CHỦ đề 11 góc có ĐỈNH TRONG, NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

CHỦ ĐỀ 11: GĨC CƠ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN GĨC CƠ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ *) Với đỉnh A nằm đường tròn O  giao điểm hai dây đường trịn  ; BAD  góc có đỉnh bên đường trịn => Ta có góc BAE C D Số đo góc nửa tổng số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc tia đối hai cạnh  + sđBAE   sđCD  sđBE  + s đBAD   sđCE  sđBD A E B *) Với đỉnh A nằm ngồi đường trịn O  giao điểm đường éo dài hai dây đường tròn  (hoặc BAD  ) góc có đỉnh bên ngồi => Ta có CAE đường trịn C B Số đo góc nằm ngồi đường tròn nửa hiệu số đo hai A n cung bị chắn m D   sđEmC   sđBnD   sđCAE   2 E * Cần lưu ý đến trường hợp sau: C + Với đỉnh A nằm ngồi đường trịn (O ) AD tiếp tuyến (O ) , qua A vẽ cát tuyến cắt đường trịn BC , thì:   sđCmD   sđBnD   CAD   2 O m B n A D + Với Với đỉnh A nằm ngồi đường trịn (O ) AB, AC tiếp B tuyến (O ) , ( A, B tiếp điểm) thì:   sđBmC   sđBnC   BAC   2 A O n C m B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG I BÀI TẬP MẪU Bài 1: Cho ΔABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Vẽ phân giác AD góc A (D ≠ (O)) Lấy điểm E thuộc cung nhỏ AC Nối BE cắt AD AC I K, nối DE cắt AC J Chứng minh rằng: a) ∠BID = ∠AJE b) AI.JK = IK.EJ Hướng dẫn a) Ta có ∠BID góc có đỉnh nằm bên đường tròn (O) chắn hai cung BD cung AE   sđBD   sđAE  BID   ∠AJE góc có đỉnh nằm bên đường tròn (O) chắn hai cung CD AE   sđCD   sđAE  AJE     CD  Mà AD phân giác góc A nên BD Suy ∠BID = ∠ẠJE b) Xét ΔAIK ΔEJK có: +) ∠AKI = ∠EKJ (đối đỉnh) +) ∠IAK = ∠KEJ (hai góc nội tiếp chắn hai cung BD cung CD ) Do ΔAIK ∼ ΔEJK (g.g) => AI/EJ = IK/JK => AI.JK = IK.EJ Bài 2: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm A, B cho O ≠ (O') Lấy điểm M thuộc đường tròn (O’), M đường tròn (O) Tia AM BM cắt đường tròn (O) C D Chứng minh rằng:   CD  (Cung nhỏ đường tròn (O)) a) AB b) Tứ giác ABCD hình thang cân Hướng dẫn a) Vì ∠AMB góc có đỉnh nằm bên đường trịn (O) chắn   sđAB   sđCD  hai cung AB CD nên: AMB   Mặt khác: ∠AMB = ∠AOB (hai góc nội tiếp (O’) chắn cung AB lớn)  (góc tâm đường trịn (O)) ∠AOB = sđ AB   sđCD   sđAB   sđAB   sđCD   AB   CD  sđAB   b) Trong đường tròn (O):   sđCD  ; ACB   sđAB  DAC 2   CD  => DAC   ACB  Mà AB Vì hai góc vị trí so le trong, suy AD // BC (1) Theo câu a), ta có: ∠ADC = ∠DAB (2 góc chắn cung nhau) (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ABCD hình thang cân Bài 3: Cho ΔABC nội tiếp đường tròn (O) Điểm I chuyển động cung nhỏ BC AB cắt CI M, AC cắt BI N Chứng minh rằng: a) BC2 = BM.CN b) ∠AIN có số đo khơng đổi Hướng dẫn   sđBC   sđAC   120o a) Vì ΔABC nên: sđAB Ta có: ∠ANB góc có đỉnh ngồi đường trịn (O) nên:   sđAB   sđCI   60o  sđCI  ANB 2     sđBI  (góc nội tiếp (O) chắn cung BI) Lại có: BCI    sđCI   60o  sđCI  sđBC 2   Suy ∠ANB = ∠BCI (1) Tương tự ta có: ∠AMC = ∠CBI (2) Từ (1) (2) suy ra: ΔBCM ∼ ΔCNB (g-g) => BC/NC = BM/BC => BC2 = BM.NC b) Ta có: ∠AIB = ∠ACB = 60o => ∠AIN = 180o - ∠AIB = 120o không đổi Bài 4: Qua điểm A nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD với đường tròn (C nằm A D) Vẽ dây BM vng góc với tia phân giác ∠BAC, BM cắt CD I Chứng minh rằng: a) BM tia phân giác b) MD2 = MI.MB Hướng dẫn Giả sử tia phân giác ∠BAC cắt BC E, cắt BD E cắt đường tròn (O) K a) Ta có:   sđBN   sđBK  A     sđDN   sđCK  A 2   Mà ∠A1 = ∠A2 (gt)   sđBK   sđDN   sđCK   sđBN   sđCK   sđDN   sđBK  => sđBN ⇔ ∠BEF = ∠BFE => ΔBEF cân B Mà BM đường cao ΔBEF Suy BM tia phân giác ∠CBD b) Vì BM phân giác ∠CBD   MD   MDC   MBD  CM Do đó: ΔMDI ∼ ΔMBD (g.g) => MD2 = MI.MB II/ LUYỆN TẬP Bài 1: Cho đường tròn (O) dây cung AB, CD cắt điểm E nằm ngồi đường trịn Đường thẳng kẻ từ E song song với AD cắt BC F Kẻ tiếp tuyến FG với đường tròn (O) Chứng minh rằng:   sđAB   sđCD  a) 2EFC b) ΔFEC ∼ ΔFBE, từ suy EF2 = FB.FC Bài 2: Cho hai đường trịn (O) (O’) ngồi Đường thẳng OO’ cắt (O) (O’) lại điểm A, B, C, D Kẻ tiếp tuyến chung ngồi EF hai đường trịn (E ≠ (O), F ≠ (O')) Gọi M giao điểm AE DF, N giao điểm EB DC Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF hình chữ nhật b) MN ⊥ AD c) ME.MA = MF.MD Bài 3: Trên đường tròn (O; R) đặt liên tiếp dây cung: AB = BC = CD < R AB cắt CD E Tiếp tuyến B D với đường tròn (O) cắt F Chứng minh rằng: a) ΔEBC ∼ ΔFBD b) ΔEBF ∼ ΔCBD c) BC // EF Bài 4: Cho tứ giác ABCD có A, B, C, D nằm đường tròn (O); AB CD cắt M; AD BC cắt N a) Tính số đo góc tứ giác ABCD ∠AMD = 30o ∠BND = 40o b) Hai phân giác góc M góc N cắt I Chứng minh IM ⊥ IN Bài 5: Cho đường tròn tâm O điểm M ngồi đường trịn Từ M kẻ tiếp tuyến MA cát tuyến  cắt BC D , cắt đường tròn MBC đến đường tròn ( B nằm M C ) Phân giác góc BAC E Chứng minh : a) MD = MA b) AD AE = AC AB Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các tia phân giác góc A B cắt I cắt đường tròn theo thứ tự D E Chứng minh : a) BDI tam giác cân b) DE đường trung trực IC c) IF  BC ( F giao điểm DE AC ) Bài 7: Cho đường tròn tâm O điểm S ngồi đường trịn Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA SD cát tuyến SBC tới đường tròn ( B S C )  cắt dây cung BC M Chứng minh SA = SM a) Phân giác góc BAC b) AM cắt đường trịn E Gọi G giao điểm OE BS; F giao điểm AD với BC Chứng minh SA2 = SG SF c) Biết SB = a ; Tính SF BC = 2a Bài 8: Từ điểm M ngồi đường trịn (I) kẻ hai tiếp tuyến ME MF ( E F hai tiếp điểm ) Kẻ dây EG đường tròn (I) song song MF Gọi H giao điểm MG với (I) K giao điểm EH với MF a) Chứng minh KF2 = KE KH b) Chứng minh K trung điểm MF Bài 9: Cho đường tròn (O) đường kính EF điểm G nằm nằm đường tròn (O) cho EG > GF Trên tia GF lấy điểm H cho GH =GE Vẽ hình vng EGHI có đường chéo GI cắt (O) K a) Chứng minh KFH cân b) Tiếp tuyến E với đường tròn (O) cắt FK M Chứng minh ba điểm M , I , H thẳng hàng Bài 10: Cho tứ giác ABCD có A, B, C , D nằm đường tròn (O) Các tia AB DC cắt E ,  F  cắt K Chứng minh tia CB DA cắt F Hai phân giác góc E  = 900 : EKF Bài 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O điểm D di chuyển cung AC Gọi E giao điểm AC BD Chứng minh : AFB   ABD a)  b) Tích AE BF không đổi Bài 12: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A,B C Gọi M,N P theo thứ tự điểm cung AB,BC AC BP cắt AN I , NM cắt AB E Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh : a) BNI cân b) AE.BN = EB.AN c) EI  BC d) AN AB  BN BD ... 2: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm A, B cho O ≠ (O') Lấy điểm M thuộc đường tròn (O’), M đường tròn (O) Tia AM BM cắt đường tròn (O) C D Chứng minh rằng:   CD  (Cung nhỏ đường tròn (O))... AI.JK = IK.EJ Hướng dẫn a) Ta có ∠BID góc có đỉnh nằm bên đường tròn (O) chắn hai cung BD cung AE   sđBD   sđAE  BID   ∠AJE góc có đỉnh nằm bên đường tròn (O) chắn hai cung CD AE   sđCD... a) Vì ∠AMB góc có đỉnh nằm bên đường trịn (O) chắn   sđAB   sđCD  hai cung AB CD nên: AMB   Mặt khác: ∠AMB = ∠AOB (hai góc nội tiếp (O’) chắn cung AB lớn)  (góc tâm đường tròn (O)) ∠AOB