[r]
(1)đề thi học sinh giỏi lớp – số (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u1: (3®) a T×m c¸c sè tù nhiªn x, y cho (2x+1)(y-5)=12 b.T×m sè tù nhiªn cho 4n-5 chia hÕt cho 2n-1 c T×m tÊt c¶ c¸c sè B= 62xy427, biÕt r»ng sè B chia hÕt cho 99 C©u (3®) a chøng tá r»ng 12 n+ lµ ph©n sè tèi gi¶n 30 n+2 1 1 b Chøng minh r»ng : + + + + <1 2 100 C©u3: (3®) Mét b¸c n«ng d©n mang cam ®i b¸n LÇn thø nhÊt b¸n 1/2sè cam vµ 1/2 qu¶; LÇn thø b¸n 1/3 sè cam cßn l¹ivµ 1/3 qu¶ ; LÇn thø b¸n 1/4sè cam còn lại và 3/4 Cuối cùng còn lại 24 Hỏi số cam bác nông dân đã mang ®i b¸n C©u 4: (3®) Cho 101 đờng thẳng đó hai đờng thẳng nào cắt nhau, không có ba đờng thẳng nào đồng quy Tính số giao điểm chúng -HÕt Đáp án đề số C©u1: (3®) a.(1®): Ta cã 2x+1; y-5 lµ íc cña 12 12= 1.12=2.6=3.4 2x+1 lÎ => 2x+1 =1 hoÆc 2x+1=3 (0,25®) (0,25®) (2) 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 hoÆc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 (0,25®) vËy (x,y) = (0,17); (1,9) (0,25®) b.(1®) Ta cã 4n-5 = 2( 2n-1)-3 (0,25®) để 4n-5 chia hết cho2n-1 => chia hết cho2n-1 (0,25®) =>* 2n-1=1 => n=1 *2n-1=3=>n=2 (0,25®) vËy n=1;2 (0,25®) c (1®) Ta cã 99=11.9 B chia hÕt cho 99 => B chia hÕt cho 11vµ B chia hÕt cho 99 (0,25®) *B chia hÕt cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hÕt cho (x+y+3) chia hÕt cho 9=> x+y=6 hoÆc x+y =15 B chia hÕt cho 11=> (7+4+x+6-2-y-2) chia hÕt cho11=> (13+x-y)chia hÕt cho 11 x-y=9 (lo¹i) hoÆc y-x=2 (0,25®) y-x=2 vµ x+y=6 => y=4; x=2 (0,25®) y-x=2 vµ x+y=15 (lo¹i) vËy B=6224427 (0,25®) C©u2: (3®) a (1,5®) Gäi d lµ íc chung cña 12n+1vµ 30n+2 ta cã (0,25®) 5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hÕt cho d (0,5®) vËy d=1 nªn 12n+1 vµ 30n+2 nguyªn tè cïng 12 n+ đó lµ ph©n sè tèi gi¶n 30 n+2 (0,5®) b (1,5®) Ta (0,25®) cã 1 = - < 2.1 2 1 = - < 2.3 3 (0,5®) VËy (0,5®) 1 + + + 32 1 + + + (0,25®) 1 < = - 99 100 99 100 100 < - + - + + - 2 99 100 100 <1- = 99 <1 100 100 100 C©u (3®) Sè cam cßn l¹i sau lÇn b¸n thø lµ (chuÈn bÞ b¸n lÇn 3) : (3) (24+3/4): 3/4 =33(qu¶) (1®) (v× b¸n 1/4 nªn cßn l¹i 3/4 sè qu¶, 3/4 nµy øng víi (24+3/4) (qu¶) Sè cam cßn l¹i sau lÇn b¸n thø nhÊt (33+1/3) : 2/3 =50 (qu¶) (1®) (v× b¸n 1/3 nªn cßn l¹i 2/3( sè qu¶), 2/3 nµy øng víi (33+1/3) (qu¶) Sè cam b¸c n«ng d©n mang ®i b¸n (50+1/2) : 1/2 =101 ( qu¶) (1®) C©u 4(1®) Mỗi đờng thẳng cắt 100 đờng tẳng còn lại tạo nên 100 giao điểm có 101 đờng thẳng nên có 101.100 giao điểm nhng giao điểm đã đợc tính hai lÇn nªn chØ cã 101.100:2= 5050 (giao ®iÓm) (4)