Bước 3: Đối với mỗi trị riêng λi tìm các vectơ riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình ĐSTT thuần nhất A − λi I v = 0.. Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A − λi [r]
(1)Tóm tắt lý thuyết CHƯƠNG 4: TRỊ RIÊNG – VECTƠ RIÊNG Trị riêng, vectơ riêng Định nghĩa 1: Trị riêng, vectơ riêng A ∈ M n Vô hướng λ gọi là trị riêng ma trận A tồn vectơ khác không v thỏa mãn phương trình Av = λv Vectơ khác không v gọi là vectơ riêng ma trận A Định lý 1: Cho A ∈ M n i) Trị riêng ma trận A là vô hướng λ nghiệm đúng phương trình det (A − λI ) = (1) (đây còn gọi là phương trình đặc trưng ma trận A , det (A − λI ) là đa thức đặc trưng ma trận A ) ii) Vectơ riêng ma trận A tương ứng với trị riêng λ là nghiệm không tầm thường hệ phương trình (2) (A − λI ) v = Nhận xét: Do A ∈ M n , nên đa thức đặc trưng là đa thức cấp n có thể có nhiều là n trị riêng phân biệt Các bước giải tìm trị riêng, vectơ riêng: Bước 1: Lập phương trình đặc trưng A − λI = (phương trình đa thức cấp n theo biến λ ) Bước 2: Giải phương trình đa thức tìm các trị riêng thực λ Bước 3: Đối với trị riêng λi tìm các vectơ riêng tương ứng cách giải hệ phương trình ĐSTT (A − λi I )v = Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A − λi I , ma trận sau biến đổi có ít hàng toàn Không gian đặc trưng Định nghĩa 2: Cho A ∈ M n Tập hợp tất vectơ riêng v ∈ Rn ứng với trị riêng cho trước λ , cùng với vectơ không lập thành không gian E (λ ) Rn Ta gọi E (λ ) = {v ∈ Rn | Av = λv } = {v ∈ Rn | (A − λI ) v = 0} là không gian đặc trưng V ứng với trị riêng λ (2) Theo định nghĩa không gian đặc trưng E (λ ) là tập hợp nghiệm hệ phương trình tuyến tính (A − λI ) v = Định lý 2: Nếu λ là trị riêng bội bậc m ma trận A ∈ M n và E (λ ) là không gian đặc trưng tương ứng với λ Khi đó: i) E (λ ) là không gian vectơ ii) Chiều không gian đặc trưng tương ứng với λ nhỏ bậc bội, ≤ dim E (λ ) ≤ m Lưu ý: Chỉ có không gian đặc trưng tương ứng với trị riêng λ Định lý 3: Các vectơ riêng tương ứng với các trị riêng khác biệt thì độc lập tuyến tính Chéo hóa ma trận Định nghĩa 3: Ma trận đồng dạng Cho A, B ∈ M n , A gọi là đồng dạng với B tồn ma trận P ∈ M n không suy biến cho B = P −1AP (3) Định lý 4: Các ma trận đồng dạng có cùng các trị riêng giống Định lý 5: A ∈ M n , A đồng dạng với ma trận chéo và A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính v1, v2 , , Trong trường hợp này đặt P = [v1, v2 , , ] thì P −1AP = diag (λ1, λ2, , λn ) đó λ1, λ2 , , λn là các trị riêng ma trận A (không thiết phải khác biệt) tương ứng với các vectơ riêng v1, v2 , , Định nghĩa 4: Cho A ∈ M n Ta nói A chéo hóa A đồng dạng với ma trận chéo D , nghĩa là tồn P ∈ M n , P không suy biến, cho P −1AP = D Kiểm tra ma trận có chéo hóa hay không: Định lý 6: Cho A ∈ M n , A có n trị riêng khác biệt thì A chéo hóa (3) Định lý 7: Cho A ∈ M n Gọi λ1, λ2 , , λk là tất trị riêng khác A , E (λi ) là không gian đặc trưng tương ứng với λi và ni = dim E (λi ) Khi đó các điều sau là tương đương: i) A chéo hóa được; ii) đa thức đặc trưng A có dạng n n (x − λ1 ) (x − λk ) k iii) n1 + n2 + + nk = n Nhận xét: Giả sử λ là trị riêng A Khi đó dim E (λ ) = k và đa thức đặc trưng có dạng m (x − λ ) g (x ) với g (λ ) ≠ , m > k thì A không chéo hóa Bài tập: 13,18,21 31,32 35,36 40-46 60-67 (4)