Tuyen tap cac bai toan kho on thi vao 10

aTrớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ... HÖ PT nµy v« nghiÖm.[r]

C¸c bµi tËp khã «n thi vµo 10 ( §¹i Sè) Bµi : 1) Chøng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) 2) ¸p dông : cho x+4y = T×m GTNN cña biÓu thøc : M= 4x2 + 4y2 §/a Bµi : 1) Ta cã : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) <=> a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 2 2 <=> a d - 2cbcd+c b <=> (ad - bc) (®pcm ) DÊu = x·y ad=bc 2) áp dụng đẳng thức trên ta có : 52 = (x+4y)2 = (x + 4y) (x2 + y2) (1+16) => 25 17 x + y2 Bµi : Cho 100 dÊu = x·y x= 17 17 1 + ≥ x ≥ , y ≥ Chøng minh 2 1+ xy 1+ x 1+ y , y = 20 => 4x2 + 4y2 (2®) 17 Đ/a Bài : Chuyển vế quy đồng ta đợc b®t ⇔ x( y −x) y(x− y) + ≥0 ( 1+ x ) ( 1+ xy ) ( 1+ y ) (1+ xy ) ⇔ ( x − y ) ( xy − ) ≥ đúng vì xy ≥1 Bµi 3: Cho x,y,z; xy + yz + zx = vµ x + y + z = -1 H·y tÝnh gi¸ trÞ cña: B = xy + zx + xyz z Đ/a Bài 3: Biến đổi B = xyz y x ( x1 + y1 + z1 ) 2 = ⋯=xyz =2 xyz Bµi : Cho c¸c sè d¬ng x, y tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y2  x3 + y4 Chøng minh: x + y3  x + y2  x + y  §/A Bµi 4(1®): Ta cã (y2 - y) +   2y3  y4 + y2  (x3 + y2) + (x2 + y3)  (x2 + y2) + (y4 + x3) mà x3 + y4  x2 + y3 đó x3 + y3  x2 + y2 (1) + Ta cã: x(x - 1)2  0: y(y + 1)(y - 1)2   x(x - 1)2 + y(y + 1)(y - 1)2   x - 2x2 + x + y4 - y3 - y2 + y   (x2 + y2) + (x2 + y3)  (x + y) + (x3 + y4) 3 mµ x + y  x + y  x + y2  x + y (2) vµ (x + 1)(x - 1)  (y - 1)(y3 -1)  x - x - x + + y - y - y3 +   (x + y) + (x2 + y3)  + (x3 + y4) mµ x2 + y3  x3 + y4 x+y2 Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x + y3  x + y2  x + y  x2 y2 + ≥ x+ y Bµi 5: ( ®iÓm) Cho các số thực dương x; y Chứng minh rằng: x+ y 0;(x− y) ≥ §/A Bµi (1 ®) Với x và y dương, ta có 3 0,25® 0,25® x+ y+z Vậy (1) luôn đúng với x> , y > 0,50® x Bµi 6: a Cho c¸c sè x, y, z d¬ng tho· m·n + x +2 y + z + b T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = D/A Bµi x x − y ¿ ≥ ⇒ x + y − x y − xy ≥ ⇒( x+ y)¿ 2 x y ⇒ + ≥ x+ y (1) y x Chøng ming r»ng: y + + y z =4 1 x + y +2 z x −2 x+2006 (víi x x ) a)Trớc hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ 2 Víi mäi a, b thuéc R: x, y > ta cã a + b ≥ ( a+b ) (∗) < >(a2y + b2x)(x + y) ( a+b )2 xy x y x+ y  a2y2 + a2xy + b2 x2 + b2xy  a2xy + 2abxy + b2xy  a2y2 + b2x2  2abxy  a2y2 – 2abxy + b2x2   (ay - bx)2  (**) bất đẳng thức (**) đúng với a, b, và x,y > a b  DÊu (=) x¶y ay = bx hay x y 2 2 áp dung bất đẳng thức (*) hai lần ta có 1 1 1 1 1 1 1 1              2 2 2 4 4          2x  y  z 2x  y  z x  y x  z xy xz 2 1 1 1  1          1 4 4                 x y x z 16  x y z  1  1      T¬ng tù x  y  z 16  x y z  ; 1  1 2      x  y  z 16  x y z  Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có: 1 1  1  1  1 2                x  y  z x  y  z x  y  z 16  x y z  16  x y z  16  x y z   4 4  1 1            1 16  x y z  16  x y z  1   4 V× x y z b) x  x  2006 B  x 0  x2 Ta cã: x2 −2 x+ 2006 2006 x2 −2 2006 x +2006 B= ⇔ B= 2006 x x2 ( x − 2006 )2 +2005 x2 ( x −2006 )2+2005 2005 ⇔ B= ⇔ + 2006 x2 2006 x V× (x - 2006)2  víi mäi x   x  2006  2006 x 2 0  B  x2 > víi mäi x kh¸c 2005 2005  B khix 2006 2006 2006 1< Bµi 7: Cho c¸c sè d¬ng a, b, c Chøng minh r»ng: a b c + + <2 a+b b+c c +a a a < < a+ c (1) a+b+ c b+a a+b+ c b b < < b+ a (2) a+b+ c b+c a+b+ c c c c +b < < (3) a+b+ c c+ a a+b+ c a c Céng tõng vÕ (1),(2),(3) : < + b + <2 a+b b+c c+ a a b 2a b  2b a  a  b  Bµi 8.Cho a, b lµ c¸c sè thùc d¬ng Chøng minh r»ng : §/A Bµi 7:Ta cã: 2 1 1    a   0;  b   0 2 2  §/A Bµi (1,5 ®iÓm) Ta cã :   a a  a b  0; b  b  a  b 0 0  (a  a  )  (b   a,b>0 b  ) 0  a,b>0 MÆt kh¸c a  b 2 ab  Nh©n tõng vÕ ta cã :   a  b   a  b    a  b    a  b  2a  1 2 ab   a b  b  2b a Bµi 9: Cho ph¬ng tr×nh 2x2 + (2m - 1)x + m - = Không giải ph ơng trình, tìm m để ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 tháa m·n: 3x1 - 4x2 = 11 §¸p ¸n Bµi (1®)§Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt x1 ; x2 th×  > <=> (2m - 1)2 - (m - 1) > Từ đó suy m  1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có: ¿ ¿ 13-4m x1= 7m−7 x1= 26-8m 13-4m 7m− −4 =11 26-8m ¿{{ ¿ 2m−1 x1 + x 2=− m− x x 2= 3x1 − 4x2=11 ⇔ ¿{{ ¿ Gi¶i ph¬ng tr×nh 13-4m 7m− −4 =11 26-8m ta đợc m = - và m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiÖm ph©n biÖt t Bµi 10 : Cho pt x − mx +m− 1=0 a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiÖm víi ∀ m b Gäi x , x lµ hai nghiÖm cña pt T×m GTLN, GTNN cña bt P= x x 2+ x + x +2 ( x x2 +1 ) 2 §/a Bµi 10 a : cm Δ ≥ ∀ m b) (2 ®) ¸p dông hÖ thøc Viet ta cã: ¿ x 1+ x2 =m m+1 ⇒ P= (1) Tìm đk để pt (1) có nghiệm theo ẩn x x 2=m− m +2 ¿{ ¿ 1   P 1  GTLN   m  2GTNN 1  m 1 2 Bµi 11 ( ®iÓm) Trên cùng hệ trục toạ độ Oxy Cho Parabol y = x2 (P ) và đờng thẳng y= 2mx - m2 + m - (d) a) Khi m=1 Hãy tìm toạ độ giao điểm (d) và (P)? b) Tìm m để (d) cắt (P) điểm phân biệt? c) Khi đờng thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm Hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ ? §/A Bµi 11: ®iÓm C©u a: Khi m =1 th× PT ®ưêng th¼ng d lµ y = 2x – Toạ độ giao điểm (d) và (P) phải là nghiệm hệ phương trình ¿ y =x2 y=2 x − ¿{ ¿ Giải hệ phương trình và kết luận toạ độ giao điểm (d) và (P) là (1,1) C©u b (d) vµ (P) c¸t t¹i ®iÓm ph©n biÖt 0,25® 0,25® ⇔ ¿ y =x y=2 mx −m2 +m− ¿{ ¿ hÖ phư¬ng tr×nh 2 cã nghiÖm cã nghiÖm ph©n biÖt LËp c«ng thøc Δ=b2 − ac vµ gi¶i t×m ®ưîc m 0,25® ⇒ x − mx+ m − m+1=0 0,25® VËy m th× (d) vµ (P) c¾t t¹i ®iÓm ph©n biÖt 0,25® C©u C Khi đường thẳng (d) cắt (P) điểm phân biệt Gọi x1; x2 là hoành độ các giao điểm VËy x1; x2 lµ nghiÖm cña PT x −2 mx + m2 −m+1=0 0,25® A = x1x2 - x1 - x2 = x1x2 – (x1 + x2) Vận dụng định lý viet Thay vào biểu thức trên … 0,25® tính đợc m = 1,5 thì A đạt giá trị nhỏ 0,25® Bài 12 : Tìm tất các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau: x - m2 x + m + = cã nghiÖm nguyªn §/A Bµi 12: Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nguyªn  = m4 - 4m - lµ sè chÝnh ph¬ng Ta l¹i cã: m = 0; th×  < lo¹i m = th×  = = 22 nhËn m  th× 2m(m - 2) >  2m2 - 4m - >  - (2m2 - 2m - 5) <  <  + 4m +  m4 - 2m + <  < m4  (m2 - 1)2 <  < (m2)2  kh«ng chÝnh ph¬ng VËy m = lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Bµi 13: a) T×m x, y nguyªn d¬ng tho· m·n ph¬ng tr×nh: 3x2 +10 xy + 8y2 =96 b)t×m x, y biÕt / x - 2005/ + /x - 2006/ +/y - 2007/+/x- 2008/ = §/A Bµi 13 a 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 < > 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = 96 < > (3x2 + 6xy) + (4xy + 8y2) = 96 < > 3x(x + 2y) + 4y(x +2y) = 96 < > (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Do x, y nguyªn d¬ng nªn x + 2y; 3x + 4y nguyen d¬ng vµ 3x + 4y > x + 2y mà 96 = 25 có các ớc là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24; 32; 48; 96 đợc biểu diễn thành tích thừa sè kh«ng nhá h¬n lµ: 96 = 3.32 = 4.24 = 16 = 12 Lại có x + 2y và 3x + 4y có tích là 96 (Là số chẵn) có tổng 4x + 6y là số chẳn đó ¿ x +2 y=6 x+ y=24 ¿{ ¿ HoÆc HÖ PT nµy v« nghiÖm ¿ x +2 y =8 x+ y=12 ¿{ ¿ ¿ x +2 y=6 HoÆc x+ y=16 ¿{ ¿ ⇒ x=4 y=1 ¿{ HÖ PT v« nghiÖm VËy cÊp sè x, y nguyªn d¬ng cÇn t×m lµ (x, y) = (4, 1) b ta cã /A/ = /-A/ A ∀ A Nªn /x - 2005/ + / x - 2006/ = / x - 2005/ + / 2008 - x/ ❑/x −2005+2008 − x /❑/3 /❑3 mµ /x - 2005/ + / x - 2006/ + / y - 2007/ + / x - 2008/ = (2) KÕt hîp (1 vµ (2) ta cã / x - 2006/ + / y - 2007/ (3) (1) ¿ x −2006 /❑0 y − 2007/❑ ⇔ (3) s¶y vµ chØ ¿ x=2006 y=2007 ¿{ ¿ 1 1 Bµi 14: Cho x , y , z ∈ R tháa m·n : + + = x y z x+ y+z H·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) §/A Bµi 14: Tõ : + + = x x+ y+z => + + − =0 x+ y + z => x+ y x+ y+z− z + =0 xy z ( x+ y+ z ) y z x y z    zx  zy  z  xy    z  y   0   x  y       x  y   y  z  ( z  x)   xy z  x  y  z    xyz ( x  y  z )    Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) VËy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 Bµi 15: (1®) Cho ba sè a, b , c kh¸c tho· m·n: ¿ 1 + + =0 ; H·y tÝnh P = a b c ¿ ac bc ac + + c2 a2 b §/ A Bµi 15 : §Æt x = 1/a; y =1/b; z = 1/c à x + y + z = (v× 1/a = 1/b + 1/c = 0) à x = -(y + z) à x3 + y3 + z3 – xyz = -(y + z)3 + y3 – 3xyz à-( y3 + 3y2 z +3 y2z2 + z3) + y3 + z3 – 3xyz = - 3yz(y + z + x) = - 3yz = Tõ x3 + y3 + z3 – 3xyz = à x3 + y3 + z3 = 3xyz à 1/ a3 + 1/ b3 + 1/ c3 1/ a3 1/ b3 1/ c3 = 3/abc Do đó P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = abc (1/a3 + 1/b3+ 1/c3) = abc.3/abc = nÕu 1/a + 1/b + 1/c =o th× P = ab/c2 + bc/a2 + ac/b2 = Bài 16 Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời : x  y   y  z  z  x  0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A x 2007  y 2007  z 2007  x  y  0   y  z  0  z  x  0  Cộng vế các đẳng thức ta có : §/A Bµi 16 Tõ gi¶ thiÕt ta cã :   x  0    y  0 2  z  0 x  x   y  y   z  z  0   x  1   y  1   z  1 0  x  y  z 1        A  x 2007  y 2007  z 2007   1 2007    1 2007    1 2007  VËy : A = -3 Bµi 17) Cho x + y = (x > 0; y > 0) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = √ x + √ y §/A Bµi 17) Do A > nªn A lín nhÊt ⇔ A2 lín nhÊt XÐt A2 = ( √ x + √ y )2 = x + y + √ xy = + √ xy (1) Ta cã: x+y √ xy (Bất đẳng thức Cô si) => > √ xy (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: A2 = + √ xy < + = Max A2 = <=> x = y = , max A = √ <=> x = y = 2 Bµi 18) Cho biÓu thøc : M x  x  y  xy  y  2014 2 Với giá trị nào x, y thì M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ đó §/A Bµi 18 ( 1,5 ®iÓm) Ta cã : M  x  x   y  y    xy  x  y    2007     2    M   x     y  1    y  1  2007   M  x     y  1   x    y  1  2007   x     y  1  0   y    x, y  Do  vµ   M 2007  M 2007  x 2; y 1 Bµi 19: t×m max vµ cña biÓu thøc: x2+3x+1 x2+1 Đ/A Bài 19: Hàm số xác định với ∀x(vì x2+1≠0) x2+3x+1 gäi y0 lµ gi¸ trÞcña hµm ph¬ng tr×nh: y0 = x2+1 (y0-1)x -6x+y -1 =0 cã nghiÖm *y0=1 suy x = y0 ≠ 1; ∆’=9-(y0-1)2≥0 (y0-1)2≤ suy -2 ≤ y0 ≤ VËy: ymin=-2 vµ y max=4 Bµi 20: Gi¶i ph¬ng tr×nh : x +  x2 = x §/A Bµi 20 §iÒu kiÖn x  ; – x2 >  x  ; < §Æt y =  x > Ta cã:  x  y 2 (1)  1  x  y 2 (2)  Tõ (2) cã : x + y = 2xy Thay vµo (1) cã : xy = hoÆc xy = - * Nếu xy = thì x+ y = Khi đó x, y là nghiệm phơng trình: X2 – 2X + =  X =  x = y = 1 * Nếu xy = - thì x+ y = -1 Khi đó x, y là nghiệm phơng trình:  1 X2 + X - =  X =  1  1  x= 2 V× y > nªn: y =  1 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = ; x2 =