Chuyên đề So sánh học sinh giỏi Toán lớp 6

Chuyên đề So sánh trong bồi dưỡng học sinh giỏi giới thiệu đến các bạn cách nhận diện phương pháp so sánh lũy thừa và các dạng toán so sánh lũy thừa. Mời các bạn cùng tham khảo!

HSG TOÁN CHUYÊN ĐỀ SO SÁNH A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH LŨY THỪA I Phương pháp 1: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số  hoặc cùng số mũ.  - Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (lớn hơn  ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.    a m  a n    a     m  n   - Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (lớn hơn  )  thì lũy thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.    an  bn n     a  b   II Phương pháp 2: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân  a  b  và  b  c  thì a  c     a.c  b.c c     a  b   II CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: So sánh hai số lũy thừa.  Dạng III BÀI TẬP Bài 1: So sánh các số sau đây: a)  1619  và  25   c)  2711  và  818   e)  7.213  và  216   b)  523 và  6.5 22   d)  625  và  125   f)  19920  và  200315   Phân tích:  Đưa cả hai lũy thừa về cùng cơ số, so sánh hai số mũ, lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lớn hơn.  Lời giải a)  1619  và  25   TOÁN Ta có:  1619  (24 )19  276  và  825  (23 )25  275  nên  1619  825   (vì  276  275 )  b)  523 và  6.5 22   Ta có:  523  5.522  6.522 nên  6.522  523   c)  2711  và  818   Ta có:  2711  (33 )11  333  và  81  (34 )8  332  nên  2711  818      (vì  333  332 )  d)  625  và  125   Ta có:  6255  (54 )5  520  và  125  (53 )7  521 nên  6255  1257  (vì  520  521  )  e)  7.213  và  216   Ta có:  216  23.213  8.213  7.213  nên  7.213  216   f)  19920  và  200315   Ta có:  19920  20020  (8.25)20  (23.52 )20  260.540 và  200315  200015  (16.125)15  (24.53 )15  (24.53 )15  260.545   nên  19920  200315  ( vì  260.540  260.545 )  Bài 2: So sánh các số sau đây:    và  35        21 e)  230  330  430  và  3.2410   a)  5100  và  500   c)  b)  39  và  1121   d)   2n  và  3n   n  *       f)  111979  và  371320   Phân tích:  Đưa cả hai lũy thừa về cùng số mũ, so sánh hai cơ số, lũy thừa nào có cơ số lớn hơn thì lớn hơn.  Lời giải a)  5100  và  500   HSG TỐN Ta có:  5300  (53 )100  125100  và  3500  (35 )100  243100   nên  5300  3500  (vì  125  243    125100  243100 )  b)  39  và  1121   Ta có: 3 39  340  (34 )10  8110  và  1121  1120  (112 )10  12110   nên  339 1121  (vì  8120 12110 )  c)     và  35   21 Ta có:  221  (23 )7  87  và  535  (55 )7  31257   nên:  221  535 ( do  87  31257 )  Suy ra:  1  35   21   d)  2n  và  3n   n *   Ta có:  32n  32   9n  và  23n  23   8n  nên:  32n  23n  (vì  9n  8n )  n n e)   230  330  430  và  3.2410   Ta có:  430  230.230  (23 )10 (22 )15  810.415  810.315  810.310.3  (8.3)10  2410.3 nên: 230  330  430  3.2410 f)   111979  và  371320 Ta có:    111979  111980  113 660    1331660  và  371320  372 nên  111979  371320   (vì  1331660 1369660 )  660  1369660   TOÁN Bài 3: So sánh các số sau: a)  A 7245  7244  và  B  7244  7243   b)  9920 và  999910     c)  1010  và  48.50   e)  291  và  35 d) 10750  và  7375   f)  199010  19909  và  199110   Lời giải a)  A 7245  7244  và  B  7244  7243 Ta có:     A 7244 72  1  7244.71   B  7243 72  1  7243.71   nên A  B   b)  9920 và  999910   Ta có:  992  99.101  9999  992 10    9999 10  nên: 9920  999910   c)   1010  và  48.50 Ta có:  1010  210.510  2.29.510      và  48.505  3.24 25.510  3.29.510   suy ra:  1010  48.505  (vì  2.29.510  3.29.510  )  nên:  1010  48.505   d)  10750  và  7375 Ta có:  107 50  10850  4.27  2100.3150   50 và  7375  72  8.9  2225.3150   75 75 HSG TOÁN nên:  10750  7375  ( vì  2100.3150  2225.3150 )  e)  291  và  35   Ta thấy:  291  290  25   3218   18 và  535  536  52   2518   18 nên:  291  535  (do 291  3218  2518  535  )  f)    199010  19909  và  199110   Ta có:  199010  19909  19909 1990   1991.19909   và:  199110  1991.19919   nên  199009  199010 199110  (do 19909 19919 )  Bài 4: So sánh các số sau  a)  11022009 11022008  và  11022008 11022007 b)  A 20072007  20072008  và  B  20082009   Lời giải   a)  11022009 11022008  và  11022008 11022007   Ta có:  11022009 11022008  11022008 1102 1  11022008.1101     và  11022008 11022007  11022007 1102 1  11022007.1101   suy ra: 11022008.1101 11022007.1101   TOÁN nên:  11022009  11022008  11022008  11022007   b) A 20072007  20072008  và  B  20082009   Ta có:  A 2007 2007  2007 2008  2007 2007  2007  2008.20072007   và  B  20082009  2008.20082008     suy ra:  2008.20072007  2008.20082008    20072007  20082008   nên A  B   Bài 5: Chứng tỏ rằng : 527  263  528 Lời giải Ta có:  263  27   1289   và  527  53   1259  nên  263  527  (vì 1259  1259 )  9 mà 263  29   5127  và  528  54   6257  nên  263  528 (vì 5127  6257 )  7 Nên:  527  263  528   Bài 6: Chứng minh rằng:  a) 21993  7714   b) 21995  5863   Lời giải a)   21993  7714   Ta có:  214  16384  75  16807   và:  1993 9965 714 9996  nên  21993  214   = 14 90 90 1993 14   Vậy:  21993  7714      714  7114   HSG TOÁN b)  21995  5863   Ta có:  215  32468  57  78125   và:  1993 13951 863 12945  nên  21995  215   = 15 105 105 1995 15      57 863  5863   Vậy:  21995  5863   Bài tập 7: Viết theo từ nhỏ đến lớn:  2100   ; 375 và  50   Lời giải Ta có:   2100  (24 )25  1625    25  75 75    27   2100  550  375     550  (52 )25  2525       Dạng 2: So sánh biểu thức lũy thừa với 1 số (so sánh hai biểu thức lũy thừa)  Bài 1: So sánh biểu thức  A  1315  1316  B  1316  1317  Lời giải Ta có:  13A  13B  Vì 13.(1315  1) 1316  13 1316   12 12     16 16 16 16 13  13  13  13  1316  13.(1316  1) 1317  13 1317   12 12   17    17 17 17 17 13  13  13  13  13  12 12 12 12  nên  13A  13B  16   16   17 13  13  13  13  17 Vậy  A  B Bài 2: So sánh biểu thức  A  10100  1098  B   và  1099  1097  Lời giải TỐN Ta có:  10100  10100  10  9 A    100 99 100 10 10.(10  1) 10  10 10  10 1098  1098  1098  10  9 B     98 97 98 98 10 10.(10  1) 10  10 10  10 10  10 Vì  9 9  98   98  nên   100   10  10 10  10 10  10 10  10 100 Vậy  A  B   Bài 3: So sánh biểu thức  A  1920  1921   và B  1020  1021  Lời giải Ta có:  A 1920  1920   13 13    20 20 20 19  19  19  B 1921  1921   13 13    21 21 21 19  19  19  Vì  13 13 13 13  21   21  nên   20   19  19  19  19  20 Vậy  A  B   Bài 4: So sánh biểu thức  A  33.103 3774 B  3 5217 5.10  7000 Lời giải Ta có: A  và:  B  33.10 33.103 103.33 33    3 3 5.10  7000 8.5.10  7.10 10 (40  7) 47 3774 33  5217 47 Vậy A  B HSG TOÁN Bài 5: So sánh biểu thức  A  1 1      và  B  2 1002 Lời giải Ta có: 1 1    2.1 2 1 1    2.3 3 1 1    3.4 4 ………………   1 1    99.100 99 100 100 Lấy vế cộng vế ta có  A 1 1 1 1 1 1 99               1  1 2 2 3 99 100 100 100 100 Vậy:  A  B   Dạng 3: Từ việc so sánh lũy thừ tìm cơ số (số mũ) chưa biết  Bài Tìm  x    biết  25  5x  125   Lời giải Ta có:   25  5x  3125  52  5x  55   x   .  Do  x    nên  x  3; 4  .  Bài Tìm  x    biết  27  9x  81   Lời giải Ta có:  27  9x  243  33  32x  35   2x   .  TOÁN Do  x    2x    nên  2x   x   .  Vậy  x    Bài Tìm  x    biết  16x  1284   Lời giải Ta có:  16x  24   x ;   128  27   228   x Do  16x  1284  nên  24x  228  4x  28  x   .  mà  x    x  0;1;2; 3; 4; 5; 6  .  Bài Tìm  x    biết  364  x 48  572   Lời giải Ta giải  364  x 48  và  x 48  572   Ta có  x 48  364  x   34   x  81  x        (1)  16   x 48  572  x 24 16    53 24  x  125  11  x  11  (2)  Từ (1) và (2) suy ra   x  11   Vì  x    x  5, 6, 7, 8, 9,10  .  Bài 5.   18  Tìm  x    biết  5x  5x 1  5x 2  100  0 :   18 so Lời giải Ta có:  18 5x  5x 1  5x 2  100   0 : 18 so 5 x+3 18   18  10 : 10 HSG TOÁN Giá trị lớn nhất của A là  2018 khi  a  1; 2; ;9 ; b  c    (Hai ý b,c này thầy cơ tự chuyển nha, GV tách nhầm chun đề rồi)  Bài 152 (Đề thi HSG huyện BÌNH THUẬN 2018-2019) So sánh:  36 25 và  2536   Lời giải 25 36 25  18.2   1825.2 25  1825.2 6.219 2536  2525.2511  2525.522  2525.53.519 53  125; 26  64  53  26  2525  1825 ;519  219    2525.53.519  1825.26.219 hay 3625  2536 Bài 153 (Đề thi HSG TP BUÔN MÊ THUỘC 2019-2020) 1 1 Chứng minh rằng:          2n  Lời giải Ta có:  A A 1 1     2  2n   2.2    2.3   2.4     2.n    1 1   1 A               2 n   1.2 2.3  n  1 n  1 1 1 1 A          1 2 n 1 n   1 A  1    (dfcm)  n Bài 154 (Đề thi HSG HUYỆN LÂM THAO 2019-2020) Cho  M   a  b    b  c  a    c  a  Trong đó  b, c   cịn  a là một số ngun âm. Chứng minh  rằng biểu thức M ln dương và tìm tất cả các cặp số ngun sao cho tổng của chúng bằng tích của  chúng.  Lời giải M  a  mà a là số nguyên âm nên M luôn dương  x  0, y   hoặc  x  2, y    (câu này cũng nhầm vị trí)  Bài 155 (Đề thi HSG TRƯỜNG THCS BÍCH HỊA 2018-2019) Cho biết  S  1 1 91    Chứng minh rằng   S  101 102 130 330   91 TOÁN Lời giải 91   330 1   1   1   S            110   111 120   121 130   101 102 *Chứng minh  S  1   1   1   S            100 100 100 110 110 120 120        1 1 1 181 182 91 S 10  10  10       100 110 120 10 11 12 660 660 330 91 S  (1) 330 *Chứng minh   S     1   1   S            110   120 120   130 130   110 1 1 1 S 10  10  10      110 120 130 11 12 13 431 429 S  S (2)   1716 1716 91 Từ (1) và (2)    S    330 Bài 156 (Đề thi HSG huyện HOÀI NHƠN 2018-2019) 1930  1931  So sánh M và N biết:  M  31   ; N  32 19  19  Lời giải 19 1930   1931  95 1930  90 M  31  19M   31   31 31 19  19  19  19  31 19 19   1932  95 1931  90 N  32  19 N   32   32 32 19  19  19  19  90 90 90 90    31   32  19M  19 N 1931  1932  19  19  Vậy  M  N   Bài 157 22 51  a)So sánh :    45 101 2009 2009  20092010  b)So sánh :  A  và    B  2009 2010  20092011  Lời giải a) 22 22 51 51 22 51 22 51           45 44 102 101 45 101 45 101 92 HSG TOÁN 2009 2010  1 2009 2011  2009 2010  2009 2010   2011 20092010  2009 B   20092011  2009 2011   2011 20092011  2009 2009  20092009  1 20092009    A 2010 2009  20092010  1 2009  b) B  Vậy  B  A   Bài 158 (Đề thi HSG huyện Vĩnh Tường 2019-2020)    Hãy so sánh :  1234567899 và  9123456789   Lời giải 10 9123456789  9100.000.000  8150.000.000  1050.000.000  10100  1010   1234567899 Bài 159 (Đề thi HSG huyện Vĩnh Tường 2019-2020)    Cho  a, b  là các số nguyên dương. Chứng minh rằng  a b   2  b a Lời giải Khơng mất tính tổng qt giả sử  a  b  a  b  m, m      a b bm b m b m b     1   1  2  b a b bm b bm bm bm Bài 160 (Đề thi HSG huyện 282 năm học 2018-2019)  So sánh:  a)A  20132013 131313 với  B              b)C  20139  201310 với  D  201410   20142014 141414 Lời giải 2013.10001 2013 13.10101 13  ;B   2014.10001 2014 14.10101 14 2013 13 1 A  1  ; 1 B  1    2014 2014 14 14 1 Do   1 A  1 B  A  B 2014 14 a) A  b) C  20139 1  2013  20139.2014 D  20149.2014 2013  2014  C  D   Bài 161 (Đề thi HSG 6) 3 3 Cho S =       .  Chứng minh rằng : 1      (1)  10 11 12 13 15 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 15 20           => S  1