Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số sau.. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục mỗi hình phẳng giới hạn bởi..[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I NGUYÊN HÀM Khái niệm Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số F ( x) gọi là nguyên hàm hàm số f ( x) trên K, F '( x) f ( x) , với x K Định lý Giả sử F ( x) là nguyên hàm hàm số f ( x) trên khoảng K Khi đó a Với số C, hàm số G ( x) F ( x) C là nguyên hàm f ( x) b Ngược lại, G(x) là nguyên hàm f ( x) thì tồn số C cho G(x) = F(x) + C f ( x )dx F ( x ) C c Họ tất các nguyên hàm f ( x ) là nguyên hàm f ( x ) , C là số , đó F ( x) là d Bảng các nguyên hàm Nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp u u ( x) kdx kx C , k R kdu ku C, k R x dx x 1 C ( 1) 1 dx x ln x C ( x 0 ) dx 2 x C x x x a dx x du u 1 C ( 1) 1 du e dx e u C ax C (0 a 1) ln a u ln u C du u 2 u u C e du e u a du ( x 0 ) u C au C (0 a 1) ln a cos xdx sin x C cos udu sin u C sin xdx cos x C sin udu cos u C (2) dx cos x tan x C dx ; sin x cot x C du cos u tan u C du ; sin u cot u C Ngoài còn số công thức thường gặp là k (ax b) dx (ax b)k 1 C , ( a 0, k 1); a k 1 1 dx e ax b C ; a sin(ax b)dx a cos(ax b) C e cos(ax b)dx a sin(ax b) C ax b ax b dx a ln ax b C, a 0 Một số tính chất nguyên hàm Định lý Nếu F ( x), G( x) tương ứng là nguyên hàm f ( x), g ( x) thì a f '( x)dx f ( x) C b [ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx F ( x) G( x) C ; c a.f(x)dx a f ( x)dx aF( x) C (a 0) Một số phương pháp tìm nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u u ( x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y f (u) liên tục cho f [u ( x )] xác định trên K Khi đó F là nguyên hàm f, tức là f (u )du F (u) C f [u ( x)]dx=F[u(x)]+C b Phương pháp tích phân phần Một số dạng thường gặp: P( x).e Dạng ax b dx , P( x) sin(ax b)dx , P( x)cos(ax b) dx ax b Cách giải: Đặt u P( x) , dv e dx ( dv sin(ax b)dx, dv cos(ax b)dx) Dạng P( x) ln(ax b)dx Cách giải: Đặt u ln(ax b), dv P( x) dx I TÍCH PHÂN thì (3) Định nghĩa Cho hàm f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số thuộc K Nếu F ( x) là nguyên hàm f ( x ) thì hiệu số F (b) F (a) gọi là tích phân b f ( x ) từ a đến b và ký hiệu là a; b tích phân f trên f ( x)dx a b Trong trường hợp a b thì f ( x)dx a là Tính chất tích phân Cho các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc K a b f ( x)dx 0 a b b a b k f ( x)dx k f ( x )dx c b b b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx b f ( x)dx f ( x)dx a c a a a a b [ f ( x) g ( x)]dx f ( x) dx g ( x) dx a a a Một số phương pháp tính tích phân b u (b) f [u( x)]u '( x)dx f (u )du u(a) Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số a Trong f ( x ) u ( x ) đó là hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên khoảng J cho hàm hợp f [u ( x )] xác định trên J; a, b J Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách Đặt ẩn phụ u u ( x) ( u là hàm x) Cách Đặt ẩn phụ x x(t ) ( x là hàm số t) Phương pháp tích phân phần Định lý Nếu u ( x), v( x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số b thuộc K thì b b u ( x)v '( x)dx u ( x)v( x) a v( x)u '( x)dx a a Ứng dụng tích phân Tính diện tích hình phẳng a; b Nếu hàm số y f ( x) liên tục trên thì diện tích S hình phẳng giới hạn đồ b thị hàm số y f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b là S f ( x) dx a Diện tích hình phẳng giới hạn các đồ thị hàm số y f ( x) , y g ( x) và hai đường thẳng x a, x b là (4) b S f ( x) g ( x ) dx a Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với b trục Ox các điểm a, b là V S ( x) dx Trong đó S(x) là diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ là x a; b a và S(x) là hàm liên tục Tính thể tích khối tròn xoay a; b Hàm số y f ( x) liên tục và không âm trên Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b quay quanh trục hoành tạo nên b khối tròn xoay Thể tích V tính công thức V f ( x)dx a Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x g ( y ) , trục tung và hai đường thẳng y c, y d quay quanh trục tung tạo nên khối tròn xoay Thể tích V tính d công thức V g ( y) dy c CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần Tìm nguyên hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm các hàm số a ( x 2)( x x 4)dx d sin xdx b ( x )dx x tan e xdx sin c xdx f cot xdx ( x 1)( x 3) sin x.cos xdx h 2x x x 10 dx x3 x dx x5 k l sin(2 x 1)dx g ln x dx x n i o m (1 x p (1 x xe dx x ) xdx 10 dx x )4 dx (5) Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến Tính tích phân I f ( x)dx Phương pháp Đổi biến t ( x) , rút x theo t +) Xác định vi phân: dx '(t )dt I g (t )dt +) Biểu thị f(x)dx theo t và dt Giả sử f ( x)dx g (t )dt Khi đó Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn Hàm số có mẫu Đặt t là mẫu Hàm f ( x, ( x)) Đặt t ( x) n m Hàm f ( x, ( x ), ( x)) mn Đặt t ( x) Hàm f ( x) a sin x b cos x c sin x d cos x e Đặt t tan x Hàm lẻ với sinx Đặt t cos x Hàm lẻ với cosx Đặt t s inx Hàm chẵn với sinx và cosx t =tanx Phương pháp Đổi biến x (t ) +) Lấy vi phân dx '(t )dt +) Biểu thị f(x) theo t và dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt Khi đó I g (t ) dt Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ: Dấu hiệu a2 x2 Có thể chọn x | a | sin t , t 2 x | a | c os t , t (6) x2 a2 |a| x sin t , t ; t 0 x | a | , t ; t cost x2 a2 x | a | tan t , t x | a | cott , t ax a x Đặt x a cos 2t a x ax Đặt x a (b a) sin t ( x a )(b x) Bài Tìm nguyên hàm các hàm số (2 x 1) dx a b 2z z2 d e g 2012 sin x.cos xdx h e l o cos (5 x 2) dx r cos (3x 1) dx dx 1 x c m 1 sin(3 x 1) s x dx k x x dx p x x 2 x( x f x 1 x xe dx sin(7 x 6)dx 9x2 dz n q xdx x2 t x 2x dx 4x 2x 1 dx x (1 x ) sin x.cos xdx xdx 4x x2 (1 x)39 dx v x dx 4 u x x Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp phần Bài Tìm nguyên hàm các hàm số x xe dx a x b cos xdx x ln( x x 1) d x ln xdx e x2 1 c ( x 1).ln xdx f e cos dx x 1)dx x x 2012 1 sin cos dx x x xdx dx (7) x dx dx g cos x h sin x Dạng Nguyên hàm số hàm phân thức hữu tỷ Bài Tìm nguyên hàm dx dx 4x a x dx b x x 3x x dx d e x x 3x dx x x g 4x dx x x h x 14 x 13x dx x x h x3 x x dx i x2 x ( x 1)3 dx k l x c 2x dx 5x (2 x 1) f x 4x dx 3x xdx 3 Dạng Nguyên hàm số hàm số lượng giác Các bài toán bản: a) Nguyên hàm các hàm số có dạng: f ( x) cos ax.cos bx f ( x) sin ax.sin bx f ( x) sin ax.cos bx f ( x) sin ax; cos2bx Phương pháp chung: Dùng các công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa tổng các nguyên hàm Bài Tìm các nguyên hàm: cos3x.cos xdx a b s inx.cos 2 xdx cos x.sin xdx c n m b) Nguyên hàm các hàm số có dạng: f ( x) sin x.cos x Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ m, n để biến đổi đặt ẩn phụ cho phù hợp Bài Tìm nguyên hàm a (sin x cos x)dx b (sin x cos x)dx cos3 x dx c sin x (8) dx d sin x e sin x dx g cos x sin 2xdx dx f sin x a dx tan x dx h cos2 x Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến lượng giác Bài Tìm nguyên hàm a d a x dx b a dx c x f ( x a)( x b) dx ax dx a x e dx 2 g x a h dx l x ( x a) ( x b) ( x a)(b x)dx (a dx x ) k 1 (a1 x b1 x c1 )dx k ( x d )(ax bx c) 4sin x 3cos x với ( a b ) dx m s inx cos x n 2 8cos xdx sin x cos2 x Bài Tìm nguyên hàm dx a (1 x ) b g x2 dx dx c dx cos2 x dx d sin x e ( x 2)( x 1) h s inx cos x dx xdx x2 x 1 x f (1 x ) x 2x x2 dx 2 Dạng Nguyên hàm số hàm số mũ và lôgarit Bài Tìm nguyên hàm dx a d e (3 e x x ) x.ln xdx b x e e 2x ln x dx ln x ( x 1).e c dx ex f Phần Tính tích phân Dạng Dùng định nghĩa và các tính chất tích phân x dx ln x dx x (9) Bài 10 Tính các tích phân a ( x )2 dx x b 2 16 d x x dx e g h x x (sin cos4 )dx 2 l x dx f tan o xdx i cos2 xdx cos x s inx.cos x dx s inx s inx.cos ( x x 1) dx 2 x2 x 1 dx x cos5x.sin3xdx n x 9 k ( x c ( cos x 4sin x cos x)dx 3 ( x 3x 1)dx sin m p dx (5 x 6) )dx ( x 1)dx x ln x x Dạng Tính tích phân phương pháp phân tích Bài 11 Tính tích phân a xdx ( x 1) b d g x dx 1 x c dx cos4 x e sin xdx cos x s inx x ( x 1) cos x.sin xdx h cos xdx f s inx cos x s inx cos x dx dx Dạng Tính tích phân phương pháp đổi biến Bài 12 Tính các tích phân sau 2 a 25 ( x 1) xdx b 1 x x 1dx x c x2 dx 4x (10) d x 1 x2 x 1 g dx e e sin xdx h s inx (sin x e ).cos xdx cos2 x s inx.cos xdx f k cos x s inx.cos xdx cos3 x dx sin x e ln x dx x i ln l x x (3 e ) e dx x e m x dx Bài 13 Tính các tích phân a dx x2 d b 1 x 2 e 3x dx x2 g x h x2 f dx x c sin xdx 2sin x cos2 x 2 x dx dx 2 a ax dx , (a 0) a x dx x2 1 Bài 14 Tính các tích phân a x 2012 x d sin xdx b 1 1 2 1 x ln dx 1 x sin xdx 3x e k cos xdx x c e x sin xdx cos2 x f h s inx ln( )dx cos x g cos4 x dx sin x cos4 x ln(1 t anx)dx ln( x 1 2 x.cos xdx i l dx 2x e 3 m Dạng Tính tích phân phương pháp tích phân phần Bài 15 Tính các tích phân x 1)dx e dx ex 2x (11) a ( x 1)e 2x dx 2x b d x e dx c x ln( x 1)dx e e x cos xdx f cos x.ln(1 cos x)dx ln(1 x) dx g x h e (1 x)sin 3xdx cos(ln x)dx 0 Dạng Liên kết phương pháp đổi biến số và tích phân phần Bài 16 Tính tích phân a e5 x (e 2x x 1)dx b ln x.ln(ln x)dx 2 x e c ( x sin x es inx ).cos xdx Dạng Lập công thức tích phân truy hồi Bài 17 Lập công thức tích phân truy hồi cho các tích phân sau a I n sin n xdx b I n x n xdx với n là số nguyên dương • Dạng Ứng dụng tích phân Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số sau a y 2 x x và trục hoành b y x x và đường thẳng x y 1 0 x 0; x c y sin x cos x ; y 0 và d y x x ; y x e f y x ; y x2 ;y x y x x ; y 3 x Bài 19 Tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hình phẳng giới hạn a y ln x ; trục hoành và hai đường thẳng x 1, x 2 (12) x b y xe , trục hoành và đường thẳng x 1 c y cos x x sin x , y 0, x 0, x 2 d y x2 , y 2, y 4 Phần Bài tập tổng hợp Bài 20 Tính các tích phân e (ln x 2013) dx x a 3x dx ( x 3)2 b d x cos x 2sin x 2 s inx o dx (s inx 3cos x) dx h k c f s inx (e cos x) cos xdx i dx 4sin x 3cos x l cos x cos3 xdx cos x cos xdx sin x 4sin x dx x4 1 sin x x3 2 cos x dx e g x dx x m x dx 3x Bài 21 Tính các tích phân e ln x dx x a b d e g c h x f dx x ln x ln(ln x) e ln i ln( x 1)dx ln x.tan xdx e3 x3 x2 x dx x x 0 3x x cos dx 2 x ln( x x 1)dx x.cos xe x e x 1 e2 x ex dx dx e4 2(2 x 1) dx ( x 2)( x 1) k l n e2 x2 dx x 1 m x dx (ln x) x sin dx 3 Bài 22 Tính tích phân o x 2 x x dx p sin dx x cot x (13) ln a x ln(t anx) sin x 2(e g 2 dx l sin x s inx dx 3cos x q (A-05) o t x)dx u 2 x (B-08) p sin x cos x 4sin x dx x e 2x e dx 2e x 2sin x dx sin x e s v 3ln x ln x dx x ) dx sin x 2(1 s inx cos x) x dx ln x dx x (2 ln x ) r 1 m e ln( x i 2x x dx tan x dx c os x dx x2 x dx 2e x x (1 x ) 1 x dx x n ln f x2 (1 x ) h x 1) e 1 x c x4 1 dx x6 1 e x 1 x e dx e x dx x ln e x e x dx e x e x b ln k (e 1) ln d e x dx sin( x Bài 23 Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau a y y x 0, x y 0 b y 3 x x , y 2 x 3 c d e y 0, y s inx, x , x 2 y x x , x 2, y x y e 2x , y 2 x , x 1 2 f y x , y 2 x x , x 2 x g y (e 1) x, y (1 e ) x h i y 4 x2 x2 , y 4 y x x , y x Bài 24 Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường sau quay quanh trục Ox (14) a y 4 x, y x b y x ln x, y 0, x e y 0, y cos x x s in x , x 0, x c Bài 25 Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường sau quay quanh trục Oy: y 0, y 2 x x Bài 26 Tính các tích phân a sin 2012 x dx sin 2012 x cos2012 x b d x sin x ( x 1) cos x dx x sin x cos x cot x sin x e c h cos2 x e x dx x sin x dx cos2 x x ln( x 2) k 1 1 cos xdx g 2 ln( x x )dx sin x 1 2012 x dx x2 f dx i 4x dx x 1 x3 x x x2 x 1 dx l ( x 1)(1 2sin x) cos2 x x cos x cos2 x Bài 27 Tính các tích phân a x3 dx x x b ln(1 x) dx x2 c x(1 sin x)dx Bài 28 Tính các tích phân x2 ln xdx a x b x x dx c ( x 1) dx x TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013 Bài 1: Tính I = (cos x 1) cos xdx - ĐHKA-2009 KQ: Bài 2: Tính I = x dx 3+ln ( )2 x+ 1 Bài 3: Tính I = x dx e −1 - ĐHKB-2009 - ĐHKD-2009 KQ: π − 27 (3+ ln ) 16 KQ: ln(e2+e+1) – (15) Bài 4: Tính I = x e x x 2e x dx 2e x e Bài 5: Tính I = - ĐHKA-2010 1 2e ln KQ: ln xdx x(2 ln x) - ĐHKB-2010 KQ: e 3 I x ln xdx x 1 Bài 6: Tính I = - ĐHKD-2010 Bài 7: Tính I = - ĐHKA-2011 ln e2 1 KQ: x sin x ( x 1) cos x dx x sin x cos x KQ: ln 1 Bài 8: Tính I = x sin x dx cos x Bài 9: Tính I = 4x dx x 1 KQ: - ĐHKD-2011 34 10 ln KQ: ln( x 1) I dx x - KA-2012 Bài 11: Tính tích phân x3 I dx x 3x I x(1 sin 2x)dx 2ln 3ln - ĐHKB-2012 KQ: - ĐHKD-2012 KQ: x 1 I ln xdx x Bài 13: Tính tích phân - ĐHKA-2013 Bài 14: Tính tích phân I x x dx Bài 15: Tính tích phân - ĐHKB-2013 2 32 ln KQ: 2 21 KQ: ( x 1) I dx x 1 - ĐHKD-2013 3) 2 ln ln 3 KQ: /4 Bài 12: Tính tích phân 2 ln(2 - ĐHKB-2011 Bài 10: Tính tích phân 3 KQ: ln (16)