Ghi chú : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giảikhác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.. - Phần hình học, [r]
(1)PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2012-2013 Môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút Đề thi này gồm 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay Câu 1: (2,5 điểm ) 2 a) Phân tích đa thức a (b c) b (c a) c (a b) thành nhân tử 3 b) Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn ( a b) (b c) (c a) 210 Tính giá trị biểu thức A a b b c c a Câu 2: (2,5 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x y 3 xy b) Giải phương trình: (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 Câu 3: (2,5 điểm) 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ( x 2012) ( x 2013) b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng: 1 x x y y z z Câu 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M trên cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi c) Kẻ DH BC H BC Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ PD ====== HẾT ====== Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh……………………………………………………SBD………………… (2) (3) PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG H ƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2012-2013 HDC này gồm trang Câu Nội dung chính a) Ta có Điểm 0,5 a (b c) b2 (c a) c (a b) a (b c) b (c 0,5 a) c (b c c a ) (b c)( a c ) (c a)(b c ) (b c)( a c)( a0,25 c) (c a)(b c)(b (b c)(a c)(a c b c) (b c)(a c)(a b) 0,25 b) Đặt a b x; b c y ; (2,5đ) c a z x y z 0 0,5 z ( x y ) Ta có: 0,5 3 3 3 x y z 210 x y ( x y ) 210 3xy ( x y ) 210 xyz 70 Do x, y, z là số nguyên có tổng và xyz 70 ( 2).( 5).7 nên x, y, z 2; 5; 7 A a b b c c a 14 (2,5đ) 2 a) x y 3 xy 0,25 Ta có: ( x y )2 0 x y 2 xy xy 2 xy xy 0,5 Lại có: 0,5 ( x y ) 0 x y xy xy xy xy Suy xy 1 Mà x, y Z xy 3; 2; 1;0;1 Lần lượt thử ta ( x, y ) ( 2;1);(1; 2); (2; 1); ( 1; 2); (1;1) là nghiệm phương trình b) (6 x 8)(6 x 6)(6 x 7) 72 0,5 0,5 Đặt x t Ta có (t 1)(t 1)t 72 (t 1)t 72 t t 72 0 t 9t 8t 72 0 t (t 9) 8(t 9) 00,25 (t 9)(t 8) 0 Mà t nên t 0 t 9 t 3 x x (4) 5 x ; 3 PT có nghiệm là a) Ta có: 0,5 P ( x 2012) ( x 2013) x 4024 x 4048144 x 4026 x 1 2 x x 8100313 2 x 2 0,5 0,25 8100312,5 8100312,5 x Vậy Min P 8100312,5 x b) Đặt P (2,5đ) 1 1 1 x x y y z z x( x 1) y ( y 1) z ( z 1) 0,25 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z Áp dụng BĐT 1 a b c a b c và 1 1 a b a b với a, b, c 1 x 1 y 1 z 1 0,25 0,5 dương, dấu xảy a b c Ta có 1 1 1 1 1 1 1 ; 1 ; 0,25 1 x 1 x y 1 y z 1 z Bởi 1 1 1 1 1 1 P y x y z x 1 y 1 z x y z x = 1 1 3 9 3 x y z 4 x yz 4 (ĐPCM) E D A M Q B P I H C (5) a) Chứng minh EA.EB = ED.EC 0,25 - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (g-g) Từ đó suy EB ED EA.EB ED.EC EC EA b) Kẻ MI vuông góc với BC ( I BC ) Ta có BIM đồng dạng với BDC (g-g) BM BI BM BD BI BC BC BD (1) Tương tự: với 0,25 0,5 0,25 0,25 ACB đồng dạng ICM (g-g) CM CI CM CA CI BC BC CA (2) Từ (1) và (2) suy BM BD CM CA BI BC CI BC BC (BI CI ) BC (không đổi) 0,25 c) Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (g-g) 0,25 BH BD BP BD BP BD DH DC DQ DC DQ DC 0,25 - Chứng minh DPB đồng dạng CQD với (c-g-c) BDP DCQ BDP PDC 90o mà DCQ PDC 90o CQ PD 0,25 Ghi chú : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giảikhác mà đúng thì Giám khảo cho điểm không vượt quá thang điểm ý đó - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm - Tổng điểm toàn bài tổng điểm các câu không làm tròn ===================== (6)