hỏi có thể kẻ đợc bao nhiêu đờng thẳng nếu trong n điểm đó không có bất kì ba điểm nµo th¼ng hµng.. Có đúng 5 điểm thẳng hang.[r]
(1)Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 PhÇn III: TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng, dÊu hiÖu chia hÕt I/ Sö dông t/c chia hÕt cña mét tæng chøng minh mét tæng hoÆc mét hiÖu chia hÕt cho mét sè 1/ Chøng tá r¼ng n N th× 60n + 45 15 nhng kh«ng chia hÕt cho 30 2/ Cho 23! + 19! – 15! Chøng tá r»ng B 11 , B 110; Chøng tá r¼ng: 53! – 51! 29 k 2k 3k 3/ Cho 10 119 víi k > chøng tá r»ng: 10 119 ; 10 119 4/ Chøng tá r¼ng: ab ba 11 ; ab ba 9 víi a > b 5/ Cho abc27 Chøng tá r¼ng bca27 6/ Chøng tá r»ng: abab11 7/ Chøng tá r»ng nÕu: ab2cd th× abcd 67 8/ BiÕt: abc 2deg th× abc deg 23 ; 29 9/ Chøng minh r»ng: ab cd eg 11 th× abc deg 11 10/ Cho abc deg 37 th× abc deg 37 Cho abc deg 7 th× abc deg 7 Cho số tự nhiên có ba chữ số số đó tồn hai số tự nhiên liên tiếp tạo thµnh sè tù nhiªn cã ch÷ sè chia hÕt cho 11/ Cho sè tù nhiªn kh¸c vµ kh¸c lËp tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè tõ ch÷ sè trªn Chøng tá r»ng tæng cña chóng chia hÕt cho vµ chia hÕt cho 37 12/ Cho n lµ sè tù nhiªn chøng tá r»ng: a / n 10 n 15 2; b / n 1 n n2;3 c / n n 1 2n 1 2;3 13/ Chøng tá r»ng: NÕu x, y N vµ 3x y 5 th× x + 2y 14/ Mét sè cã ba ch÷ sè vµ ch÷ sè hµng chôc b»ng ch÷ sè hµng tr¨m Chøng tá r»ng tæng c¸c chữ số số đó chia hết cho 12 15/ Chøng minh r»ng nÕu x, y N 3x y 17; x y 17 th× x, y chia cho d n2 n 16/ Chøng tá r»ng hai sè: 1; 1 cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho 17/ Cho a, b N vµ 5a + 3b vµ 13a +8b cïng chia hÕt cho 1995 th× a vµ b cïng 1995 2 18/ Cho a, b N cã a + b 11 vµ a b 11 CTR : a.b11 19/ Chøng tá r»ng víi mäi n N th× n 5n kh«ng thÓ chia hÕt cho 25 2n 20/ Chøng tá r»ng víi mäi n N th× chia hÕt cho c¶ vµ 5 20.1/ Chøng tá r»ng: 942 351 5 vµ 99 98 97 96 2; n 21.2/ Cho n N CTR 51 14 21.3/ Cho n N CTR n n kh«ng chia hÕt cho vµ kh«ng chia hÕt cho 60 37 n 21.4/ CTR n N th× : a)10 19 b)10n 89 * A 8n 111 .1 n N CTR A9 ncs1 21.5/ Cho 21.6/ Cho hai số tự nhiên a và 2a có tổng các chữ số k CTR a 21.7/ Chøng tá r»ng mét sè gåm 27 ch÷ sè th× chia hÕt cho 27 21.8/ Cho ab N biÕt ab 3a.b CTR b a Gi¶ sö b = ka (k N) Chøng tá r»ng k lµ íc cña 10 Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (2) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 T×m ab 21.9/ Cho A 11 11 11 11 CTR A5 28 21.10/ CMR: a) 10 872; b)88 280 17 20 21.11/ Cho : A 2 CTR : A3; 7; 15; a ) 2a 111 .1 3; B 3 33 35 31999 CTR : A13; 41 b) 10n 18n 127; c) 10n 72n 181 ncs1 21.12/ CTR: 21.13/ Chøng minh r»ng sè gåm 81 ch÷ sè th× chia hÕt cho 81 Sè gåm 27 ch÷ sè th× chia hÕt cho 27 21.14/ Cho a, b lµ c¸c ch÷ sè kh¸c nhau: H·y chøng minh: a) abab11; b) aaabbb87 c) ababab 9 ; 101 B 888 n CTR B 9 ncs 21.15/ Cho 21.16/ CTR tổng tất các số có chữ số thì chia hết cho đồng thời cho tất các số 4;9;125 17 18 21.17/ BiÕt: A 7 17.3 lµ mét sè chia hÕt cho chøng tá r»ng: B 7 18.3 19 21.18/ Chøng tá r»ng tæng cña hai sè tù nhiªn kh«ng chia hÕt cho th× tÝch cña chóng 21.19/ Cho số tự nhiên không chia hết cho chia cho đợc số d khác nhau: CTR tæng cña chóng lµ mét 21.20/ Chøng tá r»ng tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp th× chia hÕt cho 2, tÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp th× chia hÕt cho cßn tÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp th× kh«ng chia hÕt cho 11 20.21/ Cho C 1 CTR : C 13; C 40 II/ Vận dụng t/c dấu hiệu để tìm số thỏa mãn điều kiện cho trớc 1/ Tìm n để: a) n 4n ; b) 3n n ; c) 27 5n n 2/ Tìm n N để: a) n 5n 2; b) 2n 3n ; c) 3n 111 2n ; d ) n 4n 3/ Tìm n N để: a) n 2n 1; b) 2n n ; c) 2n 16 n ; d ) 4n 32n 4/ Chứng tỏ x và y là các số tự nhiên cho 3x – y + và 2x + 3y – chia hết cho thì x và y chia cho có cùng số d là 5/ Cho a, b n N / 5a + 3b vµ 13a +8b cïng 1995 th× a vµ b cïng 1995 2 6/ Cho a, b n N / a b 11 vµ a b11 chøng tá r»ng a, b cïng chia hÕt cho 11 7/ Chứng tỏ không tồn số tự nhiên n để : n 5n 125 8/ T×m x, y N cho 15x + 20y = 2001 2003 CTR : S 2015 9/ Cho S 1 2014 2014 2014 2014 III/ VËn dông t/c chia hÕt, dÊu hiÖu chia hÕt t×m a, b tháa m·n ®iÒu kiÖn 1/ Tìm x, y để: 275x 5; 25; 125; b) xy 42; 4; 2/ Cho 76a 23 tìm chữ số a để 76a 239 3/ Thay dấu * Bởi số thích hợp để a ) 35*83 nhng kh«ng chia hÕt cho 9; 4/ / T×m a;b N/ b851a3; b) 468*9 nhng kh«ng chia hÕt cho 5/ T×m c¸c sè a, b cho: a) a – b = vµ 7a5b13 ; b) a – b = vµ 4a7 1b59 6/ T×m sè tù nhiªn cã ch÷ sè biÕt r»ng nã chia hÕt cho vµ vµ ch÷ sè hµng chôc b»ng trung b×nh céng hai ch÷ sè Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (3) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 7/ T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã ch÷ sè tháa m·n: 34 x5 y6 8/ T×m c¸c ch÷ sè a, b cho: 19abc¶ vµ 9/ Cã hai sè tù nhiªn x, y nµo mµ (x + y).(x – y) = 2002 kh«ng? 10/ Trong c¸c íc cña n = 1.2.3.4.5.6 16.17 H·y t×m sè lín nhÊt lµ b×nh ph¬ng cña mét sè TN, LËp ph¬ng cña mét sè TN: PhÇn IV: Lòy thõa: D¹ng 1: viÕt díi d¹ng mét lòy thõa: 2 3 1/ a)17 15 ; b) ; c) 2 20 2/ Cho A 2 H·y viÕt A díi d¹ng mét lòy thõa: 3/ ViÕt tæng sau díi d¹ng mét lòy thõa: a)13 23 ; b)13 23 33 ; c)13 23 33 43 4/ ViÕt tÝch sau díi d¹ng mét lòy thõa: a ) 25.84 ; b) 256.1253 ; c) 6253 : 257 ; d )173.33 5/ ViÕt tÝch sau díi d¹ng mét lòy thõa: a)84.165 ; b) 279.8110 ; c) 540.1252.6253 ; d )1010.103.1012 6/ ViÕt gän c¸c tÝch sau díi d¹ng mét lòy thõa: a)5.5.3.15.25.9; b)10.2.5.4.25.10; c)9.21.2.3.49; d )8.4.10.25; e)515 : 53 D¹ng 2: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc b»ng c¸ch nhanh nhÊt: a)183 : 93 ; b)1253 : 254 ; c) (103 10 1253 ) : 53 ; d ) 24 : 34 ; e) (7 24 23 ) : 22 D¹ng 3: So s¸nh hai lòy thõa: 50 91 75 35 1/ a)107 víi 73 ; b) víi ; 100 12 2/ a ) víi 1024 ; b) víi 27 ; 30 40 10 100 3/ a)10 víi ; b) víi 620 ; 40 4/ a)13 300 c)544 víi 2112 c)12580 víi 25118 c ) 333444 víi 444333 300 217 20 127 72 75 161 víi ; b) víi ; c) 54 víi 109 ; d )19 víi 73 ; 3n 200 2n víi ; b) víi víi (n N ) g ) 1920 víi 98.510 ; 5/ a) 6/ T×m x biÕt: x 1/ a) 15 17 ; g ) ( x 2)5 243 ; 2/ b) (7 x 11)3 25.52 200 ; a ) x10 1x ; a )10 x x ; a ) (2 x 15)5 (2 x 15)3 h) ( x 1)3 1253 18 16 x 1284 ; b) x.5 x 1.5 x 2 1000 : 18 cs 64 28 3/ a) x x ; b) x x x x 4/ 272 x 5/ 10 y x 6/ 25 250 7/ T×m sè tù nhiªn a, b cho a b aba 100 8/ TÝnh xem sè cã bao nhiªu ch÷ sè hÖ thËp ph©n A 1000 01 ncs 9/ BiÓu diÔn sè díi d¹ng sè tù nhiªn hÖ thËp ph©n 10/ T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè cho 2n lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn cßn 3n lµ lËp ph¬ng cña mét sè tù nhiªn Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (4) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 20 11/ T×m ch÷ sè tËn cïng cña : A 2 2 100 12/ Chøng tá rÇng: A 21 3; 15 13/ Tæng cña n sè tù nhiªn ch½n ®Çu tiªn kh¸c cã lµ sè chÝnh ph¬ng? v× sao? 14/ Thu gän tæng sau: Bµi tËp phÇn: ¦, B, SNT, HS, Ph©n tÝch mét sã TSNT.T×m sè lîng íc 100 1/ Cho A 5 A lµ sè nguyªn tè hay hîp sè: A cã lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng? 2/ C¸c sè sau lµ sè nguyªn tè hay hîp sè? a) 1.3.5.7… 18 + 20 b) 147.123.347 – 13 3/ C¸c sè sau lµ sè nguyªn tè hay hîp sè? A 1111 1; B 111111 11 20 cs1 2000 cs11 E 1! 2! 3! 100! C = 10101010 D = 1112111 G = 3.5.7.9 – 28; H = 31114111 4/ a/ Cho n lµ mét sè kh«ng chia hÕt cho Chøng tá r»ng n = 3k + b/ Cho P lµ mét sè nguyªn tè P >3 Hái P2 + 2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp s« 5/ Cho P và P + là số nguyên tố(P >3) Hỏi P + 100 là số nguyên tố hay hợp số: 6/ Cho P và P + là số nguyên tố(P >3) CTR P + là hợp số: 7/ Cho P vµ 10P + lµ sè nguyªn tè(P >3) CTR 5P + 1chia hÕt cho 8/ Cho P lµ sè nguyªn tè P >3 biÕt P + lµ sè nguyªn tè CTR P + chia hÕt cho 9/ Tìm số nguyên tố cho P + và P + 10 là số nguyên tố: 10/ Tìm tất các số nguyên tố P và Q cho 7P + Q và PQ + 11 là số nguyên tố: 11/ Cho P; P + lµ sè nguyªn tè P >3.CTR P + 10 lµ sè nguyªn tè: 12/ Tìm số nguyên tố P cho P + và P + 10 là số nguyên tố: 13/ Tìm số nguyên tố P để P2 + 44 là số nguyên tố 14/ Tìm số nguyên tố P để P + 94 và P + 1994 đêu là số nguyên tố: 15/ Tìm số nguyên tố P để 4P + là số chính phơng: 16/ Tìm các số tự nhiên k để 13k là số nguyên tố: 17/ Có hay không số tự nhiên n để 2014 + n2 là số chính phơng 18/T×m c¸c íc cña 420; 200 19/ T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt cã 12 íc 20/ T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt cã íc 21/ Cho A lµ mét hîp sè ph©n tÝch thõa sè nguyªn tè th× A cã hai thõa sè nguyªn tè kh¸c P1 vµ P2 BiÕt A3 cã 40 íc tù nhiªn Hái A cã bao nhiªu íc tù nhiªn 22/ T×m c¸c sè tù nhiªn x,y cho x2 + 45 = y2 23/ Cho P lµ sè nguyªn tè P >3 Hái P2 + 2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè: 24/ Tìm số nguyên tố P để: P2 + và P2 – là số nguyên tố: 25/ Chứng tỏ số tự nhiên khác có số lợng ớc là số lẻ thì số đó là số chính phơng 26/ T×m sè tù nhiªn A biÕt: a chia hÕt cho 5, a chia hÕt cho vµ a cã 10 íc: Bµi tËp phÇn ¦CLN; BCNN 1/ T×m ¦C(2n + 1, 3n + 1) Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (5) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 2/ T×m ¦CLN( 9n + 4; 2n – 1) 3/ Cho a + 5b (a,b N) CTR 10 + b điều ngợc lại có đúng không? 4/ T×m sè tù nhiªn a biÕt r»ng 398 : th× d 38 cßn cßn 450 chia cho a th× d 18 5/ T×m hai sè tù nhiªn biÕt r»ng tæng cña chóng lµ 288 vµ ¦CLN cña chóng lµ 24 6/ T×m hai sè tù nhiªn biÕt r»ng tæng cña chóng lµ 192 vµ ¦CLN cña chóng lµ 18 7/ T×m hai sè tù nhiªn nhá h¬n 56 vµ biÕt hiÖu cña chóng lµ 28 vµ ¦CLN cña chóng lµ 14 8/ Giả sử hai số tự nhiên có hiệu là 84 ƯCLN chúng là 12.Tìm hai số đó: 9/ Cho hai số tự nhiên nhỏ 200.Biết hiệu chúng là 90 và ƯCLN là 15 Tìm hai số đó 10/ T×m hai sè tù nhiªn biÕt r»ng tÝch cña chóng lµ 180 vµ ¦CLN cña chóng lµ 11/ T×m hai sè tù nhiªn biÕt r»ng tÝch cña chóng lµ 8748 vµ ¦CLN cña chóng lµ 27/ 12/ ¦CLN cña hai sè lµ 45 sè lín lµ 270 T×m sè nhá: 12/ ¦CLN cña hai sè lµ sè lín lµ T×m sè lín: 13/ T×m hai sè tù nhiªn a, b biÕt r»ng BCNN(a,b) = 300 vµ ¦CLN(a,b) = 15 14/ T×m hai sè tù nhiªn a, b biÕt r»ng BCNN(a,b) = 72 vµ ¦CLN(a,b) = 12 15/ T×m hai sè tù nhiªn biÕt r»ng tÝch cña chóng lµ 2940 vµ BCNN cña chóng lµ 210 16/ T×m hai sè tù nhiªn biÕt r»ng tÝch cña chóng lµ 2700 vµ BCNN cña chóng lµ 900 17/ T×m hai sè tù nhiªn a, b cho Tæng cña ¦CLN vµ BCNN lµ 15 18/ T×m hai sè tù nhiªn a, b cho Tæng cña ¦CLN vµ BCNN lµ 55 19/ T×m hai sè tù nhiªn a, b cho hiÖu cña BCNN vµ ¦CLN lµ 20/ Tìm WCLN( 7n +3, 8n – 1) với (n N*) Khi nào thì hai số đó nguyên tố cùng 21/ Cho (a,B) = Chøng tá r»ng: (8a + 3) vµ (5b + 1) lµ nguyªn tè cïng nhau: 22/ Tìm số nhỏ để: n + 1; n + 3; n + là nguyên tố: 23/ BiÕt(a,b) = 95 t×m (a + b, a – b) 24/ Cho sè tù nhiªn a, b (a>b) a/ CTR: a b th× (a,b) b b/ NÕu a kh«ng chia hÕt cho b th× (a,b) = (b,r) 25/ T×m ¦CLN (a,b) biÕt a gåm 1991 ch÷ sè2 cßn b gåm ch÷ sè 26/T×m ¦CLN(187231; 165148) (111 1;111 1) 27 T×m ¦CLN 100 cs1 8cs1 18/ Tìm n để 9n + 24 và 3n + là hai số nguyên tố cùng nhau:(n N) 19/ Tìm n để: 18n + và 21n + là hai số nguyên tố cùng nhau: 20/ T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt chia cho th× d cßn chia cho th× d 21/ T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt cã ch÷ sè chia cho 131 th× d 112 cßn chia cho 132 th× d 98 22/ T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt cã ba ch÷ sè chia cho 11 th× d cßn chia cho 13 th× d 23/T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt chia cho th× d cßn chia cho 31 th× d 28 24/ Mét sè tù nhiªn biÕt r¨ng chia cho th× d 15 chia cho 13 th× d cßn chia cho 91 th× d? 26/ T×m sè tù nhiªn nhá nhÊt chia cho 17 th× d cßn chia cho 19 th× d 12 PhÇn V Sè nguyªn I/ Giá trị tuyệt đối số nguyên 1/ T×m x biÕt: x k; x k; 2/ T×m x Z biÕt: - 2014 < x k ; x 3/ TÝnh tæng c¸c gi¸ trÞ cña c¸c sè nguyªn x biÕt: - 2014 < 4/ T×m x, y, z Z biÕt: 5/ T×m a, b, c Z biÕt: x a + + y b + + z x 2014 =0 c Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (6) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 x y 2 6/ T×m x, y Z biÕt: 7/ CTR: a b a b 8/ Tìm x Z để x 2013 đạt giá trị nhỏ nhất: a 9/ víi gi¸ trÞ nµo cña a th×: a + 10/ Tìm x Z để = 0; a + a = 2a x x x x x x 10 11x 11/ Tìm x Z để: 12/ các số a và b phải thỏa mãn điều kiện gì để: a/ a + b = ab b/ a + b = - ( a b ) 13/ T×m hai sè nguyªn x vµ y biÕt: x vµ y lµ hai sè nguyªn cïng dÊu vµ 14/ Cho 15/ x 7; y 20 x; y Z h·y tÝnh x - y x 3; y 5; x; y Z ; x y 2 T×m x, y x 0; x 15 16/ T×m x Z biÕt : x 2012 0; x x; x 2014 17/ T×m x Z biÕt : x a a 18/ T×m x Z biÕt : 19/ T×m x Z biÕt : T×m x Z biÕt : 20/ T×m x Z biÕt : 21/ Tìm x Z để: 22/ Cho x, y Z x y 3 x 45 40 y 10 11 0 x y 0; x y 100 H·y tÝnh x – y x 2012 2012 2013 x x x x 10 11x a/ Víi gi¸ trÞ nµo cña x th×: A = 100 - x 5 Trïng bµi 11 có giá trị lớn nhất: tìm giá trị đó: y 50 b/ Víi gi¸ trÞ nµo cña y th×: B = có giá trị lớn tìm giá trị đó: II/ C¸c phÐp tÝnh trªn tËp sè nguyªn: 1/ TÝnh nhanh: a/ – + – + … + 999 – 100 b/ – – + + – – + + … + 97 – 98 – 99 + 100 2/ Cho: S1 = + (-3) + + (-7) + …+ 17 S1 = (-2) + + + (-6) + + …+ (-18) TÝnh S1 + S2 3/ T×m x biÕt: (x + 153) – (48 – 193) = - - - - 4/ Tìm x Z biết: 10 = 10 + + + + … + x Trong đó vế phải là tổng các số nguyên liên tiÕp gi¶m giÇn: 4’/ Tìm x Z biết: 12 + 11 + 10 + + + + … + x = 12 Trong đó vế trái là tổng các số nguyªn liªn tiÕp gi¶m giÇn: 5/ Tìm x Z biết: x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + … + 19 + 20 = 20 Trong đó vế trái là tổng các sè tù nhiªn liªn tiÕp t¨ng dÇn: 6/ Cho a + b = 11; b + c = 3; c + a = T×m a, b, c Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (7) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 7/ Cho a, b, c, d Z BiÕt: a + b + c + d = 1(1) a + c + d = 2(2) a + b + d = 3(3) a + b + c = 4(4) 8/ Cho x1 + x2 + x3 +…+ x50 + x51 = vµ x1 + x2 = x3 + x4 = … = x50 + x51 = 9/ TÝnh tæng sau: S1= – + – + … + 1998 – 2000 S2= – - + + 10 – 12 – 14 + 16 + … +1994 – 1996 - 1998 + 2000 10/ TÝnh tæng sau: a/ S = + – – + + – – + … + 98 – 99 – 100 + 101 + 102 b/ S = - + – + - … - 101 + 103 c/ S = – + 22 – 23 + … + 21000 11/ TÝnh tæng: T = – 32 + 33 – 34 + 35 + … + 31999 - 32000 12/ T×m x biÕt:(x + 17) – 18 = - + – + – + - … + 28 – 29 + 30 13/ TÝnh: a/ + – + – + … + 199 – 200 b/ + – – + – – + - … + 97 + 98 – 99 – 100 c/ - + – + - … - 101 + 103 14/ TÝnh tæng S = + + – – – + + + + … + 56 + 57 – 58 – 59 - 60 15/ TÝnh: D = 2100 - 299 – 298 - … - 22 – - III/ PhÐp nh©n Z: 1/ T×m a, b Z biÕt: a.b = 24; a + b = -10 2/ T×m tÊt c¶ c¸c cÆp sè nguyªn x,y cho tÝch cña chóng b»ng tæng cña chóng: 3/ T×m x Z biÕt: a/ x(x + 3) = b/ (x - 2).(5 – x) = c/ (x – 1).(x2 + 1) = d/ (x – 3).(2y + 1) = e/ (2x – 1).(3y – 2) = - 56 g/ (x – 7).(x + 3) < h/ (x – 5).(x2 – 9) = i/ (x2 – 7).(x2 – 51) < 4/ Cho A = (5m2 – 8m2 – 9m2).(- n3 + 4n3) Víi gi¸ trÞ nµo cña m, n th× A > 5/ Cho c¸c sè nguyªn a, b, c, d, e, g, h tháa m·n a + b = c + d = e + g = h + a = vµ a + b + c + d + e + g + h = - 23 tÝnh a 6/ T×m x Z biÕt: a/ (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + … + (x + 99) = b/ (x - 3) + (x - 2) + (x - 1) + … + 10 + 11 = 11 2m 2n ; B m n 7/ Cho biÕt A < B h·y so s¸nh m víi n 8/ Cho a, b, c, d Z biết: ab – ac + bc – c CTR: a và b là hai số đối nhau: A 9/ T×m GTNN cña: (x – 11)2 + 2015 T×m GTLN cña: - (x + 81) + 2015 10/ T×m x, y biÕt: 3x + 4y – xy = 15 Béi vµ íc cña mét sè nguyªn: 1/ C¸c sè sau cã bao nhiªu íc nguyªn: 64; -196 2/ Cho a, b, x, y Z đó x, y không đối ax – by x + y thì ay – bx x + y 3/ T×m c¸c sè nguyªn x, y nhá h¬n 10 cho 3x – 4y = - 21 4/ Cho S = – + 32 – 33 + … + 398 - 399 a Chøng tá r»ng S lµ béi cña (-20) b Tính S từ đó suy 310 chia cho d 5/ T×m sè nguyªn d¬ng n cho n + lµ ¦(111) cßn n – lµ béi cña (11) 6/Tìm n Z để: Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (8) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 a/ 4n – n b/ -11 lµ B(n – 1) c/ 2n – ¦(3n +2) 7/ Tìm n Z để: n – là và n + lầ bội n - 8/ Tìm n Z để: a/ n2 – B(n + 3) b/ n + B(n2 – 7) 9/ T×m c¸c sè nguyªn x, y cho: a/ (x + 2)(y – 3) = b/ (x + 1)(xy – 1) = 10/ TÝnh A + B biÕt A lµ tæng c¸c sè nguyªn ©m lÎ cã ch÷ sè cßn B lµ tæng c¸c sè nguyªn d¬ng ch½n cã hai ch÷ sè 11/ Cho A = – + – 11 + 14 – 17 + … + 98 – 101 a ViÕt d¹ng tæng qu¸t sè h¹ng thø n cña A b TÝnh gi¸ trÞ cña A 12/ Cho A = + – – + + - … - 99 – 100 a/ A cã chia hÕt cho ; ; Kh«ng? v× sao? b/ A cã bao nhiªu íc nguyªn bao nhiªu íc lµ tù nhiªn 13/ T×m c¸c sè nguyªn n cho: a/ n + n – 2; b/ 2n + n – 5; c/ n2 – 3n - 13 n + 2; d/ n2 + n - 14/ Tìm n Z để: n + n – 17 B(n + 5) 15/ Tìm n Z để: a) (a – 7)(b + 3) = - 8; b) (ab – 2)(b + 5) = 6; c) (a – 15)(b + 8) = - 5n 8n Z B Z n2 2n 16/ Tìm n Z để: vµ 17/ Tìm n Z để: n2 + 3n – B(n – 2); n2 + 9n + B(n + 2); n2 + 5n + B(n + 3); 18/ Cho x, y Z tháa m·n: 1003x + 2y = 2008 a CTR x 2; b.T×m x, y 19/ CTR nÕu n lµ sè nguyªn d¬ng th×: 20 + 21 + 22 + 23 + …+ 25n – + 25n- + 25n – 31 A 20/ T×m x biÕt x + (x + 1) + (x + 2) + … + 2008 + 2009 = 2009 PhÇn ph©n sè: 1/ Tìm điều kiện n để A n lµ ph©n sè: 102014 B 2/ Cho Chøng tá r»ng B lµ sè tù nhiªn: n 1 P n Tìm giá trị số tự nhiên n để P có giá trị là số nguyên tố: 3/ Cho 5n 3n a b vµ 12 Chứng tỏ a và b không đồng thời là số nguyên tố với cùng 4/ Cho mét gi¸ trÞ cña n 12 15 ; ; 5/ Tìm x Z để các số sau đồng thời là số nguyên: n n n 1 3n A n Tìm n Z để A là số nguyên: 6/ Cho x 4 7/ T×m x, y Z biÕt: y = vµ x – y = Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (9) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 a b 12 c ; ; 8/ T×m tÊt c¶ c¸c sè a, b, c, d nhá nhÊt cho b c 21 d 11 a x a x a a b y b y b b 9/ Cho CMR: nÕu: th×: a c a b c d a b c d d vµ: b d 10/ Cho b d CMR b x x 11/ T×m x biÕt: 12/ T×m x,y,z biÕt: x y z a 12 vµ x y z = 20 x y z vµ x2 + y2 + z2 = 585 13/ T×m x, y Z biÕt: x a/ y víi x > y 2 y x víi x < < y x 4 c/ y 3 vµ x – y = b/ 14/ LËp c¸c cÆp sè b»ng tõ sè sau: -18; -4; 8; 9; 36 Bµi tËp vÒ nhµ: B n 12 1/ Cho ph©n sè a Tìm n để B là phân số: b Tìm n để B là số nguyên âm, số nguyên dơng c TÝnh gi¸ trÞ cña B t¹i n = -3; ; 12 102011 2/ Chøng tá r»ng: lµ ph©n sè: n 1 3/ Tìm n để: n là số tự nhiên: (n N) n 3 Tìm n để: n là số nguyên tố: 4n 5n a b 15 chứng tỏ rầng a và b không đồng thời là số nguyên tố với cùng 4/ Cho vµ mét gi¸ trÞ cña n 12 ; ; 5/ Tìm n Z để các phân số sau có cùng giá trị nguyên: n n n 1 Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (10) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 x 6/ Tìm x Z để 12 x x 5 y Z 7/ T×m x, y để 8/ LËp c¸c ph©n sè b»ng tõ c¸c ph©n sè sau (-2); (-3); (-6); 3; x4 y 5 vµ x – y = 9/ T×m x, y biÕt: 23023 234669 25323 ; ; 10/ CTR: c¸c ph©n sè sau b»ng nhau: 15015 153047 16515 PhÇn Ph©n sè b»ng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè: 1/ Rót gän c¸c ph©n sè sau: 71.52 53 530.71 180 36036 3003 b 46046 2002 93.5 36.2 c 19 A 21 23 25 39 2/ Cho a a Rót gän A b Nêu cách xóa số hạng tử và số hạng mẫu để đợc phân số phân số đã cho 1 A 11 13 14 15 16 17 18 19 2.1/ Cho c Rót gän A d Nêu cách xóa số hạng tử và số hạng mẫu để đợc phân số phân số đã cho a a 60 3/ T×m ph©n sè b biÕt: b 108 Vµ ¦CLN(a,b) =15 BCNN(a,b) = 180 a 32 4/ T×m ph©n sè b cã gi¸ trÞ lµ: 48 biÕt: (a.b).[a,b] = 486 víi a, b N 5/ CMR: 1.3.5.7 40 20 a/ 21.22.23 40 1.3.5.7 (2n 1) n b/ (n 1)(n 2)(n 3) 2n víi n N* 8n 193 5/ Tìm số tự nhiên n để 4n là phân số tối giản PhÇn chøng tá r»ng ph©n sè sau lµ ph©n sè tèi gi¶n: n n 5n 1/ Chøng tá r»ng Ph©n sè: nhËn gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn víi mäi n th× c¸c ph© sè vµ lµ c¸c sè tù nhiªn: Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (11) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 3n 2/ CTR 2n lµ ph©n sè tèi gi¶n víi mäi n N 4n 2 3/ Tìm số tự nhiên n để phân số 2n 2n là phân số tối giản 6n 4/ Tìm số tự nhiên n để: 3n a Cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn b lµ ph©n sè tèi gi¶n c là phân số rút gọn đợc A 8n 193 4n 5/ Tìm số tự nhiên n để a cã gi¸ trÞ lµ sè tù nhiªn b Lµ ph©n sè tèi gi¶n c Với giá trị nào n khoảng 150 - 170 thì phân số rút gọn đợc n 19 6/ Tìm tất các số nguyên n để n là phân số tố giản n 13 7/ Tìm n N để n là phân số tối giản n 2n Z 8/ Tìm n Z để: n 4n 9/ Chøng tá r¼ng: 14n lµ ph©n sè tèi gi¶n: Dạng tìm n để phân số rút gọn đợc, rút gọn đợc cho số nào? 3n 1/ phân số 4n rút gọn đợc cho số nào? 6n A 3n 2/ Tìm n để a/ cã gia trÞ lµ sè tù nhiªn b/ lµ ph©n sè tèi gi¶n c/ Là phân số rút gọn đợc 3/ Cho c¸c ph©n sè: 64 65 ; ; ; ; n n n 10 n 66 n 67 Tìm số n nhỏ để các phân số trên đồng thời là phân số tối gi¶n 3.1/ Cho c¸c ph©n sè: 16 17 ; ; ; ; ; n n n 10 n 19 n 20 Tìm số n nhỏ để các phân số trên đồng thời là phân số tối gi¶n 21n 4/ Tìm n để: 6n là phân số rút gọn đợc 2n A 5n A có thể rút gọn đợc cho số nào 5/ Cho n 1 A n 6/ Cho Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (12) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 a/ Với n Z ; n 3 Tìm n để A Z b/ Với n Z ; n 3 Tìm n để A là phân số tối giản 2ab 2an 5a n 5a 2b 2 2 7/ Cho A = 5an a b 5ab a n 8/ TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc B 45.8 45.42 16 18 3 x y vµ x + y = 20 9/ T×m x, y N biÕt: a a 12 10/ Cho ph©n sè b biÕt b cã gi¸ trÞ lµ 54 vµ ¦CLN (a, b) = 12 víi a, b N a a 24 Cho ph©n sè b biÕt b cã gi¸ trÞ lµ 36 vµ BCNN (a, b) = 90 víi a, b N a a Cho ph©n sè b biÕt b cã gi¸ trÞ lµ 15 vµ a + b = 132 víi a, b N D¹ng so s¸nh ph©n sè: 1/ C¸ch xÐt tÝch chÐo 2/ Đa cùng tử để so sánh 3/ Đa cùng mẫu để so sánh 4/ So s¸nh víi 5/ Dùng phần thừa phân số lớn 6/ Dïng phÇn thiÕu so víi ph©n sè nhá h¬n 7/ Dïng ph©n sè lµm ph©n sè trung gian 8/ Dïng xÊp xØ 10/ Dïng tÝnh chÊt: Bµi tËp so s¸nh ph©n sè: 2011 2013 1/ So s¸nh hai ph©n sè sau: 2012 víi 2012 n 1 n 2/ So s¸nh hai ph©n sè sau: n víi n víi n N* 1919.161616 25 3/ So s¸nh hai ph©n sè sau: 323232.3838 víi 102 n n2 4/ So s¸nh hai ph©n sè sau: n víi n víi n N* 107 108 5/ So s¸nh hai ph©n sè sau: 10 víi 10 1916 1915 17 16 6/ So s¸nh ph©n sè sau: 19 vµ 19 4736 4735 35 34 So s¸nh ph©n sè sau: 47 vµ 47 758 2009 759 56 57 7/ So s¸nh ph©n sè sau: 2009 vµ Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (13) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 5555555553 666666664 8/So s¸nh ph©n sè sau: 555555557 vµ 666666669 5678901234 5678901235 9/ So s¸nh ph©n sè sau: 6789012345 vµ 6789012347 Dạng chứng minh đẳng thức: 1 1 A 101 102 103 200 1/ Cho A 12 a CMR: A b CMR: 1 1 A A 101 102 103 200 CMR: 2/ Cho 3/ Cho A 1 1 CMR : A 2 100 199 A A2 200 CTR: 201 4/ Cho 1 1 A 1 100 5/ Cho: Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (14) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 1 1 A 1 100 n 6/ Chứng minh rầng luôn tồn số tự nhiên n để: Bài tập nhà phần chứng minh đẳng trhwcs: 1 1 41 42 43 79 80 12 1/ CMR: 1 1 20 50 100 11 2/ CMR: 1 1 A 2 n kh«ng lµ sè tù nhiªn víi mäi n N * 3/ Cho A 99 A 100 10 4/ Cho 1 1 A 4 58 5/ Cho: 1 1 A 1 50 CTR: A Kh«ng lµ sè tù nhiªn 6/ Cho : 1 1 A 1 CTR: < A < Cho : H×nh häc: 1/ Cho đờng thẳng a,b,c,d và điểm A, B, C, D, E, F nh h×nh vÏ h·y cho biÕt: a Điểm A thuộc đờng thẳng nào? b Điểm A không nằm trên đờng thẳng nào? c Có đờng thẳng nào chứa điểm C d Có đờng thẳng nào không chứa ®iÓm C e Có bao nhiê đờng thẳng qua F f Tập hợp các đờng thẳng chứa E là gì? g §êng th¼ng d cßn gäi theo bao nhiªu c¸ch A E B a C F Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao b D c d (15) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 2/ Cho đờng thẳng a, b, c, d, e, f và điểm A, B, C, D, E, F, M nh h×nh vÏ a Nªu c¸c bé ba ®iÓm th¼ng hµng b Cã bao nhiªu bé ba ®iÓm th¼ng hµng c Trong mçi bé ba ®iÓm thÈng hµng nªu mèi quan hÖ gi÷a c¸c ®iÓm d Có ? ba điểm đồng quy, đồng quy ®iÓm nµo A f E F M B D a C c b e d 3/ Cho điểm phân biệt.A, B, C, D có bao nhiêu đờng thẳng kẻ đợc qua cặp hai ®iÓm Êy 4/ Cho đờng thẳng phân biệt a, b, c, d Hỏi đờng thẳng này cắt bao nhiêu giao điểm 1/ Cho h×nh vÏ Cã ®iÓm A, B, C, D, E, F, M và đờng thẳng a, b, c, d, e, f Hãy cho biết: a Qua điểm A có đờng thẳng là đờng thẳng nào? b Điểm C thuộc đờng thẳng nào? c Có ba điểm cùng thuộc đờng thẳng d Có đờng thẳng qua ba điểm A, B, M e Có ba đờng thẳng đồng quy điểm, đồng quy điểm nào A M F D E b c B a C e d f 2/ Cho ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng vµ ba ®iÓm B, C, D th¼ng hµng Cã thÓ kÕt luËn g× vÒ ba ®iÓm A, B, D 3/ Trên đờng thẳng a có bốn điểm A, B, C, D biÕt ®iÓm C n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B D n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ C CTR ®iÓm C n»m gi÷a A hai ®iÓm B vµ D §iÓm D n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B 4/ Cho ba đờng thẳng a, b, c đôi cắt t¹i c¸c ®iÓm A, B, C vµ mét ®iÓm M nh h×nh vÏ a T×m mét ®iÓm D cho ba ®iÓm A, M, D th¼ng hµng vµ ba ®iÓm B, M, C th¼ng hµng M Cã ? ®iÓm D nh vËy b T×m mét ®iÓm N cho ba ®iÓm A, M, N B C c th¼ng hµng vµ ba ®iÓm B, N, C th¼ng hµng Cã ? ®iÓm N nh vËy b a 6/ Cho điểm phân biệt Trong đó không có bất kì ba điểm nào thẳng hàng Có thể kẻ đợc bao nhiêu đờng thẳng qua cặp hai điểm 7/ Cho n điểm đó có đúng ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta kẻ đợc đờng thẳng Hỏi có tất bao nhiêu đờng thẳng Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (16) Tai liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp năm học 2014 -2015 8/ Trên mặt phẳng có bốn đờng thẳng Số giao điểm bốn đờng thẳng đó là bao nhiêu 8’/ Cho n điểm (n > 2) nối cặp hai điểm n điểm đó thành các đờng thẳng a Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng b Có đúng ba điểm thẳng hàng c TÝnh n nÕu tÊt c¶ cã 1770 ®o¹n th¼ng 9/ Cho n điểm Cứ qua hai điểm ta có đờng thẳng a hỏi có thể kẻ đợc bao nhiêu đờng thẳng n điểm đó không có bất kì ba điểm nµo th¼ng hµng b Có đúng điểm thẳng hang c Tính n biết tổng số có 210 đờng thẳng 10/ Cho n đờng thẳng Trong đó không có hai đờng thẳng nào song song và không có ba đờng thẳng nào đồng quy a Tìm số giao điểm n đờng thẳng đó b áp dụng cho trờng hợp 2014 đờng thẳng 2015 đờng thẳng Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao (17)