Bồi dưỡng toán 11 phần quan hệ vuông góc

1.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của SAB.a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG).b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.2.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM).

Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghóa H ÌNH H ỌC 11 Ch ương QUAN HỆ vuông Góc www.saosangsong.com.vn Chương Quan hệ vng góc khơng gian Chương III : QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN §1 Vectơ không gian A Tóm tắt giáo khoa Vectơ , phép tóan vectơ không gian định nghóa hòan tòan giống hình học phẳng chúng có tính chất tương tự Ta xét số tinh chất vectơ không gian Sự đồng phẳng vectơ Định nghóa : Ba vectơ gọi đồng phẳng ba đường thẳng chứa ba vectơ song song với mặt phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng : Định lý : Ba vectơ a , b , c đồng phẳng có số m , n cho c = m a + nb Các số m , n Hệ : Nếu ta coù : ma + nb + pc = ba số m , n , p khác ba vectơ a , b , c đồng phẳng Hệ : Nếu a , b , c ba vectơ không đồng phẳng ma + nb + pc = ta suy m = n = p =0 Định lý : Nếu a , b , c ba vectơ không đồng phẳng d vectơ ta luôn có : d = ma + nb + pc số m , n , p B Giải tóan Dạng tóan : Sử dụng phép tóan vectơ tính chất Cần nhớ : Quy tắc ba điểm : Với ba diểm A , B , C ta coù : AC = AB + BC ; AC = BC − BA I laø trung điểm đọan MN ⇔ IM + IN = ⇔ OM + ON = 2OI , ∀O Ba điểm A , B , C thẳng hàng ⇔ AB = k AC Các công thức tích vô hướng : AB = AB ; a.b = a b cos(a, b) ; a ⊥ b ⇔ a.b = a (b + c) = ab + ac Ví dụ : Cho tứ diện ABCD I , J trung điểm AB CD Chứng minh : IJ = ( AC + AD − AB ) A Giải : Ta có : IJ = AJ − AI ( quy tắc ba điểm ) mà : 1 ( AC + AD ); AI = AB ( quy tắc trung điểm ) nên 2 IJ = ( AC + AD − AB ) AJ = I D B J C www.saosangcong.com.vn Chương Quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Đường chéo AC’ cắt mặt phẳng (A’BD) G1 Chứng minh G1 trọng tâm tagiác A’BD Giải : Gọi G trọng tâm tam giác A’BD , ta cần chứng minh A , G , C’ thẳng hàng G1 trùng với G ( giao điểm đường thẳng AC’ với mặt phẳng ( A’BD)) tóan chứng minh Ta coù : GA ' + GB + GD = ⇔ AG = A D ( AA ' + AB + AD ) maø B AB + AD = AC neân AA ' + AB + AD = AA ' + AC = AA ' + A ' C ' = AC ' Vaäy : AG = AC ' hay ba điểm A , G , C’ thẳng hàng C G' A' D' C' B' Ví dụ : Cho tứ diện ABCD E , F điểm xác định : BE = k BC ; AF = k AD Chứng minh trung điểm đọan AB , CD , EF thẳng hàng Giải : Gọi I , J , K trung điểm AB , CD , EF Ta có ( ) ( ) ( ( ) ID + IC 1 IK = IE + IF = IB + BE + IA + AF 2 = k BC + k AD ( IA + IB = 0) k = IC − IB + ID − IA k = IC + ID ( IA + IB = 0) = k IJ IJ = ( ( A ) ) F I K D B ) E J C Vaäy I , J , K thẳng hàng Ví dụ : Cho tứ diện ABCD coù : AB = 2a ; CD = 2b ; I , J trung điểm AB , CD vaø IJ = 2c M laø điểm Chứng minh : a) MA2 + MB2 = 2MI2 + 2a2 b) MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 4MG2 + 2( a2+ b2+2 c2 ) G trọng tâm tứ diện ) Suy vị trí điểm M để ( MA2+ MB2+ MC2+ MD2) đạt giá trị nhỏ Giải : a) Ta có : MA2 = MA = ( MI + IA) = MI + IA2 + MI IA MB = MB = ( MI + IB ) = MI + IB + 2MI IB MA2 + MB = MI + 2a + 2MI ( IA + IB) (do IA = IB = a ) = 2MI + 2a ( IA + IB = ) b) Tương tự : MC2+ MD2 = 2MJ2 + 2b2 www.saosangcong.com.vn Chương Quan hệ vng góc khơng gian Suy : MA2+ MB2+ MC2+ MD2 = 2( MI2 + MJ2 ) + 2( a2 + b2 ) Maø MI2 + MJ2 = 2MG2+2c2 ( chứng minh tương tự câu a) Vậy : MA2+ MB2+ MC2+ MD2 = 2( 2MG2+ 2c2 ) + 2( a2 + b2 ) = 4MG2 + 2( a2 + b2 + 2c2 ) Do : MA2+ MB2+ MC2+ MD2 ≥ 2(a + b + 2c ) Daáu “=” xảy MG = hay M trùng với G Tóm lại ( MA2+ MB2+ MC2+MD2 ) đạt giá trị nhỏ điểm M trùng với trọng tâm tứ diện A A D N I B C I A' B D' E D J C B' M C' Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, có B’C’ = CD M , N hai điểm lưu động hai cạnh B’C’ vaø CD cho B’M = CN E tâm mặt BCC’B’ I trung điểm MN Biểu thị vectơ EI theo hai vec tơ B ' C ', CD Suy điểm I lưu động đường thẳng cố định Giải : Ta có : B ' M = k B ' C ' ; CN = kCD ( vectơ phương B’M = CN ; B’C’ = CD ) 1 ( EM + EN ) = ( EB ' + B ' M + EC + CN ) = ( B ' M + CN ) ( EB ' + EC = 0) 2 1 = (k B ' C ' + kCD) = k ( B ' C ' + CD) 2 Maø : B ' C ' + CD = BC + CD = BD ⇒ EI = k BD , nên điểm I lưu động đường thẳng qua E EI = song song với BD Dạng tóan : Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Sử dụng định lí Ví dụ : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ M , N trung điểm AD C’D’ Chứng minh ba vectơ MN , AC ', DD ' đồng phẳng A Giải :Ta có : M D 1 1 DD ' = AD ' − AD ; MN = AN − AM = ( AC ' + AD ') − AD = AC ' − DD ' 2 B2 Theo định lý , ba vectơ MN , AC ', DD ' đồng phẳng A' Ví dụ : Cho vectơ a , b , c , d thỏa : ⎧ a + 2b + 3c + 2d = (1) ⎪ ⎨ ⎪2a − 5b − 7c + 7d = (2) ⎩ www.saosangcong.com.vn C D' N B' C' Chương Quan hệ vng góc khơng gian Chứng minh ba vectơ b , c , d đồng phẳng Giải : (1) cho : 2a = −4b − 6c − 4d ; (2) cho :2a = 5b + 7c − d Suy : − 4b − 6c − 4d = 5b + 7c − d ⇔ b = − 13 c+ d Vậy ba vectơ b , c , d đồng phẳng Ví dụ : Cho hai nửa đường thẳng Ax , By chéo M , N hai điểm lưu động Ax By ; E , I trung điểm AB MN Chứng minh điểm I nằm mặt phẳng cố định Giải : Gọi a , b vectơ phương Ax , By , Ta coù : x A EI = M E 1 ( EM + EN ) = ( EA + AM + EB + BN ) 2 ( AM + BN ) ( EA + EB = 0) k k' maø : AM = k a ; BN = k ' b ⇒ EI = a + b Vậy ba vectơ 2 EI , a , b đồng phẳng hay ba đường thẳng E I , Ax , By cuøng song song = I B y N với mặt phẳng hay đương thẳng EI nằm mặt phẳng ( P ) qua E song song với hai dường thẳng Ax , By Vậy điểm I nằm mặt phẳng ( P ) cố định Ví dụ : Cho tứ diện ABCD điểm M , N định : AM = AB − AC (1); DN = DB + xDC ( 2) a) Các điểm M , N thuộc mặt phẳng tứ diện ? b) Định x để đường thẳng AD , BC , MN song song với mặt phẳng Giải : a) ( 1) cho : vectơ AM , AB , AC đồng phẳng Vậy M thuộc mặt phẳng (ABC) (2) cho : 3vectơ DN , DB , DC đồng phẳng Vậy N thuộc mặt phẳng (BDC) b) Ta cần định x để vectơ MN , AD , BC đồng phẳng ( ) cho : ( ) AM = AB − AB + BC = − AB − 3BC (2) cho : AN − AD = AB − AD + x( DA + AB + BC ) ⇔ AN = (1 + x) AB − (1 + x) AD + xBC Suy MN = AN − AM = (2 + x) AB − (1 + x) AD + ( x + 3) BC Vây vectơ MN , AD , BC đồng phẳng + x = hay x = - C Bài tập rèn luyện 3.1 Cho hai tứ diện ABCD , A’B’C’D’ có trọng tâm G , G’ Chứng minh : AA ' + BB ' + CC ' + DD ' = 4GG ' Suy điều kiện để hai tứ diện có trọng tâm www.saosangcong.com.vn Chương Quan hệ vng góc khơng gian 3.2 Cho tứ diện ABCD Tìm quỹ tích điểm M thỏa điều kiện : MA + MB + MC + MD = AB + AC 3.3 Cho tứ dịện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác BCD O trung điểm AG a) Chứng minh hệ thức : 3OA + OB + OC + OD = b) M điểm bất kỳ, chứng minh : 3MA2 + MB + MC + MD = MO + 3OA2 + OB + OC + OD Suy vị trí điểm M để biểu thức ( 3MA2+ MB2 + MC2 + MD2 ) đạt giá trị nhỏ 3.4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành , tâm O I trung điểm SO điểm E thỏa SE = xSC Định x để ba điểm A , E , I thẳng hàng 3.5 Cho tứ diện ABCD M , N lần lựơt trung điểm AB CD P , Q điểm định : BP = k BC ; AQ = k AD Chứng minh ba vectơ MN , MP, MQ đồng phẳng 3.6 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ M , N trung điểm CD DD’ ; G , G’ trọng tâm tứ diện A’D’MN BCC’D’ Chứng minh GG’ song song với mặt phẳng (ABB’A’) Hướng dẫn – Đáp số 3.1 VT = AG + GG ' + G ' A ' + = 4GG ' + (G ' A ' + ) − (GA + ) = 4GG ' 3.2 Goïi G trọng tâm tứ diện E điểm thoûa : AE = AB + AC , G , E cố định Ta có : MG = AE ⇔ GM = AE AE Vaäy quỹ tích M mặt cầu tâm G bán kính phần tư đọan 3.3 a) VT = (OA + OG ) = b) MA2 = MA = ( MO + OA) = MO + OA2 + 2MO.OA VT = MO + 3OA2 + OB + OC + OD + MO(3OA + OB + OC + OD) = VP 1 1 AS + AO = AS + AC 2 SE = xSC ⇔ AE − AS = x( AC − AS ) ⇔ AE = (1 − x) AS + x AC 3.4 AI = ⎧k ⎧ ⎪ = 1− x ⎪k = ⎪ ⎪ AE = k AI ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎪ k =x ⎪x = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 3.5.MN = ( MC + MD) BP = k BC ⇔ MP − MB = k ( MC − MB) ⇔ MP = (1 − k ) MB + k MC MQ = (1 − k ) MA + k MD MP + MQ = (1 − k )( MA + MB) + k ( MC + MD) = k ( MC + MD) (do MA + MB = 0) 2 Suy : MN = MP + MQ k k www.saosangcong.com.vn Chương Quan hệ vng góc khơng gian 3.6.GG ' = AG ' − AG = ( AM + AN + AA ' + AD ' − AB − AC ' − AC − AD ') ⎡1 ⎤ = ⎢ ( AC + AD + AD + AD ') + AA ' − AB − AB + AD + AA ' − AC ⎥ ⎣2 ⎦ ( ) 1 1 1⎛ ⎞ = ⎜ −2 AB + ( AD ' − AC ) ⎟ = − AB + CD ' = − AB + BA ' 2 4⎝ ⎠ Vậy ba dường thẳng GG’ , AB , BA’ song song với mặt phẳng Mà G không thuộc mặt phẳng ( ABB’A’ ) nên GG’ song song với mặt phẳng §2 Hai đường thẳng vuông góc với A Tóm tắt giáo khoa Góc hai đường thẳng : Góc hai đường thẳng D , D’ góc hai đường thẳng d , d’ qua điểm song song với D D’ d d' D Như , để có góc D , D’ ta lấy O thuộc D qua O vẽ d’ song song với D’ O Góc ( D , D’ ) = goùc ( D , d’ ) D' Hai đường thẳng vuông góc với : Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 90o B Giải tóan A Ví dụ : Cho tứ diện ABCD có AB = CD ; E , F trung điểm BC AD Chứng minh : góc (AB , EF) = góc (CD , EF) Giải : Vẽ EG song song với AB , ta có : G trung điểm AC ( EG đường trung bình tam giác ABC ) góc (AB , EF) = góc (EG , EF ) Ta có : goùc (CD , EF) = goùc (FG , EF) ( FG song song với CD ) 1 Ta lại có : EG = FG ( AB = CD ) Suy : tam giaùc GEF 2 F G D B E C caân , : góc (EG , EF) = góc (FG , EF) Vậy góc (AB , EF) = góc (CD , EF) Ví dụ : Cho tứ diện ABCD có : AB = 5cm ; AC = 7cm ; BD = hai đường thẳng BC AD vuông góc 57cm ; CD = 9cm Chứng minh Giải : Ta có : BC AD = BC ( BD − BA) = BC.BD − BC BA Maø : ( CD = CD = BD − BC ) = BD + BC − BC.BD ⇔ BC.BD = www.saosangcong.com.vn ( BC + BD − CD ) Chương Quan hệ vng góc không gian ( BC + BA2 − CA2 ) Suy : 1 BC AD = ( BD + BC − CD ) − ( BA2 + BC − CA2 ) 2 1 = ( BD + AC − CD − AB ) = ( 57 + 49 − 81 − 25 ) = 2 Tương tự : BC.BA = Vậy hai đường thẳng BC AD vuông góc Ví dụ : Cho tứ diện ABCD ( tứ diện có tất cạnh ) , G tâm tam giác BCD a) Chứng minh AG vuông góc với CD b) M trung điểm CD , tính góc AC BM , Giải : a) G trọng tâm tam giác BCD nên : AG = ( ) ( ) AB + AC + AD 2 AG.CD = AG AD − AC = ( AB AD + AC AD + AD − AB AC − AC − AD AC ) = 2 a2 ( AB AD = AC AD = AB AC = a.a.cos 60o = ; AD = AC = a ) ( a cạnh tứ diện ) Vậy AG vuông góc với CD A b) Vẽ MN song song với AC , ta có : N trung điểm AD ( MN đường trung bình tam giác ACD) góc (AC , BM) = góc (MN , BM) Trong tam giác BMN , ta có : MN = a a ( đường cao tam giác ) Định lý ; BM = BN = 2 N D B G cosin cho : cos BMN = BM + MN − BN MN a = = = ⇒ BM MN BM 2.a 2 M C BMN = 73o13' Vậy góc hai đường thẳng AC BM 73o13’ C Bài tập rèn luyện 3.7 Cho tứ diện ABCD có : AB ⊥ CD ; AC ⊥ BD Chứng minh : AD ⊥ BC 3.8 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a vaø : B ' BA = B ' BC = 60o Chứng minh : AB vuông góc với B’C o o 3.9 Cho tứ diện ABCD có : AB = AC = AD = a ; BAC = BAD = 60 ; CAD = 90 Tính góc hai đường thẳng AB DM ( M trung điểm BC ) D Hướng dẫn – Đáp số 3.7 AB.CD + AC.DB + AD.BC = AB AD − AB AC + AC AB − AC AD + AD AC − AD AB = maø : AB.CD = 0; AC DB = Suy : AD.BC = Vậy AD vuông góc với BC www.saosangcong.com.vn Chương Quan hệ vng góc khơng gian 3.8 Tam giác ABB’ tam giác ( tam giác cân có góc 60o) Tương tự , tam giác BB’C o o tam giác Ta có : CB ' AB = CB '.CB − CB '.CA = a.a cos 60 − a.a cos 60 = Vậy AB vuông góc với B’C 3.9 Các tam giác ABC , ABD tam giác Các tam giác ADC , BDC vuông A B Vẽ MN song song với AB , ta có : N trung điểm AC B goùc ( AB , DM) = goùc ( MN , DM) vaø a a2 a MN = ; DM = DN = + a2 = Định lyù cosin cho : M DN2= DM2+MN2 – 2DM MN cosDMN hay cos DMN = MN a ⇒ = = DM 2a 10 A C N DMN = 77o ' D §3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A Tóm tắt giáo khoa Định nghóa : Một đường thẳng gọi vuông góc với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng Định lý : Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Hệ : Qua điểm cho trước , có có mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho sẵn Hệ : Qua điểm cho trước , có có đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho sẵn d P Liên hệ quan hệ song song quan hệ vuông góc đường thẳng mặt phẳng Định lý : Có hai đường thẳng song song , Mặt phẳng vuông góc với hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng Định lý : Có hai mặt phẳng song song Đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Định lý : Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song với Định lý : Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng song song với Định lý : Có đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a a Định lý : Có đường thẳng a mặt phẳng (P) không chứa a Nếu a (P) vuông góc với đường thẳng a (P) song song với d P www.saosangcong.com.vn 10 Chương Quan hệ vng góc khơng gian Định lý ba đường vuông góc a) Phép chiếu vuông góc : Phép chiếu lên mặt phẳng (P) theo phương d vuông góc với (P) gọi phép chiếu vuông góc b) Định lý ba đương vuông góc : Cho đường thẳng a có hình chiếu lên mặt phẳng (P) đường thẳng a’và b đường thẳng nằøm (P) b vuông với a b vuông góc với a’ a a' b P Góc đường thẳng mặt phẳng : Góc đường thẳng d mặt phẳng (P) góc đường thẳng d đường thẳng d’ hình chiếu vuông góc d lên (P) Nếu d vuông góc với (P) góc d (P) 90o- a a' Mặt phẳng trung trực : Mặt phẳng trung trực đọan thẳng mặt phẳng qua trung điểm đọan thẳng vuông góc với đọan thẳng Mặt phẳng trung trực đọan thẳng AB tập hợp điểm cách hai điểm A , B A A P d A M P C B B Trục đường tròn : Trục đường tròn đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn tâm đường tròn Trục đường tròn (ABC) tập hợp điểm cách ba điểm A , B , C B Giải tóan Dạng tóan : Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Ta cần chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD , đáy hình thoi có tâm O SA = SC ; SB = SD Chứng minh SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) Giải : \Ta có : SO ⊥ AC (1) ( tam giác SAC cân , trung tuyến SO S đường cao) SO ⊥ BD (2) ( Tam giác SBD cân , trung tuyến SO đường cao) ( ) vaø ( ) cho : SO ⊥ ( ABCD ) D Ta có : BD ⊥ AC (3) ( đường chéo hình thoi) ( ) vaø ( ) cho : AC ⊥ ( SBD ) C O A www.saosangcong.com.vn B 10 26 Chương Quan hệ vng góc khơng gian (P) cắt mặt (ACC’A’) theo đọan FL ; (P) cắt mặt (BCC’B’) theo đọan IL Thiết diện (P) hình lăng trụ tứ giác EFLI b) F L có hình chiếu xuống (ABC) A C nên tứ giác EFLI có hình chiếu xuống (ABC) tứ giác EACI Ta lại có : AA’và AB’ vuông góc với (ABC) (P) nên : C Góc ( (P) , (ABC) ) = góc ( AB’ , AA’ ) = 450 ( ABB’A’ hình vuông ) Suy ra: S EACI = S EFLI cos 450 ⇔ S EFLI = S EACI 2S = EACI cos 45 a a 7a − = ⇒ 32 32 7a 7a = = 32 16 S EACI = S ABC − S BIE = S EFLI I B A E H C Bài tập rèn lện 3.20 Cho hình vuông ABCD M điểm không nằmtrong mặt phẳng (ABCD) cho góc AMB AMD vuông Chứng minh hai mặt phẳng (MAC) (ABCD) vuông góc 3.21 Cho hình chóp S.ABCD có : ABCD hình chữ nhật ; SH , SK đường cao tam giác SAB SCD ( H thuoäc AB ; K thuoäc CD ) , Chứng minh hai mặt phẳng (SHK) (ABCD) vu6ng góc 3.22 Cho hình chóp S.ABCD , cạnh đáy a ; đường cao hình chóp x a) O tâm đáy , vẽ OH vuông góc với SC ( H thuộc SC ) Chưng minh hai mặt phẳng (SAC) (HBD) vuông góc b) Định x để hai mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với góc 120o 3.23 Cho hình chóp S.ABC có : SA vuông góc với (ABC) ; hai mặt phẳng (SBC) (SAB) vuông góc với Chưng minh hai tam giác ABC SBC tam giác vuông 3.24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên đọan AB’ A’C’ lấy điểm M N cho : AM = C’N = x ( < x < a ) a) Tính đọan MN theo a x Định x để đọan MN nhỏ b) Khi đọan MN nhỏ , chứng minh MN vuông góc với AB’ A’C’ 3.25 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a) Sử dụng định lý ba đường vuông góc , chứng minh AC’ vuông góc với BA’ BD b) (P) mặt phẳng qua trung điểm M BC vuông góc với AC’ Xác định thiết diện (P) với hình lập phương Chứng minh thiết diện qua tâm O hình lập phương tính diện tích thiết diện 3.26 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a , cạnh bên 2a M , N , P nằm AA’ , BB’ , CC’ Tính diện tích tam giác MNP biết a) Mặt phẳng (MNP) tạo với (ABC) góc 600 b) Mặt phẳng (MNP) vuông góc với AB’ 3.27 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Lấy M , N , P caïnh AB , CC’ , A’D’ cho : AM = CN = D’P = 3a a) Chứng minh tam giác MNP tam giác b) Tính góc mặt phẳng (ABCD) (MNP) www.saosangcong.com.vn 26 27 Chương Quan hệ vng góc khơng gian D Hướng dẫn – Đáp số 3.20 Gọi I , J trung điểm AB , AD , ta có : MI = MJ : AI = AJ ; CI = CJ Vậy (MAC) mặt phẳng trung trực IJ Do (MAC) vuông góc với (ABCD) 3.21 SH vuông góc với CD ( SH vuông góc với AB CD song song vớiAB) Do CD vuông góc với (SHK) ( CD vuông góc vớiSH SK) Vậy hai mặt phẳng (AHK) (SAC) vuông góc 3.22 a) BD vuông góc với AC ; BD vuông góc với SO nên BD vuông góc với (SAC) SC vuông góc với BD ; OH vuông góc với SC nên SC vuông góc với (HBD) Vậy hai mặt phẳng (SAC) (HBD) vuông góc S b) HB vuông góc với SC ( HB (SBC) ) HD vuông góc với SC ( HD (SCD) ) Vậy Góc HB , HD góc mặt phẳng (SBC) (SCD) Tam giác HBD cân nên HO phân giác góc BHD Do : BHD = 120 ⇔ BHO = 60 ⇔ cot g BHO = o ⇔ H A o O OH a = ⇔ OH = OB 3 D C B Tam giác vuông SOC cho : 1 1 x2 + a2 a2 x2 = + = 2+ = ⇔ OH = OH OS OC x 2a a2 x2 2x + a2 a2 a2 x2 a2 a ⇔ = ⇔ x2 = ⇔ x= 2x + a 3.23 (ABC) vuông góc với (SAB) ; (SBC) vuông góc với (SAB) Suy : BC vuông góc với (SAB) Vậy hai tam giác ABC SBC vuông B B 3.24 a) Vẽ MK song song với AA’ ( K thuộc A’B’) Suy : MK vuông góc với (ABCD) , ta có : A’K = x ; A’N = ( a – x ) ; KN2 = A’K2 + A’N2 – 2A’K.A’N cos45o M B' = x + ( a − x ) + x − 2ax 2 = x − 6ax + 2a 2 2 MN = MK + KN 2 2 = 6x – 8ax + 3a 2a a a ) + ≥ ( dấu “ = “ xảy x = 3 a A' N 2a A ' K 2a = ; A ' N = (a − ) = = b) x = ; ; A' B ' 3 A'O ' A' K A' N Suy : = A ' B ' A 'O ' = 6( x − 2 C' O' K = ( a – x) + 5x – 6ax + 2a D A 2 = x + ⎡( a − x ) ⎤ − x ( a − x ) ⎣ ⎦ 2 C N A' D' 2a a a 2 : = 3 (O’ tâm hình vuông A’B’C’D’ ) Do : KN song song với B’O nên KN vuông góc với A’C’ Mà KN hình chiếu MN xuống (ABCD) nên MNvuông góc với A’B’ www.saosangcong.com.vn 27 28 Chương Quan hệ vng góc khơng gian M B Ta có : AN = AA '2 + A ' N = a + ( a 2 11a ) = a ⎛ 2a ⎞ 11a +⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Suy : AN = AM + MN C N D A T MN + AM = B' Vậy : MN vuông góc với AB’ Q C' S A' 3.25 a) AC hình chiếu AC’ xuống (ABCD) AC vuông góc với BD nên AC’ vuông góc với BD Tương tự , AC’ vuông góc với BA’ Suy : AC’ vuông góc với (A’BD) D' R b) (P) song song với (A’BD) Tương tự : (P) song song với (CB’D’) Suy : (P) cắt (ABCD) theo MNsong song với BD ; (P) cắt CC’D’D) theo NQ song song với CD’ ; (P) cắt (AA’D’D) theo QR song song với DA’; (P) cắt (A’B’C’D’) theo RS song song với B’D’ ; (P) cắt (ABB’A’) theo ST song song với BA’ ; (P) cắt (BCC’B’) theo TM song song với CB’ Thiết diện lục giác MNQRST Tứ giác MCRA’ hình bình hành nên MR cắt A’C trung điểm O A’C ( tâm hình lập phương ) Tương tự NS , QT qua O tam giác OMN , ONQ , OQR , ORS , OST OTM laø tam giác cạnh a Vậy thiết diện hình lục giác qua tâm O hình lập phương có diện tích : ⎛a 2⎞ 3a 6⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ 3.26 a) Tam giác MNP có hình chiếu xuống mặt phẳng (ABC) tam giác ABC nên : S ABC = S MNP cos 600 ⇔ S MNP = S ABC a2 = cos 600 b) goùc ( ABC , MNP ) = goùc ( AA’ , AB’) cos A ' AB ' = AA ' = AB ' 2a a + 4a 3.27 a) MN = NP = MP = = ⇒ A ' AB ' = 26034 ' a2 9a 26a + a2 + = 16 16 16 D' b) P có hình chiếu P’ AD AP’= 0,25a Tam giác MNP có hình chiếu xuống (ABCD) tam giác MCP’ ( S AMP ' + S BCM + SCDP ' ) ⎛ a 3a a 3a ⎞ 13a = a − ⎜ + a + a ⎟ = 2⎝ 4 4 ⎠ 32 SCMP ' = S ABCD − MN 26a = 4.16 S 13a 64 = ⇒ x = 540 45' cos x = CMP ' = S MNP 32 26a 3 S MNP = C' P N B' A' C D www.saosangcong.com.vn P' A M B 28 29 Chương Quan hệ vng góc khơng gian §5 Khỏang cách A Tóm tắt giáo khoa Khỏang cách từ điểm đến đường thẳng đọan vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng d (O , a ) = OH Khoûang cách từ điểm đến mặt phẳng đọan vuông góc vẽ từ điểm đến mặt phẳng d (O , (P) ) = OH O O H a P H Khỏang cách đường thẳng mặt phẳng song song khỏang cách từ điểm đường thẳng đến mẳt phaúng d ( a , (P) ) = d( O , (P) ) = OH ( a song song với (P) , O thuộc a ) Khỏng cách hai mặt phẳng song song khỏang cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d ((P) , (Q) ) = d( O , (P) ) = OH ( (P) song song với (Q) O thuộc (Q)) a O O Q H H P P Khỏang cách hai đường thẳng chéo đọan vuông góc chung hai đường thẳng b b F E F a E P b' a d ( a , b ) = EF = d ( b , (P) ) ( (P) chứa a song song với b ) EF đọan vuông góc chung a b • Đọan vuông góc chung đường thẳng đọan ngắn nối điểm nằm đường thẳng www.saosangcong.com.vn 29 30 Chương Quan hệ vng góc khơng gian B Giải tóan Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có : tam giác ABC vuông B BC = a ; AC = 2a ; SA vuông góc với (ABC) SA = a a) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) b) D điểm cho ACBD hình thang ( AC song song với BD BD = 3a ) Tính khỏang cách từ D đến (SBC) khỏang cách từ C đến (SBD) Giải : a) Ta có : BC vuông góc với (SAB) ( BC vuông góc với AB SA ) Suy : BC vuông góc với AH đường cao tam giác SAB ( H thuộc SB) Do đùó:ø AH vuông góc với (SBC) ( AH vuông góc với BC SB ) Vậy AH khỏang cách từ A đến (SBC) Tam giác vuông SAB cho : SB = SA2 + AB = a + (4a − a ) = 2a AH SB = AS AB ⇔ AH = AS AB a a = = 2a SB S E H K C A D M B b) AD cắt BC E Vẽ DK vuông góc với (SBC) DK song song với AH E , K , H thẳng hàng ( hình chiếu EDA xuông (SBC) ) Ta coù : DK ED BD 3a 3 3a = = = = ⇔ DK = AH = AH EA AC 2a 2 3a Vậy khỏang cách từ D đến (SBC) DK = Xác định tính khỏang cách từ C đến (SBD) : Vẽ AM vuông góc BD ( M thuộc BD ) vẽ AL vuông góc SM ( L thuộc SM ) Chứng minh tương tự , AL khỏang cách từ A đến (SBD) Mà AC song song với (SBD) ( AC song song với BD ) nên khỏang cách từ C đến (SBD) AL Tam giác vuông SAM cho : AM = a AB = ( BAM = 60o ) 2 a AS AM a a 21 AL.SM = AS AM ⇔ AL = = = = SM 7 3a a + a Ví dụ : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông A ; AB = a ; AC = 2a ; cạnh bên AA’ = 2a a) Tính khỏang cách BC’ AA’ b) * Gọi EF đọan vuông góc chung AA’và BC’, rõ cách vẽ E , F Giaûi : www.saosangcong.com.vn 30 31 Chương Quan hệ vng góc khơng gian a) Ta có : AA’ song song với (BB’C’C) ( AA’ song song với BB’ ) Suy : d ( AA’, BC’) = d ( AA’, (BB’C’C) ) = d ( A’, (BB’C’C ) Vẽ A’H’ vuông góc với B’C’ ( H’ thuôc B’C’) A’H’vuông góc với ( BB’C’C) ( A’H’ vuông góc với BB’và B’C’ ) Vậy A’H’ khỏang cách từ A’ đến (BB’C’C) Tam giác vuông A’B’C’ cho : A' B ' C ' = A ' B '2 + A ' C '2 = a + ( 2a ) = a C' H' A ' B ' A ' C ' 2a 2a A ' H '.B ' C ' = A ' B ' A ' C ' ⇔ A ' H ' = = = B 'C ' a 2a Vaäy : d( AA’, BC’ ) = B' E F C A b) Ta có : EF vuông góc với BB’ ( EF vuông góc với AA’ AA’ song song với BB’ ) Suy EF vuông góc với (BB’C’C) ( EF vuông góc BB’ BC’) B Ta có : EF song song với (A’B’C’) ( EF (A’B’C’) vuông góc với AA’) Gọi F’ hình chiếu F xuông (A’B’C’) hình chíêu A’F’ EF song song với EF Suy : A’F’vuông góc với (BB’C’C) nên trùng với A’H’ hay F’ trùng với H’ * Suy cách xác định E F : Vẽ đường cao A’H’ tam giác A’B’C’ Vẽ đường thẳng d qua H’ vuông góc với (A’B’C’) (d song song với BB’ ) ; d cắt BC’ F ; vẽ FE song với A’H’ ta vị trí E Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD có : đáy hình vuông cạnh a ; SA vuông góc với đáy SA = a ; MN trung điểm AB SC Chứng minh MN đọan vuông góc chung AB SC Tính khỏang cách AB SC Giải : Gọi O tâm hình vuông , ta có : NO song song với SA ( NO đường trung bình tam giác SAC ) Suy : NO vuông góc với (ABCD) Do : MO hình chiếu MN xuống (ABCD) Mà MO vuông góc với AB ( MO song song với BC ) nên MN vuông góc với AB ( định lý đường vuông góc ) S Tam giác vuông MON cho : a 2 2a ⎛a⎞ = ⎟ ⎝2⎠ MN2 = MO2 + ON2 = ( ) + ⎜ N Tam giác vuông SAM cho : 2 ⎛ a ⎞ 5a SM = SA2 + AM = a + ⎜ ⎟ = ⎝2⎠ SA + AC ⎛ SC ⎞ SN = ⎜ = ⎟ = ⎝ ⎠ 2 ( a2 + a D A ) M = B 3a O C Suy : SM2 = SN2 + MN2 Vậy tam giác SMN vuông N Do : MN đọan vuông góc chung AB SC Khỏang cách AB SC đọan MN MN = 2a a = www.saosangcong.com.vn 31 32 Chương Quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 4* : Cho hình chóp S.ABCD có : cạnh đáy 2a ; cạnh bên chứa AB khỏang cách CD (P) a a) Tính góc mặt phẳng (P) (ABCD) b) Xác định thiết diện (P) hình chóp Tính diện tích thiết diện 4a (P) mặt phẳng Giải : a) Xác định khỏang cách CD (P) : Gọi I , J trung điểm AB CD , ta có : AB vuông góc với SI AB vuông góc với IJ Suy : AB vuông góc với (SIJ) Vẽ JH vuông góc với giao tuyến Ix (P) (SIJ) ( H thuộc Ix) JH vuông góc với (P) ( (P) vuông góc với (SIJ) ) S Vậy JH = a khỏang cách từ J đến (P) khỏang cách CD (P) Ta có : IJ vuông góc với AB ; HI vuông góc với AB M (HI trong(P) ; IJ (ABCD) ) K Do : JIH = 30o góc mặt phẳng (P) (ABCD) ( tam giác IJH có JH = a ; LJ = AD = 2a nên nửa tam giác ) b) CD song song với (P) ( CD song song vớiAB ) nên (P) cắt (SCD) theo giao tuyến MN song song với CD Tam giác vuông SIA cho : H N B C J D I A SI = SA − IA = ( a 5) − a = 4a ⇔ SI = 2a 2 2 2 Maø SI = SJ ; IJ = 2a nên SIJ tam giác Suy : góc SIJ 60o nên IH phân giác góc SIJ nên IH trung tuyến , đường cao tam giác SIJ Do : IH qua trung điểm K SJ MN qua trung điểm nên đường trung bình tam giác SCD Vậy MN = a Để ý đường cao IK tam giác SIJ đường cao hình thang ABMN nên 2a = a Vậy diện tích thiết diện : AB + MN a + 2a 3a S ABMN = IK = a = 2 IK = C Baøi tập rèn luyện 3.28 Cho tứ diện ABCD cạnh a Chứng minh AB vuông góc với CD tính khỏang cách AB CD 3.29 Cho hình chóp S.ABCD có : đáy hình vuông cạnh bàng 2a ; SA vuông góc với đáy SA = 3a a) Tính khỏang cách từ C đến (SBD) b) G trọng tâm tam giác SAB (P) mặt phẳng qua G song song với (SBD) Tính khỏang mặt phẳng (P) (SBD) 3.30 Cho hình chóp S.ABCD có : cạnh đáy cạnh bên a a) Tính khỏang cách AB SC b)* Gọi EF đọan vuông góc chung AB SC , xác định rõ vị trí E , F www.saosangcong.com.vn 32 33 Chương Quan hệ vng góc khơng gian 3.31 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với AD BC ( AB = a ; BC = b ; AD = c ) Góc AD BC 60o a) Tính cạnh chưa biết tứ diện tính khỏang cách AB CD b)* Gọi EF đọan vuông góc chung AB CD Xác định điểm E , F D Hướng dẫn – Đáp số 3.28 Gọi E , F trung điểm AB CD , ta có : AB vuông góc với (DEC) ( AB vuông góc vói ED, EC ) Suy : AB vuông góc với CD Ta lại có: ED = EC nên EF vuông góc với CD Vậy EF dọan vuông góc chung AB CD EF2 = DE2 – DF2 = ( AB2 – AE2 ) – DF2 = (a − D F A C a a 2a a )− = ⇔ EF = 4 2 2 E B S 3.29 a) BD vuông góc với (SAC) Vẽ AH , CK vuông góc với SO ( H , K thuộc SO ) AH = CK khỏang cách từ A , C đến (SBD) Tam giác vuông SAO cho : E E' M 1 1 3a 22 = + = + ⇔ AH = 2 AH AS AO 9a 2a 11 H G A b) (P) caét (SAB) theo GE song song với SB ( E thuộc SA ) Vẽ EE’ vuông góc với SO ( E’ thuộc SO ) EE’ khỏang cách từ E đến (SBD) khỏang cách mặt phẳng (P) B K (SBD) F 3.30 a) Gọi I , J trung điểm AB CD , ta có : AB vuông góc với (SIJ) Vẽ IK vuông góc với SJ IK vuông góc với (SCD) ( K thuộc SJ ) IK = d ( I , (SCD) ) = d ( AB , SC ) Ta cuõng coù : a ; SO = SA2 − OA2 = SO.IJ a.a = IK SJ = SO.IJ ⇔ IK = SJ a a 2 a = 3 K B C E J I D b) EF vuông góc với (SCD) EF song song với (SIJ) nên hình chiếu EF xuống (SIJ) song song với EF Mà hình chiếu E xuống (SIJ) I nên hình chiếu F xuông (SIJ) K Suy cách xác định E , F : Qua K vẽ d song song với CD ( d vuông góc với (SIJ) ) ; d cắt SC F Vẽ FE song song với IK ( E thuộc AB ) EF đường vuông góc chung AB SC 3.31 Vẽ BD’ song song AD : góc CBD’ 600 ; DD’ vuông www.saosangcong.com.vn C S EE ' SE MG 1 a 22 = = = ⇔ EE ' = AH = AH SA MA 3 11 SI = SJ = D O A D A E F D' B H C 33 34 Chương Quan hệ vng góc khơng gian góc với (BCD’) a ) AC = AB + BC = a + b BD = AB + AD = a + c CD '2 = BC + BD '2 − BC.BD 'cos 60o = b + c − bc CD2 = CD’2 + DD’2 = a2 + b2 + c2 – bc d ( AB , CD ) = d ( AB , (CDD’) ) = d ( B , (CDD’) ) = BH với BH vuông góc với CD’ H thuộc CD’ BH CD’ = BC BD’ sin60o ( = 2SBCD’ ) => BH = bc b + c − bc b) Lý luận tương tự , ta xác định E , F : vẽ HF song song AB ( F thuộc CD ) ; vẽ FE song song BH ( E thuoäc AB ) EF đọan vuông góc chung AB CD TRẮC NGHIỆM CUỐI CHƯƠNG A Câu hỏi Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ ; O tâm mặt bên BCC’B’ Nếu ta có : AO = x AB + y AC + z AA ' x : a) 0,5 b) – c) d) đáp số khác Cho tứ diện ABCD , G trọng tâm tam giác BCD I trung điểm BG Nếu ta có : AI = x AB + y AC + z AD ( x + y + z ) baèng : a) b) c) d) đáp số khác Cho hình lâp phương ABCD.A’B’C’D’ , cạnh a G trọng tâm tam giác A’BC Thế ( 3AG2 ) baèng : a) a2 b) 2a2 c) 4a2 d) đáp số khác Cho tứ diện ABCD điểm M định : AM = x AB + AC + AD Điểm M thuộc mặt phẳng (BCD) x baèng : a) b) c) – d) đáp số khác Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a ; I trung điểm BC M điểm định : A' M = x A ' B ' + y A ' D Nếu đường thẳng AI A’M vuông góc x , y thỏa hệ thức ? a) 2x + y = b) x + 2y = c) 2x – y = d) x – 2y = Cho tứ diện ABCD coù : AB = AC = BD = a ; tam giác BCD vuông B Nếu góc AC BD 60o góc AB BD bằøng độ ? a) 30o b) 60o c) 90o d) đáp số khác Cho hình chóp S.ABC có : SA vuông góc với (ABC) ; AB = x ; AC = x + ; BC = x+2 ( đơn vị chiều dài ) AB vuông góc với (SAC) x : a) b) c) d) đáp số khác www.saosangcong.com.vn 34 Chương Quan hệ vng góc khơng gian 35 Cho tứ diện ABCD có : AB AC = AB AD ≠ Câu ? a) AC BD vuông góc b) AD BC vuông góc c) AB CD vuông góc d) cặp cạnh tứ diện vuông góc Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Trong đường thẳng , đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (A’BD) ? a) AD b) AD’ c) AB’ d) AC’ 10 Cho hình chóp S.ABC có : Hai mặt phẳng (SAB) (ABC) vuông góc Chân đường cao hình chóp nằm đâu ? a) đường thẳng BC b) đường thẳng AC c) đường thẳng AB d) miền tam giác ABC 11 Cho tứ diện ABCD có : hai mặt phẳng (ABC) (ABD) vuông góc với (BCD) Hệ thức luôn ? b) AC2 + BD2 = AB2 + CD2 a) AC2 + BD2 = AD2 + BC2 2 2 c) AD + BC = AB + CD d) BC2 + BD2 = CD2 12 Một hình chóp tứ giác có : cạnh đáy a ; cạnh bên b ; đường cao hình chóp h Hệ thức a , b , h ? a) b2 = 2h2 + a2 b) 2b2 = 2h2 + a2 c) b2 = h2 + 2a2 d) b2 = h2 + a2 13 Cho hình chóp S.ABC có : ABC tam giác vuông A ; SA = SB = SC = 3a ; đường cao hình chóp a Cạnh lớn tam giác ABC gần giá trị ? a) 2,8a b) 5,2a c) 5,4a d) 5,6a 14 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có : ABCD hình vuông ; đường chéo AC’= 20cm ; AC’ tạo với đáy (ABCD) góc 30o Diện tích hình vuông ABCD : b) 100cm2 c) 125cm2 d) đáp số khác a) 75cm2 15 Cho hình chóp tam giác S.ABC có mặt bên tạo với đáy góc 300 Nếu diện tích mặt bên hình chóp 30cm2 diện tích đáy gần giá trị ? b) 72cm2 c) 75cm2 d) 78cm2 a) 26cm2 16 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có : ABC tam giác cạnh a ; tam giác A’AB tam giác ; mặt phẳng (ABC) (AA’B’B) vu6ng góc Khỏang cách mặt phẳng (ABC) (A’B’C’) gần giá trị ? a) 0,5a b) 0,75a c) 0,85a d) 0,90a 17 Hình chóp S.ABCD có : ABCD hình vuông cạnh 2a ; SA vuông góc với (ABCD) SA = x ; M , N trung điểm AB SC Nếu MN đọan vuông góc chung AB SC x : a) 0,5a b) a c) 1,5a d) đáp số khác 18 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Trong mặt phẳng , mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (A’BD) ? a) (A’B’CD) b) (C’BD) c) (A’C’B) d) (A’C’CA) 19 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ M trung điểm AA’ Góc mặt phẳng (ABCD) (MBD) gần góc ? www.saosangcong.com.vn 35 36 Chương Quan hệ vng góc khơng gian a) 35o b) 42o c) 50o d) 60o 20 Cho hình chóp cụt ABC.A’B’C’ M, N , P trung điểm AA’ , BB’ , CC’ Nếu diện tích tam giác ABC , A’B’C’ 36cm2 , 16cm2 diện tích tam giác MNP : b) 26cm2 c) 27cm2 d) đáp số khác a) 25cm2 21 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ , cạnh a Khỏang cách đường thẳng AD’ A’B’ gần gía trị nhaát ? a) 0,68a b) 0,70a c) 0,72a d) 0,73a 22 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , cạnh đáy a , diện tích mặt bên 0,75a2 Góc mặt bên tạo với đáy gần góc ? a) 700 30’ b) 710 c) 71030’ d) 720 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, cạnh a , M, N , P trung điểm BC , CC’ , a2 góc mặt phẳng (MNP) (ABCD) gần A’D’ Biết diện tích tam giác MNP bằng góc ? a) 500 b) 520 c) 540 d) 560 24 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy cạnh bên a M , N trung điểm AC CC’ Hình chiếu tam giác BMN xuống măt phẳng (BCC’B’) có diện tích ? a) a2 b) 3a 16 c) 3a d) moät đáp số khác 25 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ , cạnh a M , N , P trung điểm AB , AD , DD’ Biết góc mặt phẳng (MNP) (ABCD) có cosin , diện tích tam giác MNP ? a) a2 b) a2 c) a2 d) đáp số khác B Đáp án 1a 11a 21b 2b 12b 22a 3b 13d 23c C Hướng dẫn ( ( 4c 14d 24b ) 5a 6b 15d 16c 25d ( ) 7b 17b 8c 18d 9d 19a 10c 20a ) 1 AB + AC ' = AB + AC + AA ' ⇒ x = 2 1 1 2(b) AG = AB + AC + AD ; AI = AB + AG = AB + AC + AD 3 3 1(a) AO = ( ) Vaäy :( x + y + z ) = www.saosangcong.com.vn 36 37 Chương Quan hệ vng góc khơng gian ( ) ( ) 1 AA ' + AB + AC = AA ' + AB + AB + AD 3 AG = AG = ( AA '2 + AB + AD ) (do AA ' AB = AA ' AD = AB AD = 0) 2 = ( a + 4a + a ) = a ⇒ AG = 2a 4( c) Điểm M thuộc (BCD) vectơ BM , BC , BD đồng phẳng hay : 3(b) AG = BM = mBC + nBD Theo hệ thức xác định M , ta coù : BM − BA = x AB + BC − BA + BD − BA ⇔ ( ) ( ) BM = BC + 3BD + (− x − 4) BA Vậy M thuộc (BCD) – x – = hay x = ( ) ( ) 1 AB + AC = AB + AB + AD = AB + AD 2 A ' M = x A ' B ' + y A ' D = x AB + y ( A ' A + A ' D ') 5(a) AI = 2 ya ( AB AD = AB A ' A = AD A ' D ' = 0; AB = AD A ' D ' = AB = a ) AI ⊥ A ' M ⇔ AI A ' M = ⇔ x + y = AI A ' M = xa + 6(b) Gọi x góc vectơ AC , BD Ta lại có : AC.BD = ( AB + BC ).BD = AB.BD ( BC.BD = 0) cos x = AC.BD AB.BD a.a cos( AB, BD) 1 = = = cos( AB, BD) = (hay − ) AC.BD AC.BD a.a 2 Vaäy góc đường thẳng AB BD 60o ( x = 600 hay x = 1200 ) 7(b) AB vuông góc với SA nên AB vuông góc với (SAC) AB vuông góc với AC hay AC2 + AB2 = BC2 hay x2 + ( x + )2 = ( x + ) Suy : x2 – 2x – = Vaäy x = ( x = AB > 0) 8( c) AB AC = AB AD ⇔ AB.( AD − AC ) = ⇔ AB.CD = Vậy : AB vuông góc với CD 9(d ) AD’ hình chiếu AC’ xuống (ADD’A’) , AD’ vuông góc với A’D nên AC’ vuông góc với A’D Tương tự AC’ vuông góc với A’B Vậy AC’ vuông góc với (A’BD) 10(c ) Vẽ SH vuông góc với AB ( H thuộc AB) SH vuông góc với (ABC) ( (SAB) vuông góc với (ABC) ) Vậy SH đương cao hình chóp Do chân đường cao cúa hình chóp thuộc đường thẳng AB 11(a) AB vuông góc với (BCD) ( giao tuyến mặt phẳng vuông góc với (BCD) Do : AC2 – BC2 = AB2 = AD2 – BD2 hay : AC2 + BD2 = AD2 + BC2 12(b) Gọi O tâm hình vuông đáy ABCD S đỉnh hình chóp , www.saosangcong.com.vn 37 38 Chương Quan hệ vng góc khơng gian Tam giác vuông SOA cho : SO2 = SA2 – OA2 ⇔ h = b − ( a 2 ) ⇔ 2b = 2h + a 2 13(d) Vẽ đường cao SH hình chóp : SH vuông góc với (ABC) Ta có : HA = HB = HC ( tam giác vuông SHA , SHB , SHC ) nên H tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC , nghóa H trung điểm BC Mà BC cạnh lớn BC = HB = SB − SH = 9a − a = 4a 5, 65a 14(d) AC hình chiếu AC’ xuống mặt phẳng đáy (ABCD) nên góc C’AC góc tạo AC’ đáy (ABCD) : A' D' C' B' C ' AC = 30o A AC = AC 'cos 30 = 20 = 10 2 AB = AC =5 S ABCD = AB = 150cm o D B C S 15(d) Gọi I trung điểm BC , ta có : SI vuông góc với BC ; AI vuông góc với BC ( O thuộc AI ) Góc SIO góc mặt bên tạo với đáy SIO = 30o O 30 = 15 = 45 3cm 77,9cm SOBC = S SBC cos 300 = S ABC = 3SOBC a B' C' A' 0,866a gần với 0,85a 17(b) ( xem hình ví dụ , phần khỏang cách ) MN2 = MO2 + ON2 = a2 + x2 SM2 = SA2 + AM2 = 4x2 + a2 ( ) C B I 2 x + 2a ⎛ SC ⎞ SN = ⎜ = x + 2a ⎟ = ⎝ ⎠ 2 SM = SN + MN ⇔ x + a = a + x + x + 2a ⇔ x = a I B 16(c ) VẽA’I vuông góc vớiAB ( I thuộc AB ) A’I vuông góc với (ABC) Suy A’I khỏang cách từ A’ đến (ABC) , khỏang cách mặt phẳng (ABC) (A’B’C’) A’I đường cao tam giác A’AB nên : A' I = C A A 18(d) Ta có: AC’ vuông góc (A’BD) nên mặt phẳng (A’C’CA) (A‘BD) vuông góc 19(a) Ta có : MO AO vuông góc với BD ( MO (MBD) AO (ABCD) ) neân góc MOA góc mặt phẳng (MBD) (ABCD) tan MOA = MA a = AO a =>MOA = 35o15' (gần góc 35o ) www.saosangcong.com.vn 38 39 Chương Quan hệ vng góc khơng gian 20(a) Gọi a , b , x diện tích tam giác ABC , A’B’C’ , MNP S đỉnh hình chóp chứa hình chóp cụt ABC.A’B’C’ , ta có: 2 2 x ⎛ SM ⎞ ⎛ SA + SA ' ⎞ 1⎛ SA ⎞ ⎛ a⎞ =⎜ ⎟ ⇒ ⎟ =⎜ ⎟ = ⎜1 + ⎟ = ⎜1 + b ⎝ SA ' ⎠ ⎝ SA ' ⎠ ⎝ SA ' ⎠ 4⎜ b⎟ ⎝ ⎠ x 1⎛ a + b ⎞ 1 = ⎜ a+ b = 36 + 16 = ⇔ x = 25cm ⎟⇔ x = ⎜ ⎟ b 2⎝ 2 b ⎠ ( ) ( ) ( tỉ số diện tích tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng ) A' 21(b) Ta có : A’O’vừa vuông góc với AD’ A’B’ nên đọan vuông góc chung AD’ A’B’ A 'O ' = a 2 C' D' B' O' D 0, 707 a Ta nhận định : d (AD’, A’B’) = d( A’B’, (ABC’D’) ) = A’O’ C B A 22(a) Hình chiếu mặt bên xuống mặt đáy tam giác phần tư hình vuông Gọi x góc hợp mặt bên đáy , ta coù : SD 0, 25a cos x = = = ⇒x S MB 0, 75a 70031' ( theo định lý diện tích chiếu ) 23(c ) Tam giác MNP có hình chiếu xuống mặt phẳng (ABCD) tam giác MCP’ 1 a a2 S MCP ' = MP '.MC = a = 2 2 S a a cos x = MCP ' = : = ⇒x S MNP 4 P B' N A' 540 45' D ( x góc tạo (MNP) (ABCD) ) 24 (b ) Vẽ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC ) AH vuông góc với (BCC’B’) ( AH vuông góc với BC BB’) Vè MK vuông A góc với BC ( K thuộc BC ) MK vuông góc với (BCC’B’) : K hình chiếu M xuống ( BCC’B’) Vậy hình chiếu tam giác BMN B A xuống mặt phẳng (BCC’B’) tam giác BNK 1 a 3a 3a S BNK = NC.BK = = 2 16 M K C 25(d) Tam giác MNP có hình chiếu xuống mặt phẳng (ABCD) tam giác DMN C' D' H C M P' B A N D M C B P A' D' N A' B' B' C' C' www.saosangcong.com.vn 39 Chương Quan hệ vng góc không gian 40 1 a a a2 S DMN = MA.DN = = 2 2 S MNP a2 = S DMN ⇒ S MNP = S DMN = www.saosangcong.com.vn 40 ... CD vuông góc với SA ; CD vuông góc với AC 3 .11 a) BC vuông góc với AI ; BC vuông góc với DI b) AH vuông góc với BC ; AH vuông góc với DI A B www.saosangcong.com.vn D C 17 18 Chương Quan hệ. .. BD vuông góc với AC ; BD vuông góc với SO nên BD vuông góc với (SAC) SC vuông góc với BD ; OH vuông góc với SC nên SC vuông góc với (HBD) Vậy hai mặt phẳng (SAC) (HBD) vuông góc S b) HB vuông. .. (P) , AB vuông góc với BC nên BC vuông góc với SB Tam giác SBC vuông B AH vuông góc với (SBC) ( AH vuông góc với SB BC ) Suy : tam giác AHK vuông H b) SC vuông góc với (AHK) ( SC vuông góc với