Đột phá hình toán 11 quan hệ song song

CH NG 4: Đ ỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG CHUYÊN ĐỀ 1: ĐẠI C P Ầ 1: LÝ T UYẾT TRỌ NG VỀ Đ ỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TÂM Các tính chất thừa nhận � Có đườ thẳ � Có mặt phẳ qua hai điểm phân biệt qua ba điểm không thẳ hàng � Nếu đườ thẳ có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳ thuộc mặt phẳ đ điểm củ đườ thẳ � Có bố điểm khơng thuộc mặt phẳ � Nếu hai mặt phẳ phân biệt có điểm chung chúng có điểm chung khác ữ Do đ ếu hai mặt phẳ phân biệt có điểm chung chúng có đườ chung Đườ thẳ đ ọi giao tuyế củ hai mặt phẳ � Trên mặt phẳ kết biết hình học phẳ thẳ chung qua điểm đú Cách xác định mặt phẳng Một mặt phẳ � Mặt phẳ hoàn toàn xác đị h biết: đ qua ba điểm không thẳ hàng A, B, C Kí hiệu: ABC � Mặt phẳ đ qua điểm A đườ thẳ d khơng qua điểm A đ Kí hiệu: A, d � Mặt phẳ hai đườ thẳ cắt d, d ' Kí hiệu: d, d ' Trang P Ầ 2: CÁC DẠ BÀI TẬP Dạng 1: Giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp giải Để xác đị h giao tuyế củ hai mặt phẳ Đườ thẳ , ta tìm hai điểm chung củ chúng qua hai điểm chung đ giao A ợA A= ầ B ợB B= Ç Do đ AB = Ç Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diệ ABCD Gọi G t ọ tâm củ tam giác BCD Giao tuyế củ mặt phẳ ACD GAB là: A AM (M trung điểm củ AB) B AN (N trung điểm củ CD) C AH (H hình chiếu củ B CD) D AK (K hình chiếu củ C BD) Hướ A Ta có: í ỵA dẫ ACD GAB Do đ A = ACD Ç GAB A điểm chung thứ hất iữ hai mặt phẳ ACD GAB Gọi N trung điểm củ CD Vì G t ọ tâm tam giác BCD nên BG Ç CD = N N BG, BG Ì ABG í ỵ N CD, CD Ì ACD Do đ N N ABG N ACD ACD Ç GAB N điểm chung thứ hai iữ hai mặt phẳ ACD GAB Vậy AN = ACD Ç GAB với N trung điểm củ CD ® họ B Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD AD / /BC Gọi M trung điểm CD Giao tuyế củ hai mặt phẳ MSB SAC là: A SI (I giao điểm củ AC BM) B SJ (J giao điểm củ AM BD) Trang C SO (O giao điểm củ AC BD) D SP (P giao điểm củ AB CD) Hướ S Ta có: í ỵS Do đ S dẫ MSB SAC MSB Ç SAC S điểm chung thứ hất iữ hai mặt phẳ MSB SAC Gọi I giao điểm củ AC BM I BM, BM Ì SBM í ỵI AC, AC Ì SAC Do đ I I SBM I SAC MSB Ç SAC I điểm chung thứ hai iữ hai mặt phẳ MSB SAC Vậy MSB Ç SAC = SI với I giao điểm củ AC BM ® họ A Ví dụ 3: Cho tứ diệ S.ABC Lấy M SB, N AC, I SC cho MI không song song với BC, NI không song song với SA Gọi K = MI Ç BC Tìm giao tuyế củ mặt phẳ A NK B NC C MI Hướ N MNI Vì í ỵ N AC, AC Ì ABC Do đ N N MNI với mặt ABC ? D MK dẫ ABC MNI Ç ABC Trong mp SBC , K = MI Ç BC K MI, MI Ì MNI í ỵK BC, BC Ì ABC Do đ K K MNI K ABC MNI Ç ABC (1) (2) suy MNI Ç ABC = NK ® họ A Bài tập tự luyện Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD (AB//CD) Khẳng định sau sai? A Hình chóp S.ABCD có mặt bên B Giao tuyế củ hai mặt phẳ SAC SBD SO (O giao điểm củ AC BD) C Giao tuyế củ hai mặt phẳ SAD SBC SI (I giao điểm củ AD BC) D Giao tuyế củ hai mặt phẳ SAB SAD đườ trung bình củ ABCD Trang Câu Cho hình chóp S.ABCD Gọi I trung điểm củ SD, J điểm cạ h SC J không trùng với trung điểm SC Giao tuyế củ mặt phẳ ABCD AIJ là: A AK (K giao điểm củ IJ BC) B AH (H giao điểm củ IJ AB) C AG (G giao điểm củ IJ AD) D AF (F giao điểm củ IJ CD) Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AB / /CD Gọi I giao điểm củ AC BD Trên cạ h SB lấy điểm M Tìm giao tuyế củ hai mặt phẳ ADM SAC A SI B AE (E giao điểm củ DM SI) C DM D DE (E giao điểm củ DM SI) Đáp án: 1-D 2-D 3-B Dạng 2: Giao điểm đường thẳng mặt phẳng Phương pháp giải Để tìm giao điểm củ đườ ườ d mặt phẳ hợp Nếu P có sẵ đườ M d í ỵ M d¢ Ì P ườ thẳ M d í îM P P ta cầ lưu ý số t ườ thẳ hợp sau: d ' cắt d M, đ : M =dÇ P hợp Nếu P chư có sẵ d ' cắt d ta thực hiệ theo bước sau: Bước 1: họ mặt phẳ Q d Bước 2: Tìm giao tuyế D = P Ç Q Bước 3: Trong Q ọi M = d Ç D M giao điểm củ d Ç P Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho bố điểm A, B, C, D không đồ phẳ Gọi M, N lầ lượt trung điểm củ AC BC Trên đoạ BD lấy điểm p cho BP = 2PD Giao điểm củ đườ giao điểm củ CD với đườ A NP thẳ CD mặt phẳ MNP thẳ : B MN Hướ C MP D AP dẫ Cách 1: Xét mặt phẳ BCD CD Do NP không song song CD nên NP cắt CD E Điểm E NP, NP Ì MNP E MNP Vậy CD Ç MNP E Trang Cách 2: N BC Ta có í îP BD NP Ì BCD suy NP, CD đồ phẳ Gọi E giao điểm củ NP CD E NP, NP Ì MNP E MNP E CD Do đ CD Ç MNP = E Vậy giao điểm củ CD MNP giao điểm E củ NP CD ® họ A Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có AC BD giao O điểm S không thuộc mặt phẳ ABCD Trên đoạ SC lấy điểm M không trùng với S C Giao điểm củ đườ mặt phẳ thẳ SD với ABM là: A Giao điểm củ SD AB B Giao điểm củ SD AM C Giao điểm củ SD BK (với K = SO Ç AM) D Giao điểm củ SD MK (với K = SO Ç AM) Hướ B Ta có: í îB Do đ B dẫ SBD ABM SBD Ç ABM B điểm chung thứ hất iữ hai mặt phẳ Trong mặt phẳ SBD ABM SAC , ọi K = AM Ç SO Ta có K SO,SO Ì SBD K SBD í K ABM ỵK AM, AM Ì ABM Do đ K SBD Ç ABM K điểm chung thứ hai iữ hai mặt phẳ SBD ABM đ ta có: KB = SBD Ç ABM Trong mặt phẳ SBD , ọi N = BK Ç SD N BK, BK Ì ABM í î N SD N ABM Do đ N = SD Ç ABM Trang Vậy giao điểm củ đườ thẳ SD với mặt phẳ ABM giao điểm củ SD v BK (vi K = SO ầ AM) đ họ C Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm củ SD I giao BI điểm củ BM với mp SAC Tính tỉ số MI A B C Hướ Có S D dẫ SAC Ç SBD Trong mp ABCD O = AC Ç BD ọi O SAC Ç SBD (1) (2) suy SAC Ç SBD = SO Trong mp SBD ọi I = BM ầ SO I BM ợI SO è (SAC) I = BM Ç SAC Trong DSBD có I giao điểm củ hai đườ trung tuyế SO BM suy I t ọ tâm củ DSBD Do đ BI = 2IM Vậy BI =2 MI ® họ C Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ hật tâm O Gọi M trung điểm củ SB, N điểm thuộc đoạ SD cho SN = 2ND E giao điểm củ đườ Tính A thẳ MN mặt phẳ ABCD EN EM B Hướ Trong mp SBD C D dẫ ọi E = MN ầ BD, E MN cú ợE BD Ì ABCD Trong mp SBD , dự E = MN Ç ABCD DL || MN, L SB Trang Có SN SM BM = =2Û =2 ND ML ML Suy LD đườ L trung điêm củ BM trung bình củ DBEM 2LD = EM DL EN MN Vậy có = 1= 1- = EM EM 2DL ® họ A Bài tập tự luyện Câu Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy điểm M, N cho M, N không song song với CD Gọi O điểm thuộc miền tam giác BCD H giao điểm CD MN, I giao điểm BD HO Tìm giao điểm BD OMN A I B B C H D M Câu Cho tứ diệ ABCD Trên AC AD lầ lượt lấy điểm M, N cho M, N không song song với CD Gọi O điểm thuộc miề tam giác BCD K giao điểm củ BO CD L giao điểm củ MN AK E giao điểm củ AO BL Tìm giao điểm củ MN ABO A K B E C L D O Đáp án: 1-A 2-C Dạng 3: Tìm thiết diện hình chóp mặt phẳng Phương pháp giải hiết diệ củ hình chóp mặt phẳ P đ giác iới hạ giao tuyế củ (P) với mặt hình chóp Xác đị h lầ lượt giao tuyế củ P với mặt củ hình chóp theo bước sau: � điểm chung có sẵ , xác đị h giao tuyế củ P với mặt củ hình chóp (Có thể mặt trung gian) � Cho giao tuyế cắt cạ h củ mặt đ củ hình chóp ta điểm chung củ P với mặt khác đ xác đị h giao tuyế với mặt � iếp tục hư giao tuyế khép kín ta thiết diệ Chú ý: Mặt phẳ cắt số mặt củ hình chóp Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy hình thang với AD đáy lớ P điểm cạ h SD hiết diệ củ hình chóp cắt mặt phẳ A Tam giác B ứ giác PAB hình gì? C Hình thang D Hình bình hành Trang Hướ dẫ Trong mặt phẳ ABCD , ọi E = AB Ç CD Trong mặt phẳ SCD , ọi Q = SC Ç EP Ta có E AB nên E Ì ABP Q ABP Do đ Q = SC Ç ABP hiết diệ tứ giác ABQP ® họ B Ví dụ 2: Cho tứ diệ ABCD Gọi M, N lầ lượt trung điểm cạ h AB AC, E điểm cạ h CD với ED = 3EC hiết diệ tạo mặt phẳ MNE tứ diệ ABCD là: A Tam giác MNE B ứ giác MNEF với F điểm cạ h BD C Hình bình hành MNEF với F điểm cạ h BD mà EF / /BC D Hình thang MNEF với F điểm cạ h BD mà EF / /BC Hướ dẫ Tam giác ABC có M, N lầ lượt trung điểm củ AB, AC Suy MN đườ E kẻ đườ thẳ trung bình củ tam giác ABC MN / /BC d song song với BC cắt BD F Do đ MN / /EF suy bố điểm M, N, E, F đồ thang phẳ EF / /BC MNEF hình Vậy hình thang MNEF thiết diệ cầ tìm ® họ D Ví dụ 3: Cho tứ diệ ABCD có cạ h bằ a Gọi G t ọ tâm tam giác ABC Mặt phẳ GCD cắt tứ diệ theo thiết diệ có diệ tích là: A a2 B a2 C Hướ a2 D a2 dẫ Gọi M, N lầ lượt trung điểm củ AB, BC suy AN Ç MC = G Dễ thấy mặt phẳ GCD cắt đườ thẳ AB điểm M Suy tam giác MCD thiết diệ củ mặt phẳ GCD tứ diệ ABCD Tam giác ABD đều, có M trung điểm AB suy MD = a Tam giác ABC đều, có M trung điểm AB suy MC = a Trang Gọi H trung điểm củ CD MH ^ CD Với MH = MC2 - HC2 = MC2 - SDMCD = MH.CD CD a = a a2 Vậy SDMCD = a = 2 ® họ B Bài tập tự luyện Câu Cho tứ diện ABCD Gọi H, K trung điểm cạnh AB, BC Trên đường thẳng CD lấy điểm M nằm đoạn CD Thiết diện tứ diện với mặt phẳng (HKM) là: A ứ giác HKMN với N AD B Hình thang HKMN với N AD HK / /MN C Tam giác HKL với L = KM Ç BD D Tam giác HKL với L = HM Ç AD Câu Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạ h đáy bằ trung điểm củ SA, SB, SC Mặt phẳ A a B a a > Các điểm M, N, P lầ lượt MNP cắt hình chóp theo thiết diệ có diệ tích bằ : a2 C a2 D a2 16 Đáp án: 1-C 2-C Dạng 4: Ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải Để minh ba điểm (hay hiều điểm) thẳ hàng ta minh chúng điểm chung củ hai mặt phẳ phân biệt, đ chúng ằm đườ thẳ giao tuyế củ hai mặt phẳ nên thẳ hàng Để minh ba đườ đườ thẳ lại thẳ đồ quy ta minh giao điểm củ hai đườ thẳ thuộc đườ Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diệ SABC Trên SA, SB SC lấy điểm D, E F cho DE cắt AB I, EF cắt BC J, FD cắt CA K Khẳ đị h sau đú ? A Ba điểm B, J, K thẳ hàng C Ba điểm I, J, K không thẳ Hướ I ABC hàng D Ba điểm I, J, C thẳ hàng dẫ Ta có I = DE Ç AB, DE Ì DEF AB Ì ABC hàng B Ba điểm I, J, K thẳ I DEF ; Trang ươ tự J = EF Ç BC J EF Ì DEF í ỵJ BC Ì (ABC) K = DF Ç AC K DF Ì DEF í ỵK AC Ì ABC (1), (2) (3) ta có I, J, K điểm chung củ hai mặt phẳ ® ABC DEF nên chúng thẳ hàng họ B Ví dụ 2: Cho tứ diệ ABCD Gọi M, N lầ lượt trung điểm AB CD Mặt phẳ AD BC lầ lượt P, Q Biết MP cắt NQ I Ba điểm sau thẳ A I, A, C B I, B, D I I í ỵI I MP í ỵ I NQ Ta có MP cắt NQ I hàng? C I, A, B Hướ qua MN cắt D I, C, D dẫ ABD CBD ABD Ç CBD I BD Vậy I, B, D thẳ ® hàng họ B Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, ọi O giao điểm củ hai đườ phẳ cắt cạ h bên SA, SB, SC, SD tươ A Các đườ thẳ MP, NQ, SO đồ quy C Các đườ thẳ MP, NQ, SO song song Hướ Trong mặt phẳ Ta MNPQ ứ chéo AC BD Một mặt điểm M, N, P, Q Khẳ đị h đú ? B Các đườ thẳ MP, NQ, SO chéo D Các đườ thẳ MP, NQ, SO trùng dẫ ọi I = MP Ç NQ minh I SO Dễ thấy SO = SAC Ç SBD I MP Ì SAC í ỵI NQ Ì SBD Vậy MP, NQ, SO đ I ợI SAC SBD I SO quy I họ A Bài tập tự luyện Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB CD Mặt phẳng qua MN cắt AD, BC P Q Biết MP cắt NQ I Ba điểm sau thẳng hàng? A I, A, C B I, B, D C I, A, B D I, C, D Trang 10 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I, J, E, F lầ lượt trung điểm SA, SB, SC, SD Trong đườ thẳ sau, đườ thẳ không song song với IJ? A EF B DC Hướ Ta có IJ đườ C AD D AB dẫ trung bình tam giác SAB nên IJ//AB ABCD hình bình hành nên AB//CD Suy IJ//CD EF đườ trung bình tam giác SCD nên EF//CD Suy IJ//EF ® Chọ C Ví dụ 4: Cho tứ diệ ABCD Gọi M, N, P, Q lầ lượt trung điểm củ cạ h AB, AD, CD, BC Mệ h đề sau sai? BD B MN//PQ MN = PQ C MNPQ hình bình hành D MP NQ chéo A MN//BD MN Hướ Có MN, PQ lầ lượt đườ dẫ trung bình tam giác ABD, BCD nên ì ïïMN //BD, MN BD í ïPQ //BD, PQ BD ïỵ Nên MN//PQ MN = PQ Suy MNPQ hình bình hành Do MP NQ thuộc mặt phẳ MNPQ ® Chọ D Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với cạ h đáy AB CD Gọi I, J lầ lượt trung điểm củ cạ h AD BC G t ọ tâm củ tam giác SAB Tìm điều kiệ củ AB CD để thiết diệ củ (IJG) hình chóp hình bình hành A AB CD B AB CD Hướ C AB CD D AB 3CD dẫ Ta có ABCD hình thang I, J trung điểm củ AD, BC nên IJ//AB ìG Ỵ SAB ï ïAB Ì SAB ậy í ïIJ è IJG ùAB//IJ ợ ị SAB IJG IJG MN / / I J / /AB với M Ỵ SA,N Ỵ SB Dễ thấy thiết diệ tứ giác MNJI Trang Do G t ọ nên MN AB Þ MN SG SE ( E trung điểm củ AB) AB AB + CD Vì MN//IJ nên MNJI hình thang, MNJI hình bình hành 2 AB AB + CD AB 3CD Lại có IJ MN tâm tam giác SAB MN//AB IJ ậy thiết diệ hình bình hành AB = 3CD ® Chọ D Bài tập tự luyện Câu Cho hai đường thẳng chéo a b Lấy A, B thuộc a C, D thuộc b Khẳng đ nh sau khí nói hai đường thẳng AD BC? A Có thể song song cắt B Cắt C Song song D Chéo Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi d giao tuyế củ hai mặt phẳ (SAD) (SBC) Khẳ đ h sau đú ? A d qua S song song với BC B d qua S song song với DC C d qua S song song với AB D d qua S song song với BD Câu Cho hai đườ thẳ a b chéo Có mặt phẳ A B Câu Hãy chọ câu đú a song song với b? C D Vô số : A Hai đườ thẳ song song với đườ B Hai đườ thẳ song song với ếu chúng khơng có điểm chung C Hai đườ thẳ song song với mặt phẳ D Khơng có mặt phẳ hai đườ thẳ thẳ thứ ba song song với song song với a b ta nói a b chéo Đáp án: 1–D 2–A 3–B 4–D Dạng 2: Đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp giải Để minh đườ thẳ d song song với mặt phẳ minh d song song với đườ thẳ ( ) ta d ' ằm ( ) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi H K lầ lượt trung điểm củ SA SC, G t ọ tâm củ tam giác ABC Kẻ Gx song song với AC, Gx giao tuyế củ hai mặt phẳ nào? A (ABCD) (GSC) B (GHK) (ABCD) C (ABCD) (GSB) D (GHA) (ABCD) Trang Hướ dẫ ìG Ỵ GHK ABCD ï íHK //AC Ta có ï ỵHK Ì GHK ; AC Ì ABCD Þ GHK ABCD Gx // HK // AC ® Chọ B Ví dụ 2: Cho tứ diệ ABCD Gọi G t ọ P trung điểm củ AB Khẳ tâm tam giác ABD, Q thuộc cạ h AB cho AQ = 2QB, đ h sau đú ? A GP//(BCD) B GQ//(BCD) C GQ cắt (BCD) D Q thuộc mặt phẳ Hướ (CDP) dẫ Gọi M trung điểm củ BD Vì G t tõm tam giỏc ABD ị i Q ẻ AB cho AQ Suy AG AM 2QB Þ AG AM AQ AB 3 AQ Do GQ//BD AB Mặt khác BD ằm mặt phẳ (BCD) suy GQ // (BDC) ® Chọ B Ví dụ 3: Cho tứ diệ ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự trung điểm củ cạ h AC, BD, AB, CD, AD, BC Bố điểm sau không đồ phẳ ? A P Q, R, S B M, P, R, S Hướ Theo tính chất củ đườ suy P, Q, R, S đồ ươ C M, R, S, N D M, N, P, Q dẫ trung bình củ tam giác ta có PS//AC//QR phẳ tụ, ta có PM//BC//NQ suy P, M, N, Q đồ Và MR//CD//SN suy M, R, S, N đồ phẳ phẳ ® Chọ B Ví dụ 4: Cho tứ diệ ABCD Gọi H điểm ằm tam giác ABC, (α) mặt phẳ song song với AB CD Mệ h đề sau đú thiết diệ củ (α) tứ diệ ? A hiết diệ hình vng B hiết diệ hình thang cân C hiết diệ hình bình hành D hiết diệ hình chữ hật qua H Trang Hướ Qua H kẻ đườ M, N thẳ dẫ (d) song song AB cắt BC, AC lầ lượt N kẻ NP song song với CD P Ỵ AD P kẻ PQ song song với AB Q Ỵ BD Ta có MN //PQ //AB suy M, N, P Q đồ phẳ AB// MNPQ Suy MNPQ thiết diệ củ (α) tứ diệ ậy tứ thiết diệ hình bình hành ® Chọ C Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành O giao điểm hai đườ chéo AC BD Lấy điểm E cạ h SC cho EC = 2ES M giao điểm củ hai đườ thẳ AE mặt SO phẳ (SBD) Tính tỉ lệ ? SM A B C Hướ D dẫ Chọ mp(SAC) AM Ta tìm giao tuyế củ mp(SAC) mp(SBD): Có S O điểm chung củ hai mặt phẳ nên giao tuyế củ chúng đườ thẳ SO (SAC) (SBD) Điểm M cầ tìm giao điểm củ SO AE Trong (SAC) dự OI//SC, I Ỵ AM , suy OI đườ Þ OI trung bình củ tam giác ACE CE , ngồi có SE CE Þ OI SE Như tứ giác SEOI hình bình hành Þ M trung điểm củ SO Do SO SM ® Chọ B Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M, N lầ lượt trung điểm củ AB, CD Xác đ h thiết diệ củ hình chóp cắt (α) qua MN song song với mặt phẳ (SAD) hiết diệ hình gì? A Tam giác B Hình thang C ứ giác Hướ D Hình bình hành dẫ Trang ìïM Ỵ SAB Ta cú: SAD ùợ SAB SA ị SAB MK //SA, K Ỵ SB tự: ì N Ỵ SCD ù / / SAD ù SAD ợ SCD ị SCD NH // SD, H Ỵ SC SD Dễ thấy HK SBC hiết diệ tứ giác MNHK Ba mặt phẳ (ABCD), (SBC) (α) đôi cắt theo giao tuyế MN, HK, BC mà MN//BC Þ MN//HK ậy thiết diệ hình thang ® Chọ B SM SA (α) qua M song song với AB CD, cắt hình chóp theo tứ giác có diệ tích là: Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạ h đáy bằ Một mặt phẳ A 400 B 20 C Hướ Ta có (α)// B CD mà A, B, C, D đồ phẳ 10 M điểm SA cho D 16 dẫ suy (α)//( BCD) Giả sử (α) cắt cạ h bên SA, SB, SC, SD lầ lượt điểm M, N, P, Q với M Ỵ SA, N Ỵ SB, P Ỵ SC, Q Ỵ SD suy º MNPQ Khi MN //AB Þ ươ SM SA tự, ta có MN AB NP BC PQ CD QM DA MNPQ hình vng Vì tỉ l th tớch b SMNPQ ổ2ử ỗ ữ SABCD è3ø bình phươ SABCD tỉ lệ đồ 10.10 nên ta có: 400 ® Chọ A Bài tập tự luyện Câu Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng (P) đường thẳng b Ë P Mệnh đề sau đúng? A Nếu b//(P) b//a B Nếu b cắt (P) b cắt a C Nếu b//a b//(P) D Nếu b cắt (P) mặt phẳ (Q) b giao tuyế củ (P) (Q) đườ thẳ cắt a b Trang Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M Ỵ SC Kẻ Mt song song với DC Mt giao tuyế củ hai mặt phẳ nào? A (ABM) (SCD) B (SAB) (ABM) C (SBM) (SCD) D (SBM) (AMC) Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi I, K lầ lượt trung điểm củ SB SD J giao điểm củ SA (CKB) Đườ thẳ sau song song với mặt phẳ (IJD)? A AD B AB C BC D AC Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi H K lầ lượt trung điểm củ SA SC, G t ọ tâm củ tam giác ABC Gọi F trung điểm củ HK M giao điểm củ SD (GHK) Khẳ đ h sau đú ? A M giao điểm củ SD GK B G, M, F thẳ hàng C M giao điểm củ SD GH D G, K, M thẳ hàng Câu Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang cân đáy lớn AD M, N hai trung điểm AB CD (P) mặt phẳng qua MN cắt mặt bên (SBC) theo giao tuyến Thiết diện (P) hình chóp là: A Hình bình hành B Hình thang C Hình chữ hật D Hình vng Đáp án: 1–C 2–A 3–B 4–B 5–B Dạng 3: Hai mặt phẳng song song Phương pháp giải Để minh hai mặt phẳ song song ta thực hiệ theo hai hướ Cách 1: Chứ minh mặt phẳ song song với mặt phẳ ìa Ì ï ïa b í ïa // ïb // ỵ I // g // g thẳ cắt ,b Ì Þ Cách 2: Chứ thứ ba ìï ùợ ny cú hai sau: ị // minh hai mặt phẳ song song với mặt phẳ // Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mệ h đề sau, mệ h đề đú A Nếu hai mặt phẳ với (β) ? (α) (β) song song với đườ thẳ B Nếu hai mặt phẳ (α) (β) song song với đườ song với đườ thẳ ằm (β) ằm (α) song song thẳ ằm (α) cũ song Trang C Nếu hai đườ biệt (α)//(β) D Nếu đườ thẳ thẳ phân biệt a b song song lầ lượt ằm hai mặt phẳ d song song với mp(α) song song với đườ Hướ thẳ ằm mp(α) dẫ Nếu hai mặt phẳ (α) (β) song song với hai đườ thể chéo nhau, ta loại B thẳ lầ lượt thuộc (α) (β) có Nếu hai đườ thẳ phân biệt a b song song lầ lượt ằm hai mặt phẳ hai mặt phẳ (α) (β) cắt nhau, ta loại C Nếu đườ thẳ d song song với mặt phẳ ằm (α), ta loại D (α) (β) phân (α) (β) phân biệt (α) chéo với đườ thẳ ® Chọ A Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N, I theo thứ tự trung điểm củ SA, SD AB Khẳ đ h sau đú ? A (NOM) cắt (OPM) C PON MNP B (MON) // (SBC) NP D (NMP) // (SBD) Hướ Ta có MN đườ dẫ trung bình củ tam giác SAD Suy MN//AD (1) Và OP đườ trung bình củ tam giác BAD Suy OP//AD (2) (1) (2) suy MN//OP//AD Þ M, N, O, P đồ phẳ Lại có MP//SB, OP//BC Suy (MNOP)//(SBC) hay (MON)//(SBC) ® Chọ B Trang 10 Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạ h bên AA¢, BB¢, CC¢, DD¢ Khẳ đ h sai? A AA¢B¢B // DD¢C¢C B BA¢D¢ // ADC¢ C A¢B¢CD hình bình hành D BB¢D¢D tứ giác Hướ dẫ Dự vào hình vẽ tính chất củ hình hộp, ta thấy ằ : Hai mặt bên AA¢B¢B DD¢C¢C đối diệ , song song với ABCD , A¢B¢C¢D¢ Hình hộp có hai đáy hình bình hnh ị AÂBÂ CD v AÂBÂ//CD suy AÂBÂCD l hình bình hành BD //B¢D¢ suy B, B¢, D¢, D Mt ph BAÂDÂ ch ph ị BBÂDÂD tứ giác thẳ CD¢ mà CD¢ cắt C¢D suy BA¢D¢ khơng song song với mặt phẳ ADC¢ ® Chọ B Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Tam giác SBD Một mặt phẳ (P) song song với (SBD) qua điểm I thuộc cạ h AC (không trùng với A C) hiết diệ củ (P) hình chóp hình gì? A Hình bình hành B Tam giác cân Hướ ABCD D Tam giác dẫ Gọi MN đoạ thẳ giao tuyế củ mặt phẳ M thuộc AB N thuộc AD Vì P // SBD , P C Tam giác vuông MN SBD (P) mặt đáy (ABCD) ABCD BD suy MN//BD Lập luậ tươ tự ta có: (P) cắt mặt phẳ (SAD) theo giao tuyế NP với NP//SD (P) cắt mặt phẳ (SAB) theo giao tuyế MP với MP//SB ậy tam giác MNP đồ MNP với tam giác SBD nên thiết diệ củ (P) hình chóp S.ABCD tam giác ® Chọ D Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC thỏ mãn AB = AC = 4, BAC 30° Mặt phẳ (P) song song với (ABC) cắt đoạ SA M cho SM = 2MA Diệ tích thiết diệ củ (P) hình chóp S.ABC bằ bao nhiêu? A 16 B 14 C 25 D.1 Trang 11 Hướ Diệ tích tam giác ABC SDABC dẫ AB.AC.sin BAC Gọi N, P lầ lượt giao điểm củ mặt phẳ Vì (P)//(ABC) nên theo đ h lí Ta-lét, ta có 4.4.sin 30° (P) cạ h SB, SC SM SA SN SB SP SC Khi (P) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diệ tam giác MNP đồ với tam giác ABC theo tỉ số k ậy SDMNP k SDABC 16 ổ2ử ỗ ữ ố3ứ ® Chọ A Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân với cạ h BC = 2, hai đáy AB = 6, CD = Mặt phẳ (P) song song với (ABCD) cắt SA M cho SA = 3SM Diệ tích thiết diệ củ (P) hình chóp S.ABCD bằ bao nhiêu? A B C Hướ D dẫ Gọi H, K lầ lượt hình chiếu vng góc củ D, C AB ìAH BK;CD HK ABCD hỡnh thang cõn ị ị BK ợAH + HK + BK AB Tam giác BCK vuông K, có CK BC2 - BK Suy diệ tích hình thang ABCD SABCD CK 22 - 12 AB + CD 4+6 Gọi N, P, Q lầ lượt giao điểm củ (P) cạ h SB, SC, SD Vì (P)//(ABCD) nên theo đ h lí Ta-lét, ta có MN AB NP BC PQ CD QM AD Khi (P) cắt hình chóp theo thiết diệ MNPQ cú di tớch SMNPQ k SABCD ổ1ử ỗ ữ è 3ø ® Chọ A Trang 12 Bài tập tự luyện Câu Cho đường thẳng a Ì mp P đường thẳng b Ì mp Q Mệnh đề sau khơng sai? A P // Q Þ a //b B a //b Þ P // Q C P // Q Þ a// Q b// P D a b chéo Câu Hãy chọ câu đú : A Nếu hai mặt phẳ song song đườ đườ thẳ ằm mặt phẳ B Nếu hai mặt phẳ thẳ ằm mặt phẳ (P) (Q) lầ lượt hai đườ C Hai mặt phẳ song song với đườ thẳ D Hai mặt phẳ phân biệt khơng song song cắt thẳ song song với song song chúng song song với song song với Câu Hãy chọ câu sai: A Nếu hai mặt phẳ B Nếu mặt phẳ với song song đườ (P) hai đườ thẳ thẳ ằm mặt phẳ song song với mặt phẳ C Nếu hai mặt phẳ (P) (Q) song song mặt phẳ giao tuyế củ chúng song song D Nếu đườ thẳ Câu Cho hình lă song song với mặt phẳ cắt hai mặt phẳ (Q) (P) (Q) song song (R) cắt (P) phải cắt (Q) song song cắt mặt phẳ t ụ ABC.A1B1C1 Trong khẳ đ h sau, khẳ đ h sai? A ABC / / A1B1C1 B AA1 // BCC1 C AB / / A1B1C1 D AA 1B1B hình chữ hật Câu Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Khẳ lại đ h sai? A ABCD hình bình hành B Các đườ thẳ A1C, AC1, DB1, D1B đồ quy C (ADD1A1)//(BCC1B1) D AD 1CB hình chữ hật Câu Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Mặt phẳ phẳ AB¢D¢ song song với mặt phẳ mặt sau đây? A BCA¢ B BC¢D C A¢C¢C D BDA¢ Đáp án: 1–C 2–D 3–B 4–D 5–D 6–B Trang 13 Dạng 4: Phép chiếu song song Phương pháp giải Để vẽ hình biểu diễ củ hình (H) ta cầ xác đ h yếu tố bất biế có hình (H) Xác đ h yếu tố song song Xác đ h tỉ số điểm M chia đoạ AB Trong hình H¢ phải bảo đảm tính song song tỉ số củ điểm M chia đoạ AB MA ) ta xét phép chiếu song song lên mặt phẳ (α) theo MB I không song song với AB cho ả h củ M, A, B ba điểm M¢, A¢, B¢ mà ta tính Để tính tỉ số củ điểm M chia đoạ AB ( tính phươ M¢A¢ MA , M¢B¢ MB M¢A¢ M¢B¢ Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Khẳ đ h sau đú ? A Hình chiếu song song củ hình lập phươ (ABCD) hình bình hành ABCD.A¢B¢C¢D¢ theo phươ AA¢ lên mặt phẳ B Hình chiếu song song củ hình lập phươ (ABCD) hình vng ABCD.A¢B¢C¢D¢ theo phươ AA¢ lên mặt phẳ C Hình chiếu song song củ hình lập phươ (ABCD) hình thoi ABCD.A¢B¢C¢D¢ theo phươ AA¢ lên mặt phẳ D Hình chiếu song song củ hình lập phươ (ABCD) tam giác ABCD.A¢B¢C¢D¢ theo phươ AA¢ lên mặt phẳ Hướ Qua phép chiếu song song đườ thành C, D¢ thành D thẳ dẫ AA¢ lên mặt phẳ Nên hình chiếu song song củ hình lập phươ (ABCD) biế A¢ thành A, B¢ thành B, C¢ ABCD.A¢B¢C¢D¢ hình vng ® Chọ B Ví dụ 2: Cho hình lă t ụ ABC.A¢B¢C¢ , qua phép chiếu song song đườ CC¢ , mặt phẳ thẳ A¢B¢C¢ biế M thành M¢ Trong M trung điểm củ BC Chọ mệ h đề đú ? A M¢ trung điểm củ A¢B¢ B M¢ trung điểm củ B¢C¢ C M¢ trung điểm củ A¢C¢ D Cả ba đáp án sai Hướ Ta có phép chiếu song song đườ thẳ chiếu dẫ CC¢ , biế C thành C¢ , biế B thành B¢ Do M trung điểm củ BC suy M¢ l trung im c BÂCÂ đ Ch B Vớ dụ 3: Cho hình lă t ụ ABC.A¢B¢C¢ , ọi I, I¢ lầ lượt trung điểm củ AB, A¢B¢ Qua phép chiếu song song đườ AI¢ , mặt phẳ A A¢ thẳ B B¢ chiếu A¢B¢C¢ biế I thành? C C¢ D I¢ Trang 14 H Ta cú d AI//BÂIÂ ỹ ý ị AIBÂIÂ l hỡnh bỡnh hnh AI BÂIÂỵ Suy qua phộp chiếu song song đườ A¢B¢C¢ biế điểm I thành điểm BÂ AIÂ , mt ph th chiu đ Ch B Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢ Các điểm M, N tươ MN song song với BA¢ Tính tỉ số A ứ đoạ AC¢, B¢D¢ cho MA MC¢ B C Hướ D dẫ Xét phép chiếu song song lên mặt phẳ ( A¢B¢C¢D¢ ) theo phươ chiếu BA¢ Ta có N ả h củ M hay N giao điểm củ B¢D¢ ả h AC¢ qua phép chiếu Do ta xác đ h M, N hư sau: Trên A¢B¢ kéo dài lấy điểm K cho A¢K B¢A¢ ABA¢K hình bình hành nên AK //BA¢ suy K ả h củ A qua phép chiếu song song Gọi N B¢D¢ KC¢ Đườ thẳ qua N song song với AK cắt AC¢ M Ta có M, N điểm cầ xác đ h Theo đ h lí Ta-lét, ta có MA MC¢ NK NC¢ KB¢ C¢D¢ ® Chọ A Ví dụ 5: Cho tứ diệ ABCD Gọi M, P lầ lượt trung điểm cạ h AD, BC N điểm cạ h DQ AB cho AN AB Gọi Q giao điểm củ DC với (MNP) Tính tỉ số DC A B Hướ Trong (ABC) Q EM CD ọi E AC C D dẫ NP , (ACD) ìïQ ẻ CD ịớ ị Q CD ùợQ ẻ EM è MNP ọi MNP Kẻ AF//CD, F Ỵ EQ , kẻ PK //AN, K Ỵ AC Ta có: AF DQ MA AF Þ AF DQ , MD QC EA EC Trang 15 Do KP Þ EA EK AB AN KP 3AN 2 EA Þ EC , , suy AN AN nên KP QD QC 3 FA QC EA EC QD ị QC đ Ch C Bài tập tự luyện Câu Phép chiếu song song theo phương I không song song với a b, mặt phẳng chiếu (P), hai đường thẳng a b biến thành a ¢ b¢ Quan hệ a b khơng bảo tồn đối cói phép chiếu nói trên? A Cắt B Chéo C Song song D Trùng Câu Hình chiếu củ hình chữ hật khơng thể hình hình sau? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ hật D Hình thoi Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Hình chiếu song song củ điểm A theo phươ AB lên mặt phẳ (SBC) điểm sau đây? A S B Trung điểm củ BC C B D C Câu Giả sử tứ giác ABCD hình biểu diễ củ tứ diệ ABCD¢ Nếu ABCD hình vng, tìm mệ h đề đú mệ h đề sau A DABC tam giác vuông cân A B DABC tam giác vuông cân C C DABC tam giác vuông cân B D DABC tam giác Đáp án: 1–B 2–A 3–C P Ầ 3: BÀI TẬP TỔ 4–C ỢP Câu Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c a // b Khẳng đ nh sau không đúng? A Nếu a // c b // c B Nếu c cắt a c cắt b C Nếu A Ỵ a B Ỵ b ba đườ D hất mặt phẳ thẳ a, b, AB mặt phẳ qua a b Câu Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢ N ười ta đ h hĩ : “Mặt chéo củ hình hộp mặt tạo hai đườ chéo củ hình hộp đó” Hỏi hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢ có mặt chéo? A B C D Câu Các mệ h đề sau, mệ h đề đú ? A Hai đườ thẳ lầ lượt ằm hai mặt phẳ phân biệt chéo B Hai đườ thẳ khơng có điểm chung chéo C Hai đườ thẳ chéo khơng có điểm chung D Hai đườ thẳ phân biệt khơng song song chéo Trang 16 Câu Hình chiếu song song củ hai đườ đối sau: A Cắt thẳ chéo khơng thể có v trí v trí tươ B Song song C Trùng D Chéo Câu Cho hai đường thẳng phân biệt a b thuộc mặt phẳng (P) Có v trí tương đối a b? A B Câu Cho hai đườ thẳ A C D song song a b Có mặt phẳ B a song song với b? C D vô số Câu Chọn câu đúng: A Hai mặt phẳ B Hai đườ phân biệt song song với mặt phẳ thẳ song song với mặt phẳ C Hai mặt phẳ không cắt song song D Hai mặt phẳ khơng song song trùng thứ ba chúng song song với song song với Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Kẻ Sy song song với AD Sy giao tuyế củ hai mặt phẳ nào? A (SAB) (SCD) B (SAC) (SBD) C (SAD) (SBC) D Không giao tuyế củ hai mặt Câu Trong mệ h đề sau mệ h đề sai? A Các cạ h bên củ hình lă t ụ bằ B Các cạ h bên củ hình lă t ụ hình bình hành C Các cạ h bên củ hình lă t ụ hình bình hành bằ D Hai đáy củ hình lă song song với t ụ hai đ giác bằ nhau Câu 10 Tìm mệ h đề sai mệ h đề sau A Phép chiếu song song biế đườ thẳ thành đườ B Phép chiếu song song biế đườ thẳ thành đoạ thẳ C Phép chiếu song song biế đườ thẳ thành điểm D Phép chiếu song song biế đườ thẳ thẳ thành Câu 11 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau A Phép chiếu song song biế tam giác thành tam giác B Phép chiếu song song biế tam giác vuông thành tam giác C Phép chiếu song song biế tam giác thành tam giác D Phép chiếu song song biế tam giác thành tam giác, thành điểm đoạ thẳ Câu 12 Cho hình vng ABCD tam giác SAB ằm hai mặt phẳ khác Gọi M điểm di độ đoạ AB (M khác A B) Qua M vẽ mặt phẳ (α) song song với (SBC) Gọi N, P, Q lầ lượt giao củ mặt phẳ (α) với đườ thẳ CD, SD, SA ập hợp giao điểm I củ hai đườ thẳ MQ NP là: A Đườ thẳ C Đoạ thẳ song song với AB song song với AB B Nử đườ D ập hợp ỗ thẳ Trang 17 Câu 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành có tâm O, AB = 8, SA = SB = Gọi (P) mặt phẳng qua O song song với (SAB) Diện tích thiết diện (P) hình chóp S.ABCD là: A 5 B Câu 14 Nếu thiết diệ củ lă hất cạ h? A cạ h C 12 t ụ tam giác mặt phẳ B cạ h đ giác đ giác có hiều C cạ h Câu 15 Nếu thiết diệ củ hình hộp mặt phẳ cạ h? A cạ h D 13 B cạ h D cạ h đ giác đ giác có hiều hất C cạ h D cạ h Câu 16 Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢ Gọi I trung điểm củ AB Mặt phẳ IB¢D¢ cắt hình hộp theo thiết diệ hình gì? A Tam giác B Hình thang C Hình bình hành D Hình chữ hật Câu 17 Cho hình vng ABCD tam giác SAB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M điểm di động đoạn AB Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC) Thiết diện tạo (α) hình chóp S.ABCD hình gì? A Hình tam giác B Hình bình hành C Hình thang D Hình vng Câu 18 Cho tứ diệ SABC Gọi I trung điểm củ đoạ AB, M điểm di độ đoạ AI Qua M vẽ mặt phẳ (α) song song với (SIC) Thiết diện tạo (α) với tứ diện SABC A Tam giác cân M B Tam giác C Hình bình hành D Hình thoi Đáp án: 1–B 2–B 3–C 4–D 5–C 6–D 7–A 8–C 11 – C 12 – C 13 – B 14 – C 15 – C 16 – B 17 – C 18 – A 9–C 10 – B Trang 18 ... Trùng Câu Hình chiếu củ hình chữ hật khơng thể hình hình sau? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ hật D Hình thoi Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Hình chiếu song song củ điểm... A song song với (α) ìA Ï ï ùA ẻ d y ùd// ù // ợ song song với mặt phẳ thứ ba chúng song song với thẳ qua A song song với () ,Aẻ ịdè h lý: Cho hai mt ph song song Nếu mặt phẳ hai giao tuyế song. .. chiếu song song củ hình lên mặt phẳ phươ chiều hình đồ với hình chiếu Hình biểu diễ củ tam giác cân, tam giác vuông, tam giác thườ theo một tam giác Hình biểu diễ củ hình bình hành, hình thoi, hình