Đang tải... (xem toàn văn)
www.vntoanhoc.com www.vntoanhoc.com.. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.. DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.. b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m[r]
(1)MATHVN.COM | www.MATHVN.com BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN
THEO TỪNG DẠNG
DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bài 1: Cho biểu thức P =
1 a3
2 a a
1 a
1
1
a) Rút gọn P b) Tìm Min P
Bài 2: Cho x, y hai số khác thỏa mãn: x2 + y = y2 + x Tính giá trị biểu thức : P =
1 -xy
xy y
x
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =
y x
y -x
Biết x2 -2y2 = xy x ≠ 0; x + y ≠ Bài 4: Cho biểu thức
P =
3 x
3 x x -1
2 x 3 x x
11 x 15
a) Tìm giá trị x cho P = 2 1
b) Chứng minh P ≤ 3 2
Bài 5: Cho biểu thức P =
a a a
1 a
a a
3 9a 3a
1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên a để P nguyên Bài 6: Cho biểu thức
P =
2 a 16 a -1
4 -a a -a a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên a (a >8) để P nguyên Bài 7: Cho biểu thức
P =
a
2 a
1 : a a
1
a a
a) Rút gọn P
www.vntoanhoc.com
(2)b) Tính giá trị P a = + 2 c) T ìm giá trị a cho P < Bài 8: Cho biểu thức
P = x x x x : x 8x x x
a) Rút gọn P b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với giá trị x > ta có m( x - 3)P > x + Bài 9: Cho biểu thức
P = xy y x x xy y y xy x : y x xy -y x
a) Tìm x, y để P có nghĩa b) Rút gọn P
c) Tìm giá trị P với x = 3, y = + 3 Bài 10: Cho biểu thức
P = x 2007 x x 4x x x -x x x 2
a) Tìm x để P xác định b) Rút gọn P
c) Tìm giá trị nguyên x để P nguyên Bài 11: Rút gọn P
P = 2 2 2 2 2 b b a a : b a a b a a b a a b a a
Với | a | >| b | > Bài 12: Cho biểu thức
P = 2 x x x x x x a) Rút gọn P
b) Chứng minh < x < P > c) Tìm GTLN P
Bài 13: Chứng minh giá trị biểu thức P = x x 10 x x x x x x 2x
Không phụ thuộc vào biến số x
Bài 14: Chứng minh giá trị biểu thức P = x x x
(3)Bài 15: Cho biểu thức
P = x 1
1 x x
x x
1 x x
x
x 2
Rút gọn P với ≤ x ≤ Bài 16: Cho biểu thức
P =
1 x
) 2(x x
x 2x
1 x x
x x2
a) Rút gọn P
b) Tìm GTNN P c) Tìm x để biểu thức Q =
P x 2
nhận giá trị số nguyên Bài 17: Cho biểu thức
P =
1 x
x
x 2x
1 x
x x x
x x
x x x 2x
a) Tìm x để P có nghĩa b) Rút gọn P
c) Với giá trị x biểu thức P đạt GTNN tìm GTNN Bài 18: Rút gọn biểu thức
P =
5 10
5
3 10
5
Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A = 4 7 4 7
b) B = 4 102 4 102 c) C = 4 15 4 15 2 3 5
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
P = x247 2x 1 x43 2x1
Với
≤ x ≤ Bài 21: Chứng minh rằng:
P =
2
48 13
5
số nguyên
(4)1
3 1
2
2 1
2
Bài 23: Cho x = 35 2735 27
Tính giá trị biểu thức f(x) = x3 + 3x Bài 24: Cho E =
y x
xy y x
xy
Tính giá trị E biết:
x = 4 2 2 2 2
y =
45 27
2 18
20 12
2
Bài 25: Tính P =
2008 2007
2008 2007
2007
1
Bài 26: Rút gọn biểu thức sau: P =
5
1
+
+ + 2001 2005
Bài 27: Tính giá rẹi biểu thức: P = x3 + y3- 3(x + y) + 2004 biết x = 332 332
y = 31712 31712
Bài 28: Cho biểu thức A =
a a a a
a a
a
4 1
1
a) Rút gọn A
b) Tính A với a = (4 + 15)( 10 - 6) 4 15 Bài 29: Cho biểu thức
A =
1 1
4
1
4
2 x
x x
x x
x x
a) x = ? A có nghĩa b) Rút gọn A
Bài 30: Cho biểu thức P =
x x
x
x x
x
x
1 1
1
1 1
1
1 a) Rút gọn P b) So sánh P với
2
(5)Bài 31: Cho biểu thức P =
1
3 1
x x x x x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh: ≤ P ≤ Bài 32: Cho biểu thức
P =
a a a
a a
a a
3
2
5
a) Rút gọn P b) a = ? P <
c) Với giá trị nguyên a P nguyên Bài 33: Cho biểu thức
P =
x x y
xy x
x
x y
xy x
1
2 2
a) Rút gọn P
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Bài 34: Cho biểu thức
P =
x x y
xy x
x
x y
xy x
1
2 2
a) Rút gọn P
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + = Bài 35: Cho biểu thức
P =
y x xy
y y x x y x y x y x y
x 3
3
: 1
1
a) Rút gọn P
(6)DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT
Bài 1: Cho a > b > thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab Tính giá trị biểu thức: P =
b a
b a
Bài 2: Cho x > y > 2x2 +2y2 = 5xy Tính giá trị biểu thức E =
y x
y x
Bài 3: 1) Cho a + b + c = CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho xy + yz + zx = xyz ≠ Tính giá trị biểu thức:
M = 2 2 2
z xy y xz x yz
Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị biểu thức:
P =
a c c
b b
a
1
1
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y -z3
b) Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính giá trị biểu thức: A = x2007+ y2007 + z2007
Bài 6: Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: P = a4 + b4 + c4
Bài 7: Cho a, b số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Tính giá trị biểu thức P = a2007 + b2007 Bài 8: Cho 1
b y a x
2 ab
xy
Tính 3
3 3
b y a x
Bài 9: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức
P = 2 2 2 2
1 1
1
c b a b c a a c
b
Bài 10: Cho
b a b y a x
4
(7)b) 1004 1004 2008 1004 2008 ) ( b a b y a x
Bài 11: Chứng minh xyz = thì: xz z yz y xy
x
1 1 1 = Bài 12: Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3
Bài 13: Cho a, b, c đơi khác Tính giá trị biểu thức: P = ) )( ( ) )( ( ) )( ( 2 a c b c c a b c b b c a b a a
Bài 14: Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác cho tam giác
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác thì: a c c b b a b c a c b a a b c b b c c a b a c b
2
) )( ( ) )( ( ) )( (
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p Chứng minh rằng:
) )( )( ( 1 1 c p b p a p p abc p c p b p a
p
Bài 17: Cho a, b khác thỏa mãn a + b = Chứng minh : ) (
1 2
3
a b
ab a
b b
a
Bài 18: Cho 1
c z b y a x
0 z c y b x a
Tính giá trị biểu thức A = 2 2 2 c z b y a x
Bài 19: Cho a, b, c đôi khác 0
a b
c a c b c b a
Tính giá trị P = 2 2 2
) ( ) ( )
( a c
c a c b c b a
Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) khác
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d ab + = cd Chứng minh: c = d
Bài 23: Cho x , y số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2 Tính giá trị biểu thức: A =
y x y x
(8)Tính giá trị phân thức A = 2 2
2 y xy x
xy
Bài 25: Cho x, y, z khác a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = a + b +c = 2007
Tính giá trị biểu thức: P = 2 2 2
2 2
) ( ) ( )
(y z ac x z ab x y bc
cz by ax
Bài 26: Cho x, y, z khác x + y + z = 2008 Tính giá trị biểu thức:
P =
) )( ( ) )( ( ) )( (
3
3
x z y z
z z
y x y
y z
x y x
x
Bài 27: Cho
1 1
3 3
2 2
z y x
z y x
z y x
Tính giá trị biểu thức: P = x2007+ y2007+ z2007
Bài 28: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Tính giá trị biểu thức:
P =
2
2
) ( ) (
) (
) (
b c a c b a
c b a c b a
Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2
Chứng minh a, b, c ba cạnh tam giác P < Bài 30: Cho số dương x, y ,z thỏa mãn:
15
z x zx
z y yz
z y xy
Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z
Bài 31: Cho số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
1 3
2 2
z y x
z y x
Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003) Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =
4
4
b) Tính giá trị biểu thức: Q = y x
y x
Biết x2 – 2y2 = xy y ≠ , x + y ≠ (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005) Bài 33: Chứng minh nếu: x + y + z = thì:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2
a) So sánh a b + c
(9)2) Tính A = 3
2 14 20
14
20 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – – m = (1) a) Giải phương trình m =
b) Chứng tỏ phương trình có nghiệm số với m c) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn điều kiện
1
x + 2
x 10
Bài 2: Cho số a, b, c thỏa điều kiện:
ac bc ab a
c c
2
2
Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ln ln có nghiệm Bài 3: Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac <
Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p, q biết phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
35 3
2
x x
x x
Bài 5: CMR với giá trị thực a, b, c phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = ln có nghiệm
Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có nghiệm biết 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) =
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có nghiệm 4
a c a
b
Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:
1
x - 2
x =
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN
c) Tìm hệ thức liên hệ x1,x2 không phụ thuộc vào m Bài 11: Giả sử x1,x2 hai nghiệm phương trình bậc 2:
(10)S = 3
1
x x
Bài 12: Cho phương trình : x2 - 3x + = Có hai nghiệm x1,x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức:
A =
2 3
2 2
4
3
3
x x x x
x x x x
Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – = (1)
1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị a 2) Tìm giá trị a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x1
+ x2
=
3) Tìm giá trị a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < < x2
Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – = (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình (1)
Tìm GTNN M = x1
+ x2
Bài 15: Cho a, b hai số thực thỏa mãn điều kiện:
1 1
b a
CMR hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = x2 + bx + a =
Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = (1)
a) Giải biện luận số nghiệm phương trình (1) theo m b) Tìm m cho 10x1 x2 + x1
2 + x2
2
đạt GTNN Tìm GTNN
Bài 17: Chứng minh với số a, b, c khác 0, tồn phương trình sau phải có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = (1) bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (2)
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – = (1)
a) CMR phương trình (1) ln ln có nghiệm trái dấu với giá trị m b) Với giá trị m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – - m = (1)
1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị m 2) Tìm giá trị m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện: x1
2 + x2
2
10
3) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện: E = x1
2 + x2
2
đạt GTNN
(11)DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
Giải phương trình:
Bài 1: x3 + 2x2 + 2x + 2 Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Bài 7: a) (x + 2)4 + (x + 1)4 = 33 + 12 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64
Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + = b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + = c) x4 - 3x3 + 3x + =
Bài 9: a) x4 = 24x + 32
b) x3 + 3x2 - 3x + = Bài 10: x85 x93 1
Bài 11:
2
7
3
2
2
x x
x x
x x
Bài 12: x2 +
2 12
4 2
x x
Bài 13: 20
1 48
2
2 2
2
x x x
x x
x
Bài 14: a)
1
3
2
2
x x
x x
x x
b)
15 12
4 15
6 15 10
2
2
x x
x x
x x x
c)
4
5 5
4
2 2
2
x x
x x x
x x x
Bài 15: a) x2 +
9 40
81 2
(12)b) x2 +
x12 15
x
Bài 16: a)
9 40
1
1 2
x x x
x
b)
1
2
2 2
2
x x x
x x
x
c) x 15
1 8
x x x
x x
Bài 17: x2 +
2
1
x x
= 8( Đề thi HSG V1 2004) Bài 18: x1 5x1 3x2
Bài 19: x13 7x 2
Bài 20: x2 x1 x2 x1 2 Bài 21: 3x2 + 21x + 18 + 2 7
x x
Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 =
b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + = c) x4 + 10x3 + 26x2 + =
Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = ( Đề thi HSG V1 2003) Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) =
b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 Bài 25: a) x3 - 6x + =
b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - = Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 =
b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 =
Bài 27:
3 10 48
3
2
x x x
x
Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = x3 1
( Đề thi HSG 1998)
Bài 29:
5
14
5
x x x
Bài 30: x4 - 3x -5 = ( Đề thi HSG 2000)
Bài 31:
2 4
x x
x
( Đề thi HSG V2 2003) Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 =
b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 =
Bài 33: (x + x + 2)(x + x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005) Bài 34: a) x2 + 4x + = 2x3
b) x3 8 = 2x2 - 6x +
c)
3
4
2
(13)Bài 35: x13 x23 x30
Bài 36: Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình m =
b) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt
Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c Tìm điều kiện a, b, c để phương trình có nghiệm
Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - =
Bài 39: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = Bài 40: x2 + 9x+ 20 = 3x10
Bài 41: x2 + 3x+ = (x + 3) x21 Bài 42: x2 + x2006=2006
DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1) Với a, b > ab ab
2 Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 2) CMR với số a, b, x, y ta có:
)( )
(a2 b2 x2 y2 (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy nào? Bài 3) Cho a, b, c, d > Cm: ab cd acbd
Bài 4) CM bất đẳng thức:
2 2
2 2
d b c a d
c b
a
Bài 5) Cho a, b, c số dương cm bất đẳng thức:
2
2
c b a b a
c a c
b c b
a
Bài 6) CM với n nguyên dương thì:
1
1 1
n n
n
Bài 7) Cho a3 + b3 = Cmr: a + b
Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = (2) CMR số a, b, c thuộc đoạn
0 ;
4
khi biễu diễn trục số Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b =
CMR: 2a2 + 3b2
Bài 10) Cho a, b hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = CM: a2 + 4b2
5
Dấu đẳng thức xảy nào? (Đề thi HSG 2003) Bài 11) Chứng minh:
3
2 2
2 2 2
(14)a) (a b )(x y ) (ax + by) b) 0 x2 4x2
Bài 13) Cho a, b, c > Cm:
2
a b
c a c
b c b
a
Bài 14) Cho
100
1
S
CMR: S không số tự nhiên Bài 15) a) Cho x, y dương CMR:
y x y x
4 1
Dấu xảy nào? b) Tam giác ABC có chu vi
2
c b a
P
Cm:
a p b p c a b c p
1 1 1
1
Dấu xảy tam giác ABC có đặc điểm gì? Bài 16) a) CM x > ta có:
1
x x
b) Cho a > 1, b > Tìm GTNN của:
1
2
a b b
a P
Bài 17) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 18) CMR a, b, c > a + b + c = 1 19
c b
a
Bài 19) CMR a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c có chu vi CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005)
Bài 21) Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = Cm: a + 2b 10 Bài 22) Cho a, b số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = + ab
CMR:
3
8 2 2
a b Dấu xảy nào?
Bài 23) CMR với a, b > thỏa mãn ab = Ta có BĐT: 1 3
b a b a
Bài 24) CMR nếu:
a) 1a5 a14 5a 10
b) a + b 0;b10;ab2 a1 b12 Bài 25) Cho biểu thức
1
1 1
3
2
4
4
x x x x x x
x x x
x x P
CMR:
9 32
(15)Bài 26) a) Cho a, b, k số dương
k b
k a b a Cmr b
a
1 :
b) Cmr a, b, c độ dài cạnh tam giác thì:
b a
c a c
b c b
a
<
Bài 27) Cho số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = Chứng minh rằng: 1 19
b a
(Đề thi HSG V2 2003 - 2004)
Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau với x, y số thực khác 0:
x y y x x
y y x
3 2 2
DẠNG 6: CỰC TRỊ
Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN biểu thức A = x + y
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = Tìm GTNN P = 12 12
x y
Bài 3) Cho P =
2
2
1 x x
x
Tìm GTNN, GTLN P giá trị tương ứng x
Bài 4) Tìm GTLN GTNN biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y 0, x + y = 10 Bài 5) Tìm GTLN GTNN biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤
Bài 6) Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x2 + y2 Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = Bài 7) Tìm GTLN GTNN biểu thức P =
2
1 x x x x
Bài 8) Tìm GTLN A = x + 2x Bài 9) Tìm GTLN P = x y z
y z x với x, y, z >
Bài 10) Tìm GTLN P = 2
(x1990) (x1991) Bài 11) Cho M = a 3 a 1 a15 8 a1
a) Tìm điều kiện a để M xác định b) Tìm GTNN M giá trị A tương ứng Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
1 1
2
1x1y1z Tìm GTNN P = x.y.z Bài 13) Tìm GTNN P =
1xx
Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức P = x + 2y
Bài 15) Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y =
(16)Bài 16) Cho x > 0, y > thỏa mãn: x + y Tìm GTNN biểu thức P = 2 2
x y +
xy + 4xy
Bài 17) Tìm GTLN GTNN của: P =
2 1 x x
x
với x
Bài 18) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y Tìm GTNN biểu thức A = 2 2
x y xy
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P =
2
1
x y
x y
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = Tìm GTNN biểu thức P = 1 1
x y
Bài 22) Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = Tìm GTNN biểu thức P =
2
1
x y
y x
Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: E =
2 2
1 1
a b c
a b c
Bài 24) Cho a, b hai số thực có tổng Tìm GTNN của: P = a3 + b3
Bài 25) Cho a, b hai số dương thỏa a + b = Tìm GTNN P = 1
1
a b
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = Tìm GTNN P =
2 x y
x y
Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = Tìm GTNN P = 8(x4 + y4) +
xy
Bài 28) Cho x, y liên hệ với hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x + y +
Bài 29) Tìm GTNN, GTLN biểu thức S = x x + y y biết x + y = Bài 30) Tìm GTNN biểu thức P =
2 2 2000
x x
x