Giá trị riêng của đa thức ma trận: Với đa thức f x =x2: Giá trị riêng của ma trận A2 bằng tính cả bội tương ứng bình phương các giá trị riêng của A.. Với đa thức f x =xp: Giá trị riên
Trang 1Đa thức đặc trưng & Giá trị riêng của ma trận 51
ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG GIÁ TRỊ RIÊNG
Dạng của đa thức đặc trưng:
Với A là một ma trận vuông cấp n thì đa thức đặc trưng của A có dạng:
( )n
n n 1 n 2
λ − = λ − λ + λ +⋯+ − Với c là tổng tất cả các định thức con chính cấp k của A k
Ở đây định thức con chính của A được hiểu theo nghĩa là định thức con của ma trận A với các dòng và các cột được lập từ A có cùng các chỉ số, do đó:
1 2 k
1 2 k k
i i i
k i i i C
c =∑D ⋯
⋯
Từ dạng của đa thức đặc trưng ta suy ra tổng của các giá trị riêng của A bằng vết của nó và tích của các giá trị riêng này bằng định thức của A
Giá trị riêng của đa thức ma trận:
Với đa thức f x( )=x2:
Giá trị riêng của ma trận A2 bằng (tính cả bội tương ứng) bình phương các giá trị riêng của A
Với đa thức f x( )=xp:
Giá trị riêng của ma trận Ap bằng (tính cả bội tương ứng) lũy thừa bậc p các giá trị riêng của A
Định thức của đa thức ma trận:
Với λ λ1, , ,2 … λn là các giá trị riêng của A, f( )λ là một đa thức bất kỳ Khi đó định thức của ma trận f A( ) được tính bởi công thức:
( ) ( ) ( )1 2 ( )n
f A =f λ f λ …f λ Chứng minh:
Giả sử ( ) m ( )
j 1
=
i 1
E A
=
ϕ λ = λ − =∏ λ − λ Thay λ = vào A
( )
f λ ta được:
j 1
=
Lấy định thức hai vế đẳng thức trên ta được:
Trang 2Đa thức đặc trưng & Giá trị riêng của ma trận 52
Suy ra điều phải chứng minh
Giá trị riêng của đa thức ma trận:
Nếu λ λ1, , ,2 … λn là các giá trị riêng của ma trận A và với f x( ) là một đa thức bất
kỳ thì f( ) ( )λ1 ,f λ2 , ,f… ( )λn là các giá trị riêng của ma trận f A( )
Chứng minh:
Xét đa thức g x( )= λ −f x( ), với λ là số bất kỳ và áp dụng bài số 8 ta được:
( ) ( ) ( )1 2 ( )n
g A =g λ g λ …g λ Nghĩa là:
( ) ( ( )1 ) ( ( )2 ) ( ( )n )
Chú ý rằng λ −E f A( ) là đa thức đặc trưng của f A( ), do đó các giá trị riêng của
( )
f A là f( ) ( )λ1 ,f λ2 , ,f… ( )λn
Giá trị riêng của phân thức ma trận:
Nếu λ λ1, , ,2 … λn là các giá trị riêng của ma trận A và ( ) ( )
( )
g x
f x
h x
= là một phân
thức bất kỳ sao cho nó xác định tại x A= (nghĩa là hàm h x( ) thỏa mãn điều kiện
( )
h A ≠ ) thì 0 f A( ) =f( ) ( )λ1 f λ2 …f( )λn và các số f( ) ( )λ1 ,f λ2 , ,f… ( )λn là các giá trị riêng của ma trận f A( )
Trang 3Đa thức đặc trưng & Giá trị riêng của ma trận 53
BÀI TẬP
Bài tập 1: Tìm giá trị riêng của ma trận A A′ với A=(a1 a2 ⋯ an 1 n)×
Bài tập 2: Chứng minh rằng tất cả các giá trị riêng của A đều khác không khi và chỉ
khi A không suy biến
Bài tập 3: Cho A là ma trận không suy biến, chứng minh rằng λ là giá trị riêng của 0
A khi và chỉ khi 1
0
−
λ là giá trị riêng của A− 1
Bài tập 4: Cho ma trận vuông A, B cấp n bất kỳ Chứng minh rằng đa thức đặc trưng
của AB và BA trùng nhau
Bài tập 5: Cho A là ma trận cấp m n× và B là ma trận cấp n m× Tìm liên hệ giữa
đa thức đặc trưng của AB và BA bằng cách xét hệ thức sau:
=
Bài tập 6: Chứng minh rằng:
a) Mọi ma trận vuông cấp n, đối xứng với các phần tử là các số thực đều có đủ n giá trị riêng là các số thực;
b) Mọi ma trận vuông cấp n, phản đối xứng với các phần tử là các số thực đều có
đủ n giá trị riêng là các số thuần ảo Từ đó suy ra định thức của ma trận phản
đối xứng thực là các số không âm
Bài tập 7: Cho A, B là các ma trận vuông cùng cấp sao cho AB BA= , và tồn tại
p ∈ ℕ sao cho Ap = thì: 0
2
A +AB B+ = B
Bài tập 8: Tìm giá trị riêng của các ma trận:
n 1 n 1 n 2
−
=
⋯
⋯
⋯
⋯
−
⋯
⋯
⋯
⋯