Xét hình trụ nội tiếp trong lăng trụ này, nghĩa là hình trụ có hai đường tròn đáy, mỗi đường tròn nằm trên mặt đáy của lăng và tiếp xúc tại trung điểm các cạnh của tam giác đáy.. (a) Tín[r]
(1)TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH LUYỆN THI ĐẠI HỌC
(Tài liệu tự ôn tập)
LÊ TRUNG TÍN
Thành viên nhóm Administrators diễn đàn toán học boxmath.vn Email: letrungtin87@gmail.com
1 Khảo sát hàm số tốn có liên quan: (Bổ sung sau) Phương trình lượng giác:
1 Giải phương trình sau:
(a) sin x + cos x + sin x cos x − = (b) 6(sin x − cos x) − sin x cos x − =
(c) sin3+ cos3x = 2(sin x + cos x) − (d) sin3x + cos3x =
(e) + sin3x + cos3x = sin 2x2
(f) sin3x + cos3x = sin 2x + sin x + cos x Giải phương trình sau:
(a) sin x − sin 3x + sin 5x = (b) cos4x
3 = cos
x
(c) cos3x +π
= cos 3x (d) sin3x + cos3x = −1
2sin 2x (e) cos3x + sin x + = sin2x
(f) sin x = √
3 cos x +
1 sin x (g) tan2x = − cos
3x
1 − sin3x Giải phương trình sau:
(a) (2 cos 2x + 1)(sin 2x − cos 2x + 1) = 2(cos x + sin x) (b) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =
2 (c) cos 3x(2 cos 2x + 1) =
(d) sin 2x + cos 2x + sin x − cos x − = Giải phương trình sau:
(a) sin 2x − cos 2x + sin x − cos x − = (b)
(1 + sin x + cos 2x) sin
x +π
1 + tan x =
1 √
2cos x (c) (sin 2x + cos 2x) cos x + cos 2x − sin x = (d) sin3x −√3 cos3x = sin x cos2x −√3 sin2x cos x
(e) sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = + cos 2x (f) (1 − sin x) cos x
(1 + sin x)(1 − sin x) = √
3 (g) + sin 2x + cos 2x
1 + cot2x =
√
2 sin x sin 2x
(2)3 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số:
3.1 Phương trình vơ tỷ:
3.1.1 Phương pháp nâng lũy thừa: Giải phương trình sau:
1 r
x2−
x2 +
r x −
x2 = x
2 √3
2x − +√3
x − =√3
3x + √1 + x2 = 3x
1−x
4 r
x3+ x + −
√
x + =√x2− x + −√x + 3
3.1.2 Phương pháp đưa tích: Giải phương trình sau:
1 2x + (4x2− 1)√1 − x2 = 4x3+√1 − x2
2 √4x =
8 + 2x
3 x + 4x
x + 4√x + = 12
3.1.3 Phương pháp trục thức: Giải phương trình sau:
1 √2x − +√x + =√x + + √2x2+ x + +√2x2− x + = x + 4
3 2√3x + + 3√5x + = x2+ 6x + 13
3.1.4 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình đại số: Giải phương trình sau:
(a) √x + +√8 − x +p(x + 1)(8 − x) = (b) px −√x2− +px +√x2− = 2
(c) x2+ 2x r
x −
x = 3x +
(d) 3√2 + x − 6√2 − x + 4√4 − x2= 10 − 3x
2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (a) 2(x2− 2x) +√x2− 2x − − m = 0
(b) m(√3x − +√x − 1) = 4x − + 2√3x2− 5x + 2
3 Cho phương trình√x + +√6 − x +p(x + 3)(6 − x) = m (a) Giải phương trình m = 3;
(b) Tìm m để phương trình có nghiệm;
(c) Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(3)3.1.5 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp: 2(x2+ 1) = 5√x3+ 1
2 x2− 7x + = 4√x4+ x2+ 1
3 2x2− 5x + 22 = 5√x3− 11x + 20
4 x3− 3x2+ 2p(x + 2)3= 6x
5 (x + 3√x + 2)(x + 9√x + 18) = 168x
3.1.6 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình Giải phương trình sau:
(a) √x3+ x2+ +√x3+ x2− = 3
(b) x +
r x −
x = x + r
2x − x (c) 3x2− 4x − 15 = 2√2x2− 2x − 5
(d) √4x + = 2x2− 6x − (e) √3
3x − = 8x3− 36x2+ 53x − 25
(f) x3+ = 2√3
2x −
2 Tìm để phương trình sau có nghiệm: (a) √x +√4 − x = m
(b) √3
1 − x +√3
1 + x = m
3.1.7 Phương pháp số biến thiên, tham số biến thiên: Giải phương trình sau:
1 x2+√x + =
2 9x2+ 3(2x − 1)√9 − x − 10x + 11 = 0
3 (x + 1)√x2− 2x + = x2+ 1
4 x3+ 6x2− 2x + = (5x − 1)√x3+ 3
3.1.8 Phương pháp hàm số:
1 Giải phương trình sau: (a) √4x − +√4x2− = 1
(b) (4x − 1)(√x + +√3
3x + 5) = 4x + (c) √3
x3− 12x + 17 = −3x2+ 16x − 19
(d) (9x + 1)√9x − = 8x3+ 20x2− 41x + Tìm m để phương trình sau có nghiệm
p
x2− x + +px2+ x + = m
3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm
(4)3.2 Bất phương trình vơ tỷ: 3.2.1 Phương pháp nâng lũy thừa Giải phương trình sau
1 √1 + x +√1 − x ≤ x √x + >√x − +√5 − x √3x2+ 6x > x
4 √3
2x + +√3
6x + >√3
2x −
3.2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ
1 Giải phương trình sau
(a) √5x2+ 10x + ≥ − x2− 2x
(b) x
x + 1−
r x + x >
(c) (x + 1)(x + 3) ≤√x2+ 4x + 5
2 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x ∈ [−2; −2 +√3]: (x + 1)(x + 3) ≤ m(px2+ 4x + 5)
3 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với x ∈ [−4; 6]: p
(4 + x)(6 − x) ≤ x2− 2x + m
3.2.3 Phương pháp hàm số
1 Giải bất phương trình (a) √x + +√2x + > (b) √4
15 + x −√4
2 − x >
(c) √x2− 2x + −√x2− 6x + 11 >√3 − x −√x − 1
(d) x3− 5x2+ 6x + ≤ √3
2x2− 2x − 4
2 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm √
4x − +√16 − 4x ≤ m
3.2.4 Phương pháp đánh giá
Giải bất phương trình sau
1 px −√x2− +px +√x2− ≤ 2
2 2x
2− 13x + 38
√
2x2− 10x + 44 +√3x + 6 ≤ − x
3 (x2+ 4)√2x + ≤ 3x2+ 6x −
4 x −
√ x
1 −p2(x2− x + 1) ≥
5 (2x − 1)
√ x +
(5)3.3 Hệ phương trình đại số:
3.3.1 Sử dụng phép biến đổi đại số thế: Giải hệ sau:
1 (
5x2y − 4xy2+ 3y3− 2(x + y) = xy(x2+ y2) + = (x + y)2
2 (
x4+ 2xy + 6y − (7 + 2y)x2 = −9 2x2y − x3 = 10
3 (
y3− 7x3− 6xy2+ 12x2y = 3x2− 3x + 1
y2− 4x − =
4 (
x3+ y3 = x2+ 2y2 = x + 4y
5
x +
1 2y = (x
2+ 3y2)(3x2+ y2)
1 x −
1
2y = 2(y
4− x4)
6 (
x3+ 3xy2 = −49
x2− 8xy + y2 = 8y − 17x
7 (
9y3(3x2− 1) = −125 45x2y + 75x = 6y2
8 (
y3− 7x3− 6xy2+ 12x2y = 3x2− 3x + 1
y2− 4x − =
9 (
−x2y + 2xy2+ 3y3− 4(x + y) = 0
xy(x2+ y2) − = 3xy − (x + y)2
10 (
x2− 2xy + x + y = x4− 4x2y + 3x2+ y2= 0
11 (
2x3− 9y3 = (x − y)(2xy + 3)
x2− xy + y2 = 3
12
x3+ y3 = x5+ y5 = x2+ y2 13
x4+ 2x3y + x2y2 = 2x + 9
x2+ 2xy = 6x +
3.3.2 Sử dụng phép đặt ẫn phụ: Giải hệ sau:
1
8(x2+ y2) + 4xy +
(x + y)2 = 13
2x +
(6)2
x2+ y2+x
y2 =
xy3+ 4y2 = x2+ xy
3
3(x2+ y2) +
(x − y)2 = 2(10 − xy)
2x +
x − y =
8x3y3+ 27 = 18y3 4x2y + 6x = y2
5
x(x + 1) +1 y
y +
= x3y3+ x2y2+ xy + = 4y3
6
(x + y)(1 + xy) = (x2+ y2)(1 +
x2y2) = 49
3.3.3 Sử dụng phương pháp hàm số
Giải hệ sau
(
(17 − 3x)√5 − x + (3y − 14)√4 − y =
2√2x + y + + 3√3x + 2y + 11 = x2+ 6x + 13
2 (
3
√
x −√3y = y − x
√
1 − x2+ y = 2y√2 − 2x2
3 (
x5+ xy4 = y10+ y6 √
4x + +py2+ = 6
4 (
x2 =√y − + 2x − y2 =√x − + 2y −
4 Tích phân ứng dụng: (Bổ sung sau) Hình học khơng gian tổng hợp:
1 Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy tam giác vuông cân AB = BC = a Gọi B0 trung điểm SB, C0 chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác SAC
(a) Tính thể tích khối chóp S.ABC
(b) Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (AB0C0) (c) Tính thể tích khối chóp S.A0B0C0
2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính tang góc hợp hai mặt (SAB) (ABCD) tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a chiều cao h Tính thể tích hình lập phương có
một mặt thuộc mặt đáy hình chóp cịn mặt đối diện có đỉnh nằm cạnh hình chóp Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân đỉnh B SA ⊥ (ABCD), SB = a Góc
(7)(b) Tìm α để thể tích khối chóp S.ABC lớn
5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB, AD H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt đáy phẳng (ABCD) SH = a√3 Tính thể tích khối chóp S.CDN M tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a
6 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có AB = a, góc hai mặt phẳng (A0BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A0BC Tính thể tích khối lăng trụ cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a, SA = a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) thuộc cạnh AC, AC = 4AH Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SM BC theo a
8 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA0 = 2a, A0C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A0C0, I giao điểm AM A0C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)
9 Cho lăng trụ ABC.A0B0C0 có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a√3 hình chiếu vng góc đỉnh A0 mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC
(a) Tính theo a thể tích khối trụ, thể tích khối chóp A0.ABC, A0.BCC0B0 (b) Tính khoảng cách từ B0 đến mặt phẳng A0ACC0
(c) Tính cơsin góc hai đường thẳng AA0, B0C0 (d) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB B0C0
10 Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có cạnh đáy a đường cao h Xét hình trụ nội tiếp lăng trụ này, nghĩa hình trụ có hai đường tròn đáy, đường tròn nằm mặt đáy lăng tiếp xúc trung điểm cạnh tam giác đáy
(a) Tính thể tích khối hình trụ nội tiếp
(b) Gọi I trung điểm BC Đường thẳng A0I cắt hình trụ nói theo đoạn thẳng Tính độ dài đoạn thẳng
6 Bất đẳng thức, cực trị hàm nhiều biến:
6.1 Sử dụng bất đẳng thức cô-si:
1 Cho x, y số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = (x + y)
3
xy2
2 Cho x ∈ [0; 3], y ∈ [0; 4]là số thực thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức P = (3 − x)(4 − y)(2x + 3y)
3 Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = √3a + b +√3b + c +√3
c + a
4 Cho x, y, z số thực không âm thay đổi thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
(8)5 Cho x, y số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 2x + 3y +
x + 10
y
6 Cho x, y số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P =
x2+ y2 +
1
xy + 4xy
7 Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P =
x2+ y2+ z2 +
1 xy +
1 yz +
1 zx
8 Cho x, y, z ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x x
2 + yz
+ y y 2+
1 zx
+ z z +
1 xy
(Đại học khối B, năm 2007) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn
P = p3
2x + y +p3
2y + z +√32z + x
10 Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ P = 10x2+ 10y2+ z2
11 Cho a, b, c ba số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a
1 + b2 +
b + c2 +
c + a2
12 Cho a, b, c ba số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a
2
a + 2b2 +
b2 b + 2c2 +
c2 c + 2a2
13 Cho a, b, c ba số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a
2
a + 2b3 +
b2 b + 2c3 +
c2 c + 2a3
14 Cho a, b, c ba số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a
2
b2+ 1+
b2 c2+ 1+
c2 a2+ 1
15 Cho a, b, c ba số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a
2
b2+ a+
b2 c2+ b +
(9)6.2 Sử dụng bất đẳng thức bunhicốpski
1 Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = r
a2+
b2 +
r b2+
c2 +
r c2+
a2
2 Cho x, y, z số thực thay đổi thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2+ 2y2+ z2
3 Cho x, y số thực thay đổi thỏa mãn 36x2+ 16y2= Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
P = y − 2x +
4 Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = r
a2+
a2 +
r b +
b2 +
r c +
c2
5 Cho x, y số thực thay đổi thỏa mãn 3x − 4y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3x2+ 4y2
6 Cho x, y, z số thực thay đổi thỏa mãn x2+ y2+ z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x + 3y + 5z
7 Cho x, y, z số thực thay đổi thỏa mãn x(x − 1) + y(y − 1) + z(z − 1) ≤
3 Tìm giá trị lớn biểu thức
P = x + y + z
8 Cho a, b, c số thực thay đổi thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2+ y2+ z2
9 Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn x2+ y2+ z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P =
xy + + xy + 2+
1 yz + 2+
1 zx + 10 Cho x, y, z số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = p x
xy + y2 +
y p
yz + z2 +
z √
zx + x2
11 Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P =
a2 +
1 b2 +
1 c2 +
1 ab+
1 bc+
1 ca
12 Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn√ab +√bc +√ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a
2
a + b+ b2 b + c +
(10)6.3 Sử dụng hàm số
1 Cho a, b, c số thực không âm thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a4+ b4+ c4− 2(a3+ b3+ c3) −
2 Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a
1 + bc+ b + ca +
c + ab
3 Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a+
1 b +
1 c −
a + b+
1 b + c +
1 c + a
4 Cho a, b, c ≥ −3
4 số thực thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức
P = a
a2+ 1+
b b2+ 1+
c c2+ 1
5 Cho a, b, c số thực không âm thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = (b + c − a)
2
(b + c)2+ a2 +
(c + a − b)2 (c + a)2+ b2 +
(a + b − c)2 (a + b)2+ c2
6 Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = a
(b + c)2 +
b (c + a)2 +
c (a + b)2
7 Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a2+ b2+ c2= Tìm giá trị lớn biểu thức
P =
1 − ab+ 1 − bc +
1 − ca
8 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = x
2x + 3y + y y + z +
z z + x
9 Cho a b số thực dương thỏa mãn 2(a2+ b2) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = 4 a
3
b3 +
b3 a3
− 9 a
2
b2 +
b2 a2
10 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3(a2b2+ b2c2+ c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2pa2+ b2+ c2
11 Cho số thực a.b thay đổi thỏa mãn (a + b)3+ 4ab ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 3(a4+ b4+ a2b2) − 2(a2+ b2) +
12 Cho số thực không âm a.b thay đổi thỏa mãn a + b = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
(11)13 Cho hai số thực a.b thay đổi thỏa mãn a2+ b2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức
P = 2(a
2+ 6ab)
1 + 2ab + 2b2
14 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2+ b2+ c2 = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức
P = a3+ b3+ c3− 3abc 15 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c ≤
2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P =
r a2+
b2 +
r b2+
c2 +
r c2+
a2
16 Cho x, y, z > x + y + z ≤
2 Chứng minh x + y + z + 4
x + y +
1 z
≥ 51
2
17 Cho x, y, z > x + y + z ≤
2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + z +
xyz
18 Cho x, y số thực khác thay đổi thỏa mãn (x + y)xy = x2+ y2− xy Tìm giá trị lớn biểu thức
P =
x3 +
1 y3
19 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y + = 3xy Tìm giá trị lớn biểu thức
P = 3x
y(x + 1)+ 3y x(y + 1) −
1 x2 −
1 y2
20 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x2+ y2+ z2+ 2xy = 3(x + y + z) Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = x + y + z + √20 x + z +
20 √
y +
7 Phương pháp tọa độ mặt phẳng:
1 Lập phương trình cạnh tam giác ABC, biết đỉnh B(2; 5) hai đường cao có phương trình 2x + 3y + = x − 11y + =
2 Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2; 5), B(5; 1) Viết phương trình đường thẳng (d) qua A cách B khoảng
3 Tam giác ABC có phương trình cạnh AB 5x − 3y + = 0, đường cao xuất phát từ đỉnh A, đỉnh B có phương trình (d1) : 4x − 3y + = 0, (d2) : 7x + 2y − 22 = Lập phương trình cạnh
cịn lại đường cao thứ ba
4 Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết đỉnh C(4; −1), đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phương trình (d1) : 2x − 3y + 12 = 0, (d2) : 2x + 3y =
(12)6 Phương trình hai cạnh tam giác mặt phẳng tọa độ Oxy 5x−2y+6 = 0; 4x+7y−21 = Viết phương trình cạnh thứ ba tam giác đó, biết trực tâm tam giác trùng với gốc tọa độ Cho tam giác ABC biết A(2; −1) hai đường phân giác góc B, C có phương trình
là x − 2y + = 0, x + y + = Lập phương trình cạnh BC
8 Cho tam giác ABC biết phương trình cạnh BC 4x − y + = hai đường phân giác góc B, C có phương trình x − 2y + = 0, x + y + = Lập phương trình cạnh AB, AC Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C(−4; 1), phân giác góc A có
phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương
10 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x − 2y − = 6x − y − = Viết phương trình đường thẳng AC
11 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M (1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng (d) : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB
12 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(−1; −2, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A đường cao kẻ từ đỉnh B 5x + y − = x + 3y − = Tìm tọa độ điểm A B 13 Tam giác ABC có diện tích S =
2, hai đỉnh A(3; −2), B(2; −3) Trọng tâm tam giác đường thẳng 3x − y − = Tìm tọa độ đỉnh C
14 Viết phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2; −1), đường cao kẻ từ đình A phân giác kẻ từ đỉnh C có phương trình 3x − 4y + 27 = x + 2y − =
15 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(0; 2) đường thẳng (d) qua O Gọi H hình chiếu vng góc A lên (d) Viết phương trình đường thẳng (d) biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH 16 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d1) : x − 2y − = (d2) : x + y + = Tìm tọa độ
điểm M thuộc (d1) cho khoảng cách từ M đến (d2)
1 √
2
17 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(1; 1) Hãy tìm điểm B đường thẳng y = đểm C trục hoành cho tam giác ABC
18 Cho điểm M (2; 1) đường tròn (C) : x2+ y2− 2x − 4y = Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho −−→M A = −3−−→M B
19 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2+ y2 = 25 đường tròn (T ) : x2+ (y − 8)2= Một đường thẳng (d) cắt (C) A B; cắt (T ) C D thoả mãn AB = BC = CD Viết phương trình đường thẳng (d)
20 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) : x + y − = 0, hai điểm A(1; 2) B(3; 4) Tìm (d) điểm M cho tổng khoảng cách M A + M B nhỏ
21 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M (4; 1) Lập phương trình đường thẳng (d) cắt hai tia Ox, Oy hai điểm A B cho:
(a) Diện tích tam giác OAB nhỏ (b) OA + OB nhỏ
(c)
OA2 +
1
(13)22 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B C, biết điểm E(1; −3) nằm đường cao qua đỉnh tam giác
23 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −7), trực tâm H(3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(−2; 0) Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hồnh độ dương
24 Cho tam giác ABC cân A(−1; 4) B, C thuộc đường thẳng (d) : x − y − = Xác định tọa độ điểm B C, biết diện tích tam giác ABC 18
25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường trung tuyến, phân giác trong, đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C :AM : 7x − 5y = 0, BD : x − 2y − 30 = 0, CK : x − y + 16 = Tính diện tích tam giác ABC
26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : 4x + 2y − = hai điểm A(4; 0) B(3; 3) Xét điểm M thuộc ∆ Trên tia OM lấy điểm N cho OM.ON = Tìm tọa độ điểm N cho tam giác N AB có diện tích lớn
27 Trong mặt phẳng Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H(−1; −1), đường phân giác góc A có phương trình x − y + = đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y − =
28 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(−1; 7), B(4; −3), C(−4; 1) Hãy viết phương trình đường trịn (C) nội tiếp tam giác ABC
29 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C1) : (x − 10)2+ y2= 25 Viết phương trình đường tròn (C2)
tâm K(5; 1) biết đường tròn (C2) cắt (C1) hai điểm M, N cho M N =
√ 30 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng (d1) :
√
3x + y = (d2) :
√
3 − y = Gọi (T ) đường tròn tiếp xúc với (d1) A, cắt (d2) hai điểm B C cho tam giác ABC vng
Viết phương trình đường trịn (T ), biết diện tích tam giác ABC √
3
2 A có hồnh độ dương 31 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 2)2+ y2 =
5 hai đường thẳng (d1) : x − y = 0, (d2) : x − 7y = Xác định tọa độ tâm K bán kính đường trịn (C), biết (C1) tiếp xúc với
(d1), (d2) tâm K thuộc (C)
32 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2+y2−6x−4y+8 = đường thẳng (d) : 2x−y+6 = Tìm tọa độ điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến (d) có giá trị nhỏ
33 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm E(−1; 0) đường tròn (C) : x2+ y2− 8x − 4y − 16 = Viết phương trình đường thẳng (d) qua E cắt (C) theo dây cung M N có độ dài ngắn
34 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng (d) : x + my − 2m + = 0, với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để (d) cắt (C) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB lớn
35 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2− 6x + 2y − 15 = Tìm tọa độ điểm M đường thẳng (d) : 3x − 22y − = 0, cho từ M kẻ tới (C) hai tiếp tuyến M A, M B (A, B tiếp điểm) mà đường thẳng AB qua C(0; 1)
36 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C1) : (x − 1)2+ y2 =
1
2, (C2) : (x − 2)
2+ (y − 2)2 = Viết
phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C1) cắt (C2) hai điểm M, N cho M N =
√ 37 Cho (E) : x
2
9 +
y2
5 = Tìm M ∈ (E) cho:
(14)(b) M nhìn đoạn nối tiêu điểm góc 600 (c) M nhìn đoạn nối tiêu điểm góc 900.
38 Cho A(3; 0) Tìm B, C elip (E) : x
2
9 +
y2
3 = cho B, C đối xứng qua Ox đồng thời thỏa mãn tam giác ABC
39 Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) : 9x2+ 25y2 = 225 điểm M (1; 1) Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt (E) hai điểm phân biệt A, B cho−−→M A +−−→M B = ~0
40 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2;√3) elip (E) : x
2
3 +
y2
2 = Gọi F1, F2 tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm
đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AN F2
8 Phương pháp tọa độ không gian:
1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) đường thẳng (d) : x −
2 =
y =
z − 2 (a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A d
(b) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : x + y + z − = (Q) : x − y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (R) vng góc với (P ) (Q) khoảng cách từ O đến (R)
3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; −2; 1), C(−2; 0; 1) (a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua ba điểm A, B, C
(b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Q) : 2x + 2y + z − = cho M A = M B = M C Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; −2; −2) mặt phẳng (P ) : x − y − z + =
Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, vng góc với (P ) biết mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy, Oz M, N phân biệt cho OM = ON
5 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho mặt cầu (S) : x2 + y2+ z2+ 2x − 2y + 2z − = hai điểm A(3; 1; 0), B(2; 0; −2) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A B cho thiết diện (P ) với khối cấu (S) hình trịn có diện tích π
6 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : a =
y +
−1 =
z −
3 mặt phẳng (P ) qua ba điểm A(7; 0; 0), B(0; 7; 0), C(0; 0; 7) Hãy viết phương trình đường thẳng (d0) hình chiếu (d) lên (P )
7 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng (α) qua M (3; 2; 1) cắt ba tia Ox, Oy, Oz ba điểm A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : x −
2 =
y =
z +
−1 mặt phẳng (P ) : x − 2y + z = Gọi C giao điểm (d) với (P ), M điểm thuộc (d) Tính khoảng cách từ M đến (P ), biết M C =√6
9 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), (0; 0; c), b, c dương mặt phẳng (P ) : y − z + = Xác định b, c, biết mặt phẳng (ABC) vng góc với (P ) khoảng cách từ điểm O đến (ABC)
(15)10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x − 2y − z − = mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2− 2x − 4y − 6z − 11 = Chứng minh (P ) cắt mặt cầu theo đường tròn.
Xác định tâm bán kính đường trịn
11 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −3), B(2; 0; −1), C(2; −2; −3) Tìm tọa độ điểm M cách ba điểm A, B, C khoảng cách từ M đến (ABC) = √4
3
12 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A0(0; 0; 1) Gọi M N trung điểm AB CD
(a) Tính khoảng cách A0C M N
(b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A0C tạo với mặt phẳng Oxy góc α, biết cos α = √1 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2− 2x + 4y + 2z − =
mặt phẳng (P ) : 2x − y + 2z − 14 =
(a) Viết phương trình mặt (Q) chứa Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính (b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến (P ) lớn
14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) :
x −
3 =
y +
−1 =
z +
2 ,
(d2) :
(
x + y − z − = x + 3y − 12 =
(a) Chứng minh (d1) (d2) song song với Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa (d1)
và (d2)
(b) Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt (d1), (d2) A, B Tính diện tích tam giác OAB
15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) :
x
2 =
y −
−1 =
z +
1 , (d2) :
x = −1 + 2t y = + t z =
và mặt phẳng (P ) : 7x + y − 4z =
(a) Chứng minh (d1) (d2) chéo
(b) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P ) cắt (d1), (d2)
16 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) :
x = + t y = + t z = + 2t
và M (2; 1; 4) Tìm
tọa độ điểm H thuộc (d) cho độ dài đoạn M H nhỏ
17 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) :
x = + t y = − t z = 2t
, (d2) :
(
x + 2z − = y − z + = Lập phương trình đường thẳng vng góc chung (d1), (d2)
18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : x −
2 =
y −
1 =
z
1 hai điểm A(1; 1; 0), B(2; 1; 1) Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A, (∆) ⊥ (d) cho khoảng cách từ B đến đường thẳng (∆) lớn
19 Trong kg với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(−1; 0; 2), (P ) : 2x−y −z +3 = 0, (d) : x −
2 =
y −
4 =
z −
1
(16)20 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − y + 2z + = hai đường thẳng (d1) :
x = + t y = −1 + 2t z = −3
, (d2) :
x = + 9u y = 10 − 2u z = − u
Lập phương trình đường thẳng (∆) cắt (d1)
A, cắt (d2) B cho đường thẳng (∆) song song với mặt phẳng (P ) khoảng cách từ (∆) đến
(P ) √3
21 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(−1; 3; −2), B(−9; 4; 9) mặt phẳng (P ) : 2x − y + z + = Tìm M thuộc (P ) cho M A + M B nhỏ
22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 1; 0), B(3; −1; 4) đường thẳng (d) có phương trình x +
1 =
y −
−1 =
z +
2 Tìm M ∈ (d) cho M A + M B nhỏ
23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) đường thẳng (d) có phương trình x +
2 =
y −
3 =
z +
2 Tính khoảng cách từ A đến (d) Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt (d) hai điểm B, C cho BC =
24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho (d) : x
2 =
y −
1 =
z
2 Xác định tọa độ M trục hoành cho khoảng cách từ M đến (d) OM
25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), C(1; 1; 0) mặt phẳng (P ) : x + y + z − 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc AB cho (CD) song song (P )
26 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d1) :
x = + t y = −1 − t z =
, (d2) :
x = − u y = + 2u z = u
Lập phương trình mặt cầu (S) có đường kính đoạn vng góc chung (d1) (d2)
27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : (
2x + 4y − z − =
4x + 5y + z − 14 = , mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z − = 0, (Q) : x + 2y − 2z + = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm (d) tiếp xúc với (P ) (Q)
28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm I(2; 3; −1) đường thẳng (d) (
5x − 4y + 3z + 20 = 3x − 4y + z − = Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt (d) hai điểm A, B cho AB = 10
29 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 3)2+ (y + 2)2+ z2 = 11 hai đường thẳng (d1) :
x =
y +
1 =
z − , (d2) :
x +
1 =
y =
z
1 Lập phương trình mặt phẳng song với (d1), (d2) tiếp xúc với (S) Lập phương trình đường thẳng qua tâm (S) cắt (d1), (d2)
30 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : x −
2 =
y +
1 =
z −
2 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; 3) cắt (d) A, B cho tam giác IAB vuông I
9 Số phức:
1 Cho z số phức Đặt ω = z2− 2z + số phức Tìm phần thực phần ảo ω Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z để ω số thực
(17)(a) số ảo (b) số thực âm
(c) số thực dương (d) có mơđun
3 Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn (2 − z)(i + ¯z) số thực
4 Cho số phức z thỏa mãn ¯z = (1 − √
3i)3
1 − i Tìm mơđun số phức ¯z + iz
5 Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z2+ 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức |z1|2+ |z2|2
6 Cho phương trình z2− mz − 6i = (m tham số) (a) Giải phương trình m = 4i√2
(b) Tìm m để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm
7 Gọi z1,z2 hai nghiệm phức phương trình:z2− (m + 4i)z − + 7i = 0.Tìm số phức m cho
z1
z2
+z2 z1
= + i
8 Gọi z1, z2là nghiệm phức phương trình 2z2−(1−2i)z+3+5i = Tính P = z13+z32, Q =
1 z14+
1 z24 Tìm số phức z thỏa mãn |z − (2 + i)| =√10 z.¯z = 25
10 Tìm số phức z thỏa mãn |z| z2 số ảo
11 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z − i| = |(1 + i)z| 12 Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
(a) |z − + 2i| = (b) |z + i − 2| ≤
(c) 2z +
z − số ảo với z 6=
13 Tìm phần ảo số phức z, biết ¯z = (√2 + i)2(1 −√2i) 14 Tìm phần thực phần ảo số phức z = (1 − i)2012 15 Tìm số phức z thỏa mãn z.¯z + z2− (z − 2¯z) = 10 + 3i 16 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
z − z − i
=
z − 3i + i
=
17 Giải phương sau tập hợp số phức: 4z − − 7i
z − i = z − 2i
18 Trong tất số phức z thỏa mãn điều kiện (z − 2)(z + i) số thực Hãy tìm số phức z để biểu thức P = |z + 2i| + |z + 1| đạt giá trị nhỏ
19 Tìm số phức z có môđun cho |z − + 2i| nhỏ
20 Xét số phức z thỏa mãn: |z − 3i + 4| = Tìm z cho P = z2+ − 24i
đạt giá trị nhỏ
(18)22 Cho z số phức thay đổi thoả mãn: |z + − i| = Tìm z để P = |z − − 2i|2+ |z − + 4i|2 đạt giá trị nhỏ
23 Tìm số phức z có phần thực lớn nhất, biết z thỏa mãn: |z| + 100
z − − 4i z + + 4i
= 15 24 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1− z2| = |z2| |z1+ z2| =
√
3 |z1|, (z1, z2 6= 0) Tính
A = z14+ z24
z1
+ z2
4
25 Tìm số phức z1, z2 (z1, z2 6= 0) Biết z1+
1 z2
= + 2i z2+
1 z1
= −
3 2i
10 Tổ hợp, xác suất thống kê: (Bổ sung sau)