Đề cương ôn tập toán 9 - Gia Hiệp

+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy... + Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc v

LÝ THUYẾT

A/ ĐẠI SỐ

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT

1/ Tập xác định của hàm số là những giá trị của biến làm cho hàm số có nghĩa.

2/ Hàm số đồng biến , nghịch biến:

Cho hàm số y = f(x) xác định trong (a;b) , x x1, 2( ; )a b với x1< x2

+ Nếu f(x1) < f(x2) thì hàm số đồng biến trong (a;b)

+ Nếu f(x1) > f(x2) thì hàm số nghịch biến trong (a;b)

3/ Định nghĩa và tính chất của hàm số bậc nhất:

+ Định nghĩa:Hàmsố bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b,trong đó a,b xác định  R, a 

0

+ Tính chất: - TXĐ :  x R

- Biến thiên : a > 0 thì hàm số đồng biến trên R

a < 0 thì hàm số nghịch biến trên R

4/ Đồ thị đường thẳng:

+ y = ax , (a0) là đường thẳng đi qua O(0;0) và A(1;a)

+ y = ax + b, (a,b0) là đường thẳng

5/.Vị trí của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng (d 1 ) : y = ax + b và (d 2 ) : y = a’x + b’

(d1) //(d2)  a = a’ và b b’

(d1) (d2)  a = a’ và b =b’

(d1) cắt(d2)  a  a’

(d1) (d2)  a.a’= - 1 (không cần lắm)

6/ Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b ,(a 0)

a: gọi là hệ số góc ; b: gọi là tung độ gốc

a > 0 : đường thẳng tạo với trục Ox góc nhọn; a < 0 : đường thẳng tạo với trục Ox góc tù

CHƯƠNG III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng ax + by = c (a,b,cR; a,b không đồng thời bằng 0;

x,y là hai ẩn)

Nghiệm của phương trình:

+ a = 0; b 0 y c

b

   nghiệm tổng quát (x;c

b) , x R + a0; b = 0 x c

a

   nghiệm tổng quát (c

a;y) , y R + a0; b 0 y ax c

b

 

   nghiệm tổng quát (x; ax c

b

  ),x R

2/ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng

ax by c

a x b y c





 + Các cách giải: Đồ thị, phép thế, phép cộng

+ Điều kiện nghiệm: @ Hệ có nghiệm duy nhất

' '

a b

a b

@ Hệ vô số nghiệm ,( ', ', ' 0)

' ' '

a b c

a b c

a b c

@ Hệ vô nghiệm

' ' '

a b c

a b c

CHƯƠNG IV: HÀM SỐ y = ax 2 (a0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ

1/ Hàm số y = ax 2 (a0)

+ Tính chất: - TXĐ:  x R

- Biến thiên: a 0: Hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0

a < 0: Hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 + Tính chất của đồ thị: Đồ thị là đường cong parapol nhận gốc tọa độ làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng.( a > 0 đồ thị nằm trên trục hoành, a < 0 đồ thị nằm dứơi trục hoành)

2/ Phương trình bậc hai một ẩn số: là phương trình có dạng ax 2 + bx + c = 0

(a0;a,b,c R;ẩn x)

3/ Công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0)

Công thức nghiệm tổng quát Công thức nghiệm thu gọn

= b 2 – 4ac

 > 0 : PT có 2 nghiệm PB 1

2

2

2

b x

a b x

a

   







   







= 0 : PT có nghiệm kép 1 2

2

b

x x

a



< 0 : PT vô nghiệm

’ = b’ 2 – ac

’ > 0 : PT có 2 nghiệm PB 1

2

' '

' '

b x

a b x

a

   







   







’= 0: PT có nghiệm kép 1 2

'

b

x x

a



 

’< 0: PT vô nghiệm

4/ Định lý Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a0) có 2 nghiệm x1,x2 thì tổng và tích của 2 nghiệm đó là: S = x1+ x2 = b

a

 và P = x1.x2 = c

a

5/ Phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) nếu:

+ a và c trái dấu (a.c < 0) thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

+ a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1 = 1 và x2 = c

a

+ a – b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm x1 = - 1 và x2 = -c

a

6/ Tổng và tích: Nếu hai số x1,x2 thỏa x1+ x2 = S ; x1.x2 = P và S2 – 4P0 thì x1,x2 là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0

7/ Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) (a,b,c có chứa tham số m)

+ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt ( Cho > 0 hoặc ’> 0 rồi tìm m) + Tìm m để phương trình vô nghiệm ( Cho < 0 hoặc ’< 0 rồi tìm m)

+ Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

(Cho = 0 hoặc ’= 0 rồi tìm m Nghiệm kép x1= x2 =

2

b a

 hoặc x1= x2 = b'

a

 ) + Tìm Điều kiện m để phương trình có một nghiệm là k Tính nghiệm còn lại

(Thế x = k vào phương trình suy ra m Nghiệm còn lại dùng x1+x2 = b

a

 thế x = k tìm nghiệm còn lại)

+ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn một hệ thức nào đó

(  0 hoặc  ' 0 , sau đó tìm m so với ĐK này để chọn)

Biến đổi hệ thức dùng tổng tích vi-ét

Các dạng hệ thức thường gặp: x12+ x22 = (x1+ x2)2

– 2x1x2 ;

x x x x



  ; x13x23x1x23 3x x x1 2( 1x2)

8/ Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) (a,b,c có chứa tham số m)

+ Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi m

(Ta chứng minh  0 hoặc ’ 0)

+ Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

(Ta chứng minh > 0 hoặc ’ > 0) 9/.Cách xét dấu hai nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a0) :

= b2 – 4ac ; S = x1+ x2 = b

a

 ; P = x1.x2 = c

a

+ Hai nghiệm trái dấu (nằm 2 bên trục tung :x1< 0 < x2)  P0

+ Hai nghiệm dương(nằm bên phải trục tung :0 < x1< x2 )

0 0 0

P S

 





  

 



+ Hai nghiệm cùng âm (nằm bên trái trục tung: x1 < x2 < 0)

0 0 0

P S

 





  

 

 + Hai nghiệm nằm cùng phía với trục tung 0

0

P

 



 



 + Hai điểm có hoành độ đối nhau 0

0

P S





 





10/ Các dạng phương trình thường gặp:

a Phương trình trùng phương : là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (1) (a0)

Cách giải: Đặt t = x2 ,(t 0) phương trình (1) trở thành: at2 + bt + c = 0

Giải phương trình bậc hai tìm t, chỉ nhận giá trị t 0  x t

b Phương trình tích : A(x).B(x).C(x) = 0

( ) 0 ( ) 0 ( ) 0

A x

B x

C x









c Phương trình hữu tỉ(Phương trình chứa ẩn ở mẫu):

Cách giải: - Tìm ĐKXĐ

- Quy đồng và khử mẫu

- Giải phương trình tìm được

B C

A

- Kết hợp với ĐKXĐ để kết luận nghiệm của phương trình

d Phương trình vô tỉ: 2

0

B

A B

A B





  





e Phương trình có giá trị tuyệt đối : 2 2

0

B

A B

A B





  





B/ HÌNH HỌC

1/.Định lý Thales (Thuận, đảo, hệ quả)

+ Thuận: IK//BC ta có: AI AK (1);AI AK(2); BI CK (3)

AB AC IB KC AB AC

+ Đảo: Nếu IAB K, AC mà có một trong ba hệ thức trên thì IK//BC

+ Hệ quả: AI AK IK

AB AC BC

2/ Định lý Pitago:

+ Thuận: Tam giác ABC vuông tại A thì BC2 = AB2 + AC2

+ Đảo: Nếu tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vuông tại A

3/ Định nghĩa đường tròn: Tập hợp các điểm cách điểm O cho trước một khoảng cách không

đổi R > 0 được gọi là đường tròn tâm O bán kính R

4/ Hai trường hợp chứng minh tam giác đồng dạng thường gặp:

+ Nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

+ Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng

5/ Nếu 1đồng dạng 2 theo tỉ số k thì tỉ số hai đường trung tuyến, tỉ số hai đường phân giác, tỉ số hai đừơng cao tương ứng của hai tam giác cũng có tỉ số là k; tỉ số diện tích là k2

6/ Tính chất của tỉ lệ thức áp dụng cho một số bài tập:

a c a c

b d b d



 

 ; a c a c

b d  a b c d ; a c a b c d

CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN

1/ Các định lý:

+ Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn

+ Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn

+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

+ Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm; hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

+ Trong hai dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn; dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

+ Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

+ Nếu một đừơng thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là một tiếp tuyến của đường tròn

+ Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

 Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

 Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

 Tia kẻ từ tâm đi qua hai điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

2/ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức Đường thẳng và đường tròn không giao

nhau

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn 1 d = R

Đường thẳng cắt đường tròn 2 d < R

3/ Vị trí tương đối của hai đường tròn:

Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức + Hai đường tròn cắt nhau 2 R – r < d < R + r + Hai đường tròn tiếp xúc nhau 1

+ Hai đường tròn không giao nhau 0

- Hai đường tròn ở ngoài nhau d > R + r

- Đường tròn lớn đựng đường tròn nhỏ d < R - r

CHƯƠNG III: GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

1/ Các định nghĩa:

+ Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm

+ Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó

+ Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo cung nhỏ

+ Số đo của nửa đường tròn bằng 1800

+ Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đừơng tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó

+ Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn + Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác và

đa giác gọi là nội tiếp đường tròn

+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác gọi là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn

2/ Các định lý và hệ quả:

+ Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

 Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

 Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

+ Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

 Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

 Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

+ Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

+ Trong một đường tròn:

 Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

 Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

 Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

+ Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn

+ Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn nột cung thì bằng nhau

+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

+ Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn + Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800

+ Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn

3/ Công thức tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp và bán kính r của đường tròn nội tiếp đa giác đều n cạnh:

0

180 2sin

a R

n



; 0

180 2

a r

tg n



( a là độ dài cạnh của đa giác)

Khai triển đối với:

+ Tam giác đều: R = 3

3

a ; r = 3

6

a

+ Hình vuông: R = 2

2

a ; r =

2

a

+ Lục giác đều: R = a ; r = 3

2 a

4/ Các công thức:

+ Độ dài đường tròn ( Chu vi hình tròn) : C = 2 R hoặc C =  d

+ Độ dài cung tròn: l =

180

Rn

 + Diện tích hình tròn: S =  R2

+ Diện tích hình quạt tròn: 2

360

q

R n

S  hay

2

q

lR

S 

+ Diện tích hình viên phân: S vp S q S

+ Diện tích hình vành khăn :  2 2

vk

S  R  r , (với R > r)

CHƯƠNG IV: HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN - HÌNH CẦU

1/ Hình trụ: + Diện tích xung quanh: S = 2 rh xq

+ Diện tích toàn phần: Stp = 2 rh + 2 r2

+ Thể tích : V = Sh =  r2h

2/ Hình nón : + Diện tích xung quanh: Sxq =  rl

+ Diện tích toàn phần: Stp =  rl+  r2

+ Thể tích : V = 1 2

3r h

3/ Hình nón cụt: + Diện tích xung quanh: Sxq =  (r1 + r2)l

+ Thể tích : V = 2 2

1

3h r r r r

4/ Hình cầu: + Diện tích mặt cầu: S = 4 R2 hay S =  d2

+ Thể tích hình cầu: V = 4 3

3R

CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN

Câu 1: Với giá trị nào của m thì y = (- m + 4)x + 8 là hàm số bậc nhất

Câu 2: Với giá trị nào của m thì y = 1

3 m x -1 là hàm số bậc nhất

Câu 3: Với giá trị nào của a thì y = (a2 – 6a + 11)x – 3 là hàm số đồng biến

Câu 4: Với giá trị nào của a thì y = 6 - 5 a x là hàm số nghịch biến

Câu 5: Tìm giá trị của m để ba đường thẳng y = 2x , y = x – 2m , y = - x + 3 đồng quy

Câu 6: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) : x – 5y = 15 với trục tung là:

Câu 7: Giải hệ phương trình a) 3 5 3

x y

x y





 b) 2(2 ) 3(1 ) 2

3(2 ) 2(1 ) 3





 Câu 8: Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + c Biết f(-2) = 15, f(0) = 1 , f(2) = 3 Tìm a,b,c

Câu 9: Cho hai đường thẳng (d): (m + 1)x – 2y = m – 1 và (d’) : m2x – y = m2 + 2m Biết rằng hai đường thẳng cắt nhau tại A(3;4) Tìm giá trị của m

Câu 10: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = - 2x + 1 và y = x + 4

Câu 11: Tìm m để hệ phương trình 2

6 5

x y

m x y





 có một nghiệm duy nhất Câu 12: Hệ phương trình 3 1

ax y b

x y

  





 

 có vô số nghiệm Tính a2 + b2

Câu 13: Hàm số y = (4 – m)x2 nghịch biến khi x < 0 Tìm giá trị của m

Câu 14: Tìm giá trị của a sao cho đồ thị của hàm số y = 3(a – 1)x2 đi qua điểm M(1;6)

Câu 15: Tọa độ giao điểm của parabol(p): y = -4x2 và đường thẳng (D): y = - 4x + 1

Câu 16: Cho (P): y = x2 và (d) : y = 2x + m – 1 Tìm m để (d) cắt (P) tại gốc tọa độ

Câu 17: Tìm m để phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt Câu 18: Giải phương trình x2 3 x 2 0

Câu 19: Biết phương trình 7x2 – x – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2

Giá trị của biểu thức M = x1+ x2 + 3x1x2

Câu 20: Tính a để phương trình x2 – ax – a = 0 có nghiệm kép

Câu 21: Biết phương trình x2 – (a + 5)x+ 3a + 6 = 0 có một nghiệm x1 = 3 Tính nghiệm x2

Câu 22: Biết phương trình 2x2 – (2m + 1)x + m = 0 có một nghiệm bằng 1 Tìm m

Câu 23: Biết phương trình 2x2 – (3m + 1)x – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2

Tính m để x1+x2 = - 4

Câu 24: Tìm hai số có tổng 29 và tích 204

Câu 25: Tìm m để phương trình 2x2 – (2m – 1)x + m – 1 = 0 có nghiệm kép là

Câu 26: Biết phương trình x2 + 4x – 8 = 0 có hai nghiệm x1,x2 Tính P =

1 1

x  x Câu 27: Giải phương trình 2x4 – 5x2 – 7 = 0

Câu 28: Một hình nón có chiều cao 10cm, kán kính đường tròn đáy 9cm Tính thể tích hình nón

30 0

50 0

A B

C

D

100 0

B A

C

H

25 0

t

O B

A

30 0

D

C O M

B A

Câu 29: Tính diện tích hình tròn có bán kính 3cm

Câu 30: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và 2 Aˆ = 3Cˆ Tính số đo của góc C Câu 31: Cho hình vuông có cạnh 5cm nội tiếp đường tròn Tính tổng diện tích 4 hình viên phân tạo thành

Câu 32: Hai tiếp tuyến tại hai điểm A,B của đường tròn (O) cắt nhau tại M tạo thành góc AMB bằng 500 Tính số đo của góc ở tâm chắn cung AB

Câu 33: Cho đường tròn (O) và sđ BC = 500, CBD = 300, AB = AC

Tính số đo góc ACD

Câu 34: Trên đường tròn (O) cho cung BC có số đo bằng 1000 Đường thẳng vuông góc với AC cắt đường tròn tại H Tính số đo góc ACH

Câu 35: Ở hình vẽ bên, biết góc ABO bằng 250, At là tia tiếp tuyến

Tính số đo góc tAB

Câu 36:Tính số đo của góc AMB trên hình vẽ

Câu 37: Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) Tính diện tích hình vuông

Câu 38: Cho hình thoi ABCD, biết ABD là tam giác đều cạnh a.Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp hình thoi ABCD

Câu 40: Trên nửa đường tròn (O) có đường kính AB lấy hai điểm M và N Biết MON 900

Tính MIA

Câu 41: Một tam giác đều có cạnh 3cm nội tiếp trong đường tròn Diện tích của hình tròn này Câu 42: Trên đường tròn (O;2cm) lấy hai điểm A và B, biết cung AB có số đo bằng 600.Tính diện tích quạt tròn OAB

Câu 43:Tính độ dài cung 600 của đường tròn có đường kính 4cm

Câu 44: Tính độ dài cung 900 của đường tròn có bán kính 2 cm

Câu 45: Một hình trụ có bán kính đáy R bằng chiều cao h Biết rằng diện tích xung quanh của hình trụ là18 Tính bán kính R ø

Câu 46: Một hình trụ có diện tích hai đáy và diện tích xung quanh đều bằng 314(đvdt) Tính chiều cao h của hình trụ

Câu 47: Một hình nón có đường kính đáy 6dm,chiều cao 4dm Tính diện tích xung quanh của hình nón

Câu 48: Một hình nón có chiều cao 12cm, đường sinh 13cm Tính diện tích xung quanh của hình nón