0

De HSG Toan 8hay

5 0 0
  • De HSG Toan 8hay

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 15/09/2021, 04:59

Ghi chú : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giảikhác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó.. - Phần hình học, [r] (1)PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2012-2013 Môn: Toán Thời gian làm bài 120 phút Đề thi này gồm 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay Câu 1: (2,5 điểm ) 2 a) Phân tích đa thức a (b  c)  b (c  a)  c (a  b) thành nhân tử 3 b) Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn ( a  b)  (b  c)  (c  a) 210 Tính giá trị biểu thức A  a  b  b  c  c  a Câu 2: (2,5 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  y 3  xy b) Giải phương trình: (6 x  8)(6 x  6)(6 x  7) 72 Câu 3: (2,5 điểm) 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ( x  2012)  ( x  2013) b) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z 3 Chứng minh rằng: 1    x x y y z z Câu 4: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M trên cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC b) Chứng minh điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD+CM.CA có giá trị không đổi c) Kẻ DH  BC  H  BC  Gọi P, Q là trung điểm các đoạn thẳng BH, DH Chứng minh CQ  PD ====== HẾT ====== Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh……………………………………………………SBD………………… (2) (3) PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG H ƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN NĂM HỌC 2012-2013 HDC này gồm trang Câu Nội dung chính a) Ta có Điểm 0,5 a (b  c)  b2 (c  a)  c (a  b) a (b  c)  b (c  0,5 a)  c (b  c  c  a ) (b  c)( a  c )  (c  a)(b  c ) (b  c)( a  c)( a0,25  c)  (c  a)(b  c)(b (b  c)(a  c)(a  c  b  c) (b  c)(a  c)(a  b) 0,25 b) Đặt a  b  x; b  c  y ; (2,5đ) c  a z  x  y  z 0 0,5  z  ( x  y ) Ta có: 0,5 3 3 3 x  y  z 210  x  y  ( x  y ) 210   3xy ( x  y ) 210  xyz 70 Do x, y, z là số nguyên có tổng và xyz 70 ( 2).( 5).7 nên x, y, z    2;  5; 7  A  a  b  b  c  c  a 14 (2,5đ) 2 a) x  y 3  xy 0,25 Ta có: ( x  y )2 0  x  y 2 xy   xy 2 xy  xy  0,5 Lại có: 0,5 ( x  y ) 0  x  y  xy   xy  xy  xy  Suy   xy 1 Mà x, y  Z  xy    3;  2;  1;0;1 Lần lượt thử ta ( x, y )   ( 2;1);(1;  2); (2;  1); ( 1; 2); (1;1) là nghiệm phương trình b) (6 x  8)(6 x  6)(6 x  7) 72 0,5 0,5 Đặt x  t Ta có (t  1)(t  1)t 72  (t  1)t 72  t  t  72 0  t  9t  8t  72 0  t (t  9)  8(t  9) 00,25  (t  9)(t  8) 0 Mà t   nên t  0  t 9  t 3  x  x  (4)   5 x ;   3  PT có nghiệm là a) Ta có: 0,5 P ( x  2012)  ( x  2013) x  4024 x  4048144  x  4026 x 1  2 x  x  8100313 2  x    2  0,5 0,25 8100312,5  8100312,5 x Vậy Min P 8100312,5  x  b) Đặt P (2,5đ) 1 1 1      x  x y  y z  z x( x 1) y ( y  1) z ( z  1) 0,25  1 1 1 1 1            x x 1 y y 1 z z 1  x y z  Áp dụng BĐT 1    a b c a  b  c và 1  1     a  b  a b  với a, b, c  1       x 1 y 1 z 1  0,25 0,5 dương, dấu xảy  a b c Ta có 1 1  1 1  1 1     1 ;    1 ;   0,25 1 x 1  x  y 1  y  z 1  z  Bởi  1 1  1   1 1  1 P                   y  x y z   x 1 y 1 z    x y z   x =  1 1 3 9 3            x y z 4 x yz 4 (ĐPCM) E D A M Q B P I H C (5) a) Chứng minh EA.EB = ED.EC 0,25 - Chứng minh  EBD đồng dạng với  ECA (g-g) Từ đó suy EB ED   EA.EB ED.EC EC EA b) Kẻ MI vuông góc với BC ( I  BC ) Ta có  BIM đồng dạng với  BDC (g-g) BM BI    BM BD BI BC BC BD (1) Tương tự: với  0,25 0,5 0,25 0,25  ACB đồng dạng  ICM (g-g) CM CI   CM CA CI BC BC CA (2) Từ (1) và (2) suy BM BD  CM CA BI BC  CI BC BC (BI  CI ) BC (không đổi) 0,25 c) Chứng minh  BHD đồng dạng với  DHC (g-g) 0,25  BH BD BP BD BP BD      DH DC DQ DC DQ DC 0,25 - Chứng minh  DPB đồng dạng  CQD với (c-g-c)    BDP DCQ   BDP  PDC 90o mà    DCQ  PDC 90o  CQ  PD 0,25 Ghi chú : - Hướng dẫn chấm trình bày ý bản, học sinh có cách giảikhác mà đúng thì Giám khảo cho điểm không vượt quá thang điểm ý đó - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm - Tổng điểm toàn bài tổng điểm các câu không làm tròn ===================== (6)
- Xem thêm -

Xem thêm: De HSG Toan 8hay, De HSG Toan 8hay