Chuyên đề So sánh trong bồi dưỡng học sinh giỏi giới thiệu đến các bạn cách nhận diện phương pháp so sánh lũy thừa và các dạng toán so sánh lũy thừa. Mời các bạn cùng tham khảo!
HSG TOÁN CHUYÊN ĐỀ SO SÁNH A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH LŨY THỪA I Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. - Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn. a m a n a m n - Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn ) thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn. an bn n a b II Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân a b và b c thì a c a.c b.c c a b II CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa. Dạng III BÀI TẬP Bài 1: So sánh các số sau đây: a) 1619 và 25 c) 2711 và 818 e) 7.213 và 216 b) 523 và 6.5 22 d) 625 và 125 f) 19920 và 200315 Phân tích: Đưa cả hai lũy thừa về cùng cơ số, so sánh hai số mũ, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn. Lời giải a) 1619 và 25 TOÁN Ta có: 1619 (24 )19 276 và 825 (23 )25 275 nên 1619 825 (vì 276 275 ) b) 523 và 6.5 22 Ta có: 523 5.522 6.522 nên 6.522 523 c) 2711 và 818 Ta có: 2711 (33 )11 333 và 81 (34 )8 332 nên 2711 818 (vì 333 332 ) d) 625 và 125 Ta có: 6255 (54 )5 520 và 125 (53 )7 521 nên 6255 1257 (vì 520 521 ) e) 7.213 và 216 Ta có: 216 23.213 8.213 7.213 nên 7.213 216 f) 19920 và 200315 Ta có: 19920 20020 (8.25)20 (23.52 )20 260.540 và 200315 200015 (16.125)15 (24.53 )15 (24.53 )15 260.545 nên 19920 200315 ( vì 260.540 260.545 ) Bài 2: So sánh các số sau đây: và 35 21 e) 230 330 430 và 3.2410 a) 5100 và 500 c) b) 39 và 1121 d) 2n và 3n n * f) 111979 và 371320 Phân tích: Đưa cả hai lũy thừa về cùng số mũ, so sánh hai cơ số, lũy thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn. Lời giải a) 5100 và 500 HSG TỐN Ta có: 5300 (53 )100 125100 và 3500 (35 )100 243100 nên 5300 3500 (vì 125 243 125100 243100 ) b) 39 và 1121 Ta có: 3 39 340 (34 )10 8110 và 1121 1120 (112 )10 12110 nên 339 1121 (vì 8120 12110 ) c) và 35 21 Ta có: 221 (23 )7 87 và 535 (55 )7 31257 nên: 221 535 ( do 87 31257 ) Suy ra: 1 35 21 d) 2n và 3n n * Ta có: 32n 32 9n và 23n 23 8n nên: 32n 23n (vì 9n 8n ) n n e) 230 330 430 và 3.2410 Ta có: 430 230.230 (23 )10 (22 )15 810.415 810.315 810.310.3 (8.3)10 2410.3 nên: 230 330 430 3.2410 f) 111979 và 371320 Ta có: 111979 111980 113 660 1331660 và 371320 372 nên 111979 371320 (vì 1331660 1369660 ) 660 1369660 TOÁN Bài 3: So sánh các số sau: a) A 7245 7244 và B 7244 7243 b) 9920 và 999910 c) 1010 và 48.50 e) 291 và 35 d) 10750 và 7375 f) 199010 19909 và 199110 Lời giải a) A 7245 7244 và B 7244 7243 Ta có: A 7244 72 1 7244.71 B 7243 72 1 7243.71 nên A B b) 9920 và 999910 Ta có: 992 99.101 9999 992 10 9999 10 nên: 9920 999910 c) 1010 và 48.50 Ta có: 1010 210.510 2.29.510 và 48.505 3.24 25.510 3.29.510 suy ra: 1010 48.505 (vì 2.29.510 3.29.510 ) nên: 1010 48.505 d) 10750 và 7375 Ta có: 107 50 10850 4.27 2100.3150 50 và 7375 72 8.9 2225.3150 75 75 HSG TOÁN nên: 10750 7375 ( vì 2100.3150 2225.3150 ) e) 291 và 35 Ta thấy: 291 290 25 3218 18 và 535 536 52 2518 18 nên: 291 535 (do 291 3218 2518 535 ) f) 199010 19909 và 199110 Ta có: 199010 19909 19909 1990 1991.19909 và: 199110 1991.19919 nên 199009 199010 199110 (do 19909 19919 ) Bài 4: So sánh các số sau a) 11022009 11022008 và 11022008 11022007 b) A 20072007 20072008 và B 20082009 Lời giải a) 11022009 11022008 và 11022008 11022007 Ta có: 11022009 11022008 11022008 1102 1 11022008.1101 và 11022008 11022007 11022007 1102 1 11022007.1101 suy ra: 11022008.1101 11022007.1101 TOÁN nên: 11022009 11022008 11022008 11022007 b) A 20072007 20072008 và B 20082009 Ta có: A 2007 2007 2007 2008 2007 2007 2007 2008.20072007 và B 20082009 2008.20082008 suy ra: 2008.20072007 2008.20082008 20072007 20082008 nên A B Bài 5: Chứng tỏ rằng : 527 263 528 Lời giải Ta có: 263 27 1289 và 527 53 1259 nên 263 527 (vì 1259 1259 ) 9 mà 263 29 5127 và 528 54 6257 nên 263 528 (vì 5127 6257 ) 7 Nên: 527 263 528 Bài 6: Chứng minh rằng: a) 21993 7714 b) 21995 5863 Lời giải a) 21993 7714 Ta có: 214 16384 75 16807 và: 1993 9965 714 9996 nên 21993 214 = 14 90 90 1993 14 Vậy: 21993 7714 714 7114 HSG TOÁN b) 21995 5863 Ta có: 215 32468 57 78125 và: 1993 13951 863 12945 nên 21995 215 = 15 105 105 1995 15 57 863 5863 Vậy: 21995 5863 Bài tập 7: Viết theo từ nhỏ đến lớn: 2100 ; 375 và 50 Lời giải Ta có: 2100 (24 )25 1625 25 75 75 27 2100 550 375 550 (52 )25 2525 Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với 1 số (so sánh hai biểu thức lũy thừa) Bài 1: So sánh biểu thức A 1315 1316 B 1316 1317 Lời giải Ta có: 13A 13B Vì 13.(1315 1) 1316 13 1316 12 12 16 16 16 16 13 13 13 13 1316 13.(1316 1) 1317 13 1317 12 12 17 17 17 17 17 13 13 13 13 13 12 12 12 12 nên 13A 13B 16 16 17 13 13 13 13 17 Vậy A B Bài 2: So sánh biểu thức A 10100 1098 B và 1099 1097 Lời giải TỐN Ta có: 10100 10100 10 9 A 100 99 100 10 10.(10 1) 10 10 10 10 1098 1098 1098 10 9 B 98 97 98 98 10 10.(10 1) 10 10 10 10 10 10 Vì 9 9 98 98 nên 100 10 10 10 10 10 10 10 10 100 Vậy A B Bài 3: So sánh biểu thức A 1920 1921 và B 1020 1021 Lời giải Ta có: A 1920 1920 13 13 20 20 20 19 19 19 B 1921 1921 13 13 21 21 21 19 19 19 Vì 13 13 13 13 21 21 nên 20 19 19 19 19 20 Vậy A B Bài 4: So sánh biểu thức A 33.103 3774 B 3 5217 5.10 7000 Lời giải Ta có: A và: B 33.10 33.103 103.33 33 3 3 5.10 7000 8.5.10 7.10 10 (40 7) 47 3774 33 5217 47 Vậy A B HSG TOÁN Bài 5: So sánh biểu thức A 1 1 và B 2 1002 Lời giải Ta có: 1 1 2.1 2 1 1 2.3 3 1 1 3.4 4 ……………… 1 1 99.100 99 100 100 Lấy vế cộng vế ta có A 1 1 1 1 1 1 99 1 1 2 2 3 99 100 100 100 100 Vậy: A B Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừ tìm cơ số (số mũ) chưa biết Bài Tìm x biết 25 5x 125 Lời giải Ta có: 25 5x 3125 52 5x 55 x . Do x nên x 3; 4 . Bài Tìm x biết 27 9x 81 Lời giải Ta có: 27 9x 243 33 32x 35 2x . TOÁN Do x 2x nên 2x x . Vậy x Bài Tìm x biết 16x 1284 Lời giải Ta có: 16x 24 x ; 128 27 228 x Do 16x 1284 nên 24x 228 4x 28 x . mà x x 0;1;2; 3; 4; 5; 6 . Bài Tìm x biết 364 x 48 572 Lời giải Ta giải 364 x 48 và x 48 572 Ta có x 48 364 x 34 x 81 x (1) 16 x 48 572 x 24 16 53 24 x 125 11 x 11 (2) Từ (1) và (2) suy ra x 11 Vì x x 5, 6, 7, 8, 9,10 . Bài 5. 18 Tìm x biết 5x 5x 1 5x 2 100 0 : 18 so Lời giải Ta có: 18 5x 5x 1 5x 2 100 0 : 18 so 5 x+3 18 18 10 : 10 HSG TOÁN Giá trị lớn nhất của A là 2018 khi a 1; 2; ;9 ; b c (Hai ý b,c này thầy cơ tự chuyển nha, GV tách nhầm chun đề rồi) Bài 152 (Đề thi HSG huyện BÌNH THUẬN 2018-2019) So sánh: 36 25 và 2536 Lời giải 25 36 25 18.2 1825.2 25 1825.2 6.219 2536 2525.2511 2525.522 2525.53.519 53 125; 26 64 53 26 2525 1825 ;519 219 2525.53.519 1825.26.219 hay 3625 2536 Bài 153 (Đề thi HSG TP BUÔN MÊ THUỘC 2019-2020) 1 1 Chứng minh rằng: 2n Lời giải Ta có: A A 1 1 2 2n 2.2 2.3 2.4 2.n 1 1 1 A 2 n 1.2 2.3 n 1 n 1 1 1 1 A 1 2 n 1 n 1 A 1 (dfcm) n Bài 154 (Đề thi HSG HUYỆN LÂM THAO 2019-2020) Cho M a b b c a c a Trong đó b, c cịn a là một số ngun âm. Chứng minh rằng biểu thức M ln dương và tìm tất cả các cặp số ngun sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng. Lời giải M a mà a là số nguyên âm nên M luôn dương x 0, y hoặc x 2, y (câu này cũng nhầm vị trí) Bài 155 (Đề thi HSG TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA 2018-2019) Cho biết S 1 1 91 Chứng minh rằng S 101 102 130 330 91 TOÁN Lời giải 91 330 1 1 1 S 110 111 120 121 130 101 102 *Chứng minh S 1 1 1 S 100 100 100 110 110 120 120 1 1 1 181 182 91 S 10 10 10 100 110 120 10 11 12 660 660 330 91 S (1) 330 *Chứng minh S 1 1 S 110 120 120 130 130 110 1 1 1 S 10 10 10 110 120 130 11 12 13 431 429 S S (2) 1716 1716 91 Từ (1) và (2) S 330 Bài 156 (Đề thi HSG huyện HOÀI NHƠN 2018-2019) 1930 1931 So sánh M và N biết: M 31 ; N 32 19 19 Lời giải 19 1930 1931 95 1930 90 M 31 19M 31 31 31 19 19 19 19 31 19 19 1932 95 1931 90 N 32 19 N 32 32 32 19 19 19 19 90 90 90 90 31 32 19M 19 N 1931 1932 19 19 Vậy M N Bài 157 22 51 a)So sánh : 45 101 2009 2009 20092010 b)So sánh : A và B 2009 2010 20092011 Lời giải a) 22 22 51 51 22 51 22 51 45 44 102 101 45 101 45 101 92 HSG TOÁN 2009 2010 1 2009 2011 2009 2010 2009 2010 2011 20092010 2009 B 20092011 2009 2011 2011 20092011 2009 2009 20092009 1 20092009 A 2010 2009 20092010 1 2009 b) B Vậy B A Bài 158 (Đề thi HSG huyện Vĩnh Tường 2019-2020) Hãy so sánh : 1234567899 và 9123456789 Lời giải 10 9123456789 9100.000.000 8150.000.000 1050.000.000 10100 1010 1234567899 Bài 159 (Đề thi HSG huyện Vĩnh Tường 2019-2020) Cho a, b là các số nguyên dương. Chứng minh rằng a b 2 b a Lời giải Khơng mất tính tổng qt giả sử a b a b m, m a b bm b m b m b 1 1 2 b a b bm b bm bm bm Bài 160 (Đề thi HSG huyện 282 năm học 2018-2019) So sánh: a)A 20132013 131313 với B b)C 20139 201310 với D 201410 20142014 141414 Lời giải 2013.10001 2013 13.10101 13 ;B 2014.10001 2014 14.10101 14 2013 13 1 A 1 ; 1 B 1 2014 2014 14 14 1 Do 1 A 1 B A B 2014 14 a) A b) C 20139 1 2013 20139.2014 D 20149.2014 2013 2014 C D Bài 161 (Đề thi HSG 6) 3 3 Cho S = . Chứng minh rằng : 1 (1) 10 11 12 13 15 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 15 20 => S 1