Đột phá hình toán 10 vecto và ứng dụng 3b

CH NG VECT , TÍCH VƠ H ỚNG CỦA HAI VECT CHUYÊN ĐỀ 1: VECT P Ầ 1: LÝ T UYẾT TRỌ VÀ ỨNG DỤNG VÀ CÁC PHÉP TOÁN CỦA VECT TÂM Định nghĩa véc tơ ctơ đoạ thẳ có hướ , đầu, điểm điểm cuối hĩ hai điểm mút củ đoạ thẳ rõ điểm điểm A �� ctơ có điểm đầu A, điểm cuối B ta kí hiệu: AB a ctơ cịn kí hiệu là: a, b, x, y, B ctơ – không v ctơ có điểm đầu trùng điểm cuối Kí hiệu Hai vec tơ phương, hướng, hai vec tơ Đườ thẳ qua điểm đầu điểm cuối củ v ctơ ọi giá củ v ctơ �� Độ dài đoạ thẳ AB ọi độ dài v ctơ AB , kí hiệu AB Ta có AB AB Hai v ctơ có giá song song trùng ọi v ctơ phươ Hai vectơ hướng Hai vectơ ngược hướng Hai v ctơ phươ Chú ý: ếu chúng hướ ctơ – không hướ Hai vectơ độ dài với v ctơ Các quy tắc vec tơ �� Quy tắc ba điểm: ới ba điểm A, B, C ta có AB AC CB �� Quy tắc hình bình hành: Cho ABCD hình bình hành ta có: AC AB AD �� Quy tắc trung điểm: Cho I trung điểm AB, M điểm bất kì: 2MI MA MB �� Quy tắc t ọ tâm: G t ọ tâm tam giác ABC: GA GB GC �� 3MG MA MB MC (M điểm bất kỳ) �� Quy tắc tam giác hiệu hai v ctơ: với ba điểm A, B, C ta có: AB CB CA �� Vec tơ đối củ v ctơ a kí hiệu a Đặc biệt a a 0, AB BA P Ầ 2: CÁC DẠ BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho điểm khơng thẳ hàng, xác đị h v ctơ khác v ctơ khơng có điểm đầu điểm cuối điểm trên? A 21 B 42 C 12 Hướ D dẫ Lấy điểm điểm ta đoạ thẳ , có C27 21 đoạ thẳ Trang Mỗi đoạ thẳ �� AB tạo hai v ctơ AB BA tạo thành v ctơ, ví dụ đoạ thẳ ậy số v ctơ tạo 2C27 42 → Chọ B Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lầ lượt trung điểm củ AB, BC, CD, DA Khẳ sau sai? �� A MN QP B QP MN C MQ NP D MN AC Hướ Ta có MN / / PQ (do song song bằ MN PQ Nên MNPQ hình bình hành �� Do MN QP, QP MN , MQ �� Đáp án MN �� AC sai MN đị h dẫ AC ) �� NP đáp án đú �� AC → Chọ D Bài tập tự luyện Câu Cho lục giác ABCDEF tâm O Số v ctơ khác v ctơ không, phươ điểm cuối đỉ h củ lục giác là: A B C với có điểm đầu D Câu Gọi M, N lầ lượt trung điểm củ cạ h AB, AC củ tam giác ABC Hỏi cặp v ctơ sau hướ ? �� A MN CB B AB MB C MA MB D AN CA Câu Hai v ctơ ọi bằ khi: A Giá củ chúng trùng độ dài củ chúng bằ B Chúng trùng với cặp cạ h đối củ hình bình hành C Chúng trùng với cặp cạ h đối củ tam giác D Chúng hướ và độ dài củ chúng bằ Đáp án: 1–B 2–B 3–D Dạng 2: Các phép toán vectơ Ví dụ minh họa �� Ví dụ 1: Cho tam giác ABC điểm M thỏ mãn MA MB MC Mệ h đề sau đú ? A M trung điểm củ BC B M trung điểm củ AB C M trung điểm củ AC D ABMC hình bình hành �� MA MB MC Hướ dẫ �� Û MA MB MC Û BA MC Trang ậy ABMC hình bình hành → Chọ D Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Gọi D, E, F trung điểm củ cạ h BC, CA, AB Hệ thức đú �� A AB BE CF AB AC BC B AB BE CF AF CE BD �� C AD BE CF AE BF CD D AD BE CF BA BC AC Hướ Áp dụ quy tắc cộ ta �� AD BE CF AE ED BF FE CD DF ? dẫ �� AE BF CD �� ED FE DF �� AE BF CD → Chọ C Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M trung điểm củ , I trung đú ? �� A IB 2IC IA B IB IC �� C 2IB IC IA D IB IC Hướ điểm củ AM Khẳ đị h sau �� 2IA �� IA dẫ Vì M trung điểm củ BC nên theo quy tắc trung tuyế ta có: �� IB IC 2IM �� Mặt khác I trung điểm AM nên IA IM �� Suy IB IC 2IA 2IM 2IA IM IA → Chọ B �� Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông cân đỉ h C, AB Tính độ dài củ AB AC �� A AB AC B AB AC �� C AB AC �� D AB AC Hướ Ta có AB dẫ Û AB CB Gọi I trung điểm BC Xét tam giác ACI vng C, ta có: AI Áp dụ AC2 CI2 quy tắc trung điểm ta có: �� AC AB 2AI Þ AC AB �� AI 5 → Chọ A Trang Ù Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vng A có ABC A a B a �� 30 BC a Tính độ dài củ v ctơ AB AC C a Hướ D a dẫ Gọi D điểm cho tứ giác ABDC hình bình hành �� Khi theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC AD Vì tam giác ABC vng A nên tứ giác ABDC hình chữ hật suy AD BC a �� ậy AB AC AD AD a → Chọ B Bài tập tự luyện Câu (ID:8129)Cho tam giác ABC cạ h a Tìm khẳ đị h đú ? �� A AB AC a B AB AC a �� C AB AC a �� D AB AC 2a Câu (ID:8223)Cho hình chữ hật ABCD tâm O Trong mệ h đề sau, mệ h đề đú �� A AB BC BD B AC BD CB DA �� C AD DA D OA BC DO ? Câu (ID:13413)Cho tam giác ABC vuông cân đỉ h A, đườ cao AH Khẳ đị h sau sai? �� A AH HB AH HC B AH AB AH AC �� C BC BA �� HC HA D AH �� AB AH Đáp án: 1–B 2–D 3–B Dạng 3: Phân tích vec tơ Quỹ tích vec tơ Phương pháp giải Phân tích v ctơ: Sử dụ đị h lí v ctơ phân tích thành v ctơ không phươ Sử dụ quy tắc tam giác, quy tắc hình bình hành phép cộ v ctơ, quy tắc ba điểm phép t hai v ctơ để phân tích v ctơ theo hiều v ctơ Quỹ tích v ctơ: Để tìm tập hợp điểm M thỏ mãn đẳ thức v ctơ ta biế đổi đẳ thức v ctơ đư tập hợp điểm bả biết �� Nếu phươ trình có MA MB , A, B cố đị h tập hợp điểm M đườ trung t ực củ đoạ thẳ Nếu phươ AB trình có �� MA a , A cố đị h, a độ dài biết tập hợp điểm M đườ trịn có tâm A, bán kính a Trang ập hợp hữ điểm cách đườ đườ thẳ thẳ cắt đườ phân giác củ góc tạo hai Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có M trung điểm củ BC, I đú ? �� A AI AB AC B AI �� C AI AB AC D AI trung điểm củ AM Khẳ �� AB �� AB đị h sau �� AC �� AC Hướ dẫ �� Vì M trung điểm củ BC nên AB AC 2AM (1) �� Mặt khác I trung điểm củ AM nên 2AI AM (2) (1) (2) suy ra: �� AB AC 4AI Û AI �� AB AC →Chọ A �� Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD cạ h AB, CD lấy lầ lượt điểm M, N cho 3AM �� 3DN 2DC Tính v ctơ MN theo hai v ctơ AD, BC �� A MN �� C MN �� AD �� AD �� BC �� BC �� B MN �� D MN �� Ta có MN MA AD DN MN MB �� Suy 3MN MA AD DN MB BC �� MA 2MB �� AD �� AD �� 2AB �� BC �� BC Hướ dẫ �� BC CN �� CN �� AD 2BC DN 2CN �� Theo ra, ta có MA 2MB DN 2CN �� ậy 3MN AD BC Û MN AD BC 3 →Chọ C Ví dụ 3: Cho hình chữ hật ABCD I giao điểm củ hai đườ �� mãn MA MB MC MD A Trung t ực củ đoạ thẳ C Đườ AB trịn tâm I, bán kính AC chéo Tìm tập hợp điểm M thỏ B Trung t ực củ đoạ thẳ D Đườ AD trịn tâm I, bán kính AB BC Trang Hướ dẫ Gọi E, F lầ lượt trung điểm củ AB, CD Khi theo cơng thức đườ �� ïMA MB 2ME �� ïMC MD 2MF �� Do MA MB MC MD Û ME MF Û ME MF trung tuyế ta có: Vì E, F điểm cố đị h nên từ đẳ thức (*) ta có tập hợp điểm M đườ thẳ EF trung t ực củ đoạ thẳ AD trung t ực củ đoạ →Chọ B Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cạ h a Biết ằ tập hợp điểm M thỏ mãn đẳ �� 2MA 3MB 4MC MB MA đườ trịn cố đị h có bán kính R Tính bán kính R theo a A r a B r a C r Hướ Gọi G t ọ tâm củ tam giác ABC �� Ta có 2MA 3MB 4MC MI IA �� Chọ điểm I cho 2IA 3IB 4IC �� MI IB a D r thức a dẫ �� MI IC �� Û IA IB IC �� IC IA �� Mà G t ọ tâm củ tam giác ABC Þ IA IB IC 3IG �� Khi 9IG IC IA Û 9IG AI IC Û 9IG CA Do đó: �� 2MA 3MB 4MC �� MB MA Û 9MI 2IA 3IB 4IC �� AB Û 9MI AB Û MI Vì I điểm cố đị h thỏ mãn (*) nên tập hợp điểm M cầ tìm đườ r AB AB trịn tâm I bán kính a →Chọ B Bài tập tự luyện Câu (ID:8212) Cho tam giác ABC, E điểm nằm cạnh BC cho BE thức đúng? �� A AE 3AB 4AC �� B AE BC Hãy chọn đẳng �� AB �� AB �� AC �� C AE AB AC D AE AC 4 �� Câu (ID:13287) Cho tam giác ABC có M trung điểm BC Tính AB theo AM BC Trang �� A AB AM BC �� C AB AM BC �� B AB BC AM �� D AB BC AM Câu (ID: 13471) Cho hai điểm A, B phân biệt cố đị h, �� điểm M thỏ mãn đẳ thức MA MB MA MB A Đườ trịn tâm I, đườ kính B Đườ tròn đườ C Đườ trung t ực củ đoạ thẳ AB D Đườ trung t ực củ đoạ thẳ IA ới I trung điểm củ AB Tìm tập hợp AB kính AB Đáp án: 1–B 2–C 3–B Phần BÀI TẬP TỔ ỢP Câu (ID: 8162) Cho tam giác ABC Nhận định sau sai? �� A AB BC B AB AC �� C AB BC �� D AC,BC không phươ Câu (ID:8211) Cho ba điểm phân biệt a, b, c Khi đó: �� A Điều kiệ cầ đủ để A, B, C thẳ hàng AB AC phươ �� B Điều kiệ đủ để A, B, C thẳ hàng với M AB MA phươ �� C Điều kiệ cầ để A, B, C thẳ hàng với M AB MA phươ �� D Điều kiệ cầ đủ để A, B, C thẳ hàng AB AC �� Câu (ID: 13434) Cho tam giác vuông cân ABC A có AB a Tính AB AC �� A AB AC a �� B AB AC a �� C AB AC 2a �� D AB AC a �� Câu (ID:13482) Cho tam giác ABC Có điểm M thỏa MA MB MC A B C 3 D Vô số Câu (ID:8214) Số vec tơ có điểm đầu điểm cuối điểm phân biệt cho trước là: A 12 B 21 C 27 D 30 �� Câu (ID:8222) Cho tam giác ABC cạnh a Khi AB AC : A B a C a D a Trang Câu (ID:13288) Cho tam giác ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABC Khẳng định sau đúng? �� A AG AB AC B AG AB AC 3 �� C AG AB AC D AG AB 3AC 3 Câu (ID:13474) Cho tam giác ABC cạnh a, trọng tâm G Tìm tập hợp điểm M thỏ mãn �� MA MB MA MC A Đườ trung t ực củ đoạ thẳ C Đườ tròn tâm G, bán kính BC a B Đườ trịn đườ kính BC D Đườ trung t ực củ đoạ thẳ AG Câu (ID:13472) Cho hai điểm A, B phân biệt cố đị h, với I trung điểm củ AB Tìm tập hợp �� điểm M thỏ mãn đẳ thức 2MA MB MA 2MB A Đườ trung t ực củ đoạ thẳ AB B Đườ trịn đườ kính AB C Đườ trung t ực củ đoạ thẳ IA D Đườ tròn tâm A, bán kính AB 6–B 7–B Đáp án: 1–C 2–A 3–A 4–D 5–D 8–A 9–A Trang CH NG VECT , TÍCH VƠ H ỚNG CỦA HAI VECT VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ P Ầ 1: LÝ T UYẾT TRỌ TÂM Trục độ dài đại số trục • ị h hĩ : ục tọ độ (hay ọi tắt t ục) đườ điểm ốc vectơ vị e thẳ xác đị h điểm O ọi • iểm O ọi ốc tọ độ • Hướ củ vectơ vị hướ củ t ục • Ta kí hiệu t ục O; e • Cho M điểm tùy ý t ục O; e Khi có hất số k cho OM ke Ta ọi số k tọ độ củ điểm M t ục cho • Cho hai điểm A B t ục O; e Khi có hất số a cho AB ae Ta ọi số a độ dài đại số củ vectơ AB t ục cho kí hiệu a AB ệ trục tọa độ Hệ ồm hai t ục tọ độ Ox, Oy vng góc với Vectơ vị Ox, Oy lầ lượt i , j O ốc tọ độ, Ox t ục hoành, Oy t ục tung Tọa độ vectơ u x; y u x; y u xi yj x ọi hoành độ củ vectơ u y ọi tung độ củ vectơ u Các công thức vectơ: Cho hai vectơ u • u v u1 ; u , v u1 v1 u2 v2 • u v u1 v1 ; u • u-v u1 - v1 ; u - v ; đ ã ku v2 ; (ku1 ; ku ), k Ỵ R • ộ lớ củ vectơ u • Hai vectơ u u2 v1 ; v u12 u1 ; u , v u 22 v1 ; v phươ có số k cho u1 kv1 kv • Tích vô hướ : u.v u v cos u, v Trang u.v u1v1 u v u^v u1v1 u v u.v u.v • Góc iữ hai vectơ: cos u; v u1v1 u v u u 22 v12 v 22 Tọa độ điểm M x; y OM xi yj Các công thức: Cho ba điểm A x A ; y A , B x B ; y B , C x C ; y C • AB x B - x A ; yB - y A • AB AB xB - xA yB - yA • ọ độ trung điểm I củ AB: x1 • ọ độ t ọ xA xB tâm G củ tam giác ABC: x G • ọ độ điểm M chia AB theo tỉ số k ¹ 1: x M P Ầ 2: CÁC DẠ yA , y1 yB xA xB xC , yG x A - kx B , yM 1- k yA yB yC y A - ky B 1- k BÀI TẬP Dạng 1: Tọa độ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hai vectơ a A 7; -7 2; -4 , b -5;3 ọ độ vectơ u B 9; -11 C 9;5 Hướ Ta có: 2a Ta có: u 4; -8 , - b 2a - b 2a - b là: D -1;5 dẫ 5; -3 5; -8 - 9; -11 ® Chọ B Ví dụ 2: Trong mặt phẳ Oxy, cho hai vectơ u 1; , v 1; m Tìm m để hai vectơ u , v vng góc với A B -1 C Hướ Ta có: u ^ v u.v 1.1 2.m m D -1 dẫ -1 ® Chọ B Trang A 0; B 1;3 C 2;3 Hướ D 0;3 dẫ Giả sử A¢ x; y AA¢ x 1; y - , BA¢ x - 3; y - , BC -3;3 Vì A¢ hình chiếu củ A cạ h BC nên B, A¢ , C thẳ ïAA¢.BC ị ùBAÂ kBC ù -3 x y -1 hàng AA¢ ^ BC ïx ï y ï ïk x - -3k ù y - 3k Vy AÂ 1;3 đ Chọ B Ví dụ 3: Trong mặt phẳ Oxy, cho hai điểm A -3; , B 4;3 Tìm tọ độ điểm C để tam giác CAB vuông cân C A 1; -1 0;6 B 1;0 0;6 C 1;0 0;5 Hướ Giả sử C có tọ độ C x; y Þ CA D 1; -1 0;5 dẫ -3 - x; - y , CB - x;3 - y Vì tam giác CAB vng cân C ïCA.CB ïCA CB ï ï -3 - x - x -3 - x 2-y é ê ê ê ê êë x y - x - 5y - 7x y 2- y 3- y 4-x 3- y x y x y -1 Vậy C 1; -1 C 0; ® Chọ A Ví dụ 4: Trong mặt phẳ đườ tròn tọ độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;3 , B 4; -1 , C -2; -3 ọ độ tâm oại tiếp tam giác ABC l: ổ -1 A ỗ ; ữ ố 2ứ ổ -1 -1 B ỗ ; ÷ è 2 ø ỉ -1 C ỗ ; ữ ố 2ứ H Giả sử I a; b tâm đườ Þ IA a -1 2 tròn b - , IB2 ổ -1 D ỗ ; ữ è2 ø dẫ oại tiếp tam giác ABC a-4 2 b , IC2 a 2 b Trang Ta có hệ: ïIA ïIA IB IC ï a -1 ï a -1 b-3 b-3 a-4 a 2 b b 6a - 8b 6a 12b -3 ïïa ïb ï -1 ổ -1 Vy I ỗ ; ÷ è2 ø ® Chọ D Ví dụ 5: Trong mặt phẳ tọ độ Oxy, cho tam giác MNP có M -1; , N 2;0 , P -2;3 ọ độ t ực tâm H củ tam giỏc MNP l: -4 ổ A ỗ -2; ữ ứ ố ổ 4ử B ỗ 2; ữ ố 3ứ ổ -4 C ỗ 2; ữ ố ứ H 4ử ổ D ỗ -2; ÷ 3ø è dẫ Giả sử H x; y t ực tâm củ tam giác MNP Ta có: MH x 1; y , NP -4;3 , NH ïMH ^ NP ïMH.NP ï NH ^ MP ï NH.MP x - 2; y , MP -1;3 Ta có hệ: ï-4 x 3y ï- x - 3y ï x ïy -2 -4 -4 ö ổ Vy H ỗ -2; ữ ứ ố ® Chọ A Bài tập tự luyện Câu (ID:9742) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A -1; -1 , B 3;1 , C 6;0 Số đo góc B tam giác ABC bằng: A 450 B 600 C 1200 Câu (ID:8744) Cho tam giác ABC vuông A, biết AB a, AC D 1350 2a Khi AB.AC bằ bao nhiêu? A a B a Câu (ID:8959) Trong mặt phẳ ọ độ tâm đườ A 2;1 tròn C a D 2a tọ độ Oxy, cho tam giác ABC có A -4;0 , B 5; -3 , C -2; -4 oại tiếp tam giác ABC là: B 0;1 C 1; D 1;0 áp án: Trang 10 1–D 2–B 3–D P Ầ 3: BÀI TẬP TỔ ỢP Câu (ID:9095) Trên trục tọa độ O, e cho điểm M cho OM 2e Tọa độ điểm M trục cho là: A B C –1 D –2 Câu (ID:8702) Tích vơ hướng hai vectơ a, b a, b ¹ số dương khi: A a b chiều B a b phương C 00 < a, b < 900 Câu (ID:9183) Cho hai điểm B 9; , C 11; -1 MN A 2; -8 B -2;8 D 900 < a, b < 1800 BC Tọa độ vectơ MN l: ổ -2 C ỗ ; ữ ố 3ứ ổ -8 D ỗ ; ÷ è3 ø Câu (ID:9238) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A 2; -1 , B 0;3 , C 4; điểm D thỏa mãn 2AD 3BD - 4CD Tọa độ điểm D là: A 1;12 B 12;1 C 12; -1 D -12; -1 Câu (ID:9188) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A -2m; - m , B 2m; m Với giá trị m đường thẳng AB qua gốc tọa độ O? A m B m C "m Ỵ D m Câu (ID:9203) Cho điểm M 2;1 Tọa độ điểm M1 đối xứng với M qua gốc tọa độ O là: A -2; -1 B 1; -2 C 2; -1 D -1; Câu (ID:9214) Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A 1;1 , B 3; , C m 4; 2m Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng A B C –1 D –2 Câu (ID:9230) Cho tam giác ABC có A 6;1 , B -3;5 trọng tâm tam giác G -1;1 Tọa độ đỉnh C là: A 6; -3 B -6;3 C -6; -3 D -3;6 Câu (ID:9235) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1; , B 0; , C 3; -2 Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành A D 2;0 B D 4; -4 C D -4; D D 0; Câu 10 (ID:8925) Cho tam giác ABC cạnh a Giá trị biểu thức AB.BC BC.CA CA.AB bằng: A -3a B 3a C a2 D -a Câu 11 (ID:8937) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A -2; -1 , B 3; , M m; Giá trị m để MA MB2 đạt giá trị Trang 11 A -1 B C D Câu 12 (ID:8964) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A -1;3 , B 3;1 trực tâm H 1;1 Tọa độ đỉnh C là: A -1; -2 B 1; -3 C -1; -3 D 1; -2 Câu 13 (ID:8977) Cho tam giác ABC có A -5;6 , B 3; , C 0; -4 Chân đường phân giác góc A có tọa độ là: A 5; -2 æ -2 B ỗ ; ữ ố2 ứ ổ -2 C ỗ ; ữ ố3 ứ ổ -5 -2 D ỗ ; ữ è ø Câu 14 (ID:8996) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2;0 , B 0;1 , M 2m 4; m Giá trị m để MA - MB lớn là: A -1 B –1 C D áp án: 1–B 2–C 3–D 4–D 11 – D 12 – C 13 – C 14 – A 5–C 6–A 7–A 8–C 9–B 10 – A Trang 12 CH NG : VECT , TÍCH VƠ H ỚNG CỦA HAI VECTD VÀ ÚNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ 3: HỆ THỨC L ỢNG TRONG TAM GIÁC P Ầ 1: LÝ T UYẾT TRỌ TÂM Định lí cơsin Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b AB = c Ta có: a2 b c2 2bc.cos A; b c2 a 2ca.cos B;c2 a2 b 2ab.cosC Hệ quả: b c2 a ; cos B 2bc cos A c2 a b ;cosC 2ca a2 b2 c2 2ab Định lí sin Trong tam giác ABC với BC a, AC b, AB c R bán kính đườ a sin A b sinB c sin C trịn ại iếp Ta có: 2R Độ dài trung tuyến Cho tam giác ABC với m a , m b , mc lầ lượ trung uyế kẻ A, B, C Ta có : m b2 c2 a a2 ;m a c2 b b2 ;m c a b2 c2 Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu h a , h b , h c độ dài đườ R, r lầ lượ bán kính đườ tròn cao lầ lượ ươ ại iếp, ội iếp tam giác; p ứ với cạ h BC, CA, AB; a b c chu vi tam giác; S diệ tích tam giác Khi ta có: S ah a bh b bcsin A ch c casin B absinC abc 4R pr p p a p b p c P Ầ 2: CÁC DẠ (công hức Hê-rông) BÀI TẬP Dạng 1: Xác định yếu tố tam giác Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tam giác ABC có A 150 , BC Bán kính đườ trịn ại iếp tam giác ABC là: Trang A B C Hướ Áp dụ BC sin A D dẫ cơng hức hàm số sin có: 2R R BC 2sin A 2.sin150 2.sin 30 2 Chọ B Ví dụ 2: Cho tam giác ABC hỏ mãn: b2 A A 30 c2 a2 450 B A 3bc Tính độ lớ góc A C A Hướ 60 D A 75 dẫ Theo đị h lý cơsin ta có: b2 c2 a 2bc cos A Vậy A 3bc 2bc 30 Chọ A Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân ại A có CA 3cm,CB 4cm,sin B A 3cm B 4cm C 5cm Hướ Ta có C S B nên sin C sin B CA.CBsin C 1 3.4 2 Tính diệ tích tam giác D 6cm dẫ 3cm Chọ A Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = cosA = Tính cạ h BC, độ dài đườ A A BC 2, h a 29 29 B BC 29, h a 29 29 C BC 17, h a 16 17 17 D BC 29, h a 29 29 Hướ Áp dụ đị h lí cơsin ta có BC2 AB2 cao kẻ dẫ AC2 2AB.AC.cos A 42 52 2.4.5 17 Trang Suy BC 29 Vì sin A cos2 A nên sin A cos2 A Theo cơng hức tính diệ tích ta có SABC Mặ khác SABC a.h a suy Vậy độ dài đườ 25 AB.AC.sin A 4.5 1 17.h a 17.h a 2 16 17 17 cao kẻ A h a 16 17 17 Chọ C Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có G ọ đú tâm Gọi a BC, b CA, c AB Khẳ đị h sau : A GA GB2 GC2 C GA GB2 GC2 a2 b2 c2 B GA GB2 GC2 a b2 c2 D GA GB2 GC2 Hướ Theo tính chấ củ GA Áp dụ ọ tâm ta có: GA b2 c2 a2 b2 c2 dẫ AM AM công hức tính trung uyế củ mộ tam giác, ta có: AM 1ổ ỗ AB 2ố AC2 GA AM 1ổ ỗc 2ố ươ ự: GB GC2 a 2æ ỗa 9ố b2 2ổ ỗa 9ố BC2 ữ ứ b2 c 1ổ ỗc 2ố a2 ÷ 2ø b2 a2 ÷ 2ø 2ỉ ỗc 9ố b2 a2 ữ 2ứ b2 ÷ ø c2 ÷ 2ø Do đó: GA GB2 GC2 a b2 c2 Chọ B Ví dụ 6: Khi khai quậ mộ ngơi mộ cổ, ười ta tìm mộ mả h củ đĩ phẳ hình trịn bị Trang vỡ Dự vào tài liệu có, ười ta đ kích hước củ tam giác ABC đĩ AB = 4,3cm, BC = 3,7cm, AC = 7,5cm Các nhà khả cổ muố lại đĩ có kích hước hư Hãy giúp nhà khả cổ tìm bán kính đĩ ? A R = 6,735(cm) B R = 6,535 (cm) C R = 5,735 (cm) D R = 5,835 (cm) Hướ dẫ Cách 1: Ta có: AB = 4,3cm, BC = 3,7cm, AC = 7,5cm Áp dụ đị h lí hàm số cosin ta có: AB cos BAC AC AB 2 AB AC BC sin BAC R » 7,5 3,7 2.4,3.7,5 407 430 (cos BAC ) » 0,323 Như vậy, sin BAC 2R 4,32 3,7 » 11,47 0,323 5, 735 cm Cách 2: Sử dụ công hức diệ tích a.b.c 4R p p a p b p c Trong đó: p a b c ta tìm đáp án 5,735(cm) Chọ C Bài tập tự luyện Câu (ID:14020) Cho DABC có AB A B 3; C 450 Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: C Câu (ID:14022) Cho DABC có A A B 450 ; B 30 Tỉ số C D AC là: BC D Đáp án: 1–B 2-A Dạng 2: iải tam giác Phương pháp giải Giải tam giác tính cạ h góc củ tam giác dự mộ số điều kiệ cho ước Trong toán iải tam giác ười ta hườ cho tam giác với ba yếu ố hư sau: biế mộ cạ h hai góc kề cạ h đó; biế mộ góc hai cạ h kề góc đó; biế ba cạ h Để tìm yếu ố lại ta sử dụ đị h lí cơsin đị h lí sin; đị h lí ổ ba góc mộ tam giác bằ 180 mộ tam giác đối diệ với góc lớ hơ có cạ h lớ hơ cạ h lớ hơ có góc lớ hơ ược lại đối diệ với Trang Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạ h a A 1200 3, b B 1100 C 1200 Hướ Theo đị h lí cơsin ta có: c2 a2 30 Tính cạ h c, góc A 2, C D 1100 dẫ b2 2ab cos C 12 2.2 3.2.cos30 Vậy c = tam giác ABC cân ại A có b = c = Ta có C 30 nên B 30 A 180 2.30 120 Chọ C Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biế b = 32; c = 45 A 87 A A » 53,8, C » 36 , B 57 B A » 53,8, B » 40 , C 530 C A » 52,8, B » 36 , C 57 D A » 53,8, B » 36 , C 57 Hướ dẫ Theo đị h lí cơsin ta có: a2 b2 c2 2bc.cos A 322 452 2.32.45.cos870 Suy a » 53,8 Theo đị h lí sin ta có: 32 sin 87 53,8 b sin A a sin B 180 Suy C B » 36 A B » 180 87 36 57 Chọ D Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có cạ h AC 10 cm, BC 16cm góc C tam giác A 20 cm B 21,6cm C 12,6cm Hướ Đặ BC a, CA 110 Tính cạ h AB củ D 12,8 cm dẫ b, AB c Theo đị h lí cơsin ta có: c2 a2 b2 2ab cosC 162 102 2.16.10.cos110 c2 » 465, 44 Vậy c » 465,44 » 21,6 cm Chọ B Trang Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có BC a,CA b,AB c hỏ mãn hệ hức Hãy tính số c b b c a c đ góc A? A A 120 B A 30 C A Hướ Ta có c b b a a c 90 D A 60 dẫ c a c b b a ca c2 b2 b2 ba c2 a bc b2 ta có: cos A Vậy A b a a c ba a2 c2 a 2bc bc ac bc 2bc 60 Chọ D Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có A 120 , AB 1, AC Trên cạ h CA kéo dài lấy điểm D cho BD Tính đ AD A 2,3 B C 4,6 Hướ Áp dụ BC2 BC Áp dụ D dẫ đị h lí cosin cho tam giác ABC ta có: AB2 AC2 2AB.AC.cos BAC 7 đị h lí sin tam giác ABC ta được: AB BC sin C sin A Áp dụ đị h lí sin tam giác DBC ta được: DB BC sin C sin D sin C sin D AB sin A BC BC sin C DB 21 14 D » 25,66 DBA » 180 Áp dụ 25,66 (180 120 ) » 94,34 đị h lí sin ta có: AB AD sin D sin DBA AD AB sin DBA sin D » sin 94.34 » 2,3 Trang Chọ A Bài tập tự luyện Câu (ID:13999) Cho tam giác ABC biết a cm, b cm, c l A A 60 ; B 450 B A 50 ; B 450 C A 450 ; B 650 D A 450 ; B 60 Câu (ID:14030) Cho DABC có A 150 ; B A 30 ; AC B cm Tính góc A,B 3cm Độ dài BC A C D Đáp án: 1–A 2–D Dạng 3: hận dạng tam giác Phươ pháp iải Sử dụ đị h lí cơsin; sin; cơng hức đườ trung uyế ; cơng hức tính diệ tích tam giác để biế đổi iả hiế hệ hức liên hệ cạ h (h ặc góc) suy củ tam giác Ví dụ minh họ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC h ả mãn sinC 2sinBcosA Hỏi tam giác ABC tam giác gì? A ABC cân B ABC C ABC vuông Hướ Áp dụ b2 dẫ đị h lí cơsin sin ta có: c sinC 2sinBcosA Û 2R c2 D ABC tù c2 a Û a b b c2 a2 2R 2bc b Suy tam giác ABC cân ại đỉ h C Chọ A Ví dụ 2: Cho tam giác ABC h ả mãn sin A A ABC cân sinB sin C Hỏi tam giác ABC tam giác gì? cos B cos C B ABC C ABC vng Hướ Ta có: sin A Û Û b c a2 Û b3 c3 dẫ sinB sin C Û sin A cos B cos C cos B cosC a ổ c2 a b ỗ 2R è 2ca b2 a2 c a2 b c2 ö ÷ 2ab ø b c2 D ABC tù sin B sin C b c 2R 2b2 c 2c2 b b2 c bc2 a2 b a2 c Û b c b2 c2 a2 b c Û b2 c2 a2 Trang Û DABC vuông ại A Chọ C Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có hai trung uyế BM CN vng góc với Khi khẳ sau đú : A b2 c2 a2 B b2 5a2 c2 C 2b2 3c2 Hướ Áp dụ hệ hức lượ a2 m c2 5a2 D 5b2 c2 đị h a2 dẫ tam giác ta có: b2 b a2 m b2 c2 c G ọ tâm củ tam giác ABC Suy BG m c CG m b a2 a2 c2 b2 b2 c2 BM ^ CN nên BG CG 2c2 2a2 b2 Û 2 Û b c 5a2 BC2 2a2 2b2 c2 a2 Chọ B Ví dụ 4: Tam giác ABC có a2 + b2 c2 36r có tính chấ gì? A Tam giác cân ại B B Tam giác cân ại A C Tam giác D Tam giác vuông ại A Hướ 2 a +b c Ta có: S2 36 p p b p c p a p b p c 36 p c p a p a p b 36 p p p b p c £ 2p b 2p c p b p c dẫ p c p a a p a p b p Û a2 + b c2 £ 9abc Û a b c a2 a b c Mà a2 + b2 c2 ³ ab bc ca b2 £ abc 8p c2 £ 9abc a b c ab bc ca £ 9abc Trang Ûa b c 2 b c a c a b Vậy tam giác ABC có a2 + b2 c2 £0Ûa b c 36r tam giác ABC Chọ C Bài tập tự luyện Câu (ID:14506) Tam giác ABC thỏa mãn SDABC a b c a c b Khi tam giác ABC là: A Tam giác vuông ại B B Tam giác cân ại A C Tam giác D Tam giác vuông ại A Câu (ID:14475) Cho tam giác ABC có cạ h hỏ mãn: b b2 a2 A A 60 B A 450 c a2 c2 Tính số đ góc A C A 80 D A 30 Đáp án: 1–D 2–A P Ầ 3: BÀI TẬP TỔ ỢP Câu (ID:14027) Tam giác ABC có sinA A 24 , sinB B , độ dài đ BC bằ C Tính độ dài đ AC D 24 5 24 Câu (ID:14039) Cho tam giác ABC có AB 14 cm, BC 16 cm góc B 120 Tính cạ h AC củ tam giác A 14 cm B 12.5 cm Câu (ID:14068) Cho tam giác ABC có BC C 27 cm D 26 cm cm,CA cm, AB cm Hãy tính độ dài đườ trung uyế m a củ tam giác ABC cho A B 151 cm 151 cm C Câu (ID:14074) Cho tam giác ABC có AB cm, AC A cm B cm Câu (ID:14096) Tam giác ABC có bán kính đườ cạ h tam giác A 960 B 480 147 cm cm,sin A C cm tròn m 2a m 2b m 2c a2 b2 c2 157 cm Tính diệ tích tam giác D cm ại iếp R = 12, diệ tích bằ C 240 Câu (ID:14484) Gọi m a , m b , m c trung uyế lầ lượ ứ Tính ỉ số: D 20 Tìm tích D 120 với cạ h a, b, c củ tam giác ABC Trang A B C D abc Câu (ID:14433) Tam giác ABC có diệ tích S Nếu ă cạ h BC lên lầ đồ hời ă cạ h CA lên lầ iữ nguyên độ lớ củ góc C diệ tích củ tam giác nên bằ : A 2S B 6S C 4S D 3S Câu (ID:14430) Tam giác ABC có BC a,CA b, AB c đườ đườ trung uyế AM c kế luậ sau đú : A a2 b c2 B a2 b2 c2 C a2 trung uyế AM b c2 D a2 b2 Câu (ID:14423) Cho hình bình hành ABCD có AD 5, AB 9, BD 10 Độ dài đườ A B C c Nếu độ dài c2 chéo AC là: D Câu 10 (ID:14495) Cho tam giác ABC có số đ ba góc hỏ mãn: sin B sin C = 2sin A Kế luậ sau đú : A Tam giác ABC tam giác họ B A B 180 C Tam giác ABC vuông ại A D A £ 60 Câu 11 (ID:14469) Hai tàu hủy P Q cách 300 m đồ tháp hải đă bờ biể P Q, chiều cao AB củ tháp hải đă ? A 85,6m AH 4m, HB A 17,3 m vị trí A 450 20m, BAC hàng với chân A củ ười ta nhìn chiều cao AB củ tháp góc 150 750 Tính B 86,6m Câu 12 (ID:14468) hời hẳ C 88,6m ười ta quan sát mộ Tính B 12,8 m Câu 13 (ID:14501) Cho DABC cân ại A có A C 14,5 m a ; AB D 84,6m cao (Hình vẽ) Biế chiều cao củ BC D 18,9 m m D điểm ằm đ BC cho BC = 3BD Tính độ dài AD Trang 10 a A 2m sin B m 2a sin C m a sin 2 a D m sin Câu 14 (ID:14460) Cho DABC có BC 5, AC 6,AB Trên đ AB, BC lầ lượ lấy điểm M, K cho BM 2, BK Tính MK A B 30 C 30 15 D 30 15 30 15 Đáp án: 1–C 2–D 3–B 4– C 11 – B 12 – A 13 – B 14 – B 5–A 6–B 7–B 8–C 9–D 10 – D Trang 11 ... ỉ 10 A ç 0; ÷ è 3ø B 0; -10 C 10; Hướ hàng tọ độ D -10; dẫ Ta có: M t ục Oy Þ M 0; y Ba điểm A, B, M thẳ Ta có AB hàng AB phươ -3; , AM Do đó, AB phươ với AM -1; y - với AM -1 -3 y-2 10. .. cạ h AC 10 cm, BC 16cm góc C tam giác A 20 cm B 21,6cm C 12,6cm Hướ Đặ BC a, CA 110 Tính cạ h AB củ D 12,8 cm dẫ b, AB c Theo đị h lí cơsin ta có: c2 a2 b2 2ab cosC 162 102 2.16 .10. cos 110 c2 »... vectơ a 0;1 , b -1; , c -3; -2 ọ độ củ 3a 2b - 4c là: A 10; 15 B 15 ;10 Câu (ID:8722) Trong mặt phẳ C 10; -15 Oxy, cho tam giác ABC có AB D -10; 15 5, AC Ù 5, A 30 Giá t ị biểu thức AB.AC là: A