Toán Lớp 11 QUAN hệ SONG SONG

Quan hệ song song Nâng Cao – Trang Quan hệ song song Nâng Cao QUAN HỆ SONG SONG A – LÝ THUYẾT CHUNG I - ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Mở đầu hình học khơng gian Hình học khơng gian có đối tượng điểm, đường thẳng mặt phẳng Quan hệ thuộc: Trong không gian: a Với điểm A đường thẳng d xảy hai trường hợp:  Điểm A thuộc đường thẳng d , kí hiệu A  d  Điểm A khơng thuộc đường thẳng, kí hiệu A  d b Với điểm A mặt phẳng  P  xảy hai trường hợp:  Điểm A thuộc mặt thẳng  P  , kí hiệu A   P   Điểm A không thuộc đường thẳng, kí hiệu A   P  Các tính chất thừa nhận hình học khơng gian Tính chất thừa nhận 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước Tính chất thừa nhận 2: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước Tính chất thừa nhận 3: Tồn bốn điểm khơng nằm mặt phẳng Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Tính chất thừa nhận 5: Trong mặt phẳng, kết biết hình học phẳng Định lí: Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Điều kiện xác định mặt phẳng Có bốn cách xác định mặt phẳng: Cách 1: Một mặt phẳng xác định biết qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng mặt phẳng, kí hiệu  ABC  Cách 2: Một mặt phẳng xác định biết qua đường thẳng d điểm A không thuộc d , kí hiệu  A, d  Cách 3: Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng a, b cắt nhau, kí hiệu  a, b  Cách 4: Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng a, b song song, kí hiệu  a, b  Hình chóp tứ diện Định nghĩa: Cho đa giác A1 A2 An cho điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa đa giác Nối S với đỉnh A1 , A2 , , An ta n miền đa giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn1 An Hình gồm n tam giác đa giác A1 A2 A3 An gọi hình chóp S A1 A2 A3 An Trong đó: Trang Quan hệ song song Nâng Cao  Điểm S gọi đỉnh hình chóp  Đa giác A1 A2 An gọi mặt đáy hình chóp S  Các đoạn thẳng A1 A2 , A2 A3 , , An1 An gọi cạnh đáy hình chóp  Các đoạn thẳng SA1 , SA2 , , SAn gọi cạnh bên A6 A1 A5 hình chóp  Các miền tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn1 An gọi A2 (P) A3 A4 mặt bên hình chóp Nếu đáy hình chóp miền tam giác, tứ giác, ngũ giác,… hình chóp tương ứng gọi hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,… Chú ý a Hình chóp tam giác cịn gọi hình tứ diện b Hình tứ diện có bốn mặt tam giác hay có tất cạnh gọi hình tứ diện II - ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƢỜNG THẲNG Định nghĩa Trong phần vị trí tương đối hai đường thẳng không gian, ta biết hai đường thẳng phân biệt chéo song song cắt Nếu hai đường thẳng phân biệt đồng phẳng khơng cắt ta nói hai đường thẳng song song với Định nghĩa: Hai đường thẳng phân biệt a, b không gian gọi song song với nhau, kí hiệu a / /b chúng đồng phẳng khơng cắt Tính chất A Định lí 1: Trong khơng gian cho đường thẳng d điểm A nằm ngồi d Lúc tồn đường thẳng a A song song với đường thẳng d Chú ý: Định lí cho ta thêm cách xác định đường thẳng khơng gian: đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho trước khơng chứa điểm Kết hợp với định lí cho ta cách để xác định giao tuyến hai mặt phẳng Định lí ( Về giao tuyến ba mặt phẳng): β c β γ γ c b b A a α a α Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng ( có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng Đến ta bổ sung phương pháp tìm giao tuyến hai mặt phẳng: Bước 1: Chỉ hai mặt phẳng   ,    chứa hai đường thẳng song song a, b Bước 2: Tìm điểm chung M hai mặt phẳng Bước 3: Khi        Mx / / a / /b Định lí 3: Trang Quan hệ song song Nâng Cao Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với a / / b Như vậy, cho hai đường thẳng phân biệt thỏa mãn   a / /b b / / c Góc hai đƣờng thẳng khơng gian a) Định nghĩa Góc hai đường thẳng a b khơng góc hai đường thẳng a ' b ' qua điểm song song với a b b Phƣơng pháp tính góc hai đƣờng thẳng khơng gian Bước 1: Dựng góc - Tìm hình vẽ xem góc hai đường thẳng có sẵn khơng? - Nếu khơng có sẵn ta tiến hành: + Chọn điểm O khơng gian + Qua O dựng đường thẳng a  a, b  b Góc nhọn hay góc vng tọc a, b góc a b Lưu ý: + Ta thường lấy điểm O thuộc hai đường thẳng a b + Chọn O cho góc a, b góc tam giác mà độ dài cạnh biết tính dễ dàng Bước 2: Tính góc Dùng hệ thức lượng tam giác, tỉ số lượng giác hay định lí cosin, sin Trường hợp góc hai đường thẳng a b 900 ta nói a  b III – ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG Vị trí tƣơng đối đƣờng thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng a mặt phẳng  P  Căn vào số điểm chung đường thẳng mặt phẳng ta có ba trường hợp sau: a Đường thẳng a mặt phẳng  P  khơng có điểm chung, tức là: a   P    a   P b Đường thẳng a mặt phẳng  P  có điểm chung, tức là: a   P   A  a cắt  P  A c Đường thẳng a mặt phẳng  P  có hai điểm chung, tức là: a   P    A, B  a   P  a a A A B a (P) (P) (P) a   P    a   P a   P    A  a cắt  P  a   P    A, B  a   P  Điều kiện để đƣờng thẳng song song với mặt phẳng Định lí 1: Nếu đường thẳng a khơng nằm mặt phẳng a  P  song song với đường thẳng  P  a song song với  P  d Tức là, a   P  nếu: a  d   P  a   P Tính chất (P) Trang Quan hệ song song Nâng Cao Định lí 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  P  mặt phẳng  Q  chứa a mà cắt  P  cắt theo giao tuyến song song với a a   P   a  d Tức là,  a   Q   Q    P   d  (Q) a d (P) Hệ 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với (Q) đường thẳng giao tuyến (nếu có) chúng song song với đường thẳng d  P    Q   d a   d  a Tức là:  P   a  (P)  Q   a Hệ 3: Nếu a b hai đường thẳng chéo qua a có mặt phẳng song song với b IV - HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Vị trí tƣơng đối hai mặt phẳng phân biệt Cho mặt phẳng  P   Q  Căn vào số đường thẳng chung mặt phẳng ta có ba trường hợp sau: a Hai mặt phẳng  P   Q  khơng có đường thẳng chung, tức là: b c  P   Q      P   Q  Hai mặt phẳng  P   Q  có đường thẳng chung, tức là:  P    Q   a   P  cắt  Q  Hai mặt phẳng  P   Q  có đường thẳng chung phân biệt, tức là:  P    Q   a, b   P   Q  (Q) a (P) (Q) (Q) (P)  P   Q      P   Q  (P)  P    Q   a   P  cắt  Q   P    Q   a, b   P   Q  Điều kiện để hai mặt phẳng song song Định lí 1: Nếu mặt phẳng  P  chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng  Q   P  song song  Q   a, b   P     P   Q  Tức là: a  b  I   a   P  , b   Q  a (Q) (P) Trang b Quan hệ song song Nâng Cao Tính chất Tính chất 1: Qua điểm nằm mặt phẳng, có mặt phẳng song song với mặt phẳng Hệ 1: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng  Q  qua a có mặt phẳng  P song song với  Q  Hệ 2: Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng  P   Q  song song mặt a (P) phẳng  R  cắt  P  phải cắt  Q  giao tuyến chúng song song b (Q)  P    Q   (R) Tức là: a   P    R   a  b  b   Q    R  Định lí Ta – lét không gian: Ba mặt phẳng đôi song a b song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ A1 A2 (P)  P    Q    R   B1 B2 Tức là: a   P   A1 ; a   Q   B1 ; a   R   C1 (Q)  b   P   A2 ; b   Q   B2 ; b   P   C2 C2 C1 (R) A1 B1 A2 B2   B1C1 B2C2 Hình lăng trụ hình hộp Định nghĩa hình lăng trụ: Hình lăng trụ hình đa diện có hai mặt nằm hai mặt phẳng song song gọi hai đáy tất cạnh không thuộc hai cạnh đáy song song với Trong đó: (Q) A'5  Các mặt khác với hai đáy gọi mặt bên hình lăng A'1 trụ A'2 A'4  Cạnh chung hai mặt bên gọi cạnh bên hình lăng trụ A'3  Tùy theo đa giác đáy, ta có hình lăng trụ tam giác, lăng trụ A1 tứ giác … A5 Từ định nghĩa hình lăng trụ, ta suy tính chất A2 A4 sau: (P) A3 a Các cạnh bên song song b Các mặt bên mặt chéo hình bình hành c Hai đáy hai đa giác có cạnh tương ứng song song Định nghĩa hình hộp: Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp a Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật b Hình hộp có tất mặt bên mặt đáy hình vng gọi hình lập phương Trang Quan hệ song song Nâng Cao D1 D1 C1 A1 A1 B1 D A C1 B1 D C C A B B Chú ý: Các đường chéo hình hộp cắt trung điểm đường Hình chóp cụt Định nghĩa: Cho hình chóp S A1 A2 An Một mặt phẳng  P  song song với mặt phẳng chứa đa giác đáy cắt cạnh SA1 , SA2 , , SAn theo thứ tự A1, A2 , , An Hình tạo thiết diện A1A2 An đáy A1 A2 An hình chóp với mặt A'1 bên A1 A2 A2 A1, A2 A3 A3 A2 , , An A1 A1A n gọi hình chóp cụt Trong đó:  Đáy hình chóp gọi đáy lớn hình chóp cụt, cịn thiết diện gọi đáy nhỏ hình chóp cụt (P) A'5 A'2 A'4 A'3 A5 A1 A4 A2   S A3 Các mặt cịn lại gọi mặt bên hình chóp cụt Cạnh chung hai mặt bên kề A1 A1, A2 A2 , , An An gọi cạnh bên hình chóp cụt Tùy theo đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác,… ta có hình chóp cụt tam giác, hình chóp cụt tứ giác, hình chụp cụt ngũ giác,… Tính chất: Với hình chóp cụt, ta có tính chất sau: Hai đáy hình chóp cụt hai đa giác đồng dạng Các mặt bên hình chóp cụt hình thang Các cạnh bên hình chóp cụt đồng quy điểm Trang Quan hệ song song Nâng Cao B– BÀI TẬP ĐẠI CƢƠNG VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác ( AB không song song CD ) Gọi M trung điểm SD, N điểm nằm cạnh SB cho SN  NB, O giao điểm AC BD Giả sử đường thẳng d giao tuyến  SAB   SCD  Nhận xét sau sai: Câu 2: A d cắt CD B d cắt MN C d cắt AB D d cắt SO Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành  BC / / AD  Mặt phẳng  P  di động chứa đường thẳng AB cắt đoạn SC, SD E , F Mặt phẳng  Q  di động chứa đường thẳng CD cắt SA, SB G, H I giao điểm AE, BF ; J giao điểm CG, DH Xét mệnh đề sau: 1 Đường thẳng EF qua điểm cố định   Đường thẳng GH qua điểm cố định  3 Đường thẳng IJ qua điểm cố dịnh Có mệnh đề đúng? Câu 3: A B C D Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh MA SC Gọi I giao điểm đường thẳng AM vơí mặt phẳng  SBD  Khi tỉ số IA bao nhiêu: A Câu 4: D B C D Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Tìm điểm I đường chéo B'D điểm J đường ID chéo AC cho IJ // BC' Tính tỉ số bằng: IB' A Câu 6: C Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình thang với AD đáy lớn AD = 2BC , G KB trọng tâm tam giác SCD Mặt phẳng  SAC  cắt cạnh BG K Khi đó, tỷ số bằng: KG A Câu 5: B B C D Cho tứ diện ABCD có P, Q trung điểm AB CD M điểm thuộc cạnh AD cho MA = 2MD Gọi N giao điểm BC với  MPQ  Tỉ số NB bằng: NC Trang Quan hệ song song Nâng Cao A Câu 7: B C D Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình thang  AD // BC, AD > BC  , E điểm thuộc SF cạnh SA cho SE = 2EA Mặt phẳng  EBC  cắt cạnh SD F Khi đó, tỷ số bằng: SD A Câu 8: B C D Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, gọi M, N điểm thuộc cạnh SB,SD cho SM = MB,SN = 2ND Mặt phẳng  AMN  cắt SC P thỏa mãn SP = kSC Số k bằng? A Câu 9: B C D Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N , P SH trung điểm AB, AD SO Gọi H giao điểm SC với  MNP  Tính ? SC 1 B C D 4 S ABCD ABCD Câu 10: Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi M , N trung điểm AD CD Trên đường thẳng DS lấy điểm P cho D trung điểm SP Gọi R A SR ? giao điểm SB với mặt phẳng (MNP) Tính SB 1 B C D 4 Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M , N A BM NC  ,  Gọi P điểm cạnh SD MA BN PD SJ  J giao điểm SO với  MNP  Tính ? cho PS SO điểm nằm cạnh AB, AD cho 10 B C D 11 11 Câu 12: Cho hình chóp S ABC Gọi M, N trung điểm SA BC P điểm nằm AP SQ  Gọi Q giao điểm SC với mặt phẳng  MNP  Tính cạnh AB cho AB SC A 1 B C D Câu 13: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi E trung điểm AB , F điểm thuộc cạnh BC cho BF  2FC, G điểm thuộc cạnh CD cho CG  2GD Tính độ dài A Trang Quan hệ song song Nâng Cao đoạn giao tuyến mặt phẳng  EFG  với mặt phẳng  ACD  hình chóp ABCD theo a 19 a 141 a 34  15 a 34  15 a B C D 15 15 30 15 Câu 14: Cho tứ diện SABC có AB  c, BC  a, AC  b AD, BE, CF đường phân giác A tam giác ABC Giao tuyến hai mặt phẳng  SBE   SCF  là:  b  c  A SI I thuộc AD cho AI  ID a  b  c  B SI I thuộc AD cho AI   ID a  a  C SI I thuộc AD cho AI  ID bc  a  D SI I thuộc AD cho AI  ID bc Câu 15: Cho tứ diện SABC, E, F thuộc đoạn AC, AB Gọi K giao điểm BE CF Gọi D giao điểm  SAK  với BC Mệnh đề sau đúng? AK BK CK AK BK CK    B    KD KE KF KD KE KF AK BK CK AK BK CK C    D    KD KE KF KD KE KF Câu 16: Cho hình chóp S ABCD, D, M trung điểm BC, AD Gọi E giao điểm A  SBM  với AC, F giao điểm  SCM  với AB Tính Câu 17: Cho hình bình hành ABCD , S điểm không thuộc  ABCD  ,M N trung điểm A B C MF ME ?  CM  ME BM  ME D đoạn AB SC Xác định giao điểm I, J AN MN với  SBD  ,từ tìm khẳng định khẳng định sau: A Ba điểm J, I, M thẳng hàng B Ba điểm J, I, N thẳng hàng C Ba điểm J, I, D thẳng hàng D Ba điểm J, I, B thẳng hàng Câu 18: Cho tứ giác ABCD S   ABCD  Gọi I, J hai điểm AD SB, AD cắt BC O OJ cắt SC M Xác định giao điểm K, L IJ DJ với  SAC  , từ tìm khẳng định khẳng định sau: A Ba điểm A, K , L thẳng hàng B Ba điểm A, L, M thẳng hàng C Bốn điểm A, K , L, M thẳng hàng D Bốn điểm A, K , L, J thẳng hàng Câu 19: Cho tứ diện SABC Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN không song song với SC Gọi LK giao tuyến mp Trang 10 Quan hệ song song Nâng Cao Vậy: M, I, J thẳng hàng Câu 20: Cho tứ giác ABCD S không thuộc mặt phẳng  ABCD  Gọi M, N hai điểm BC SD Xác định I, J giao điểm BN MN với  SAC  Từ tìm điểm thẳng hàng điểm sau: A Ba điểm A, I, J thẳng hàng B Ba điểm K, I, K thẳng hàng C Ba điểm M, I, J thẳng hàng D Ba điểm C, I, J thẳng hàng Hƣớng dẫn giải Chọn D S * Tìm giao điểm I  BN   SAC  N Chọn mp phụ  SBD   BN I  Tìm giao tuyến  SBD   SAC  J Trong  ABCD  , D A O  AC  BD   SBD    SAC   SO O Trong  SBD  , gọi B K C M I  BN  SO, I  BN , I  SO mà SO   SAC   I   SAC  Vậy: I  BN   SAC  * Tìm giao điểm J  MN   SAC  :  Chọn mp phụ  SMD   MN  Tìm giao tuyến  SMD   SAC  Trong  ABCD  , gọi K  AC  DM   SMD    SAC   SK Trong  SMD  , gọi J  MN  SK , J  MN , J  SK mà SK   SAC   J   SAC  Vậy: J  MN   SAC  * Chứng minh C, I, J thẳng hàng: Ta có: C, I, J điểm chung  BCN   SAC  Vậy: C, I, J thẳng hàng Câu 21: Cho tứ diện ABCD E điểm thuộc đoạn AB cho EA  2EB F , G điểm thuộc     đường thẳng BC cho FC  5FB, GC  5GB H , I điểm thuộc đường thẳng CD     cho HC  5HD, ID  5IC, J thuộc tia đối tia DA cho D trung điểm AJ Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Bốn điểm E, F , H , J đồng phẳng B Bốn điểm E, F , I , J đồng phẳng Trang 34 Quan hệ song song Nâng Cao C Bốn điểm E, G, H , I đồng phẳng D Bốn điểm E, G, I , J đồng phẳng Hƣớng dẫn giải Chọn A Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có: AE BF CH DJ 1  2  5   BE CF DH AJ E, F , H , J đồng phẳng A nên AE BF CI DJ 1 1  2      25 BE CF DI AJ E, F , I , J không đồng phẳng F nên D E H B J C I AE BG CH DJ  1  2     5   1 BE CG DH AJ  5 nên E, G, H , J không đồng phẳng AE BG CI DJ  1 1 1  2       nên E, G, I , J không đồng phẳng BE CG DI AJ     25 Câu 22: Cho tứ diện ABCD E điểm thuộc đoạn AB cho EA  2EB F , G điểm thuộc     đường thẳng BC cho FC  5FB, GC  5GB H , I điểm thuộc đường thẳng CD     cho HC  5HD, ID  5IC, J thuộc tia đối tia DA cho D trung điểm AJ Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Bốn điểm E, F , H , J đồng phẳng C Bốn điểm E, G, H , I đồng phẳng B Bốn điểm E, F , I , J đồng phẳng D Bốn điểm E, G, I , J đồng phẳng Hƣớng dẫn giải Chọn A Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có: AE BF CH DJ 1  2  5   nên E, F , H , J đồng phẳng BE CF DH AJ AE BF CI DJ 1 1  2      25 BE CF DI AJ E, F , I , J không đồng phẳng nên AE BG CH DJ  1  2     5   1 nên BE CG DH AJ  5 E, G, H , J không đồng phẳng AE BG CI DJ  1 1 1  2       BE CG DI AJ     25 E, G, I , J không đồng phẳng A F D E H B J C nên I Câu 23: Cho tứ diện ABCD, E,U điểm thuộc đường thẳng AB     EA  2EB, 5UA  4UB F , G điểm thuộc đường thẳng BC Trang 35 cho cho Quan hệ song song Nâng Cao     FC  5FB, GC  2GB H , I điểm thuộc đường thẳng CD cho     HC  5HD, ID  5IC J , K điểm nằm đường thẳng DA cho     JA  JD, KD  5KA Bốn điểm lập nên tứ diện? A E, F , H , J B E, G, I , K C U , G, H , J Hƣớng dẫn giải D U , F , I , K Chọn D Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có: AE BF CH DJ 1  2  5   nên E, F , H , J đồng phẳng BE CF DH AJ AE BG CI DK  1  2     5  nên E,G, I , K đồng phẳng BE CG DI AK  2 AU BG CH DJ        5  nên U,G, H , J đồng phẳng BU CG DH AJ   AU BF CI DK       5  nên U, F, I, K khơng đồng phẳng Do điểm 25 BU CF DI AK   lập nên tứ diện Câu 24: Cho tứ diện ABCD điểm M , N , P, Q thuộc cạnh AB, BC, CD, DA cho MN không song song với AC M , N , P, Q đồng phẳng : A AM BN CP DQ 1 BM CN DP AQ B BM CN CP DQ 1 AM BN DP AQ C BM CN DP DQ 1 AM BN CP AQ D AM BN DP AQ  BM CN CP DQ Hƣớng dẫn giải Chọn A + Giả sử M , N , P, Q thuộc mặt phẳng   Nếu MN cắt AC K K điểm chung mặt phẳng   ,  ABC  ,  ADC  nên PQ qua K Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC, ADC ta : AM BN CK AK CP DQ AM BN CP DQ 1 ; 1  1 BM CN AK CK DP AQ BM CN DP AQ Nhận xét : Trường hợp MN song song với AC ví dụ + Liệu trường hợp ngược lại, có AM BN CP DQ  M , N , P, Q có đồng phẳng hay BM CN DP AQ không ? Câu trả lời trường hợp ngược ví dụ Ta chứng minh : Trang 36 Quan hệ song song Nâng Cao Trong mặt phẳng  ACD  , KO cắt AD Q điểm M , N , P, Q đồng phẳng AM BN CP AQ DQ DQ 1    Q  Q Ví dụ chứng BM CN DP DQ AQ AQ Theo ví dụ ta có: minh + Ví dụ mở rộng điểm M , N , P, Q đường thẳng AB, BC, CD, DA sau : AM BN CP DQ  ( khẳng định dơi cịn BM CN DP AQ gọi định lí Menelaus mở rộng không gian) M , N , P, Q đồng phẳng Câu 25: Cho tứ diện ABCD có M , N trung điểm AB, CD P điểm thuộc cạnh BC ( P không trung điểm BC ) Gọi Q giao điểm  MNP  với AD, I giao điểm MN với PQ Mệnh đề sau đúng? A SMNPQ  2SMPN B SMNPQ  2SMPQ D SMNPQ  4S PIN C SMNPQ  4SMPI Hƣớng dẫn giải Chọn A Do tứ diện ABCD có mặt nên thiết diện khơng thể ngũ giác hay lục giác Nó tam giác tứ giác A Trong mp  ABC  , gọi K  MP  AC (P trung điểm đoạn BC nên MP cắt AC) M Trong mp  ACD  , gọi Q  KN  AD Do Q  KN   MNP  nên Q   MNP   AD Q B  MNP    ABD   MQ   MNP    ABC   MP Ta có:   MNP    BCD   PN  MNP  ACD  NQ     D I P j N C Suy thiết diện cần tìm tứ giác MPNQ Ta chọn đáp án B Áp dụng ví dụ 11, M , N , P, Q đồng phẳng nên AM BP CN DQ BP DQ 1 1 BM CP DN AQ CP AQ (Do M, N trung điểm AB, CD) Từ suy     BP  k Khi ta suy BP  k PC, AQ  kQD PC     Suy BP  AQ  k CP  QD 1 Giả sử   Do J trung điểm PQ Trang 37 BP AQ  CP DQ Quan hệ song song Nâng Cao         MJ  MB  BP  PJ  Ta có:       2MJ  AQ  BP     MJ  MA  AQ  QJ    Chứng minh tương tự ta có: NJ  CP  DQ  3   Từ (1,2,3) suy MJ  k NJ Điều dẫn đến M, N, J thẳng hàng Như I trùng J Điều suy SMNPQ  2SMPN Chọn đáp án A Câu 26: Cho hình chóp SA1 A2 An với đáy đa giác lồi A1 A2 An  n  3, n    Trên tia đối tia A1S lấy điểm B1 , B2 , Bn điểm nằm cạnh SA2 , SAn Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  B1B2 Bn  là: A Đa giác n  cạnh B Đa giác n  cạnh C Đa giác n cạnh cạnh Hƣớng dẫn giải D Đa giác n  Chọn D Trong mặt phẳng  SA1 A2  gọi C2 giao S Bn điểm B1 B2 với A1 A2 Bk Ik Trong mặt phẳng  SA1 An  gọi Cn giao điểm B1 Bn với A1 An Trong mặt phẳng An  A1 A2 An  A1 gọi Ok  k  3, 4, , n  1 giao điểm C1 Ok B2 A1 Ak với C2 B1 A2 An Ak A2 Trong mặt phẳng  SA2 An  , gọi I k  k  3, 4, , n  1 giao điểm SOk với B2 Bn Trong mặt phẳng  SA1 Ak  , gọi Bk  k  3, 4, , n  1 giao điểm SAk với B1 I k Do Bk  B1I k   B1B2 Bn  nên Bk giao điểm SAk  k  3, 4, , n  1 với mặt phẳng  B1B2 Bn  Vậy thiết diện hình chóp cắt  B1B2 Bn  đa giác C2 B2 BnCn Câu 27: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, E điểm thuộc cạnh bên SD cho SD  3SE F trọng tâm tam giác SAB, G điểm thay đổi cạnh BC Thiết diện cắt mặt phẳng  EFG  là: A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác Hƣớng dẫn giải Chọn C Cách 1: Trang 38 D Lục giác Quan hệ song song Nâng Cao S E J K F D A I N M L B G C H Gọi M trung điểm AB , S , F , M thẳng hàng Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi I giao điểm MG với AD Khi SI   SMG    SAD  Trong mặt phẳng  SMG  , gọi J giao điểm FG với SI Ta thấy J thuộc FG nên J thuộc  EFG  Trong  SAD  , gọi K giao điểm JE với SA Trong mặt phẳng  SAB  , gọi L giao điểm KF với AB Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi H giao điểm LG với CD Trong mặt phẳng  SCD  , gọi N giao điểm EH với SC  EFG    ABCD   LG;  EFG    SBC   GN  Ta có:  EFG    SCD   NE;  EFG    SAD   EK   EFG    SAB   KL Vậy ngũ giác LGNEK thiết diện hình chóp cắt  EFG  Chú ý: Mấu chốt ví dụ việc dựng điểm J giao điểm FG với  SAD  (thông qua việc dựng giao tuyến SI mặt phẳng  SFG  với mặt phẳng  SAD  ) Có thể dựng thiết diện nhiều cách với việc dựng giao điểm (khác E, F , G ) đường thẳng EF , FG ; GE với mặt hình chóp Sau đây, tơi xin trình bày cách hai, điểm mấu chốt xác định giao điểm EF với mặt phẳng  ABCD  Cách 2: Trang 39 Quan hệ song song Nâng Cao S E K F D A N M P L B G C H Trong mặt phẳng  SM D  , gọi P giao điểm EF với M D Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi H , L giao điểm P, G với CD , AB Trong mặt phẳng  SAB  , gọi K giao điểm LF với SA Trong mặt phẳng  SCD  , gọi N giao điểm EH với SC  EFG    ABCD   LG;  EFG    SBC   GN  Ta có:  EFG    SCD   NE;  EFG    SAD   EK   EFG    SAB   KL Vậy ngũ giác LGNEK thiết diện hình chóp cắt  EFG  Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD, E điểm thuộc mặt bên  SCD  F, G điểm thuộc cạnh AB SB Thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng  EFG  là: A Tam giác, tứ giác B Tứ giác, ngũ giác C Tam giác, ngũ giác D Ngũ giác Hƣớng dẫn giải Chọn B Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi H giao điểm AB CD Trong mặt phẳng  SAB  , gọi I giao điểm FG SH Xét trường hợp sau: Trang 40 Quan hệ song song Nâng Cao S I J E G A D K F B C H Trƣờng hợp 1: Trong mặt phẳng  SCD  , IE cắt SC J cắt đoạn CD K Ta có J  IE   EFG  nên J giao điểm  EFG  với SC , K  IE   EFG  nên K giao điểm  EFG  với CD   EFG    ABCD   FK ;  EFG    SAB   FG Ta có    EFG    SBC   GJ ;  EFG    SCD   JK Suy tứ giác KFGJ thiết diện hình chóp cắt  EFG  Trƣờng hợp 2: S I J E K G M A D F L C B H Trang 41 Quan hệ song song Nâng Cao Trong mặt phẳng  SCD  , IE cắt SC J cắt đoạn SD K (cắt CD điểm nằm đoạn CD ) Trong mặt phẳng  SBC  : Nếu GJ song song với BC ta có: BG CJ Gọi T giao điểm IE với CD  GS JS Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác SBH SCH ta có FB IH GS TC IH JS FB TC Điều xảy T thuộc đoạn CD 1   FH IS GB TH IS JC FH TH (vơ lí) Do vây GJ cắt BC , giả sử L Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi M giao điểm LF với AD  EFG    ABCD   FM ;  EFG    SAB   FG  Ta có  EFG    SBC   GJ ;  EFG    SCD   JK   EFG    SAD   KM Suy ngũ giác KJGFM thiết diện hình chóp cắt  EFG  Vậy thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng  EFG  tứ giác ngũ giác   Câu 29: Cho hình chóp S ABCD, E trung điểm SB, F thuộc SC cho 3SF  2SC, G điểm thuộc miền tam giác SAD Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  EFG  là: A Tam giác, tứ giác B Tứ giác, ngũ giác C Tam giác, ngũ giác D Ngũ giác Hƣớng dẫn giải Chọn B Trong mặt phẳng  SBC  , gọi J giao điểm EF với BC Trong mặt phẳng  SAD  , gọi I giao điểm SG với AD Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi N giao điểm IJ với CD Trong mặt phẳng  SIJ  , gọi K giáo điểm JG với SN Trong mặt phẳng  SCD  , có hai khả xảy sau: Trường hợp 1: FK cắt đoạn CD P S Trong mặt phẳng  ABCD  , gọi Q giao điểm JP với AD Trong mặt phẳng  SAD  , gọi R giao điểm QG với SA R G E Q A Trang 42 I F D K P B N C J Quan hệ song song Nâng Cao  EFG    ABCD   PQ;  EFG    SAD   QR  Ta có  EFG    SAB   RE;  EFG    SBC   EF   EFG    SCD   FP Trường hợp này, ngũ giác REFPQ thiết diện hình chóp S ABCD cắt  EFG  Trường hợp 2: FK cắt SD H ( FK không cắt đoạn CD ) S Trong mặt phẳng  SAD  , gọi M giao điểm HG với SA ( HG cắt đoạn AD giả sử ngược lại HG cắt cạnh AD O , JO cắt cạnh CD (vơ lí  EFG  cắt M G H E cạnh SC, SD )) K Khi   EFG    SCD   FH ;  EFG    SAD   MH    EFG    SAB   ME;  EFG    SBC   EF I A F P B Trường hợp này, tứ giác MEFH thiết diện hình chóp cắt  EFG  D N C J Câu 30: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Trên tia đối tia CB, DA lấy điểm E, F cho CE  a, DF  a Gọi M trung điểm đoạn AB Diện tích S thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng  MEF  là: A S  a 33 18 B S  a2 C S  a2 D S  a 33 Hƣớng dẫn giải Chọn C Trong mặt phẳng  ABC  , gọi H giao điểm ME với AC Trong mặt phẳng  ABD  , gọi K giao điểm MF AD  MEF    ABC   MH  Ta có:  MEF    ABD   MK   MEF    ACD   HK Do tam giác MHK thiết diện tứ diện cắt  MEF  A M K Dễ thấy H , K trọng tâm tam H giác ABE ABF 2a Ta có: AH  AK  HK  B D Xét hai tam giác AMH AMK có AM C   MAK   600 , AH  AK  2a nên chung, MAH E hai tam giác Suy MH  MK Vậy tam giác MHK cân M Áp dụng định lí cosin tam giác AMH : Trang 43 F Quan hệ song song Nâng Cao 2 2 a 13  a   2a  a 13a MH  AM  AH  AMAH cos 60          MH  36 2   Gọi I trung điểm đoạn HK Ta có MI  HK 13a a a a Suy ra: MI  MH  HI     MI  36 1 2a a a Diện tích thiết diện MHK là: S  MI HK   2 2 Câu 31: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng   cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD tương ứng điểm E, F , G, H Gọi I  AC  BD, J  EG  SI Mệnh đề sau đúng? SA SC SB SD    SE SG SF SH SA SC SB SD C    SE SG SF SH SA SC SI  2 SE SG SJ SB SD SI D  2 SF SH SJ Hƣớng dẫn giải A B Chọn A S H E J F D A G I B C Xét trường hợp đặc biệt E, F , G, H trung điểm SA, SB, SC, SD Khi ta dễ dàng loại đáp án D Dựng AT / / EG T  SI  , CK / / EG  KESI  S Theo định lý Thales, ta có: SA ST SC SK IT IA  ,  ;  1 SE SJ SG SJ IK IC Suy ra: G E SA SC ST  SK SI  IT  SI  IK SI    2 SE SG SJ SJ SJ T Như vậy, ý B bị loại Tương tự, ta chứng minh SB SD SI  2 SF SH SJ Từ ta thấy ý C bị loại A đáp án A đáp án Trang 44 K C Quan hệ song song Nâng Cao lựa chọn Chú ý: Cho tam giác ABC Gọi O trung điểm AC, M, N hai điểm nằm cạnh BA BC BO AB, AC MN cắt BO I Khi đó:   BM BN BI Câu 32: Cho hai hình vng ABCD ABEF chung cạnh AB thuộc hai mặt phẳng vng góc Lấy hai điểm M , N hai đường chéo AC BF cho AM  BN Tìm quĩ tích trung điểm MN , biết O trung điểm AB A Quỹ tích I đoạn OI  với I  trung điểm CF B Quỹ tích I tia phân giác góc xOy với Ox / / BF Oy / / AC C Quỹ tích I đường phân phân giác góc xOy với Ox / / BF Oy / / AC D Quỹ tích I đường đoạn OI  với I  trung điểm CE Hƣớng dẫn giải: Tìm mặt phẳng cố định chứa I: Gọi O trung điểm AB Do điểm I trung điểm MN, theo định lý Thales đảo I nằm mặt phẳng qua O song song với AC BN Mặt phẳng dựng sau: Từ O kẻ Ox// AC, Oy //BF Ox, Oy tạo mặt phẳng (P) chứa I Quỹ tích I (P) Xác định điểm I: ( phương pháp dựng giao điểm đường thẳng mặt phẳng ) + Chọn mặt phẳng chứa I: Từ M N kẻ đường thẳng song song với AB Chúng cắt Ox, Oy M’ N’ Mặt phẳng (NN’MM’) mặt phẳng + Giao tuyến (NN’MM’) với P M’N’ Nó cắt MN I I trung điểm MN trung điểm M’N’ Trên (P) di chuyển I phụ thuộc vào M’ N’ Tính chất M’ N’ OM’= ON’ Vì OM’ = ON’ nên trung điểm I chạy đường phân giác góc xOy Giới hạn: Khi M chạy đến C N chạy đến F I chạy đến trung điểm I’ CF Kết luận: Quỹ tích I đoạn thẳng OI’ mặt phẳng (Ox;Oy) Các hình vẽ minh họa: Trang 45 Quan hệ song song Nâng Cao Câu 33: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F điểm cố định cạnh AB AC cho EF không song song với BC Điểm M di động cạnh CD Gọi N giao điểm mp (MEF) BD Tìm tập giao điểm I EM FN A Tập hợp I đoạn thẳng DG với G  EC  BF B Tập hợp I đường thẳng DG với G  EC  BF C Tập hợp I tia DG với G  EC  BF D Tập hợp I đường thẳng DK với K giao điểm EF BC Hƣớng dẫn giải: Do EF không song song với BC Nên EF cắt BC K Trong mặt phẳng (BCD), đường thẳng KM cắt BD N Suy N giao điểm mp(MEF) BD Do I  EM EM  ( ECD) cố định nên I thuộc mặt phẳng (ECD) Tương tự I  FN FN thuộc mặt phẳng (FBD) cố định Nên I thuộc giao tuyến mp(FBD) (ECD) Gọi G  EC  BF I thuộc đường thẳng DG giao tuyến mặt phẳng (ECD) (FBD) Khi M di động CD I di động đoạn DG Vậy tập hợp I đoạn thẳng DG Câu 34: Cho hình chóp S.ABCD Giả sử AD BC cắt H Gọi O giao điểm AC BD, E F trung điểm SA SB Điểm M di động cạnh SC Gọi N giao điểm SD mp(EFM) Tìm tập hợp giao điểm J EN FM A Tập hợp J đoạn thẳng SJ1 với J1 = CF  SH B Tập hợp J đoạn thẳng SJ1 với J1 = DE  SH C Tập hợp J đoạn thẳng SH D Tập hợp J đường thẳng SH Hƣớng dẫn giải: Gọi O giao điểm AC BD Suy (SAC) cắt (SBD) theo giao tuyến SO Gọi I giao EM SO Khi FI cắt SD N Do FM thuộc mp (SBC) cố định EN thuộc mp (SAD) cố định nên giao điểm J FM EN thuộc giao tuyến mp (SBC) mp (SAD) Gọi H =AD  BC, suy (SBC) (SAD) =SH Do I thuộc đường thẳng SH Giới hạn: Nếu M  S J  S ; Nếu M  C J  J1 với J1 = CF  SH Vậy tập hợp J đoạn thẳng SJ1 Trang 46 Quan hệ song song Nâng Cao Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD, AD khơng song song với BC Gọi O giao điểm AC BD, E giao điểm AD BC Điểm M di động cạnh SB, EM cắt SC N Tập hợp giao điển I AN DM A Tập hợp giao điển I đoạn thẳng SO B Tập hợp giao điển I đường thẳng SO C Tập hợp giao điển I đoạn thẳng SO trừ điểm S O D Tập hợp giao điển I đoạn thẳng SE Hƣớng dẫn giải: Do AN thuộc mp (SAC) cố định DM thuộc mp (SBD) cố định nên giao điểm I AN DM thuộc giao tuyến (SAC) (SBD) SO Khi M trùng S I trùng S; Khi M trùng B I trùng O Vậy tập hợp I đoạn thẳng SO Câu 36: Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng  P  di động song song với AB CD cắt cạnh AC, AD, BD, BC M , N , E, F Tìm tập hợp tâm I hình bình hành MNEF A Tập hợp tâm I đoạn thẳng PQ với P, Q trung điểm AB CD (trừ điểm P Q) B Tập hợp tâm I đoạn thẳng PQ với P, Q trung điểm AB CD Trang 47 Quan hệ song song Nâng Cao C Tập hợp tâm I đoạn thẳng PQ với P, Q trung điểm AD BC (trừ điểm P Q) D Tập hợp tâm I đoạn thẳng PQ với P, Q trung điểm AD BC Hƣớng dẫn giải: Gọi P, Q trung điểm AB CD Khi AQ cắt MN K; BQ cắt FE H Dễ thấy H, K trung điểm MN FE nên I thuộc KH, đồng thời trung điểm KH Do I thuộc đường trung tuyến QP tam giác QAB Trang 48 ... thẳng O song song với At OI  Trang 14 a Quan hệ song song Nâng Cao B I nằm đường thẳng O song song với At OI  a C I nằm đường thẳng O song song với At OI  3a D I nằm đường thẳng O song song... a d (P) Hệ 1: Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt song song với (Q) đường thẳng giao tuyến (nếu có) chúng song song với... Xét mệnh đề sau: (1) Đường thẳng MN song song với  GAC  (2) Đường thẳng MN song song với  DAC  Trang 15 Quan hệ song song Nâng Cao (3) Đường thẳng GE song song với  AMN  (4) Đường thẳng