Đề cương ôn tập Toán 9 theo từng chủ đề

Đại số Căn thức rút gọn biểu thức CHủ đề 1: I thức: Kiến thức bản: Điều kiện tồn : A Có nghĩa A Hằng đẳng thức: Liên hệ phép nhân phép khai phơng: A2 = A A.B = A = B Liên hệ phép chia phép khai phơng: Đa thừa số căn: Đa thừa số vào căn: A B = A A B = B A A ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B ( A < 0; B ≥ 0) B A.B B = C Trục thức mẫu: A B = ( A ≥ 0; B > 0) B ( B ≥ 0) A B = − A B Khử thức mẫu: ( A 0; B ≥ 0) A B ( B > 0) C( A B ) AB Bài tập: Tìm điều kiện xác định: Với giá trị x biểu thức sau xác định: 3) 2x +3 2) 5) 3x + 6) + x  Rút gọn biểu thức Bµi1 1) 12 + − 48 4) 12 − 27 + 48 2) 5) 7) 8) 20 − 45 + 1 + −2 +2 10) x +3 4) −5 x +6 7) x2 1) −2x 8) −3 3x + 12 + 75 − 27 3) 6) ( + 2) − 2 9) 11) + 20 − 45 2 − −3 +3 13) 15) ( − ) − 120 17) (1 − ) + ( + 3) 19) ( − 3) + ( − 2) 12) 32 + −5 18 18 − + 162 1 − −1 +1 2+ 1+ 14) ( 14 − ) + 28 ( 28 − 14 + 7) + 16) (2 − ) + + 24 18) ( − 2) + ( −1) 20) ( 19 −3)( 19 +3) 21) x + ( x −12) ( x ≥ 2) 23) 7+ + 7− x + y − ( x − xy + y ) ( x ≥ y ) Bµi2: 1) (3 + 2 ) + 15 + - 22) (3 − ) 2) 5) −2 15 4+2 + 4−2 −  Giải phương trình: 1) x −1 = 2) x − 7− 7+ (2 − ) − (2 + ) (5 + ) + −2 2 15 3) ( − 3) + 6) ( ) +3 4) 5 − −2 3+ =3 3) 9( x −1) = 21 4) x − 50 = 5) x − 12 = 6) ( x −3) = 7) x + x +1 = 8) (2 x −1) = 9) x = 10) 4(1 − x) − = 11) x + = 12) 3 − x = −2 II c¸c toán rút gọn: A.các bớc thực hiên: Phân tích tử mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn đợc) Tìm ĐKXĐ biểu thức: tìm TXĐ phân thức kết luận lại Quy đồng, gồm bớc: + Chọn mẫu chung : tích nhân tử chung riêng, nhân tử lấy số mũ lớn + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nhân nhân tử phụ với tử Giữ nguyên mẫu chung Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: cộng trừ hạng tử đồng dạng Phân tích tử thành nhân tử ( mẫu giữ nguyên) Rút gọn B.Bài tËp luyÖn tËp: x 2x − x − Bài Cho biểu thức : A = với ( x >0 x ≠ 1) x −1 x − x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x = + 2 a+4 a +4 4−a + Bài Cho biểu thức : P = ( Với a ≥ ; a ≠ ) a +2 2− a 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị a cho P = a + Bài 3: Cho biểu thức A = x +1− x x + x + x −1 x +1 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị x A< -1 Bµi 4: Cho biểu thức A = (1 + x+ x x− x )(1 − ) x +1 x −1 ( Với x ≥ 0; x ≠ ) a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - Bµi 5: Cho biÓu thøc : B = x a; Tìm TXĐ rút gọn biểu thức B b; Tính giá trị B với x =3 c; Tìm giá trị x để A = Bài 6: Cho biểu thức : P = a; Tìm TXĐ b; Rút gọn P c; Tìm x để P = Bµi 7: Cho biĨu thøc: x +2 + x 1− x x +1 x −2 Q=( + x x +2 + +5 x 4−x 1 a +1 − ):( − a −1 a a −2 a +2 ) a −1 a; Tìm TXĐ rút gọn Q b; Tìm a để Q dơng c; Tính giá trị Biểu thức biết a = 9-    a a− a a+ a   Bµi 8: Cho biĨu thøc: M =  −   a + − a −  a   a/ Tìm ĐKXĐ M b/ Rút gọn M Tìm giá trị a để M = - Bµi : Cho biĨu thøc : K = a Tìm x để K có nghĩa b Rút gọn K c T×m x K= 15 x − 11 x + x −3 x 1− x − x +3 x +3 d Tìm giá trị lín nhÊt cđa K  x −2 x +  x − 2x +1   − G=  x + x +1   x −1  Bµi 10 : Cho biĨu thøc: + Xác định x để G tån t¹i Rót gän biĨu thøc G TÝnh sè trị G x = 0,16 Tìm gía trị lớn G Tìm x Z để G nhận giá trị nguyên Chứng minh : Nếu < x < M nhận giá trị dơng Tìm x để G nhận giá trị âm x +2 + P=   Bµi 11 : Cho biĨu thøc:  x x −1 x x + x +1 +  : 1− x   x −1 Víi x ≥ ; x ≠ a Rót gän biĨu thøc trªn b Chøng minh r»ng P > víi mäi x≥ vµ x ≠  Q=   Bµi 12 : cho biĨu thøc 2+2 a + 2−2 a − a +1   .1 +  a 1− a2 a Tìm a dể Q tồn b Chứng minh : Q không phụ thuộc vào giá trị a Bài 13: Cho biểu thức : A= x3 xy − y + 2x xy + y − x − 1− x x 1− x a) Rút gọn A b) Tìm số nguyên dơng x để y = 625 A < 0,2  a Bµi 14:XÐt biĨu thøc: P=   a +4 1)Rót gän P + a a −4 + 4( a + 2)   a +5   : 1 −  16 − a   a +4   (Víi a ≥0 ; a ≠ 16) 2)Tìm a để P =-3 3)Tìm số tự nhiên a để P số nguyên tố -CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc I hàm số: Khái niệm hàm số * Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x cho giá trị x, ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số x x đợc gọi biến số * Hàm số cho công thức cho bảng II hàm số bậc nhất: Kiến thức bản: Định nghĩa: Hàm số bậc có dạng: y = ax + b Trong a; b hệ số a Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y = ax + b lµ hµm sè bËc nhÊt lµ: a ≠ VÝ dơ: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (1) Tìm giá trị m để hàm số (1) hàm số bậc Giải: Hàm sè (1) lµ bËc nhÊt ⇔ − m ≠ ⇔ ⇔ m ≠  TÝnh chÊt: + TX§: ∀x ∈ R + §ång biÕn a > NghÞch biÕn a < VÝ dơ: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (2) Tìm giá trị m để hàm số (2): + Đồng biến R + Nghịch biến R Giải: + Hàm số (1) Đồng biến ⇔ − m > ⇔ ⇔ m < + Hàm số (1) Nghịch biến − m < ⇔ ⇔ m > Đồ thị: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b cắt trục hoành điểm có hoành độ b a + Từ đặc điểm ta có cách vẽ đồ thị hàm sè y= ax+b: Cho x=0 => y=b => ®iĨm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) (-b/a;0) đồ thị hàm số y= ax+b Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + Giải: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hµm sè y = 2x + Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) (-1/2;0) đồ thị hàm số y = 2x + Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + C¾t nhau: (d1) c¾t (d2) ⇔ a a , */ Để hai đờng thẳng cắt trục tung cân thêm điều kiện b = b ' */ Để hai đờng thẳng vuông gãc víi th× : a.a ' = −1 + Song song víi nhau: (d1) // (d2) ⇔ a = a , ; b ≠ b ' + Trïng nhau: (d1) ≡ (d2) ⇔ a = a , ; b = b ' VÝ dơ: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + (d1) Và y = x – m (d2) a/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số song song với b/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt c/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trục tung Gi¶i: a/ (d1)//(d2) ⇔  m=−  m=  ⇔  ⇔ { m=  2≠ − m  m≠ − b/ (d1) c¾t (d2) ⇔ − m ≠ ⇔ m ≠ c/ (d1) cắt (d2) điểm trục tung ⇔ − m = ⇔ m = −2  Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b a + Cách tính góc tạo đờng thẳng với trục Ox dựa vào tỉ số lợng giác tg = a ã Trờng hợp: a > góc tạo đờng thẳng với trục Ox góc nhọn ã Trờng hợp: a < góc tạo đờng thẳng với trục Ox góc tï ( 180 − α ) VÝ dô 1: Tính góc tạo đờng thẳng y = 2x + víi trơc Ox Gi¶i: Ta cã: Tgα = = Tg 630 ⇒ α = 630 VËy gãc t¹o đờng thẳng y = 2x + với trục Ox lµ: α = 63 VÝ dơ 2: TÝnh góc tạo đờng thẳng y = - 2x + víi trơc Ox Ta cã: Tg (180 − α ) = = Tg 630 ⇒ (180 − α ) = 630 ⇒ α = 117 Vậy góc tạo đờng thẳng y = - 2x + víi trơc Ox lµ: α = 117 Các dạng tập thờng gặp: - Dng1: Xỏc dịnh giá trị hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường thẳng song song; ct nhau; trựng Phơng pháp: Xem lại ví dơ ë trªn -Dạng 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b Xem lại ví dụ ë trªn Xác định toạ độ giao điểm hai đường thẳng (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, Phơng pháp: Đặt ax + b = a,x + b, giải phơng trình ta tìm đợc giá trị x; thay giá trị x vào (d1) (d2) ta tính đợc giá trị y Cặp giá trị x y toạ độ giao điểm hai đờng thẳng Tớnh chu din tớch ca cỏc hỡnh to bi cỏc ng thng: Phơng pháp: +Dựa vào tam giác vuông định lý Py ta go để tính độ dài đoạn thẳng trực tiếp đợc Rồi tính chu vi tam giác cách cộng cạnh + Dựa vào công thức tính diện tích tam giác để tính S -Dng 3: Tính góc α tạo đường thẳng y = ax + b v trc Ox Xem lại ví dụ -Dạng 4: Điểm thuộc đồ thị; điểm không thuộc đồ thị: Phơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bËc nhÊt: y = ax + b §iĨm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 điểm M không thuộc đồ thị -Dạng 5: Viết phơng trình đờng thẳng: Ví dụ: Viết phơng trình ®êng th¼ng y = ax + b ®i qua ®iĨm P (x0; y0) điểm Q(x1; y1) Phơng pháp: + Thay x0; y0 vµo y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vµo y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị a b + Thay giá trị a b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm -Dạng 6: Chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định chứng minh đồng quy: Ví dụ: Cho đờng thẳng : (d1) : y = (m2-1) x + m2 -5 ( Víi m ≠ 1; m ≠ -1 ) (d2) : y = x +1 (d3) : y = -x +3 a) C/m m thay đổi d1 ®i qua 1®iĨm cè ®Þnh b) C/m r»ng d1 //d3 d1 vuông góc d2 c) Xác định m để đờng thẳng d1 ;d2 ;d3 đồng qui Giải: a) Gọi điểm cố định mà đờng thẳng d1 ®i qua lµ A(x0; y0 ) thay vµo PT (d1) ta cã : y0 = (m2-1 ) x0 +m2 -5 Víi mäi m => m2(x0+1) -(x0 +y0 +5) =0 víi m ; Điều xảy : x0+ =0 x0+y0+5 = suy : x0 =-1 Y0 = - Vậy điểm cố định A (-1; - 4) b) +Ta tìm giao điểm B (d2) (d3) : Ta có pt hoành độ : x+1 = - x +3 => x =1 Thay vµo y = x +1 = +1 =2 VËy B (1;2) Để đờng thẳng đồng qui (d1) phải qua điểm B nên ta thay x =1 ; y = vµo pt (d1) ta cã: = (m2 -1) + m2 -5 m2 = => m = vµ m = -2 VËy víi m = m = - đờng thẳng đồng qui Bài tập: Bi 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) (d2) cắt 2) Với m = – , vẽ (d1) (d2) mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) (d2) phép tính Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m ≠ 0) y = (2 - m)x + ; ( m ≠ 2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên: a) Song song b) Cắt Bài 5: Víi giá trị m hai đường thẳng y = 2x + 3+m y = 3x + 5- m cắt điểm trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với (d’): y = −1 x cắt trục hoành điểm có hồnh độ 10 Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) B(-1;3) Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = x + (d2): y = − x + 2 a/ Vẽ (d1) (d2) hệ trục tọa độ Oxy b/ Gọi A B giao điểm (d1) (d2) với trục Ox , C giao điểm (d1) (d2) Tính chu vi diện tích tam giác ABC (đơn vị hệ trục tọa độ cm)? Bài 9: Cho đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) víi m ≠ (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Với giá trị m (d1) // (d2) b; Với giá trị m (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao ®iĨm Khi m = c; C/m r»ng m thay đổi đờng thẳng (d1) qua ®iĨm cè ®Þnh A ;(d2) ®i qua ®iĨm cè ®Þnh B TÝnh BA ? Bài 10: Cho hµm sè : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị song song với y = 2x +3 qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo đờng thẳng với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng với đờng thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị m để đờng thẳng song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2 CHủ đề 3: hệ hai phơng trình bậc hai ẩn I kháI niệm: Phơng trình bậc hai ẩn: +Dạng: ax + by = c a; b; c hệ số đà biết( a ≠ hc b ≠ 0) + Mét nghiƯm cđa phơng trình cặp số x0; y0 thỏa mÃn : ax0 + by0 = c + Phơng trình bậc hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã vô số nghiệm + Tập nghiệm đợc biểu diễn ®êng th¼ng (d): ax + by = c NÕu a 0; b đờng thẳng (d) đồ thị a b c b hàm số bậc nhÊt: y = − x +  HÖ hai phơng trình bậc hai ẩn: ax + by = c.(1) + D¹ng:  , , ,  a x + b y = c (2) + NghiƯm cđa hệ nghiệm chung hai phơng trình + Nếu hai phơng trình nghiệm chung ta nói hệ vô nghiệm + Quan hệ số nghiệm hệ đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phơng trình (1) đợc biểu diễn đờng thẳng (d) -Phơng trình (2) đợc biểu diễn đờng thẳng (d') *Nếu (d) c¾t (d') hƯ cã nghiƯm nhÊt *NÕu (d) song song với (d') hệ vô nghiệm *Nếu (d) trùng (d') hệ vô số nghiệm Hệ phơng trình tơng đơng: Hai hệ phơng trình đợc gọi tơng ®¬ng víi nÕu chóng cã cïng tËp nghiƯm Ii.ph¬ng pháp giảI hệ phơng trình: Giải hệ phơng trình phơng pháp thế: a) Quy tắc thế: + Bớc 1: Từ phơng trình hệ đà cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phơng trình thứ hai để đợc phơng trình (chỉ ẩn) + Bớc 2: Dùng phơng trình để thay cho phơng trình thứ hai hệ (phơng trình thứ thờng đợc thay bëi hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo Èn có đợc bớc 1) Ví dụ: xét hệ phơng tr×nh:  x − y = 1.(1)   3x + y = 3.(2) + Bíc 1: Tõ phơng trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gäi lµ rót x) ta cã: x = + y.(*) Thay x = + y.(*) vµo phơng trình (2) ta đợc: 3(1 + y ) + y = 3.(**) + Bíc 2: ThÕ ph¬ng trình (**) vào phơng trình hai hệ ta có:  x = 1+ 2y   3(1 + y) + y = b) Gi¶i hƯ :  x = 1+ 2y  x = + y  x = 1+ y  x =  ⇔  ⇔  ⇔  3 (1 ) yy =++ 32 3 yy =++ 326  y=  y= VËy hƯ ph¬ng tr×nh cã mét nghiƯm (x = 1; y = 0) Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bớc 1: Cộng hay trừ vế hai phơng trình hệ hệ phơng trình đà cho để đợc phơng trình + Bớc 2: Dùng phơng trình thay cho hai phơng trình hệ (và giữ nguyên phơng trình kia) Lu ý: Khi hệ số ẩn đối ta cộng vÕ theo vÕ cđa hƯ Khi c¸c hƯ sè cđa cïng mét Èn b»ng th× ta trõ vÕ theo vÕ cđa hƯ Khi hƯ sè cđa cïng mét Èn không không đối ta chọn nhân với số thích hợp để đa hệ số ẩn đối (hoặc nhau).( tạm gọi quy đồng hệ số) tập: Giải hệ phơng trình phơng pháp 4x + y =   8x + y =  2x − 3y =    − 4x + y =    x− y = m   2x + y = 2 x + y =   5 x − y = x + y = − x − y =     3 x + y =  x y = Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số x − 11y = −    10 x + 11y = 31  3x + y = −   3x − y = −  3x + y =   2x − y =  3x + y =    2x − y =  − 5x + y =    6x − 3y = −  2x + y =   x − 15 y =   3x + y =   x− y = 3 x − y =   x + y = 2x − 3y =   −4x + 6y =  2x + y =    2x − y =  x − y = 11   − 4x + y =  3x − y =   6x − y = Đặt ẩn phụ giải hệ phơng trình sau  2( x + y) + 3( x − y) =    ( x + y ) + 2( x − y ) =  Các tập tự luyện x+ x  = y = y 5    x− +    −  x−  =2 y1 =1 y1 Bài Giải hệ phơng tr×nh sau :  2x − y = −   2x − y = x+ y= c)   2x − 3y = −  2x + y =   − 10 x − y = 20  2x + y = − d)   5x + y = − a) e) b)  3x + y = −   6x + y + = Bài : Giải hệ phơng trình sau : a) x+ 1 − x  = y = y 1 x −  b)  3+ x Bài : Cho hệ phơng trình =2 y− − 1= y−  ( m − 3) x + y =   x− y = x 2−  f)  x+ 4  y =1 2y =8  −  x + 2y x − 2y =  c)   20 + =  x + 2y x − 2y  a) Giải hệ phơng trình m = b) Với giá trị m hệ phơng trình nhËn cỈp sè ( x= ; y =- 6) làm nghiệm c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm ax y = Bài : Cho hệ phơng trình x + ay = a) Giải hệ phơng trình a = b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm tìm nghiệm c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm Bài : Cho hệ phơng trình ax y = a   − 2x + y = a + a) Giải hệ phơng trình a = -2 b) Tìm a để hệ phơng trình cã nghiƯm nhÊt, ®ã tÝnh x ; y theo a c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiƯm nhÊt tho¶ m·n: x - y = d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm thoả mÃn x y số nguyên  x + (m − 4) y = 16   (4 − m) x − 50 y = 80 Bài :a) Giải biện luận hệ phơng trình: (I) b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm hÃy tìm m để x+y lớn Bài 7* : Giải phơng trình sau : a) + x + − x = b) − x + x + = CHủ đề 4: hình học I hệ thức tam giác vuông: Hệ thức cạnh ®êng cao: + b = a.b , ; c = a.c , + h = b , c , + a.h = b.c 1 + = ,+ , h b c + a2 = b2 + c2 + a = b, + c, + b2 b, c c, = ; = c c, b2 b, Hệ thức cạnh góc: Tỷ số lợng giác: Sin = D K D K ; Cos = ; Tg = ; Cotg = H H K D Tính chất tỷ số lợng giác: 1/ NÕu α + β = 90 Th×: Sinα = Cosβ Cosα = Sinβ Tgα = Cotgβ Cotgα = Tgβ 2/Víi α nhọn < sin α < 1, < cos α < *sin2 α + cos2 α = *tg α = sin α /cos α *cotg α = cos α /sin α *tg α cotg =1 Hệ thức cạnh góc: + Cạnh góc vuông cạnh huyền nhân Sin góc đối: 10 Bài : Một ngời xe đạp từ A ®Õn B víi vËn tèc 24 km/h Lóc tõ B A, ngời có công việc bận cần theo đờng khác dễ nhng dài lúc km Do vận tốc lúc 30 km/h Lên thời gian thời gian 40 phút Tính quÃng đờng lúc Bài : ngời xe đạp từ A ®Õn B c¸ch 50 km sau ®ã 1h30’ mét ngời xe máy từ A đến B đến B sớm ngời xe đạp Tính vận tốc xe Biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp Bài : Hai ngời khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 44 km ngợc chiều họ gặp lúc 20 phút Tính vận tốc ngời biết vận tốc ngời từ A vận tốc ngời từ B km/h Bài : Từ hai địa điểm cách 126 km Có ngời ngời ô tô khởi hành lúc 30 phút Nếu ngợc chiều họ gặp lúc 10 giờ, chiều(ô tô phía ng ời bộ) ô tô đuổi kịp ngời bé lóc 11 giê TÝnh vËn tèc ngêi ®i bé ô tô Bài : Hai tỉnh A B cách 150 km Hai ô tô khởi hành lúc ngợc chiều nhau, gặp ë C c¸ch A 90 km NÕu vËn tèc vÉn không đổi nhng ô tô từ B trớc ô tô từ A 50 phút hai xe gặp quÃng đờng Tính vận tốc ô tô Bài 10 : Một ô tô dự định 120 km thời gian dự định nửa quÃng đờng đầu Ô tô với vận tốc dự định Xong xe bị hỏng lên phải nghỉ phút để sửa Để đến nơi xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h nửa quÃng đờng lại Tính thời gian xe lăn bánh quÃng đờng Bài 11 : Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian dự định sau đợc Ô tô bị chặn xe lửa 10 phót, ®ã ®Ĩ ®Õn B ®óng giê, xe phải tăng vận tốc km/ Tính vận tốc ô tô lúc đầu Bài 12 : Một quÃng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài km, đoạn xuống dốc dài km Một ngời từ A ®Õn B hÕt 40 phót, cßn ®i tõ B ®Õn A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc vận tốc lên dốc lúc vận tốc xuống dốc b»ng vËn tèc xuèng dèc vÒ) TÝnh vËn tèc xuèng dốc vận tốc lên dốc Bài 13 : Một ngời xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC đoạn xuống dốc CB Thời gian AB 20, thời gian BA Tính quÃng đờng AC, CB BiÕt vËn tèc xuèng dèc lµ 15 km/h, vËn tèc lên dốc 10 km/h (Vận tốc lên dốc lúc ®i b»ng vËn tèc lªn dèc lóc vỊ, vËn tèc xng dèc lóc ®i b»ng vËn tèc xng dèc lóc vỊ) Bµi 14 : Mét chiÕc thun khëi hµnh tõ mét bÕn s«ng A sau giê 20 mét ca nô chạy từ bến A đuổi theo gặp thun c¸ch bÕn A 20 km Hái vËn tèc cđa thuyền Biết ca nô chạy nhanh thuyền 12 km Bài 15 : Một ca nô xuôi khúc sông dài 90 km, ngợc 36 km Biết thời gian xuôi nhiều thời gian ngợc dòng giờ, vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc ca nô lúc xuôi dòng lúc ngợc dòng Bài 16 : Một ca nô từ A ®Õn B víi thêi gian ®· ®Þnh NÕu vËn tèc ca nô tăng km/h đến sớm giờ, ca nô giảm vận tốc km/h đến chậm Tính thời gian dự định vận tốc dự định Bài 17 : Một ca nô xuôi khúc sông từ A đến B dài 80 km trở từ B đến A tính vận tốc thực cuả ca nô Biết tổng thời gian ca nô xuôi ngợc hết 20 phút vận tốc dòng nớc km/h Bài 18 : Một ca nô chạy khúc sông giờ, xuôi dòng 180 km, ngợc dòng 63 km Một lần khác ca nô chạy giờ, xuôi dòng 81 km, ngợc dòng 84 km Tính vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nớc Bài 19 : Trên khúc sông ca nô xuôi dòng hết chạy ngợc dòng hết Biết vận tốc dòng nớc km/h Tính chiều dài khúc sông vận tốc ca nô lúc nớc yên lặng 23 Bài 20 : Hai ca nô khởi hành lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút, sau chạy tiếp Tính chiều dài khúc sông, biết hai cô nô đến nơi lúc Bài 21 : Hai ca nô khởi hành từ hai bến A B cách 85 km ngợc chiỊu Sau giê 40 ca n« gặp Tính vận tốc riêng ca nô Biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ng ợc dòng km/h Và vận tốc dòng nớc km/h Bài 22 : Hai bến sông A, B cách 40 km, mét lóc víi ca n« xu«i tõ bÕn A cã mét chiÕc bÌ tr«i tõ bÕn A víi vËn tèc km/h sau đến B ca nô trở bến A gặp bè trôi đợc km Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc riêng ca nô không đổi Bài 23 Một ôtô từ A cần tới B lúc 10 cách B 40 km Ngời lái xe thấy giữ nguyên vận tốc đến B lúc 10 10 phút Ngời đà tăng vận tốc thêm 10 kkm/h đến B lúc 10 10 phút Tính vận tốc lúc đầu ô tô Bài 24 Một ôtô từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc vận tốc tăng 10km/h Do thời gian thôừi gian 30 phút Tính vận tốc lúc Bài 25 Một ca nô xuôi dòng 44 km ngợc dòng trở lại 27 kmhÕt giê 30 BiÕt vËn tèc thùc ca nô 20 km/h Tính vận tốc dòng nớc Bài 26 Hai ngời quÃng đờng AB dµi 450 km vµ cïng khëi hµnh mét lóc VËn tèc ngêi thø nhÊt Ýt h¬n vËn tèc cđa ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ đến B sau ngêi thø hai lµ giê TÝnh vận tốc thời gian quang đờng AB ngời Bài 27 Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 km với vận tốc xác định Khi từ B A ngời vòng đờng khác dài ®êng cị 29 km nhng víi vËn tèc lín h¬n vận tốc lúc km/h Tính vận tốc lúc Biết thời gian nhiều thời gian 30 phút Bài 28.Hai ngời xe đạp xuất phát từ A đến B VËn tèc cđa hä h¬n kÐm km/h nên họ đến B sớm muộn 30 phút tính vận tốc ngời , biết quÃng ®êng AB dµi 30 km Sư dơng tÝnh chÊt Bµi 29 Một ca nô xuôi từ bến A đến bÕn B , cïng mét lóc ®ã cã mét ngêi ®i bé tõ bÕn A däc theo bê s«ng híng đến B Sau dợc 24km ca nô quay lại gặp ngời địa điểm cách bÕn A 8km TÝnh vËn tèc cđa ca n« nớc yên lặng , biết vận tốc ngời vận tốc dòng nớc 4km/h II Dạng toán chung - riêng Bài : Hai đội xây dựng làm chung công việc dự định làm xong 12 ngày, họ làm với đợc ngày đội đợc điều động làm việc khác, đội tiếp tục làm Do cải tiến kỹ thuật, suất tăng gấp đôi lên đội đà làm xong phần việc lại 3,5 ngày Hỏi đội làm bao ngày xong công việc (với suất bình thờng) Bài : An Bình làm chung công việc 20 phút xong Nếu An làm Bình làm hai ngời làm đợc xong công việc Hỏi ngời làm làm công việc Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 20 bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vòi thứ chảy 12 phút đầy bể Hỏi vòi chảy lâu đầy bể 15 Bài : Hai vòi nớc chảy sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy 10 đầy bể Hỏi vòi thứ hai chảy đầy bể Bµi : Hai líp 9A vµ 9B cïng tu sưa khu vêng thùc nghiƯm cđa nhµ trêng ngày xong Nếu lớp tu sửa muốn hành thành công việc lớp 9A cần thời gian lớp 9B ngày Hỏi lớp làm hoàn thành công việc 24 Bài : Hai tổ sản xuất nhận chung công việc.Nếu làm chung hoàn thành công việc Nếu để tổ làm riêng tổ làm xong công việc trớc tổ Hỏi tổ làm xong công việc Bài : Hai tổ đợc giao làm việc Nếu làm chung hoàn thành 15 giê NÕu tỉ lµm giê, tỉ làm làm đợc 30% công việc Hỏi làm tổ cần làm hoàn thành công việc Bài 8: Hai ngời làm chung công việc xong 50 Sau làm đợc Ngời thứ phải điều làm việc khác, nên ngời làm tiếp xong công việc Hỏi làm ngời làm xong Bài : Hai ngời thợ làm công việc, làm riêng ngời nửa công việc tổng cộng số làm việc 12h30 Nếu hai ngời làm chung hai ngời làm xong công việc Hỏi ngời làm riêng xong việc Bài 10 : Hai vòi nớc chảy vào bể sau 4 đẩy bể, môĩ lợng nớc vòi chảy l5 ợng nớc vòi Hỏi vòi chảy riêng đầy bể Bài 11 : Hai ngời thợ dự định làm chung công việc giê 12’ th× xong nhng thùc tÕ ngêi làm ngời tăng xuất lên gấp đôi làm hai ngời làm đợc việc Hỏi ngời làm công việc xong công việc công Bài 12 : Hai ngời thợ làm chung công việc 16 xong Nếu ngời thứ làm giờ, ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm công việc xong công việc II tăng xuất : Bài : Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ công nhân chuyển làm việc khác nên ng ời lại phải làm thêm dụng cụ Tính số công nhân tổ lúc đầu (năng suất ngời nh nhau) Bài : Hai đội thuỷ lợi gồm ngời đào đắp mơng Đội đào đợc 45 m3 đất, đội hai đào đợc 40 m3 Biết công nhân đội đào đợc nhiều ccông nhân đội 1m Tính số đất công nhân đội đào đợc Bài : Một máy kéo dự định ngày cày 40 Khi thực ngày đội máy kéo cày đợc 52 Vì đội đà cày xong trớc thời hạn ngày mà cày thêm đợc Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đà định Bài : Một tổ dệt khăn mặt, ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhng thực tế ngày đà dệt thêm đợc 60 chiếc, đà hoàn thành kế hoạch trớc ngày mà dệt thêm đợc 1200 khăn mặt so vơí kế hoạch Tìm số khăn mặt phải dệt theo kế hoạch lúc đầu Bài : Một máy bơm muốn bơm đầy níc vµo mét bĨ chøa thêi gian quy định phải bơm 10 m3 Sau bơm đợc dung tích bể chứa, ngời công nhân vận hành cho máy bơm với công suất lớn hơn, bơm đợc 15 m3 bể đợc bơm đầy trớc 48 phút so với thời gian quy định Tính dung tích bể chứa Bài : Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo suất dự kiến Thời gian làm theo suất tăng 10 sản phẩm ngµy kÐm ngµy so víi thêi gian lµm theo suất giảm 20 sản phẩm ngày ( tăng, giảm so với suất dự kiến) Tính suất dự kến theo kế hoạch Bài : tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng 2, tổ vợt mức 15%, tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy 25 Bài : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ sản xuất vợt mức 15%, tổ sản xuất vợt mức 20%, cuối tháng hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất đợc chi tiết máy ? Bài9 Một tàu đánh cá dự định trung bình ngày đánh bắt đợc 30 cá Nhng thực tế ngày đánh bắt thêm đợc nên đà hoàn thành kế hoạch sớm đợc ngày mà đánh bắt vợt mức 20 Hỏi số cá dự định đánh bắt theo kế hoạch bao nhiêu? Bài 10 Trong buổi lao động trồng cây, 15 học sinh nam nữ đà trồng đợc tất 180 Biết số bạn nam trồng đợc số bạn nữ trồng bạn nam trồng nhiều bạn nữ cây.Tính số học sinh nam nữ IV Toán hình học : Bài : Cạnh huyền tam giác vuông 10 m Hai cạnh góc vuông nhau2m Tìm cạnh góc vuông tam giác Bài : Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280m, ngời ta làm lối xung quanh vên ( thc ®Êt cđa vên) réng 2m Diện tích đất lại để trồng trọt 4256 m2 Tính kích thớc vờn Bài : Tỉ số cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông 13/12 cạnh lại 15m Tính cạnh huyền Bài : Tìm hai cạnh tam giác vuông biết cạnh huyền 13 cm, hiệu hai cạnh góc vuông cm Bài : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m Nếu chiều rộng tăng thêm m chiều dài tăng thêm m diện tích tăng thêm 195 m2 Tính kích thớc miếng đất Bài : Tìm kích thớc hình chữ nhật biết chu vi 120m, diện tíc 875m2 Bài : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy hình tam giác biết tăng cạnh đáy 4m giảm chiều cao tơng ứng 1m diện tích không đổi Bài : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng gấp đôi giảm chiều dài 10 m Thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200m2 Tính chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu Bài : Một tam giác vuông có chu vi 30 m, cạnh huyền 13 m Tính cạnh góc vuông Bài 10 : tính cạnh góc vuông tam giác vuông biết hiƯu cđa chóng b»ng m vµ diƯn tÝch tam giác 48 m2 Bài 11 Tính độ dài cạnh tam giác vuông , biết chúng số tự nhiên liên tiếp Bài12 Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhËt biÕt chu vi b»ng 34m , ®êng cao 13 m Bài13 Một tam giác vuông có cạnh huyền 15 cm hai cạnh góc vuông 3cm Tính độ dài cạnh tam giác vuông Bài14 Tính cạnh góc vuông tam giác vuôngcó cạnh huyền 10 Và cạnh góc vuông trung bình cộng cạnh cạnh huyền Bài15 Một sân tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy tam giác biết tăng cạnh đáy 4m giảm chiều cao tơng ứng 1m diện tích không đổi.S phần thứ hai : hình học I_chứng minh tứ giác nội tiếp Bài : Chứng minh tứ giác hình vẽ dới nội tiếp đợc đờng trßn 26 A A D B B N M C A C A D K E F O O x G H P Q Bài : Cho đờng tròn (O) điểm A bên đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn (O) M điểm tuỳ ý dây BC (MB ; M C) đờng thẳng vuông góc với OM M cắt AB, AC lần lợt D E CMR a Tứ giác ODBM tứ giác ABOC nội tiếp đờng tròn b M trung điểm DE Bài : Cho đờng tròn (O) cung AB S điểm cung Trên dây AB lấy hai điểm E H Các đờng thẳng SH , SE cắt đờng tròn (O) lần lợt C D CMR tứ giác EHCD nội tiếp đờng tròn Bài : Cho tứ giác ACDB (AB>CD) nội tiếp đờng tròn (O) Gọi S điểm cung nhỏ CD.đờng thẳng AD cắt BS E đờng thẳng BC cắt AS F CMR a Tứ giác AFEB nội tiếp đờng tròn b ED.EA= ES.EB c DC song song víi EF ∧ ∧ Bµi : Cho ∆ ABC nhọn đờng phân giác góc B góc C gặp S đờng phân giác B C gặp E a> CMR: tứ giác BSCE nội tiếp đờng tròn b> Gọi M tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE CMR tứ giác ABMC nội tiếp Bài 6: cho đờng tròn (0) điểm A đờng tròn Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (0) B C gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn ( MB ; MC ).Từ M kẻ MH vu«ng gãc víi BC, MK vu«ng gãc víi AC, MI vuông góc với AB a> chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b> chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK c> chứng minh MI.MK= MH2 Bài 7: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB M điểm đờng tròn(MA; M B) C điểm cạnh AB (CA; C0;CB) đờng vuông góc MC M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A B với đờng tròn (0) E va F chøng minh a> Tø gi¸c BCMF néi tiÕp mét đớng tròn b> Tam giác ECF vuông C Bài 8: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB CC cắt H a)chứng minh tứ giác BCBC nội tiếp Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BCBC b)Tia AO cắt đờng tròn (O) D, cắt BC I CMR tứ giác BIDC nội tiếp, từ suy AO ⊥ B’C’ c)Chøng minh H ®èi xøng với D qua trung điểm M BC Bài : cho (O; R) hai đờng kính AB CD vuông góc với E điểm cung nhá BC AE c¾t OC ë F, DE c¾t AB ë N a Chøng minh tø giøac CFMB néi tiếp, tìm tâm đờng tròn b Chứng minh : OE ; BF ; CM đồng quy Bài 10 : cho hai đờng tròn (O1) ; (O2) cắt E F ; O1O2 cắt (O1) A, C ; cắt (O2) B, D (sắp xếp theo thứ tự A, B, C, D) cắt EF H P điểm tia đối tia EH CP cắt (O 1) M ; BP cắt (O2) N ; AM cắt DN I chứng minh r»ng : a Tø gi¸c MPNI néi tiÕp 27 b HA HC = HB HD c Tø gi¸c BNMC néi tiếp d H ; I ; P thẳng hàng tứ giác ANMD nội tiếp II-Chứng minh đại lợng a.b=c.d (a,b,c,d độ dài đoạn thẳng) Bài : cho điểm A đờng tròn (O) từ A kẻ tiếp tuyến AT tới đờng tròn cát tuyÕn AEF ; APQ CMR : AT2 = AE AF = AP AQ Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O.Gọi I giao điểm hai đờng chéo AC BD.CMR :IA.ID = IB IC Bài : Cho BAC vuông A,đờng cao AH, gọi P,Q theo thứ tự hình chiếu H AB AC a Chứng minh : tứ giác BPQC nội tiếp đờng tròn b Chøng minh r»ng : AP AB = AQ AC c Gọi O O thứ tự trung điểm BH HC Gọi I giao điẻm PQ vµ AH d CMR : OI2 = OH OO’ Bµi 4: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB CD vuông góc với nhau.Trên cung nhỏ BC lấy điểm M.Gọi dao điểm AM CD K CMR :AM.AK =AD2 = BD2 = 2R2 Bµi : Cho đoạn thẳng AB , kẻ Bx AB Trên Bx lÊy mét ®iĨm O cho BO = AB Tia AO cắt đờng tròn (O ; OB) D E ( D nằm A O) đờng tròn (A ; AD) cắt AB C a Tìm vị trí tơng đối (A ; AC) với đờng tròn ( O ; OE) b Chứng minh r»ng : DE2 = AD AE c AC2 = BC AB Bài : cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi K tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC AK cắt BC I cắt đờng tròn (O) P Kẻ đờng kính PQ Gọi E F thứ tự giao điểm BK CK với đờng thẳng AQ Chứng minh r»ng a PC2 = PI PA b ®iĨm B, C, E, F thuộc đờng tròn Bài 7:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) (AC>AB) gọi D điểm cung nhỏ BC, P giao điểm AB CD, tiếp tuyến đờng tròn C cắt tiếp tuyến D cắt AD thứ tự E Q a Chứng minh r»ng : DE // BC b Chøng minh : DP DC = DA DQ c Chøng minh : DE // PQ d Gọi F giao điểm AD vµ BC Chøng minh 1 = + CE CQ CF III Chứng minh đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn Bài : Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB hai tia tiếp tuyến Ax, By Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn (O) C (c A, B) cắt Ax, By lần lợt E, F a Chøng minh OE vu«ng gãc víi OF b Chứng minh tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB c Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OEF Từ chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác OEF Bài : Cho đờng tròn (O), đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn A vẽ đờng tròn (I) đờng kính OA a Chứng minh hai đờng tròn (O) (I) tiÕp xóc víi b Qua A vÏ mét c¸t tuyến cắt đờng tròn (I) đờng tròn (O) lần lợt M C CMR : MA= MC c Đờng thẳng OM cắt d B Chứng minh : BC lµ tiÕp tun cđa (O) Bµi : cho nửa đờng tròn đờng kính AB C ; D hai điểm (C nằm A D) AC AD cắt tiếp tuyến Bx nửa đờng tròn lần lợt E F a Chøng minh ABD = AEF ; ABC = AEB b Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đờng tròn c Gọi I trung điểm FB.Chứng minh rằngDI tiếp tuyến nửa đờng tròn 28 d Giả sử CD cắt Bx G, phân giác CGE cắt AE AF thứ tự M N Chứng minh tam tiác AMN cân Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) E điểm cung AB Hai dây EC, ED cắt AB thứ tự P Q dây AD EC kéo dài cắt I Các dây BC ED kéo dài cắt K Chøng minh r»ng a Tø gi¸c CDIK néi tiÕp b Tø gi¸c CDPQ néi tiÕp c IK song song với AB d Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQP tiếp xúc với EA A Bài : Cho tam giác cân ABC(CA=CB) I trung điểm AB, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB A, cắt CI H a Chứng minh : H trực tâm tam giác ABC b Gọi B ®iĨm ®èi xøng víi B qua AC Chøng minh r»ng B thuộc đờng tròn (O) c Chứng minh ngợc lại : H trực tâm tam giác ABC đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHC tiếp xúc với AB Bài : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R dây cung thay đổi MN=R (M nằm cung AN) AM c¾t BN ë C ; AN c¾t BM ë D a Chøng minh tø gi¸c AMDN néi tiÕp đờng tròn tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN b Chứng minh CD vuông góc với AB c Chøng minh r»ng OM lµ tiÕp tun cđa đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN d Chứng minh CD =AB CD song song với đờng thẳng cố định Bài 8: Cho ba điểm thẳng hàng theo thø tù lµ A, B, C VÏ hai nưa đờng tròn đờng kính AB BC ( vẽ phía AC) đờng thẳng vuông góc với AC B lấy điểm D cho góc ADC = 900 gọi giao điểm DA DC với nửa đờng trònl E F Chứng minh r»ng a EF lµ tiÕp tun chung cđa hai nưa đờng tròn b Tứ giác AEFC nội tiếp đờng tròn c Xác định vị trí điểm B đoạn thẳng AC để tứ giác DEBF hình vuông Bài : Cho tam giác ABC nhọn AB < AC nội tiếp đờng tròn (O,R) H giao điểm đờng cao AM ; BN ; CP Q điểm đối xứng H qua trung điểm E cạnh BC Chứng minh góc PNB = BNM = CBQ Chøng minh r»ng : Q thuộc đờng tròn tâm (O) Từ A kẻ đờng thẳng xy song song với NP đờng thẳng cắt đờng thẳng BC K Chứng minh xy tiếp tuyến đờng tròn (O) AK2 = KB BC Gọi I điểm đối xứng O qua BC, tÝnh HI theo R IV.Chøng minh hai đờng thẳng song song vuông góc Bài : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O) đờng cao AH cắt đờng tròn (O) D, kẻ ®êng kÝnh AOE a Chøng minh r»ng : DE song song với BC b Gọi M điểm cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c Tính bán kính đờng tròn (O) biết BC = 24 cm ; IM = 8cm Bài : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, gọi S trung điểm AO, vẽ đờng tròn tâm S qua A a Chứng minh đờng tròn (O) (S) tiếp xúc với A b Một đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (S) M đờng tròn (O) P Chứng minh : SM // OP M trung điểm AP OM //BP Bài : Cho hai đờng tròn (O) (O) cắt hai điểm A B, vẽ đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O) C cắt đờng tròn (O) D (A nằm C D), vẽ đờng thẳng qua B cắt đờng tròn (O) E, cắt đờng tròn (O) với F (B nằm E, F) hai đờng thẳng CD EF không cắt bên hai đờng tròn Chứng minh CE // DE Bài : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự C D Các đờng thẳng AD BC c¾t ë N Chøng minh r»ng 29 a MN // AC b CD MN= CM BD Bµi :Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) đờng phân giác góc B, C lần lợt cắt đờng tròn E, F Dây cung EF cắt AC, AB lần lợt H, I a) Chứng minh tam giác FKB EAK cân b) Chứng minh tứ giác FIKN nội tiếp Từ suy IK // AC c) Có nhận xét tứ giác AIKH ? Bài : cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O;R) hai tiếp tuyến B D cắt T a Chứng minh r»ng OT// AB b Chøng minh r»ng : ba điểm O,C,T thẳng hàng c tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R Bài 7: Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC BD vuông góc với I Chứng minh : a) Khoảng cách từ O tới AB nửa độ dài CD b) Đờng thẳng qua I trung điểm BC vuông góc với AD Bài 8: Cho đờng tròn đờng kính BC Một điểm P đờng tròn có hình chiếu BC điểm A đờng tròn Giao PB, với PC với đờng tròn lần lợt M, N, giao AN với đờng tròn E Chứng minh : a) Bốn điểm A, B, N, P nằm đờng tròn b) EM vuông góc với BC Bài 9: Tam giác ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp mét ®êng tròn (O), ACB = 450 Các đờng cao AH, BH tam giác cắt đờng tròn lần lợt P, Q Hai đờng thẳng AQ BP giao S a) Chứng minh PQ đờng kính đờng tròn (O) b) Chứng minh tam giác ASH APQ hình bình hành c) Chứng minh tam giác ASH APQ d) Nếu tam giác ABC có góc B tù kết hay không ? chứng minh điều Bài 10: Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O).Các đờng phân giác góc B,và C lần lợt cắt đờng tròn E& F.Dây cung è cắt AC,AB lần lợt H; I CMR: a) MN//AC b) CD.MN = CM.BD Bài 11:Trong đờng tròn (O) cho 12 dây cung AC BD vuông góc với I CMR a)Khoảng cách từ O tơí AB nửa độ dài CD b)Đờng thẳng qua I trung điểm BC vuong góc với AD Bài 12: Cho đờng tròn đờng kính BC.Một điểm P nằm đờng tròn có hình chiếu BC điểm A đờng tròn Giao điểm PB PC với đờng tròn lần lợt M&N Gọi giao điểm AN với đờng tròn E CMR: a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm đờng tròn b)EN vuông góc với BC Bài 13:Tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O),ngoài góc ACB =450 Các đờng cao AH,BH tam giác cắt đờn tròn lần lợt P,Q Hai đờng thẳng AQ ,BP giao S CMR: a)PQ đờng kính đờng tròn(O) b) ACBS hình bình hành c)Các ASH vµ APQ lµ b»ng nhau: d) NÕu ∆ABC cã góc B tù kết hay không?Chứng minh điều II chứng minh ba điểm thẳng hàng Bài 1cho hai đờng tròn tâm O Ocắt Avà B từ B kẻ đờng kính BOC BOD a chứng minh rằng: ba điểm C,A,D thẳng hàng suy CD = 2OO b gọi M trung điểm dây cung chung AB CMR ba điêmt O,M,O thẳng hàng c biết OO= 5cm ; O’B= 3cm ; OB= 4cm tÝnh AB,AC vµ diƯn tích OBO Bài 3: 30 Cho hai điểm A, B cố định đờng tròn (O) Các điểm C, D di động đờng tròn cho AD//BC C, D ë vỊ cïng mét phÝa víi d©y AB ; M giao điểm AC, BD tiếp tuyến với đờng tròn A D cắt I Chứng minh a Ba điểm I, O, M thẳng hàng b Chứng minh bốn điểm A, B, M, P thuộc đờng tròn c Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDC hình số Bài 4: Cho M điểm di động nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM I cắt tiếp tuyến A đờng tròn (O) K Các tia AH, BM cắt S a Chứng minh tam giác ABS cân.Từ chứng minh S nằm đờng tròn cố định b Chứng minh KS tiếp tuyến đờng tròn (B, BA) c Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt đờng tròn (B, BA) t¹i N Chøng minh r»ng M, N, A thẳng hàng Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) với trực tâm H, AH kéo dài cắt đờng tròn E Kẻ đờng kính AOF a Chứng minh tam giác BCEF hình thang cân b Chøng minh BAE = CAF c Gäi I lµ trung điểm BC chứng minh H, I, F thẳng hàng VI phơng pháp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy Bài 1: Hai đờng tròn (O) ; (O) cắt A B Đờng thẳng vuông góc với AB B cắt đờng tròn (O) (O) lần lợt C, D Các đờng thẳng CA, DA cắt (O), (O) theo thứ tự E, F Chứng minh a) Tứ giác CFED nội tiếp b) AB phân giác góc FBE c) Các đờng thẳng CF, DE, AB nội tiếp Bài 2:Từ điểm C đờng tròn (O) kẻ cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vuông góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M vµ N a) Chøng minh r»ng IN, IM vµ AB ®ång quy t¹i mét ®iĨm D b) Chøng minh r»ng tiếp tuyến M N qua trung điểm E CD Bài 3: Cho hai đờng tròn (O, R) (O , R) tiếp xúc A(R>R) Đờng nối tâm OO cắt đờng tròn (O) (O) theo thứ tự B C(B C khác A) EF dây cung đờng tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, BC cắt đờng tròn (O) D VII toán tổng hợp toán khác Bài 1: cho hình vuông ABCD có cạnh cm điểm M thuộc cạnh AD cho AM = cm vẽ đờng tròn tâm O có đờng kính BM đờng tròn cắt AC ë E ( kh¸c A ) tÝnh b¸n kÝnh đờng tròn (O) CMR: DC tiềp tuyến đờng tròn (O) CMR: tam giác BEM tam giác vuông cân tiếp tuyến Bx đờng tròn (O) cắt DC K CMR: M,E,K ba điểm thẳng hàng Bài 2: cho hai đờng tròn (O) và(O) cắt hia điểm Avà B đờng thẳng vuông góc với AB kẻ qua B cắt đờng tròn (O) (O) lần lợt điểm thứ hai C D Lấy điểm M xung nhỏ CB với đờng tròn tâm (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng CMvới đờng tròn tâm (O) N giao điểm hai đờng thẳng CM DN P a tam giàc AMN tam giác ? sao? b CMR: tø gi¸c ACPD néi tiÕp tõ dã suy P thuộc đờng tròn c Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O) Q tứ giác BCPQ hình gì? ? d Gọi giao điểm AP CD E CMR: M di động cung nhỏ BC tâm đờng tròn ngoại tiềp tam giác CED thuộc đờng thẳng cố định Bài 3: cho nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB K điểm cung AB M điểm cung AK Trên tia BM lấy điểm N cho BN =AM a chøng minh r»ng: tam gi¸c AMK = tam gi¸c BNK b tam giac MNK vuông cân MK tia phân giác góc AMN c M chuyển động cung AK đờng vuông góc với BM kẻ từ N qua điểm cố định 31 Bài 4: cho đờng tròn (O) đờng kính AB I vµ K thuéc AB cho OI= OK M thuéc (O) MO,MI ,MK cắt (O) lần lợt E,C,D đờng thẳng CD cắ AB F EI cắt DE N MI cắt EF H a CMR: FA.FB = FC.FD b M? th× MI =IH c CM: tứ giác ENCH nội tiếp d CMR: EF tiếp tuyến tâm (O) Bài 5.Cho đờng tròn tâm O ,dây AB , C nằm (O) , C thuộc tia AB P điểm nằm cung lớn AB , kẻ đờng kính PQ cắt dây AB D ,tia CP cắt đờng ròn I , AB cắt QI K Chứng minh tứ gi¸c PDKI néi tiÕp Chøng minh QB2 = QK.QI Chøng minh CI.CP = CK.CD Chøng minh IC phân giác góc đỉnh I tam giác AIB chứng minh CK.CD = CA.CB Bài Cho (O;R) tiÕp xóc ngoµi (O'; r) (R > r) C AC,BC hai đờng kính (O) (O') DE dây (O) vuông góc với AB trung điểm M AB; đờng thẳng DC cắt (O') F Chứng minh rằng: Tứ giác AEBD hình gì? điểm B,E,F thẳng hàng Tø gi¸c MDBF néi tiÕp DB cắt (O') G Chứng minh DF,EG,AD đồng quy 5.DE = MF vµ MF lµ tiÕp tuyÕn (O') Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ,P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC ,PD cắt dây AB E,F ; dây AD, PC kéo dài cắt I Các dây BC, PD kéo dài ncắt K So sánh hai góc CID CKD Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp Chøng minh IK song song víi AB Chøng minh AP tiếp tuyến đờng tròn qua điểm A,F,D số toán hình học lớp Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chứng minh rằng: Các tứ giác AEHF, nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F nằm đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H M đối xứng qua BC Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c AHE Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bèn ®iĨm A, E, D, B cïng nằm đờng tròn Chứng minh ED = BC Chøng minh DE lµ tiÕp tuyÕn đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm Bµi Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By lần lợt C D Các đờng thẳng AD BC cắt N Chứng minh AC + BD = CD AB Chøng minh AC BD = Chøng minh ∠COD = 90 4 Chøng minh OC // BM Chøng minh AB tiếp tuyến đờng tròn đờng kính CD Chứng minh MN AB Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O trung điểm IK 32 Chứng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bµi Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M ( M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp ®iĨm) KỴ AC ⊥ MB, BD ⊥ MA, gäi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đờng tròn Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chứng minh OAHB hình thoi Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đờng thẳng d Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E Chứng minh tam giác BEC cân Gọi I hình chiếu A BE, Chøng minh r»ng AI = AH Chøng minh BE tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) Chøng minh BE = BH + DE Bµi Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R, tõ P kỴ tiÕp tun tiÕp xóc víi (O) t¹i M Chøng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn Chứng minh BM // OP Đờng thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K a) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh r»ng: AI2 = IM IB c) Chøng minh BAF tam giác cân d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E, F (F B E) Chứng minh AC AE không đổi Chứng minh ABD = DFB Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn cho AM < MB Gọi M điểm ®èi xøng cđa M qua AB vµ S lµ giao điểm hai tia BM, MA Gọi P chân đơng vuông góc từ S đến AB Chứng minh bốn điểm A, M, S, P nằm đờng tròn Gọi S giao điểm MA SP Chứng minh tam giác PSM cân Chứng minh PM tiếp tuyến đờng tròn Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) điểm D, E, F BF cắt (O) I , DI cắt BC M Chứng minh : Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän DF // BC Tø gi¸c BDFC néi tiÕp BD BM = CB CF 33 Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đờng tròn P Chứng minh : Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø giác CMPO hình bình hành CM CN không phụ thuộc vào vị trí điểm M Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F Chứng minh AFHE hình chữ nhật BEFC tứ giác nội tiếp AE AB = AF AC Chøng minh EF lµ tiÕp tuyÕn chung hai nửa đờng tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm VÏ vÒ mét phÝa AB nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đờng tròn (I), (K) Chøng minh EC = MN Chøng minh MN lµ tiếp tuyến chung nửa đờng tròn (I), (K) Tính MN Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy ®iĨm M, dùng ®êng trßn (O) cã ®êng kÝnh MC đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp Chứng minh CA tia phân giác góc SCB Gọi E giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy Chứng minh DM tia phân giác góc ADE Chứng minh điểm M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng tròn CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G Chứng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp AC // FG Các đờng thẳng AC, DE, FG đồng quy Bài 17 Cho tam giác ABC có đờng cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M ( M không trùng B C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuông góc với cạnh AB AC Chứng minh APMQ tứ giác nội tiếp hÃy xác định tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh MP + MQ = AH Chøng minh OH ⊥PQ Bµi 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H ( H không trùng O, B); đờng thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M đờng tròn ; MA MB thứ tự cắt đờng tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp Chứng minh đờng tròn AD, BC, MH đồng quy I Gọi K tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp Bài 19 Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB CD cắt đờng tròn đờng kính BC I Chứng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø giác ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD 34 Chứng minh I, B, E thẳng hàng Chứng minh MI tiếp tuyến đờng tròn đờng kính BC Bài 20 Cho đờng tròn (O; R) vµ (O’; R’) cã R > R’ tiÕp xóc ngoµi C Gọi AC BC hai đờng kính qua điểm C (O) (O) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung ®iĨm M cđa AB Gäi giao ®iĨm thø hai DC với (O) F, BD cắt (O) G Chøng minh r»ng: Tø gi¸c MDGC néi tiÕp B, E, F thẳng hàng Bốn điểm M, D, B, F cïng n»m trªn mét DF, AG, AB đồng quy đờng tròn MF = 1/2 DE Tứ giác ADBE hình thoi MF tiếp tuyến (O) Bài 21 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Gọi I trung điểm OA Vẽ đờng tron tâm I qua A, (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) Q Chứng minh đờng tròn (I) (O) tiếp xúc A Chứng minh IP // OQ Chøng minh r»ng AP = PQ Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn Bài 22 Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng cắt đờng thẳng DE DC theo thứ tự ë H vµ K Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp TÝnh gãc CHK Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyÓn cạnh BC H di chuyển đờng nào? Bài 23 Cho tam giác ABC vuông A Dựng miền tam giác ABC hình vuông ABHK, ACDE Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng Đờng thẳng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC F, Chứng minh FBC tam giác vuông cân Cho biết ABC > 450 ; gọi M giao điểm BF ED, Chứng minh ®iĨm b, k, e, m, c cïng n»m đờng tròn Chứng minh MC tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 24 Cho tam gi¸c nhän ABC cã ∠B = 450 Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn cắt BA BC D E Chøng minh AE = EB Gäi H giao điểm CD AE, Chứng minh ®êng trung trùc cđa ®o¹n HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH Chøng minh OD lµ tiÕp tun đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE Bài 25 Cho đờng tròn (O), BC dây (BC< 2R) Kẻ tiếp tuyến với đờng tròn (O) B C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đờng vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK P; giao điểm CM, IH Q Chứng minh tam giác ABC cân Chứng minh MI2 = MH.MK C¸c tø gi¸c BIMH, CIMH néi tiÕp Chứng minh PQ MI Bài 26 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R Vẽ dây cung CD AB H Gọi M điểm cung CB, I giao điểm CB OM K giao điểm AM CB Chøng minh : KC AC = KB AB AM tia phân giác góc CMD Tứ giác OHCI nội tiếp Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC tiếp tuyến đờng tròn M Bài 27 Cho đờng tròn (O) điểm A đờng tròn tiếp tuyến với đờng tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (O) B C Gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH BC, MK ⊥ CA, MI ⊥ AB tø gi¸c ABOC néi tiếp Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam gi¸c MHK Chøng minh MI.MK = MH2 Chøng minh ∠BAO = ∠ BCO 35 Bµi 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H trực tâm tam giác ABC; E điểm đối xứng H qua BC; F điểm đối xứng H qua trung ®iĨm I cđa BC Chøng minh tứ giác BHCF hình bình hành E, F nằm đờng tròn (O) Chứng minh tứ giác BCFE hình thang cân Gọi G giao ®iĨm cđa AI vµ OH Chøng minh G lµ träng tâm tam giác ABC Bài 29 BC dây cung đờng tròn (O; R) (BC 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho O nằm tam giác ABC Các đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Gọi A trung điểm BC, Chøng minh AH = 2OA’ Gäi A1 lµ trung ®iĨm cđa EF, Chøng minh R.AA1 = AA’ OA’ Chøng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vị trí A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhát Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt (O) M Vẽ đờng cao AH bán kính OA Chứng minh AM phân giác góc OAH Giả sử B > ∠C Chøng minh ∠OAH = ∠B - ∠C Cho ∠BAC = 600 vµ ∠OAH = 200 TÝnh: a) B C tam giác ABC b) Diện tích hình viên phân giới hạn dây BC cung nhỏ BC theo R Bài 31 Cho tam giác ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt ∠BAC = 600 Tính số đo góc BOC độ dài BC theo R Vẽ đờng kính CD (O; R); gọi H giao điểm ba đờng cao cđa tam gi¸c ABC Chøng minh BD // AH vµ AD // BH TÝnh AH theo R Bµi 32 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB Chøng minh MN di ®éng , trung điểm I MN nằm đờng tròn cố định Từ A kẻ Ax MN, tia Bi cắt Ax C Chứng minh tứ giác CMBN hình bình hành Chứng minh C trực tâm tam giác AMN Khi MN quay quanh H C di động đờng Cho AM AN = 3R2 , AN = R Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm tam giác AMN Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đờng tròn M Chứng minh OM ⊥ BC Chøng minh MC2 = MI.MA Kẻ đờng kính MN, tia phân giác góc B C cắt đờng thẳng AN P Q Chøng minh ®iĨm P, C , B, Q thuộc đờng tròn Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = Cm, chiỊu cao AH = Cm, néi tiÕp ®êng tròn (O) đờng kính AA Tính bán kính đờng tròn (O) Kẻ đờng kính CC, tứ giác CACA hình gì? Tại sao? Kẻ AK CC tứ giác AKHC hình gì? Tại sao? Tính diện tích phần hình tròn (O) nằm tam giác ABC Bài 35 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I, gọi C điểm tuỳ ý thc cung lín MN cho C kh«ng trïng với M, N B Nối Ac cắt MN E Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam gi¸c ACM Chøng minh AM2 = AE.AC Chøng minh AE AC – AI.IB = AI2 H·y xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ 36 Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ đờng cao AD, BE, CF Gọi H trực tâm tam giác Gọi M, N, P, Q lần lợt hình chiếu vuông gãc cđa D lªn AB, BE, CF, AC Chøng minh : Các tứ giác DMFP, DNEQ hình chữ nhËt C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp Hai tam giác HNP HCB đồng dạng Bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng Bài 37 Cho hai đờng tròn (O) (O) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC, B ∈ (O), C ∈ (O’) tiÕp tuyÕn chung A cắt tiếp tuyến chung BC I Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp Chøng minh ∠ BAC = 900 Tính số đo góc OIO Tính độ dài BC biÕt OA = 9cm, O’A = 4cm 37 ... bể Bài : Hai lớp 9A vµ 9B cïng tu sưa khu vêng thùc nghiƯm nhà trờng ngày xong Nếu lớp tu sửa muốn hành thành công việc lớp 9A cần thời gian lớp 9B ngày Hỏi lớp làm hoàn thành công việc 24 Bài... 25% công việc Hỏi ngời làm công việc xong công việc II tăng xuất : Bài : Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ công nhân chuyển làm việc khác nên ng ời lại phải làm thêm dụng cụ Tính số công nhân... Bài13 Một tam giác vuông có cạnh huyền 15 cm hai cạnh góc vuông 3cm Tính độ dài cạnh tam giác vuông Bài14 Tính cạnh góc vuông tam giác vuôngcó cạnh huyền 10 Và cạnh góc vuông trung bình cộng cạnh