ĐỘt phá hình toán 11 vecto quan hệ vuông góc

CH NG 5: VECT – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN CHUYÊN ĐỀ 1: VECT P Ầ 1: LÝ T UYẾT TRỌ TRONG KHÔNG GIAN TÂM Vectơ không gian ctơ không gian đoạ thẳ có hướ � � � � Kí hiệu: a, b, c, , AB : điểm đầu A, điểm cuối B Giá củ v ctơ đườ thẳ qua điểm đầu điểm cuối củ v ctơ Hai v ctơ ọi phươ ếu giá củ chúng song song trùng N ược lại, hai v ctơ có giá cắt ọi hai v ctơ không phươ Hai v ctơ phươ hướ ược hướ Độ dài củ v ctơ độ dài củ đoạ thẳ có độ dài bằ có hai đầu mút điểm đầu điểm cuối củ v ctơ � ọi v ctơ vị Kí hiệu: AB AB BA ctơ ctơ – khơng: v ctơ có điểm đầu điểm cuối trùng � � � Kí hiệu: 0, AA, BB, Các qui tắc tính chất � Qui tắc ba điểm: ới ba điểm A, B, C ta có: AC � � AB BC Mở ộ : Cho n điểm A1 , A2 , A3 , , An , An � � � � Ta có: A1 A2 A2 A3 An An A1 An Qui ba điểm cho phép t ừ: � ới ba điểm A, B, C ta có: AC � � BC BA Qui tắc hình bình hành: ới hình bình hành ABCD ta có: � � � AC AB AD � � � DB AB AD Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp S với AB, AD, AA ba cạ h có chung đỉ h A AC đườ � AC chéo, ta có: � � � AB AD AA Điều kiệ để hai v ctơ phươ � � � Cho hai v ctơ a b , k : a phươ Hệ quả: Điều kiệ để ba điểm A, B, C thẳ � � � b Û a kb � � hàng AB k AC Tính chất trung điểm Cho đoạ thẳ AB có I trung điểm, ta có: � � � � � � � � � � IA IB 0; IA IB; AI IB AB; MA MB Tính chất t ọ � MI (M bất kì) tâm Trang Cho DABC , G t ọ tâm, ta có: � � � � GA GB GC � � � � MA MB MC 3MG (M bất kì) Tính chất hình bình hành Cho hình bình hành ABCD tâm O, ta có: � � � � � OA OB OC OD � � � � � MA MB MC MD MO (M bất kì) P Ầ 2: CÁC DẠ BÀI TẬP Dạng 1: hứng minh đẳng thức vectơ, hai vectơ phương Ví dụ minh họa � � � Ví dụ 1: Cho ba v ctơ a, b, c không đồ � phẳ Xét v ctơ x đị h đú � � A Hai v ctơ y, z phươ � � C Hai v ctơ x, z phươ � � � 2a b; y � � � 4a 2b; z � � 3b 2c Chọ khẳ � Nhậ thấy: y � � 4a 2b � � 2a b � � B Hai v ctơ x, y phươ � � � D Ba v ctơ x, y, z đồ phẳ Hướ dẫ � � � x nên hai v ctơ x, y phươ ® Chọ B Ví dụ 2: Cho hình lă � t ụ tam giác ABC A1 B1C1 Đặt AA1 thức sau, đẳ thức đú ? � � � � � � � A a b c d B a b c � d � � � � a, AB b, AC � � � C b c d Hướ � � c, BC � d , đẳ � � � D a b c dẫ Ta có: � � � � � � b c d AB AC BC � � � � CB BC CC ® Chọ C Ví dụ 3: Cho hình lập phươ A a 2 ABCD.EFGH có cạ h bằ B a C a Hướ Xét hình vng EFGH, áp dụ � � � EG EF EH � � a Ta có AB.EG bằ : D a2 2 dẫ quy tắc hình bình hành ta có: Trang � � � � � � � � � Ta có: AB.EG AB EF EH AB.EF AB.EH � � � � � � � � Do EH AD AB ^ AD nên AB.EF AB AD � � � � � � �2 �2 Do AB EF nên AB.EF AB AB AB AB a2 � � Do AB.EG � � AB.EF � � AB.EH �2 AB � � AB AD a2 ® Chọ B Ví dụ 4: Cho tứ diệ ABCD Gọi P, Q trung điểm củ AB CD Chọ khẳ � � � � � � A PQ BC AD B PQ BC AD � � � � � � C PQ BC AD D PQ BC AD Hướ dẫ � � � � � � � PB BC CQ PQ PA AD DQ � � � � � � � � PA PB BC AD CQ DQ BC AD � Ta có: PQ � Nên 2PQ � ậy PQ đị h đú � BC � AD ® Chọ B Bài tập tự luyện Câu Cho tứ diện ABCD có I, J tương ứng trung điểm cạnh AB CD Với điểm M bất kì, ta có: � � � � � � � � � � � A MA MB MC MD IJ B MA MB MC MD MI MJ � � � � � � � � � � � C MA MB MC MD IJ D MA MB MC MD MI MJ Câu Cho hai hình bình hành ABCD MNPQ có O O tươ ứ giao điểm hai củ hình Khi đó: � � � � � � � � � � A AM BN CP DQ 4OO B AM BN CP DQ 2OO � � � � � � � � � � C AM BN CP DQ OO D AM BN CP DQ � Câu Cho hình chóp S.ABC, ọi G t ọ tâm củ tam giác ABC Khi đó, SG phươ � � � � � � � � � � � A SA SB SC B SA SB SC C SA SB SC D SA SB � Câu Cho hình chóp S.ABC, ọi G t ọ tâm củ tam giác ABC Khi đó, SG hướ � � � � � � � � � � � A SA SB SC B SA SB SC C SA SB SC D SA SB đườ Câu Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 Gọi O tâm củ hình lập phươ Chọ đẳ thức đú � A AO � C AO � � � AB AD AA1 � � � AB AD AA1 � B AO � D AO chéo với: � SC với: � SC ? � � � AB AD AA1 � � � AB AD AA1 Trang Câu Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Tìm giá t ị củ � � � � AB B1C1 DD1 k AC1 A k B k C k k thích hợp điề vào đẳ D k thức v ctơ: Đáp án: 1–D 2–A 3–A 4–A 5–B 6–B Dạng 2: Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Phương pháp giải Ba v ctơ ọi đồ phẳ ếu giá củ chúng song song với mặt phẳ � � � � � � Trên hình bên, giá củ v ctơ a, b, c song song với mặt phẳ a nên ba v ctơ a, b, c đồ phẳ Điều kiệ để ba v ctơ đồ phẳ � � � � � � � � Cho ba v ctơ a, b, c a b khơng phươ Điều kiệ cầ đủ để ba v ctơ a, b, c � � � đồ phẳ có hất cặp số m, n cho c ma nb Ví dụ minh họa � � � Ví dụ 1: Cho ba v ctơ a, b, c không đồ đị h đú � � � A Ba v ctơ x, y, z đồ phẳ � � C Hai v ctơ x, b phươ � phẳ Xét v ctơ x � � � a b, y � � � � a b c, z � � 3b 2c Chọ khẳ � � Ta có: x z � Do y � � 2a b � � 3b 2c � � B Hai v ctơ x, a phươ � � � D Ba v ctơ x, y, z đôi phươ Hướ dẫ � � � � � � 2a 2b 2c a b c � � � � � x z nên ba v ctơ x, y, z đồ � 2y phẳ Trang ® Chọ A Ví dụ 2: Cho hình hộp BCGF Trong khẳ � � � A BD, AK , GF đồ � � � C BD, EK , GF đồ ABCD.EFGH Gọi I tâm hình bình hành ABFE K tâm hình bình hành đị h sau, khẳ đị h đú ? � � � phẳ B BD, IK , GF đồ phẳ � � � phẳ D BD, AK , GC đồ phẳ Hướ dẫ Ta có: ì IK AC Þ IK ï íGF BC Þ GF ï ỵ BD Ì ABCD ABCD ABCD Þ IK , GF , BD đồ phẳ Các v ctơ câu A, C, D khơng thể có giá song song với mặt phẳ ® Chọ B Ví dụ 3: Cho tứ diệ ABCD Trên cạ h AD BC lầ lượt lấy M, N cho AM 3MD, BN 3NC Gọi P, Q lầ lượt trung điểm củ AD BC Trong khẳ đị h sau, khẳ đị h sai? � � � A Các v ctơ BD, AC , MN đồ � � � C Các v ctơ AB, DC , PQ đồ phẳ � � � B Các v ctơ MN , DC , PQ đồ � � � D Các v ctơ AB, DC , MN đồ phẳ Hướ Đáp án B đú vì: � � � � � � � � ìï MN MP PQ QN � � � Þ MN PQ DC Þ MN í � ïỵ MN MD DC CN � � � Do MN , DC , PQ đồ phẳ vì: Bằ Đáp án D đú vì: Biểu diễ � cách biểu diễ PQ tươ iố phẳ dẫ Đáp án A sai vì: � � � � � � � � ìï MN MA AC CN ìï MN MA AC CN � � �Þí � � � � í � ïỵ MN MD DB BN ïỵ3MN 3MD 3DB 3BN � � � � � � � Do MN AC 3BD BC Þ BD, AC , MN không đồ Đáp án C đú phẳ phẳ � � PQ DC � tự hư ta có PQ � đáp án A ta có MN � � AB DC � � AB 3DC ® Chọ A Bài tập tự luyện Câu Cho hình hộp ABCD A1 B1C1 D1 Chọ khẳ � � � A BD, BD1 , BC1 đồ phẳ đị h đú ? � � � B CD1 , AD, A1 B1 đồ phẳ Trang � � � C CD1 , AD, A1C đồ phẳ � � � D AB, AD, C1 A đồ phẳ Câu Cho hình hộp ABCD A B C D Gọi I K lầ lượt tâm củ hình bình hành ABB A BCC B Khẳ đị h sau sai? � � � A Bố điểm I, K, C, A đồ phẳ B Ba v ctơ BD; IK ; B C không đồ phẳ � C IK � AC � AC � � D BD IK � BC Câu Cho tứ diệ ABCD Gọi M, N lầ lượt trung điểm củ AD, BC Trong khẳ khẳ đị h sai? � � � A Các v ctơ AB, DC , MN đồ phẳ � � � B Các v ctơ AB, AC , MN không đồ phẳ � � � C Các v ctơ AN , CM , MN đồ phẳ � � � D Các v ctơ BD, AC , MN đồ phẳ đị h sau, Đáp án: 1–C 2–B 3-C Dạng 3: Phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng Phương pháp giải � � � Nếu ba v ctơ a, b, c khơng đồ phẳ với v ctơ � d , ta tìm hất số m, n, p cho � � � � d ma nb pc Ví dụ minh họa � � � � � � � Ví dụ 1: Cho lă t ụ tam giác ABC A B C có AA a, AB b, AC c Hãy phân tích v ctơ BC qua � � � v ctơ a, b, c � � � � � � � � � � � � � � � � A BC a b c B BC a b c C BC a b c D BC a b c Hướ dẫ � Xét hình bình hành ACC A , áp dụ quy tắc hình bình hành ta có: AC � � � � � � � � � � � � Do đó: BC BA AC AB AC AA b c a a b c � AC � AA Trang ® Chọ D � � � Ví dụ 2: Cho tứ diệ ABCD Đặt AB a, AC � � � � phân tích v ctơ AG qua v ctơ a, b, c � � b, AD � c , ọi G t ọ � A AG � � � a b c � B AG � C AG � � � a b c � D AG Hướ Gọi M trung điểm DC � � � � � � AG AB BG AB BM AB � � � � � AB AC AB AD AB � � a b � � a b tâm củ tam giác BCD Hãy � c � c dẫ � � BC BD � � � � a 2a b c � � � a b c ® Chọ B � � � � � Ví dụ 3: Cho hình lă t ụ ABC A B C , M trung điểm củ BB Đặt CA a, CB b, AA � � � � phân tích v ctơ AM qua v ctơ a, b, c � A AM � � 1� a c b � B AM � � 1� b c a � C AM Hướ � � 1� b a c � D AM � c Hãy � � 1� a c b dẫ � � � Xét tam giác ABC, ta có: AB CB CA � � Do M trung điểm BB nên BM BB � � � � � � � � 1� Ta có AM AB BM CB CA BB b a c 2 ® Chọ C Bài tập tự luyện Câu Cho hình hộp ABCD A B C D có tâm O Gọi I tâm hình bình hành ABCD Đặt � � � � � � � � AC u , CA v, BD x, DB y Trong đẳ thức sau, đẳ thức đú ? Trang � � � � u v x y � � � � u v x y � A 2OI � C 2OI � � u v � � u v � B 2OI � D 2OI � x � x � y � y Câu Cho tứ diệ ABCD Gọi M P lầ lượt trung điểm củ � � � � � � AB b, AC c, AD d Khẳ đị h sau đú � A MP � C MP � � c d � � c b � b � B MP � d � D MP � � d b � � c d AB CD Đặt � c � b Đáp án: 1–A 2–D P Ầ 3: BÀI TẬP TỔ ỢP � Câu Trong không gian cho vectơ AB Chọ đáp án đú � � � � A Giá củ v ctơ AB AB B Giá củ v ctơ AB AB � � C Giá củ v ctơ AB đoạ thẳ AB D Giá củ v ctơ AB đườ thẳ đị h sau, khẳ đị h sai? � � � A Nếu giá củ ba v ctơ a, b, c cắt từ đơi ba v ctơ đồ phẳ � � � � B Nếu ba v ctơ a, b, c có v ctơ ba v ctơ đồ phằ � � � C Nếu giá củ ba v ctơ a, b, c song song với mặt phẳ ba v ctơ đồ � � � D Nếu ba v ctơ a, b, c có hai v ctơ phươ ba v ctơ đồ phẳ AB Câu Trong khẳ Câu Cho hình hộp chữ hật ABCD A B C D Khi đó: � � � � A D A D C D D B D A � � � � C D A D C D B D D A � � � Câu Trong không gian, với ba v ctơ a, b c khác v �� � � �� �� A a.b c a b.c B a.b �� � C a.b c � �� a b.c � DC � DC phẳ � DC � DA ctơ – không, ta ln có: � � �� c a b.c �� � � �� D a.b c a b.c � � � Câu Trong không gian, với hai vectơ a b khác v ctơ không, ta có: �� � � �� � � �� � � �� � � A a.b a b B a.b > a b C a.b < a b D a.b £ a b � � Câu Cho hình lập phươ ABCD.EFGH có cạ h bằ a Ta có AB.EG bằ ? A a 2 B a C a D a2 2 Câu Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Trong khẳng định sau, khẳng định sai? Trang � � � � � A Nếu ABCD hình bình hành OA OB OC OD � � � � � B Nếu ABCD hình thang OA OB 2OC 2OD � � � � � C Nếu OA OB OC OD ABCD hình bình hành � � � � � D Nếu OA OB 2OC 2OD ABCD hình thang Câu Cho hình lập phươ � � A A C.BD 6a � � C AC BD a ABCD A B C D có cạ h a Khi đó: � � B A C.BD a � � D A C.BD Câu Cho tứ diệ ABCD Gọi M N lầ lượt trung điểm củ AB CD Tìm giá t ị củ k thích hợp � � � điề vào đẳ thức v ctơ: MN k AD BC A k B k C k Câu 10 Hãy chọ mệ h đề đú mệ � A ứ giác ABCD hình bình hành ếu AB � B ứ giác ABCD hình bình hành ếu AB � � C Cho hình chóp S.ABCD Nếu có SB SD � D ứ giác ABCD hình bình hành ếu AB D k h đề sau đây: � � � � BC CD DA O � CD � � SA SC tứ giác ABCD hình bình hành � � AC AD Câu 11 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D Khi đó, ba v ctơ khơng đồ � � � � � � A CD, B A D C B CD, B A AB � � � � � � C CD, AD A A D CD, C D AB Câu 12 Cho hình tứ diệ ABCD có t ọ � � � � � A GA GB GC GD � C AG � � AB AC � AD phẳ là: tâm G Mệ h đề sau sai? � � � � � B OG OA OB OC OD � � � � D AG AB AC AD Câu 13 Cho hình lập phươ ABCD A B C D có cạ h a Khi đó: � � � � � � A AC.B D 4a B AC.B D 2a C AC.B D a � � D AC.B D Câu 14 Trong khơng gian cho tam giác ABC có trọng tâm G Chọn hệ thức đúng? A AB AC BC 2 GA2 GB GC B AB AC BC GA2 GB GC C AB AC BC GA2 GB GC D AB AC BC GA2 GB GC � � � � Câu 15 Cho tứ diệ ABCD điểm G thỏ mãn GA GB GC GD � (G t ọ Gọi G0 giao điểm củ GA mp BCD Trong khẳ đị h sau, khẳ � � � � � � A GA 2G0G B GA 4G0G C GA 3G0G tâm củ tứ diệ ) đị h đú ? � � D GA 2G0G Trang Đáp án: 1–D 2–A 3–C 4–C 5–D 11 – C 12 – C 13 – D 14 – D 15 - C 6–B 7–B 8–D 9–B 10 – C Trang 10 Hướ Bước 1: AD CD D ìCD Bước 2: ợCD AD ị CD SAD SA Bc 3: AH SD ỡùAH Bc 4: ùợAH ị AH SD CD CD Do d A, SCD AH 1 + SA AD2 d A, SCD SCD SAD Xét tam giác vuông SAD, đườ AH dẫ AH cao AH, ta có: 1 + a 2a 4a2 2a 5 → C ọ C Ví dụ 2: Cho tứ diệ ABCD có AD vng góc với mặt p ẳ ( BC); AD Tính k oả cách từ A đế mặt p ẳ (BCD) A 34 17 B 34 17 C Hướ 34 17 AC 4; AB 3; BC D 34 17 dẫ Cách 1: Bước 1: ẻ AE ìAE Bước 2: í ỵBC BC E BC Þ BC AD Bước 3: ẻ AH ìïAH Bước 4: í ïỵAH Do AH AED DE Þ AH DE BC BC DBC ADE d A; DBC Ta có DABC vng A, nên AE2 1 + AB AC2 AH đườ AH 1 + 16 25 144 cao củ tam giác ADE nên ta có: 1 + AD AE Vậy d A; DBC 25 + 16 144 17 Þ AH 72 34 17 34 17 Trang Cách 2: Ta t AD; AB; AC đơi vng góc với nên tứ diệ ABCD tứ diệ vng Vì k oả cách từ A đế mặt p ẳ (BCD) có t ể tính theo cơng t ức 1 + + 2 AD AB AC2 1 + + 42 32 42 d A; DBC Þ d A; DBC 34 17 → C ọ A Ví dụ 3: Cho hình ộp c ữ cách từ A đế mặt p ẳ ật ABCD.A1B1C1D1 có ba kích t ước AB a, AD 2a, AA1 A1BD bằ A a B ìïBD Bước 2: í ïỵBD a C a D a dẫ BD H Þ BD AH AA1 AA1 Bước 3: ẻ AK ìïAK Bước 4: í ïỵAK A1AH ABCD A1 H A1 H Þ AK BD BD Do d A, A1BD A1BD A1AH AK Ta có AK 1 + mà 2 AH A1A AH Do AK 1 + + 2 AB AD A1A Vậy AK oả bao nhiêu? Hướ Bước 1: ẻ AH 3a a hay d A, A1BD 1 + AB AD2 1 + 2+ 2 a 4a 9a 49 36a2 a → C ọ D Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC cạ cách từ tâm O củ đáy ABC đế mặt bên: A a B 2a C a Hướ Hình chóp tam giác S.ABC nên SO Bước 1: ẻ OM đáy bằ 2a c iều cao bằ 10 D a a Tính k oả dẫ ABC AB M Trang ỡùAB Bc 2: ùợAB ị AB OM SO SO Bước 3: ẻ OK ìïOK Bước 4: í ùợOK SM ti K ị OK SM AB AB Do d O; SAB CM SAB SOM OK Ta có tam giác ABC nên CM OM SOM ABC a 3 2a a a 3 SO c iều cao nên SO a Xét tam giác vuông SOM vuông O, đườ OK 1 + OM SO2 Vy d O; SAB + ổa 3ử ỗ ữ ỗ ữ ố ứ a ị OK cao OK, ta có: a 10 a 3 10 → C ọ C Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA đáy 300 oả ABCD , đáy ABCD hình vng cạ a Góc tạo SB cách từ AB đế (SCD) bằ : A 2a B a C Hướ a D a dẫ Vì AB / /CD nên AB / / SCD , d AB; SCD Bước 1: AD d A; SCD CD D ìCD Bước 2: í ỵCD Bước 3: ẻ AH ỡùAH Bc 4: ùợAH AD ị CD SAD SA SD H Þ AH SD CD CD Do d AB; SCD SCD SAD d A; SCD AH Trang Góc tạo SB đáy: SB Ç ABCD SA B ABCD Ù SBA 30 Do SB; ABCD Xét tam giác SBA vuông A, ta có: tan 30 Xét tam giác vng SDA, đườ 1 + SA AD2 AH Vậy d AB; SCD ổa 3ử ỗ ữ ỗ ữ è ø AB.tan 30 a 3 cao AH, ta có: + SA Þ SA AB a2 d A; SCD a2 AH a → C ọ C Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạ SO vng góc với mặt p ẳ A a đáy (ABCD) SO B 3a Hướ Ta có DABD DBCD cạ 3a oả C 3a a có góc BAD 60 Đườ cách từ A đế mặt p ẳ D t ẳ (SBC) là: 3a dẫ a AC cắt (SBC) C, O trung điểm AC Vì AO Ç SBC d A, SBC C nên ta có: d O, SBC AC OC Þ d A, SBC AC d O, SBC OC Bước 1: ẻ OH BC H 2d O, SBC Bước 2: ìïBC í ïỵBC Þ BC OH SO SO Bước 3: ẻ OK ỡùOK Bc 4: ùợOK SOH ABCD SH ị OK SH BC BC Do d O, SBC SBC SOH OK Trang Xét DOBC vng O có OH đườ cao, ta có: 1 + OB OC2 OH Xét DSOH vuông O có OK đườ 1 + OH SO2 OK Þ OK 1 + + 2 OB OC SO2 cao, ta có: + ổaử ỗ ữ ố2ứ + ổa 3ử ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ổ 3a ỗ ữ ố 4ứ 64 9a2 3a Vậy d A, SBC 2OK 3a → C ọ D Bài tập tự luyện Câu (ID:18902) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có tất cạnh a S đế mặt p ẳ (ABCD) bằ bao nhiêu? A a B a C a D a oả cách từ Câu (ID:18906) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạ a Đườ t ẳ SA vng góc với mặt p ẳ đáy, SA a Gọi M trung điểm củ CD oả cách từ M đế (SAB) ậ giá t ị giá t ị sau? A a B 2a C a D a Câu (ID:18947) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, tâm O có tất cạnh a cách từ O đế mặt p ẳ (SAD) bằ bao nhiêu? A a B a a Câu (ID:18960) Cho hình ộp c ữ điểm D đế mặt p ẳ (ACD') là: A C a B oả D a ật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB AA ' a, AC 2a 2a C a 21 D oả cách từ a 21 Đáp án: 1–A 2–D 3–C 4–D Dạng 3: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp giải Cách dự đoạ vng góc chung củ hai đườ t ẳ chéo nhau: Cách 1: Khi a b Trang 10 Dự mp P É b, P Trong P dự HK a H b K Đoạ HK đoạ vuông góc chung củ a b Cách 2: Dự P É b, P / /a Lấy M a dự đườ t ẳ đoạ P , lúc a' MN qua N song song a Ta a' hình c iếu vng góc củ a lên mặt p ẳ P HK / /MN Þ HK đoạ Gi H a ầ b , d vuụng gúc chung cầ tìm Chú ý: oả cách iữ hai đườ t ẳ chéo bằ p ẳ song song với c ứ đườ t ẳ oả cách iữ hai đườ c ứ hai đườ t ẳ t ẳ chéo bằ k oả cách từ điểm đườ k oả cách iữ hai mặt p ẳ t ẳ đế mặt song song lầ lượt Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạ SAD vng góc với đáy Tính k oả A a B cách iữ hai đườ a C Hướ ì SAB ABCD ïï ABCD Þ SA SAD ù ùợ SAB ầ SAD SA Gi O AC Ç BD , kẻ OH ìBD Ta có í îBD AC Þ BD SA a t ẳ a, hai mặt p ẳ SAB SC BD D a dẫ ABCD SC, H SC (1) SAC Þ BD (1) (2) ta có OH đườ BD Þ d SC, BD a, c iều cao bằ OH (2) vng góc chung củ SC OH Do ABCD hình vng nên AC a Trang 11 ẻ AK Ta có OH SC, K SC AK 1 + SA AC2 AK a Vậy d SC,BD 1 + a a 2 Þ AK 2a2 a a 6 a 6 OH → C ọ C Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạ bằ mặt p ẳ (SBD) vng góc với mặt p ẳ (ABCD) Tính theo a k oả SD A a B 5a C Hướ Theo iả t iết ABCD Do ếu dự a a, SD a 2, SA SB a , cách iữ hai đườ t ẳ AC D 3a dẫ SBD theo giao tuyế BD SBD O BD AO Mặt khác AS AB AD Þ OS OB OD hay DSBD tam giác vuông S BD SB2 + SD2 a2 + 2a2 AO AB2 - OB2 a2 - Trong DSBD dự a 3a2 a SD H (1) OH Þ H trung điểm củ SD Theo c ứ minh AO (1) (2) c ứ Vậy d AC,SD SBD Þ AO OH tỏ OH đoạ vng góc chung củ AC SD OH SB a → C ọ C Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A, D SA vng góc với đáy SA AD a Tính k oả cách iữ AB SC A a B a C Hướ a D a dẫ Ta có: AB / /DC nên AB / / SCD , đó: Trang 12 d AB,SC d AB, SDC Trong mặt p ẳ d A, SCD (SAD) từ A kẻ AH SD, H SD (1) Ta có: DC DC AD ỹ ý ị DC SA ỵ SAD ị DC (1) (2) suy AH AH d AB, SDC AH (2) SCD d AB,SC Xét tam giác SAD vuông A, ta có: 1 + SA AD2 AH Vậy d AB,SC 1 + a2 a2 Þ AH a2 a 2 a 2 → C ọ B t ụ ABC.A¢B¢C¢ có đáy tam giác ABC cân A có AB AC 2a ; Ví dụ 4: Cho k ối lă BC 2a Tam giác A'BC vuông cân A' ằm mặt p ẳ cách iữ đườ t ẳ AA' BC là: A a B a C Hướ Gọi H trung im c c ị AÂH ABC ị AÂH DABC cõn ti A ị AH AÂAH ị BC ị HC HP l ỡHC HC ị ợHC HA HA AÂAH HP HP AB2 - BH 1 + A¢H HA BC 4a2 - 3a2 Xét DA¢HA vuông cân H, đườ HP dẫ HC Xột DAÂBC vuụng cõn ti A ị AÂH HA a vng góc chung củ AA' BC Þ d A¢A, BC Cạ D oả BC A¢A P AÂA ị BC HP a vuụng góc với đáy (ABC) 1 + 2 3a a a a cao HP, ta có: Þ HP 3a2 a Trang 13 Vậy d A¢A, BC a → C ọ D Ví dụ 5: Cho hình lă t ụ đứ ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC tam giác vuông B, AB a 3, BC 2a Gọi M trung điểm củ BC Tính k oả A a 10 10 cách iữ đườ B a C Hướ t ẳ AM B'C biết AA¢ a a 30 10 D 2A dẫ Gọi N trung điểm củ BB' suy MN//B'C Do d AM, B¢C d B¢C, AMN d C, AMN Mà M trung điểm củ BC nên d B, AMN d C, AMN Ta có BA, BM, BN đơi vng góc với Nên 1 + + 2 BA BM BN d B, AMN Mặt khác BM Suy BC 2 d B, AMN Þ d B AMN a, AB a 3, BN 1 + a a + a 30 Þ d AM, B¢C 10 BB¢ ỉ a ỗ ữ ố 2ứ a 10 3a2 a 30 10 → C ọ C Bài tập tự luyện Câu (ID:18905) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình c ữ ật với AC a , BC a Đườ t ẳ SA vng góc với mặt p ẳ đáy Tính k oả cách iữ SD BC A 2a B a Câu (ID :18927) Cho hình lập p ươ t ẳ BC' CD' là: A a B a C ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạ C D a 3a a bằ a oả D cách iữ đườ a Câu (ID :18963) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạ bằ a, SA vng góc với đáy (ABCD), SA a oả cách iữ đườ t ẳ SC BD bằ bao nhiêu? A a B a C a D a Trang 14 Đáp án: 1–D 2–B 3–A Dạng 4: Tính khoảng cách phương pháp sử dụng thể tích Phương pháp giải Ta có hình chóp S.ABC, việc tích t ể tích củ k ối chóp t ực iệ ất dễ dàng (đườ cao từ S xuố mặt đáy (ABC)), ta cầ tính k oả cách từ C đế (SAB) tức tìm c iều cao CE Vì t ể tích củ hình chóp khơng thay đổi dù ta có xem điểm S, A, B, C đỉ ta biết diệ tích k oả ếu cách cầ tìm 3V SDSAB CE P ươ pháp tính CE tính t ể tích lầ ọi p ươ pháp Chú ý: Khi áp dụ p ươ pháp ta cầ cơng t ức tính diệ tích tam giác hay sử dụ : p p-a p-b p-c SDSAB với p chu vi a, b, c kích t ước củ cạ Ví dụ minh họa Ù Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, ABC 30 ; SBC tam giác cạ ặt bên SBC vng góc với mặt đáy Tính theo a k oả cách từ C đế (SAB) A a 39 13 B a 39 39 C Hướ Gọi E trung điểm củ BC SE Ta có BC a Þ AB VS ABC a ; AC 3a a a 2 2 Để tính k oả a 13 13 D a a 13 39 dẫ ABC SE a a t ể tích củ k ối chóp là: a3 16 cách từ C đế (SAB) ta cầ tính diệ tích DSAB ỉ a ổ a ử2 ỗ ữ + ỗ ữ çè ÷ø è ø Ta có: AB a ; SB a; SA SE2 + EA Trang 15 Áp dụ công t ức Heron ta được: SDSAB p p - SA p - SB p - AB với p a+a+ 39 16 a 2 Vậy d C, SAB 3VS.ABC SDSAB a 39 13 → C ọ A Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạ củ S lên mặt p ẳ p ẳ (SBD) (ABCD) trùng với trung điểm củ cạ A a B 2a C Hướ Gọi E trung điểm củ AB SE Ta cầ tính k oả a, SD 3a , hình c iếu vng góc AB Tính theo a k oả cách từ A tới mặt a D 4a dẫ ABC , dùng đị lý Pitago ta tính SE a cách từ A đế (SBD) Ta quan sát hình chóp S.ADB có t ể tích VSABD SE.SABD 1 a a Ta có BD a 2; SD a 3a ; SB a Áp dụ công t ức Heron ta được: SDSBD p p - SB p - SD p - BD với p a 2+ a 3a + a 2 Vậy d A, SBD a3 a2 3VS.ABD SDSBD 2a → C ọ B Ví dụ 3: Cho k ối lă t ụ ABC.A¢B¢C¢ có đáy tam giác cạ (ABC) trung điểm củ cạ cách từ B đế (ACC'A') AB, góc iữ đườ t ẳ a Hình c iếu vng góc củ A' lên A'C mặt đáy bằ 60 Tính theo a k oả Trang 16 A a 13 B 3a 13 C Hướ a 13 13 D 3a 13 13 dẫ Gọi E trung điểm củ AB ( ABC ),60 A' E Ta có CE Þ A¢E a (đườ A' CE cao tam giác đều) tan 60 0.CE Ta cầ tính k oả đế (AA'C) Ù ( A' C , ( ABC )) cách từ B đế (ACC'A') tức từ B ối chóp A'.ABC có t ể tích là: VA¢.ABC 3a a2 a3 ổaử ổ3 ỗ ữ + ỗ aữ ố2ứ è2 ø Ta có AC a; AA¢ Áp dụ SDA¢AC a 10 ; A¢C CE cos60 a công t ức Heron ta được: p p - A¢A p - A¢C p - AC Vậy d B, ACC¢A¢ d B, A¢AC a+ 39 a với p 3VA¢.ABC SDA¢AC a 10 +a 2 13 a 13 → C ọ D Ví dụ 4: Cho hình lă góc 60 Mặt p ẳ theo a k oả A t ụ ABC.A¢B¢C¢ có AC A¢BC a 3; BC Ù 3a; ACB 30 Cạ ABC Điểm H BC, BC 3BH mặt p ẳ bên ợp với mặt đáy A¢AH ABC Tính cách từ B đế (A'AC) 3a B a C Hướ 3a D a dẫ Ta có: ỡ AÂAH ABC ùù ABC AÂBC ù ùợ AÂAH Ç A¢BC A¢H Khi góc iữ cạ bên A'A mặt đáy ABC A' AH tức A' AH Þ A¢H ABC Ù Ù 60 Trang 17 Ta lại có: AH A¢H t ụ là: a AH.tan 600 chóp A'ABC có a ể tích k i l ổ1 a ỗ 3a 3a.sin 30 ữ ố2 ứ VABC.AÂBÂC i AH + CA - 2CH.CA.cos30 9a3 t ể tích là: V ABC.A¢B¢C¢ VA¢ABC 3a Ta tính diệ tích củ DA¢AC Ta có: AC a 3; A¢A 2a; A¢C AH cos60 2a + a 2 a Diệ tích DA¢AC là: p p - A¢A p - A¢C p - AC SDA¢AC Vậy d B, A¢AC 3VA¢.ABC SDA¢AC a2 với p a + 2a + a 3 a → C ọ A Bài tập tự luyện Câu (ID:19090) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạ SA A SB SC SD a oả a a 42 B cách iữ hai đườ C t ẳ a a Các cạ bên AD SB là: D a Ù 60 Câu (ID:19058) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạ a có góc BAD Đườ cách từ O đế mặt p ẳ t ẳ SO vng góc với mặt p ẳ đáy (ABCD) SO 3a oả (SBC) là: A a B 3a C 3a D a Đáp án: 1–C 2–C P Ầ 3: BÀI TẬP TỔ ỢP Câu (ID:18900) Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Qua điểm cho t ước có ất đườ t ẳ vng góc với đườ t ẳ cho t ước B Cho ba đườ t ẳ a, b, c chéo từ đơi Khi ba đườ t ẳ ằm ba mặt p ẳ song song với từ đôi Trang 18 C Đoạ vng góc chung củ hai đườ hai điểm lầ lượt ằm hai đườ D Qua điểm cho t ước có t ẳ t ẳ chéo đoạ ược lại ất mặt p ẳ ắ ất đoạ t ẳ vuông góc với mặt p ẳ ối cho t ước Câu (ID:19080) Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Đườ vng góc chung củ hai đườ t ẳ t ẳ song song với đườ t ẳ B Một đườ t ẳ đườ hai đườ t ẳ vng góc chung củ hai đườ C Đườ vng góc chung củ hai đườ vng góc với đườ t ẳ D Một đườ t ẳ t ẳ đườ t ẳ t ẳ t ẳ P điểm M P , k oả t uộc P N AM cho 2MN NA oả B cách từ N đế a c ứ đườ t ẳ chéo ếu cắt hai đườ cách từ M đế P bằ C Câu (ID:18915) Cho tứ diệ ABCD cạ c ứ đườ chéo ếu vng góc với chéo ằm mặt p ẳ vng góc chung củ hai đườ Câu (ID:18904) Cho mặt p ẳ A chéo vng góc với mặt p ẳ P bằ Lấy A bao nhiêu? D oả cách từ A đế mặt p ẳ BCD bằ bao nhiêu? A 2a B a C 3a D a Câu (ID :18924) Khoảng cách hai cạnh đối tứ diện cạnh a bằng: A 2a B a Câu (ID :18945) Cho hình ộp c ữ Trong kết sau kết sai? C cách từ A đế mặt p ẳ A¢BD bằ B oả cách iữ hai đườ t ẳ BB' DD' bằ C oả cách iữ hai đườ t ẳ AB CC' bằ t ụ có tất cạ đáy bằ 30 Hình c iếu H củ A mặt p ẳ hai đườ t ẳ a a2 + b b a + b + c2 Câu (ID :18946) Cho hình lă A b, AA ' c a + b + c2 oả chéo BD' bằ D 2a ật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có ba kích t ước AB a, DA A D độ dài đườ a bằ a Góc tạo cạ A¢B¢C¢ t uộc đườ bên mặt p ẳ B¢C¢ t ẳ oả cách iữ AA¢ B¢C¢ là: B a C a D a Câu (ID:18955) Cho hình thang vuông ABCD vuông A D, AD 2a Trên đườ góc D với (ABCD) lấy điểm S với SD a Tính k oả cách iữ hai đườ t ẳ t ẳ vuông DC (SAB) Trang 19 A a B a Câu (ID :18959) Cho hình lă bằ 60 , đáy ABC tam giác cạ hình t ụ D bên ợp với đáy a A' cách A, B, C Tính k oả C 2a t ụ tam giác ABC.A1B1C1 có cạ bên bằ oả A a cách iữ hai mặt đáy củ lă B t ụ bằ a a cosa a Các cạ bên củ lă A1B1C1 trung điểm củ bao nhiêu? C a B a tan a Câu 12 (ID :19088) Cho hình ộp c ữ cách iữ AC' CD': A a B D C a sin a a a B bên mặt D a cot a ật ABCD.A¢B¢C¢D¢ có AB AA ' a, AC 2a Tính k oả a C a D Câu 13 (ID:19061) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB SA AB đế (SCD) bằ bao nhiêu? A góc a Câu 11 (ID :19043) Cho hình chóp tứ giác có cạ đáy bằ a góc ợp cạ đáy bằ a oả cách từ tâm củ đáy đế mặt bên bằ : A ữ cách iữ hai đáy củ D t ụ tạo với mặt đáy góc 60 Hình c iếu vng góc củ A lên mặt p ẳ B1C1 2a B a Câu 10 (ID :18983) Cho hình lă a t ụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có cạ A a C a C a 2a a 30 10 oả cách từ đườ t ẳ D a Đáp án: 1–C 2–A 3–A 11 – C 12 – D 13 – B 4–B 5–B 6–A 7–A 8–D 9–A 10 – A Trang 20 ... góc: Cho đườ a thẳ P ,b ch ếu củ a (P) Khi b P a’ hình a¢ b a Hai mặt phẳng vng góc Đị h hĩ : Hai mặt phẳ ọ vng góc vớ ếu góc ữ chúng bằ 90 Các đị h lý: Đị h lý 1: Nếu mặt phẳ đườ thẳ vuông góc. .. thẳ lạ thẳ vng góc vớ hai đườ thẳ vng góc song song vớ đườ B Hai đườ thẳ vng góc vớ đườ thẳ song song vớ C Hai đườ thẳ vuông góc vớ đườ thẳ vng góc vớ D Một đườ thẳ thẳ vng góc vớ hai đườ thẳ... ểm củ cạ h AC, CB, BC’ C’A ứ giác MNPQ hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ hật C Hình vng D Hình thang Câu (ID:19131) Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang vng A D, có AD = CD = a , AB