HSG 9 Quan Tan Phu 20142015

Em hãy cho biết để thực hiện xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia thì trường cần phải có tất cả bao nhiêu phòng học và mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?. Baøi 3: 4 ñieåm Giải hệ phương trình:[r]

COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG ĐỀ THI HSG LỚP VOØNG – Naêm Hoïc: 2014-2015 QUẬN TAÂN PHUÙ Thời gian: 120 phút (NGAØY THI: 23/08/2014) Baøi 1: (2 ñiểm) Cho a3  b3  c3  3abc vaø a  b  c  Tính: N  Baøi 2: (4 ñieåm) 1) Giải phương trình:  a2  b2  c2  a  b  c  4x   3x   x  2) Trường THCS A có 1050 học sinh Hiệu trưởng muốn phấn đấu để xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia nên trường đã xây thêm phòng học Kết là sĩ số trung bình lớp giảm xuống học sinh Tuy nhiên, để trở thành trường đạt chuẩn quốc gia thì sĩ số trung bình lớp học phải giảm thêm học sinh Để đạt đó, trường cần phải xây thêm phòng học Em hãy cho biết để thực xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia thì trường cần phải có tất bao nhiêu phòng học và lớp có bao nhiêu học sinh? Baøi 3: (4 ñieåm) Giải hệ phương trình: 1) Cho a, b, c là số đo cạnh ABC Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, chứng minh:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc 2) Cho a, b, c là các số thực dương cho a  b  c  Tìm GTNN của: 2015 P  2 a  b  c ab  bc  ca Bài 4: (8 điểm) Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC, AB < AC Vẽ đường cao AH ABC , BC  25cm , AH  12cm 1) Tính AB, AC 2) Vẽ  O1  nội tiếp ABC Gọi I, J, K là các tiếp điểm  O1  lean BC, AC, AB KI cắt AH N Trên AB lấy L cho AL = AN Chứng minh: BL = AK từ đó suy LO1 ñi qua trung ñieåm cuûa AC 3) Vẽ đường kính AD (O) Vẽ đường thẳng song song với AD qua B, C cắt (O) E, F Gọi H1;H2 là trực tâm ABF, ACE Chứng minh trung điểm H1H2 là điểm cố ñònh Baøi 5: (2 ñieåm) 1) Tìm n  N để A  n4  n  là số chính phương xy yz xz 2) Tìm x,y,z  Z bieát   3 z x y   HẾT   HSG L9 – Voøng - Q.TP (2014-2015) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG ĐỀ THI HSG LỚP VOØNG – Naêm Hoïc: 2014-2015 QUẬN TAÂN PHUÙ Thời gian: 120 phút (NGAØY THI: 23/08/2014) Baøi 1: (2 ñiểm) Cho a3  b3  c3  3abc vaø a  b  c  Tính: N  a2  b2  c2  a  b  c Ta coù: a3  b3  c3  3abc  a3  b3  c3  3abc    a  b  3ab  a  b  c3  3abc    a  b  c   a  b c  a  b  c  3ab  a  b  c  3    a  b  c  a    a  b  c a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca  3ab  3bc  3ca    b2  c2  ab  bc  ca   a2  b2  c2  ab  bc  ca   vì a +b  c     a  b    b  c    c  a   a  b  c Khi đó: N  2 a2  b2  c2  a  b  c Baøi 2: (4 ñieåm) 1) Giải phương trình:   a2  a2  a2  a  a  a  3a2 3a   4x   3x   x  4x   3x   x    4x   3x  1   x   Ñieàu kieän: x       x  4  x  4     4x   3x    4x   3x     x    4x   3x      4x   3x    vì x +  x       4x   3x    4x  53x  1  81  12x2  19x   75  7x   75 75 x  x    7 48x  76x  20  49x  1050x  5625 x  1126x  5605     75 x      x  1121 loại Vậy S  5      x   nhaän  2) Trường THCS A có 1050 học sinh Hiệu trưởng muốn phấn đấu để xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia nên trường đã xây thêm phòng học Kết là sĩ số trung bình lớp giảm xuống học sinh Tuy nhiên, để trở thành trường đạt chuẩn quốc gia thì sĩ số trung bình lớp học phải giảm thêm học sinh Để đạt đó, trường cần phải xây thêm phòng học Em hãy cho biết để thực xây dựng trường đạt chuẩn quốc gia thì trường cần phải có tất bao nhiêu phòng học và lớp có bao nhiêu học sinh? HSG L9 – Voøng - Q.TP (2014-2015) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG  Gọi x (học sinh) là số học sinh trung bình lớp x  N* ;x  1050 Số phòng học trường là:  1050  phoøng  x 1050   phoøng  x Số học sinh trung bình lớp sau xây thêm phòng là:  x  8 học sinh Soá phoøng hoïc sau xaây theâm phoøng laø: Số học sinh trung bình lớp để trường đạt chuẩn quốc gia là: x    x  15  học sinh Số phòng học trường để trường đạt chuẩn quốc gia là: 1050 1050 45   phoøng  x x Ta coù phöông trình:  1050   1050     x  8      x  15   1050x  8400  4x2  32x  1050x  15750  9x2  135   x   x   x  50  nhaän   5x  103x  7350    x  50  5x  147     147 x    loại   Vậy số học sinh trung bình lớp là: 50(học sinh) 1050 Số phòng học trường là:  21 phoøng  50 Baøi 3: (4 ñieåm) Giải hệ phương trình: 1) Cho a, b, c là số đo cạnh ABC Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, chứng minh:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc Do a, b, c là độ dài cạnh tam giác nên áp dụng BĐT tam giác, ta được: a  b  c a  b  c    b  c  a  b  c  a  c  a  b c  a  b    Áp dụng BĐT Cô – si cho hai số dương, ta được:   b  c  a   c  a  b    b  c  a c  a  b  c   b  c  a c  a  b      c  a  b   a  b  c    c  a  b a  b  c  a   c  a  b a  b  c     b   b  c  a a  b  c   b  c  a   a  b  c     b  c  a a  b  c   Nhân vế theo vế, ta được:  b  c  a c  a  b a  b  c  abc Vậy BĐT đã chứng minh 2) Cho a, b, c là các số thực dương cho a  b  c  Tìm GTNN của: 2015 P  2 a  b  c ab  bc  ca P 2015 1 2013      2 2 a  b  c ab  bc  ca a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca HSG L9 – Voøng - Q.TP (2014-2015) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG AÙp duïng BÑT: 1    , x,y,z  ; dấu “=” xảy x = y = z, ta được: x y z xyz 1     1 vì a + b  c   (1) 2 a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b  c2 Áp dụng BĐT  xy  yz  zx    x  y  z  ; dấu “=” xảy x  y  z , ta được:  ab  bc  ca   a  b  c   vì a + b + c  3  ab  bc  ca  1 2013 2013 (2)    ab  bc  ca ab  bc  ca Từ (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được: P  672 Daáu “=” xaûy x = y = z = Vaäy Pmin  672 x  y  z   Bài 4: (8 điểm) Cho ABC nội tiếp (O) đường kính BC, AB < AC Vẽ đường cao AH ABC , BC  25cm , AH  12cm A AL = AN J K O1 L N B H I O C 1) Tính AB, AC Ñaët BH = x, x > suy HC = 25 – x 25  x   nhaän Ta coù: AH2  BH.HC  252  x  25  x     BH   cm  x  16  loại  Ta coù: AB2  BH.BC  AB2  9.25  AB  15  cm Do AB < AC neân BH < HC  x  25  x  x  AC2  CH.BC  AC2  16.25  AC  20  cm 2) Vẽ  O1  nội tiếp ABC Gọi I, J, K là các tiếp điểm  O1  lean BC, AC, AB KI cắt AH N Trên AB lấy L cho AL = AN Chứng minh: BL = AK từ đó suy LO1 qua trung ñieåm cuûa AC Từ A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt IK S HSG L9 – Voøng - Q.TP (2014-2015) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG ASK  KIB     Ta coù: AKS  IKB    ASK  AKS  SAK caân taïi A  AS  AK  KIB  IKB    Mà AK = AJ nên AS = AJ Do đó: ANS  ALJ c  g  c  ANS  ALJ maø ANS  ASK  900 neân ALJ  ASK  900 Maët khaùc: ASK  AKS  LKN neân ALJ  LKN  900  LJ  KI maø BO1  KI neân LJ // BO1  LJ // BO1  cmt Xét tứ giác BLJO1 , ta có:   BL // JO1   AC  tứ giác BLJO1 là hình bình hành (…)  BL  O1J  AK Cách (tính toán) AB  AC  BC 15  20  25 Ta coù: AK     O1I   cm 2 Ta chứng minh được: HIN ∽ IO1B g  g   NH  BI.HI 1.10    cm  AN  AH  NH  12   10  cm O1I mà AL = AN (gt) nên AL = 10 (cm)  BL  AB  AL  15  10   cm Do đó: BL = AK Gọi Q là giao điểm LO1 và AC Ta chứng minh AK = KL (=5cm)  K là trung điểm AL nên dễ chứng minh O1AL vuông cân O1   ALQ vuông cân A  AQ  AL  10  cm  CQ  AC  AQ  20  10  10  cm Do đó AQ = CQ (=10 cm)  Q là trung điểm AC  LO1 qua trung điểm AC 3) Vẽ đường kính AD (O) Vẽ đường thẳng song song với AD qua B, C cắt (O) E, F Gọi H1;H2 là trực tâm ABF, ACE Chứng minh: A là trung điểm H1H2 HSG L9 – Voøng - Q.TP (2014-2015) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG H2 A F J K O1 H1 B C O H I E D Ta coù: CF // AD vaø CF  CE  AD  CE Ta chứng minh tứ giác BFCE là hình chữ nhật…  O là trung điểm dây EF  EF là đường kính (O)  AEF vuông A  AE  FA mà FA  BH2   nên AE // BH2 Ta coù: CF // AD vaø CF  CE  AD  CE maø AH1  CE neân AD  AH1  H1  AD Cmtt, ta có: H2  AD , đó H1 ,A,H2 thẳng hàng  AH1  BE tứ giác ABEH1là hình bình hành Ta coù:   AH2  BE tứ giác AEBH2 là hình bình hành  AH1  AH2 maø H1 ,A,H2 thaúng haøng neân A laø trung ñieåm cuûa H1H2 Baøi 5: (2 ñieåm) 1) Tìm n  N để A  n4  n  là số chính phương Đặt A  n4  n   k2 (không tính tổng quát, giả sử k  N ) * Xét n = thì A = (loại) * Xét n = thì A = (loại)   * Xeùt n    n   n4  n   n4  n2   2 Ta chứng minh: n2   n4  n   n4  2n2   n4  n   2n2  n      1   n      đúng   16    Vaäy n2   n4  n   n2      n2   k2  n2  k2  n4 HSG L9 – Voøng - Q.TP (2014-2015) COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG  n4  n   n4  n  Thử lại A = 16 là số chính phương Vaäy n = thì A laø soá chính phöông 2) Tìm x,y,z  Z bieát xy yz xz   3 z x y Caùch 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:  xy yz xy yz 2   2y   x z x z  yz xz yz xz 2   2z   y x y x  xy xz xy xz   2   2x y z y  z  xy yz xz xy yz xz    x  y  z maø    neân x  y  z  z x y z x y Maët khaùc x, y, z  Z neân x = y = z = Caùch 2: Do vai trò x, y, z là nên không tính tổng quát ta giả sử: x  y  z  Ta coù: y x xy yz zx z y x     z     z  2z  3z   3z  z   z  vì z  Z z x y z x y x y  Với z = thì VT 1  xy    x  y  vì x,y  Z   y x y x   xy   xy    xy   xy   xy  vì x,y  Z x y x y  Thử lại ta thấy x  y  z  thỏa đề bài Vaäy nguyeân döông nhaát cuûa phöông trình laø:  x;y;z    x;y;z    HẾT   HSG L9 – Voøng - Q.TP (2014-2015) 