ON LUYEN VAO 10 theo tung chu de

C/m AC và MP cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính AM Bài 72: Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.. D và E theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB;AC.[r]

Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán CHỦ ĐỀ 1: CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Các phép biến đổi thức Hằng đẳng thức đáng nhớ  a  b   a2  2ab  b2  a  b   a2  2ab  b2  a  b  a  b   a2  b2  a  b   a3  3a2b  3ab2  b3 a  b3   a  b   a  ab  b2  a  b3   a  b   a2  ab  b2   a  b  c   a2  b2  c  2ab  2bc  2ca Một số phép biến đổi thức bậc hai - Đều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A  - Các công thức biến đổi thức A2  A A  B A (A  0;B  0) B AB  A B (A  0;B  0) A 2B  A B (B  0) A B  A 2B (A  0;B  0) A  B B C A B C  A B AB (AB  0;B  0) C( A  B) (A  0;A  B2 ) A  B2  C( A  B) (A  0;B  0;A  B) A B A B   A 2B (A  0;B  0) A B  A B (B  0) B Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Dạng 1: Tìm ĐKXĐ các biểu thức sau Phương pháp: Nếu biểu thức có  Chứa mẫu số  ĐKXĐ: mẫu số khác  Chứa bậc chẵn  ĐKXĐ: biểu thức dấu   Chứa thức bậc chẵn mẫu  ĐKXĐ: biểu thức dấu   Chứa thức bậc lẻ mẫu  ĐKXĐ: biểu thức dấu  x 1  x 3 3 x x2  x  x5 x2 2008  x  2008 x4 -5x x 1 5 x  7x x  12 24 25 26 27 3  3x  5x  7  3x 3x  28 x2 1 3x  29 30 31 x 1  32 33 8x  11 x  x2 3x  12 x2  34 13  2x 7x  14 2x  3 x 7x  10 14 15 16 17 18 19 20  21x 2 x 35 36 37 6x 2 x   3  5x 4x  x2   x 3 7x 38 7  2x2 39 3x  2x  x 40  3x 2x  5x  41 2x2  x 5 2 x 42 3x   x 1 x 22 x  5x  3x  x 3 5x 6x   x  23 x  3x  21 x 1 5 x x2 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 43 x3  22  44 x Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Phương pháp: Thực theo các bước sau     Bước 1: Trục thức mẫu (nếu có) Bước 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bước 3: Đưa biểu thức ngoài dấu Bước 4: Rút gọn biểu thức Dạng toán này phong phú vì học sinh cần rèn luyện nhiều để nắm “mạch bài toán” và tìm hướng đúng đắn, tránh các phép tính quá phức tạp  18  32  50 50  18  200  162 5  20  45 48  27  75  108 48  75  33  1 11 12  27  48 12   48 32   18 20  45  10 24  54   150 11 18   162 12  18  32  50 13 125  20  80  45 14 28  63  175  112 15   50  32 16 50  12  18  75  17 75  12  27 18 12  75  27 19 27  12  75  147 20  48  75  243 32 18 5  14 21 25 49 16 3 6 27 75 50  32 23   22 24 12  35 25 52 26 16  27 31  12 28 27  10 29 14  30 17  12 31 74 32 2 33  28 34 18  65 35 94 36 42 37  24 38 2 39 52  52 40    80 41 17  12  24  8 42 3 2  6 43  15 -  15 44 17  32  17  32 45 62  62 46 11   11  47 15  6  33  12 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 48 62  62 74 ( 75   12 )(  ) 49  15  23  15 75 50 31  15  24  15 5 5  5 5 51 49  96  49  96 76 5 5 1   5 5 1 52 32  52 53  10   10 54 17   32  64 55 56 40  57  40  57 57  10    10  58 35  12  35  12 59   20  40  60  15  10    15 61   13  48 62   13  48 63   48  10  64 13  30    65 30  16  11  4  66 13  30   67 68 69 32  32 82 3 2  3 2 30 5 6 83 10  1 15  10 85 84  24  84 86 40 12   21     32 52   3 2 17  12 2 2  2 2 2 2  2 2 3 72  6 7 73 22 75  48 87 20  125  45  15   88  12  20 : 18  27  45      17  12 70 2 34 1 78  43 43 79  3 80 10  15  14  21 81   2  10 77 2    1 : 3    89   1   1  15 90    1 2 91   3 92 71  7  12     3    12  35  14 45  243   28 5 1  94  24   24  93   11  Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 95 96 2   5  3    3 97 5 2  3 99 2  3   26  15  3  80   80  26  15  26  15 100 3; 20  14  20  14 101 26  15  26  15 102 103      104 15 50  200  450 : 10 15   105      3    1 5 5 106   10 5 5 1   107 4 3 2 1 108      14  15  ):  1 1 7 2 3 216  110      82 109 111      114   3  3  24  115 3 1 1 116    24   1  5 52  5 5 3 3 117  3 3  14  28 123 (  2)  2 1 124  1 1 1 125  52 52 2  126 43 43 2 127 1 128 ( 28  14  7)  129 ( 14  )  28 130 (  )  120 131 (  )   24 132 (1  )  (  3) 133 (  2)  (  1) 134 (  3)  (  2) 112     113  18   2   15 120    1 5  5  5 121        1   1  122 3  3   27 1 119 3  98 118 3 135 ( 19  3)( 19  3) 7 136 7 5  7 7 5 137   2 3 138 3    2 3 1   139    140  2        141  2  3  Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 142  2  57  40 165 143 1100  44  176  1331 1  144  166 2002 2003  2002 3 2 62 2 3 2 168  3 4  12      3 2  169  170 147  15   15 148      72  20  2 152   14  75  154    3 3 155  12  20 18  27  45 156 2  3 52     2  159  12  27  18  48 30  162      10  175  25 12  176 2  5   192  177 3  3 178  10    10  179    49  20  180 182  2 64 2 183   52    64 21  35 18  32  50 2 160 2 2  2 2 181  10   2 157  13  48 158  16 3 6 27 75 173 27   75 174 12  4 3 172 151    50  24 4 13  15  216  33  12 171 150    5 153  13 10  10   1 149  60  45  12   167  125  80  605 145 72   4,5  27 3 146  64 2  64 2  8 54 1  1 1  2  2 1 161  5 5 162 27  48 : 184 (  )   24 185 3132  312  17     15 186  13  30    10 187 12  11 188  3         : 28    163  164 (  3)  2(3)  (1)  22   11 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán      15        1.1      189 190  3 2      1 :  1   2 3  196  14   24  12   1 32 3 191  192 3   1   1  193     5 2  5 197  1 198  1 1 1 194 ( 14  )  28 195  32  50  27  27  50  32    2 1   1   24   24   15     199    1      1     200  :      Dạng 3: Rút gọn biểu thức Phương pháp: Thực theo các bước sau  Bước 1: Tìm ĐKXĐ đề bài chưa cho  Bước 2: Phân tích các đa thức tử thức và mẫu thức thành nhân tử  Bước 3: Quy đồng mẫu thức  Bước 4: Rút gọn  x2  x 1 x : A       x x 1 x  x 1 1 x  A  x  x   x  x   : (1  x ) 1  B     x x       x 1 x  x   x  x   B     :   x  x 1   x 1 x    x 1   1   A      : 1 x 1 x  1 x 1 x  x 3x  x x   x 3 x 3 x9  x 4   x 2 : Q =      x x2 x 2 x    x 1  x  x 1  x B A A x   x   x3  x x 1 a 3 a 1 a    a > ; a  4 4a a 2 a 2  1   1  A=    :   1- x  x    x  x   x   x 1 A  x 1 A  A  x x x4 x x 3 A  1 x A  x  x 1 A A a 2 x (1  x ) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 10 11 12 x2 x 2 A   x x  x 2( x  1)  x   x 1 x x 1   x 2  x x  :    x 1 x    x  x   2 x    x 1  x   x  :  A   x  x x  x     x 1 A A  x  x 1 A x 2 A x x 1 13 A 15 x  11 x  2 x    x  x  1 x x 3 A 25 x x 3 14 A x x  x 1  x 1 x 1 A x x 1 15  A  1   A x 2 x 16 A A x 3 17  x 1 x   x 2    A    : 1    x  x  9x 1   x   18 Q 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28  x2 x  : x  x 1 x 1 x x 3x    x 3 x 3 x9 x  x  10 x 2   x x 6 x 3 x 2   x 2 x 1     A   :  x   x 1   x 1  x  x x 1 x x 1   x 1  x    x  E        x x   x x   x x x       x x 1 x 1   x   : x   A     x  1  x    x 1 2 x    x 1  x   x  :  A   x  x x  x     x 1  x 4 x    x 2  : A       x x   x2 x 2 x   A Q A A P  x 1  x  x 1  x x3  x x 1 x 2 x 2 x 2( x  x  1) x A 2 x x A x x 1 A 1 x   x2   2x   A  : 1    x x 1 1 x   x  x 1  x2 x 2 x 1    A  :       x x  x x x    x  x 3 x 2  x 3 :   A       x    x  2 x  x   x 2 2 x  x    x 1 :  P       x  2 x 4 x  x2 x 3x  13 x x 3 A A x x 3 x  x 1 x A x2 x 1 A 4x 3 x A  x  x 1 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46  x   x 3 x 2 x 2    :   A  1      1 x   x   x x  x    x 1 x  x    x   :   A     x 1   x  x 1  x 1    x 2  :   A      x  x x  x  x 1  x 1 x 1  2x 1 x4     : 1  A      x 1  x  x    x 1 a  a 1 a 9   a 56 a 2 3 a  x5 x   25  x x 3 x 5   1 :    A   x 5 x    x  25   x  x  15  x3 x   9x x 3 x 2   1 :    A   x     x x 6 2 x  x 9  x 3x    x   x :    A     x   1  x   3 x x     A a 3 a 1 a    4a a 2 a 2  x x  x x   2( x  x  1) :  A    x 1   x x x x    2x  1    :  A      x 1  x 1 x 1  x 1 a 2   A a 3 a a 6 2 a 2x  x       A  :2  x    x 1 x x  x  x 1  x2 x7 x 1   1  :   A     x 9 x 1 3 x   x 3   a2  a  a   A   :  a a 1 a  a 1  a   a a  a a  1  1   A    a 1   a 1   x   x  x x  x    A    x    2 x   x 1  x  x   x  x    A    x    x    A A x 2 x 1 A x 1 A x 1 x 1 A x x 3 A a 1 a 3 A 3 x A x 2 A 3 x 3 A a 2 A x 1 x 1 A x x 3 A a 4 a 2 A x 1 2 x A x 1 x 3 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 A a 1 a 1  a2  a  a 1  a  a3  a a 1  a  3a   a  1 a    a  : A  a  3a   a  1 a    a     a   a :   A  1      a 1     a a a a a       a   a   A  1  :    a  1  a 1 1 a  a  a a   x 1 x  x    x  x     : A   x   x    x   x 1 x 1    1 a3  2a  a      A   a     a 1 a  a 1  1 a   2a  a  a a  a  a  a  a   A     a 1  a  a a    a a 3a    a    1   : A   a   a   a    a 3    x x   :  A   x   x     x x  x  x 1   x  4x    x x   1  1 :  A     4x    4x x    x 1 x    P    :   x  4x  1  x  4x  x  15 x  11 x  2 x    P x  x  1 x x 3     x   : P     x  x   x  1  x   x 1  1  x 1  :  P   x 1 x  x  x x  2 x    x  : P      x  x     2x  x  62  1   x  x  x x  x   : P     1 x x   1 x x 1  x 63  x5 x   25  x M    1 :    x  25   x  x  15 64 P x 1  x    x x  :  x 1   x x 3  x 5 x 5  x    1  x x  x .  1 x  x     x    Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán  3x    x  :    x    x   65  x P     x  66  x x 1 x x    x  x 1  P    :  x 1   x x x x    67  x x  x 1   x   P    :  x   x 1   x    x 1 68 69 70 71 72 73 x 80  x  3 x x 1 a 2   a 3 a a 6 2 a 1   a  a     :   a 1 a   a 2 a     x 1 x x 1 x  x 1    79   x 1 x 1  x4 x 4     x  2  x 2 75 78   x x 1 x 1  x 1 x 1 x x 1 25 x   x4 x 2 x 2  a     a   :     a   a 2 a    a 1  x x  x    x   x   x   P 77 x 3   74 76 x x 9  x 3  x 1 x5 x 6 x 2 3 x     x    x  x  x  :  x   x        a 1  a 1   a   a   a   a  a     x3 x   9x x 3 x 2  1 :      x 2 x    x 9   x x 6 81 15 x  11 x  2 x    x  x  1 x x 3 82 x2 x 1   x x 1 x  x  1 x 83 a 9 a  a 1   a 5 a 6 a  3 a Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 84 85 86 87 88 89 90 x 1  x  x 1  x x 7   x 2 x 2 x       :   x 2  x 2 x  x    x4 x x 1 x x     x 1 x 1    x      x x x x  x   x 1 x     x 4   x 2 x   :      x x 2 x 2  x x       1       :   1 x 1 x   1 x 1 x  x  x x 1    x 1 x 1 x   x  x        :   x 1 x 1   x 1 x    x 1  x2 x   1  : x  x   x 1  91  x 2 x   x2  2x      x 1 x  x 1  92  a  P      2 a 93 P 94 95 96 97 98 3a  9a  a a 2  a 1 a     a    a 1  a 1 a 2  a 2 1 a  x 2 x   x 1  A     x  x x x     1 1  A 1 a 1 a  a a 1 a a  1 a  :  A    a2   a a a a     1  x      A   x   x    x 1  x x 1 x x 1 x  x 1 : A     x 1 x  x x  x    x  x 1 x 1  99 A 100  x 1   2x  x x 1 2x  x    : 1       2x     x  x x       x 1  x 1  x Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Phương pháp: Thực theo các bước sau  Để tính giá trị biểu thức biết x  a ta rút gọn biểu thức thay x  a vào biểu thức vừa rút gọn  Để tìm giá trị x biết giá trị biểu thức A ta giải phương trình A  x Lưu ý: Tất tính toán, biến đổi dựa vào biểu thức đã rút gọn Cho biÓu thøc : P  a 2   a 3 a a 6 2 a Rót gän P a) b) Tìm giá trị a để P <  x   x 3 x 2 x 2  Cho biÓu thøc: P =      :    x    x   x x  x    Rót gän P a) b) Tìm giá trị a để P <  x 1 x   x 2 Cho biÓu thøc: P =    : 1  x  x  9x    x       a) Rót gän P b) Tìm các giá trị x để P =   a   a Cho biÓu thøc P =   :   a    a  a a  a  a       Rót gän P a) Tìm giá trị a để P < b) T×m gi¸ trÞ cña P nÕu a  19  c)    a3  a(1  a)2   a3 :   a    a    1 a  1 a   a   Rót gän P a) b) XÐt dÊu cña biÓu thøc M = a.(P- )  x 1 2x  x   x 1 2x  x    1 :    Cho biÓu thøc: P =    2x    2x  2x  2x      a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P x   2  x   x   :  1 Cho biÓu thøc: P =     x x  x  x 1 x    x    a) Rót gän P b) Tìm x để P  Cho biÓu thøc: P =   Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán   2a    1 a3 a Cho biÓu thøc: P =     a   a3  a  a     a     a) Rót gän P b) XÐt dÊu cña biÓu thøc P  a  x2 x 1 x 1   Cho biÓu thøc P = 1:   x x  x  x  x     a) Rót gän P b) So s¸nh P víi  1 a a   1 a a   a    a 10 Cho biÓu thøc : P =   1 a   1 a     Rót gän P Tìm a để P <   x x 3x    x      1 11 Cho biÓu thøc: P =  :  x 3  x  x    x    Rót gän P a) b) Tìm x để P < c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P  x3 x   9x x 3 x 2 12 Cho biÓu thøc: P =   1 :      x9   x  x 6 2 x x      Rót gän P a) b) Tìm giá trị x để P < 15 x  11 x  2 x    13 Cho biÓu thøc : P = x  x  1 x x 3 a) Rót gän P b) Tìm các giá trị x để P= 2 c) Chøng minh P  x x m2 víi m > 14 Cho biÓu thøc: P=   x m x  m 4x  4m a) Rót gän P b) Tính x theo m để P = a) b) c) Xác định các giá trị m để x tìm câu b thoả mãn điều kiện x > a2  a 2a  a  1 15 Cho biÓu thøc P = a  a 1 a a) Rót gän P b) BiÕt a > H·y so s¸nh P víi P c) d) Tìm a để P = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P  a 1 ab  a   a  ab  a  16 Cho biÓu thøc P =    1 :    1  ab     ab  ab     ab   Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a =  vµ b = c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu 1 1 a b 4 a a 1 a a 1   a  a 1 17 Cho biÓu thøc : P =   a      a a a a  a  a  a   a) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P = b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P >  a   a 1 a  1 18 Cho biÓu thøc: P =      2 a   a  a      a) Tìm các giá trị a để P < b) Tìm các giá trị a để P = -2  19 Cho biÓu thøc P = a b  4 a b ab a b  b a ab a) b) Rót gän P TÝnh gi¸ trÞ cña P a = vµ b =  x2 x  x 1 20 Cho biÓu thøc : P =    :  x x  x  x  1  x    a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P >  x  2 x x   x 2  21 Cho biÓu thøc : P =    :     x x 1 x    x  x    a) Rót gän P b) TÝnh P x=  3x       22 Cho biÓu thøc P = 1:  : x  42 x  42 x  2 x   a) Rót gän P b) Tìm giá trị x để P = 20  2a  a  2a a  a  a  a  a 23 Cho biÓu thøc: P =      1 a  a a   a 1 t×m gi¸ trÞ cña a a) Cho P= 1 b) Chøng minh r»ng P >  x  x   25  x x 3 x 5  24 Cho biÓu thøc: P =   1 :      x  25   x  x  15 x 5 x      a) b) Rót gän P Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P <     a  1 a  b a 3a   25 Cho biÓu thøc P =  :  a  ab  b a a  b b a  b  2a  ab  2b   Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán a) b) Rót gän P Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên  1   a 1 a 2 26 Cho biÓu thøc P =   :     a   a  a    a 1 Rót gän P a) Tìm giá trị a để P > b)  x 2 x   x 1 27 Cho biÓu thøc : Q =    x  x  x   x   a) Tìm x để Q  Q b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên x  28 Cho biÓu thøc P = x 1 x x a) Rót gän biÓu thøc sau P TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P x = b) x x 1 x 1  29 Cho biÓu thøc : A = x 1 x 1 Rót gän biÓu thøc a) b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để A  A  1   30 Cho biÓu thøc : A =      a   a  a 3 Rót gän biÓu thøc sau A a) Xác định a để biểu thức A > b)    x x 1 x x  1 x  x  31 Cho biÓu thøc : A =   :  x  x x  x  x 1   a) Rót gän biÓu thøc sau A b) Tìm x để A <  x2 x  x 1 32 Cho biÓu thøc : A =    :  x x  x  x  1  x    Rót gän biÓu thøc sau A a) b) Chøng minh r»ng: < A < a 3 a 1 a    33 Cho biÓu thøc : A = 4a a 2 a 2 a) Rót gän biÓu thøc sau A b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a =  a  a  a  a  34 Cho biÓu thøc : A =       a   a     a) Rót gän biÓu thøc sau A b) Tìm giá trị a để N = -2010 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 35 Cho biÓu thøc : A = x x  26 x  19  x  x 3 x 2 x 3 x 1 x 3 Rót gän biÓu thøc sau A Với giá trị nào x thì P đạt giá trị nhỏ và tính giá trị nhỏ đó  a 1  a 1  36 Cho biÓu thøc : A =    a   a    a 1  a 1 a   a) Rót gän biÓu thøc sau A a) b) b)   TÝnh A víi a =  15  10   15   x3 x   9x x 3 x 2  1 :    37 Cho A=   víi x  , x  9, x   x9   x x 6 x 2 x      Tìm x để A < a) Tìm x  Z để A  Z b) 15 x  11 x  2 x  38 Cho A =   víi x  , x  x  x  1 x x 3 a) Rót gän A b) T×m GTLN cña A c) Tìm x để A = 2 d) CMR : A  x2 x 1 39 Cho A = víi x  , x    x x  x  x  1 x a) Rót gän A T×m GTLN cña A b)   40 Cho A = víi x  , x  x 1 x x 1 x  x 1 Rót gän A a) b) CMR :  A   x  x   25  x x 3 x 5  41 Cho A =   1 :      x  25   x  x  15 x 5 x      a) Rót gän A T b) Tìm x  Z để A  Z a 9 a  a 1 42 Cho A =   víi a  , a  , a  a5 a 6 a 2 3 a a) Tìm a để A < b) Tìm x  Z để A  Z  x x 7   x 2 x 2 x  43 Cho A =      :   víi x > , x   x4 x 2  x 2 x  x    a) Rót gän A b) So s¸nh A víi A x x 1 x x 1    x 1 x 1   x   44 Cho A =  Víi x > , x    x x x x  x   x 1 x   a) Rót gän A Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán b) Tìm x để A =   45 Cho A =  x  a) b)  46 Cho A=   1 a) b)  47 Cho A =    a) b)  48 Cho A=      x 2 x   :    víi x > , x   x 2  x x   x 2  Rót gän A TÝnh A víi x =    1  víi x > , x    :  x 1 x   1 x 1 x  x Rót gän A TÝnh A víi x =  2x  1   x4    : 1  víi x  , x   x  x  x    x 1  Rót gän A Tìm x nguyên để A nguyên   1 x 2    :  víi x  , x   x  x x  x  x    x  x  1 x 4   a) b)  49 Cho A =     50 Cho A =    Rót gän A Tìm x để A đạt GTNN x x 3x    x      1 víi x  , x  :  x 3 x  x    x   a) Rót gän A b) Tìm x để A < x 1 x 1 x   x  x       :   víi x  , x  x 1 x 1 x 1  x 1 x   TÝnh A víi x =  CMR : A   1  x 1 víi x > , x  51 Cho A =   : x  1 x  x   x x a) Rót gän A b) So s¸nh A víi  x 1 x   x 2 52 Cho A =  Víi x  0,x    : 1    x  x  9x    x       a) Tìm x để A = b) Tìm x để A <  x 2 x   x  2x  53 Cho A =  víi x  , x      x 1 x  x 1 a) Rót gän A b) CMR nÕu < x < th× A > c) TÝnh A x = + 2 d) T×m GTLN cña A a) b) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán  x2  x 1 x 54 Cho biểu thức A =     :  x x 1 x  x  1  x  a Tìm điều kiện xác định b Chứng minh A = x  x 1 c Tính giá trị A x   28 d Tìm max A 2 x 2 x  x3 x 4x : 55 Cho biểu thức : P =      x 2   x x   2x  x a) Rút gọn P b) Tìm các số nguyên x để P chia hết cho  x x    x  x   56 Cho biểu thức : M =    :  x   x  x  x  x 1 a) Rút gọn M b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên c) Tìm x thoả mãn M <  a   57 Cho biểu thức: P     2 a    a 1 a  1     a a   1   a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P > 58 Cho biểu thức: A  1 a  1 a 1 a) Rút gọn A b) Tìm a để A   x 2 x   x  59 Cho biểu thức: A     x  x x x     a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyen x cho A có giá trị nguyên  a a 1 a a  1 a  : 60 Cho biểu thức A    a  a  a   a a a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức A nhận giá trị nguyên    x x 1 x x  1 x  x  : 61 Cho biểu thức: A     x 1   x x x x   Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên  62 Cho biểu thức: A     x 1   x     với x  0; x  x   x   a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên 63 Cho biểu thức: A  x  x 1 x 1  x 1 x 1  x ( với x  0; x  1) a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyên x để 64 Cho biÓu thøc : P  nhận giá trị nguyên A a 2   a 3 a a 6 2 a a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P<1  65 Cho biÓu thøc: P= 1   x   x 3 x2 x 2  :    x    x   x x  x   a) Rót gän P b)Tìm giá trị a để P<0  x 1 x   x 2  : 1     66 Cho biÓu thøc: P=      x   3 x x x      a) Rót gän P b) Tìm các giá trị x để P=   a   a  : 67 Cho biÓu thøc : P= 1    a  1  a 1 a a  a  a 1     a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P<1 c) T×m gi¸ trÞ cña P nÕu a  19     x 1 2x  x x 1 2x  x   68 Cho biÓu thøc: P=    1 : 1   2x  2x  x      2x  a) Rót gän P  b) TÝnh gi¸ trÞ cña P x   2  x  69 Cho biÓu thøc: P=   x x  x  x 1  x     : 1     x   x 1  a) Rót gän P b) Tìm x để P      a3  2a  a  .  70 Cho biÓu P=   a   1 a    a a a    a) b) Rót gän P XÐt dÊu cña biÓu thøc P  a Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán  x2 x  1 x 1    71 Cho biÓu thøc: P=1 :    x x 1 x  x 1 x 1  a) b) Rót gän P So s¸nh P víi  x  72 Cho biÓu thøc: P=  x   a) Rót gän P b) Tìm x để P< c) x 3x    x   :   1 x  x    x   T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P  x3 x   9 x x 3  1 :  73 Cho biÓu thøc : P=     x9   x x 6 2 x a) b) Rót gän P Tìm giá trị x để P<1 74 Cho biÓu thøc : P= 15 x  11 x  2 x    x  x  1 x x 3 a) Rót gän P b) Tìm các giá trị x để P= c) Chøng minh P  75 Cho biÓu thøc : P= 2 2a  a a2  a  1 a a  a 1 a) Rót gän P b) Tìm a để P=2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P  a  76 Cho biÓu thøc: P=   a   a) b) c)  a 1 a      a 1 a    Rót gän P Tìm các giá trị a để P<0 Tìm các giá trị a để P=-2  x2  x :   77 Cho biÓu thøc : P=    x x 1 x  x 1 1 x  a) b) Rót gän P Chøng minh r»ng P>0 2 x  x 78 Cho biÓu thøc : P=    x x 1 a) b) x 1 x 1   x 2    : 1  x    x  x   Rót gän P TÝnh P x=  3x     :   79 Cho biÓu thøc P= :  2 x 4 x 42 x  42 x     a) Rót gän P x 2  x   Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán b) Tìm giá trị x để P=20  2a  a  2a a  a  a  a  a  80 Cho biÓu thøc: P=     1 a  a 1  a a   a) Rót gän P b) Cho P= c) Chøng minh r»ng P> 1 t×m gi¸ trÞ cña a   81 Cho biÓu thøc: A  1  a  a  a  a  1   a   a   a) Tìm các giá trị a để A có nghĩa b) Rót gän A c) Tìm a để A=-5; A=0; A=6 d) Tìm a để A3 = A e) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× A  A 82 Cho biÓu thøc: Q 1 x   x  2 x  1 x a/ Tìm điều kiện để Q có nghĩa b/ Rót gän Q c/ TÝnh gi¸ trÞ cña Q x  d/ Tìm x để Q   e/ Tìm giá trị nguyên x để giá trị Q nguyên x x 1  x 1 x  x 83 Cho biÓu thøc: P  a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rót gän P c) Tìm x để P>0 d) Tìm x để P  P e) Giải phương trình P  2 x f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị P nguyên  a 1  a 1    a  a    a 1 a 1 a   84 Cho biÓu thøc: A   Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán a) Tìm điều kiện để A có nghĩa 52 52  2 52 b) TÝnh gi¸ trÞ cña A a  AA c) Tìm các giá trị a để d) Tìm a để A=4; A=-16 e) Giải phương trình: A=a2+3  a a  a a  a   M      85 Cho biÓu thøc:  2 a  a  a   a) Rót gän M b) Tìm giá trị a để M= - c) TÝnh gi¸ trÞ cña M a  86 Cho biÓu thøc: K  1  a  : 62  2   a a 1  a a    a    a      a    a a) Rót gän K b) TÝnh gi¸ trÞ cña K a=9 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× K K d) Tìm a để K=1 e) Tím các giá trị tự nhiên a để giá trị K là số tự nhiên 87 Cho biÓu thøc: Q  x 1 x  x 1 x  3 x x 1 a/ Rót gän Q b/ Chøng minh r»ng Q<0 c/ TÝnh gi¸ trÞ cña Q x  20001  19999 20001  19999  20001  19999 20001  19999  x x    x  1   T     : 88 Cho biÓu thøc:   x  x   x  x x  a/ Rót gän T b/ Tinh gi¸ trÞ cña T x  c/ Tìm x để T=2 d/ Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× T<0 e/ Tìm xZ để TZ 7 7  7 7 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 89 Cho biÓu thøc: L  15 x  11 x 2 x    x 2 x 3 x 1 x  Rót gän L a) TÝnh gi¸ trÞ cña L x  2 2  2 2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña L 90 Cho biÓu thøc: A  x 3   2 x x 3 x 5 x  a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rót gän A c) Tìm x để A=1; A=-2 d) Tìm x để A  A e) Tìm xZ để TZ f) 91 Cho N  T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A a ab  b  b ab  a  a) Rót gän N b) TÝnh N a  c) ab ab  ;b   a a 1 CMR: NÕu  thì N có giá trị không đổi b b5 (2 x  3)( x  1)  4(2 x  3) ( x  1) ( x  3) Rót gän A Tìm x để A = 92 Cho biÓu thøc A  a) b) 93 Cho A x 1  x  x 1  x  x3  x x 1 a) Rót gän råi tÝnh sè trÞ cña A x = b) Tìm x để A >   x   x  94 Cho K  1   :    x    x  x x  x  x 1  a) b) c) Rót gän K TÝnh gi¸ trÞ cña K x   Tìm giá trị x để K >1 53 92 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán  x2 1   95 Cho biÓu thøc K     x 1 x   x  x  a) b) Tìm điều kiện x để biểu thức K xác định Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị x để K đạt giá trị lớn nhÊt  x  x  x  x   x  00    K 96 Cho biÓu thøc      1 x x x x   Tìm điều kiện x để K xác định a) b) Rót gän K c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc K cã gi¸ trÞ nguyªn?  x 3x    x   x 97 Cho P      1  :   x    x x x     a) b) c) Rót gän P Tìm x để P < -1/2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P  3 x x   x2  x x  x   98 Cho biÓu thøc: A        1 x x x x x   a) b) Tìm điều kiện biến x để biểu thức A xác định Rót gän biÓu thøc A 99 Cho biÓu thøc : P = a 3 a 1 a    4a a 2 a 2 a > ; a  4 a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 100  m m 3   m 1 m 1 m      :   m  m     m m m     Cho biÓu thøc A   a) Rót gän A b) So s¸nh A víi 101 Cho biÓu thøc : A = 1 1 a 1 1 a   1 a  1 a 1 a  1 a 1 a 1) Rót gän biÓu thøc A 2) Chứng minh biểu thức A luôn dương với a 102 Cho M =  a a6 3 a a) Rót gän M b) Tìm a để / M /  Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M 103 3 x 3 x 4x   x 2    Cho biÓu thøc C =   :   x  3 3 x x x x x         a) Rót gän C b) Tìm giá trị C để / C / > - C c) Tìm giá trị C để C2 = 40C 104  a a 1 a a   a    :  a a a a  a2 Cho biÓu thøc : A =  a) Với giá trị nào a thì A xác định b) Rót gän biÓu thøc A c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn 105  a  25a   25  a a 5 a 2   :    Cho biÓu thøc: M =   a    a  25   a  a  10  a a) Rót gän M b) Tìm giá trị a để M < c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ y  a x HÀM SỐ Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Hàm số bậc  Hàm số bậc là hàm số cho công thức y = ax + b đó a   Hàm số bậc xác với giá trị x  R và có tính chất đồng biến a > 0; nghÞch biÕn a <  §å thÞ cña hµm sè bËc nhÊt lµ mét ®­êng th¼ng C¾t trôc tung t¹i ®iÓm B(0;  b  b) Cắt trục hoành điểm A   ;0  (trong đó a gọi là hệ số góc, b gọi là  a  tung độ góc)  C¸c ®­êng th¼ng cã cïng hÖ sè gãc a th× t¹o víi trôc Ox c¸c gãc b»ng NÕu gäi  lµ gãc hîp bíi gi÷a ®­êng th¼ng vµ tia Ox th× a = tg  NÕu ®­êng th¼ng (d): y = ax + b (a  0) vµ ®­êng th¼ng (d’): y = a’x + b’ (a’  0) th×: (d) c¾t (d’)  a  a’ a  a' (d) song song (d’)   b  b' a  a' (d) trïng (d’)   b  b' (d)  (d’)  a.a’ = -1 Bài 1: a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) b) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng trên với trục tung và trục hoành Bµi Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + a) Tìm điều kiện m để hàm số luôn nghịch biến b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ c) Tìm m để đồ thị hàm số trên và các đồ thị các hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Bµi 3: Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + a) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1; -4) c) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn qua với m Bµi : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1) a) Viết phương trình đường thẳng AB b) Tìm các giá trị m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Bµi 5: Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – a) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) b) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ x =  Bài : Tìm giá trị k để các đường thẳng sau : y = 6x 4x  ;y= vµ y = kx + k + c¾t t¹i mét ®iÓm Bài : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Xác định a, b để (d) qua hai điểm A(1; 3) vµ B(-3; -1) Bµi : Cho hµm sè : y = x + m (D) Tìm các giá trị m để đường thẳng (D) : Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán a) §i qua ®iÓm A(1; 2010) b) Song song víi ®­êng th¼ng x – y + = Bµi 9: Cho hµm sè y = (m - 2)x + n (d) Tìm giá trị m và n để đồ thị (d) hàm số : a) §i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4) b) Cắt trục tung điểm cótung độ 1- và cắt trục hoành điểm có hoành độ 2+ c) C¾t ®­êng th¼ng -2y + x – = d) Song song vèi ®­êng th¼ng 3x + 2y = Bµi 10: Cho hµm sè : y  2x (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách hai trục toạ độ c) XÐt sè giao ®iÓm cña (P) víi ®­êng th¼ng (d) y  mx  theo m d) Viết phương trình đường thẳng (d') qua điểm M(0; -2) và tiếp xúc với (P) Bµi 11 : Cho (P) y  x vµ ®­êng th¼ng (d) y  2x  m 1) Xác định m để hai đường đó : a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt hai điểm phân biệt A và B , điểm có hoành độ x= -1 Tìm hoành độ điểm còn lại Tìm toạ độ A và B 2) Trong trường hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M và N ìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo m và tìm quỹ tích điểm I m thay đổi Bµi 12: Cho ®­êng th¼ng (d) 2(m  1)x  (m  2)y  a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) y  x hai điểm phân biệt A và B b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi Bµi 13: Cho (P) y   x a) Tìm tập hợp các điểm M cho từ đó có thể kẻ hai đường thẳng vuông góc với vµ tiÕp xóc víi (P) b) Tìm trên (P) các điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ Bµi 14: Cho ®­êng th¼ng (d) y  x  a) Vẽ (d) Tính diện tích tam giác tạo thành (d) và hai trục toạ độ b) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Bµi 15: Cho hµm sè y  x  (d) a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị (d) b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phương trình x   m (d') y  3x  Bµi 16: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ®­êng th¼ng : (d) y  (m  1)x  a) Song song víi b) C¾t c) Vu«ng gãc víi Bài 17: Tìm giá trị a để ba đường thẳng : (d1): y = 2x – 5; (d2): y = x + 2; (d3): ax - 12 đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ Bài 18: CMR m thay đổi thì (d) 2x + (m - 1)y = luôn qua điểm cố định Bài 20: Cho (P) y  x và đường thẳng (d) y=ax + b Xác định a và b để đường thẳng (d) đI qua ®iÓm A(-1; 0) vµ tiÕp xóc víi (P) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bµi 21: Cho hµm sè y  x   x  a) Vẽ đồ thị hàn số trên b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phương trình x   x   m Bµi 22: Cho (P) y  x vµ ®­êng th¼ng (d) y = 2x + m a) VÏ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) x2 Bµi 23: Cho (P) y   vµ (d) y = x + m a) VÏ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B c) Xác định đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) điẻm có tung độ b»ng -4 d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và qua giao điểm (d') vµ (P) Bµi 24: Cho hµm sè y  x (P) vµ hµm sè y = x + m (d) a) T×m m cho (P) vµ (d) c¾t t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k× ¸p dông T×m m cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng Bµi 25: Cho ®iÓm A(-2; 2) vµ ®­êng th¼ng ( d1 ) y = -2(x + 1) a) Tìm a để hàm số y  a.x (P) qua A b) Xác định phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1) c) Gọi A và B là giao điểm (P) và (d2) ; C là giao điểm (d1) với trục tung Tìm toạ độ cña B vµ C TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Bài 26: Cho (P) y  x và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lượt là và a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm điểm M trên cung AB (P) tương ứng hoành độ x   2;4  cho tam giác MAB có diÖn tÝch lín nhÊt Bµi 27: Cho (P) y   x2 vµ ®iÓm M (1; -2) a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc là m b) CMR (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B m thay đổi c) Gọi x A ; xB là hoành độ A và B Xác định m để x A2 xB  x A xB2 đạt giá trị nhỏ nhÊt d) Gọi A' và B' là hình chiếu A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B *TÝnh S theo m; *Xác định m để S= 4(8  m2 m2  m  2) Bµi 28: Cho hµm sè y  x (P) a) VÏ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là -1 và Viết phương trình đường th¼ng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 29: Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P) y   x và đường thẳng (d) y  mx  2m  a) Tìm m cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán b) Chứng tỏ (d) luôn qua điểm cố định Bµi 30: Cho (P) y   x vµ ®iÓm I(0; -2) Gäi (d) lµ ®­êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m a) VÏ (P) CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B m  R b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bµi 31: Cho (P) y  x2 vµ ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( ;1) cã hÖ sè gãc lµ m a) T×m m cho (d) tiÕp xóc (P) b) T×m m cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt Bµi 32: Cho (P) y  x2 x vµ ®­êng th¼ng (d) y    2 a) Tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) b) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đó đường tiếp tuyến (P) song song với (d) Bµi 33: Cho (P) y  x a) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là -1 và Viết phương trình đường th¼ng AB b) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 34: Cho (P) y  2x Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 Xác định các giá trị m và n để đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB Bài 35: Xác định giá trị m để hai đường thẳng có phương trình (d1 )x  y  m c¾t t¹i (d2 )mx  y  mét ®iÓm trªn (P) y  2x Bµi 36: Cho hàm số: y = 1 x   m (d) a) Cmr với m thì (d) luôn nghịch biến b) Cmr góc (d) với Ox không phụ thuộc vào m c) Tnh góc (d) với Ox Bµi 37: Cho hàm số y  ( m  ).x  2m  (d) a) Tìm m để (d) qua (-2; 3) b) Tìm m để (d) song song với đ.thẳng y = 2x – c) Tìm m để (d) đồng biến với x >3 Bµi 38: Cho hàm số y= ( 2m-1)x + 4m2 -1 (d) a) Tìm m để (d) cắt đường thẳng y = -3x + b) Tìm m để (d) và hai đường thẳng y = 2x -1; y = 3x +1 đồng qui c*) Tìm m để (d) cắt hai trục tọa độ theo tam giác cân Bµi 39: Cho hàm số y = (3m+1).x - 2m -2 (d) a) Tìm m để (d) qua điểm -3 trên trục Ox b*) Tìm m để (d) vuông góc với đ.thẳng y = 2x + c*) Tìm tất điểm trên đường thẳng y = mà (d) không thể qua với m Bµi 40: Cho hàm số y = mx + 2q -3 (d) a) Tìm m, q để (d) cắt hai trục Ox và Oy các điểm -2 và b) Tìm m để góc (d) với Ox 300 c) Tìm m để góc (d) với Ox 1350 Bài 41: Cho hàm số: y=(m-2)x+n (d), Tìm các giá trị m và n để đồ thị (d) hàm số: Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán a §i qua ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4) b Cắt trục tung điểm có tung độ 1 và cắt trục hoành điểm có hoành độ b»ng  c C¾t ®­êng th¼ng -2y+x-3=0 d Song song víi ®­êng th¼ng 3x+2y=1 Bµi 42: 1) Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10 Với giá trị nào m thì y là hàm số bậc Với giá trị nào m thì hàm số đồng biến Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3) Tìm m để đồ thị cắt trục tung điểm có tung độ Tìm m để đồ thị qua điểm có hoành độ 10 trên trục hoành Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua điểm cố định với m Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn Bµi 43 Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) Xác định m để: a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5 c) Đường thẳng d tạo với Ox góc nhọn d) Đường thẳng d tạo với Ox góc tù e) Đường thẳng d cắt Ox điểm có hoành độ f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – điểm có hoành độ là g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 điểm có tung độ y = Đường thẳng d qua giao điểm hai đường thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1 Bµi 44: Cho hàm số y = (m -2)x + m + a)Tìm điều kiện m để hàm số luôn luôn nghịch biến b)Tìm điều kiện m để đồ thị cắt trục hoành điểm có hoành độ c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + đồng quy d)Tìm m để đồ thị h/số tạo với trục tung và trục hoành tam giác có diện tích Bµi 45: Cho ba đường thẳng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = và (d3): nx - y = n - 1; n là tham số a) Tìm tọa độ giao điểm N hai đường thẳng (d1) và (d2) b) Tìm n để đường thẳng (d 3) qua N Bài 46 : Xác định hàm số bậc y = ax + b trường hợp sau: a) a = - và đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ – b) a = và đồ thị hàm số qua điểm A(2; 5) c) §å thÞ cña hµm sè song song víi ®­êng th¼ng y  x vµ ®i qua ®iÓm B(1;  ) d) §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm A(-1; 2) vµ B(2;-3) e) §å thÞ hµm sè ®i qua M(2;- 3) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = x – Bµi 47: Víi ®iÒu kiÖn nµo cña k vµ m th× hai ®­êng th¼ng : y = (k – 2)x + m – vµ y = (6 – 2k)x + – 2m a) Trïng b) Song song c) C¾t Bµi 48: Cho hµm sè y = (a - 1)x + a a) Xác định giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ - b) Xác định giá trị a để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ a) b) c) d) e) f) g) h) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán c) Vẽ đồ thị hai hàm số ứng với giá trị a tìm các câu a và b trên cùng hệ trục toạ độ Tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng vừa vẽ Bµi 49: Cho ®­êng th¼ng y = (m - 2)x + n (m  2) (d) Tìm các giá trị m và n các trường hợp sau: a) §­êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;4) b) Đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ  và cắt trục hoành điểm có hoành độ  c) §­êng th¼ng (d) c¾t ®­êng th¼ng 2y + x – = d) §­êng th¼ng (d) trïng víi ®­êng th¼ng y – 2x + = Bµi 52 : a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau : ; y = 2x (d2) ; y = - x + (d3) y = x (d1) b) Đường thẳng (d3) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) theo thứ tự A , B Tìm toạ độ c¸c ®iÓm A vµ B TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB Bµi 53: Cho hµm sè y = (1 - 2m)x + m + (1) a) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến b) Tìm m để hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – + m c) Chứng minh với giá trị m thì đường thẳng (1) luôn qua điểm cố định Tìm điểm cố định đó Bµi 54: Cho hai ®­êng th¼ng y = - 4x + m - (d1) vµ y = x  15  3m (d2) a) Tìm m để hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt điểm trên trục tung b) Với m trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B hai đường thẳng (d1) và (d2) với trục hoµnh c) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC d) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC Bài 55: Cho hàm số y   m   x  k (d) Tìm giá trị m và k để đường thẳng (d): a) §i qua hai ®iÓm A(1 ; 2) vµ B(-3 ; 4) b) Cắt trục tung điểm có tung độ  và cắt trục hoành điểm có hoành độ 1 c) C¾t ®­êng th¼ng y  x   d) Song song víi ®­êng th¼ng y  x   e) Trïng víi ®­êng th¼ng 3x  y   Bµi 56: Viết phương trình đường thẳng (d) biết: a) (d) qua A(1 ; 2) và B(- ; - 5) b) (d) qua M(3 ; 2) và song song với đường thẳng () : y = 2x – 1/5 c) (d) qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng (d’): y = -1/2x + d) (d) qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dương trục Ox góc 300 e) (d) qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đường thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = – 3x điểm g) (d) qua K(6 ; - 4) và cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bµi 57: Gọi (d) là đường thẳng y = (2k – 1)x + k – với k là tham số a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6) b) Định k để (d) song song với đường thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vuông góc với đường thẳng x + 2y = Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán d) Chứng minh không có đường thẳng (d) nào qua điểm A(-1/2 ; 1) e) Chứng minh k thay đổi, đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bµi 47: Cho hµm sè: y = (m + 4)x – m + (d) a Tìm các giá trị m để hàm số đồng biến, nghịch biến b Tìm các giá trị m, biết đường thẳng (d) qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị hàm sè víi gi¸ trÞ t×m ®­îc cña m c Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ d Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ e Chứng minh m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn luôn qua điểm cố định Bµi 58: Cho hai ®­êng th¼ng: y = (k – 3)x – 3k + (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + (d2) Tìm các giá trị k để: a (d1) vµ (d2) c¾t b (d1) vµ (d2) c¾t t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung c (d1) vµ (d2) song song víi d (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi e (d1) vµ (d2) trïng Bµi 59: Cho hµm sè : y = ax +b a Xác định hàm số biết đồ thị nó song song với y = 2x +3 và qua điểm A(1,-2) b Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc  tạo đường thẳng trên với trục Ox ? c Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ? d Tìm giá trị m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 Bµi 60: Cho hµm sè y =f(x) =3x – a Tìm toạ độ giao điểm đths với hai trục toạ độ TÝnh f(2) ; f(-1/2); f(  24 ) C¸c ®iÓm sau cã thuéc ®ths kh«ng? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10) Tìm m để đths qua điểm E(m;m2-4) Tìm x để hàm số nhận các giá trị : ; -3 Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ Tìm điểm thuộc đths có hoành độ là Tìm điểm thuộc đths có tung độ là -4 i Tìm điểm thuộc đths có hoành độ và tung độ b c d e f g h Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Hàm số y  ax  Hàm số có tính chất: Nếu a > thì hàm số nghịch biến x < và đồng biến x > Nếu a < thì hàm số đồng biến x < và nghịch biến x >  Đồ thị hàm số là Parabol với đỉnh là góc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng  Nếu a > thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp đồ thị  Nếu a < thì đồ thị nằm phía trục hoành, O là điểm cao đồ thÞ Các dạng toán Dạng 1: Xác định hàm số bậc (phương trình đường thẳng) Phương pháp: Dựa vào các điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hµm sè y = ax + b th× ax0 + b = y0 Các kết đã nêu phần lý thuyết trên Dạng 2: Xác định hàm số y = ax2 (a  0) Phương pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số 2 y = ax th× ax0 = y0 Dạng 3: Tìm giao điểm hai đồ thị Phương pháp: Lập phương trình hoành độ giao điểm Giải phương trình, từ đó tìm toạ độ các giao điểm Dạng 4: Tương giao đường thẳng và Parabol Phương pháp: Cho đường thẳng có phương trình y = ax + b (a  0) và Parabol y = Ax (A  0) Xét phương trình hoành độ giao điểm Ax2 = ax + b (1) Ta có số giao điểm hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm phương trình này - Đường thẳng cắt Parabol và phương trình (1) có nghiệm - Đường thẳng không cắt Parabol và phương trình (1) vô nghiệm - Đường thẳng tiếp xúc Parabol và phương trình (1) có nghiệm kép Bµi : Cho (P) y  x và đường thẳng (d) y=a.x+b Xác định a và b để đường thẳng (d) đI qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi : Cho (P) y  x vµ ®­êng th¼ng (d) y=2x+m a) VÏ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bài 3: Xác định giá trị m để hai đường thẳng có phương trình (d1 ) x  y  m (d )mx  y  c¾t t¹i mét ®iÓm trªn (P) y  2x Bµi 4: Cho (P) y  2x a) VÏ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 Xác định các giá trị m và n để đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB Bµi 5: Cho (P) y  x Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán a) VÏ (P) b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là -1 và Viết phương trình đường th¼ng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bµi 6: Cho (P) y  x2 x vµ ®­êng th¼ng (d) y    2 a) VÏ (P) vµ (d) b) Tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đó đường tiếp tuyến (P) song song với (d) Bµi7 : Cho (P) y  x2 vµ ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( ;1 ) cã hÖ sè gãc lµ m a) Vẽ (P) và viết phương trình (d) b) T×m m cho (d) tiÕp xóc (P) c) T×m m cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt Bµi 8: Cho (P) y   x vµ ®iÓm I(0;-2) Gäi (d) lµ ®­êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m.VÏ (P) CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B m  R a) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 9: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y   x vµ ®­êng th¼ng (d) y  mx  2m  a) VÏ (P) b) Tìm m cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) luôn qua điểm cố định Bµi 10: Cho hµm sè y  x (P) a) VÏ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là -1 và Viết phương trình đường th¼ng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bµi 11: Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®­êng th¼ng ( d1 ) y=-2(x+1) a) §iÓm A cã thuéc ( d1 ) ? V× ? b) Tìm a để hàm số y  a.x (P) qua A c) Xác định phương trình đường thẳng ( d2 ) qua A và vuông góc với ( d1 ) d) Gọi A và B là giao điểm (P) và ( d ) ; C là giao điểm ( d1 ) với trục tung Tìm toạ độ cña B vµ C TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Bµi 12: Cho (P) y   x2 vµ (d) y=x+m a) VÏ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B c) Xác định pt đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) điẻm có tung độ b»ng -4 d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và qua giao điểm (d') và (P) Bµi 13: Cho parabol y= 2x2 (p) a tìm hoành độ giao điểm (p) với đường thẳng y= 3x-1 b tìm toạ độ giao điểm (p) với đường thẳng y=6x-9/2 c t×m gi¸ trÞ cña a,b cho ®­êng th¼ng y=ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán d tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (p) B(1;2) e biện luận số giao điểm (p) với đường thẳng y=2m+1 ( hai phương pháp đồ thị và đại số) f cho đường thẳng (d): y=mx-2 Tìm m để +(p) kh«ng c¾t (d) +(p)tiếp xúc với (d) tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó? + (p) c¾t (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt +(p) c¾t (d) Bµi 14: cho hµm sè (p): y=x2 vµ hai ®iÓm A(0;1) ; B(1;3) a viết phương trình đường thẳng AB tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho b viết phương trình đường thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P) c viết phương trình đường thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P) d chøng tá r»ng qua ®iÓm A chØ cã nhÊt mét ®­êng th¼ng c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt C,D cho CD=2 Bài 15: Cho (P): y=x2 và hai đường thẳng a,b có phương trình là y= 2x-5 y=2x+m a chøng tá r»ng ®­êng th¼ng a kh«ng c¾t (P) b tìm m để đường thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm hãy: + Chøng minh c¸c ®­êng th¼ng a,b song song víi + tìm toạ độ tiếp điểm A (P) với b + lập phương trình đường thẳng (d) qua A và có hệ số góc -1/2 tìm toạ độ giao ®iÓm cña (a) vµ (d) Bµi 16: cho hµm sè y  1 x (P) a vẽ đồ thị hàm số (P) b với giá trị nào m thì đường thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) hai điểm phân biệt A,B đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B c tính tổng tung độ các hoành độ giao điểm (P) và (d) theo m Bµi 17: cho hµm sè y=2x2 (P) vµ y=3x+m (d) a m=1, tìm toạ độ các giao điểm (P) và (d) b tính tổng bình phương các hoành độ giao điểm (P) và (d) theo m c tìm mối quan hệ các hoành độ giao điểm (P) và (d) độc lập với m Bµi 18: cho hµm sè y=-x2 (P) vµ ®­êng th¼ng (d) ®I qua N(-1;-2) cã hÖ sè gãc k a chứng minh với giá trị k thì đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) hai điểm A,B t×m k cho A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung b gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x1+y1+x2+y2 đạt gi¸ trÞ lín nhÊt Bµi 19: cho hµm sè y= x a tìm tập xác định hàm số b t×m y biÕt: + x=4 + x=(1- )2 + x=m2-m+1 + x=(m-n)2 c các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thÞ hµm sè? t¹i Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán d không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm số y= x-6 Bµi 20: cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=2mx-m2+4 (d) a.tìm hoành độ các điểm thuộc (P) biết tung độ chúng y=(1- )2 b.chứng minh (P) với (d) luôn cắt điểm phân biệt tìm toạ độ giao điểm chúng với giá trị nào m thì tổng các tung độ chúng đạt giá trị nhỏ Bµi 21: cho hµm sè y=2x2 (P) vµ y=3x+m (d) a m=1, tìm toạ độ các giao điểm (P) và (d) b tính tổng bình phương các hoành độ giao điểm (P) và (d) theo m c tìm mối quan hệ các hoành độ giao điểm (P) và (d) độc lập với m Bài 22: trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đường thẳng (d) y=ax+b a tìm a và b để đường thẳng (d) đI qua các điểm M, N b xác định toạ độ giao điểm đường thẳng MN với các trục Ox, Oy Bµi 23: cho hµm sè y= mx-m+1 (d) a chứng tỏ m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định tìm điểm cố định Êy b tìm m để (d) cắt (P) y=x2 điểm phân biệt A và B, cho AB= Bµi 24: cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=3x+m2 (d) a chøng minh víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña m ®­êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i ®iÓm ph©n biÖt b gọi y1, y2 kà các tung độ giao điểm đường thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức y1+y2= 11y1.y2 Bµi 25: a viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 điểm A(-1;2) b cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm phương trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và qua B c cho (P) y=x2 lập phương trình đường thẳng qua A(1;0) và tiếp xúc với (P) d cho (P) y=x2 lập phương trình d song song với đường thẳng y=2x và tiếp xúc với (P) e viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x2 điểm có hoành độ (-1) f viết phương trình đường thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x2 điểm có tung độ Bµi 26: a) Vẽ đồ thị (P): y = -2x2 b) Lấy điểm A, B, C trên (P), A có hoành độ là –2, B có tung độ là – 8, C có hoành độ là – Tính diện tích tam giác ABC.Em có nhận xét gì cạnh AC tam giác ABC Bµi 27: a) Vẽ đồ thị hàm số : y = -2x2 b) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1; 4) và B(-2; 1) Bµi 28: Cho hàm số y = x2 và y = x + a) Vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B đồ thị hai hàm số trên phép tính c) Tính diện tích tam gicsc OAB Bµi 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y   k  1 x  (k là tham số) và parabol (P): y  x a) Khi k  2 , hảy tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) và parabol (P); Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán b) Chứng minh với giá trị nào k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt; c) Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm đường thẳng (d) và parabol (P) Tìm k cho: y1  y  y1 y Bµi 29: Cho hàm số : y = x a) Nêu tập xác định, chiều biến thiên và vẽ đồ thi hàm số b) Lập phương trình đường thẳng qua điểm ( , -6 ) có hệ số gúc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên Bµi 30: Cho hàm số : y  x2 và y = - x – a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ b) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng y = - x – và cắt đồ thị hàm số y  x2 điểm có tung độ là Bµi 31: Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = 3(2m + 3) – 2mx và Parapol (P) có phương trình y = x2 a) Định m để hàm số y = 3(2m + 3) – 2mx luôn luôn đồng biến b) Biện luận theo m số giao điểm (d) và (P) c) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm có hoành độ cùng dấu Bµi 32: : Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A (–1; 2) và đường thẳng (d1): y = –2x +3 a) Vẽ (d1) Điểm A có thuộc (d1) không ? Tại ? b) Lập phương trình đường thẳng (d2) qua điểm A và song song với đường (d1) Tính khoảng cách hai đường thẳng (d1) và (d2) Bµi 33: Cho các đường thẳng có phương trình sau: (d1): y = 3x + 1, (d2): y = 2x – và (d3): y = (3 – m)2 x + m – (với m ≠ 3) a) Tìm tọa độ giao điểm A (d1) và (d2) b) Tìm các giá trị m để các đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy c) Gọi B là giao điểm đường thẳng (d1) với trục hoành, C là giao điểm đường thẳng (d2) với trục hoành Tính đoạn BC Bài 34: Cho hàm số: y = 2x2 (P) a) Vẽ đthị (P) b) Chứng minh Đthị (P) nhận Oy là trục đối xứng c) Bằng đồ thị hãy tìm Max, Min P   x  Bài 35: Cho hàm số: y = - x2 (P) a) Vẽ (P) b) Tìm trên (P) điểm cách hai trục tọa độ c) Tìm trên (P) mhững điểm mà khoảng cách từ nó tới Oy gấp hai lần khoảng cách từ nó tới Ox d) Vẽ (d) có phương trình y = 2x+1 và xác định giao điểm (P) và (d) Bài 36: Cho y = x2 (P) a) Xác định giao y = với (P) và tính độ dài đoạn thẳng trên y = bị chắn (P) b) Cmr y = 2x +3 (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ trung điểm AB c) Không tính giá trị hàm số, hãy giải thich trên (P) điểm có hoành độ là thấp điểm có hoành độ là và -6? Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 37: Cho hàm số y  x  x x   x (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Cmr phương trình x  x x   x  m luôn có nghiệm với m Bài 38: Cho hàm số y = 2x2 (P) a) Tìm m để đồ thị hàm số y = x – 2m +2 cắt (P) hai điểm phân biệt A, B b) Tìm m để xA + 2xB = c) Tìm m để hiệu hai tung độ A, B ½ Bài 39: Cho hàm số y = 3x2 (P) và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x + 3m -1 a) Tìm m để (P) cắt (d) điểm (trong t/hợp này ta nói d là tiếp tuyến (P)) b) Tìm m để (P) cắt (d) hai điểm phân biệt A, B cùng nửa mặt phẳng bờ Oy Khi đó A, B nằm góc phần tư nào mp tọa độ? Bài 40: Cho hàm số y = 2x2 (P) và (d) có phương trình y = 2mx +3 a) Cmr (P) và (d) luôn cắt hai điểm phân biệt A, B b) Hạ AH  Ox, BG  Ox Cmr OH.OG không phụ thuộc vào m c) Hạ AQ  Oy, BP  Oy Cmr OQ.OP không phụ thuộc vào m d) Khi m = ½ , hãy tính diện tích hình AHGB Bài 41: Cho hàm số y = x2 (P) Viết phương trình đường thẳng d biết rằng: a) d song song với y = 2x -4 và cắt (P) điểm Xác định giao điểm này b) d qua (2,0) và cắt (P) điểm c) d tạo với Ox góc 450 và cắt (P) hai điểm phân biệt Bài 42: Cho hàm số y = 4x2 (P) a) Vẽ (P) b) Tìm trên (P) điểm cách (0; 2) khoảng đơn vị c) Xác định các điểm A và B trên (P) cho xA= -1 và xB = d) Tìm trên cung AB (P) điểm M cho diện tích tam giác AMB nhỏ Bài 43: Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ cho: a) Từ đó kẻ hai đường thẳng mà đường thẳng cắt (P) điểm và hai đường thẳng này vuông góc với b*) Từ đó kẻ đường thẳng mà đường thẳng này cắt (P) điểm Bài 44: Cho hàm số y = -2x2 a) Tìm PT đthẳng (d) cho (d) cắt (P) hai điểm phân biệt và nhận (0, - 2) là trung điểm b) Tìm PT đthẳng (d) cho (d) cắt (P) hai điểm phân biệt và khoảng cách hai điểm này là c) Tìm trên (P) điểm cách (0; 2) khoảng nhỏ nhât Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán CHỦ ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Cách 1: Sử dụng phương pháp cộng đại số: - Nhân các vế hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho các hệ số ẩn nào đó hai phương trình hệ đối - Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực phương trình mới, đó có phương trình mà hệ số hai ẩn (tức là phương trình ẩn sè) - Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ phương trình đã cho Cách 2: Sử dụng phương pháp - Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình đã cho để hệ phương trình mới, đó có phương trình ẩn - Giải phương trình ẩn vừa có, suy nghiệm hệ đã cho Dạng 1: Giải các hệ phương trình sau Bài 1: Dạng 2x  3y  2   a) 3x  2y  3   x  6y  17   d)   5x  y  23   x  3y  g)  2 x  y  x y   1 j)  5 x  y   x  3y    f) 2x  6y  12   2 x  y  h)  x  y  x  3y  i)  x  y  l)  x  3y   x  y  6 o)  2 x  y  x  y  r)  n)  2 x  y  2 x  y  q)  p)  3x  2y  ; 1)  2x  y  3x  y  10  t)   x  y  3 4x  2y  ; 2)  6x  3y  3x  4y   4)  ; 5x  2y  14 2x  5y  5)  ; 3x  2y  14 4 x  y  s)  3 x  y  16 Bài 2: Dạng biến thể 3x  y  2 x  y  x  y  2 x  y  k)  3 x  y  2 x  y  18 m)  9x  8y   c)  2x  y   4x  3y    b) 2x  y    7x  4y  74  e) 3x  2y  32   5 x  y   x  y  7 x  y  3x  y  4 x  y  3 x  y  16 u)  2x  3y  3)  4x  6y  10 4x  6y  6)  10x  15y  18 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán x y  a b     2        3 a)  b)   5x  y  11 a  b  10 0     Bài 3: Dạng biến thể phức tạp x  y   a)  x  y  x  y   d)  x  y    (  1)x  y    b)  x  (  1)y     (x  (1  3)y   e)  (1  3)x  y  y x   c)  x  y  10   c) x  3y    2x  y  2    5x  y  2    f)  x y     Bài 4: Thu gọn ẩn đưa dạng  6(x  y )   2x  3y    a) 5(y  x )   3x  2y    (x  1)(y  2)  (x  1)(y  3)  b) (x  5)(y  4)  (x  4)(y  1)  (x  2)(y  1)  xy   c)   (x  8)(y  2)  xy    3x  22y  3  6xy 1)  ; 4x  5y  5  4xy y  27  2y - 5x     2x 3)  ; 6y 5x  x   y  2x - 32y  4  4x y  3  54 2)  ; x  13y  3  3yx  1  12  7x  5y -  x  3y  8  4)   6x - 3y  10   5x  6y Bài 5: Dạng bậc cao x  y   a) 2x  xy  3y  7x  12y    x  y  2x  2y  23   c) x  3y    x  5y  1 b) x  y  3xy  x  y  10  3x  6xy  x  3y   d) 4x  9y   Bài 6: Dùng ẩn phụ  1    x y a)     x y     x y b)  10   1 x y  1    x y c) 10     x y 1 1      x y 24   d)      y  x Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán  1    2  x y     e)    1    x  y  2x  3y  36  k) 3x  7y  37  3x  y   l) x  3y    x  y 5   m)   x  y  18      2 x  y  f)  29    x  y  20     1   x y  12 g)    3    x y  12  x 2 y    n)   x  y  4,    x   y    o)  2 x   y         1   2x  y  h)  13      2x  y         y 6  x 7 p)    2   y 6   x 7  1   2 x  y  i)    1 y  x    7x  13y  39   j)  5x  11y  33      x  2y  y  2x   1)  ;   1  x  2y y  2x      3x x 1  y    2)  ;  2x    x  y  2 x  2x  y   4)  ; 3 x  2x  y    3y x 1  x 1  y    3)  ;   4  x  y  5 x   y   5)  2 4x  8x   y  4y   13 Bài 7: Dùng ẩn phụ  2x y   2  x  y  a)  x 3y    1  x  y       2   2x  3y 3x  y  b)     21     3x  y 2x  3y        x  y  x  y  c)    4    x  y  x  y   x  x 1   y y  12 d)  x x   2 y  12 y Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán     1  2x  y x  y e)  1   0  2x  y x  y 5   x  y   2x  y    f)      x  y  2x  y   2x 3y    1     y x  h)  2y 5x   2    x  y      3  x y x    2y  i)     1     x  2y x  2y xy  x  y    x y  xy g)  x  y 10 xy    x y  xy Bài 8: Hệ đối xứng loại x  y  xy    a)  x  y  xy  13    x  xy  y    b)  x  y2    x  y  x  y     c)  x  y  xy     2   x  y  x  y  102 k) xy  x  y  69    3(x  y )  xy  l)  2 x  y  160 xy (x  2)(y  2)  m) x  y  2(x  y )   xy  x  y  17   d)   x  y  65    x  y  2x (y  3)  2y(x  3)    n)  2(x  y )  xy   x  y  xy  17  e) xy  12    x  y  xy     o) x  y  x  y    x (x  1)  y(y  1)  xy  17  p) (x  1)(y  1)   x  y  xy   q) x  y  xy    x y    f) x  y  34    xy  10   g)   x  y  29    xy  15   h)  x  y  34    2   x  xy  y  i) x  xy  y      x  y  xy  1   ị)   x y  y x  6    xy  x  y  11    r)    xy  11    x y xy  x  y   s) x  y  10 y x  Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán x  y  52     t)       x y 12 x  y     x) x  y     x  y   y) x  y  133  x y  y x  30 z) x x  y y  35     x  1   x y  u)  x   2    x  y     5 y   2x  y  v)  x  6     2x  y Bài 9: Hệ đối xứng loại 2:  2x  y  4y     a) 2y  x  4x     2x  3xy  y  3x   d)  2 2y  3xy  x  3y  2x  3x   y    g)  2y  3y   x     x  13x  6y   j)   y  13y  6x      y2   b) x    x  e) y    x  2y  7x   c) y  2x  7y     2x   2y  x  2y   f)  y  2x    y  2x x  5x  y    h)   y  5y  x    x  2y  x  i)  y  2x  y  y  x  4x  3x  k)  x  y  4y  3y  x  2y   l)  y  2x   Bài 10: Hệ bậc ẩn  x  y  z     x  2y  4z  a)     x  3y  9z  27     x  y  z  12    2x  3y  z  12 b)     x  y  2z      x  2y  3z    3x  y  2z  c)    2x  3y  z  2    x  y  2z    2x  3y  3z   d)   x  3y  4z   2x  y  3z   3x  2y  2z  e)   5x  4y   2x  y  3z    x  4y  6z   f)   5x  y  3z  5 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán y z x    6 g)  4x  3y  2z  24  x  y  16   y  z  28 l)   x  z  22  x y z       5 h)  2x  y  4z  30    4x  3y  2z  1  x y z i)      10 2  x   y   z   j)  4x  y  z    x  y  25  y  z  30 m)   x  z  29 x  y    y  z  k)   x  z    x  3y  z  2    x  y  2z  n)    z  3x     x  2z     y   3z p)    3x  2y  z  2    Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax  bx  c  (a  0) C«ng thøc nghiÖm: Ta cã   b2  4ac - Nếu  < thì phương trình vô nghiệm - Nếu  = thì phương trình có nghiệm kép x1,2   b 2a b   b   ; x2  2a 2a b c Hệ thức Viet: Nếu phương trình có nghiệm x1; x2 thì S = x1  x  ; P = x1.x  a a Giả sử x1; x2 là hai nghiệm phương trình ax  bx  c  (a  0) Ta có thể sử dụng - Nếu  > thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  định lí Viet để tính các biểu thức x1, x2 theo a, b, c S1 = x12  x 22   x1  x   2x1x  b  2ac a2 3abc  b a3 S2 = x13  x 32   x1  x   3x1x  x1  x   S3 = x  x   x1  x    x1  x2   4x1x  b  4ac a2 øng dông hÖ thøc Viet a) Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax  bx  c  (a  0) - NÕu a + b + c =  x1 = 1; x  c a - NÕu a - b + c =  x1 = -1; x   c a b) T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y lµ hai nghiÖm cña phương trình bậc hai X2 - SX + P = c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax  bx  c  (a  0) có hai nghiệm x1; x2 thì ax  bx  c  a  x  x1  x  x  d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phương trình ax  bx  c  (a  0) c  thì phương trình có hai nghiệm trái dấu a    thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu - NÕu  c  a      c - Nếu   thì phương trình có hai nghiệm dương Nếu a  b  a  - NÕu     c   thì phương trình có hai a  b  a  nghiÖm ©m e) Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai: S  x1  x2 P  x1 x2 x1 x2 Dấu nghiệm  Điều kiện chung trái dấu   P<0 0   ; P < cùng dấu,   P>0 0 0 ;P>0 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán cùng dương, + + S>0 P>0 0 0 ;P>0;S>0 cùng âm   S<0 P>0 0   ; P > ; S < C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n: Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm c 0 a Trong trường hợp cần chứng minh có ít hai phương trình ax  bx  c  ; a'x  b' x  c '  có nghiệm người ta thường làm theo hai cách sau: C¸ch 1: Chøng minh 1    C¸ch 2: 1.  Phương pháp: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là   b2  4ac  D¹ng 2: T×m hai sè biÕt tæng vµ tÝch Phương pháp: Bước 1: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm phương trình bậc hai X2 - SX + P = Bước 2: Giải phương trình X2 - SX + P = Bước 3: Kết luận Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: Tính S = x1  x  b c ; P = x1.x  , theo m a a Bước 3: Biểu diễn hệ thức đề bài theo S, P với chú ý x12  x 22  S2  2P ;   x13  x 23  S S2  3P ; 1 S 1 S2  2P     ; P2 x1 x P x12 x 22 D¹ng 4: HÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: Tính S = x1  x  b c ; P = x1.x  , theo m a a Bước 3: Khử m để lập hệ thức S và P, từ đó suy hệ thức hai nghiÖm kh«ng phô thuéc tham sè m Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với hệ thức cho trước Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: Tính S = x1  x  b c ; P = x1.x  , theo m a a Bước 3: Giải phương trình với ẩn số m, so sánh điều kiện Bước 4: Kết luận Phương trình quy phương trình bậc (bậc hai) Phương trình chứa ẩn mẫu số: Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Qui đồng mẫu số để đưa phương trình bậc (bậc hai) Bước 3: Giải phương trình bậc (bậc hai) trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối: Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đưa phương trình bậc (bËc hai) Bước 3: Giải phương trình bậc (bậc hai) trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Phương trình trùng phương: ax  bx  c  (a  0) Phương pháp: Bước 1: Đặt x2 = t  Bước 2: Biến đổi đưa phương trình bậc hai ẩn t Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm Phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + d = b + c Phương pháp: Bước 1: Đặt t = x2 + (a + d)x + k = x2 + (b + c)x + k với k =  ad  bc  Bước 2: Biến đổi đưa phương trình bậc hai ẩn t Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x Phương trình hồi qui a) Dạng 1: Phương trình có dạng ax  bx  cx2  bx  a  (a  0) Phương pháp: Bước 1: Chia hai vế phương trình cho x2  Bước 2: Đặt t  x  với điều kiện t  và đưa phương trình bậc hai ẩn x t Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x b) Dạng 2: Phương trình có dạng ax  bx  cx2  bx  a  (a  0) Phương pháp: Bước 1: Chia hai vế phương trình cho x2  Bước 2: Đặt t  x  và đưa phương trình bậc hai ẩn t x Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x e  d Phương trình có dạng ax  bx  cx  dx  e  với    ; e  a b 2 Phương pháp: Bước 1: §Æt d d d  d  t  x   t   x    x2     bx bx  b  bx   d  d x     t2  b  bx  Bước 2: Đưa phương trình bậc hai ẩn t Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm 4 Phương trình có dạng  x  a    x  b   c Phương pháp: Bước 1: Đặt t = x  ab a b ab  xa t ;x  b  t  2 Bước 2: Đưa phương trình trùng phương ẩn t Bước 3: Giải phương trình trùng phương trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm  Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Dạng 1: Giải phương trình bậc hai 2 x - 11x + 30 = x2 - 10x + 21 = x2 - 12x + 27 = 5x2 - 17x + 12 = 41 42 43 44 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 3x2 - 19x - 22 = x2 - (1+ )x + = x2 - 14x + 33 = 6x2 - 13x - 48 = 3x2 + 5x + 61 = x2 - x - - = x2 - 24x + 70 = x2 - 6x - 16 = 2x2 + 3x + = x2 - 5x + = 3x2 + 2x + = 2x2 + 5x - = x2 - 7x - = 3x2 - x - = -x2 - 7x - 13 = 2 x – 2(  1) x -3 = 3x2 - 2x - = x2 - 8x + 15 = 2x2 + 6x + = 5x2 + 2x - = x2 + 13x + 42 = x2 - 10x + = x2 - 7x + 10 = 5x2 + 2x - = 4x2 - 5x + = x2 - 4x + 21 = 5x2 + 2x -3 = 4x2 + 28x + 49 = x2 - 6x + 48 = 3x2 - 4x + = x2 - 16x + 84 = x2 + 2x - = 5x2 + 8x + = x2 – 2(  ) x + = x2 - 6x + = 3x2 - 4x + = 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 x2 - 16x + 84 = x2 + 2x - = 5x2 + 8x + = x2 – 2(  2) x + = 11x2 + 13x - 24 = x2 - 11x + 30 = x2 - 13x + 42 = 11x2 - 13x - 24 = x2 - 13x + 40 = 3x2 + 5x - = 5x2 + 7x - = 3x2 - x - = x2 - 2 x + = x2 -  x - = 11x2 + 13x + 24 = x2 + 13x + 42 = 11x2 - 13x - 24 = 2x2 - 3x - = x2 - 4x + = x2 - 7x + 10 = 4x2 + 11x - = 3x2 + 8x - = x2 + x + = x2 + 16x + 39 = 3x2 - 8x + = 4x2 + 21x - 18 = 4x2 + 20x + 25 = 2x2 - 7x + = -5x2 + 3x - = x2 - x - = x2 - 9x + 18 = 3x2 + 5x + = x2 + = x2 - = x2 - 2x = x4 - 13x2 + 36 = 9x4 + 6x + = 2x4 + 5x + = 2x4 - 7x2 - = x4 - 5x2 + =   Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 1: x  28x  52  c) 7x  2x   e) 6x  x   g) x  8x  16  i) x  12x  288  k) x  13x  36  m) x  64x  3600  o) 2x  x  39  q) 2x  5x   s) 16x  10x   a) 3x  5x   d) 2x  x   f) 3x  5x   h) 16z  24z   j) 9x  12x   l) 3x  2x   n) 12x  8x   p) x  3x   r) 3x  2x   t) 2x  7x   b) Bài 2: 2x  3x   c) x  13x  36  e) t  24t  25  g) 3x  10x   i) u  3u   k) x  6x  27  m) t  3t  10  o) x  2x  120  q) z  z  144  r) x  1,16x  0,16  a) s) 5x  (2  3)x    t) 3x  (2  3)x   u) v) x) x  x  0 11 x  x  0 (5  2)x  (5  2)x  10  y) x Bài 3:  39x  360  x  2x   d) 4x  5x   f) 9x  8x   h) 9a  2a  32  j) 2x  5x   l) a  12a  27  n) x  x   p) 36x  13x   b) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán x  2x  x   15x  x  35 b) 2x  x   x  6x  4 2 d) 5x  2x  16  10  x c) 5x  7x   3x  10x  e) (x  2)(x  2)(x  10)  72 f) (x  2)(x  1)(x  1)(x  2)  10 g) (x  4)(x  3)(x  3)(x  4)  44 a) h) (x  9)(x  1)  33 i) (x Bái 4:  2)(x  5)  12 3x  2x    2 a) x  x 3 x  2x  x  x 1   b) x  x  x  6x  x  3x   c) x 3 x x 6  8x 4x 32x d)  8x  12x   3(4  16x )  x  7x  6x  30 x  x  16  e) x3 1 x x 1   f) 2(x  1) x2 1 2x    g) x  x 1 x  x 1 15 3x  2x  h) x  2x   x   x   Bài 5: a) b) c) d) 1   x  4x  x  8x  15 6    x  5x  x  8x  15 x  13x  40 1 1    x  9x  20 x  11x  30 x  13x  42 18   1 x   x  5x   x  3x   x  4x    Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 1 1     2 e) x  5x  x  7x  12 x  9x  20 x  11x  30 Bài a) 2  x  8 x    x  1 b)  x  x      x  1 d) 25x x   11 (x  5)2 f) 4x  12 x  (x  2)2 h) x2 x   15 (x  1) 2 c)          x  1  15  x  e) 1   x (x  2)2 16 g) 81x x   40 (x  9) 2 2 Bài 2  x  1  x   40        x  a)   x   2  x    x   x   48    20    b)  x    x  1 x2 1 c) 2  x    x   x          x    x   x2 1 2  x    x   x 4      48 4   d)   x    x  1 x 1 2  x    x   x   12      44  e)  x    x  1 x2 1 Bài 2x 7x  1 a) 3x  x  3x  5x  4x 3x  1 2 b) 4x  8x  4x  10x  2x 13x  6 c) 2x  5x  2x  x  Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán d) e) f) g) 3x 7x   4 x  3x  x  x  4x 5x   x  x  x  5x  4x 5x  1 4x  8x  4x  10x  4x 5x   1 4x  8x  4x  10x  Bài x  10x  15 4x  a) x  6x  15 x  12x  15 x  3x  x  5x     b) x  4x  x  6x  2 x  13x  15 x  15x  15    c) x  14x  15 x  16x  15 12 Bài 10 a) (x  1)(x  2x  3)  b) x 2 2  3x  2x  c) (3x  5x  1)(x  4)  2 d) (2x  x  4)  (2x  1)  e) (x  2x  5)  (x  x  5) 2 2 f) (x  x  1)  (4x  1) 2 g) (x  3x  2)  6(x  3x  2) h) (2x  3)  10x  15x  x  5x  x   k) 3x  6x  4x  m) x  4x  x   j) x  3x  2x   i) 3 l) x  6x  3x  10  2 2 n) (5x  4x  10)  (x  7x  9)  2 2 o) (2x  10x  5)  (2x  21x  8) 2 2 p) (2x  7x  20)  (x  5x  7) Bài 11: x  6x  3x  10  c) x  3x  x   e) x  5x  x   g) x  2x  29x  30  i) x  6x  11x   k) x  2x  7x  14  a) x  2x  3x   d) x  7x  14x   f) x  4x  29x  24  h) 2x  7x  7x  12  j) x  5x  8x   l) x  x   b) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 12: 4 a) x  10x  15x  10x  16  b) x  11x  8x  8x  12  c) 2x  3x  17x  27x   4 d) x  2x  6x  10x   e) x  4x  19x  106x  120  f) 2x  21x  74x  105x  50  4 g) x  3x  14x  6x   h) x  3x  6x  3x   Bài 13: x  7x   c) x  17x  16  12 e) x  x   g) x  10x  16  x  9x   d) x  x   10 f) x  x   h) 2x  5x   a) b) Bài 14: 2 a) 3(x  x )  2(x  x )   2 c) 2(x  2x )  3(x  2x )   2 e) (x  5x )  10(x  5x )  24  2 b) (x  x )2  4(x  x )  12 d) (2x  3)  5(2x  3)  f) (x  5x )  2(x  5x )  24  2 g) (x  x  2)  12(x  x  2)  35  2 h) (x  3x  1)  2(x  x  1)   2 i) (x  3x  2)(x  3x  1)  20 j) (x  3x  4)(x  3x  2)  2 2 k) (x  4x  4)  x  4x         x   x   2    m)   x  x        x   x     12  o)   x  x        p) x  x   12 x  x   47        q) x    x    16  x x      x      x    s)   x  x        x   x   3  l)   x  x        x   x     10    n)   x  x     1   x    x x x  x  7 t) x2  x 1  r) x  Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 2x 5x u) (x  1)2  (x  1)   x 48 x    10    v) 3 x  x Bài 15: x x  1x  2x  3  b) x  1x  4 x  5 x  8  31 c) x  2x  3x  7x  8  144 d) x  5 x  6x  8x  9  40 a) e) x  1x  3 x  5 x    297 x  1x  2x  4x  5  10 g) x  1x  2x  3x  4   h) x  1x  2x  3x  6  108 i) x  1x  3 x  5 x    j) x  1x  2x  4 x  5  40 k) x  1x  2x  3x  4  l) x  7x  5 x  4x  2  72 m) x x  1x  1x  3  n) x x  1x  2x  3  24 o) 16x x  1x  2x  3  f) x  3x  2x  7x  12  24 q) x  x  1 x x  1  56 p) r) 4x  112x  13x  2x  1  s) 6x   3x  4x  1  t) 6x  5 3x  2x  1  35 u) 4x  3 x  12x  1  810 Bài 16: a) 3x  2x  x  x   x b) c) 2x  3x  2x  3x   33 d) 3x  21x  16  x  7x   e) x  x  10  g) 2x  x   i) 2x  x 2   x 2 2x  12 x2  x   x  x2  x  12 x  35  h) 2x  13 x  45  2x 1   2 ị) x  2x f) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán k) x 4x   2 4x  x l) x 3x   3 3x  x Bài 17: a) 24 15  2 x  2x  x  2x  1 b) x  2x   x  2x   2(x  2x  4) x2  x  3x  4  c) x x2  x  x2 x x2 x   d) x  x  x  x   1   2 e) x  3x  x  3x  x  3x   1 d) (x  1)(x  2) (x  1)(x  4) x  x  5 e) x2  x  Bài 18 a) x   b) x   c) 5x   d) 2x   e) 4x   f) 2x   g) x   h) 3x   i) 4x   m) 2x  x  p) x   3x k)  x   s)  3x  4x  t)  3x  3x  v)  4x   2x   x) 3x  5x   7 o) 5x  16  3x r) 2x  4x  u)  3x  2(x  3)  x  2x  y) 3 ab) x  5x   2 j) x   z) x  x   ac) x  3x   x   n) 3x  x  q) x   x  2  x 4 2 aa) x  x  ad) (3x  1)  x    Bài 19 2x  8x  16x  28 b) 4x   x   9x  18  20 c) 16x  16  9x   4x   x   16 a) l) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 25x  25  49x  49  x   4x  e) x   36x  36  9x   8x  12 4 x  20   x  9x  45  f) 15 x  x 25  25    x 1 g) d) Bài 20 a) x 1  x 1 x 1  g) x  x   13 j) x    x m)  2x   x d) p) x  x   16 Bài 21 e) x 2  x 2 3x   h) 2x   2x  b) k) x  x   n) x  2x    q) 3x    a) x  4x   49 b) 4x  4x   13 c) x  6x   x  d) x  2x   x  e) x  2x   x  4x   2x  f) x  10x  25  9x  6x   3x  g) x  4x   x  h) x  5x   x  i) x  2x   x  4x   j) x  2x   x  4x   x  4x  l) x  4x   x  m) x   x 1  x   x 1  n) x   x   11  x  x   o) x  44 x  x 96 x  p) x   x   x  11  x   q) x 2  x 2  x  6 x 2  c) f) 4x  20  x  20 x   1x x 5 7  x l) x    x o) 2x  2x   21 i) r)  2x  x  Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán r) x  x 1  x 1  s) x   x 1  x   x 1  t) x   x   11  x  x   u) x   2x   x   2x   2 v) x  6x   x  10x  25  Bài 22 2x   3x   x   5 x 2 a) c) x   x 2  g) x   x   i) 10  x  x   e) x 5  9x  k) m) o) 6x  x 2  4x   3x   q)  x   x  Bài 23 a) c) 2x   x   x  x   5x   3x  3x  15  4x  17  x  e) x   x  10  x   x  f) x   x  2x   3x  d) x   x 1  x 1  3 x 2 f) x  x 1  b) h) j) 15  x   x  x 1  x   x   12  x  n) x   x   p)  x   x  l) r)  2x   x  b) x   x   12  x d) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Dạng 2: Dạng tổng hợp phương trình bậc hai – Phương trình chưa tham số Bài 1: Cho phương trình : m 2x    2    x  m2 a) Giải phương trình m   b) Tìm m để phương trình có nghiệm x   c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương (x lµ Èn ) Bài 2: Cho phương trình :  m   x  2mx  m   a) Tìm m để phương trình có nghiệm x  Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt c) TÝnh x12  x 22 theo m (x lµ Èn ) Bài 3: Cho phương trình : x   m  1 x  m   a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt với m c) Chøng minh biÓu thøc M = x1 1  x   x 1  x1  kh«ng phô thuéc vµo m Bài 4: Tìm m để phương trình a) x  x  2m  1  có hai nghiệm dương phân biệt b) 4x  2x  m   cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c)  m2  1 x   m  1 x  2m   cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bài 5: Cho phương trình : x   a  1 x  a  a   a) Chứng minh phương trình trên có nghiệm tráI dấu với a b) Gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2 Tìm giá trị a để x12  x 22 đạt giá trị nhỏ nhÊt b c Bµi 6: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hÖ thøc:   Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai phương trình sau phải có nghiệm x2 + bx + c = và x2 + cx + b = Bài 7: Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nghiệm số chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = vµ 4x2 – (9m – 2)x + 36 = Bài 8: Cho phương trình : 2x  2mx  m2   a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn phương tr×nh Bài 9: Cho phương trình bậc hai tham số m : x  4x  m   a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện x12  x 22 = 10 Bài 10: Cho phương trình x   m  1 x  2m   a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Bài 11: Cho phương trình x   m  1 x  2m  10  (với m là tham số ) a) Giải và biện luận số nghiệm phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 hãy tìm hệ thức liên hÖ gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m c) Tìm giá trị m để 10x1x  x12  x 22 đạt giá trị nhỏ Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 12: Cho phương trình  m  1 x  2mx  m   với m là tham số a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt m  b) Xác định giá trị m dể phương trình có tích hai nghiệm 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm phương trình c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: x1 x   0 x x1 Bài 13: Cho phương trình: x  mx  m   (m là tham số) a) Chứng tỏ phươnh trình có nghiệm x1; x2 với m; tính nghiệm kép ( có) phương trình và giá trị m tương ứng b) §Æt A  x12  x 22  6x1x Chøng minh A  m2  8m  c) Tìm m để A = và tìm giá trị nhỏ A và giá trị m tương ứng d) Tìm m cho phương trình có nghiệm này hai lần nghiệm Bài 14: Giả sử phương trình a.x  bx  c  có nghiệm phân biệt x1; x2 Đặt Sn  x1n  xn2 (n nguyên dương) a) Chøng minh: a.Sn  bSn1  cSn   1   1  b) ¸p dông TÝnh gi¸ trÞ cña : A=          Bµi 15: Cho f(x) = x2 - (m + 2).x + 6m + a) CMR phương trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện m để phương trình f(x) = có nghiÖm lín h¬n Bài 16: Cho phương trình: x   m  1 x  m2  4m   a) Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm b) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương c) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối và tr¸i dÊu d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm có phương trình Tính x12  x 22 theo m Bài 17: Cho phương trình x  4x   có hai nghiệm là x1; x2 Không giải phương trình, hãy tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M  6x12  10x1 x  6x 22 5x1x 23  5x13 x Bài 18: Cho phương trình x   m   x  m   a) Giải phương trình m = b) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phương trình Tìm m để : x1 (1  2x )  x (1  2x1 )  m2 Bài 19: Cho phương trình x  mx  n   (1) (n , m là tham số) a) Cho n = CMR phương trình luôn có nghiệm với m  x1  x  2  x1  x  b) Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 phương trình (1) thoả mãn hệ :  Bài 20: Cho phương trình: x   k   x  2k   ( k là tham số) a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị k b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phương trình Tìm giá trị k cho x12  x 22  18 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 21: Cho phương trình  2m  1 x  4mx   (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Giải phương trình (1) m bất kì c) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm m Bài 22: Cho phương trình: x   2m   x  m2  3m  a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn  x1  x  Bài 23: Cho phương trình x  2mx  2m   a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1; x2 với m b) §Æt A = 2(x12  x 22 )  5x1x CMR A = 8m2  18m  T×m m cho A = 27 c) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai nghiệm Bài 24: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = Bài 25: Giải và biện luận phương trình: (m - 3) x2 – 2mx + m – = Bài 26: Giải các phương trình sau cách nhẩm nhanh b) 17x2 + 221x + 204 = a) 2x2 + 2007x – 2009 = d) x2 –(3 - )x - = c) x2 + (  )x - 15 = Bài 27: Giải các phương trình sau cánh nhẩm nhanh (m là tham số) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = Bài 28: Gọi x1 , x2 là các nghịêm phương trình : x – 3x – = B = x1  x a) TÝnh: A = x12 + x22 C= 1  x1  x  b) Lập phương trình bậc có các nghiệm là D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) 1 vµ x1  x2  Bài 29: Cho phương trình: x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k là tham số) a) Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị k b) Tìm giá trị k để phương trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu c) Gọi x1, x2 là nghệm phương trình (1) Tìm k để : x13 + x23 > Bài 30: Cho phương trình: x2 – 2( m + 1) x + m – = (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = -5 b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với m c) Tìm m để x1  x đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 là ha1 nghiệm phương trình (1) nói phÇn b) Bài 31: Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m là tham số) a) Giải phương trình m = - b) Chứng minh phương trình đã cho có nghiệm với m c) Tìm tất các giá trị m cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gÊp ba lÇn nghiÖm Bài 32: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) với m là tham số a) Biện luận theo m có nghiệm phương trình (1) b) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu c) Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai Bài 33: Cho phương trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) với k là tham số a) Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép b) Tìm k để phương trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 34: Cho phương trình : x – 6x + = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm phương trình Không giải phương trình, hãy tính: a) x12 + x22 b) x1 x1  x x c) x12  x 22  x1x x  x1  x      x12 x12   x 22 x 22  Bài 35: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = a) Tìm các giá trị m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm phương trình) Bài 36: Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – = a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8 Bài 37: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = a) Giải phương trình với m = b) Gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2 Tìm các giá trị m thoả mãn 5x1 + x2 = Bài 38: Cho phương trình: x2 + 4x + = (1) a) Giải phương trình (1) b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm phương trình (1) Tính B = x13 + x23 Bài 39: Cho phương trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m là tham số) a) Xác định m để phương trình có nghiệm là Tìm nghiệm còn lại b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23  Bài 40: Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2mx + m – = (*) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm phân biệt Bài 41: Cho phương trình (2m - 1)x2 - 2mx + = Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuéc kho¶ng (-1, 0) Bài 42: Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – = vµ 6x2 + (7m – 1)x – 19 = b) 2x2 + mx – = vµ mx2 – x + = c) x2 – mx + 2m + = vµ mx2 – (2m + 1)x – = Bài 43: Xét các phương trình sau: ax2 + bx + c = (1) và cx2 + bx + a = (2) Tìm hệ thức a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có nghiệm chung nhÊt Bài 44: Cho hai phương trình: x2 – 2mx + 4m = (1) và x2 – mx + 10m = (2) Tìm các giá trị tham số m để phương trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phương trình (1) Bài 45: Cho hai phương trình: x2 + x + a = và x2 + ax + = a) Tìm các giá trị a hai phương trình trên có ít nghiệm chung b) Với giá trị nào a thì hai phương trình trên tương đương Bài 46: Cho hai phương trình: x2 + mx + = (1) và x2 + 2x + m = (2) a) Định m để hai phương trình có ít nghiệm chung b) Định m để hai phương trình tương đương c) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phân biệt Bài 47: Cho các phương trình: x2 – 5x + k = (1) và x2 – 7x + 2k = (2) Xác định k để các nghiệm phương trình (2) lớn gấp lần các nghiệm phương trình (1) 2 Bµi 48: Cho pt: x  (2m  3)x  m  3m   Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán a) Gi¶i pt trªn m = b) Định m để pt có nghiệm là Khi đó pt còn nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? c) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m 2 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm pt Tìm m để x1  x  e) Định m để pt có nghiệm này ba nghiệm kia? Bµi 49: Cho pt x  2(m  1)x  m  a) CMR pt lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 víi mäi m b) Víi m H·y lËp pt Èn y cã nghiÖm lµ: y1  x  1 vµ y2  x  x1 x2 c) Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x  2x  Bµi 50: Cho pt x  2(k  3)x  2k   a) Gi¶i pt k  b) Tìm k để pt có nghiệm là 3, đó pt còn nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy? c) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiÖm x1; x2 víi mäi k d) CMR gi÷a tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm cã mét sù liªn hÖ kh«ng phô thuéc k? 1 e) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x  x  x x  2 f) Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ Bµi 51: Cho pt (m  1)x  2mx  m   a) CMR pt lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt m b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm Từ đó hãy tính các nghiệm pt c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña pt kh«ng phô thuéc m? x1 d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x  x2 x1  0 2 Bµi 52: Cho pt x  2(m  1)x  2m  10  a) Gi¶i vµ biÖn luËn pt trªn b) Tim giá trị m để pt có nghiệm m đó hãy tìm nghiệm còn lại? c) Tìm m cho hai nghiệm x1; x2 pt thoả 10x 1x  x 12  x 22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ đó? Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bµi 53: Cho pt x  2mx  2m   a) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m b) §Æt A  2(x 12  x 2 )  5x 1x 2 +) Chøng minh A  8m  18m  +) T×m m cho A = 27 c) Tìm m để pt có nghiệm này hai nghiệm Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy? Bµi 54: Cho pt x  2(m  1)x  m   a) Gi¶i pt m = -5 b) CMR pt lu«n cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dương e) CMR biÓu thøc A  x (1  x )  x (1  x ) kh«ng phô thuéc m f) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x  x 2 Bµi 55: Cho pt x  2(m  2)x  m   a) Gi¶i pt trªn m   b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? c) Tìm m để pt có hai nghiệm âm? d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm pt Tìm m để x (1  2x )  x (1  2x )  m 2 Bµi 56: Cho pt x  2(m  1)x  m  4m   (x lµ Èn) a) Gi¶i vµ biÖn luËn pt b) Tìm m để pt nhận là nghiệm Với giá trị m vừa tìm hãy tìm nghiệm còn lại cña pt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu Bµi 57: Cho pt (m  4)x  2mx  m   a) Tìm m để pt có nghiệm x  Tìm nghiệm b) Tìm m để pt có nghiệm c) TÝnh x 12  x 22 theo m d) TÝnh x 13  x theo m Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phương nghịch đảo các nghiệm Bµi 58: a) Pt x  2px   cã nghiÖm x1  T×m p vµ tÝnh nghiÖm b) Pt x  5x  q  cã mét nghiÖm b»ng T×m q vµ tÝnh nghiÖm c) BiÕt hiÖu hai nghiÖm cña pt x  7x  q  b»ng 11 T×m q vµ hai nghiÖm cña d) T×m q vµ hai nghiÖm cña pt x  qx  50  , biÕt pt cã hai nghiÖm vµ nghiÖm này gấp đôi nghiệm 2 e) Tìm giá trị m để pt x  2(m  2)x  2m   có nghiệm x1 = đó hãy tìm nghiệm còn lại f) Định giá trị k để pt x  k (k  1)x  5k  20  có nghiệm x = -5 Tìm nghiÖm g) Cho pt: 5x  mx  28  Định m để pt có hai nghiệm thoả 5x  2x  h) Tìm tất các giá trị a để pt x  ax  a   có hai nghiệm x1; x2 thoả m·n x 12  x 22  10 Bµi 59: Cho pt (m  1)x  2(m  1)x  m   a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để pt có nghiệm Tìm nghiệm c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 1   ; x1 x2 1  1; x1 x2 x 12  x 22  d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 3(x  x )  5x 1x 2 Bµi 60: Cho pt x  2(m  1)x  2m  10  a) Tìm m để pt có nghiệm b) Cho P  6x 1x  x 12  x 22 ( x1; x2 là hai nghiệm pt) Tìm m cho P đạt gi¸ trÞ nhá nhÊt, t×m GTNN Êy Bài 61: Tìm các giá trị m; n để pt x  2(m  1)x  n   có hai nghiệm x1  1; x  ? Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 62: Tìm các giá rị m để pt x  mx  m   có nghiệm x1; x2 thoả mãn hai ®iÒu: a) x 1x  2(x  x )  19  b) x1; x2 âm Bµi 63: Cho pt x  2(m  1)x  m   a) CMR pt lu«n cã nghiÖm víi mäi m b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc m c) Xác định m để pt có hai nghiệm giá trị tuyệt đối và trái dấu Bµi 64: Cho pt x  mx   a) Giải và biện luận pt Từ đó hãy cho biết với giá trị nào m thì pt có hai nghiệm? b) Xác định các giá trị m để pt có hai nghiệm dương c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt nh¹n lµ nghiÖm T×m nghiÖm cßn l¹i Bµi 65: Cho pt x  8x  m   a) Xác định m để pt có nghiệm b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt cã nghiÖm nµy gÊp lÇn nghiÖm kia? TÝnh c¸c nghiÖm trường hợp này Bµi 66: Cho pt x  mx  m   a) Chøng tá r»ng pt cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m TÝnh nghiÖm kÐp (nÕu cã) cña pt vµ gi¸ trÞ tương ứng m b) §Æt A  x 12  x 22  6x 1x 2 +) Chøng minh A  m  8m  +) Tính giá trị m để A = +) T×m cña A Bµi 67: Cho pt (m  1)x  2(m  1)x  m  a) Định m để pt có nghiệm kép Tính nghiệm kép này b) Định m để pt có hai nghiệm âm? dương? trái dấu? 2 Bµi 68: Cho pt x  (2m  3)x  m  3m  a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn các điều: Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán +) x 12  x 22  +) x 12x  x 1x 22  4 Bµi 69: Cho pt kx  18x   a) Với giá trị nào k thì pt có nghiệm? Tìm nghiệm đó? b) Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× pt cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x 12x  x1x 22  Bµi 70: Cho pt x  10x  m  20  a) Gi¶i pt m = 4? b) Xác định giá trị m để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để pt có hai nghiệm dương Bµi 71: Cho pt x  2(m  2)x  m   a) Tìm các giá trị m để pt có nghiệm b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm pt tìm m để: x (1  2x )  x (1  2x1 )  m Bµi 72: Cho pt 2x  6x  m  a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt cã nghiÖm b) Với giá trị nào m thì pt có nghiệm dương x1 c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm pt tìm m để x  x2 x1 3 Bµi 73: Cho pt x  2(a  1)x  2(a  5)  a) Gi¶i pt a = -2 b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoả x  2x  d) Tìm a để pt có hai nghiệm dương Bµi 74: Cho pt (m  1)x  2(m  1)x  m   a) Xác định m để pt có nghiệm 1   b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả x x2 c) Xác định m để pt có nghiệm hai nghiệm Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 75: Xác định m để pt x  (5  m)x  m   có hai nghiệm thoả mãn c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) Nghiệm này lớn nghiệm đơn vị b) Cã hai nghiÖm tho¶ 2x  3x  13 Bài 76: Tìm giá trị m để x 12  x 22 đạt giá trị nhỏ nhất: a) x  (2m  1)x  m   b) x  2(m  2)x  (2m  7)  Bµi 77: Cho pt x  2(m  1)x  m   a) Gi¶i pt m = b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt nhËn x = lµ nghiÖm T×m nghiÖm cßn l¹i c) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiÖm víi mäi m d) Tìm m để pt có nghiệm thoả x 12  x 22  e) Tìm giá trị m để pt có hai nghiệm dương? hai nghiệm âm? Bµi 78: Cho pt x  2(m  1)x  2m   a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña pt T×m GTLN cña Y  x 12  x 2 c) Tìm m để Y = 4; Y = 2 Bµi 79: Cho pt 5x  mx  28  a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) Tìm m để pt có hai nghiệm dương c) Tìm m để pt có hai nghim thoả: 1   +) x x2 142 x  x +) 25 d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x  2x  Bµi 80: Cho pt 2x  (2m  1)x  m   a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x  4x  11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm dương d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc m Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Dạng 3: Định lí Viet Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1; x2 Ví dụ : Cho x1  ; x2  lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên  S  x1  x2  x1; x2 là nghiệm phương trình có  P  x1 x2  Theo hệ thức VI-ÉT ta có  dạng: x  Sx  P   x  x   Bài tập áp dụng: x1 = x2 = -3 13 x   2; x1 = 36 x2 = -104 14 x1  x1 =  x2 =  x1=2 x2=5 x1=-5 x2=7 x1=-4 x2=-9 x  5; x2   x  3; x2  x  2 ; 10 x  ; x2   11 x   2; 12 x   6; 17 x   5; 18 x   5; x2  1 ; x2  10  72 10  72 1 ; x2  15 x1  2 2 16 x   11; 3 x2  3 x2   x2   2 19 x  4; 20 x1   ; x   11 x2   x2   x2   x2   Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x  3x   có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc có ẩn là y thoả mãn : y1  x2  y2  x1  Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: x2 1 1 1 x x  x1   ( x1  x2 )      ( x1  x2 )     x1 x2 x x x x 2   1 1 P  y1 y2  ( x2  )( x1  )  x1 x2     1 1  x1 x2 x1 x2 2 9 Vậy pt cần lập có dạng: y  Sy  P  hay y  y    y  y   2 S  y1  y2  x2  và x1 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài tập áp dụng : Giả sử x1; x2 là hai nghiệm phương trình: 2x  7x   Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: a) 3x1 vµ 3x2 g) b) -2x1 vµ -2x2 c) 1 vµ x1 x2 h) 1 d) x vµ x 2 e) f) x2 i) x1 j) vµ x x1 x1  x1 vµ x1  vµ x2 x1 x2  x1  vµ x2  x1 x2 x1  1 x2  vµ x2 x1 x2  vµ x1  x2  x2 Cho phương trình 3x  x   có nghiệm phân biệt x1; x2 Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1  x1  1 và y2  x2  x2 x1 Cho phương trình : x  x   có nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1  x14 và y2  x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc các nghiệm phương trình đã cho) Cho phương trình bậc hai: x  x  m  có các nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1; y2 cho : a) y1  x1  và y2  x2  b) y1  x1  và y2  x2  Gọi p; q là hai nghiệm phương trình 3x  7x   Không giải phương trình Hãy lập phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: p q 1 vµ q p 1 Gọi p; q là hai nghiệm phương trình x  5x   Không giải phương trình Hãy lập phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: p q 1 vµ q p 1 Gọi p; q là hai nghiệm phương trình 2x  6x   Không giải phương trình Hãy lập phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: p q 1 vµ q p 1 Gọi p; q là hai nghiệm phương trình x  4x   Không giải phương trình Hãy lập phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là: p q 1 vµ q p 1 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Giả sử x1; x2 là hai nghiệm phương trình: x  px   Không giải phương trình, hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là: a) -x1 vµ -x2 g) b) 4x1 vµ 4x2 x  x2 x1 vµ x  x1 x2 1 x2 x c) vµ h) 1 vµ x d) x1 i) x1  1 x2  vµ x2 x1 j) x 12 vµ e) f) x2 x1 vµ x1  x1 x1 x2 vµ x2  k) x  x2  vµ x1  x 22 1 vµ x  x x2 l) x12x2 vµ x1x22 x2 Tìm hai số biết tổng và tích chung Nếu hai số có Tổng S và Tích P thì hai số đó là hai nghiệm phương trình : x  Sx  P  (điều kiện để có hai số đó là S2  4P  ) V í dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  và tích P = ab =  Vì a + b =  và ab =  n ên a, b là nghiệm phương trình : x  3x   giải phương trình trên ta x  và x2  4 Vậy a = thì b =  a =  thì b = 1 Bài tập áp dụng a) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 27, tÝch cña chóng b»ng 180 b) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 1, tÝch cña chóng b»ng c) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 33 , tÝch cña chóng b»ng 270 d) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng 4, tÝch cña chóng b»ng 50 e) T×m hai sè biÕt tæng cña chóng b»ng , tÝch cña chóng b»ng -315 T×m hai sè u, v biÕt: a) u + v = 32; uv = 231 f) u + v = 14; uv = 40 b) u + v = -8; uv = -105 g) u + v = -7; uv = 12 c) u + v = 2; uv = h) u + v = -5; uv = -24 d) u + v = 42; uv = 441 i) u + v = 4; uv = 19 e) u - v = 5; uv = 24 j) u - v = 10; uv = 24 k) u2 + v2 = 85; uv = 18 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán n) u2 + v2 = 25; uv = -12 l) u - v = 3; uv = 180 m) u2 + v2 = 5; uv = -2 Tính giá trị các biểu thức nghiệm Đối các bài toán dạng này điều quan trọng là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức  x12  x22  ( x12  x1 x2  x22 )  x1 x2  ( x1  x2 )2  x1 x2  x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   x1 x2     x14  x24  ( x12 )2  ( x22 )2   x12  x22   x12 x22  ( x1  x2 )2  x1 x2   x12 x22 1 x1  x2   x1 x2 x1 x2  2  x1  x2   x1 x2  x12  x22 (   x1  x2  x1  x2  =…….)  x13  x23 ( =  x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2   x1  x2   x1 x2  =…… )    x1  x2    x14  x24 ( =  x12  x22  x12  x22  =…… )  x16  x26 ( = ( x12 )3  ( x22 )3   x12  x22  x14  x12 x22  x24  = …… ) Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x  x  15  Không giải phương trình, hãy tính x12  x22 x1 x2  x2 x1 1  x1 x2  x1  x2  b) Cho phương trình : x  72 x  64  Không giải phương trình, hãy tính: 1  x1 x2 x12  x22 c) Cho phương trình : x  14 x  29  Không giải phương trình, hãy tính: 1  x1 x2 x12  x22 d) Cho phương trình : x  3x   Không giải phương trình, hãy tính: 1  x1 x2  x1  x2  x1 x2 x12  x22 x1 x  x2  x1  1 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán e) Cho phương trình x  3x   có nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính Q  x12  10 x1 x2  x22 x1 x23  x13 x2 Cho phương trình: x  5x   Gọi x1; x2 là hai nghiệm phương trình không giải phương trình hãy tính: a) x 12  x 22 i) b) x 13  x j) c) x  x d) x 12  x 22 1 f)  x1 x l) x1  x2  x1 2x1 x2   x1 1  x2  x1 x2   x2 2x m) x 12x  x 1x 22 1 g)  x1 x2 x1  x1  k) x  e) x 13  x h) 1  x1  x  x2  x1 x2 n) x  x x2 Giống yêu cầu bài pt: 2x  5x   Giống yêu cầu bài pt: 3x  4x   Giống yêu cầu bài pt: 3x  2x   Cho phương trình: x  4x   Không giải phương trình hãy tính: a) Tổng bình phương các nghiệm b) Tổng nghịch đảo các nghiệm c) Tổng lập phương các nghiệm d) Bình phương tổng các nghiệm e) HiÖu c¸c nghiÖm f) Hiệu bình phương các nghiệm Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Tìm giá trị tham số phương trình thõa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho Đối với các bài toán dạng này, ta làm sau:  Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a  và   0)  Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số)  Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ: Cho phương trình : mx   m  1 x   m    Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2 Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 và x2 l à :  m     '  3  m  21   9( m  3)m   m   2   '   m  2m  1  9m  27   m  m      '   m  1   m  1 6(m  1)   x1  x2  m và từ giả thiết: x1  x2  x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:   x x  9(m  3)  m Suy ra: 6(m  1) 9(m  3)  m m  6( m  1)  9(m  3)  m   m  27  3m  21  m  V ậy với m = thì phương trình đã cho có nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài tập áp dụng 1.Cho pt x  6x  m  TÝnh gi¸ trÞ cña m biÕt pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶: a) x12  x 22  36 b) 1  3 x1 x2 c) d) 1   x12 x 22 x1  x  2.Cho pt x  8x  m  Tìm các giá trị m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả các hÖ thøc sau: a) x 12  x 22  50 c) 2x  3x  26 b) x1  7x d) x1  x  2 Cho pt x  (m  3)x  2(m  2)  Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1  2x Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm pt? 2 a) Tìm k để pt: x  (k  2)x  k   có hai nghiệm x1; x2 thoả x  x  10 b) Tìm m để pt: x  2(m  2)x   có hai nghiệm x1; x2 thoả x 12  x 22  18 c) Tìm k để pt: (k  1)x  2(k  2)x  k   có hai nghiệm x1; x2 thoả (4x  1)(4x  1)  18 d) Tìm m để pt: 5x  mx  28  có hai nghiệm x1; x2 thoả 5x  2x  Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm kh¸c cña pt: mx  (m  1)x  3(m  1)  Chøng minh: 1   x1 x 6.Cho phương trình : mx   m   x  m   Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  Cho phương trình : x   m  1 x  5m   Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1  3x2  8.Cho phương trình : x   3m   x   3m  1  Tìm m để nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1  5x2  Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán ài tập áp dụng 1.Cho pt TÝnh gi¸ trÞ cña m biÕt pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶: g) e) f) 2.Cho pt Tìm các giá trị m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả các hệ thức sau: a) c) b) d) Cho pt Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm pt? a) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả b) T×m m để pt: cã hai nghiÖm x1; x2 thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhffffff fffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfhoả pt có hai nghiệm x1; x2 thoả Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm pt? a) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả b) T×m m để pt: cã hai nghiÖm x1; x2 thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhffffff fffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfho¶ pt có hai nghiệm x1; x2 thoả Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm pt? a) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả b) T×m m để pt: cã hai nghiÖm x1; x2 thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhffffff fffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfho¶ c) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả d) Tìm m để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm kh¸c cña pt: Chøng minh: 6.Cho phương trình : Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Phương pháp chung - Chọn ẩn số và xác định điều kiện ẩn số (đơn vị tính) ẩn số thường là đại lượng chưa biết bài toán Việc chọn ẩn số hay hai ẩn số tuỳ thuộc vào số đại lượng chưa biÕt bµi to¸n - Biểu diễn mối tương quan đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết - Lập phương trình (hay hệ phương trình) - Giải phương trình (hay hệ phương trình) - Nhận định kết và trả lời Dạng 1: Các bài toán chuyển động - Dựa vào quan hệ ba đại lượng S: quãng đường; t: thời gian; v: vận tốc vật chuyển động công thức S = v.t - Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: Ví dụ giải bài toán chuyển động thuyền trên sông ta có: v1 = v0 + v3; v2 = v0 – v3 đó v1 là vận tốc thuyền xuôi dòng, v2 là vận tốc thuyền ngược dòng, v0 là vận tốc riêng thuyền, v3 lµ vËn tèc dßng ch¶y Hai tỉnh A và B cách 180 km Cùng lúc, ôtô từ A đến B và xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ôtô hết , còn từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết trên đường AB hai xe chạy với vận tốc không đổi Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B lại ngược dòng từ bến B bến A tất Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là km/h Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngựơc từ B trở A Thời gian xuôi ít thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A và B biết vận tốc dòng nước là km/h Một người chuyển động trên quãng đường gồm đoạn đường và đoạn đường dốc Vận tốc trên đoạn đường và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h vµ 20 km/h BiÕt r»ng ®o¹n ®­êng dèc ng¾n h¬n ®o¹n ®­êng b»ng lµ 110km vµ thêi gian để người đó quãng đường là 30 phút Tính chiều dài quãng đường người đó đã ®i Một xe tải và xe cùng khởi hành từ A đến B Xe tảI với vận tốc 30 km/h, xe ®i víi vËn tèc 45 km/h Sau ®i ®­îc qu·ng ®­êng AB, xe t¨ng vËn tèc thªm km/h trên quãng đường còn lại Tính quãng đường AB biết xe đến B sớm xe t¶i 2giê 20 phót Một người xe đạp từ A đến B cách 33 km với vận tốc xác định Khi từ B A người đó đường khác dài trước 29 km với vận tốc lớn vận tốc lóc ®i km/h TÝnh vËn tèc lóc ®i, biÕt r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ giê 30 phót Hai địa điểm A,B cách 56 Km Lúc 6h45phút người xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau đó người xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến hä gÆp vµ chç gÆp c¸ch A bao nhiªu Km ? Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h Sau đó thời gian, người xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 km/h và không có gì thay đổi thì đuổi kịp người xe máy B Nhưng sau nửa quãng đường AB, người xe đạp giảm bít vËn tèc km/h nªn hai ng­ßi gÆp t¹i C c¸ch B 10 km TÝnh qu·ng ®­êng AB Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h Khi đến B người đó nghỉ 20 phót råi quay trë vÒ A víi vËn tèc trung b×nh lµ 24 km/h TÝnh qu·ng ®­êng AB biÕt r»ng thêi gian c¶ ®i lÉn vÒ lµ giê 50 phót 10 Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau đó ngược từ B A Thời gian xuôi ít thời gian ngược là 40 phút Tính khoảng cách hai bến A và B biết vận tốc dòng nước là Km/h và vận tốc riêng ca nô là không đổi 11 Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 km/h Lúc đầu ô tô với vận tốc đó, còn 60 km thì nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại Do đó ô tô đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đường AB 12 Hai ca nô khởi hành cùng lúc và chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h Trên đường ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy Tính chiều dài quãng đường sông AB biết hai ca nô đến B cùng lúc 13 Một người xe đạp từ A đến B cách 50 km Sau đó 30 phút, người xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp 14 Một ca nô chạy trên sông giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km Một lần khác, ca nô đó chạy giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng (thực) ca nô 15 Mét tÇu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt giê 20 phót TÝnh vËn tốc tầu nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là km/h 16 Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau đó 20 phút ca nô chạy từ bÕn s«ng A ®uæi theo vµ gÆp chiÕc thuyÒn t¹i mét ®iÓm c¸ch bÕn A 20 km Hái vËn tèc cña thuyÒn, biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 km/h 17 Một ôtô chuyển động với vận tốc đã định để hết quãng đường dài 120 km thời gian đã định Đi nửa quãng đường xe nghỉ phút nên để đến nơi đúng giờ, xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm km/h trªn nöa qu·ng ®­êng cßn l¹i TÝnh thêi gian xe l¨n b¸nh trªn ®­êng 18 Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 km thời gian quy định Sau ôtô bị chắn đường xe hoả 10 phút Do đó, để đến B đúng hạn, xe phải tăng vËn tèc thªm km/h TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cña «t« 19 Một người xe đạp từ A đến B thời gian đã định Khi còn cách B 30 km, người đó nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc đi, tăng vận tốc thêm km/h thì tới đích sớm nửa giờ.Tính vận tốc xe đạp tren quãng đường đã lúc đầu 20 Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ A đến B cách 300 km Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm ô tô thứ hai Tính vận tốc xe « t« 21 Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau qu·ng ®­êng víi vËn tốc đó, vì đường khó nên người lái xe phải giảm vận tốc 10 km trên quãng đường còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đường AB 22 Một ô tô dự định từ A đền B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu 23 Quãng đờng AB dài 180 km Cùng lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc ôtô thứ vận tốc ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ đến sớm ôtô thứ hai 2h TÝnh vËn tèc cña mçi «t«? Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 24 Khoảng cách hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô từ A đến B, nghỉ 90 phút B trở lại từ B A Thời gian từ lúc đến lúc trở là 10 Biết vận tốc lúc kém vận tèc lóc ®i lµ km/h TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t« 25 Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km, cùng lúc đó từ A bè nứa trôi với vận tốc dòng nước km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa trôi địa điểm C cách A là km Tính vận tốc thực ca nô 26 Khoảng cách hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút TÝnh vËn tèc mçi xe 27 Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45' người từ A với vận tốc 10km/h Sau 2h, người xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến thì họ gặp nhau, chç gÆp c¸ch A bao nhiªu km 28 Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngược từ B trở A Thời gian xuôi ít thời gian ngược là 40' Tính khoảng cách A và B Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nước là 3km/h 29 Một người xe đạp từ A đến B cách 50km Sau 1h30' người xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần xe đạp Dạng 2: Các bài toán suất lao động Dựa vào quan hệ ba đại lượng: N: suất lao động (khối lượng công việc hoàn thành đơn vị thời gian); t: thời gian để hoàn thành công việc; s: lượng công việc đã làm thì N = s t Hai đội công nhân cùng làm công việc thì làm xong Nếu đội làm mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ cần thời gian ít so với đội thứ hai là Hỏi đội làm mình xong công việc bao lâu? Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhưng cải tiến kỹ thuật nên ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy đó đã hoàn thành kế hoạch đã định 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế ho¹ch Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt 20 cá, đã vượt mức tuần nên đã hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch đã định Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trước làm việc đội xe đó bổ sung thêm xe nên xe chở ít so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết số hàng chở trên tất các xe có khối lượng Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n NÕu lµm chung giê tæ vµ giê cña tæ th× hoµn thµnh ®­îc mức khoán Nếu để tổ làm riêng thì tổ này làm xong møc kho¸n th× mçi tæ ph¶i lµm bao l©u ? Hai tổ công nhân làm chung 12 hoàn thành xong công việc đã định Họ làm chung víi giê th× tæ thø nhÊt ®­îc ®iÒu ®i lµm viÖc kh¸c, tæ thø hai lµm nèt c«ng viÖc cßn l¹i 10 giê Hái tæ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc Hai người thợ cùng làm công việc 16 thì xong Nếu người thứ làm và người thứ hai làm thì họ làm 25% côngviệc Hỏi người làm công việc đó mÊy giê th× xong Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm §Õn lµm viÖc, ph¶i điều công nhân làm việc khác nên công nhân còn lại phải làm nhiều dự định sản phẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân ? Biết suất lao động c«ng nh©n lµ nh­ Hai người thợ cùng làm công việc 16 thì xong Nếu người thứ làm và người thứ làm thì họ làm 25% công việc Hỏi người làm mình công việc đó giời thì xong ? 10 Tháng thứ hai tổ sản xuất 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ vượt 15%.tổ vượt 20% Do đó cuối tháng hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem tháng thø nhÊt mçi tæ s¶n xuÊt ®­îc bao nhiªu s¶n phÈm 11 Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng mçi tæ s¶n xuÊt ®­îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y ? 12 Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A và B là triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm là 045 000 người Tính sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m ? Dạng 3: Các bài toán làm chung – làm riêng, vòi nước chảy chung – chảy riêng Dùa vµo kÕt qu¶ sau - NÕu x giê (hoÆc ngµy) lµm xong c«ng viÖc th× mçi giê (hoÆc ngµy) lµm ®­îc công việc đó x công việc, đối tượng B làm x 1 công việc thì lượng công việc mà hai làm là + công y y x - Nếu giờ: Đối tượng A làm viÖc - NÕu mçi giê lµm ®­îc a c«ng viÖc th× a giê lµm ®­îc c«ng viÖc x x Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không chứa nước đã làm đầy bể 50 phót NÕu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước và chảy đầy bể 48 phút NÕu ch¶y riªng, vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê 30 phót Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào bể chứa thời gian quy định thì giê ph¶i b¬m ®­îc 10 m3 Sau b¬m ®­îc thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, bơm 15 m3 Do so với quy định, bể chứa bơm đầy trước 48 phút Tính thể tích bể chứa Nếu hai vòi nước cùng chảy vào cái bể chứa không có nước thì sau 30 phút ®Çy bÓ NÕu më vßi thø nhÊt 15 phót råi kho¸ l¹i vµ më vßi thø hai ch¶y tiÕp 20 phót th× sÏ ®­îc bÓ Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể chứa không có nước thì sau 55 phút đầy bÓ NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai giê Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ bao l©u ? Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 48 phút thì đầy Nðu chảy cùng thời gian thì lượng nước vòi II lượng nước vòi I chảy Hỏi vòi ch¶y riªng th× sau bao l©u ®Çy bÓ Nếu mở hai vòi nước chảy vào mệt bể cạn thì sau 55phút bể đầy bể Nếu mở riêng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ ? Dạng 4: Các bài toán xếp, chia sản phẩm (hàng hóa ) Như dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lượng: N: số lượng hàng hoá phân phối cho xe; t: là số xe chở hàng; s: tổng số lượng hàng hoá kho thì N = s t Hai đội bóng bàn hai trường A, B thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải toàn tỉnh Biết đấu thủ đội trường A phải gặp các đối thủ trường B lần và số trận đấu gấp lần tổng số đấu thủ đội Tìm số đấu thủ trường Trong mét cuéc gÆp mÆt häc sinh giái cã 35 b¹n häc sinh giái v¨n vµ to¸n tham dù C¸c học sinh giỏi văn tính số người quen mình là các bạn học sinh giỏi toán và nhận thấy r»ng : b¹n thø nhÊt quen b¹n; B¹n thø quen b¹n; B¹n thø quen b¹n ; vµ cø thÕ b¹n cuèi cïng quen tÊt c¶ c¸c b¹n häc sinh giái to¸n TÝnh sè häc sinh giái v¨n, giái to¸n BiÕt r»ng kh«ng cã häc sinh nµo võa giái v¨n võa giái to¸n Trong buổi liên hoan, lớp khách mời 15 khách đến dự Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm dãy ghế và dãy ghế phải ngồi thêm thì đủ chỗ ngồi Biết dãy ghế có số người ngồi và ngồi không quá năm người Hái líp häc lóc ®Çu cã bao nhiªu d·y ghÕ Mét ®oµn gåm 50 häc sinh qua s«ng cïng mét lóc b»ng lo¹i thuyÒn : Lo¹i thø nhÊt, mçi thuyÒn chë ®­îc em vµ lo¹i thø chë ®­îc em mçi thuyÒn Hái sè thuyÒn mçi lo¹i ? Hai đội cờ thi đấu với Mỗi đấu thủ đội này phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đã đấu bình phương số đấu thủ đội thứ cộng với số đấu thủ đội thứ hai Hỏi đội có bao nhiêu đấu thủ ? Mét khèi líp tæ chøc ®i tham quan b»ng « t« Mçi xe chë 22 häc sinh th× cßn thõa häc sinh Nếu bớt ôtô thì có thể xếp các học sinh trên các ôtô còn lại Hỏi lúc đầu có bao nhiªu «t«, bao nhiªu häc sinh Mçi xe chë kh«ng qu¸ 32 häc sinh Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy thời gian đã định và dự định sản xuất 300 chi tiết máy ngày Nhưng thực tế ngày đã làm thêm 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm tất là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trước ngày Tính số chi tiết máy dự định sản xuất Một đội xe cần chuyên chở 120 hàng Hôm làm việc có xe phải điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 Hỏi đội có bao nhiêu xe ? Hai tổ học sinh trồng số cây sân trường Nếu lấy cây tổ chuyển cho tæ mét th× sè c©y trång ®­îc cña c¶ hai tæ sÏ b»ng NÕu lÊy 10 c©y cña tæ mét chuyÓn cho tổ hai thì số cây trồng tổ hai gấp đôi số cây tổ Hỏi tổ trồng ®­îc bao nhiªu c©y ? 10 Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nước 860 thóc Tính số thóc mà hợp tác xã đã bán cho nhà nước Biết lần số thóc hợp tác xã thứ bán cho nhà nước nhiều hai lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 11 Để chở số bao hàng ôtô, người ta nhận thấy xe chở 22 bao thì còn thừa bao Nếu bớt ôtô thì có thể phân phối các bao hàng cho các ôtô còn lại Hỏi lóc ®Çu cã bao nhiªu «t« vµ tÊt c¶ cã bao nhiªu bao hµng BiÕt r»ng mçi «t« chØ chë ®­îc không quá 32 bao hàng (giả thiết bao hàng có khối lượng nhau) 12 Mỗi người dán tất tem mình vào Nếu dán 20 tem trên tờ thì không đủ để dán hết số tem Còn tờ dán 23 tem thì ít tờ còn bị bỏ trống Nếu giả sử trên đó mà trên tờ dán 21 tem thì tổng số tem dán trên đó với số tem thực có người đó là 500 tem Hỏi đó có bao nhiêu tờ và số tem người đó có ? D¹ng 5: C¸c bµi to¸n t×m sè Dùa vµo mèi liªn hÖ gi÷a c¸c hµng mét sè Chó ý: ab  10a  b ; abc  100a  10b  c Nếu tử số phân số tăng gấp đôi và mẫu số thêm thì giá trị phân số NÕu tö sè thªm vµ mÉu sè t¨ng gÊp th× gi¸ trÞ ph©n sè b»ng Tìm phân số đó 24 Tìm số N gồm chữ số, biết tổng các bình phương hai chữ số số đó cộng thêm tích hai chữ số Nếu thêm 36 vào số đó thì số có hai chữ số mà các chữ số viết thứ tự ngược lại Tìm số có chữ số biết đem số đó chia cho tổng các chữ số nó thì thương là và dư là Còn đem số đó chia cho tích các chữ số nó thì thương lµ vµ d­ lµ Tìm số gồm ba chữ số cho ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt bên trái số gồm hai chữ số còn lại, ta có ba chữ số lớn số ban đầu 765 đơn vị D¹ng 6: C¸c bµi to¸n cã néi dung h×nh häc Chú ý đến các hệ thức lượng tam giác, các công thức tính chu vi, diÖn tÝch cña c¸c h×nh Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng m Tính kích thước vườn, biết đất còn lại vườn để trång trät lµ 4256 m2 Cho mét h×nh ch÷ nhËt NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m2 NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m2 TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu Cho mét tam gi¸c vu«ng NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn cm vµ cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm2 NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm2 TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng D¹ng 7: Tổng hợp Một ô tô từ A đến B với vận tốc xác định và thời gian đã định Nếu vận tốc ô tô gi¶m 10 km/ h th× thêi gian t¨ng 45 phót NÕu vËn tèc « t« t¨ng 10 km/ h th× thêi gian gi¶m 30 phót Tính vận tốc và thời gian dự định ô tô Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, đó hai xí nghiệp đã làm 404 dụng cụ TÝnh sè dông cô mçi xÝ nghiÖp ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm thời gian đã định Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm Mặc dù người đó đã làm thêm sản phẩm so với dự kiến, thời gian hoàn thành công việc chậm so với dự định là 12 phút Tính số sản phẩm dự kiến làm người đó Biết người đó làm không quá 20 sản phẩm Một xe khách và xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đến B Biết vận tốc xe du lịch lớn vận tốc xe khách là 20 km/h Do đó nó đến B trước xe khách 50 phút Tính vận tốc xe, biÕt qu·ng ®­êng AB dµi 100km Theo kế hoạch, công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm thời gian định Nhưng cải tiến kĩ thuật nên người công nhân đó đã làm thêm sản phẩm Vì vậy, hoàn thành kế hoạch sớm dự định 30 phút mà còn vượt mức sản phẩm Hỏi theo kế hoạch, người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm Để hoàn thành công việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung thì tổ II điều làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thì sau bao lâu xong công việc đó Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 48 m Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi khu vườn là 162 m Hãy tìm diện tích khu vườn ban đầu Một người xe máy từ A đến B Vì có việc gấp phải đến B trước thời gian dự định là 45 phút nên người đó tăng vận tốc lên 10 km Tính vận tốc mà người đó dự định đi, biết quãng đường AB dµi 90 km Một đội công nhân hoàn thành công việc với mức 420 ngày công thợ (nghĩa là công việc đó có người làm thì phải 420 ngày) Hãy tính số công nhân đội biết đội tăng thêm người thì số ngày để đội hoàn thành công việc giảm ngày Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán (trÝch §Ò thi Tèt nghiÖp THCS 1999 - 2000, tØnh VÜnh Phóc) 10 Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc hoàn thành sau giê 20 phót NÕu mçi líp chia lµm nöa c«ng viÖc th× thêi gian hoµn tÊt lµ giê Hái nÕu mçi líp lµm mét m×nh th× ph¶i mÊt bao nhiªu thêi gian 11 Người ta muốn làm thùng tôn hình trụ không có lắp có bán kính đáy là 25 cm, chiều cao thùng là 60 cm Hãy tính diện tích tôn cần dùng (không kể mép nối) Thùng tôn đó chứa đầy nước thì thể tích nước chứa thùng là bao nhiêu 12 Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng cạnh đáy Nếu tăng chiều cao thêm dm, giảm cạnh đáy dm thì diện tích nó tăng thêm 12 dm2 Tính chiều cao và cạnh đáy tam giác (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 1999-2000, ngµy 09- 07- 1999, tØnh VÜnh Phóc) 13 Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 hàng đến địa điểm qui định Vì đội có xe phải điều làm việc khác nên xe phải chở thêm 0,7 hàng Tính số xe đội lúc đầu (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 1999-2000, ngµy 10- 07- 1999, tØnh VÜnh Phóc) 14 Ba ô tô chở 100 hàng tổng cộng hết 40 chuyến Số chuyến thứ chở gấp rưỡi số chuyÕn xe thø hai Mçi chuyÕn, xe thø nhÊt chë tÊn, xe thø hai chë 2,5 tÊn, xe thø ba chë tÊn TÝnh xem mçi « t« chë bao nhiªu chuyÕn (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2000-2001, ngµy 02- 08- 2000, tØnh VÜnh Phóc) 15 Ba bình có thể tích tổng cộng là 132 lít Nếu đổ đầy nước vào bình thứ lấy nước đó đổ vào hai bình thì: Hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bình thứ hai nửa bình Hoặc bình thứ hai đầy nước, còn bình thứ ba phần ba bình (Coi quá trình đổ nước từ bình này sang bình lượng nước hao phí không) Hãy xác định thể tích bình (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2000-2001, ngµy 03- 08- 2000, tØnh VÜnh Phóc) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 16 Một người xe máy từ A tới B Cùng lúc người khác xe máy từ B tới A với vận tèc b»ng vận tốc người thứ Sau hai người gặp Hỏi người quãng ®­êng AB hÕt bao l©u? (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2001-2002, ngµy 22- 07- 2001, tØnh VÜnh Phóc) 17 Một ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m2 Tính độ dài các cạnh ruộng Biết r»ng nÕu t¨ng chiÒu réng cña thöa ruéng lªn m vµ gi¶m chiÒu dµi cña thöa ruéng ®i m th× diÖn tÝch cña thöa ruéng sÏ t¨ng thªm m2 (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2002-2003, ngµy 03- 08- 2002, tØnh VÜnh Phóc) 18 Tìm hai số biết tổng hai số đó 17 đơn vị Nếu số thứ tăng thêm đơn vị, số thứ hai tăng thêm đơn vị thì tích chúng 105 đơn vị (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2003-2004, ngµy 14- 07- 2003, tØnh VÜnh Phóc) 19 Một ca nô ngược dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h, sau đó lại xuôi từ bến B trở bến A Thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B nhiều thời gian ca nô xuôi dòng từ B trở A là 40 phút Tính khoảng cách hai bến A và B Biết vận tốc dòng nước là km/h, vận tốc riêng ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2003-2004, ngµy 15- 07- 2003, tØnh VÜnh Phóc) 20 Người ta dự kiến trồng 300 cây thời gian đã định Do điều kiện thuận lợi nên ngày trồng nhiều cây so với dự kiến, vì đã trồng xong 300 cây trước ngày Hỏi dù kiÕn ban ®Çu mçi ngµy trång bao nhiªu c©y? (Gi¶ sö sè c©y dù kiÕn trång mçi ngµy lµ b»ng nhau) (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2004-2005, ngµy 29- 06- 2004, tØnh VÜnh Phóc) 21 Một khu vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn chiều rộng m, diện tích 300 m2 Tính chiều dài và chiều rộng khu vườn (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2004-2005, ngµy 30- 06- 2004, tØnh VÜnh Phóc) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 22 Cho hình chữ nhật Nếu tăng độ dài cạnh nó lên cm thì diện tích hình chữ nhËt sÏ t¨ng thªm 13 cm2 NÕu gi¶m chiÒu dµi ®i cm, chiÒu réng ®i cm th× diÖn tÝch cña h×nh chữ nhật giảm 15 cm2 Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật đã cho (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2005-2006, ngµy 06- 07- 2005, tØnh VÜnh Phóc) 23 Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m Nếu tăng chiều dài thêm m, chiều rộng thêm m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 195 m2 Tính chiều dài, chiều rộng mảnh đất 24 Hai xe máy khởi hành cùng lúc từ hai tỉnh A và B cách 90 km, ngược chiều và gặp sau 1,2 giê (xe thø nhÊt khëi hµnh tõ A, xe thø hai khëi hµnh tõ B) T×m vËn tèc cña mçi xe Biết thời gian để xe thứ hết quãng đường AB ít thời gian để xe thứ hai hết quãng ®­êng AB lµ giê (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2005-2006, ngµy 07- 07- 2005, tØnh VÜnh Phóc) 25 Một xe lửa từ ga Hà Nội vào ga Trị Bình (Quảng Ngãi) Sau đó giờ, xe lửa khác từ ga TrÞ B×nh ga Hµ Néi víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc cña xe thø nhÊt lµ km/h Hai xe gÆp t¹i mét ga ë chÝnh gi÷a qu·ng ®­êng T×m vËn tèc cña mçi xe löa, biÕt qu·ng ®­êng s¾t Hµ Néi- TrÞ B×nh dµi 900km (trích đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Bà Rịa- Vũng Tàu, năm 2004 - 2005) Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch? (trích đề thi tốt nghiệp THCS thành phố Hà Nội, năm 2002- 2003) 27 Hai ôtô khởi hành cùng lúc trên quãng đường từ A đến B dài120 km Mỗi ôtô thứ chạy nhanh ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là giê TÝnh vËn tèc cña mçi «t«? (trích đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Bắc Giang, năm 2002- 2003) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 28 Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách 24 km; cùng lúc đó, từ A B bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là km/h Khi đến B ca nô quay lại và gặp bè nứa địa điểm C cách A là km Tính vận tốc thực ca nô (trÝch §TTS THPT tØnh B¾c Giang, n¨m 2003- 2004) 29 Có đội xây dựng cùng làm chung công việc Làm chung ngày thì đội III điều động làm việc khác, đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày thì hoàn thành công việc Biết suất đội I cao suất đội II; suất đội III là trung bình cộng suất đội I và suất đội II; và đội làm mình phần ba công việc thì phải tất 37 ngày xong Hỏi đội làm mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trên (trÝch §TTS THPT n¨ng khiÕu §HQG TP Hå ChÝ Minh, n¨m 2003- 2004) 30 Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài chiÒu réng vµ cã diÖn tÝch b»ng 1792 m2 Tính chu vi khu vườn (trÝch tèt nghiÖp THCS TP Hå ChÝ Minh, n¨m 2003- 2004) 31 Cùng thời điểm, ôtô XA xuất phát từ thành phố A hướng thành phố B và khác XB xuất phát từ thành phố B hướng thành phố A Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp lần đầu điểm cách A là 20 km Cả hai chiéc xe sau đến B và A tương ứng, quay trở lại và chúng gặp lần thứ hai điểm C Biết thời gian xe XB từ C đến B là 10 phút và thời gian hai lần gặp là Hãy tính vận tốc chiÕc «t« (trÝch §TTS THPT n¨ng khiÕu §HQG TP Hå ChÝ Minh, n¨m 2004- 2005) 32 §Ó hoµn thµnh mét c«ng viÖc, hai tæ ph¶i lµm chung giê Sau giê lµm chung th× tæ II điều làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thì sau bao lâu làm xong công việc đó? (trích đề thi tốt nghiệp THCS TP Hà Nội, năm 2003- 2004) 33 Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngược dòng 28 km hết thời gian thời gian mµ xuång ®i 59,5 km trªn mÆt hå yªn lÆng TÝnh vËn tèc cña xuång ®i trªn hå biÕt r»ng vËn tèc nước chảy sông là km/h Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 34 Nếu mở hai vòi nước chảy vào bể cạn thì sau 55 phút bể đầy nước Nếu mở riêng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ giê Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ? 35 Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720 m2, tăng chiều dài thêm m và giảm chiều rộng m thì diện tích mảnh vườn không đổi Tính các kích thước mảnh vườn (trÝch §TTS THPT 2005- 2006, tØnh Th¸i B×nh) 36 Nếu hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước thì sau 12 bể đầy Sau hai vòi cùng chảy thì người ta khoá vòi I, còn vòi II tiếp tục chảy Do tăng công suất vòi II lên gấp đôi, nên vòi II đã chảy đầy phần còn lại bể rưỡi Hỏi vòi chảy mình với công suất bình thường thì phải bao lâu đầy bể? 37 Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng cạnh đáy Nếu chiều cao giảm dm và cạnh đáy tăng thªm dm th× diÖn tÝch cña nã gi¶m ®i 14 dm2 Tính chiều cao và cạnh đáy tam giác 38 Méi thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 250 m TÝnh diÖn tÝch cña thöa ruéng biÕt r»ng nÕu chiều dài giảm lần và chiều rộng tăng lần thì chu vi ruộng không thay đổi 39 Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối tham quan di tích lịch sử Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở lượt hết số học sinh thì phải điều ít dùng loại xe nhỏ là hai chiÕc BiÕt r»ng mçi xe lín cã nhiÒu h¬n mçi xe nhá lµ 15 chç ngåi TÝnh sè xe lín, nÕu lo¹i xe đó huy động 40 Một xe máy từ A đến B thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/ thì đến sớm giờ, giảm vận tốc km/ thì đến muộn Tính vận tốc dự định và thời gian dự định 41 Mét tµu thuû ch¹y trªn khóc s«ng dµi 120 km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt giê 45 phót TÝnh vËn tèc cña tàu thuỷ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là km/ h Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 42 Một ca nô xuôi dòng 48 km ngược dòng 22 km Biết thời gian xuôi dòng lớn thời gian ngược dòng là và vận tốc xuôi lớn vận tốc ngược là km/h Tính vận tốc ca nô lúc ngược dòng (trÝch §TTS THPT chuyªn NguyÔn BØnh Khiªm 2005 - 2006, tØnh VÜnh Long) 43 Một xe ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy nhanh 10 km thì đến nơi sớm dự định giờ, xe chạy chậm lại 10 km thì đến nơi chậm nhÊt giê Tính vận tốc xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB 44 Hai đội bóng bàn hai trường phổ thông thi đấu với Mỗi cầu thủ đội này phải thi đấu với cầu thủ đội trận Biết rầng tổng số trận đấu lần tổng số cầu thủ hai đội và số cầu thủ ít hai đội là số lẻ Hỏi đội có bao nhiêu cầu thủ? 45 Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt, nÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 2m, chiÒu réng thªm m th× diÖn tÝch t¨ng thªm 100 m2 NÕu gi¶m c¶ chiÒu dµi lÉn chiÒu réng ®i m th× diÖn tÝch gi¶m ®i 68 m2 TÝnh diện tích ruộng đó 46 Ba xe ô tô chở 118 hàng tổng cộng hết 50 chuyến Số chuyến xe thứ chở gấp rưỡi số chuyÕn xe thø hai Mçi chuyÕn xe thø nhÊt chë 2,5 tÊn, xe thø ba chë tÊn Hái mçi « t« chë mÊy chuyÕn 46 Ba ca nô cùng rời bến sông A lúc để đến B Ca nô thứ kém ca nô thứ km ca nô thứ ba 3km nên đến B sau ca nô thứ giờ, trước ca nô thứ ba là giê TÝnh chiÒu dµi qu·ng s«ng AB 47 Một bè lứa trôi tự (trôi theo vận tốc dòng nước) và ca nô đồng thời rời bến A để suôi dßng s«ng Ca n« su«i dßng ®­îc 96 km th× quay l¹i A C¶ ®i lÉn vÒ hÕt 14 giê Trªn ®­êng quay vÒ A cßn c¸ch A lµ 24 km th× ca n« gÆp chiÕc bÌ løa nãi trªn TÝnh vËn tèc cña ca n« vµ vận tốc dòng nước 48 Ba vòi nước A, B, C bắc cùng vào bể chứa Các vòi chảy lượng nước thể tích bể theo thời gian chảy ghi các trường hợp sau: Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán a)Vßi A : 2giê vµ vßi B : 1giê 30 phót; b)Vßi A : 1giê vµ vßi C : giê; c)Vßi B : giê vµ vßi C : giê Tính thời gian để riêng vòi chảy lượng thể tích bể 49 Có hộp đựng bi, lấy từ hộp thứ số bi số bi có hộp thứ hai bỏ vào hép thø hai, råi l¹i lÊy tõ hép thø hai mét sè bi b»ng sè bi cßn l¹i hép thø nhÊt vµ bá vµo hép thø nhÊt, cuèi cïng lÊy tõ hép thø nhÊt mét sè bi b»ng sè bi cßn l¹i hép thø hai vµ bá vµo hép thứ hai Khi đó số bi hộp là 16 viên Hỏi lúc đầu hộp có bao nhiêu viên bi? 50 Ba bình có thể tích tổng cộng là 120 lít Nếu đổ đầy nước vào bình thứ rót vào hai bình thì bình thứ ba đầy nước, còn bình thứ hai hai đầy nước còn bình thứ ba thÓ tÝch cña nã, hoÆc b×nh thø thể tích nó Hãy xác định thể tích bình 51 Hai máy cày có công suất khác cùng làm việc đã cày cánh đồng 15 NÕu m¸y thø nhÊt cµy 12 giê, m¸y thø hai cµy 20 giê th× c¶ hai m¸y cµy ®­îc 20% c¸nh đồng Hỏi máy làm việc riêng thì cày song cánh đồng bao lâu? 52 Hai người cùng làm công việc theo cách sau: _Người thứ làm thời gian mà người thứ hai làm mình xong công vịêc đó _Tiếp đó người thứ hai làm Như hai người làm thời gian mà người thứ mình làm xong công việc đó 13 c«ng viÖc 18 Tìm thời gian mà người làm mình xong công việc đó, biết hai người cùng làm thì 36 phút xong công việc đó 53 §em mét sè cã hai ch÷ sè nh©n víi tæng c¸c ch÷ sè cña nã th× ®­îc 405 Nếu lấy số viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số nó thì 468 Hãy tìm số có hai chữ số đó Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 54 Một đoàn học sinh tổ chức thăm quan ô tô Người ta nhận thấy xe trở 22 học sinh thì còn thừa học sinh Nếu bớt ô tô thì có thể phân phối các học sinh trên c¸c « t« cßn l¹i Hái lóc ®Çu cã bao nhiªu « t« vµ cã bao nhiªu häc sinh ®i th¨m quan, biÕt r»ng mçi « t« chØ chë ®­îc kh«ng qu¸ 32 häc sinh 55 Một hình chữ nhật có diện tích 1200 m2 Tính các kích thước vườn đó, biết tăng chiều dài thêm m và giảm chiều rộng 10 m thì diện tích vườn giảm 300m2 56 Một ruộng hình tam giác có diện tích 180m2 Tính cạnh đáy ruộng đó, biết tăng cạnh đáy thêm m và giảm chiều cao tương ứng m thì diện tích nó không đổi 57 Hai công nhân làm chung thì hoàn tyhành công việc ngày Người thứ làm nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt nửa công việc còn lại thì toàn công việc hoàn thành ngày Hỏi nễu người làm riêng thì hoàn thành công việc đó bao nhiªu ngµy 58 Một phòng họp có 100 người xếp ngồi trên các ghế Nếu có thêm 44 người thì phải kê thêm hai dãy ghế và dãy ghế phải xếp thêm hai người Hỏi lúc đầu phòng häp cã bao nhiªu d·y ghÕ? 59 Lúc 6h30 phút người xe máy từ A đến B dài 75km với vận tốc định trước Đến B người đó nghỉ lại 20 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc dự định là 5km/h Người đó đến A lúc 12 20 phút Tính vận tốc dự dịnh người xe máy 60 Hai bến sông A và B cách 40 km Cùng lúc ca nô xuôi dòng từ A đến B và bè trôi từ A đến B với vận tốc 3km/h Sau đến B, ca nô quay A và gặp bè địa điểm cách A là 8km Tính vận tốc ca nô 61 Người ta trộn kg chất lỏng loại I với kg chất lỏng loại II thì hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3 Biết khối lượng riêng chất lỏng loại I lớn khối lượng riêng chất lỏng loại II là 200kg/m3 Tính khối lượng riêng chất lỏng Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 62 Một hợp kim gồm đồng và kẽm đó có gam kẽm Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này thì hợp kim mà hợp kim đó lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30% Tìm khối lượng ban đầu hợp kim 63 Sè ®­êng chÐo cña mét ®a gi¸c låi lµ 230 TÝnh sè c¹nh cña ®a gi¸c nµy 64 Một ca nô dự định từ A đến B thời gian đã định Nếu vận tốc ca nô tăng 3km/h thì đến nơi sớm hai Nếu vận tốc ca nô giảm 3km/h thì đến nơi chậm Tính chiều dài khúc sông AB 65 Tính các kích thước hình chữ nhật biết tăng chiều dài 3m, giảm chiều rộng m thì diện tích không đổi; giảm chiều dài3 m, tăng chiều rộng m thì diện tích không đổi 66 Mét c«ng nh©n ph¶i lµm mét sè dông cô mét thêi gian NÕu mçi ngµy t¨ng dông cô th× hoµn thµnh sím ngµy, nÕu mçi ngµy lµm gi¶m dông cô th× thêi gian ph¶i kÐo dµi ngµy TÝnh sè dông cô ®­îc giao 67 Để sửa chữa quãng đường, cần huy động số người làm số ngày Nếu bổ sung thêm người thì thời gian hoàn thành rút ngày Nếu rút bớt người thì thời gian hoàn thành phải kéo dài thêm ngày Tính số người dự định huy động và số ngày dự định hoàn thành c«ng viÖc 68 Trong mét trang s¸ch, nÕu t¨ng thªm dßng, mçi dßng bít ch÷ th× sè ch÷ cña trang kh«ng đổi; bớt dòng, dòng tăng thêm chữ thì số chữ trang không đổi Tính số chữ trang s¸ch 69 Một câu lạc có số ghế quy định NÕu thªm hµng ghÕ th× mçi hµng bít ®­îc ghÕ NÕu bít ®i ba hµng th× mçi hµng ph¶i thªm ghÕ TÝnh sè ghÕ cña c©u l¹c bé Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 70 Một phòng họp có số dãy ghế, tổng cộng 40 chỗ Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm d·y ghÕ vµ mçi d·y xÕp thªm chç Hái lóc ®Çu cã mÊy d·y ghÕ phßng? 71 Có ba thùng đựng nước Lần thứ nhất, người ta đổ thùng I sang hai thùng số nước số nước thùng đó ®ang cã Lần thứ hai, người ta đổ thùng II sang hai thùng số nước gấp đôi số nước thùng đó có Lần thứ ba, người ta đổ thùng III sang hai thùng số nước số nước thùng đó ®ang cã Cuối cùng thùng có 24 lít nước Tính số nước thùng có lúc đầu 72 Một hình vườn hình chữ nhật có chu vi 450 m Nếu giảm chiều dài chiÒu réng lªn chiÒu dµi cò, t¨ng chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không đổi Tính chiều dài và chiều rộng vườn 73 Một vườn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 20 m, diện tích 3500 m2 Tính độ dài hàng rào xung quanh vườn biết người ta chừa m để làm cổng vào 74 Một tuyến đường sắt có số ga, ga có loại vé đến ga còn lại Biết có tất c¶ 210 lo¹i vÐ Hái tuyÕn ®­êng Êy cã bao nhiªu ga? 75 Hai trường A và B thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84% Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90% Tính xem trường có bao nhiêu học sinh lớp dự thi? 76 Dân số thành phố là 408 040 người, hàng năm dân số tăng 1% Hỏi hai năm trước đây, dân số thành phố là bao nhiêu? 77 Møc s¶n xuÊt cña mét xÝ nghiÖp c¸ch ®©y hai n¨m lµ 75000 dông cô mét n¨m, hiÖn lµ 90750 dụng cụ năm Hỏi năm sau xí nghiệp làm tăng năm trước bao nhiêu phần trăm? Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 78 Quãng đường AB gồm đoạn lên dốc dài km, đoạn xuống dốc dài km Một người xe đạp từ A đến B hết 40 phút và từ B A hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc và nhau, vận tèc xuèng dèc lóc ®i vµ vÒ nh­ nhau) TÝnh vËn tèc lóc lªn dèc vµ lóc xuèng dèc 79 Một ca nô xuôi khúc sông dài 40 km ngược khúc sông hết rưỡi Biết thời gian ca nô xuôi km thời gian ngược 4km Tính vận tốc dòng nước 80 Một ca nô xuôi dòng 45 km ngược dòng 18 km Biết thời gian xuôi lâu thời gian ngược 1giờ và vận tốc xuôi lớn vận tốc ngược là km/h Tính vận tốc ca nô lúc ngược dòng 81 Một người xe đạp từ A đến B đường dài 78 km Sau đó giờ, người thứ hai từ B đến A Hai người gặp C cách B là 36 km Tính thời gian người đã từ lúc khởi hành đến lúc gặp biết vận tốc người thứ hai lớn vận tốc người thứ là km/h 82 Hai công nhân phải làm số dụng cụ cùng Người thứ làm tăng thêm dụng cụ nên hoàn thành công việc trước thời hạn Người thứ hai làm tăng dụng cụ nên không hoàn thành công việc trước thời hạn mà còn làm thêm Tính số dụng cụ người giao 83 Vào kỷ thứ III trước Công Nguyên, vua xứ Xiracut giao cho Acsimét kiểm tra xem mũ vàng nhà vua có bị pha thêm bạc hay không Chiếc mũ có trọng lượng Niutơn (theo đơn vị nay), nhúng nước thì trọng lượng giảm 0,3 Niutơn Biết cân nước, vµng gi¶m 1 trọng lượng, bạc giảm trọng lượng Hỏi mũ chứa bao nhiêu gam vàng, 20 10 bao nhiªu gam b¹c? Vật có khối lượng 100 gam thì có trọng lượng Niutơn) 84 Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt Tính khối lượng loại quặng đem trộn để ®­îc 25 tÊn quÆng chøa 66% s¾t Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 85 Hai máy cày làm việc trên cánh đồng Nếu hai máy cùng cày thì 10 ngày xong công việc Nhưng thực tế hai máy cùng làm việc ngày đầu, sau đó máy thứ cày nơi khác, m¸y thø hai lµm tiÕp ngµy n÷a th× xong Hái mçi m¸y lµm viÖc mét m×nh th× bao l©u cµy xong cánh đồng? 86 Tìm số có ba chữ số cho chia nó cho 11, ta thương tổng các chữ số số bị chia 87 T×m sè cã bèn ch÷ sè biÕt r»ng ch÷ sè hµng ngh×n vµ hµng tr¨m gièng nhau, ch÷ sè hµng chục và hàng đơn vị giống nhau, số phải tìm có thể viết thành tích ba thừa số, thõa sè gåm hai ch÷ sè gièng 88 Tìm số chính phương có bốn chữ số biết chữ số giảm ta số là số chính phương 89 Nếu thêm vào chữ số số chính phương có bốn chữ số (mỗi chữ số số chính phương này nhỏ 7) ta số chính phương Tìm hai số chính phương đó 90 Tìm ba số tự nhiên cho tổng các nghịch đảo chúng 91 Tìm ba số tự nhiên cho tổng các nghịch đảo chúng bằng1 92 Tuổi hai anh em cộng lại 21 Tuổi anh gấp đôi tuổi em lúc anh tuổi em Tính tuổi người 93 Một xí nghiệp dự định điều số xe để chuyển 120 tạ hàng Nếu xe chở thêm tạ so với dự định thì số xe giảm Tính số xe dự định điều động 94 Có hai đội công nhân, đội phải sửa 10 km đường Thời gian đội I làm nhiều đội II là ngày Trong ngày, đội làm bao nhiêu kilômét biết hai đội làm 4,5 km mét ngµy Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 95 Mét s©n h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 720 m2 NÕu t¨ng chiÒu dµi m, gi¶m chiÒu réng m th× diện tích không đổi Tính các kích thước sân 96 Một sắt có chu vi 96 cm Người ta cắt góc hình vuông cạnh cm gấp lên thành hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 768 cm3 Tính kích thước sắt 97 Hai đội thuỷ lợi cùng đào mương Nếu đội làm mình mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 Nếu hai đội cùng làm thì công việc hoàn thành Tính xem đội làm mình xong mương bao lâu? 98 T×m hai sè tù nhiªn biÕt tæng cña chóng bµng 59, hai lÇn sè nµy bÐ h¬n ba lÇn sè lµ T×m hai số đó 99: T×m hai sè biÕt r»ng bèn lÇn sè thø hai céng víi n¨m lÇn sè thø nhÊt b»ng 18040, vµ ba lÇn sè sè thø nhÊt h¬n hai lÇn sè thø hai lµ 2002 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán CHỦ ĐỀ HÌNH HỌC Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán I C¸c bµi to¸n h×nh häc ph¼ng Hệ thức lượng tam giác vuông a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®­êng cao tam gi¸c vu«ng Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®­êng cao AH ta cã c2 = a c’ b2 = a b’ h2 = b’ c’ b2 + c2 = a2 c b h c' B 1  2 2 h b c a h = b c A b' C H a b) Tỉ số lượng giác góc nhọn - Các tỉ số lượng giác góc nhọn  định nghĩa sau: c¹nh kÒ c¹nh huyÒn c¹nh kÒ cotg = cạnh đối cos =  c¹nh kÒ - Víi hai gãc  vµ  phô ta cã sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg - Một số góc đặc biệt sin300  cos600  cạnh đối cạnh đối c¹nh huyÒn cạnh đối tg = c¹nh kÒ sin = 3 t g300  cot g600  cos300  sin600  sin 450  cos450  2 tg45  cot g450  co t g300  t g600  c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc tam gi¸c vu«ng Trong mét tam gi¸c vu«ng, mçi c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n víi sin gãc đối nhân với côsin góc kề Mỗi cạnh góc vuông cạnh góc vuông nhân tang góc đối nhân với côtang góc kề d) Mét sè c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c a.h (h lµ ®­êng cao øng víi c¹nh a) a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB   2 S= S = S = p.r (p lµ nöa chu vi, r lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c) S= a.b.c (R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c) 4R S = p p  a  p  b  p  c  (p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c) §­êng trßn: a) Sự xác định đường tròn Tính chất đối xứng đường tròn - Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách điểm O mét kho¶ng b»ng R - Tuú theo OM = R; OM < R; OM > R mµ ta cã ®iÓm M n»m trªn, n»m bªn trong, n»m bªn ngoµi ®­êng trßn - Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng, bao giê còng vÏ ®­îc mét vµ chØ mét ®­êng trßn Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán - Đường tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đường tròn Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đường kính nào nó b) Đường kính và dây cung đường tròn Liên hệ dây và khoảng cách từ tâm đến d©y - Trong mét ®­êng trßn, d©y lín nhÊt lµ ®­êng kÝnh - §­êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy - §­êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy - Trong đường tròn: Hai dây và chúng cách tâm Trong hai d©y kh«ng b»ng nhau, d©y lín h¬n vµ chØ nã gÇn t©m h¬n c) Vị trí tương đối đường thẳng và đường tròn Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường trßn Căn vào số điểm chung 0, 1, đường thẳng và đường tròn mà ta định nghĩa c¸c vÞ trÝ: ®­êng th¼ng vµ ®­êng trßn kh«ng giao nhau; tiÕp xóc nhau; c¾t øng víi mçi vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính R đường tròn có các liên hệ: d > R; d = R; d < R Ta có các định lí - NÕu mét ®­êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm - NÕu mét ®­êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®­êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua điểm đó thì đường thẳng là tiếp tuyến đường tròn d) TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®­êng trßn c¾t t¹i mét ®iÓm th×: - Điểm đó cách hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác góc tạo hai bán kính qua các tiếp điểm e) §­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, ngo¹i tiÕp tam gi¸c, bµng tiÕp tam gi¸c - §­êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña mét tam gi¸c gäi lµ ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, cßn tam gi¸c gäi lµ ngo¹i tiÕp ®­êng trßn T©m cña ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng ph©n gi¸c c¸c gãc tam gi¸c - Đường tròn qua ba đỉnh tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, cßn tam gi¸c gäi lµ néi tiÕp ®­êng trßn T©m cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®­êng trung trùc tam gi¸c - §­êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh lµ ®­êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c T©m cña mçi ®­êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng ph©n gi¸c cña hai gãc ngoµi tam gi¸c hoÆc giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c cña mét gãc vµ mét hai ®­êng ph©n gi¸c cña gãc ngoµi kh«ng kÒ víi nã f) Vị trí tương đối hai đường tròn Căn vào số điểm chung 0, 1, hai đường tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai ®­êng trßn kh«ng giao nhau, tiÕp xóc nhau, c¾t Do tính chất đối xứng đường tròn, hai đường tròn cắt thì giao điểm đối xøng víi qua ®­êng nèi t©m, nÕu hai ®­êng trßn tiÕp xóc th× giao ®iÓm n»m trªn ®­êng nèi t©m g) Gãc víi ®­êng trßn: Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán + Góc tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc tâm Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung đó Số đo cung lớn hiệu 3600 và sè ®o cung nhá Sè ®o cña nöa ®­êng trßn b»ng 1800 + Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa dây cung đường tròn đó Cung bên góc gọi là cung bị chắn Trong đường tròn sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Gãc t¹o bëi gi÷a tiÕp tuyÕn vµ d©y cung: Cho ®­êng trßn (O), A lµ tiÕp ®iÓm, xAy lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A, AB lµ mét d©y cung Gãc t¹o bëi tia Ax (hoÆc tia Ay) víi d©y AB ®­îc gäi lµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Góc có đỉnh bên đường tròn: Mỗi góc có đỉnh bên đường tròn chắn hai cung: cung nằm bên góc và cung nằm bên góc đối đỉnh cung đó Số đo có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn + Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn: Số đo góc có đỉnh bên ngoài đường tròn b»ng nöa hiÖu hai cung bÞ ch¾n  Chó ý: Trong mét ®­êng trßn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng ch¾n c¸c cung b»ng - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng th× b»ng - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội tiếp thì ch¾n nöa ®­êng trßn - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng h) §é dµi ®­êng trßn - §é dµi cung trßn - §é dµi ®­êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2R = d - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : l Rn 180 I) DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: S  R 2n lR  360 C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng kh¸c - Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đôi b»ng - Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai góc cùng nhọn cùng tù có các cạnh đôi song song hoÆc vu«ng gãc - Hai góc so le trong, so le ngoài đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh - Hai góc cùng mộ tam giác cân Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán - Hai góc tương ứng hai tam giác đồng d¹ng - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba - Hai cạnh tam giác cân tam giác - Hai cạnh tương ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vu«ng) - Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n - Hai dây trương ứng hai cung đường tròn hoÆc hai ®­êng b»ng TÝnh chÊt tiÕp tuyÕn c¾t D¹ng 3: Chøng minh hai ®­êng th¼ng song song - Chøng minh hai ®­êng th¼ng cïng song song víi  C¸ch chøng minh: ®­êng th¼ng thø ba - Chøng minh hai ®­êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: vị trí so le trong; vị trí so le ngoài; vị trí đồng vị - Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng mét ®­êng trßn - Chúng là hai cạnh đối hình bình hành, chữ nhật, hình vu«ng, D¹ng 4: Chøng minh hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc  C¸ch chøng minh: - Chóng cïng song song víi hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c - Chøng minh chóng lµ ch©n ®­êng cao mét tam gi¸c - §­êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña d©y vµ d©y kh«ng ®i qua t©m - Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï - TÝnh chÊt ®­êng chÐo h×nh thoi, h×nh vu«ng Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy  C¸ch chøng minh: - Dùa vµo tæng hai gãc kÒ bï cã tæng b»ng 1800 - Dựa vào hai góc đối đỉnh - Dùa vµo hai ®­êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cïng song song víi ®­êng th¼ng kh¸c - Dùa vµo hai gãc b»ng cã c¹nh trïng - Chøng minh chóng lµ ba ®­êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c (hoÆc mét ph©n gi¸c vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng * Hai tam giác thường: - Trường hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét c¹nh vµ mét gãc nhän b»ng - Cã c¹nh huyÒn b»ng vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng - Cạnh góc vuông đôi Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng * Hai tam giác thường: - Có hai góc đôi (g-g) - Có góc xen hai cạnh tương ứng tỷ lệ (c-gc) - Có ba cạnh tương ứng tỷ lệ (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng - Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ - Có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800  C¸ch chøng minh: - Tứ giác có góc ngoài đỉnh góc đỉnh đối diÖn - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại góc  - Dựa vào phương tích đường tròn II C¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian Hình lăng trụ: Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt song song gọi là đáy và các cạnh không thuộc hai đáy song song với Lăng trụ là lăng trụ đứng có đáy là đa giác Sxq = p l (p là chu vi thiết diện thẳng, l là độ dài cạnh bên) Lăng trụ đứng: Sxq = p h (p là chu vi đáy, h là chiều cao) V = B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c là các kích thước hình hộp chữ nhËt) V = a b c C¸c ®­êng chÐo h×nh hép ch÷ nhËt d = a  b  c Hình lập phương: V = a3 (a là cạnh) H×nh chãp: H×nh chãp lµ h×nh ®a diÖn cã mét mÆt lµ ®a gi¸c, c¸c mÆt kh¸c lµ tam gi¸c cã chung đỉnh Hình chóp là hình chóp có đáy là đa giác và các mặt bên Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm đáy và thiết diện song song với đáy Hình chóp cụt từ hình chóp gọi là hình chóp cụt Hình chóp đều: Sxq = n a d (n là số cạnh đáy; a là độ dài cạnh đáy; d là độ dµi trung ®o¹n) Stp = Sxq + B (B là diện tích đáy) V= B.h Hình chóp cụt đều: Sxq = ®o¹n chiÒu cao mÆt bªn)  n.a  n.a'.d (n là số cạnh đáy; a, a’ cạnh đáy; d trung Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán V = V1 + V2 (V1 thÓ tÝch h×nh chãp côt; V2 thÓ tÝch h×nh chãp trªn)   V = h B  B' B.B' (B, B’ là diện tích đáy, h là chiều cao) H×nh trô: H×nh trô lµ h×nh sinh bíi h×nh ch÷ nhËt quay xung quanh mét c¹nh cña nã - Diện tích xung quanh: Sxq = 2 R h (R là bán kính đáy; h là chiều cao) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2 R h + 2 R2 - Thể tích hình trụ: V = S h =  R2 h (S là diện tích đáy) H×nh nãn: H×nh nãn lµ h×nh sinh bëi tam gi¸c vu«ng quay xung quanh mét c¹nh gãc vuông nó Hình nón cụt là phần hình nón đáy và thiết diện vuông góc với trục H×nh nãn: - Diện tích xung quanh: Sxq =  R l (R là bán kính đáy; l là đường sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp =  R l +  R2 - ThÓ tÝch: V = .R h (h lµ chiÒu cao) Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = (R1 + R2) l (R1; R2 là bán kính hai đáy; l lµ ®­êng sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = (R1 + R2) l + (R12 + R22) - ThÓ tÝch: V = H×nh cÇu: .h.(R12  R 22  R1 R ) (h lµ chiÒu cao) - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4 R2 (R lµ b¸n kÝnh) - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V = .R 3 Dạng 1: Hình học phẳng Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M và N Chứng minh:BEDC nội tiếp   ACB  Chứng minh: DEA Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh: OA là phân  giác góc MAN Chứng tỏ: AM2=AE AB y A x N D E M O B C Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 2: Cho(O) đường kính AC trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC Gọi M là trung điểm đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ I Tứ giác ADBE là hình gì? C/m DMBI nội tiếp C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD C/m MC DB=MI DC C/m MI là tiếp tuyến (O’) D I A M B O C O' E H×nh Bài 3:  =1v Trên AC lấy điểm M cho AM < MC Vẽ đường Cho ABC có A tròn tâm O đường kính CM cắt BC E;đường thẳng BM cắt (O) D;AD kéo dài cắt (O) S C/m BADC nội tiếp  BC cắt (O) E Cmr:MD là phân giác AED C/m CA là phân giác góc BCS A D S M O B C E Hình Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 4:  = 1v Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM > MC Dựng Cho ABC có A đường tròn tâm O đường kính MC; đường tròn này cắt BC E Đường thẳng BM cắt (O) D và đường thẳng AD cắt (O) S C/m ADCB nội tiếp C/m ME là phân giác góc AED  = ACD  C/m: ASM K Chứng tỏ ME là phân giác góc AED C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy A D M S O B C E H×nh Bài 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn và AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD và đường kính AA’ Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’ C/m AEDB nội tiếp C/m DB A’A=AD A’C C/m:DE  AC Gọi M là trung điểm BC Chứng minh MD = ME = MF A P N E O B D I C M F A' H×nh Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 6: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M là điểm trên cung nhỏ AC Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE C/m MFEC nội tiếp M C/m BM EF=BA EM A C/M AMP  FMQ  = 90o C/m PQM P F O Q B E Bài 7: C H×nh Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC Trên tia AC lấy điểm D cho AB=AD Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) điểm thứ hai F;Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G C/m BGDC nội tiếp Xác định tâm I đường tròn này C/m BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD C/m GEFB nội tiếp Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp BCD Có nhận xét gì I và F A B O C D F E H×nh G Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 8: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp (O) Tiếp tuyến B và C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn E và F,cắt AC I(E nằm trên cung nhỏ BC) C/m: BDCO nội tiếp A 2 C/m: DC = DE DF F C/m: DOIC nội tiếp Chứng tỏ I là trung điểm FE O I C B E H×nh D Bài 9: Cho (O),dây cung AB Từ điểm M trên cung AB(MA và MB),kẻ dây cung MN vuông góc với AB H Gọi MQ là đường cao tam giác MAN C/m điểm A;M;H;Q cùng nằm trên đường tròn C/m:NQ NA=NH NM C/m MN là phân giác góc BMQ Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí M trên cung AB để MQ AN+MP BN có giác trị lớn nhấ M N Q P A A I H B I H B P Q O O M N H×nh a H×nh b Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên trên đường tròn tâm (I) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E Chứng minh tam giác ABC vuông A O E cắt AB N ; IE cắt AC F Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên đường tròn Chứng tỏ : BC2= Rr Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r B E C N F O A I H×nh 10 Bài 11: Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B cho OA=OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm trên đoạn OB) Từ B hạ đường vuông góc với AM H,cắt AO kéo dài I C/m OMHI nội tiếp Tính góc OMI Từ O vẽ đường vuông góc với BI K C/m OK=KH I O A y K M H E H×nh 11 B x Tìm tập hợp các điểm K M thay đổi trên OB Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E C/m: MA là phân giác góc CMD C/m: EFBM nội tiếp Chứng tỏ: AC2 = AE AM Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I C/m NI//CD Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp CIM C M N E A F O B I D H×nh 12 Bài 13: Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE Gọi H là trung điểm DE C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên đường tròn C/m HA là phân giác góc BHC Gọi I là giao điểm BC và DE C/m AB2=AI AH BH cắt (O) P C/m AE//CP B E H I D O K P C H×nh 13 A Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 14: Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) B CD là đường kính Gọi giao điểm AC; AD với xy theo thứ tự là M;N CMR: MCDN nội tiếp Chứng tỏ: AC AM = AD AN Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN CMR: AOIH là hình bình hành Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào? y M C O A B K I H D N x H×nh 14 Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D là điểm trên cung nhỏ BC Kẻ DE;DF;DG vuông góc với các cạnh AB;BC;AC Gọi H là hình chiêu D lên tiếp tuyến Ax (O) C/m AHED nội tiếp Gọi giao điểm AB với HD và với (O) là P và Q; ED cắt (O) M C/m: HA DP=PA DE C/m: QM = AB Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán C/m: DE DG = DF DH C/m: E;F;G thẳng hàng A H Q P O B F G E C M D H×nh 15 Bài 16:  =1v; AB < AC Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ Cho tam giác ABC có A IKBC (K nằm trên AC) Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA = AK Chứng minh:ABIK nội tiếp đường tròn tâm O   ACB  C/m: BMC Chứng tỏ: BC2= AC KC AI kéo dài cắt đường thẳng BM N Chứng minh AC = BN C/m: NMIC nội tiếp N M A K B C I Hình 16 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 17: Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động trên nửa đường tròn Tia phân giác góc ACB cắt (O) tai M Gọi H;K là hình chiêu M lên AC và CB C/m: MOBK nội tiếp Tứ giác CKMH là hình vuông C/m: H;O;K thẳng hàng Gọi giao điểm HK và CM là I Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường nào? C H B O A I F E M Bài 18: K H×nh 17 Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều roäng BC = a Kẻ tia phân giác góc ACD, từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên Chứng minh: AHDC nội tiếp đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a HB cắt AD I và cắt AC M;HC cắt DB N Chứng tỏ HB = HC Và AB AC = BH BI Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC K và cắt (O) J Chứng minh HOKD nội tiếp y A 2a B M a I O H J N K D x C H×nh 18 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OC  AB Gọi M là điểm trên cung BC Kẻ đường cao CH tam giác ACM Chứng minh AOHC nội tiếp Chứng tỏ CHM vuông cân và OH là phân giác góc COM Gọi giao điểm OH với BC là I MI cắt (O) D Cmr: CDBM là hình thang cân BM cắt OH N Chứng minh BNI và AMC đồng dạng,từ đó suy ra: BN MC=IN MA N C M D I H A Bài 20: B O H×nh 19 Cho  ABC nội tiếp (O;R) F Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M;N cho BM=AN Chứng tỏ OMN cân C/m :OMAN nội tiếp BO kéo dài cắt AC D và cắt (O) I A E C/m BC2+DC2=3R2 Đường thẳng CE và AB cắt F M Tiếp tuyến A (O) cắt FC E D K I;AO kéo dài cắt BC J C/m BI N O qua trung điểm AJ B C J H×nh 20 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 21:  =1v) nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi M là trung điểm Cho ABC ( A cạnh AC Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC N và cắt (O) D C/m ABNM nội tiếp và CN AB=AC MN Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến (I) Tia IO cắt đường thẳng AB E C/m BMOE là hình bình hành C/m NM là phân giác góc AND A D M I B O C N E H×nh 21 Bài 22: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi I là điểm trên đường chéo AC Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA P;Q;N;M C/m INCQ là hình vuông Chứng tỏ NQ//DB BI kéo dài cắt MN E;MP cắt AC F C/m MFIN nội tiếp đường tròn Xác định tâm Chứng tỏ MPQN nội tiếp Tính diện tích theo a A P C/m MFIE nội tiếp B F M Q I E D N H×nh 22 C Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 23: Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN (O) cắt AC E BE kéo dài cắt AD M;MN cắt (O) I C/m MDNE nội tiếp Chứng tỏ BEN vuông cân C/m MF qua trực tâm H BMN C/m BI=BC và IE F vuông C/m: BM là đường trung trực QH (H là giao điểm BE và AB) và MQBN là thang cân A Q B E M H O I F D Bài 24: N C H×nh 23 Cho ABC có góc nhọn (AB < AC) Vẽ A đường cao AH Từ H kẻ HK;HM vuông góc với AB;AC Gọi J là giao điểm AH và MK C/m AMHK nội tiếp M J C/m JA JH=JK JM K Từ C kẻ tia Cx với AC và Cx cắt AH kéo B C H dài D Vẽ HI;HN vuông góc với   HCN  DB và DC Cmr : HKM C/m M;N;I;K cùng nằm trên đường tròn I N D H×nh 24 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 25:  =1v),đường cao AH Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt đường Cho ABC ( A thẳng AB D và cắt AC E;Trung tuyến AM ABC cắt DE I Chứng minh D;H;E thẳng hàng C/m BDCE nội tiếp Xác định tâm O đường tròn này C/m: AMDE A C/m AHOM là hình bình hành E I H B M C D O H×nh 25 Bài 26: Cho ABC có góc nhọn,đường cao AH Gọi K là điểm đối xứng H qua AB;I là điểm đối xứng H qua AC E;F là giao điểm KI với AB và AC Chứng minh AICH nội tiếp C/m AI = AK C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên đường tròn C/m CE;BF là các đường cao ABC Chứng tỏ giao điểm đường phân giác HFE chính là trực tâm ABC I A F E M K B H C H×nh 26 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 27: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp (O) D Gọi M là điểm trên cung nhỏ AC Trên tia BM lấy điểm K cho MK = MC và trên tia BA lấy điểm D cho AD=AC A   BKC  C/m: BAC C/m BCKD nội tiếp Xác định tâm I đường tròn này K M O Gọi giao điểm DC với (O) là I C/m: B;O;I thẳng hàng C B C/m DI = BI H×nh 27 Bài 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O) Gọi I là điểm chính cung AB (Cung AB không chứa điểm C;D) ID và IC cắt AB M;N C/m D;M;N;C cùng nằm trên đường tròn C/m NA NB=NI NC DI kéo dài cắt đường thẳng BC F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E C/m:EF//AB C/m :IA2=IM ID F E I A B N M O D H×nh 28 C Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 29: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI AEF, AI kéo dài cắt CD K Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI G C/m AECF nội tiếp C/m: AF2=KF CF C/m:EGFK là hình thoi Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi CKE có giá trị không đổi Gọi giao điểm EF với AD là J C/m:GJ  JK B A G E I J F C K D H×nh 29 A Bài 30: Cho ABC Gọi H là trực tâm M tam giác Dựng hình bình hành BHCD Gọi I là giao điểm HD và BC Q C/m:ABDC nội tiếp đường H G O tròn tâm O;nêu cách dựng tâm O  và OAC  So sánh BAH B N I CH cắt OD E C/m AB AE=AH AC Gọi giao điểm AI và OH là G C/m G là trọng tâm ABC C D H×nh 30 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 31:  = 90o C là điểm tuỳ ý trên cung lớn AB Các đường cao Cho (O) và sđ AB AI;BK;CJ ABC cắt H BK cắt (O) N; AH cắt (O) M BM và AN gaëp D N C/m:B;K;C;J cùng nằm trên đường tròn C/m: BI KC=HI KB C/m:MN là đường kính O C (O) K C/m ACBD là hình bình hành A B C/m:OC // DH J M I H D H×nh 31 Bài 32: Cho hình vuông ABCD Gọi N là điểm trên CD cho CN < ND;Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN (O) cắt AC F;BF cắt AD M;BN cắt AC E C/m BFN vuông cân C/m:MEBA nội tiếp Gọi giao điểm ME và NF là Q MN cắt (O) P C/m B;Q;P thẳng hàng Chứng tỏ ME//PC và BP=BC B A C/m FPE là tam giác vuông F M O Q E P D N C H×nh 32 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 33: Trên đường tròn tâm O lấy bốn điểm A;B;C;D cho AB=DB; AB và CD cắt E BC cắt tiếp tuyến A đường tròn(O) Q;DB cắt AC K Q E Cm: CB là phân giác góc ACE B C/m: AQEC nội tiếp C C/m: KA KC=KB KD C/m: QE//AD K A D O H×nh 33 Bài 34: Cho (O) và tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy hai điểm B và C cho AB=BC Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn CE và CF cắt (O) M và N Dựng hình bình hành AECD C/m:D nằm trên đường thẳng BF x C/m ADCF nội tiếp C C/m: CF CN=CE CM C/m:MN//AC Gọi giao điểm AF với MN là I Cmr:DF qua trung điểm NI D B N E J A O I H×nh 34 M F Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 35: Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuông góc với Gọi M là điểm trên cung nhỏ CB C/m:ACBD là hình vuông AM cắt CD ;CB P và I Gọi J là giao điểm DM và AB C/m IB IC=IA IM Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác góc CJM Tính tích tích AID theo R C I M P A O J B D H×nh 35 Bài 36:  =1v) Kẻ AHBC Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các Cho ABC ( A tam giác AHB và AHC Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC M;N C/m:  OHO’ là tam giác vuông C/m:HB HO’=HA HO C/m: HOO’  HBA C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp C/m AMN vuông cân A N O' M O C B H H×nh 36 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 37: Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO Qua I dựng đường thẳng vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn K Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) M;MB cắt đường thẳng IK D Gọi giao điểm IK với tiếp tuyến M là N C/m:AIMD nội tiếp D C?m CM CA=CI CD C/m ND=NC Cb cắt AD E C/m E nằm trên N đường tròn (O) và C là tâm đường M K tròn nội tiếp EIM Giả sử C là trung điểm IK Tính E CD theo R C A I B O H×nh 37 Bài 38:   PAC  Gọi H Cho ABC Gọi P là điểm nằm tam giác cho PBA và K là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB;AC C/m AHPK nội tiếp C/m HB KP=HP KC Gọi D;E;F là trung điểm PB;PC;BC Cmr:HD=EF; DF=EK C/m:đường trung trực HK qua F A K H P D B E F C H×nh 38 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 39:  > 90o) Từ C kẻ CE;CF;CG vuông góc Cho hình bình hành ABCD ( A với AD;DB;AB C/m DEFC nội tiếp C/m:CF2 = EF GF Gọi O là giao điểm AC và DB Kẻ OICD Cmr: OI qua trung điểm AG Chứng tỏ EOFG nội tiếp A G B F E O D J C I Bài 40: H×nh 39 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt A và B Các đường thẳng AO cắt (O); (O') C và E;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) D và F C/m:C;B;F thẳng hàng C/m CDEF nội tiếp Chứng tỏ DA FE=DC EA C/m A là tâm đường tròn nội tiếp BDE E D A O I C B H×nh 40 O' F Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 41: Cho (O;R) Một cát tuyến xy cắt (O) E và F Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF,vẽ tiếp tuyến AB và AC với (O) Gọi H là trung điểm EF Chứng tỏ điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên đường tròn Đường thẳng BC cắt OA I và cắt đường thẳng OH K C/m: OI OA=OH OK=R2 Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào? C/m KE và KF là hai tiếp tyueán (O) B O I x y E A F H C K H×nh 41 Bài 42: Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt D Qua A kẻ AE và AF vuông góc với BN và CM Các đường thẳng AE và AF cắt BC I;K A C/m AFDE nội tiếp C/m: AB NC = AN BC C/m: FE//BC N M E F Chứng tỏ ADIC nội tiếp D B K I H×nh 42 C Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 43: Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng ñôn vị đo đoä dài) Dựng đường tròn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính AC Hai đường tròn (O) và (O’) cắt điểm thứ hai D Chứng tỏ D nằm trên BC Gọi M là điểm chính A cung nhỏ DC AM cắt DC E và cắt (O) N O O' N C/m DE AC=AE MC C/m AN=NE và O;N;O’ I thẳng hàng B C E D Gọi I là trung điểm MN C/m góc OIO’=90o M H×nh 43 Tính tích tích tam giác AMC Bài 44: Trên (O;R),ta đặt theo chiều, kể từ điểm A cung AB=60o, cung BC = 90o và cung CD = 120o C/m ABCD là hình thang cân Chứng tỏ ACDB Tính các cạnh và các đường chéo ABCD Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB Trên DA kéo dài phía A lấy điểm P;PN cắt DB Q C/m MN là phân giác góc PMQ P A B N J K Q I O D M C H×nh 44 E Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 45: Cho  ABC có cạnh a Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B tam giác BC Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB Trên Dx lấy điểm E cho ED = DB (D và E nằm hai phía đường thẳng AB) Từ E kẻ EFBC Gọi O là trung điểm EB C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a Kéo dài FE phía F,cắt (D) M EC cắt (O) N C/m EBMC là thang cân Tính tích tích A c/m EC là phân giác góc E DAC C/m FD là đường trung trực N MB O Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng D Tính tích tích phần mặt trăng tạio cung nhỏ EB C B F hai đường tròn M H×nh 45 Bài 46: F Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC Gọi a là điểm trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy F Gọi D là điểm chính cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy E A C/m BD là phân giác góc E ABC và OD//AB I D C/m ADEF nội tiếp Gọi I là giao điểm BD và AC Chứng tỏ CI=CE và IA IC = ID IB   AED  C/m góc AFD B O H×nh 46 C Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 47: Cho nửa đường tròn (O); Đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C cho cung AB < AC; AC cắt BD E Kẻ EFAD F C/m: ABEF nội tiếp Chứng tỏ: DE DB=DF DA C/m:E là tâm đường tròn nội tiếp CBF Gọi I là giao điểm BD với CF C/m BI2 = BF BC - IF IC C B E I M A F O D H×nh 47 Bài 48: Cho (O) đường kính AB;P là điểm di động trên cung AB cho PA<PB Dựng hình vuông APQR vào phía đường tròn Tia PR cắt (O) C C/m ACB vuông cân Vẽ phân giác AI góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC J C/m điểm J;A;Q;B cùng nằm trên đường tròn Chứng tỏ: CI QJ=CJ QP CMR: Ba điểm P; Q; B thẳng hàng I P Q J B A O R C H×nh 48 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 49: Cho nửa (O) đường kính AB=2R Trên nửa đường tròn lấy điểm M cho cung AM<MB Tiếp tuyến với nửa đường tròn M cắt tia tiếp tuyến Ax và By D và C Chứng tỏ ADMO nội tiếp Chứng tỏ AD BC = R2 Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB N;MO cắt Ax F;MB cắt Ax E Chứng minh: AMFN là hình thang cân Xác định vị trí M trên nửa đường tròn để DE = EF y x F C E M D N A O H×nh 49 Bài 50: B Cho hình vuông ABCD,E là điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng A B vuông góc với DE ,đường này cắt các H E đường thẳng DE và DC theo thứ tự H và K Chứng minh:BHCD nội tiếp Tính góc CHK C/m KC KD=KH KB Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào? D C H×nh 50 K Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 51: Cho (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB và AC với đường tròn Kẻ dây CD//AB Nối AD cắt đường tròn (O) E C/m ABOC nội tiếp Chứng tỏ AB2=AE AD   ACB  và BDC cân C/m góc AOC CE kéo dài cắt AB I C/m IA=IB B I A O Hình 51 E D Bài 52: C Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng ñôn vị đoä dài), nội tiếp (O) đường kính AA’ Tính bán kính (O) Kẻ đường kính CC’ Tứ giác ACA’C’ là hình gì? Kẻ AKCC’ C/m AKHC là hình thang cân Quay ABC voøng quanh trục AH Tính tích tích xung quanh hình tạio A C' K O H B C A' Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 53: Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với Gọi I là trung điểm OA Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD) Đường thẳng vuông góc với MQ M cắt (O) P C C/m: a/ PMIO là thang vuông P M b/ P; Q; O thẳng hàng S Gọi S là Giao điểm AP với H CQ Tính Góc CSP A Gọi H là giao điểm AP với I B O MQ Cmr: J a/ MH MQ= MP2 b/ MP là tiếp tuyến Q đường tròn ngoại tiếp QHP D Bài 54: Cho (O;R) và cát tuyến d không qua tâm O Từ điểm M trên d và ngồi (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với trênờmg trịn; BO kéo dài cắt (O) điểm thứ hai là C Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d Đường thẳng vuông góc với BC O cắt AM D C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên đường tròn C/m AC//MO và MD=OD Đường thẳng OM cắt (O) E và F Chứng tỏ MA2=ME MF Xác định vị trí điểm M trên d để MAB là tam giác Tính tích tích phần tạio hai tia tiếp tuyến với đường tròn tröđường hợp này B d E F O D C A H Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 55: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn Gọi M là điểm chính cung AB và N là điểm trên đoạn AO Đường thẳng vuông góc với MN M cắt Ax và By D và C   BMC  C/m: AMN C/m: ANM = BMC DN cắt AM E và CN cắt MB F C/m FEAx Chứng tỏ M củng là trung điểm DC x D y M C E F B A Bài 56: N O Từ điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CDAB; CEMA; CFMB Gọi I và K là giao điểm AC với DE và BC với DF C/m AECD nội tiếp C/m: CD2 = CE CF Cmr: Tia đối tia CD là phân giác góc FCE C/m: IK//AB A F K C x M D O I E B Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 57: Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P cho P > R Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn C/m BM/ / OP Đường vuông góc với AB O cắt tia BM N C/m OBPN là hình bình hành AN cắt OP K; PM cắt ON I; PN và OM kéo dài cắt J C/m I; J; K thẳng hàng N P J Q I K M A B O Bài 58: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB O cắt nửa đường tròn C Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn AC cắt tiếp tuyến Bt I C/m ABI vuông cân Lấy D là điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm AD với Bt C/m AC AI=AD AJ C/m JDCI nội tiếp Tiếp tuyến D nửa đường tròn cắt Bt K Hạ DHAB Cmr: AK qua trung điểm DH Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán I C J D K N A B O H Bài 59: Cho (O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn M Chứng minh: NMBO nội tiếp CD và đường thẳng MB cắt E Chứng minh CM và MD là phân giác góc và góc ngoài góc AMB C/m hệ thức: AM DN=AC DM Nếu ON=NM Chứng minh MOB là tam giác E C M N A B O D Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 60: Cho (O) đường kính AB, và d là tiếp tuyến đường tròn C Gọi D; E theo thứ tự là hình chiêu A và B lên đường thẳng d C/m: CD=CE Cmr: AD+BE=AB Vẽ đường cao CH ABC Chứng minh AH=AD và BH=BE Chứng tỏ:CH2=AD BE Chứng minh:DH//CB d D C E A B H O Bài 61: Cho ABC có: A=1v D là điểm nằm trên cạnh AB Đường tròn đường kính BD cắt BC E các đường thẳng CD;AE cắt đường tròn các điểm thứ hai F và G C/m CAFB nội tiếp C/m AB ED = AC EB K Chứng tỏ AC//FG Chứng minh AC;DE;BF đồng quy A F D O G B E H×nh 61 C Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 62: Cho (O;R) và đường thẳng d cố định không cắt (O) M là điểm di động trên d Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn Hạ OHd H và dây cung PQ cắt OH I;cắt OM K C/m: MHIK nội tiếp C/m OJ OH=OK OM=R2 CMR M di động trên d thì vị trí I luôn cố định P O d K I M H Q Bài 63:  = 1v) và AB < AC Kẻ đường cao AH Trên tia đối Cho  vuông ABC ( A tia HB lấy HD = HB từ C vẽ đường thẳng CEAD E C/m AHEC nội tiếp Chứng tỏ CB là phân giác góc ACE và AHE cân C/m HE2 = HD HC Gọi I là trung điểm AC HI cắt AE J Chứng minh: DC HJ=2IJ BH EC kéo dài cắt AH K Cmr AB//DK và tứ giác ABKD là hình thoi A I J C B H D E K Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 64: Cho tam giác ABC vuông cân A Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC D,kẻ CE Bx E Hai đường thẳng AB và CE cắt F C/m FDBC,tính góc BFD C/m ADEF nội tiếp Chứng tỏ EA là phân giác góc DEF Nếu Bx quay xung quanh điểm B thì E di động trên đường nào? A E D B C O Bài 65: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C cho AC<CB Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến nửa đường tròn Đường thẳng qua M và vuông góc với MC cắt Ax P; đường thẳng qua C và vuông góc với CP cắt By Q Gọi D là giao điểm CP với AM; E là giao điểm CQ với BM cm: ACMP nội tiếp y x Chứng tỏ AB//DE Q C/m: M; P; Q thẳng hàng M P D E A C B O H×nh 65 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 66: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa trên đường tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax Tia BM cắt tia Ax I Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn E; cắt tia x BM F; Tia BE cắt Ax H; cắt AM K C/m: IA2=IM IB I C/m: BAF cân H×nh 66 C/m AKFH là hình thoi Xác định vị trí M để AKFI nội F tiếp M H E K A B O Bài 67: Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khaùc A; O; B) Đường thẳng CM cắt (O) N Đường vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh: COMNP nội tiếp CMPO là hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vị trí M Khi M di động trên AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định C K A O B M N x y D P H×nh 67 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 68:  = 1v và AB > AC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC Cho ABC có A chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và nửa đường tròn đường kính HC Hai nửa đường tròn này cắt AB và AC E và F Giao điểm FE và A AH là O Chứng minh: AFHE là hình chữ nhật E BEFC nội tiếp O F AE.AB = AF AC FE là tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn C B I H K Chứng tỏ: BH HC = 4.OE H×nh 68 OF Bài 69: Cho ABC có A=1v AHBC Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;d là tiếp tuyến đường tròn điểm A Các tiếp tuyến B và C cắt d theo thứ tự D và E Tính góc DOE Chứng tỏ DE = BD + CE Chứng minh: DB CE = R2 (R là bán kính đường tròn tâm O) C/m: BC là tiếp tuyến đường tròn đường kính DE E I A D B H C O H×nh 69 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 70:  =1v); đường cao AH Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH Gọi Cho ABC ( A HD là đường kính đường tròn (A;AH) Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E Chứng minh BEC cân Gọi I là hình chiêu A trên BE C/m: AI = AH C/m:BE là tiếp tuyến đường tròn C/m: BE = BH + DE Gọi đường tròn đường kính AH có Tâm là K Và AH = 2R Tính tích tích hình tạo đường tròn tâm A và tâm K E D I A K C B H H×nh 70 Bài 71: Trên cạnh CD hình vuông ABCD,lấy điểm M Đường tròn đường kính AM cắt AB điểm thứ hai Q và cắt đường tròn đường kính CD điểm thứ hai N Tia DN cắt cạnh BC P C/m:Q;N;C thẳng hàng CP CB = CN CQ C/m AC và MP cắt điểm nằm trên đường tròn đường kính AM Bài 72: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O D và E theo thứ tự là điểm chính các cung AB;AC Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự là H và K C/m:AHK cân Gọi I là giao điểm BE với CD C/m:AIDE C/m CEKI nội tiếp Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán C/m:IK//AB ABC phải có thêm điều kiện gì để AI//EC Bài 73: Cho ABC(AB=AC) nội tiếp (O),kẻ dây cung AA’ và từ C kẻ đường vuông góc CD với AA’,đường này cắt BA’ E   ' C  DA' E C/m: DA C/m: A'DC=A'DE Chứng tỏ: AC = AE Khi AA' quay xung quanh A thì E chạy trên đường nào?   CEB  C/m: BAC Bài 74: Cho ABC nội tiếp nửa đường tròn đường kính AB O là trung điểm AB;M là điểm chính cung AC H là giao điểm OM với AC C/m: OM//BC Từ C kẻ tia song song và cung chiều với tia BM,tia này cắt đường thẳng OM D Cmr: MBCD là hình bình hành Tia AM cắt CD K Đường thẳng KH cắt AB P Cmr: KPAB C/m: AP AB = AC AH Gọi I là giao điểm KB với (O) Q là giao điểm KP với AI C/m A;Q;I thẳng hàng Bài 75: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính EF Từ O vẽ tia Ot EF, noù cắt nửa đường tròn (O) I Trên tia Ot lấy điểm A cho IA = IO Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ với nửa đường tròn; chúng cắt đường thẳng EF B và C (P;Q là các tiếp điểm) Cmr: ABC là tam giác và tứ giác BPQC nội tiếp Từ S là điểm tuỳ ý trên cung PQ vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến này cắt AP H,cắt AC K Tính sđ góc HOK Gọi M; N là giao điểm PQ với OH; OK Cm OMKQ nội tiếp Chứng minh raèng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy điểm D, và D cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp HOK Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 76: Cho hình thang ABCD nội tiếp (O),các đường chéo AC và BD cắt E Các cạnh beân AD;BC kéo dài cắt F C/m: ABCD là thang cân Chứng tỏ FD FA = FB FC C/m: Góc AED = AOD C/m AOCF nội tiếp Bài 77: Cho (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn Kẻ OAxy từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) B và C Tiếp tuyến B và C (O) cắt xy D và E Đường thẳng BD cắt OA;CE F và M;OE cắt AC N C/m OBAD nội tiếp Cmr: AB EN = AF EC So sánh góc AOD và COM Chứng tỏ A là trung điểm DE Bài 78: Cho (O;R) và A là điểm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB và AC với đường tròn OB kéo dài cắt AC D và cắt đường tròn E Chứng tỏ EC // với OA Chứng minh raèng: 2AB R = AO CB Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC, qua M dựng tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB vàAC I,J Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi M di động trên cung nhỏ BC Xác định vị trí M trên cung nhỏ BC để điểm J,I,B,C cùng nằm trên đường tròn Bài 79: Cho(O),từ điểm P nằm ngoài đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM,đường này cắt PA,PB C và D Chứng minh A,C,M,O cùng nằm trên đường tròn Chứng minh: COD = AOB Chứng minh: Tam giác COD cân Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Vẽ đường kính BK đường tròn,hạ AH BK Gọi I là giao điểm AH với PK Chứng minh AI = IH Bài 80: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Ba đường cao AK; BE; CD cắt H Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp Chứng minh : AD AB = AE AC Chứng tỏ AK là phân giác góc DKE Gọi I; J là trung điểm BC và DE Chứng minh: OA//JI Bài 81: Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến B và C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn E và F,cắt AC I(Enằm trên cung nhỏ BC) Chứng minh BDCO nội tiếp Chứng minh: DC2 = DE DF Chứng minh DOCI nội tiếp đường tròn Chứng tỏ I là trung điểm EF Bài 82: Cho đường tròn tâm O,đường kính AB và dây CD vuông góc với AB F Trên cung BC,lấy điểm M AM cắt CD E Chứng minh AM là phân giác góc CMD Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp đường tròn Chứng tỏ AC2 = AE AM Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I Chứng minh NI//CD Bài 83: Cho ABC có A = 1v;Kẻ AHBC Qua H dựng đường thẳng thứ cắt cạnh AB E và cắt đường thẳng AC G Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ và cắt cạnh AC F,cắt đường thẳng AB D C/m: AEHF nội tiếp Chứng tỏ: HG HA = HD HC Chứng minh EFDG và FHC = AFE Tìm điều kiện hai đường thẳng HE và HF để EF ngaén Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 84: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp (O) M là điểm trên cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC N,cắt (O) I Chứng minh A;O;I thẳng hàng Kẻ AK với đường thẳng MC AI cắt BC J Chứng minh AKCJ nội tiếp C/m: KM JA = KA JB Bài 85: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Gọi C là điểm trên nửa đường tròn Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Một đường tròn (O’) qua A và C cắt AB và tia Ax theo thứ tự D và E Đường thẳng EC cắt By F Chứng minh BDCF nội tiếp Chứng tỏ: CD = CE CF và FD là tiếp tuyến đường tròn (O) AC cắt DE I;CB cắt DF J Chứng minh IJ//AB Xác định vị trí D để EF là tiếp tuyến (O) Bài 86: Cho (O;R và (O’;r) đó R>r, cắt Avà B Gọi I là điểm trên đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB Kẻ hai tiếp tuyến IC và ID với (O) và (O’) Đường thẳng OC và O’D cắt K Chứng minh ICKD nội tiếp Chứng tỏ: IC2 = IA IB Chứng minh IK nằm trên đường trung trực CD IK cắt (O) E và F; Qua I dựng cát tuyến IMN a/ Chứng minh: IE IF = IM IN b/ E; F; M; N nằm trên đường tròn Bài 87: ChoABC có góc nhọn Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC (O) cắt AB;AC D và E BE và CD cắt H Chứng minh: ADHE nội tiếp C/m: AE AC = AB AD AH kéo dài cắt BC F Cmr: H là tâm đường tròn nội tiếp DFE Gọi I là trung điểm AH Cmr IE là tiếp tuyến (O) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 88: Cho(O;R) và (O’;r) cắt Avà B Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C(O)) và cát tuyến EBF bất kỳ(E(O)) Chứng minh AOC và AO’D thẳng hàng Gọi K là giao điểm các đường thẳng CE và DF Cmr: AEKF nội tiếp Cm: K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD Chứng tỏ FA EC = FD EA Bài 89: Cho ABC có A = 1v Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC B và dựng (O’;r) tiếp xúc với BC C Gọi M;N là trung điểm AB;AC,OM và ON kéo dài cắt K Chứng minh: OAO’ thẳng hàng CM: AMKN nội tiếp Cm AK là tiếp tuyến caû hai đường tròn và K nằm trên BC Chứng tỏ 4MI2 = Rr Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC và DB vuông góc với Đường thẳng AB và CD kéo dài cắt E; BC và AD cắt F Cm: BDEF nội tiếp Chứng tỏ: DA DF = DC DE Gọi I là giao điểm DB với AC và M là giao điểm đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF Cmr: DIMF nội tiếp Gọi H là giao điểm AC với FE Cm: AI AM = AC AH Bài 91: Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) B và C (khaùc A) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE(D(O)); DB và CE kéo dài cắt M Cmr: ADEM nội tiếp Cm: MA là tiếp tuyến chung hai đường tròn ADEM là hình gì? Chứng tỏ: MD MB = ME MC Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 92: Cho hình vuông ABCD Trên BC lấy điểm M Từ C hạ CK với đường thẳng AM Cm: ABKC nội tiếp Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB N Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường này cắt đường thẳng DK E Cmr: BD KN = BE KA Cm: MN//DB Cm: BMEN là hình vuông Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB O Gọi M là điểm trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M Kẻ NE; NF và NP vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB Q Cm: QPCB nội tiếp Cm: AN//DB Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng Cm: PEN là tam giác cân Bài 94: Từ đỉnh A hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạio với góc 45o Một tia cắt cạnh BC E và cắt đường chéo DB P Tia cắt cạnh CD F và cắt đường chéo DB Q Cm: E; P; Q; F; C cùng nằm trên đường tròn Cm: AB PE = EB PF Cm: SAEF = 2SAPQ Gọi M là trung điểm AE Cmr: MC = MD Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt O Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC Đường thẳng AH và BK cắt I Gọi E và F là trung điểm DH và BC Từ E dụng đường thẳng song song với AD Đường này cắt AH J C/m: OHIK nội tiếp Chứng tỏ KHOI Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD Đường này cắt AH J Chứng tỏ: HJ KC = HE KB Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp đường tròn Bài 96: Cho ABC, phân giác góc và góc ngoài các góc B và C gaëp theo thứ tự I và J Từ J kẻ JH; JP; JK vuông góc với các đường thẳng AB; BC; AC Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng Chứng minh: BICJ nội tiếp BI kéo dài cắt đường thẳng CJ E Cmr: AEAJ C/m: AI AJ = AB AC Bài 97: Từ đỉnh A hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay cho: Ax cắt cạnh BC P,Ay cắt cạnh CD Q Kẻ BKAx;BIAy và DMAx,DNAy Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2 = AP MD Chứng minh MN = KI Chứng tỏ KIAN Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o Phân giác góc A cắt cạnh CD và đường thẳng BC I và K Hạ KH và KM vuông góc với CD và AM Chứng minh KHDM nội tiếp Chứng minh: AB = CK + AM Bài 99: Cho(O) và tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC Vẽ cát tuyến BEF Đường thẳng CE và CF gaëp lại đường tròn điểm thứ hai M và N Dựng hình bình hành AECD Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF Chứng minh AFCD nội tiếp Chứng minh: CN CF = 4BE BF Chứng minh MN//AC Bài 100: Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Trên (O) lấy điểm A;B;C Gọi M;N;P theo thứ tự là điểm chính cung AB;BC;AC AM cắt MP và BP K và I MN cắt AB E Chứng minh BNI cân PKEN nội tiếp Chứng minh AN BD = AB BN Chứng minh I là trực tâm MPN và IE//BC Dạng 2: Mở đầu hình học không gian Bµi 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ®iÓm S n»m ngoµi mp(ABCD) Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SA, SD Tø gi¸c MNCB lµ h×nh g× ? Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD, CD LÊy ®iÓm E  AB, F  4 BC cho: AE  AB;CF  CB a) Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña EG vµ (BCD) CMR: F, H, I th¼ng hµng Bµi 3: Chøng minh r»ng: NÕu mét mÆt ph¼ng song song víi ®­êng th¼ng a cña mp(Q) mµ (P) vµ (Q) c¾t th× giao tuyÕn cña chóng song song víi a Bµi 4: Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) c¾t theo giao tuyÕn d Mét mÆt ph¼ng thø ba (R) c¾t (P) , (Q) theo thø tù lµ c¸c giao tuyÕn a vµ b CMR: a) Nếu a cắt d M thì a, b, d đồng qui song b) Nếu a // d thì a, b, d đôi song 4 Bµi 5: Cho tø diÖn S.ABC, ®iÓm D  SA cho SD  SA,E  AB cho BE  BA Gäi M lµ trung ®iÓm cña SC, I lµ giao ®iÓm cña DM vµ AC, N lµ giao ®iÓm cña IE vµ BC Chøng minh r»ng: a) SB // (IDE) b) N lµ trung ®iÓm cña BC Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®­êng cao AH Mét ®­êng th¼ng d  (ABC) t¹i A Trªn d lÊy ®iÓm S bÊt kú a) Chøng minh BC  SH b) KÎ AI lµ ®­êng cao cña tam gi¸c SAH Chøng minh AI  (SBC) c) Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cña h×nh chãp S ABC Bài 7: Cho tam giác ABC và trung tuyến AM, điểm I  AM cho IA = 2.IM Qua I vẽ đường th¼ng d vu«ng gãc víi mp(ABC), trªn d lÊy ®iÓm S bÊt kú a) Chøng minh SA = SB = SC b) Gäi IH lµ ®­êng cao cña tam gi¸c SIM CMR: IH  (SBC) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán c) TÝnh S xq vµ V cña h×nh chãp S ABC biÕt AB  3cm ; SA = cm 3 Bµi 8: Cho tø diÖn S ABC §iÓm E  SA, F  AB cho SE  SA;BF  BA Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SC, BC CMR: a) EF // GH b) EG, FH, AC đồng qui Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, AB = cm, AC = cm Mét ®­êng th¼ng d vu«ng gãc vãi mp(ABC) t¹i B, trªn d lÊy ®iÓm S cho SA = 10 cm a) Chøng minh r»ng: SB  AC c) Chøng minh tam gi¸c SAC vu«ng b) TÝnh SB, BC, SC d) TÝnh S tp, V Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh cm Trªn ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi mp(ABCD) t¹i A lÊy ®iÓm S cho SA = cm CMR: a) (SAB)  (SAD) b) SC  BD c) C¸c tam gi¸c SBC vµ SDC vu«ng d) TÝnh S xq, V cña h×nh chãp SABCD Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy là hình thoi Biét đường cao AA’ = cm, các ®­êng chÐo AC’ = 15 cm , DB’ = cm a) TÝnh AB ? A’B’C’D’ b) TÝnh Sxq, V cña h×nh l¨ng trô ABCD c) TÝnh S xq, V cña h×nh chãp B’ ABCD Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AA’ = cm , góc BAB’ = 450 Tính Sxq và V Bµi 13: H×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AD = cm, AB = cm, BD’ = 13 cm TÝnh Sxq vµ V ? Bµi 14: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm a) CM: C¸c tø gi¸c ACC’A’, BDD’B’ lµ h×nh ch÷ nhËt b) CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2 TÝnh Stp , V ? Bµi 15: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300 TÝnh Stp vµ V ? Bài 16: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có độ dài cạnh là cm a) TÝnh ®­êng chÐo BD’ ABD b) TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’ c) TÝnh S vµ V cña h×nh chãp A’.BC’D Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy, đường cao hình trụ dm Hỏi thùng chứa bao nhiêu lít nước ? ( biết dm3 = lít ) Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bµi 18: Mét mÆt ph¼ng qua trôc OO’ cña mét h×nh trô, phÇn mÆt ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi h×nh trô ( cßn gọi là thiết diện) là hình chữ nhật có diện tích 72 cm2 Tính bán kính đáy, đường cao hình trụ biết đường kính đáy nửa chiều cao Bµi 19: Mét h×nh trô cã thiÕt diÖn qua trôc lµ mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi cm, chiÒu réng cm Tính Sxq và V hình trụ đó Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đường sinh AB = cm, bán kính đáy OB = cm a) TÝnh Sxq cña h×nh nãn b) TÝnh V cña h×nh nãn c) Gäi CD lµ d©y cung cña (O; OB)vu«ng gãc víi OB CMR: CD  (AOB) Bài 21: Cho tam giác ABC vuông A quay vòng quanh AB Tính bán kính đáy, đường cao hình nón tạo thành Từ đó tính Sxq , và V hình nón biết BC = cm, góc ACB = 600 Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác cạnh cm Tính Sxq và V Bài 23: Một hình nón cụt có đường cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm a) TÝnh Sxq cña h×nh nãn côt đó b) TÝnh V cña h×nh nãn sinh h×nh nãn côt Bµi 24: Mét h×nh thang ABCD cã gãc A vµ D = 900, AB = BC = a , C = 600 TÝnh Stp cña h×nh t¹o thµnh quay h×nh thang vu«ng mét vßng xung quanh: a) C¹nh AD b) C¹nh DC Bài 24: Cho hình chữ nhật MNPQ có MN = 3NP; NP = quay hình chữ nhật MNPQ vòng quanh MN Tính thể tích hình tạo thành Bài 26: Một hình nón có đường sinh 16cm Diện tích xung quanh 256π cm Tính bán kính đường tròn đáy hình nón Bài 27: Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ có bán kính đáy là r = 3,1 cm và chiều cao h = 2,4 cm ? Bài 28: Cho tam giác ABC vuông A quay quanh cạnh BC Tính thể tích hình sinh tam giác , biết BC = 5cm Bài 29: Một hình trụ có chu vi đáy 20cm, diện tích xung quanh 140cm2 tính chiều cao hình trụ Bài 30: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm và A’C = 13 cm Tính thể tích và diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật đó Bài 31: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 cm2 Tính thể tích và diện tích toàn phần hình lập phương đó Bài 32: Cho hình hộp nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm và góc A’AC’ 600 Tính thể tích và diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật đó Bài 33: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh và thể tích nó biết cạnh đáy dài cm và góc AA’B 300 Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài 34: Cho tam giác ABC cạnh a Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC a) Chứng minh SA = SB = SC b) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Bài 35: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy là a và đường cao là a a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác b) Tính thể tích và diện tích xung quanh hình chóp Bài 37: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên a a) Tính diện tích toán phần hình chóp b) Tính thể tích hình chóp Bài 38: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 39: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là cm Tính thể tích hình chóp cụt đó Bài 40: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) a) Tính thể tích hình chóp b) Chứng minh bốn mặt bên là tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 41: Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ là 128 cm3, tính diện tích xung quanh nó Bài 42: Một hình nón có bán kính đáy cm và diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể tích hình nón đó Bài 43: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đường cao 12 cm và đường sinh 13 cm a) Tính bán kính đáy nhỏ b) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt đó Bài 44: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36 cm2 Tính thể tích hình cầu đó