Thông tin tài liệu
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết BC cm, BH cm 1) Tính độ dài đoạn thẳng AB , AC , AH 2) Trên cạnh AC lấy điểm K ( K �A, K �C ) , gọi D hình chiếu A BK Chứng minh rằng: BD.BK BH BC S BHD S BKC cos � ABD 3) Chứng minh rằng: Lời giải 1) Xét ABC vuông A ; đường cao AH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AB BH BC 2.8 16 � AB cm AC HC.BC BC BH BC 6.8 48 � AC cm AH HB.HC � AH cm 2) Xét tam giác vng ABK , đường cao AD ta có: AB BD.BK Xét tam giác vuông ABC , đường cao AH ta có: AB BH BC (1) (2) Từ (1) (2) suy BD.BK =BH BC AB (đpcm) 3) Gọi E hình chiếu H lên BD , F hình chiếu C lên BK Ta có S BHD S BKC HE.BD 2 HE BD BH BD BH BD.BK BH BA2 1 CF BK cos.� ABD 2 CF BK BC BK BC BK BC BK � S BHD Câu 2: S BKC cos � ABD Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH a) Biết AB cm, AC cm Giải tam giác ABC b) Kẻ HD, HE vng góc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ) Chứng minh BD.DA CE.EA AH c) Lấy điểm M nằm E C , kẻ AI vng góc với MB I Chứng minh HI sin � AMB.sin � ACB CM Lời giải a) Biết AB cm, AC cm Giải tam giác ABC Xét ABC vuông A , đường cao AH có: AB AC BC � 42 (4 3) BC � BC cos � ABC � � ABC 60o � � � 90o 60o 30o ABC ACB 90o � � ACB 90o ABC b) Kẻ HD, HE vng góc với AB, AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ) Chứng minh BD.DA CE.EA AH Xét ABH vuông H , DH đường cao Ta có HD BD.DA Xét AHC vng H , đường cao HE có: HE AE.EC o � � � � Vì DAE AEH EHD HDA 90 nên tứ giác DAEH hình chữ nhật � HE DA Xét ADH vuông D có: DA2 DH AH � HE DH AH (do HE DA) � BD.DA CE.EA AH c) Lấy điểm M nằm E C , kẻ AI vng góc với MB I Chứng minh HI sin � AMB.sin � ACB CM Xét ABM vng A có đường cao AI Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có : BI BM AB Xét ABC vng A có đường cao AH Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có : BH BC AB � BI BM BH BC ( AB ) BH BC � BM BI Xét AHI BMC có BH BC BM BI � IBC chung � AHI BMC (c-g-c) HI BI Suy ra: MC BC AB BM Xét ABM vuông A ta có: AB sin � ACB BC Xét ABC vng A ta có: AB AB AB sin � ABM sin � ACB � BM BC BM BC mà BI BM AB sin � AMB AB BI BM BI HI BI � BM BC BM BC BC mà MC BC HI sin � ABM sin � ACB MC (đpcm) sin � ABM sin � ACB Câu 3: � Cho ABC nhọn có ABC 60�, đường cao AH Đường thẳng qua C vng góc với AC cắt đường thẳng AH D Gọi E F hình chiếu H AC CD a) Nếu AH 3cm, AC cm Tính độ dài đoạn thẳng HC , HD , CD ? b) Chứng minh CF CD CE.CA c) Biết AB BC cm, tìm giá trị lớn diện tích tam giác ABC Lời giải a) Nếu AH 3cm, AC cm Tính độ dài đoạn thẳng HC , HD , CD ? +) Xét AHC vuông H , đường cao HE ta có: AH HC AC (định lý Py-ta-go) � HC AC AH 52 32 25 16 � HC (cm) HC CE AC (quan hệ cạnh đường cao tam giác vuông) � CE HC 42 16 3, AC 5 (cm) � � � +) Xét tứ giác HECF có: HEC ECF HFC 90� � tứ giác HECF hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết) � HF CE 3, (cm) +) Xét CHD vuông H , đường cao HF ta có: 1 2 HF HC HD (quan hệ cạnh đường cao tam giác vuông) � 1 2 HD HF HC 42 3, HC HF 256 � HD 2 HC HF 42 3, 2 � HD 256 16 �5,3 (cm) Có: HF CD HC.HD (quan hệ cạnh đường cao tam giác vuông) 16 HC.HD 20 � CD �6, 16 HF (cm) b) Chứng minh CF CD CE.CA +) Xét AHC vuông H , đường cao HE ta có: HC CE AC (quan hệ cạnh đường cao tam giác vuông) 1 +) Xét CHD vuông H , đường cao HF ta có: HC CF CD (quan hệ cạnh đường cao tam giác vuông) Từ 1 2 � CF CD CE.CA (điều phải chứng minh) c) Biết AB BC cm, tìm giá trị lớn diện tích tam giác ABC Ta có: S ABC AH BC Vì ABH vng H nên ta có AH AB.sin B Do đó: S ABC 1 3 AB.BC.sin B AB.BC.sin 60� AB.BC AB.BC 2 2 2 �AB BC � �8 � AB.BC �� � � � 16 � � �2 � Mặt khác Dấu “=” xảy AB BC cm Do đó: Vậy Câu 4: SABC � 16 cm2 max SABC cm2 ABC cân B Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH ( H �BC ) � a) Biết AB 12cm, BC 20cm , Tính AC , AH ABC ( làm trịn đến độ); b) Kẻ HM vng góc với AB M , HN vng góc với AC N Chứng minh: AN AC AC HC ; c) Chứng minh: AH MN AM MB AN NC AH ; d) Chứng minh: tan C BM CN Lời giải a) Xét tam giác ABC vuông A , ta có: BC AB AC (Định lý Pytago) 2 2 2 Hay 20 12 AC � AC 20 12 16 � AC 16 cm Xét tam giác ABC vng A đường cao AH Ta có: AB AC AH BC ( Hệ thức đường cao cạnh góc vng) � AH AB AC 12.16 9, BC 20 AC 16 sin ABC � BC 20 Ta có: � ABC 53 � Vậy AC 16 cm, AH 9, chứng minnh, ABC �53� b) Xét AHC đường cao HN Có: AN AC AH (Hệ thức đường cao cạnh góc vng) (1) AC AH HC (Định lý Pytago) � AH AC HC (2) 2 Từ (1), (2) � AN AC AC HC � � � c) Ta có: MAN ANH AMH 90� � ANHM hình chữ nhật � AH MN Xét AHB , AHC MHN có: �AM MB MH � �AN NC HN �MN HN HM � � AM MB AN NC HN HM MN AH d) Xét tam giác ABC vuông A , đường cao AH ,ta có: AB BH BC BH �AC CH BC � � AC CH BC CH �AB BH BC Lại có: HM // AC HN // AB � BM BH AM CH (định lý talet) HN NC AB NH � AB AC AC CN Từ (3), (4), (5) Câu 5: � � (3) (4) (5) AB AB BM NH AB BM tan C AC AC AM CN hay AC CN Cho tam giác ABC nhọn , đường cao AK � , AK 3cm a) Giải tam giác ACK biết C 30� b) Chứng minh AK BC cot B cot C � � 30� ,C c) Biết BC 5cm, B 68� Tính diện tích tam giác ABC ( kết làm tròn chữ số thập phân thứ nhất) cot � ACB 2 DN DB d) Vẽ hình chữ nhật CKAD , DB cắt AK N Chứng minh AK Lời giải � � a) Xét tam giác ACK vng K có C 30�� B 60�( theo định lí tổng ba góc tam giác) AK �= Sin C = �� Sin 30 AC AC AC AC (cm) ACK Theo định lí Pitago tam giác vng ta có KC AC AK 62 32 27 3 (cm) b) Xét tam giác vng AKB ta có cot B BK AK KC AK Xét tam giác vng AKC ta có BK KC BK KC BC cot B cot C AK AK AK AK Nên BC AK cot B cot C (đpcm) Vậy cot C c) Xét tam giác vuông AKB ta có tan B AK � AK tan B.BK BK AK � AK tan C.CK CK Xét tam giác vng AKC ta có tan B KC tan 68� KC tan B.BK tan�C.� KC tan C BK tan 30� BK Từ ta có BK 43 53 KC BC BK BK � � BK 10 BK 10 Mà Vậy BK 0, 9; KC 4,1 tan C Xét tam giác vng AKC có AK AK AK tan C = = ��tan 30 AK CK CK CK 1 S ABC AK BC 2, 4.5 cm 2 Vậy CK 2, � � � d) Kẻ DI BD D ADN CDI ( phụ với CDN ), KC BK (cm) 4, 43 10 Khi ADN ∽ CDI g g AD AN DN DN AD ND AD � AD.DI DN DC � � DI DI DC DI DC Suy CD CI Vì AK DC ( tính chất hcn) 2 � � � cot � � AD ND ACB DAC ACB cot DAC DC DI Điều cần chứng minh tương đương với ND 1 1 � 2 2 2 DC DI DN DB DC DI DB (luôn theo hệ thức lượng tam giác vng BDI có đường cao DC ) (Đpcm) Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Gọi E hình chiếu H AB a Biết AE 3, 6cm ; BE 6, 4cm Tính AH , EH góc B (Số đo góc làm trịn đến độ) b Kẻ HF vng góc với AC F Chứng minh AB AE AC AF c Đường thẳng qua A vng góc với EF cắt BC D ; EF cắt AH O S AOE S ADC sin B.sin C Chứng minh Lời giải a Biết AE 3, 6cm ; BE 6, 4cm Tính AH , EH góc B (Số đo làm trịn đến độ) Ta có: AB AE EB 3, 6, 10cm � ; HE AB Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng AHB có AHB 90� Ta có: AH AE AB � AH 3, 6.10 36 6cm Và: EH AE.EB � EH 3, 6.6, 4,8cm Sin B AH 0, AB 10 � 36 52 ' �B b Chứng minh AB AE AC AF � ; HE AB Xét ABH có : AHB 90� Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AB AE AH (1) � ; HF AC Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AHC có: AHC 90� � AF AC AH (2) Từ (1) (2) � AB AE AC AF (dpcm) c) Chứng minh: S ADC S AOE sin B.sin C Gọi I giao điểm AD EF Ta có: AE AB AF AC � AE AF AC AB Dễ dàng chứng minh AEF ∽ACB (c.g.c) �� AFI � ABH ; � ACD � AEO (1) � � Mà CAD AFI 90 � � EAO ABH 900 � CAD � � EAO (2) Từ (1); (2) � ADC ∽AOE ( g g ) 2 2 S �AC � �AC AH � AC AH � ADC � � � � S AOE �AE � �AH AE � AH AE � S ADC Câu 7: S AOE S AOE 2� �AH � �AE � sin C.cos EAO � �� � �AC � �AH � 2 Cho tam giác ABC vuông A S AOE sin C.sin B AB AC , đường cao (đpcm) AH � cosABC Tính BC , AC , BH a) Cho AB cm b) Kẻ HD AB D , HE AC E Chứng minh AD AB AE AC 1 2 AD AE c) Gọi I trung điểm BC , AI cắt DE K Chứng minh: AK Lời giải A � AB BC.cos C � BC a) Tam giác ABC vuông AB 10 cm cos C Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng ABC có: BC AB AC � AC BC AB 102 62 64 � AC cm ABC vuông A , đường cao AH ta có: AB BH BC � BH AB 62 3, cm BC 10 b) ABH vuông H , đường cao HD ta có: AH AD AB ACH vuông H , đường cao HE ta có: AH AE AC � AD AB AE AC c) Tam giác ABC vuông A , AI đường trung tuyến � AI IB IC BC � AIC � � cân I � IAC ICA Xét hai tam giác AED ABC có chung góc A ; 1 AD AB AE AC � AD AE AC AB � � Suy AED ∽ ABC (c – g – c) � AED ABC 2 � � Mà tam giác ABC vuông A � ABC ICA 90� 3 Từ 1 , , 3 � � � suy IAC AED 90�� AKE 90�� AK ED K 1) Vì ABC vng A , đường cao AH nên AB BH BC (Hệ thức lượng tam giác vuông) Thay số: BH 3, cm; BC 10 cm ta có: AB 3, 6.10 36 � AB (cm, AB ) 2 Mặt khác: AB AC BC (Định lí Pi ta go) 2 Thay số ta có: AC 10 � AC 102 62 � AC 64 � AC (cm, AC ) Lại có: AH BC AB AC (Hệ thức lượng tam giác vuông) Thay số ta có: AH 10 6.8 � AH 48 10 � AH 4,8 (cm) 2) Vì AHB vuông H , đường cao DH nên AH AD AB (Hệ thức lượng tam giác vuông) Và AHC vuông H , đường cao EH nên AH AE AC (Hệ thức lượng tam giác vuông) Nên AE AC AD AB � AE AD AB AC Xét ABC AED có: AE AD AB AC � BAC chung Nên ABC �AED ( c-g-c) 3) ) Vì AHB vng H nên BH AB.cos B (Hệ thức lượng tam giác vuông) (1) AHC vuông H nên CH AC.CosC (Hệ thức lượng tam giác vuông) (2) Mà BC BH HC (3) Từ (1), (2), (3) ta có: BC AB.cos B AC.cos C 2 b/ Xét vế phải = S ABC sin B.sin C Mà S ABC (4) AB AC (5) AH �AH � sin B � sin B � � AB �AB � (6) AHB vuông H nên AH �AH � sin C � sin C � � AC �AC �(7) AHC vuông H nên Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có: S ABC sin B.sin C 2 �AH � �AH � AB AC � � � � �AC � �AB � AH AH S ABC sin B.sin C � AC AB (8) 2 Mà AH AD AB (cmt) (9) AH AE AC (cmt) (10) Thay (9), (10) vào (8) ta có: AE AC AD AB S ABC sin B.sin C AC AB � S ABC sin B.sin C AD AE � S ABC sin B.sin C S ADE (đpcm) Câu 20: Cho tam giác ABC vng A có AH đường cao, AB cm; AC 8cm � a) Tính BC , CH , ABC ( góc làm trịn đến độ) b) Vẽ HE AB( E �AB), HF AC ( F �AC ) Chứng minh AE AB AF AC Từ suy AEF ∽ ACB c) Gọi K trung điểm BC Chứng minh AK EF Lời giải � a) Tính BC , CH , ABC ( góc làm trịn đến độ) Xét ABC vuông A đường cao AH , ta có BC AB AC ( Định lí Pi – ta – go) � BC AB AC 36 64 10 Áp dụng hệ thức lượng tam giác, ta có AC BC.CH � CH AC Sin � ABC � BC 10 AC 64 6, BC 10 � ABC 53 b) Vẽ HE AB( E �AB ), HF AC ( F �AC ) Chứng minh AE AB AF AC Từ suy AEF ∽ACB Xét AHB vuông H đường cao HE , ta có AH AE AB (1) Xét AHC vng H đường cao HF , ta có AH AF AC (2) Từ (1) (2) suy ra: Từ AE AB AF AC AE AC AF AB AEF ∽ABC (c g.c) AE AB AF AC � Suy ra: c) Gọi K trung điểm BC Chứng minh AK EF AEF ∽ACB(cmt ) � � AFE � ABC (1) Từ: Xét ABC vng A có AK đường trung tuyến, ta có BC KC suy AKC cân K � � � � � Suy ra: KAC ACK , Lại có: BAH ACK (cùng phụ HAC ) � � Suy KAC BAH (2) � � � � Mà ABC BAH 90�� KAC AFE 90� � 90�� AK EF � AIF (đpcm) ABC Câu 21: Cho tam giác vng A có đường cao AH AK 1) Cho biết AB cm, AC cm Tính độ dài đoạn thẳng BC , HB, HC , AH 2) Vẽ HE vng góc với AB E , HF vng góc với AC F a) Chứng minh: AE.EB EH b) Chứng minh: AE AB AF FC AH 3) Chứng minh: BE BC.cos B Lời giải 1) Xét ABC vng A có AH đường cao 2 + Áp dụng định lý Pitago có : AB AC BC Thay số ta có: BC 5cm + Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có: AH BC AB AC Thay số ta có: 3.4 AH � AH 12 cm 32 BH � BH cm AB BH BC Thay số ta có: Từ ta suy CH 16 cm 2) Xét ABH vng H có: đường cao EH AE.EB EH (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Chứng minh tương tự ta có: AF FC FH (2) Từ (1) (2) ta có: AE.EB AF FC EH FH � � � Xét tứ giác AEHF có: EAF HEA HFA 90� Nên tứ giác AEHF hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết) � Từ ta suy : EHF 90� Nên tam giác EHF tam giác vuông H 2 Theo định lý Pitago có: EH FH EF Mà EF AH ( AEHF hình chữ nhật) Từ ta có : AE.EB AF FC EH FH EF AH (điều phải chứng minh) 3) Xét tam giác vng BEH có: 2 BE BE �BE � BE cos B � cos B � � BH �BH � BE AB AB Xét tam giác vng ABC có: AB cos B BC (tỉ số lượng giác) Từ ta có: BE AB cos3 B AB BC BE � cos3 B � BE BC.cos3 B BC ( điều phải chứng minh) O Trên cạnh BC lấy điểm N , gọi E F lần Câu 22: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn lượt hình chiếu N AB , AC Gọi D trung điểm BC a) Chứng minh điểm A , E , N , F thuộc đường tròn Xác định tâm I đường trịn b) Chứng minh rằng: BN BD BE.BA c) Chứng minh rằng: ED FD d) Gọi H giao điểm hai đường chéo tứ giác EIFD Chứng minh rằng: O , H , N thẳng hàng Lời giải a) Gọi I trung điểm AN Xét tam giác AEN vng E , ta có: EI AI IN (Tính chất trung tuyến tam giác vng) (1) Chứng minh tương tự ta có IA IN IF (2) Từ (1) (2) có: IA IE IN IF Hay A , E , N , F thuộc đường tròn tâm I b) Ta có tam giác ABC nên đường trung tuyến AD đồng thời đường cao hay AD BC � � BEN ADB 90o � BEN BDA B Xét , ,có: (chung); BEN ∽ BDA (g-g) � BN BE � BN BD BE.BA BA DB c) Ta có ID IA IN (Tính chất trung tuyến tam giác vuông) (3) Từ (2), (3) � ID IF � � Lại có DIF 2.DAF 60� � DIF � ID IF DF Chứng minh tương tự ta có : IE ID ED � ED DF d) Từ câu c, ta có: IE IF FD DE � FDEI hình thoi � H trung điểm ID Gọi K trung điểm AO , tam giác ABC nên AD qua O O trọng tâm � AK KO OD Xét hai tam giác ANO , KID Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác có HO // IK ON // KI � Ba điểm O , H , N thẳng hàng (tiên đề Ơ-cơ-lit) Câu 23: Cho đường tròn O có đường kính AB R điểm C thuộc đường trịn ( C khác A B ) Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B C ) Tia AD cắt cung nhỏ BC E , tia AC cắt BE F a) Chứng minh điểm F , C , D, E thuộc đường tròn b) Chứng minh DA.DE DB.DC � � c) Gọi I trung điểm FD Chứng minh CFD OCB tia IC tiếp tuyến đường tròn O � d) Cho biết DF R , chứng minh tan AFB Lời giải � � a) Do C E thuộc đường tròn đường kính AB nên ACB AEB 90 � FEB � 900 � FCD Do điểm F , C , D, E thuộc đường trịn đường kính DF � � � � b) Xét DAC DBE có ACD BED 90 ADC DBE (hai góc đối đỉnh) � DAC �DBE ( gg ) � DA DB � DA.DE DB.DC DC DE c) * Gọi giao điểm FD AB K AE BF ; BC CF ; BC �AE D Xét tam giác AFB có nên D trực tâm AFB Suy FK AB � � � � Xét AFK vng K có AFK FAK 90 � CFI CAB 90 (1) � � � � Xét ABC vuông C có CAB CBA 90 � CAB CBO 90 (2) � � � � Từ (1) (2) � CFI CBO � CFD CBO Do C thuộc đường trịn đường kính AB nên CO OB R � OCB cân O � CBO � � � � � � OCB Mà CFD CBO nên CFD OCB * Do C thuộc đường trịn đường kính DF ; I trung điểm FD nên IC IF � ICF � � � � � � � � � � cân I � CFD FCI Mà CFD OCB nên FCI OCB � FCI ICD OCB ICD � ICO � 900 � CI CO � FCD O Vậy tia IC tiếp tuyến đường tròn � � � � d) Xét FCD BCA có FCD BCA 90 CFD CBA (câu c) � FCD�BCA ( gg ) � FC FD R BC � 2 BC BA R FC Xét BCF vng C ta có : Câu 24: Cho đường tròn đường tròn O O; R � tan AFB= BC 2 FC từ điểm M nằm ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến MA , MB với ( A , B tiếp điểm) MO cắt AB K Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A , B , M , O thuộc đường tròn � � b) MOA MOB OK KM AB c) Gọi H trực tâm MAB Tứ giác AOBH hình gì? Lời giải a) Xét O có MA , MB tiếp tuyến cắt M � OA MA A , OB MB B (tính chất) MA MB (tính chất) �O � O (tính chất) Xét MAO vng A có MO cạnh huyền � A , M , O thuộc đường trịn đường kính MO 1 Xét MBO vng B có MO cạnh huyền � B , M , O thuộc đường trịn đường kính MO Từ 1 2 2 � Bốn điểm A , B , M , O thuộc đường tròn đường kính MO � � b) Ta có: O1 O2 (chứng minh trên) � � hay MOA MOB Ta có: MA MB (chứng minh trên) OA OB R � MO đường trung trực AB � MO AB K KA KB AB (tính chất) Xét MAO vng A , đường cao AK có: OK KM AK (hệ thức lượng tam giác vuông) hay OK KM AB (điều phải chứng minh) c) Do H trực tâm MAB nên BH MA AH MB (tính chất) Ta có: BH MA (chứng minh trên) OA MA (chứng minh trên) � BH // MA (quan hệ từ vuông góc đến song song) Ta có: AH MB (chứng minh trên) OB MB (chứng minh trên) � AH // OB (quan hệ từ vng góc đến song song) Xét tứ giác AHOB có: BH // MA (chứng minh trên) AH // OB (chứng minh trên) � Tứ giác AHOB hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) Mà HO AK K (chứng minh trên) � Tứ giác AHOB hình thoi (dấu hiệu nhận biết) Câu 25: Cho nửa đường tròn O; R đường kính AB cố định Trên nửa mặt phằng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ hai tia Ax By vng góc với AB M điểm chuyển động nửa đường tròn (O ) ( M không trùng A B ) Tia phân giác góc AOM cắt tia Ax C Tia phân giác góc MOB cắt tia By D � a) Chứng minh OMC 90�và ba điểm C , M , D thẳng hàng; b) Chứng minh bốn điểm A, O, M , C thuộc đường tròn; O; R c) Khi M chuyển động nửa AC.BD có giá trị khơng đổi; d) Xác định vị trí M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ Lời giải � a) Vì OC phân giác AOM (gt) � � AOM �� AOC MOC (tính chất) � Vì OD phân giác BOM (gt) � � MOD � BOM � BOD (tính chất) Vì ba điểm A, B, M thuộc đường trịn (O) suy OA OB OM Xét AOC MOC có: OA OM (cmt) � � AOC MOC (cmt) OC chung � AOC MOC (c.g.c) � OMC � � OAC (cặp góc tương ứng) � � Mà Ax AB (gt) � OAC 90�� OMC 90�(đpcm) � Vì OMC 90�� OM CM (1) � � Tương tự BOD MOD (c.g.c) � OBD OMD (cặp góc tương ứng) � � Mà By AB (gt) � OBD 90�� OMD 90�� OM MD (2) Từ (1) (2) suy C , M , D thẳng hàng (tiên đề Ơcơlit) b) Gọi I trung điểm CO Xét OAC vng A có AI trung tuyến � IA IO IC � OAC nội tiếp đường trịn đường kính OC � ba điểm O, A, C thuộc đường trịn đường kính OC (3) Xét OMC vng M có MI trung tuyến � IM IO IC � OMC nội tiếp đường trịn đường kính OC � ba điểm O, M , C thuộc đường trịn đường kính OC (4) Từ (3) (4) � bốn điểm O, A, M , C thuộc đường trịn đường kính OC � � � AOM ; MOD � BOM MOC � � � � 2 � 2MOC AOM ; 2MOD BOM c) Ta có � � Mà AOM BOM 180�(hai góc kề bù) � MOD � � MOC 180� � � MOD � � 90� � MOC 180� � 2COD 180�� COD � COD vuông O Vì AOC MOC (cmt) � AC MC (cặp cạnh tương ứng) Vì BOD MOD (cmt) � BD MD (cặp cạnh tương ứng) Xét COD vng tịa O , chiều cao OM ta có: OM MC.MD (hệ thức lượng tam giác vuông) � OM AC.BD O; R Mà đường trịn , đường kính AB khơng đối � OM không đổi � AC.BD không đổi (đpcm) d) Do Ax AB; By AB (gt) � tứ giác ABDC hình thang vng AC BD AB CD AB S ABDC 2 Mà AB không đổi (gt) Để S ABDC đạt giá trị nhỏ CD nhỏ � CD Ax; CD By � CD // AB � M điểm cung AB Vậy S ABDC đạt giá trị nhỏ điểm M điểm cung AB OA BA Lấy điểm C đối xứng với A qua OB Câu 26: Cho OAB vuông A 1) Chứng minh điểm O, A, B, C thuộc đường tròn DE CD 2) Đường tròn tâm O đường kính CD cắt BD E Chứng minh AD // OB CE BC � 3) Gọi H giao điểm AC OB Tính HEA ( Ý chưa thể thời điểm học sinh chưa học ‘góc với đường tròn’ ) Lời giải 1) Chứng minh điểm O, A, B, C thuộc đường tròn Ta có: OB đường trung trực AC ( C đối xứng với A qua OB ) Gọi I trung điểm OB nên IB IO IA IC ( OB đường trung trực AC , I thuộc OB ) Ta lại có: OAB vng A , đường trung tuyến AI nên IA IB IO Do đó: IA IB IO IC Vậy điểm O, A, B, C thuộc đường tròn DE CD 2) Chứng minh AD // OB CE BC O , có DC đường kính nên ADC vng A Ta có ADC nội tiếp Suy ra: AD AC mà OB AC nên AD // OB O , có DC đường kính O nên EDC vng E Ta có: EDC nội tiếp � � Ta lại có: BAO BCO (c c c) � BAC BCO 90� Khi đó: DEC ∽DCB ( g g ) � DE CD CE BC 3) � Gọi H giao điểm AC OB Tính HEA Ta có: BH BO BE.BD BC � BEH : BOD (c-g-c) � BOD � � HED � HOC � � BEH Tương tự ta có Lại có Suy � AED � A3 � O � ;O � � � HOC A1 900 HAO 2 � � � � 900 AED HED A1 � A3 1800 CAD � Vậy HEA 90� Câu 27: Cho tam giác ABC nhọn AB AC có hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh bốn điểm B, E , D, C thuộc đường tròn b) Gọi I trung điểm BC , K điểm đối xứng với H qua I Chứng minh ACK tam giác vuông c) Chứng minh: BE.BA CD.CA IC Lời giải a) Chứng minh bốn điểm B, E , D, C thuộc đường tròn Gọi I trung điểm BC � Xét BEC có: BEC 90�� IE IB IC (tính chất tam giác vng) (1) � Tương tự BDC có: BDC 90�� ID IB IC (2) Từ (1) (2) � IE IB IC ID � B, E , D, C thuộc đường trịn đường kính BC (đpcm) b) Chứng minh ACK tam giác vng Ta có: � IB IC BC � � � �IH IK HK � Mà BC �HK I � Tứ giác BHCK hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hbh) � BH // CK Mà BH AC (gt) � CK AC � ACK vuông C c) Dựng HM BC M Ta có BMH ∽BDC (g.g) � BM BH � BM BC BH BD BD BC (1) Tương tự CMH ∽CEB (g.g) Cộng vế (1) (2) � CM CH � CM CB CE.CH CE CB (2) � BC BM CM BH BD CE.CH � BC BH BD CE.CH (*) BEH ∽BDA (g.g) CDH ∽CEA (g.g) � BE BH � BE.BA BH BD BD BA (3) � CD CH � CD.CA CE.CH CE CA (4) Thế (3) (4) vào (*) ta được: BC BE.BA CD.CA � IC BE.BA CD.CA � IC BE.BA CD.CA (đpcm) O đường kính BC cắt cạnh AB , AC Câu 28: Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường tròn D, E a) Chứng minh CD AB , BE AC b) Gọi I giao điểm CD BE Chứng minh AI BC H c) Chứng minh AD.BH CE AB.BC AC cos A.cos B.cos C d) Cho góc A 60�và SABC 160 cm Tính S AED Lời giải O đường kính BC nên BCD , BEC vng a) Ta có BCD , BEC nội tiếp đường trịn D , E Suy CD AB , BE AC CD �BE I b) Theo a) có CD AB , BE AC , Suy I trực tâm ABC Do AI BC H c) Ta có AD AC.cos A , BH AB.cos B , CE BC cos C Do AD.BH CE AB.BC AC cos A.cos B.cos C d) Ta có ADC ∽ AEB ( g g ) � AD AC AE AB ADE ∽ ACB (c.g c) � Suy � S ADE SADE �AD � �AC cos A � � � � � SAB C �AC � � AC � 1 SABC 160 40 cm 4 ... 2 AH AB AC ( hệ thức lượng tam giác vuông ) 1 25 2 AH 144 AH AH 144 25 12 (cm) b) Xét ABH vuông H , đường cao HE : AH AD AB ( hệ thức lượng tam giác vuông) Xét AHC vuông H , đường... AB AC (Hệ thức lượng tam giác vuông) Thay số ta có: AH 10 6.8 � AH 48 10 � AH 4,8 (cm) 2) Vì AHB vng H , đường cao DH nên AH AD AB (Hệ thức lượng tam giác vuông) Và AHC vuông H ,... AC AF � ; HE AB Xét ABH có : AHB 90� Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AB AE AH (1) � ; HF AC Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông AHC có: AHC 90� � AF AC AH (2) Từ (1) (2)
Ngày đăng: 24/09/2021, 22:34
Xem thêm:
