Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 31 y = ( yi ) : phương án đánh giá 3.4.3 Ý nghĩa nguyên lý độ lệch bù Điều kiện cần đủ để phương án sản xuất x=(xj)n phương án đánh giá y=(yi)m đồng thời tối ưu là: 1/ Nếu cách sản xuất sử dụng (xj >0) tổng giá trị sản phẩm sản m xuất theo cách phí ( ∑ aijyi =cj) i =1 2/ Nếu loại sản phẩm có gái trị ( yi> ) tổng số sản phẩm sản xuất phải n nhu cầu ( ∑ aijxj =bi) j =1 -oOo - 3.5 Bài tập Giải tốn sau phương pháp đơn hình Viết toán đối ngẫu chúng Dựa vào nguyên lý độ lệch bù để tìm nghiệm tốn đối ngẫu f(x) = -5x1 - 4x2 + 5x3 - 3x4 → max ⎧2x + 4x + 3x + x = 42 ⎪4x - 2x + 3x ≤ 24 ⎪ ⎨ + x3 ≤ 15 ⎪3x ⎪⎩ x j ≥ (j = 4) f(x) = 2x1 +17x2 +18x3 → max ⎧6x1 + 4x + 7x ≤ 50 ⎪ + 4x ≤ 30 ⎨8x1 ⎪ x ≥ (j = 3) j ⎩ f(x) = -5x1 - 4x2 + 5x3 - 3x4 → max ⎧2x + 4x + 3x + x = 42 ⎪4x - 2x + 3x ≤ 24 ⎪ ⎨ + x3 ≤ 15 ⎪3x ⎪⎩ x j ≥ (j = 4) f(x) = 8x1 + 7x2 + 9x3 > GV: Phan Thanh Tao Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 32 ⎧4 x1 − 5x2 + x3 = ⎪3x + x − x ≤ ⎪ ⎨ ⎪2 x1 + x2 + x3 = ⎪⎩ x j ≥ 0, ∀j = Viết toán đối ngẫu toán sau Giải tốn đối ngẫu phương pháp đơn hình Dựa vào nguyên lý độ lệch bù để tìm nghiệm toán gốc f(x) = 7x1 +15x2 + 5x3 → ⎧3x - 2x - 4x ≥ ⎪-x + 4x + 3x ≥ -3 ⎪ ⎨ 2x + x + 8x 3≥ ⎪ ⎪⎩ x j ≥ (j = 3) f(x) = x1 + 2x2 + x3 → max ⎧ x - x + 2x ≥ -6 ⎪ x + x + 2x = ⎪ ⎨ ⎪2x - x + 2x = ⎪⎩ x j ≥ (j = 3) *********************** GV: Phan Thanh Tao Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 33 Chương 4.1 BÀI TOÁN VẬN TẢI Bài tốn vận tải dạng tắc 4.1.1 Định nghĩa Cần vận chuyển loại hàng hoá từ m trạm phát A1, A2, , Am đến n trạm thu B1, B2, , Bn Lượng hàng cần chuyển tương ứng a1 , a2 , , am ; yêu cầu trạm thu tương ứng b1 , b2 , , bn Chi phí vận chuyển đơn vị hàng hoá từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj cij Hãy lập kế hoạch vận chuyển cho tổng chi phí thấp đồng thời đảm bảo yêu cầu trạm thu phát Gọi xij lượng hàng chuyển từ Ai đến Bj Tổng chi phí theo kế hoạch vận chuyển x={ xij }mxn f(x) = m n i =1 j =1 ∑ ∑ cijxij Mơ hình tốn học: f(x) = m n i =1 j =1 ∑ ∑ cijxij → ⎧n ⎪∑ xij = (i = m) ⎪ j =1 ⎪⎪ m ⎨∑ xij = b j ( j = n) ⎪ i =1 ⎪ xij ≥ (i = m, j = n) ⎪ ⎪⎩ Đây toán (d, f ) dạng tắc: Bài tốn đổi ngẫu là: g(u,v) = {v n ∑ j =1 j vj - m ∑ ui → max i =1 − u i ≤ cij (i = m, j = n) Cặp điều kiện đổi ngẫu là: xij≥ vj - ui ≤ cij Từ đó, theo nguyên lý độ lệch bù có tiêu chuẩn tối ưu cho phương án x={ xij }mxn là tồn hệ thống số {ui, vj } thoả mãn: ⎧⎪v j − u i ≤ cij (i = m, j = n) ⎪⎩v j − u i = cij neu xij > (*) ⎨ ui gọi vị dòng; vj gọi vị cột Hệ thống {ui , vj }m+n gọi hệ thống vị GV: Phan Thanh Tao Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 34 Vậy, để giải tốn vận tải cần tìm phương án kiểm tra tính tối ưu qua hệ thống vị Dựa vào ý nghĩa chung tốn đối ngẫu xem vị dòng ui giá trị đơn vị hàng trạm phát Ai, vị cột vj giá trị trạm thu Bj Công thức (*) mang ý nghĩa kinh tế là: Trong phương án vận chuyển tốt chênh lệch giá trị hàng trạm phát trạm thu khơng vượt q chi phí vận chuyển trực tiếp hai nơi Và hàng vận chuyển từ Ai đến Bj giá trị hàng Bj giá trị Ai cộng chi phí vận chuyển 4.1.2 Điều kiện cân thu phát Đặt: a = b= m ∑ gọi tổng phát ∑ bj gọi tổng thu i =1 n j =1 Bài tốn vận tải dạng tắc cân thu phát (a=b) ln ln có nghiệm Xét x={ xij }mxn với xij = b j a = b j b có xij > (i=1 m, j=1 n) n m ∑ xij= ∑ m xij= ∑ j =1 ∑ i =1 i =1 m i =1 b j b b j a m = ∑ (i=1 m) i =1 = m ∑ bj (j=1 n) i =1 Vậy x ∈ d Nếu a≠ b tốn khơng có phương án Vì tốn ln khảo sát với giả thiết a = b, gọi điều kiện cân thu phát Trong điều kiện tốn ln ln có nghiệm (d≠ Ø f bị chặn d) 4.2 Bảng phân phối tính chất 4.2.1 Bảng phân phối Cho tốn vận tải dạng tắc f(x) = m n i =1 j =1 ∑ ∑ cijxij → GV: Phan Thanh Tao Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 35 ⎧n ⎪∑ xij = (i = m) ⎪ j =1 ⎪⎪ m ⎨∑ xij = b j ( j = n) ⎪ i =1 ⎪ xij ≥ (i = m, j = n) ⎪ ⎪⎩ Đây toán (d,f) dạng đặc biệt nên đưa vào bảng phân phối để giải theo thuật toán riêng Bảng phân phối: Phát\Thu a1 a2 … … am b1 c11 c21 ci1 cm1 b2 c12 c22 ci2 cm2 … … … … … … … bj c1j c2j cij cmj … … … … … … … bn c1n c2n cin cmn 4.2.2 Tính chất Xét bảng phân phối mxn (m hàng n cột) • hàng i , cột j gọi (i,j) • Dây chuyền dãy có dạng: liên tiếp nằm hàng hay cột, ô liên tiếp không nằm hàng hay cột • Chu trình (vịng) dây chuyền khép kín Các dạng vịng thường gặp: Nhận xét: Số vòng số chẵn GV: Phan Thanh Tao Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 36 Tính chất Với bảng phân phối mxn số tối đa khơng tạo thành vịng m+n-1 Tính chất Có m+n-1 khơng tạo thành vịng thêm vào chứa vịng ngược lại bỏ vịng cịn lại m+n-1 khơng chứa vịng Gọi xij lượng hàng phân phối cho ô ( i,j ) Cho phương án x={ xij }mxn Ơ (i,j ) gọi chọn xij > ; ngược lại gọi loại Tính chất Phương án phương án có tập hợp chọn khơng chứa vịng 4.3 Thuật tốn vị 4.3.1 Nội dung Xuất phát từ phương án ban đầu, dùng hệ thống vị kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu, chưa tối ưu chuyển sang phương án tối ưu Sau hữu hạn bước có phương án tối ưu 4.3.2 Xây dựng phương án ban đầu * Nguyên tắc phân phối tối đa Khi chọn ô (i,j ) để phân phối, phân phối tối đa vào ô (i,j ) đặt xij = (ai , bj) Sau phân phối vào ô (i,j), loại hàng i cột j thỏa mãn nhu cầu khỏi bảng đơn hình Tiếp tục phân phối cho bảng mới, thỏa mãn nhu cầu tất trạm có phương án ban đầu Vì.bằng ngun tắc tối đa, tập chọn khơng tạo thành vòng * Các phương pháp phân phối a/ Phương pháp phân phối theo chi phí nhỏ Ưu tiên phân phối cho có chi phí cij nhỏ b/ Phương pháp góc tây bắc Ưu tiên phân phối cho (1,1), góc tây bắc c/ Phương pháp xấp xỉ Fôghen Ưu tiên phân phối có cước phí nhỏ thuộc hàng (cột) có chênh lệch lớn cước phí nhỏ nhì Nhận xét: Phương pháp góc tây bắc, có phương án ban đầu xa phương án tối ưu, thuận tiận cài đặt Phương pháp Fôghen có phương án ban đầu gần phương án tối ưu, có tính đến bước sau Để đơn giản bước lặp, ví dụ trình bày theo phương pháp chi phí nhỏ Tuy nhiên, hướng dẫn cài đặt dùng phương pháp góc tây bắc GV: Phan Thanh Tao Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 37 4.3.3 Các bước thuật toán vị Bước Xây dựng phương án ban đầu Xây dựng phương án ban đầu với tập S ô chọn gồm m+n-1 khơng chứa vịng phương pháp Với tốn khơng suy biến, chọn có trạm thỏa mãn loại khoải bảng phân phối, tính lại nhu cầu phân phối tiếp Riêng ô cuối cùng, cân thu phát nên hai trạm thỏa mãn Vậy có m+n-1 chọn khơng chứa vịng Bước Xây dựng hệ thống vị {ui , vj} Giải hệ vj - ui = cij (i ,j) ∈ S Đây hệ m+n-1 phương trình, m+n ẩn nên chọn ẩn tuỳ ý, thông thường chọn cho u1=0 Các vị cịn lại tính theo cơng thức sau vj = ui + cij với ui biết (i,j) ∈ S ui = vj - cij với vj biết (i,j) ∈ S Bước Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu Đặt ∆ij = vj - ui - cij Có ∆ij =0 (i,j) ∈ S Nếu ∆ij ≤ ∀ (i,j) x={xij}mxn phương án tối ưu Nếu ∃ (i,j)>0 chuyển sang bước Bước Điều chỉnh phương án Nếu ∆rk = max ∆ij (r, k) gọi điều chỉnh S ∪ {(r, k)} chứa vòng nhất, gọi vịng điều chỉnh V Tìm vịng V cách đánh số chẵn lẻ ô ô (r, k) Gọi Vlẻ tập ô có số lẻ Vchẵn tập có số chẵn Đặt q= {xc}, với xc xij với (i,j) ∈ Vchẵn q gọi lượng điều chỉnh Nếu xiojo =q ơ(io, jo) trở thành loại phương án Với toán suy biến, lượng điều chỉnh q đạt nhiều ơ, loại ơ, cịn lại trở thành “ô chọn 0” Biến đổi phương án x thành x' theo công thức sau: x’ij=xij + q (i,j) ∈ Vlẻ x’ij=xij - q (i,j) ∈ Vchẵn Quay lại bước Sau hữu hạn bước có phương án tối ưu GV: Phan Thanh Tao Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 38 Ví dụ 4.1 a=b=130 ai\bj 40 70 20 80 30 20 20 20 10 20 20 10 ui f(x)=830 Ví dụ 4.2 + 20 64 10 19 15 14 88 13 11 + 12 17 10 12 48 12 18 18 10 ui F(x)= 2866 4.4 80 20 40 20 10 20 20 30 20 ui 10 70 20 vj a=b=311 79 60 40 ∆ij ≤ ∀ (i,j), fmin=730 76 70 ai\bj ai\bj 102 vj 62 16 88 13 45 40 vj 15 30 40 10 -2 ai\bj 76 79 34 10 19 15 44 58 13 11 30 12 17 10 42 18 12 18 18 102 70 60 ui 10 62 16 88 13 45 40 vj 7 5 3 10 -2 6 45 40 Fmin= 2806 Các dạng khác 4.4.1 Khơng cân thu phát Nếu a≠ b tốn khơng có phương án Tuy nhiên thực tế khơng địi hỏi phải chở hết hàng từ trạm phát đáp ứng yêu cầu trạm thu; hay trái lại lượng hàng trạm phát không đáp ứng yêu cầu trạm thu Khi ta thêm trạm thu giả Am+1 trạm phát giả Bn+1bằng chênh lệch tổng thu tổng phát: am + = b - a ab Lượng hàng vận chuyển từ trạm phát Ai đến trạm thu giả Bn+1, nghĩa lượng hàng giữ lại Ai , lượng hàng chuyển từ trạm phát giả Am+1 đến trạm thu Bj nghĩa Bj lượng hàng khơng thoả mãn Tất nhiên cước phí trạm giả không GV: Phan Thanh Tao Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 39 Cước phí trạm giả khơng, thường nhỏ nhất, ưu tiên phân phối cho có cước phí dương nhỏ khơng phải trạm giả, cuối hàng cịn lại phân phối vào ô trạm giả a=120, b=100 Thêm tram thu giả với a4=20 Ví dụ 4.3 ai\bj 30 40 30 20 40 40 20 5 ai\bj 30 40 30 20 20 40 40 20 20 20 20 30 10 + 20 ui F(x)= 410 3 -1 vj -1 -3 ai\bj 30 40 30 20 vj 10 10 0 20 40 30 40 30 20 ui 20 10 10 -1 -1 -3 Fmin= 390 4.4.2 Suy biến Với toán suy biến, xây dựng phương án đồng thời thỏa mãn hai trạm thu phát Để có m+n-1 chọn, lọai trạm, trạm cịn lại xem nhu cầu Khi phân phối cho trạm tạo nên “ô chọn 0”, nghĩa ô chọn với lượng hàng phân phối Hay lượng điều chỉnh q đạt nhiều ơ, loại ơ, cịn lại trở thành “ô chọn 0” GV: Phan Thanh Tao Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 40 Ví dụ 4.4 ai\bj 30 20 25 35 30 40 vj 12 30 18 20 20 60 10 30 10 11 + 35 14 25 11 10 ui 1 20 25 35 40 vj 12 40 -5 -1 F(x)= 885 ai\bj 30 30 30 18 20 20 60 10 30 10 11 25 10 14 30 11 10 ui -2 30 20 25 35 40 vj 40 + -5 -1 F(x)= 810 ai\bj 30 20 40 60 ui 30 18 10 10 10 10 25 10 20 2 12 11 -1 -5 11 14 40 10 -2 -2 Fmin=800 GV: Phan Thanh Tao ... tram thu giả với a4=20 Ví dụ 4. 3 aij 30 40 30 20 40 40 20 5 aij 30 40 30 20 20 40 40 20 20 20 20 30 10 + 20 ui F(x)= 41 0 3 -1 vj -1 -3 aij 30 40 30 20 vj 10 10 0 20 40 30 40 30 20 ui 20 10... Tao Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 40 Ví dụ 4. 4 aij 30 20 25 35 30 40 vj 12 30 18 20 20 60 10 30 10 11 + 35 14 25 11 10 ui 1 20 25 35 40 vj 12 40 -5... Thanh Tao Bài giảng Quy hoạch toán học Trang 38 Ví dụ 4. 1 a=b=130 aij 40 70 20 80 30 20 20 20 10 20 20 10 ui f(x)=830 Ví dụ 4. 2 + 20 64 10 19 15 14 88 13