- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượngđã biết Bước 2: Giải hệ phương trình.. Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm của hệ có thoả mãn điều kiện của ẩn hay không rồi kết luận[r]
(1)GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/Phương pháp chung :
Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn ẩn dặt điều kiện cho ẩn
- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượngđã biết Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm hệ có thoả mãn điều kiện ẩn hay không kết luận
II/ Các dạng toán :
1/ Toán chuyển động :
VD1: Tìm vận tốc chiều dài đoàn tàu hoả biết đoàn tàu chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối giây Cho biết sân ga dài 378m thời gian kể từ đầu máy bắt đầu vào sân ga toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây
Giải: Gọi x (m/s)là vận tốc đoàn tàu vào sân ga (x>0) Gọi y (m) chiều dài đoàn tàu (y>0)
Tàu chạy ngang văn phòng ga giây nghĩa với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) giây.Ta có phương trình : y=7x (1)
Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m toa cuối rời khỏi sân ga 25 giây nghĩa với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) 25giây Ta có phương trình : y+378=25x (2)
Ta hệ phương trình :
y+378=25x
y x
(2)VD2: Một thuyền xuôi, ngược dịng khúc sơng dài 40km hết 4h30 phút Biết thời gian thuyền xi dịng 5km thời gian thuyền ngược dịng 4km Tính vận tóc dòng nước ?
Giải: Gọi x (km/h)là vận tốc thuyền nước yên lặng. Gọi y(km/h) vật tốc dịng nước (x,y>0)
Vì thời gian thuyền xi dòng 5km thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta
có phương trình :
5
x y x y
Vì thuyền xi, ngược dịng khúc sơng dài 40km hết 4h30 phút (= 2h)
nên ta có phương trình :
40 40
2
x y x y
Ta có hệ phương trình :
5
40 40
2
x y x y
x y x y
Giải ta có : x=18 ; y=
Vậy vận tốc dòng nước km/h
VD3: Trên đường tròn chu vi 1,2 m, ta lấy điểm cố định A Hai đim chuyển động M , N chạy đường tròn , khởi hành từ A với vận tốc không đổi Nếu chúng di chuyển trái chiều chúng gặp sau 15 giây Nếu chúng di chuyển chiều điểm M vượt Nđúng vịng sau 60 giây.Tìm vận tốc điểm M, N ?
Giải: Gọi x(m/s) vận tốc điểm M
Gọi y(m/s) vận tốc điểm N (x>y>0)
(3)Khi M,N di chuyển chiều điểm M vượt N vịng sau 60 giây nên ta có phương trình : 60x-60y=1 (2)
Ta có hệ phương trình :
15x+15y=1,2 60x+60y=1
Giải hệ phương trình ta có x=0,05 ;y= 0,03 (thoả ĐKBT)
Vậy vận tốc điểm M : 0,05m/s vận tốc điểm N : 0,03m/s
BTVN: Một môtô ôtô từ M đến K với vận tốc khác Vận tốc môtô 62 km/h cịn vận tốc ơtơ 55 km/h Để xe đến đích lúc người ta cho ôtô chạy trước thời gian Nhưng lí đặc biệt nên chạy 2/3 quãng đường ôtô buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/h Vì cịn cách K 124km mơtơ đuổi kịp ơtơ Tính khoảng cách từ M đến N
HD: Gọi khoảng cách MK x km
Gọi thời gian dự định ôtô trước môtô y (giờ)
Ta có :
62 55
2 124
124
3
65 27,5 62
x y x
x
x x
y
Giải hệ ta rút : x= 514km ;
94 ( )
1705
y h
2/ Bài tốn hồn thành cơng việc ( làm chung làm riêng )
VD4: Cho vòi A,B,C chảy vào bể Vòi A B chảy đầy bể 71 phút Vòi A C chảy đầy bể 63 phút Vòi C B chảy đầy bể 56 phút a) Mỗi vòi làm đầy bể ? Cả vịi mở lúc đầy bể
bao lâu ?
b) Biết vòi C chảy 10lít phút so với vịi A B chảy lúc Tính sức chứa bể sức chảy vòi ?
(4)Vòi C làm đầy bể z phút ( phút làm đầy 1/z bể )
Ta có hệ phương trình :
1
72
1
63
1
56
x y
x z
z y
Giải hệ phương trình ta : x=168 ; y=126 ; z=504/5
Nếu vịi mở lúc sau phút đầy
5 12 504 504
bể
3 vòi làm đầy bể sau : 504 4212 phút
b)Gọi dung tích bể t phút phút vịi C chảy 5/504.t lít , vịi A B
chảy
3
( )
504 504 tlít Theo đề ta có phương trình :
5 10 5040 2520( )
504t 504 504 t t l
Sức chảy vòi A : 3.2520 15 /504 l p
Tương tự sức chảy vòi B : 4.2520 20 /504 l p sức chảy vòi C : 5.2520 25 /504 l p 3/ Bài toán tỉ lệ , phân chia đều:
VD5: Nhân ngày 1/6 phân đội thiếu niên tặng số kẹo Số kẹo chia hết va chia cho đội viên Để đảm bảo nguyên tắc chia , phân đội trưởng đề xuất cách nhận quà sau:
(5)Hỏi phân đội thiếu niên nói có đội viên ? Mỗi đội viên nhận kẹo ?
Giải: Gọi số người phân đội a
Số kẹo phân đội tặng x (a,x>0)
Người thứ nhận :
1
11
x
(kẹo )
Người thứ hai nhận :
1
11
11 x
x
(kẹo )
Vì hai số kẹo có a người nên ta có :
1
1 00
1
11 11
1
(1 )
11
x x
x
x
a x
Giải hệ ta x=100 ; a=10
VD6: 12 người ăn 12 bánh Mỗi người đàn ông ăn , người đàn bà ăn 1/2 em bé ăn 1/4 chiếc.Hỏi có người đàn ông , đàn bà trẻ em ?
Giải: Gọi số đàn ông , đàn bà trẻ em x,y,z.(x,y,z số nguyên dương nhỏ 12)
Số bánh họ ăn hết : 2x ; y/2 ; z/4
Theo đề ta có hệ phương trình :
12 2 2 2 24 1
2 12 48
2
x y z x y z
y z
x x y z
Lấy (2) trừ (1) ta : 6x-z=24 (3)
Vì x, z Z, 6x 24 chia hết cho , z chia hết cho Kết hợp với điều kiện 0<z<12 z=6.
(6)VD7: dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) dung dịch khác chứa 55% axit nitơric Cần phải trộn thêm lít dung dịch loại loại để 100lít dung dịch 50% axit nitơric?
Giải: Gọi x,y theo thứ tự số lít dung dịch loại (x,y>0)
Lượng axit nitơric chứa dung dịch loại 30
100xvà loại 55 100y
Ta có hệ phương trình :
100
30 55 50
100 100
x y
x y
Giải hệ ta : x=20 ;y=80
GHI NHỚ :
- Khi chọn ẩn cần xác định điều kiện ẩn
- Mỗi phương trình hệ lập nhờ xác định đẳng thức biểu diễn cho đại lượng cách
- Nếu công việc làm xong x làm 1/x cơng việc
BTVN: Có 45 người gồm bác sĩ luật sư , họ 40 Tính số bác sĩ luật sư biết tuổi trung bình bác sĩ 35 , trung bình luật sư 50.
HD: Gọi số bác sĩ x số luật sư y Ta có hệ phương trình :
45 30
40
35 50 15
45
x y x
x y y
(7)(8)1.Muc đích : nhằm bồi dưỡng thêm cho hs số dạng tốn phương trình bậc hai ẩn, vị trí tương đối đường thẳng Parabol y ax a 2( 0)và số yếu tố liên quan
2.Chuẩn bị : Nghiên cứu tài liệu có liên quan soạn chương trình thực
3.Tiến trình dạy :
A Sự tương giao (P) (D):
Bài tập 1: Trên mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P) y2x2và đường thẳng (d) y=(m-2)x+1 (d’)y=-x+3 (m tham số ) Xác định m để (P) ,(d) (d’) có điểm chung
Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d’): 2x2=-x+3 2x2+x-3=0 (a+b+c=0)
3 1;
2
x x +Khi x=1 y=2
+Khi
x
9
y
Vậy (d’) cắt (P) điểm phân biệt
1;2 & 2 23 9;
A B
Để (P) ,(d) (d’) có điểm chung
3 ( 2).1
1 ( 2)( ) 13
3
2
m m
A d
B d m m
Vậy với m=3 hay m=
thì (P) ,(d) (d’) có điểm chung
Bài tập 2: Trong mặt phẳng toạ độ , cho (P) : yx2và đường thẳng (d) : y=mx+1 (m tham số ).Xác định m để :
(9)Giải : Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) : x2+mx+1=0 (*) 4
m
a) (d) tiếp xúc (P)khi phương trình (*) có nghiệm kép
2 2
0 4 0
2 m m m
b) )(d) cắt (P) điểm phân biệt (*) có nghiệm phân biệt
2 2
0 4 0
2 m m m
c) (d) (P) điểm chung (*) vơ nghiệm 0 m2 4 0 2 m2
Bài tập 3: Cho (P) : 2
x y
và (d) :
3
( 1) ( )
2 m
y m x m R
Xác định m để (d) cắt (P)tại điểm A(xA; yA) ; B(xB; yB) cho :
2 10
A B
x x Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d)là :
2 2
2 (*) 2( 1)
2
1 15 15
'
4 4
x m x m x m x m
m m m
vậy phương trình (*) có nghiệm phân biệt xA ; xB
Theo Viét ta có :
2( 1)
. 3
A B
A B
x x m
x x m
2
2
2
0
4 ( 3)
0; 3
0;
A B A B A B
Dox x x x x x
m m m m
m m m
m m m
Vậy với m m
(10)Bài tập 4: Trong mặt phẳng toạ độ , cho (P) :
2 x y
, điểm M(0;2) Đường thẳng (D) qua M không trùng với Oy Chứng minh (d) cắt (P)tại
điểm phân biệt cho AOB 90
Giải: - Vì (D) qua M(0;2) khơng trùng với Oy nên có dạng y=ax+b - M D( )nên: 2=a.0+b b=2 (D): y=ax+2
- Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (D) :
2
2 2 4 0(*)
2
x ax x ax
Vì phương trình (*) có hệ số a=1 ; c—4 (a.c<0) nên (*) có nghiệm phân biệt A(xA; yA) ; B(xB; yB)
Theo hệ thức Viét ta có:
2
. 4
A B
A B
x x a x x 2 4
2 2
2 2
Vì ( ) ; ( )
2 2
0 0 ; 0 0
4 4
A B
A B
A B
A A A B B B
x x
A P y B P y
x x
OA x y x OB x y x
2
2 4
2 2
2 2
4
2 2
2 2
2 2 4
Ta coù OA
4
Vậy : OA vuông O
A B A B
A B A B A B A B
A B
A B
x x x x
AB x x y y x x x x
x x OB x x
OB AB AOB
@@@@@@@@@@@@@
(11)Bộ phận bán hàng: 0918.972.605
Đặt mua tại: https://xuctu.com/
FB: facebook.com/xuctu.book/
Email: info@123doc.org
Đặt trực tiếp tại:
https://forms.gle/ooudANrTUQE1Yeyk6
: