3 1 1 1 1 b) Cho x x 2013 y y 2013 2013 Chứng minh x 2013 y 2013 Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x x x 5 x b) Chứng minh a b c , với a, b, c bc ac ba Câu (2,0 điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức x x x x 2013 cho đa thức x 10 x 21 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3y2 x xy x y 2017 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC , A 90, AB AC , đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB AC Chứng minh: a) DE BH.HC b) AH BC.BD.CE Cho tam giác ABC , BC a, AC b, AC c Chứng minh: sin A a bc Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh: 1 1 1 abc bca cab a b c THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang 14 TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-13-14-ĐỒNG NAI Câu (4 điểm) Tìm số thực x thỏa x4 2x3 x2 2x Câu (4 điểm) x3 2y Giải hệ phương trình: y 2x 1 Câu (4 điểm) m2 n Cho m n hai số nguyên dương lẻ thỏa n m 1)Hãy tìm cặp gồm hai số nguyên dương lẻ m;n thỏa điều kiện cho với m n 2)Chứng minh m n 4mn Câu (4 điểm) 1)Tính số ước dương số 1000 2)Tính số ước dương chẵn số 1000 Câu (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc CAB, ABC, BCA góc nhọn Gọi (O) đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với hai cạnh AB, AC D, E Gọi M giao điểm hai đường thẳng OB DE, gọi N giao điểm hai đường thẳng OC DE Chứng minh bốn điểm B, C, M, N thuộc đường tròn THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang 15 TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-13-14-HẢI DƯƠNG Câu (2 điểm) a)Rút gọn biểu thức A 1 1 x2 (1 x)3 (1 x)3 1 x2 với 1 x b) Cho a b số thỏa mãn a > b > a3 a2b ab2 6b3 Tính giá trị biểu thức B a 4b4 b 4a Câu (2 điểm) a) Giải phương trình x ( x 2) x x x3 x y b) Giải hệ phương trình y y x Câu (2 điểm) a) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy xy x 32 y b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn 2a2 a 3b2 b Chứng minh 2a 2b 1 số phương Câu (3 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H điểm di động đoạn OA (H khác A) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB a) Chứng minh HKM 2AMH b) Các tiếp tuyến (O, R) A B cắt tiếp tuyến M (O, R) D E OD, OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF = OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Câu (1 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 2ab 6bc 2ac 7abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức C 4ab 9ac 4bc a 2b a 4c b c THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang 16 TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-13-14-HẢI PHÒNG x y x y x y 2xy : 1 xy xy xy Câu (4 điểm) Cho biểu thức: P a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x 2 Câu (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi D L đồ thị hai hàm số: y x y x 2 a) Vẽ đồ thị D L b) D L cắt M N Chứng minh OMN tam giác vuông Câu (4 điểm) Giải phương trình: 6x 5x 38x 5x Câu (2 điểm) Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a , vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1 AM AI a Câu (6 điểm) Cho hai đường trịn O O ngồi Đường nối tâm OO / / cắt đường tròn O O điểm A , B , C , D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF , E O F O Gọi M giao điểm AE DF ; N giao điểm EB FC Chứng / / minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN AD c) ME.MA MF.MD THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang 17 TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-13-14-KIM THƯ-THANH OAI Câu (5 đ) a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x2 + 4x = 19 – 3y2 b/ Tìm số nguyên tố mà tích chúng lần tổng chúng Câu ( đ): Giải phương trình: x x 10 14 x Câu ( đ) a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x y y x b/ Cho x, y, z số dương thoả mãn Chứng minh rằng: 1 6 x y yz zx 1 3x y z 3x y 3z x y 3z Câu ( đ) Cho điểm A di chuyển đường tròn O đường kính BC = 2R ( A khơng trùng với B C) Trên tia AB lấy điểm M cho B trung điểm AM Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC I trung điểm HC a/ CMR: M chuyển động đường tròn cố định b/ CMR: AHM đồng dạng với CIA Câu ( đ) Cho hai điểm A, B cố định điểm M di động cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB K chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tìm GTLN tích KH.KM THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang 18 TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-13-14-PHÚ THỌ Câu ( 3,0 điểm) a) Giải phương trình tập số nguyên x 5y 4xy 4x 8y 12 b)Cho P(x) x 3x 14x Tìm số tự nhiên x nhỏ 100 mà P(x) chia hết cho 11 Câu ( 4,0 điểm) a 3a a)Tính gía trị biểu thức P , biết a 55 3024 55 3024 a 4a 5a 3 b)Cho số thực x,y,z đôi khác thỏa mãn x 3x 1; y 3y 1, z 3z Chứng minh x y z Câu ( 4,0 điểm) x 1 3x 4x 2 3x 2y 4xy x 8y b) Giải hệ phương trình: 2 x y 2x y a) Giải phương trình 3x Câu ( 7,0 điểm) Cho đường trịn (O;R) dây cung BC khơng qua tâm.Gọi A cung nhỏ BC.Góc nội tiếp EAF quay quanh điểm A có số đo không đổi cho E F khác phía với điểm A qua BC ;AE AF cắt BC M N.Lấy điểm D cho tứ giác MNED hình bình hành a)Chứng minh tứ giác MNEF nội tiếp b) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF.Chứng minh góc nội tiếp EAF quay quanh A I chuyển động đường thẳng cố định c) Khi 60 BC=R,tính theo R độ dài nhỏ đoạn OI Câu ( 2,0 điểm) Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3 Chứng minh 2x2 y z 2 y x2 z 2z y x2 xyz yz xz yx -Hêt— THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang 19 TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-13-14-THANH HÓA xy x xy x Câu (4,0 điểm): Cho biểu thức A x 1 : x 1 xy 1 xy xy xy Rút gọn biểu thức A Cho Tìm giá trị lớn A x y Câu (5,0 điểm) 1.Cho phương trình x 2m 2x m2 2m Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x thỏa mãn 1 x x2 x1 x2 15m x y z Giải hệ phương trình 4 x y z xyz Câu (4,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương (a; b) cho (a + b2) chia hết cho (a2b – 1) Tìm x, y, z N thỏa mãn x2 y z Câu (6,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm C cố định thuộc đoạn thẳng AO (C khác A C khác O) Đường thẳng qua C vng góc với AO cắt nửa đường tròn cho D Trên cung BD lấy điểm M (M khác B M khác D) Tiếp tuyến nửa đường tròn cho M cắt đường thẳng CD E Gọi F giao điểm AM CD Chứng minh tam giác EMF tam giác cân Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FDM Chứng minh ba điểm D, I, B thẳng hàng Chứng minh góc ABI có số đo khơng đổi M di chuyển cung BD Câu (1,0 điểm): Cho x, y số thực dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức B 3 x y xy THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang 20 TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2021 - 2022 HSG9-13-14-VĨNH BẢO x y x y x y 2xy : 1 xy xy xy Câu (4 điểm) Cho biểu thức: P a)Rút gọn biểu thức P b)Tính giá trị P với x 2 Câu (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) (L) đồ thị hai hàm số: y x y x 2 a)Vẽ đồ thị (D) (L) b)(D) (L) cắt M N Chứng minh OMN tam giác vuông Câu (4 điểm) Giải phương trình: 6x 5x 38x 5x Câu (2 điểm) Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I Chứng minh rằng: 1 AM AI a Câu (6 điểm) Cho hai đường trịn ( O) ( O/) ngồi Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O) ( O/) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF, E ( O) F ( O/) Gọi M giao điểm AE DF; N giao điểm EB FC Chứng minh rằng: a)Tứ giác MENF hình chữ nhật b)MN AD c)ME.MA = MF.MD THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang 21 ...TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2 021 - 2022 HSG9- 11-12-NINH GIANG Câu (3.0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: A B 4 94 94 x24 x2 x24... HA = HB THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang TÀI LIỆU TOÁN NC NH 2 021 - 2022 HSG9- 11-12-TAM DƯƠNG Câu (2,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A x3 y3 3( x y) 2011... - THẦY HƯNG TOÁN BMT 0349826070 14/3 Trần Hưng Đạo, BMT Trang TÀI LIỆU TỐN NC NH 2 021 - 2022 HSG9- 12-13-BÌNH GIANG Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức: A x2 x 1 với x 0, x x x 1