Tìm điểm P trong tam giác ABC sao cho tổng các khoảng cách từ P đến ba cạnh của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất?. ...Hết.....[r]
(1)PHÒNG GD – ĐT PHÙ MỸ Đề thi đề xuất học sinh giỏi cấp Huyện Năm học 2011 - 2012 TRƯỜNG THCS MỸ AN Môn : Toán ( Thời gian 150 phút )
ĐỀ Bài ( 4,0 điểm )
a) Cho a = 111…11 ( có n số )
b = 100….05 ( có n – số ) Chứng minh rằng: ab + số phương
b) Cho Un = 111…11555…55 ( có n số n số )
Chứng minh rằng: Un + số phương
Bài 2 ( 3,0 điểm )
Chứng minh rằng: 42n + 2 – chia hết cho 15 với n.
Bài ( 4,0 điểm ) Giải phương trình:
4
2
2 2
1
3
3
( x )
( x ) x x
( x ) ( x )
Bài ( 3,0 điểm )
Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác CMR :
a b c a +
b a c a +
c
a b c 3
Bài (3,0 điểm).
Cho hình chữ nhật ABCD Đường thẳng vng góc với AC C cắt đường thẳng AB , AD E F Chứng minh rằng: BE CF DF CE AC EF
Bài (3,0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC Tìm điểm P tam giác ABC cho tổng khoảng cách từ P đến ba cạnh tam giác ABC đạt giá trị nhỏ ?
(2)ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Bài Đáp án Điểm
Bài 4,0 đ
Câu a
a) Ta có: b = 100…0 + ( có n số ) hay b = 10n + = 999…99 + ( có n số )
b = 9.111….1 + ( có n số )
Do đó: b = 9a + Vậy ab + = a( 9a + ) + = 9a2 + 6a + = ( 3a + )2 ( đpcm )
1,0 đ 1,0 đ
Câu b
b) Ta có:
Un = 111.111555…55 = 111…11000…000 + 555….555
= 111….11.10n + 5.111…11
Đặt a = 111…111 ( n số ) Khi đó:
Un = 10n.a + 5a = ( 9a + ).a + 5a = 9a2 + 6a
Do đó:
Un + = 9a2 + 6a + = ( 3a + )2 ( đpcm )
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 3.0 đ
Đặt A = 42n + 2 –
Với n = A chia hết cho 15
Giả sử A với n = k, tức là: A = 42k + 2 – chia hết cho 15
Ta chứng minh A với n = k + hay A = 42( k + ) + 2 – chia hết cho 15
Thật vậy: A = 16.42k + 2 – = 15.42k + + ( 42k + 2 – )
Vì 15.42k + chia hết cho 15 42k + 2 – chia hết cho 15 theo giả thiết quy nạp.
Do A = 42( k + ) + 2 – chia hết cho 15
Vậy A = 42n + 2 – chia hết cho 15
=> đpcm 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 4.0 đ Điều kiện: x x
Đặt a =(x-1)2 ; b = x2 - 3
Phương trình
4
2
2 2
1
3
3
( x )
( x ) x x
( x ) ( x )
trở thành:
2
2 2
4
2 2
1
2
1 1
1
1
a
b a b
b a
a a b ( a b )
Ta có : b a b a b
b a b a a b
Dấu = xãy
2 1 a b b
khi x = Vậy nghiệm phương trình x =
0,5 đ 0,5 đ 2,0 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài 3.0đ
Đặt x = b + c – a , y = a + c – b , z = a + b – c
Vì a,b,c độ dài cạnh tam giác nên x , y ,z > Khi ta có : , ,
z y x z y x
a b c
(3)Do : a b c a +
b a c a +
c a b c =
1
x y y z z x
z x y
=
1
(2 2)
2
x y x z y z y x z x z y
Đẳng thức xảy : x = y = z a = b = c
1,0 đ 0,5 đ
Bài
3,0 đ F
E
D
C B A
Theo định lí Talet ta có : ,
BE CE DF CF
AE EF AF EF Cộng vế hai đẳng thức ta :
BE DF
AE AF Nhân vế với AE.AF được: BE.AF + DF.AE = AE.AF = AC.EF ( 2SAEF )
BE CF EF DF CE EF AC EF Hay BE CF DF CE AC EF
0,5đ 0,5đ
1,0đ 1,0 đ
Bài 3.0đ
Gọi a,b,c độ dài cạnh đối diện A,B,C ha,hb,hc đường
cao tương ứng
Giả sử : a b c , ha hb hc
Ta có : SABC = SPAC + SPBC + SPAB
=> 2SABC =a.PH + b.PK + c.PI a(PH + PK + PI)
=> PH + PK + PI
2SABC a
=
Vập PH + PK + PI đạt giá trị nhỏ PA
0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ
* Ghi chú: Mọi cách giải khác đạt điểm tối đa
P I
H K
C B