aTrớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ... HÖ PT nµy v« nghiÖm.[r]
(1)C¸c bµi tËp khã «n thi vµo 10 ( §¹i Sè) Bµi : 1) Chøng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) 2) ¸p dông : cho x+4y = T×m GTNN cña biÓu thøc : M= 4x2 + 4y2 §/a Bµi : 1) Ta cã : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=> a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 2 2 <=> a d - 2cbcd+c b <=> (ad - bc) (®pcm ) DÊu = x·y ad=bc 2) áp dụng đẳng thức trên ta có : 52 = (x+4y)2 = (x + 4y) (x2 + y2) (1+16) => 25 17 x + y2 Bµi : Cho 100 dÊu = x·y x= 17 17 1 + ≥ x ≥ , y ≥ Chøng minh 2 1+ xy 1+ x 1+ y , y = 20 => 4x2 + 4y2 (2®) 17 Đ/a Bài : Chuyển vế quy đồng ta đợc b®t ⇔ x( y −x) y(x− y) + ≥0 ( 1+ x ) ( 1+ xy ) ( 1+ y ) (1+ xy ) ⇔ ( x − y ) ( xy − ) ≥ đúng vì xy ≥1 Bµi 3: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña: B = xy + zx + xyz z Đ/a Bài 3: Biến đổi B = xyz y x ( x1 + y1 + z1 ) 2 = ⋯=xyz =2 xyz Bµi : Cho c¸c sè d¬ng x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y2 x3 + y4 Chøng minh: x + y3 x + y2 x + y §/A Bµi 4(1®): Ta cã (y2 - y) + 2y3 y4 + y2 (x3 + y2) + (x2 + y3) (x2 + y2) + (y4 + x3) mà x3 + y4 x2 + y3 đó x3 + y3 x2 + y2 (1) + Ta cã: x(x - 1)2 0: y(y + 1)(y - 1)2 x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2 x - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y (x2 + y2) + (x2 + y3) (x + y) + (x3 + y4) 3 mµ x + y x + y x + y2 x + y (2) vµ (x + 1)(x - 1) (y - 1)(y3 -1) x - x - x + + y - y - y3 + (x + y) + (x2 + y3) + (x3 + y4) mµ x2 + y3 x3 + y4 x+y2 Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x + y3 x + y2 x + y x2 y2 + ≥ x+ y Bµi 5: ( ®iÓm) Cho các số thực dương x; y Chứng minh rằng: x+ y 0;(x− y) ≥ §/A Bµi (1 ®) Với x và y dương, ta có 3 0,25® 0,25® x+ y+z Vậy (1) luôn đúng với x> , y > 0,50® x Bµi 6: a Cho c¸c sè x, y, z d¬ng tho· m·n + x +2 y + z + b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = D/A Bµi x x − y ¿ ≥ ⇒ x + y − x y − xy ≥ ⇒( x+ y)¿ 2 x y ⇒ + ≥ x+ y (1) y x Chøng ming r»ng: y + + y z =4 1 x + y +2 z x −2 x+2006 (víi x x ) a)Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ 2 Víi mäi a, b thuéc R: x, y > ta cã a + b ≥ ( a+b ) (∗) < >(a2y + b2x)(x + y) ( a+b )2 xy x y x+ y a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy a2xy + 2abxy + b2xy a2y2 + b2x2 2abxy a2y2 – 2abxy + b2x2 (ay - bx)2 (**) bất đẳng thức (**) đúng với a, b, và x,y > (2) a b DÊu (=) x¶y ay = bx hay x y 2 2 áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 4 2x y z 2x y z x y x z xy xz 2 1 1 1 1 1 4 4 x y x z 16 x y z 1 1 T¬ng tù x y z 16 x y z ; 1 1 2 x y z 16 x y z Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có: 1 1 1 1 1 2 x y z x y z x y z 16 x y z 16 x y z 16 x y z 4 4 1 1 1 16 x y z 16 x y z 1 4 V× x y z b) x x 2006 B x 0 x2 Ta cã: x2 −2 x+ 2006 2006 x2 −2 2006 x +2006 B= ⇔ B= 2006 x x2 ( x − 2006 )2 +2005 x2 ( x −2006 )2+2005 2005 ⇔ B= ⇔ + 2006 x2 2006 x V× (x - 2006)2 víi mäi x x 2006 2006 x 2 0 B x2 > víi mäi x kh¸c 2005 2005 B khix 2006 2006 2006 1< Bµi 7: Cho c¸c sè d¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: a b c + + <2 a+b b+c c +a a a < < a+ c (1) a+b+ c b+a a+b+ c b b < < b+ a (2) a+b+ c b+c a+b+ c c c c +b < < (3) a+b+ c c+ a a+b+ c a c Céng tõng vÕ (1),(2),(3) : < + b + <2 a+b b+c c+ a a b 2a b 2b a a b Bµi 8.Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng : §/A Bµi 7:Ta cã: 2 1 1 a 0; b 0 2 2 §/A Bµi (1,5 ®iÓm) Ta cã : a a a b 0; b b a b 0 0 (a a ) (b a,b>0 b ) 0 a,b>0 MÆt kh¸c a b 2 ab (3) Nh©n tõng vÕ ta cã : a b a b a b a b 2a 1 2 ab a b b 2b a Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - = Không giải ph ơng trình, tìm m để ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11 §¸p ¸n Bµi (1®)§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th× > <=> (2m - 1)2 - (m - 1) > Từ đó suy m 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có: ¿ ¿ 13-4m x1= 7m−7 x1= 26-8m 13-4m 7m− −4 =11 26-8m ¿{{ ¿ 2m−1 x1 + x 2=− m− x x 2= 3x1 − 4x2=11 ⇔ ¿{{ ¿ Gi¶i ph¬ng tr×nh 13-4m 7m− −4 =11 26-8m ta đợc m = - và m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiÖm ph©n biÖt t Bµi 10 : Cho pt x − mx +m− 1=0 a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiÖm víi ∀ m b Gäi x , x lµ hai nghiÖm cña pt T×m GTLN, GTNN cña bt P= x x 2+ x + x +2 ( x x2 +1 ) 2 §/a Bµi 10 a : cm Δ ≥ ∀ m b) (2 ®) ¸p dông hÖ thøc Viet ta cã: ¿ x 1+ x2 =m m+1 ⇒ P= (1) Tìm đk để pt (1) có nghiệm theo ẩn x x 2=m− m +2 ¿{ ¿ 1 P 1 GTLN m 2GTNN 1 m 1 2 Bµi 11 ( ®iÓm) Trên cùng hệ trục toạ độ Oxy Cho Parabol y = x2 (P ) và đờng thẳng y= 2mx - m2 + m - (d) a) Khi m=1 Hãy tìm toạ độ giao điểm (d) và (P)? b) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt? c) Khi đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm Hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ ? §/A Bµi 11: ®iÓm C©u a: Khi m =1 th× PT ®ưêng th¼ng d lµ y = 2x – Toạ độ giao điểm (d) và (P) phải là nghiệm hệ phương trình ¿ y =x2 y=2 x − ¿{ ¿ Giải hệ phương trình và kết luận toạ độ giao điểm (d) và (P) là (1,1) C©u b (d) vµ (P) c¸t t¹i ®iÓm ph©n biÖt 0,25® 0,25® (4) ⇔ ¿ y =x y=2 mx −m2 +m− ¿{ ¿ hÖ phư¬ng tr×nh 2 cã nghiÖm cã nghiÖm ph©n biÖt LËp c«ng thøc Δ=b2 − ac vµ gi¶i t×m ®ưîc m 0,25® ⇒ x − mx+ m − m+1=0 0,25® VËy m th× (d) vµ (P) c¾t t¹i ®iÓm ph©n biÖt 0,25® C©u C Khi đường thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm VËy x1; x2 lµ nghiÖm cña PT x −2 mx + m2 −m+1=0 0,25® A = x1x2 - x1 - x2 = x1x2 – (x1 + x2) Vận dụng định lý viet Thay vào biểu thức trên … 0,25® tính đợc m = 1,5 thì A đạt giá trị nhỏ 0,25® Bài 12 : Tìm tất các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau: x - m2 x + m + = cã nghiÖm nguyªn §/A Bµi 12: Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn = m4 - 4m - lµ sè chÝnh ph¬ng Ta l¹i cã: m = 0; th× < lo¹i m = th× = = 22 nhËn m th× 2m(m - 2) > 2m2 - 4m - > - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + m4 - 2m + < < m4 (m2 - 1)2 < < (m2)2 kh«ng chÝnh ph¬ng VËy m = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 13: a) T×m x, y nguyªn d¬ng tho· m·n ph¬ng tr×nh: 3x2 +10 xy + 8y2 =96 b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = §/A Bµi 13 a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 < > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96 < > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 < > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 < > (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Do x, y nguyªn d¬ng nªn x + 2y; 3x + 4y nguyen d¬ng vµ 3x + 4y > x + 2y mà 96 = 25 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tích thừa sè kh«ng nhá h¬n lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12 Lại có x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y là số chẳn đó ¿ x +2 y=6 x+ y=24 ¿{ ¿ HoÆc HÖ PT nµy v« nghiÖm ¿ x +2 y =8 x+ y=12 ¿{ ¿ ¿ x +2 y=6 HoÆc x+ y=16 ¿{ ¿ ⇒ x=4 y=1 ¿{ HÖ PT v« nghiÖm VËy cÊp sè x, y nguyªn d¬ng cÇn t×m lµ (x, y) = (4, 1) b ta cã /A/ = /-A/ A ∀ A Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ ❑/x −2005+2008 − x /❑/3 /❑3 mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = (2) KÕt hîp (1 vµ (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ (3) (1) (5) ¿ x −2006 /❑0 y − 2007/❑ ⇔ (3) s¶y vµ chØ ¿ x=2006 y=2007 ¿{ ¿ 1 1 Bµi 14: Cho x , y , z ∈ R tháa m·n : + + = x y z x+ y+z H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) §/A Bµi 14: Tõ : + + = x x+ y+z => + + − =0 x+ y + z => x+ y x+ y+z− z + =0 xy z ( x+ y+ z ) y z x y z zx zy z xy z y 0 x y x y y z ( z x) xy z x y z xyz ( x y z ) Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) VËy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 Bµi 15: (1®) Cho ba sè a, b , c kh¸c tho· m·n: ¿ 1 + + =0 ; H·y tÝnh P = a b c ¿ ac bc ac + + c2 a2 b §/ A Bµi 15 : §Æt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0) à x = -(y + z) à x3 + y3 + z3 – xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz = Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = à x3 + y3 + z3 = 3xyz à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 1/ b3 1/ c3 = 3/abc Do đó P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = Bài 16 Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời : x y y z z x 0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A x 2007 y 2007 z 2007 x y 0 y z 0 z x 0 Cộng vế các đẳng thức ta có : §/A Bµi 16 Tõ gi¶ thiÕt ta cã : x 0 y 0 2 z 0 x x y y z z 0 x 1 y 1 z 1 0 x y z 1 A x 2007 y 2007 z 2007 1 2007 1 2007 1 2007 VËy : A = -3 Bµi 17) Cho x + y = (x > 0; y > 0) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = √ x + √ y §/A Bµi 17) Do A > nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt XÐt A2 = ( √ x + √ y )2 = x + y + √ xy = + √ xy (1) (6) Ta cã: x+y √ xy (Bất đẳng thức Cô si) => > √ xy (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + √ xy < + = Max A2 = <=> x = y = , max A = √ <=> x = y = 2 Bµi 18) Cho biÓu thøc : M x x y xy y 2014 2 Với giá trị nào x, y thì M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ đó §/A Bµi 18 ( 1,5 ®iÓm) Ta cã : M x x y y xy x y 2007 2 M x y 1 y 1 2007 M x y 1 x y 1 2007 x y 1 0 y x, y Do vµ M 2007 M 2007 x 2; y 1 Bµi 19: t×m max vµ cña biÓu thøc: x2+3x+1 x2+1 Đ/A Bài 19: Hàm số xác định với ∀x(vì x2+1≠0) x2+3x+1 gäi y0 lµ gi¸ trÞcña hµm ph¬ng tr×nh: y0 = x2+1 (y0-1)x -6x+y -1 =0 cã nghiÖm *y0=1 suy x = y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 (y0-1)2≤ suy -2 ≤ y0 ≤ VËy: ymin=-2 vµ y max=4 Bµi 20: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x + x2 = x §/A Bµi 20 §iÒu kiÖn x ; – x2 > x ; < §Æt y = x > Ta cã: x y 2 (1) 1 x y 2 (2) Tõ (2) cã : x + y = 2xy Thay vµo (1) cã : xy = hoÆc xy = - * Nếu xy = thì x+ y = Khi đó x, y là nghiệm phơng trình: X2 – 2X + = X = x = y = 1 * Nếu xy = - thì x+ y = -1 Khi đó x, y là nghiệm phơng trình: 1 X2 + X - = X = 1 1 x= 2 V× y > nªn: y = 1 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = ; x2 = (7)