50 bài toán ứng dụng tích phân quãng đường vật chuyển động

Câu 6: Tại một nới không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống.. Câu 7: Để đảm bảo an t[r]

(1)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

A LÝ THUY T

Một vật chuyển động theo phương trình v t

( )

t

a

t=b (a<b) di chuyển quãng đường

( )

b a

s=

∫

v t

B BÀI T P

Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc v

(

)

t

( )

đồ thị vận tốc hình vẽ bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I

( )

song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm trịn hàng phần trăm:

A s=23, 25 km

( )

B

s

( )

C

s

( )

D

s

( )

BÀI TỐN NG D NG TÍCH

PHÂN TÍNH QU NG

NG

(2)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Lời giải

Chọn B

Ta tìm phương trình vận tốc vật:

Theo giả thiết khoảng thời gian từ đến vận tốc vật

( )

v t =at + +bt c

Căn vào đồ thị cho có

( )

0

2

9

v b t

a v t

=  

 = − =

 

 =



2

4

9

2

c

b a

b b

a b c

a a



 =



⇔ = −



   

 −  + − + =

    



5

a

b c

 = −  

⇔ =

 =  

Vậy

( )

5 4,

v t = − t + t+ ≤ ≤t

( )

v t =v = ≤ ≤t

Vậy

( )

1

0

s=

∫

v t dt

∫

v t dt

3

1 2

0

1

5 31

5

4t t dt dt

 

= − + +  +

 

∫

12 12

= + = ≈

(

)

t

( )

đồ thị vận tốc phần đường parabol có đỉnh I

( )

song với trục tung hình vẽ Tính quãng đường s mà vật di chuyển

A s=24, 25 km

( )

B

s

( )

C

s

( )

D

s

( )

Lời giải

(3)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

( )

v t =at + +bt c

Căn vào đồ thị cho có

( )

0

2

9

v b t

a v t

=  

 = − =

 

 =



2

4

9

2

c

b a

b b

a b c

a a



 =



⇔ = −



   

 −  + − + =

    



3

a

b c

 = −  

⇔ =

 =  

Vậy

( )

3 4,

v t = − t + +t ≤ ≤t

Vậy

( )

0

s=

∫

v t dt

3

0

3 4t t dt

 

= − + + 

 

∫

4

= =

(

)

t

( )

đồ thị vận tốc hình vẽ bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I

( )

song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển

A s=26, 25 km

( )

B

s

( )

C

s

( )

D

s

( )

Lời giải

Chọn C

( )

v t =at + +bt c

(4)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

( )

v

b

t

a

v t

c

b

a

b

a b c

a a   =  ⇔ = −       −  + − + =       9 a b c  = −   ⇔ =  =  

Vậy

( )

v t = − t + t ≤ ≤t

( )

v t =v = ≤ ≤t

Vậy

( )

3

0

s=

∫

v t dt

∫

v t dt

3

2

0

9 27

9

4t t dt dt

 

= − +  +

 

∫

4

= + =

Câu 4: Một người chạy với vận tốc v km h

(

)

t h

( )

2

I 

  trục đối xứng song song với trục tung hình vẽ bên Tính qng đường s mà người chạy khoảng thời gian 45 phút, kể từ bắt đầu chạy

t v

I 8

O 1

A. s=4

( )

km

B

s

( )

km

C

s

( )

km

D

s

( )

km

Lời giải Chọn C

Ta có: phương trình vận tốc vật có dạng

( )

v t =at + +bt c Dựa vào đồ thị ta có:

( )

0 0

32

1

32

2 2

0 8 2 o o v c a b b t b a a c

v t b b

a b c

a a    =  = = −     = − = ⇔ − = ⇔ =       =  =        −  + − + =     

( )

32 32

v t t t

⇒ = − +

(5)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Vậy quãng đường s mà người chạy khoảng thời gian 45 phút hay

4

giờ

( )

(

)

( )

3

4

2

0

9

32 32 4,

2

v t dt= − t + t dt= = km

∫

Câu 5: Cho đồ thị biểu thị vận tốc hai xe A B khởi hành lúc, bên cạnh

nhau đường Biết đồ thị biểu diễn vận tốc xe A đường

Parabol, đồ thị biểu diễn vận tốc xe B đường thẳng hình bên Hỏi sau

đi giây, khoảng cách hai xe mét?

A 90m B 60m C 0m D 270m

Lời giải Chọn A

Phương trình vận tốc xe A có dạng v t

( )

at

bt

c

( )

0 0 20

3 60 60 80

16 0

4

v c a

v a b c b

a b c c

v

 =  =  = −

  

= ⇔ + + = ⇔ =

  

 =  + + =  =

 



( )

20 80

v t t t

⇒ = − + suy quãng đường xe A giây đầu

( )

(

)

( )

3

2

0

20 80 180

A

s =

∫

v t dt

∫

t

t dt

m

Vận tốc xe B có phương trình v t

( )

t

B

( )

3

0

20 10 90

B

s =

∫

tdt

t

m

Vậy sau giây, hai xe cách 180 90− =90

( )

m

Câu 6: Tại nới gió, khí cầu đứng n độ cao 162 (mét) so với mặt đất phi cơng cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật

( )

10

v t = t t− , t( phút) thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, v t

( )

(

)

v m s

60

( )

t s

B

v

4

O

A

v

(6)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

tính theo đơn vị mét/phút

(

m p

)

v

A v=5

(

m p

)

B

v

(

m p

)

C

v

(

m p

)

D

v

(

m p

)

Đk:

( )

10 0 10

v t = t t− ≥ ⇔ ≤ ≤t

Quãng đường khí cầu chuyển động xuống đến chạm đất là:

( )

(

)

(

)

( )

0

9

162 10

3

t t t

t

S v t dt t t dt t

t l

=  

= = = − = − ⇔

= ±



∫

Câu 7: Để đảm bảo an tồn lưu thơng đường, xe ô tô dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu 1m Ơ tơ A chạy với vận tốc 16m s/ gặp ô tô B dừng đèn đỏ nên ô tô A chuyển động chậm dần với vận tốc v t

( )

t m s

(

)

t khoảng thời gian tính giây kể từ thời điểm ô tô A bắt đầu hãm phanh Hỏi

rằng để hai ô tô A B dừng lại đạt khoảng cách an tồn tơ A phải hãm phanh cách ô tô B khoảng tối thiểu mét?

A 33m B 32m C 31m D 34m

Ơ tơ A dùng hẳn sau thời gian v t

( )

t

( )

s

Quãng đường ô tô A chuyển động chậm dần

(

)

( )

0

16 32

S =

∫

t dt

m

Khoảng cách để dừng an toàn là: 33

( )

m

Câu 8: Một vật chuyển động với vận tốc v0

(

m s

)

( )

(

)

0 /

a t =v t+t m s t khoảng thời gian tính giây kể từ thời điểm

vật bắt đầu tăng tốc Biết quãng đường vật khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc 100m Tính vận tốc ban đầu v0 vật

A 20,722

(

m s

)

B

(

m s

)

C

(

m s

)

D

(

m s

)

Lời giải

(7)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Phương trình vận tốc

( )

(

)

2

0

2

t t

v t =

∫

a t dt

∫

v t

t

dt

v

C

Tại thời điểm t= ⇒0 v t

( )

v

C

v

Biết quãng đường vật khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc 100m suy

( )

(

)

3

0 0 0

0

27 81

100 12, 433 /

2 27

t

t t

S= = v t dt= v + +v dt= v + v + ⇒v = m s

 

∫

Câu 9: Giả sử vật từ trạng thái nghỉ t=0

( )

s

(

) (

)

t

v =t −t m s Tính quãng đường vật dừng lại A 125

( )

6 m B 25

( )

m

C

( )

m

D

( )

m

Lời giải

Chọn A

Vật dừng lại vt =t

(

t

)

t

Quãng đường vật

( )

(

)

( )

5

0

125

6

S =

∫

v t dt

∫

t

t dt

m

Câu 10: Một vật chuyển động với vận tốc v0 =15 m/ s tăng tốc với gia tốc

( )

4

a t = +t t (m s/ 2) Tính quãng đường vật khoảng thời gian

3 giây kể

từ lúc bắt đầu tăng tốc

A 27m B 72m C 69, 75m D 24, 75m Lời giải

Chọn C

Ta có

( )

( ) ( )

( )

(

)

0

1

0 0 15 15

3

t t

v t =v +v t −v =v +

∫

a t dt

∫

t

t dt

t

Vì

( )

3

0

1

2 15 69, 75

3

s= v t dt=  t + t + dt= m

 

∫

Câu 11: Một ô tô chạy với vận tốc 18

(

m s

)

phanh ô tô chuyển động chậm dẫn với vận tốc v t

( )

t

(

m s

)

t

khoảng thời gian tính giây kể từ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh Tính qng đường tơ kể từ lúc hãm phang dừng hẳn

A 3, 5m B 5, 5m C 4, 5m D 3, 6m

(8)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Ơ tơ dừng lại ⇔v t

( )

t

Quãng đường ô tô khoảng thời gian từ lúc hãm phanh đế lúc dừng

( )

(

)

0,5 0,5

0

18 36 4,5 s=

∫

v t dt

∫

t dt

m

Câu 12: Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; 8 giây

sau đạt vận tốc 6m s/ Từ thời điểm chuyển động thẳng Một chất điểm

B xuất phát từ vị trí O chậm 12 giây so với A chuyển động

nhanh dần Biết B đuổi kịp A sau giây (kể từ lúc B xuất phát) Tìm vận tốc

của B thời điểm đuổi kịp A

A 24m s/ B 12m s/ C 48m s/ D 36m s/ Lời giải

Chọn A

Gia tốc A giây đầu /

8

a= − = m s , quãng đường mà A kể từ

lúc xuất phát đến lúc gặp B (trong khoảng thời gian 8+ + =20 giây)

( )

8

0

3

6.12 72 96

4

s=

∫

v t dt

∫

tdt

m

Vận tốc B v t

( )

mt

0

96 3.8 24 /

mtdt= ⇔m= ⇒ =v = m s

∫

Câu 13: Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản chúng thường bơi từ biển đến thượng nguồn sông để đẻ trứng sỏi đá chết Khi nghiên cứu cá hồi sinh sản người ta phát quy luật chuyển động nước yên lặng

( )

10

t

s t = − + t với t (giờ) khoảng thời gian từ lúc cá bắt đầu chuyển động

( )

s t (km) quãng đường cá bơi khoảng thời gian Nếu thả cá hồi vào dịng sơng có vận tốc dịng nước chảy km h/ Tính khoảng cách xa mà cá

hồi bơi ngược dòng nước đến nơi để trứng

A 8km B 10km C 20km D 30km

Lời giải Chọn B

Vận tốc cá

( )

t

v t =s t′ = − +

Vận tốc thực cá bơi ngược dòng

( )

5

t t

v t − = − + − = − +

 

(9)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

( )

0

2

5 10

t

t t

s t = − + dt= − + t+C

 

∫

s

( )

C

( )

(

)

2 10 10 10

10 10

t

s t = − + t= − t− + ≤

Vậy khoảng cách xa 10km

Câu 14: Một vật từ trạng thái nghỉ t=0

( )

s

( ) (

)(

)

v t =t −t m s Tính quãng đường vật dừng lại

A 20m B 30m C 36m D 26m

Lời giải

Chọn C

Vật dừng lại

( )

t v t

t

= 

= ⇔  =



Quãng đường vật là:

( )

(

)

( )

6

0

6 36

S =

∫

v t dt

∫

t

t dt

m

Câu 15: Một vật chuyển động với vận tốc v t

( )

t m s

(

)

S

a

b

c

π

= + (a b c, , ∈ℤ, b

c tối giản) quảng đường vật di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t=0

( )

s

đến thời điểm

t= π Tính P=2a−3b+2c

A P= −5 B P=5 C P=3 D P= −3

Lời giải

Chọn D

Quảng đường vật

( )

(

)

(

)

3

4

0

3

1 sin os2

4

S v t dt t dt t c t

π π

=

∫

Suy a= −1,b=3,c=4 Suy P= −3

Câu 16: Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s

(

)

( )

(

)

3 m/s

a t = t+t

Quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc A 400m

3 B

430 m

3 C

4300 m

3 D

4000 m Lời giải

Chọn C

Ta có

(

)

3 d

2

t+t t= t + t +C

∫

(10)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Suy

( )

2

v t = t + t +

Do quãng đường vật 10 giây kể từ lúc tăng tốc là:

10 10

2 3

0

3 1 4300

10 d 10

2 12

S=  t + t +  t= t + t + t =

   

∫

Câu 17: Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v t

( )

t

(

)

t

A 160m B 100m C 1280m D 144m Lời giải

Chọn C

Vật dừng lại v t

( )

t

(

)

(

)

16 16

2

0

160 10 d 160 1280 S=

∫

t

Câu 18: Một vật bắt đầu chuyển động

( )

(

)

2 15 24 20 m/s

v t = t − t + t+ Hỏi giây đầu

tiên, quãng đường vật đạt vận tốc lớn bao nhiêu?

A 11m B 175m

2 C 80m D

Chọn D

Xét hàm số

( )

2 15 24 20

f t = t − t + t+ đoạn

[ ]

( )

6 30 24;

4

t

f t t t f t

t

= 

′ = − + ′ = ⇔ 

= 

( )

f = f = f = f =

Do

[ ]0;5

( )

f t

f

Quãng đường từ lúc vật tăng tốc đến đạt vận tốc lớn là:

(

)

1

3

0

1 55

2 15 24 20 d 12 20

2

S= t − t + t+ t= t − t + t + t =

 

∫

Câu 19: Một vật chuyển động với phương trình vận tốc

( )

(

)

(11)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

A 12, 75 m B 13 m C 1m D 0, 75 m Lời giải

Chọn A

Gia tốc chuyển động có phương trình là: a t

( )

t

(

)

t

Quãng đường vật

(

)

(

)

3

3 3

0

51 24 16 d 24 16 d 24 16 d

4 t − t + t− t= t − t + t− t + t − t + t− t =

∫

(Do v t

( )

t

v t

( )

t

( )

Câu 20: Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc

( )

t v t

t

=

+ Hỏi từ lúc bắt đầu chuyển động đến vật có gia tốc nhỏ quãng đường dài bao nhiêu?

A ln m B log m C log m D ln m Lời giải

Chọn D

Phương trình gia tốc chuyển động là:

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

2

0

4

2

; ;

1

3

t t t

t

a t a t a t t

t t

t

= 

− 

− ′ ′

= = = ⇔ =

+ +  = −

 Suy

(0; )

( )

1

min

4

a t a

+∞ = = −

(

)

3

2

0

2

d ln ln

1

t

S t t

t

= = + =

+

∫

Câu 21: Một vật bắt đầu chuyển động với phương trình vận tốc

( )

t v t

t

=

+ Hỏi từ lúc bắt đầu chuyển động đến vật có tốc độ lớn quãng đường dài bao nhiêu?

A ln 2m B log 2m C 1m D ln 4m

( )

t v t

t

=

(12)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

( )

(

)

2

2 2

1

t v t

t

−

′ =

+

( )

v t′ = ⇔ =t

BBT

Dựa vào BBT vận tốc lớn t=1

( )

(

)

(

)

1 1 1

2

2 0

0 0

2

1 ln ln ( )

1

t

s v t dt dt d t t m

t t

= = = + = + =

+ +

∫

Câu 22: Một máy bay chuyển động đường băng với vận tốc

( )

(

)

10 / , v t = +t t m s với t thời gian tính theo đơn vị giây kể từ máy bay bắt đầu chuyển động

Biết máy bay đạt vận tốc 200

(

m s

)

đã di chuyển đường băng là: A 2500

3 m B 2000m C 500m D

Chọn A

( )

200 10 200 10 200 10

v t = ⇔ +t t= ⇔ +t t− = ⇔ =t

Quãng đường máy bay di chuyển đường băng là:

( )

(

)

( )

10

10 10

2

0 0

2500

10

3

t

s= v t dt= t + t dt= + t  = m

 

∫

Câu 23: Bạn Minh ngồi máy bay du lịch giới với vận tốc chuyển động máy bay

( )

(

)

3 /

v t = t + m s Quãng đường máy bay từ giây thứ thứ đến giây thứ 10

A 900m B 936m C 1134m D 966m

Lời giải Chọn D

Nhận xét: Giây thứ t=0 nên giây thứ bắt đầu t=4

Quãng đường máy bay từ giây thứ t=4 đến giây thứ t=10

( )

(

)

(

)

( )

10 10

10

2

4

3 5 966

s=

∫

v t dt

∫

t

dt

t

m

Câu 24: Một vật bắt đầu chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính công thứcv t

( )

t

(

m s

)

t

m

(13)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

tại thời điểm t=30s vật quãng đường m từ lúc bắt đầu chuyển động?

A 1140m B 1410m C 300m D 240m

Quãng đường vật từ giây thứ thứ đến giây thứ 30

( )

(

)

( )

30 30

2

2 2

3

3 2 1400

2

s= v t dt= t+ dt= t + t = m

 

∫

Mặt khác

( )

( ) ( )

2

30

s=

∫

v t dt

s

Do

( )

30

2

30 1400 10 1410

s =

∫

v t dt

s

m

Câu 25: Một vật bắt đầu chuyển động với vận tốc đầu 6

(

m s

)

công thức

( )

(

)

' /

1

a t v t m s

t

= =

+ Vận tốc vật sau giây

( )

(

)

v =a +b a b∈ℤ , tính P= −a b

A P=1 B P= −1 C P=0 D P= −2

Độ thay đổi vận tốc thời điểm t=0s đến thời điểm t=8s

( )

8

0

3

3ln 3ln ln

v a t dt dt t m

t

∆ = = = + = =

+

∫

Mặt khác

( )

( ) ( ) (

)

8

0

3

8 /

1

v a t dt dt v v m s

t

∆ = = = −

+

∫

Do v

( ) ( )

v

( )

v

( )

(

m s

)

Suy a= =b 6, P=0

Câu 26: Một vật chuyển động với vận tốc đấu v

( )

(

m s

)

cơng thức

( )

(

)

a t v t m s

t

′

= =

+ Vận tốc vật sau 15 giây

( )

(

)

v = − m s Tính vận tốc ban đầu vật

A 9 /m s B 12 /m s C 10 /m s D 11 /m s Lời giải

Chọn C

Độ thay đổi vận tốc vật từ t=0s đến t=15s 15 15 0

2

2 ln ln

v dt t

t

∆ = = + =

+

(14)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Suy v

( ) ( )

v

( )

v

( )

Câu 27:

( )

4 10

s t = − t + t km , t tính

Biết cá bơi xi dịng nước với tốc độ dịng chảy 2km h/ Tính khoảng cách xa

nhất cá bơi được?

A 10km B 40km C 60km D 90km

Vận tốc cá

( )

v t = − t+ Do cá bơi xi dịng nên vận tốc thật

( )

v t = − t+

Quãng đường cá bơi

(

)

0

1 1

6 30 90 90

5 10 10

t

t dt t t t km

− +  = − + = − − + ≤

 

 

∫

Câu 28: Một nhóm sinh viên thực hành nghiên cứu chuyển động hạt Nhóm phát hạt prơ-ton di chuyển điện trường với gia rốc

(

)

(

)

2

20

/

a cm s

t

= − +

Nhóm sinh viên tìm hàm vận tốc hạt đó, biết t=0 vận tốc

30 /

v= cm s Biểu thức là?

A

( )

1

v t cm s

t

 

= + 

+

  B

( )

10

20 /

1

v t cm s

t

 

= + 

+

 

C

( )

1

v t cm s

t

 

= + 

+

  D

( )

10

30 /

1

v t cm s

t

 

= + 

+

 

Ta có

( )

(

)

20 10

1 2

v t adt dt C

t t

−

= = = +

+ +

∫

Có

( )

1

v C v t

t

 

= ⇒ = ⇒ = + 

+

 

Câu 29: Một tập đoàn định đầu tư vào hai dự án Giả sử, dự án đầu tư đầu có tốc độ sinh lợi nhuận

( )

1 50

P t = +t (đồng/năm), dự án thứ hai có tốc độ sinh lợi nhuận

( )

2 200

P t = + t(đồng/năm) Sau t năm tốc độ sinh lợi dự án hai nửa

dự án Tính lợi nhuận thực tế khoảng thời gian

(15)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Chọn A

Tốc độ sinh lợi dự án hai nửa dự án

1 2 50 400 10 5 15

P= P ⇔ + =t + t⇔ = +t

Lợi nhuận thực tế khoảng thời gian

( )

(

)

5 15 5 15

2

0 350 10 6674,

L=

∫

P t

P t dt

∫

t

t dt

Câu 30: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với gia tốc

(

)

1 /

a = m s Đi 5s , tài xế phát chướng ngại vật phía trước phanh gấp, sáu tơ chuyển động chậm dần với gia tốc

(

)

2 70 /

a = − m s Tính qng đường tơ từ lúc

bắt đầu chuyển động dừng hẳn

A 87, 5m B 96, 25m C 94m D 95, 7m

Phương trình vận tốc tơ v t1

( )

∫

a dt

∫

dt

t

C

v

( )

v t

( )

t

s

v

( )

(

m s

)

Vận tốc ô tô lúc hãm phanh v t2

( )

∫

a dt

t

C

v

( )

v t

( )

t

Khi tơ dừng hẳn 2

( )

v t = ⇔ =t

Quãng đường 0,5

(

)

( )

07 70 35 96, 25 S=

∫

tdt

∫

t

m

Câu 31: Một xe lửa chuyển động chậm dần dừng hẳn sau 20 giây kể từ bắt đầu hãm phanh Trong thời gian xe chạy 120m Cho biết công thức vận tốc

chuyển động biến đổi v t

( )

v

at

(

)

(

)

a gia tốc v

(

)

vận tốc thời điểm t

( )

v

A 12m/s B 6m/s C 30m/s D 45m/s Lời giải

Chọn A

(16)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Quãng đường xe chạy từ lúc hãm phanh

( )

(

)

20 20

0

d 20 d 200

S=

∫

v t

t

∫

a

at

t

a

Theo giả thiết, 120 200 120 3

(

)

S= ⇔ − a= ⇔ = −a

Với 0 12

5

a= − ⇒v = m/s

Câu 32: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật

( )

(

)

180 18

v t = t + t , t (giây) khoảng thời gian tính

từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ

O, chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia

tốc a

(

)

a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận

tốc B thời điểm đuổi kip A

Chọn B

+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị

chất điểm B bắt kịp A 15 giây, B 10 giây

+) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB

( )

t

∫

a t

at

C

vB

( )

B

v t =at

+) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp

quãng đường hai chất điểm Do

15 10

2

0

1 11

d d

180t 18t t at t

 +  =

 

 

∫

a

2

a

⇔ =

Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A

( )

B

v = =15 m s

(

)

( )

(

)

m/s 150 75

tốc

(

)

a (a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận

(17)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Quãng đường chất điểm A từ đầu đến B đuổi kịp

( )

15

0

1 59

d 96 m 150 75

S=  t + t t=

 

∫

Vận tốc chất điểm B vB

( )

t

∫

a t

at

C

Tại thời điểm t=3 vật B trạng thái nghỉ nên vB

( )

C

a

Lại có quãng đường chất điểm B đến gặp A

(

)

( )

15

2

3 3

3 d 72 m

2

at

S = at− a t= − at = a

 

∫

Vậy 72 96

3

a= ⇔ =a

(

)

Tại thời điểm đuổi kịp A vận tốc B vB

( )

(

)

( )

(

)

m/s 100 30

O, chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia

tốc a

(

)

a

B

A

B

A

Chọn D

Khi B đuổi kịp A tức A chuyển động 25 giây kể từ thời điểm bắt đầu

xuất phát A chuyển động quãng đường

25

0

1 13 375 (m) 100 30 S= t + t=



∫

Vì B chuyển động với gia tốc a

(

)

( )

v t =at+C Tại thời điểm bắt đầu xuất phát t=10;v= ⇒ = −0 c 10a

Vận tốc chất điểm B thời điểm t v t

( )

at

a

(18)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

(

)

25

10

225 10 d

2

S=

∫

at

a

t

a

Vì sau chuyển động 15 giây chất điểm B đuổi kịp chất điểm A, ta có:

( )

225 375

m

2

a

= ⇒ =

( )

3

v t t

⇒ = −

Vậy vận tốc B đuổi kịp A ứng với 25( )

( )

3

t= s ⇒v = − =

(

)

( )

(

)

m/s 120 45

tốc

(

)

a (a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận

Chọn C

+) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị

chất điểm B bắt kịp A 18 giây, B 15 giây

+) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB

( )

t

∫

a t

at

C

vB

( )

B

v t =at

+) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp

quãng đường hai chất điểm Do

18 15

2

0

1 58

d d

120t 45t t at t

 +  =

 

 

∫

2 a

⇔ = ⇔ =a

Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB

( )

(

)

Câu 36: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng nhanh dần (gia tốc không đổi); 6giây sau đạt đến vận tốc 10

(

m s

)

A

thẳng Từ trạng thái nghỉ, chất điểm Bcùng xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A chuyển động thẳng

nhanh dần Sau B xuất phát 4giây đuổi kịp A Vận tốc B thời

(19)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Chọn A

Xét chất điểm A

Ban đầu chuyển động thẳng nhanh dần nên

(

)

10 /

6

a = = m s

Suy

5

dt=

3

v =

∫

t

C

( )

(

)

v = ⇒v = t m s

Quảng đường chất điểm chuyển động nhanh dần

( )

0

5

dt 30

s t m

⇒ =

∫

Sau chuyển động thẳng với vận tốc 6

(

m s

)

s t

( )

t m

( )

B

a

(

m s

)

v t

( )

∫

a

a t

C

Do v2

( )

C

v t

( )

a t

( )

2 2

1 dt tdt

2

s t v a a t C

⇒ =

∫

Theo đề

( )

2 2

1

0 0

2

s = ⇒C= ⇒s t = a t

Sau 4giây từ lúc Bxuất phát, bđuổi kịp A, lúc Ađã chuyển động thêm 1giây từ

lúc bắt đầu chuyển động thẳng

Suy

( )

(

)

( )

(

)

2 1 40 / /

s =s ⇔ a = ⇔a = m s ⇒v t = t m s

Vậy vận tốc Btại thời điểm đuổi kịp A v2

( )

(

m s

)

Câu 37: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng nhanh dần (gia tốc không đổi); 10 giây sau đạt đến vận tốc v m s0

(

)

A

B

O

A

nhanh dần với gia tốc

(

)

2 /

a = m s Sau B xuất phát 6giây đuổi kịp

A Tìm v0

(20)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

(

)

1 0,1 /

10

v

a = = v m s

Suy v t1

( )

v t

( )

0 0

0

0,1 dt

s v t v m

⇒ =

∫

Sau chuyển động thẳng với vận tốc v m s0

(

)

s t

( )

v

v t

v

(

t

)( )

m

B

v t

( )

∫

a

t

C

( )

2 2dt 2tdt

s t v t C

⇒ =

∫

Theo đề

( )

2 0

s = ⇒ = ⇒C s t =t

Sau 6giây từ lúc Bxuất phát, B đuổi kịp A, lúc A chuyển động thêm giây

từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng

Suy s2

( )

s

( )

v

(

m s

)

Câu 38: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng nhanh dần (gia tốc không đổi

(

)

1 /

a m s ); 4giây sau đạt đến tốc độ 8

(

m s

)

A

chuyển động thẳng Từ trạng thái nghỉ, chất điểm Bcùng xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm 17giây so với A chuyển

động thẳng nhanh dần với gia tốc

(

)

2 /

a m s Sau B xuất phát 10giây

đuổi kịp A Tìm P=2a2−4a1

A P= −2 B P=0 C P=2 D P=4

(

)

8

2 /

a = = m s

Suy v1=2t m s

(

)

( )

0

2 dt 16

s t m

⇒ =

∫

(21)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Xét chất điểm B; suy v t2

( )

a t

( )

2 2

1 dt tdt

2

s t v a a t C

⇒ =

∫

Theo đề

( )

2 2

1

0 0

2

s = ⇒C= ⇒s t = a t

Sau giây từ lúc Bxuất phát, B đuổi kịp A, lúc A chuyển động thêm 23 giây

từ lúc bắt đầu chuyển động thẳng

Suy s2

( )

s

( )

a

(

m s

)

P

Câu 39: Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng nhanh dần (gia tốc không đổi

(

)

1 /

a m s ); 6giây sau đạt đến tốc độ 12

(

m s

)

B

điểm chất điểm Achuyển động thẳng Từ trạng thái nghỉ, chất điểm Bcùng

xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm t1 giây so với A chuyển động thẳng nhanh dần với gia tốc 4

(

m s

)

B

2

t giây đuổi kịp A Hỏi kết luận sau đúng?

A t1>1 B t2 <7, C t1≤1 D t2 >4, Lời giải

Chọn D

(

)

12

2 /

a = = m s

Suy v1=2t m s

(

)

( )

0

2 dt 36

s t m

⇒ =

∫

Sau chuyển động thẳng với vận tốc 12

(

m s

)

s t

( )

t

( )

m

B

a

v t

( )

t

( )

2 2dt 4tdt

s t v t C

⇒ =

∫

Theo đề

( )

2 0 2

(22)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Sau t2 giây từ lúc Bxuất phát, B đuổi kịp A, lúc A chuyển động thêm

(

t

)

Suy

( )

(

)

(

)

( )

2 1 22 12 36 62 18 61 *

s t =s t + −t ⇔ t = t +t − ⇔ −t t + − t = Chất điểm Bđuổi kịp chất điểm A phương trình

( )

t

(

)

3 18 6

2

0 3 0,

t t t

S t

 ′

∆ = − − = − ≥

 ≥

 

⇔ ⇔

>

  > ∀ ∈ ℝ

3

t

⇔ ≥

Do 2

3

6 0,

2

t + − > ∀ ≥ ⇔t t t > −t 2

( )

3 ;

3

max

2

t g t g

  +∞   

 

⇔ > =  =

  Vậy 1 3, 2

2

t ≥ t >

Câu 40: Một máy bay chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian, giả sử độ thay đổi vận tốc a t

( )

t

t m s

(

)

(

)

100 m s/ Hỏi sau

cất cánh 10giây máy bay đạt vận tốc bao nhiêu?

Chọn C

Ta có

( ) ( )

( )

0

10 25200

v −v =

∫

a t dt

Vậy v

( )

(

m s

)

Câu 41: Một người thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h t

( )

sau t giây Cho h t'

( )

at

bt

thì thể tích nước bể

150m Sau 10 giây thể tích nước bể 1100m3 Tính thể tích nước bể sau bơm 20 giây

A

8400m B

2200m C

600m D

4200m Lời giải

Chọn A

Ta có h t'

( )

at

bt

( )

(

)

'

2

b

h t =

∫

h t dt

∫

at

bt dt

at

t

C

Ban đầu bể nước nên C=0

( )

b

h t at t

(23)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Theo đề

( )

5 150 10 1100

h h

 =

 

= 

1

a b

= 

⇔  =



Vậy

( )

20 8400

h = m

Câu 42: Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25

(

m s

)

(

)

10 /

g= − m s Sau viên đạn đạt tới độ cao nhất?

A 2, 2s B 2, 5s C 3, 0s D 2,8s

Do viên đạn bay lên ngược hướng với lực hút Trái Đất nên: v t

( )

∫

gdt

t

C

Theo đề bài: v

( )

C

v t

( )

t

Viên đạn đạt tới độ cao dừng, tức v=0 ⇔ =t 2,5s

Câu 43: Một viên đạn bắn lên từ mặt đất theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu

(

)

25 m s/ gia tốc −g Khi viên đạn lên đến vị trí cao nhất, rơi thẳng đứng xuống đất với gia tốc g Tính thời gian viên đạn bay từ lúc bắn lên đến rơi xuống chạm đất (Bỏ qua lực ma sát, cho gia tốc trọng trường

(

)

10 /

g = m s )

A 2, 5s B 3, 0s C 4, 0s D 5, 0s

Khi viên đạn bay lên: v t1

( )

∫

gdt

t

C

v

( )

C

v t

( )

t

Viên đạn đạt tới độ cao cao dừng, tức: v= ⇔ =0 t 2, 5

( )

s

Độ cao cao viên đạn bay tới là:

( )

0

125 h =

∫

v t dt

m

v t

( )

∫

gdt

t

C

Lúc viên đạn bắt đầu rơi xuống: v2

( )

C

v t

( )

t

( )

2

h t =

∫

v t dt

t

C

Ta chọn h

( )

C

h t

( )

t

( )

5 2,

4

t = ⇒ =t s

Vậy tổng thời gian viên đạn bay 5, 0

( )

s

Câu 44: Một người ném viên đá từ mặt đất phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu

(

)

(24)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

xuống đất với gia tốc g Tính thời gian viên đá bay từ lúc ném lên đến rơi xuống chạm đất (Bỏ qua lực ma sát, cho gia tốc trọng trường

(

)

10 /

g= m s )

A 1s B 2, 0s C 1, 5s D 2, 5s

Khi viên đá bay lên: v t1

( )

∫

gdt

t

C

v

( )

C

v t

( )

t

Viên đá đạt tới độ cao cao dừng, tức: v= ⇔ =0 t 1

( )

s

Độ cao cao viên đá bay tới là:

( )

0

5 h =

∫

v t dt

m

v t

( )

∫

gdt

t

C

Lúc viên đá bắt đầu rơi xuống: v2

( )

C

v t

( )

t

Quãng đường viên đá rơi là:

( )

2

h t =

∫

v t dt

t

C

Ta chọn

( )

0 0

h = ⇒C = ⇒h t = t

Thời gian viên đá rơi:

( )

5t = ⇒ =5 t s

Vậy tổng thời gian viên đá bay 2

( )

s

Câu 45: Một người ném viên bi lên theo hướng thẳng đứng từ độ cao 1,8m so với mặt đất, vận tốc ban đầu 12

(

m s

)

g

là

(

)

10 /

g= m s )

A 2, 64s B 2, 4s C 1,8s D 3s

Khi viên bi bay lên: v t1

( )

∫

gdt

t

C

Theo đề bài: v1

( )

C

v t

( )

t

Viên bi đạt tới độ cao cao dừng, tức: v= ⇔ =0 t 1, 2

( )

s

Độ cao cao viên bi bay tới là:

( )

0

7, h =

∫

v t dt

m

v t

( )

∫

gdt

t

C

Lúc viên bi bắt đầu rơi xuống: v2

( )

C

v t

( )

t

( )

2

(25)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Ta chọn h

( )

C

h t

( )

t

Thời gian viên bi rơi:

( )

5t =7, 1,8+ = ⇒ =9 t 1,8 s

Vậy tổng thời gian viên bi bay 3

( )

s

Câu 46: Một người ném viên bi lên theo phương thẳng đứng từ độ cao 1,3m so với mặt

đất, vận tốc ban đầu (m/s)và gia tốc −g Khi viên bi lên đến vị trí cao nhất, rơi

thẳng đứng xuống đất với gia tốc g Tính tốc độ viên bi rơi xuống chạm đất

(Bỏ qua lực ma sát, cho gia tốc trọng trường g=10

(

m s

)

.

A 9 m/s B 14,4 m/s C 16 m/s D 17 m/s

Khi viên bi bay lên: v t1

( )

∫

a t

( )

∫

( )

g

t

C

Theo đề bài, v1

( )

C

v t

( )

t

Viên bi đạt tới độ cao cao dừng, tức v= ⇔ =0 t 0,8

( )

s

( )

0,8

0

dt 3, h =

∫

v t

m

Khi viên bi rơi xuống: v2

( )

t

∫

g

t

C

Lúc viên bi bắt đầu rơi xuống: v2

( )

C

v t

( )

t

( )

2 dt

h t =

∫

v

t

C

Ta chọn

( )

0 0

h = ⇒C = ⇒h t = t

Thời gian viên bi rơi:

( )

5t =3, 1, 3+ =4,5⇒ =t 0, s Vận tốc viên bi chạm đất v2

( )

(

m s

)

Câu 47: Để đảm bảo an toàn lưu thông đường, xe ô tô dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu 1m Một ô tô A chạy với tốc độ

0

v m/s gặp ô tô B

dừng chờ đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh chuyển động chậm dần với gia tốc

(

)

4 /

a= − m s Để ô tô A B đạt khoảng cách an tồn dừng lại tơ A phải hãm

phanh cách ô tô B khoảng 33 m.Tìm

0

v

A 17 m/s B 16,5 m/s C 16,25 m/s D 16 m/s

(26)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

Vận tốc ô tô A hãm phanh: v t

( )

∫

a t

( )

t

C

Theo đề v

( )

v

C

v

v t

( )

t

v

Khi ô tô A dừng khoảng thời gian

( )

0, 25

v

t= = v s

Quãng đường ô tô A bắt đầu hãm phanh đến lúc dừng cách ô tô B 1m 32m

Suy

( )

(

)

(

)

0

0,25 0,25

0,25

0

32 dt dt 32

v v

v

S= ⇔

∫

v t

∫

t

v

t

v t

2 2

0 0

0,125v 0, 25v 32 0,125v 32 v 16

⇔ − + = ⇔ = ⇔ =

(

)

/

m s

Câu 48: Một ô tô A với tốc độ 20 m/s thì có tơ B phía trước cách ô tô A 50m đang

dừng chờ đèn đỏ Để đảm bảo an tồn, tơ A hãm phanh lại chạy chậm dần với gia tốc

(

)

/

a m s . Tìm điều kiện a để tơ A khơng chạm vào ô tô B?

A a>4 B a>1 C a< −4 D a< −1

( )

∫

a

at

C

Theo đề bài: v

( )

v t

( )

at

Khi ô tô A dừng khoảng thời gian t 20

( )

s

a

− =

Quãng đường ô tô A từ lúc hãm phanh đến dừng lại:

(

)

20

2

0

1 20 20 200 400 200

20 dt 20

2

a

S at a

a a a a a

−

 

= + = −  + = − = −

 

∫

Để ô tô A không chạm vào ô tô B S 50 200 50 a

a

< ⇔ − < ⇔ < −

Câu 49: Một ô tô A với tốc độ v (m/s) có tơ B phía trước cách ô tô A 50m đang

dừng chờ đèn đỏ Để đảm bảo an tồn, tơ A hãm phanh lại chạy chậm dần với gia tốc −4

(

m s

)

v

A v0 <20 B v0 >30 C v0 <25 D v0 >15 Lời giải

(27)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

( )

∫

a

t

C

Theo đề bài: v

( )

v

C

v

v t

( )

t

v

Khi ô tô A dừng khoảng thời gian t=0, 25v0

( )

s

(

)

(

)

0

0 0,25

0,25

2

0 0

0

4 dt 0,125

v

S =

∫

t

v

t

v t

v

Để ô tô A khơng chạm vào tơ B

0

50 0,125 50 20

S < ⇔ v < ⇒v <

Câu 50: Một ô tô A chạy thẳng với tốc độ v m so

(

)

30m đang dừng chờ đèn đỏ Để đảm bảo an tồn, tơ A hãm phanh lại chạy chậm

dần với gia tốc

(

)

m s

− Nhưng tơ A cịn cách tơ B 6m thì đèn xanh nên

tơ B bắt đầu chạy thẳng nhanh dần với gia tốc

(

)

1, m s/ hướng với ô tô A Giả sử ô tô A với vận tốc nhỏ để đụng ô tô B, tính qng đường tơ A từ lúc hãm phanh đến đụng ô tô B?

A 3 6m B 2m C 8m D 2

Chọn C

Phương trình vận tốc tô B 2

( )

v t =

∫

a

t

C

Phương trình chuyển động ô tô B

( )

3 dt

4

s t =

∫

v t

t

C

Đặt s2

( )

3

s t = t

Vận tốc ô tô A hãm phanh: v t1

( )

∫

a

t

C

( )

0

2

1 0

0

3 dt

2

t

S =

∫

v t

t

v t

Gọi vận tốc ô tô A lúc đèn xanh vA ⇒vA = −3t0+v0

Phương trình chuyển động ô tô A từ lúc đèn xanh

( )

(

)

1

3

3 dt

2

A A

s t =

∫

t

v

t

v t

C

(28)

Lu

ye

nth

itr

ac

ng

hie

m

.vn

N

gu

y/

n H

oà

ng

V

i2

t

2 2

1

3 9

6 6

2 A A A

s s t v t t v t t v t

t

= ⇔ − + − = ⇔ = + ⇔ = + ≥

(Theo bất đẳng thức AM – GM) Dấu “=” xảy

4 t

t = ⇒ =

Có vận tốc tối thiểu từ lúc đèn chuyển xanh để ô tô A đụng ô tô B vA =3 6

(

m s

)

( )

2

1

2 6

3

3 3

s  = −   +  = m