Giai tich 1 Gioi han va Lien tuc

Các phương pháp tìm giới hạn của dãy: 1 Dùng các biến đổi đại số nhân lượng liên hiệp, sử dụng các đẳng thức quen biết, … 2 Dùng định lý kẹp 3 Dùng định lý Weierstrass: chứng tỏ dãy đơn[r]

Trường Đại học Bách khoa Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng - Giải tích Chương 1: Giới hạn và liên tục • Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Mục tiêu môn học Toán Môn học cung cấp các kiến thức vi tích phân hàm biến và phương trình vi phân Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể Biết vận dụng các phương pháp và tư sáng tạo vào khoa học kỹ thuật Giới hạn và liên tục Đạo hàm và vi phân Tích phân hàm biến Phương trình vi phân Nhiệm vụ sinh viên Đi học đầy đủ Làm tất các bài tập cho nhà Đọc bài trước đến lớp Đánh giá, kiểm tra Thi học kỳ: trắc nghiệm (20%), 20 câu hỏi/ 45 phút Thi cuối kỳ: thi viết (80%), thời gian 90 phút Tài liệu tham khảo Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,… Phép tính vi phân hàm biến NXBGD, 2005 Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng Bài tập toán cao cấp Đỗ Công Khanh Giải tích biến NXB Đại học quốc gia James Stewart Calculus, fifth edition, 2005 www.tanbachkhoa.edu.vn Nội dung - 0.1 – Giới hạn dãy số thực 0.2 – Giới hạn hàm số 0.3 – Liên tục hàm số Định nghĩa Giá trị nhỏ tập các cận trên tập hợp A gọi là cận trên đúng A và ký hiệu là supA, (supremum A) Giá trị lớn tập các cận tập hợp A gọi là cận đúng A và ký hiệu là infA, (infimum A) Nguyên lý supremum Tập khác rỗng và bị chặn trên có cận trên đúng Tập khác rỗng và bị chặn có cận đúng I Giới hạn dãy số thực -Định nghĩa Một dãy số là ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R u:N  R n  u ( n) Thường dùng ký hiệu:  un n 1   hay đơn giản un gọi là số hạng thứ n dãy  un  Dãy số là tập hợp vô hạn các số thực đánh số theo thứ tự:  u1, u2 , , un ,  Ví dụ:  un   ( 1) n    n     Ghi dạng tường minh, ta có  un  n   1    1   , , , , ,  n 1    Định nghĩa Số a gọi là giới hạn dãy số  un ,   0, n0  n  n0  un  a    n  lim u  a Ký hiệu: n  n hay un    a Nếu giới hạn dãy là hữu hạn, thì dãy gọi là dãy hội tụ Ngược lại, dãy gọi là dãy phân kỳ Ví dụ: n 1 Dùng định nghĩa chứng tỏ lim n  n    n   n 1   n 1  n 1  Chọn số tự nhiên n0    Khi đó 1 n   n  n0 :| un  1| 1  n  n0  n 1 n  lim 1 n  n  (theo định nghĩa) Số a không là giới hạn dãy số   un ,   0, n0  N n1 n0 & un1  a   Số a không là giới hạn dãy  un  , tồn số dương   để với số tự nhiên n tìm số tự n1 n0 cho un  a  Ví dụ:  n 1  Chứng tỏ dãy    1   không có giới hạn n  n 1  Chứng tỏ: | un  un 1 | Thật vậy, hai số hạng kế nhau, có số hạng với số chẵn và số hạng với số lẻ 1 u2 k 1  1 u2 k 1     | un  un 1 | 2k 2k 1 1   a  R Xét khoảng  a  , a   2  Hai số hạng kế không thể cùng nằm khoảng này Vậy không tồn giới hạn Định nghĩa Ta nói  un  tiến đến  (hoặc: nhận  làm giới hạn) và khi: A  0, n0  N  n  n0  un  A  n   un  hay un     Ký hiệu: nlim   Ta nói  un  tiến đến   (hoặc: nhận   làm giới hạn) và khi: B  0, n0  N  n  n0  un  B  n  un   hay un      Ký hiệu: nlim   Mệnh đề (tính giới hạn) Nếu dãy  un  hội tụ đến hai số a và b, thì a = b  lim un a a b n   Giả sử  và a b Đặt   lim u  b n  n  na :  n  na  un  a      Đặt n0 Max  na , nb   nb :  n  nb  un  b    a  b  a  un  u n  b  u n  a  u n  b  a  b     2  | a  b | Mâu thuẫn Tính chất giới hạn Nếu các dãy  un  ,   hội tụ và  un   a,    b , thì  un  các dãy  un vn  ;  un vn  ;   , (vn 0 & b 0);   hội tụ Ta có 1) lim  un vn  a b  un  a 3) lim    n     b 2) lim  un vn  a b 4) lim un | a | n  n  n   un  Định nghĩa Ta nói dãy  un  bị chặn trên, A  R : n  N , un  A Ta nói dãy  un  bị chặn dưới, B  R : n  N , un B Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn gọi là dãy bị chặn Định nghĩa Ta nói dãy  un  là dãy tăng, n  N , un 1 un Ta nói dãy  un  là dãy giảm, n  N , un 1 un Một dãy tăng hay dãy giảm gọi chung là dãy đơn điệu Mệnh đề Nếu dãy  un  hội tụ, thì  un  un a Giả sử nlim   bị chặn  n0 :  n  n0  | un  a | 1  a   un  a    Đặt: M Max u1 , u2 , , un0 ,1 | a |  un M Chú ý: Ví dụ Tồn dãy bị chặn không hội tụ n   ( 1)  n 1 Mệnh đề (định lý kẹp) Cho dãy  un  ,   ,  wn  cho n0 , n  n0  un vn wn n  và  un  ,  wn  cùng hội tụ đến a, đó      a Cho   Vì  un  ,  wn  hội tụ đến a, nên n1 , n2  N :  n  n1  | un  a |   n  n2  | wn  a |  Đặt n0 Max  n1 , n2  Khi đó n  n0 , ta có  | un  a |      un  a vn  a wn  a    |  a |   | wn  a |  Vậy n   v   n    a  un       wn  a Ví dụ: Tìm giới hạn dãy n un   n n     n2  n n n  un       n 1 k 1 n  n k 1 n  n  un  1 n n   n     k 1 n  k   lim  un  1 n  Ví dụ Tìm Ta có lim n n  n n n n  5  n    , n   6 n  lim 5n n  n n 0 Ví dụ n lim a 1, a  Chứng tỏ TH1 a 1 Đặt n  n n a   n 0  a   n  1 n n a   n  n  lim  n 0 n   lim n a 1 n  TH2  a  1 lim a  , b   n  a lim n b n n  n Sử dụng TH1, lim b 1 n  Mệnh đề (định lý Weierstrass) Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ Dãy giảm và bị chặn thì hội tụ Cho  un  tăng và bị chặn trên Tập S  u1 , u2 ,  khác rỗng và bị chặn trên Theo nguyên lý Supremum, có supS = a  Theo định nghĩa supS:   0, n0 a   un0 a Vì  un  tăng nên n  n0  un un0  a   un a  a    un  a    lim un a n   Ví dụ Chứng tỏ dãy truy hồi  un  , u1  2; un 1   un là dãy tăng và bị chặn trên Suy tồn giới hạn và tìm giới hạn này Dùng qui nạp, chứng tỏ un  Giả sử n k : un  Khi đó với n k  uk 1   uk   2 un 1   un  un  un   lim un a a  2a Vậy dãy bị chặn trên un un Vậy dãy tăng  a  a  0  a 2 Ví dụ n! Chứng tỏ dãy  un  , un   2n  1 !! là dãy giảm và bị chặn Suy tồn giới hạn và tìm giới hạn này un 1 n 1   un 2n   un un  un 1   un Vậy dãy giảm Vậy dãy bị chặn  lim un a n 1 n 1 un 1  un  a a lim n   2n  2n  n !  lim 0  a  a  a 0 n    2n  1 !! Định nghĩa (dãy con) Cho dãy  un   u1 , u2 , , un ,    Dãy dãy  un  là dãy unk mà các phần tử nó lấy từ dãy  un  theo cách chọn phải luôn theo thứ tự từ trái qua phải  (-1) n n    , - , , , ,   n   -1, 32 14     Một dãy là:   1 1   , , ,   14  Mệnh đề Nếu dãy  un  có giới hạn là a, thì dãy nó có giới hạn là a   lim un a n   n0 ,  n  n0  | un  a |     Với dãy unk , tồn nk0  n0 Khi đó  k  k0  | un k  a |    lim unk a n  Chú ý Thường sử dụng mệnh đề để chứng tỏ không tồn giới hạn dãy: 1/ Nếu tồn hai dãy có giới hạn khác nhau, thì không tồn giới hạn dãy ban đầu 2/ Nếu tồn dãy phân kỳ, thì dãy ban đầu phân kỳ Ví dụ:  n 2n    Chứng tỏ dãy    1 không có giới hạn  3n   n 1  Xét dãy với số chẵn: n = 2k u2 k 4k  4k  k   ( 1)      6k  k  k Xét dãy với số lẻ: n = 2k + u2 k 1 ( 1) k 1 4k 3 4k  k          6k  6k  Tồn hai dãy có giới hạn khác Vậy dãy đã cho không có giới hạn Số e Xét dãy:  un    n        n    Sử dụng nhị thức Newton: n       1     1              2!  n  3!  n   n   n     n  1           n!  n   n   n  s s Vì    , nên un  un 1 n n 1 Vậy dãy tăng Số e s Ta có   n và 1  n  , n 1,2,3, n! 1 1 1  un      2     n 2! 3! n!  un 2   n 3  n 3 Vậy dãy bị chặn ( và tăng), nên dãy hội tụ Giới hạn dãy này ký hiệu là e, và người ta chứng minh e là số vô tỷ, e 2.718281828 n  1 lim    e n   n Một số giới hạn 1) lim 0,  n   n 2) lim n  ln n 0,  6) lim np n  e n 0 7) lim q n 0,| q | n  n 3) lim n  e n 0 n 4) lim n p 1, p n   1 8) lim    e n   n n  a 9) lim    ea , a n   n p 5) lim n a 1, a  n  10) lim n  ln n n 0, p,  Qui tắc: ln n a (a  1) n!  Ví dụ n  ln n lim 0 n  n 4n lim 0 n  n! 100 lim n  n n 0 lim n  log 45 n n 0 Các phương pháp tìm giới hạn dãy: 1) Dùng các biến đổi đại số ( nhân lượng liên hiệp, sử dụng các đẳng thức quen biết, …) 2) Dùng định lý kẹp 3) Dùng định lý Weierstrass: chứng tỏ dãy đơn điệu và bị chặn 4) Dùng giới hạn số e 5) Dùng dãy để chứng minh không tồn 6) Dùng tích phân xác định Ví dụ Tìm giới hạn dãy  lim n  n  n 1  HD Nhân lượng liên hiệp Ví dụ Tìm giới hạn dãy   1 lim     n   2 3 n ( n  1)  1   HD Phân tích n(n  1) n n  Ví dụ Tìm giới hạn dãy sin n  cos n lim n  n HD Sử dụng định lý kẹp Ví dụ Tìm giới hạn dãy 2n lim    n  HD Phân tích, biến đổi số mũ Ví dụ Tìm giới hạn dãy lim n  n sin( n!) n 1 HD Dùng định lý kẹp Ví dụ Tìm giới hạn dãy  n2   lim    n  n    3n 1 HD Sử dụng giới hạn dãy số e Ví dụ Tìm giới hạn dãy lim n      n 3n  n  n(n  1) HD Sử dụng đẳng thức    n  Ví dụ Tìm giới hạn dãy  ( 1) n n lim n  n 1 HD Tìm hai dãy Bài tập I) Tìm các giới hạn sau: n 1) lim n 3n  4n 4 n  2) lim n 1 n  3) lim n  (  1) n 2 n 3 3 n 2  5 n   100 2 n n 1  5n n n 5) lim ( 1)  n   5n 1 27 2n  3n n  4) lim n n n 1  (  1) 6 n 1 15   6) lim 2n  3 n n  2 n 7) lim n 0 3 ln(n  n  1) n   ln( n10  n  1)    n2 n 8) lim     n   n  n     9) lim (n  1)  (n  1) n  (n 10) lim n   1)  (n  1)2 lg 10n lg n 1     11) lim  n   n   3/ n  3/ n  1/ n  12) n  lim n n  13) lim 2   n  5n     n  3n  n n  98   5n    3n   10n  ( 1) n  1/ n n   1/ n 15) lim (2  n)100  n100  200 n99 n  14) lim   ( 1) n   lg n  2n cos n  1  lg(n  1) 2 3  19800 16) lim n  n  n  1 n  n2   n n 1  n 17) lim n   21) lim n  0 n 1  n 18) lim n  n 23) lim n  2008  20) lim   n   n  n 0 n n  2n  5n  n5  n  n n  n 19) lim 0 n  n   n  1 22) lim  n   3n n  n 3n  n 1  n n 5n  n 5 n 24) lim n  n n 4 n n  5n  log (n  3) 0 25) lim n   n  1/ 1 II) Cho un 1, lim un 1 Tìm nlim  n  2un   a )  un  b)  un2  1  2 un  un  3 un  un  3un  c)  d )  un  un 1  III) Tìm lim un n   2n   1) un    5n    n  2) un   n      n 1  3)    n2 4) un  n n3 /(1 n ) n2 0  3n  n   5)un  0   2n  n     ( n  1) /( n 1) 1 n sin n! 6) n n  n 1 (1 n ) /(1 n ) 1 n! 0 7) 8) n! n 0 n n arctan n n  0 0 IV) Tìm lim un n  1 1) un     3 5 (2n  1) (2n  1)   1   2) un       n  1 3 n   2n   1 3)    2 3 3 4 n ( n  1) ( n  2) 4) un   k 1 k ( k  1) n 1  IV) Chứng tỏ các dãy sau đây có giới hạn và tìm các giới hạn này 1) u1 13; un 1  12  un 4 2) u1 k 5, un 1 k 5un ; k  N k  3) u1 k a , un 1 k aun ; k  N , a  k  a 4) u1  , un 1  un  un  3 1 5) u1 1, un 1 1   un HD Xét hai dãy  u2k  và  u2 k   V) CMR không tồn các giới hạn lim sin n, lim cos n n  n 