Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 hình 2

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC Bài VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Cho đường tròn tâm O bán kính 13cm đường trịn tâm O’ bán kính 15 cm cắt A B Đường thẳng OO’ cắt AB H Giả sử AB  24cm Chứng minh OO’ đường trung trực đoạn thẳng AB tính độ dài AH , OH O’H Tính độ dài OO’ hai trường hợp: H thuộc đoạn thẳng OO’ H nằm đoạn thẳng OO’ Bài Cho đường trịn tâm O bán kính 12cm đường trịn tâm O’ bán kính 5 cm  13cm.  Giả sử OO� Chứng minh hai đường tròn cắt Gọi A B hai giao điểm hai đường tròn Chứng minh AO tiếp tuyến  O�  Chứng minh OO�vuông góc với AB trung điểm H AB Tính độ dài AH AB Bài Cho điểm A thuộc đường tròn tâm O Gọi O’ tâm đường trịn đường kính OA Hãy cho biết vị trí tương đối  O  O�  O O Giả sử   có dây AB cắt   C khác A AO ' C có đặc biệt? Chứng minh � C // OB ACO� � ABO   O� Chứng minh C trung điểm AB Bài Cho đường tròn tâm O  bán kính R đường trịn tâm O ' bán kính băng R�tiếp xúc O� A. Vẽ tiếp tuyến OM   ( M  là tiếp điểm) OMO ' tam giác gì? Tính OM theo R R’ Bài Hai đường tròn  O  O’ O tiếp xúc A Đường thẳng qua A cắt   B   O’ cắt   C � � Chứng minh ABO    ACO� C tiếp tuyến Bx  của  O  song song với tiếp tuyến Cy Chứng minh OB // O�   O’ 2.LUYỆN TẬP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC Bài Cho hai đường tròn tâm O O’ tiếp xúc A Vẽ đường tiếp tuyến chung O O’ với tiếp điểm B thuộc   tiếp điểm C thuộc   Tiếp tuyến chung A cắt BC I AI đường VABC Chứng minh VABC  vuông A 1 � AIO    � AIB  ; � AIO�  � AIC   2 Chứng minh VOIO ' vuông I Chứng minh OO�tiếp xúc với đường tròn đường kính BC  O� A.  Bài Cho điểm A thuộc đoạn thẳng OO’ Đặt R  OA; R� Hãy cho biết vị trí tương đối hai đường tròn  O; R  ; R�  O�  O O� O Đường thẳng qua A cắt   B cắt   C Vẽ đường kính BD   O’ đường kính CE   Chứng minh BD // CE AD R  Chứng minh OAD  đồng dạng với O’AE theo trường hợp c-g-c AE R� Bài Cho tam giác ABC vuông A Gọi M trung điểm BC Vẽ đường tròn tâm O1 qua A tiếp xúc với BC B , đường tròn tâm O2 qua A tiếpxúc với BC C Chứng minh MO1A   MO1B ; MO2 A  MO2C (trường hợp c-c-c) Chứng minh ba diểm O1 , A, O2 thẳng hàng Xác định vị trí tương đối  O1   O2  AM đường  O1   O2  ? O Bài Hai đường tròn tâm O O’ cắt A B Vẽ đường kính AC   O' đường kính AD   ' Chứng minh C , B, D  thẳng hàng CD  2OO O   O’ Một cát tuyến quay quanh A cắt   M cắt   N Vẽ OI vng góc với MN I , OH vng góc với MN H Chứng minh MN   2IH   2OO' Xác định vị trí cát tuyến MN dài Bài 10 Hai đường tròn tâm O O’ cắt A B Gọi K trung điểm OO’ O O’ Đường thẳng qua A vng góc với AK cắt   M cắt   N Chứng minh A trung điểm MN Hướng dẫn: Vẽ OI   vng góc với MN I , O'H vng góc với MN H BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC Bài 11 Cho hai dường trịn tâm O1 O2 tiếp xúc ngồi E Vẽ hai tiếp tuyến chung AB CD với A D hai tiếp điểm thuộc  O1  ; B C  là hai tiếp điểm thuộc O2 Chứng minh: Tứ giác ABCD hình thang cân (Gợi ý: CD BA kéo dài cắt F ); BC   AD    AB   CD (Gợi ý: vẽ tiếp tuyến chung E cắt AB CD M N ) CÁC BÀI TÍNH TỐN VÀ BÀI NÂNG CAO Bài 12 Cho hai đường trịn  O  O’ có bán kính R , cắt A B O O’ cho O O’ nằm hai bên đường thẳng AB Đường thẳng qua A cắt   C cắt   D cho A nằm C D Chứng minh BC    BD O O' Hướng dẫn: Vẽ hai đường kính AI   AK   Chứng minh B trung điểm IK (phải chứng minh I,  B,  K thẳng hàng) Tứ giác CDKI hình gì? Bài 13 Cho đường trịn tâm O bán kính bính 12cm đường trịn tâm O’ bán kính 16cm cắt A B OO�cắt AB I Giả sử độ dài OO�là bội chung Tính độ dài AB OI   (Gợi ý: chứng minh OAO’ vng) Bài 14 Cho hai đường trịn  O; R   O’; R �  tiếp xúc A (R    R’) Vẽ tiếp tuyến O O' chung với tiếp điểm B thuộc   tiếp điểm C thuộc   Tiếp tuyến A cắt BC I H vng góc với OB H Tính độ dài BC theo R R’ (Hướng dẫn: vẽ O� H ) dùng định lý Pythagore OO� Tính diện tích IOO�theo R  và R� Bài 15 Cho hai đường tròn  O1 , Ri   02 ; R  tiếp xúc A (vẽ R   R Vẽ tiếp O O tuyến chung BC với tiếp điểm B thuộc   tiếp điểm C  thuộc   Giả sử có O   O đường trịn tâm I tiếp xúc ngồi với hai đường trịn     , đồng thời tiếp xúc với đoạn thẳng BC H I Tính bán kính X đường tròn   theo R1 R Hướng dẫn: tính BC,  BH,  HC theo R1 ;  R x BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC � Giả sử thêm BO1O2    60 Tìm hệ thức R1 R (Hướng dẫn: Vẽ O2 H  O1B H , 2O1H  O1O ) Bài 16 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Điểm C  di động đoạn thẳng AB Gọi I K tâm đường tròn đường kính AC đường kính CB Tiếp tuyến chung I K O I K C  của     cắt   D AD cắt   M BD cắt   N Chứng minh MN    CD tìm vị trí C  để MN dài Tìm vị trí C  để diện tích tứ giác CMDN lớn Hướng dẫn: SCMDN ‫ף‬CM MD  Bài 17 Hai đường tròn CM  MD 2  O1; R1   O2 ; R  tiếp xúc T (giả sử R   R Tiếp tuyến O O chung BC (tiếp điểm B thuộc   tiếp điểm C thuộc   cắt đường thẳng O1O2 � A Giả sử BC   1 0 cm O1 AB    30 Tính R1 R � Hướng dẫn: Vẽ O H vng góc với O1B H Từ giả thiết O1 AB    30 , chứng minh O1O2 O1O2cos30  BC Bài 18 Cho hai đường tròn  O; R   O’; R’ Hai tiếp tuyến chung AC BD cắt I với A B thuộc  O  , C   D thuộc  O’ Gọi M N trung điểm AC BD Hai tiếp tuyến chung cắt K Tia IO   tia IO�là góc tạo hai tiếp tuyến chung ngồi? Tia KO tia KO' góc tạo hai tiếp tuyến chung trong? Có nhận xét bốn điểm I , O, K , O� ? Chứng minh OO’ đường trung trực đoạn thẳng MN Tính độ dài AB,  CD MN theo R, R�và d  OO� IO R IO R   Hướng dẫn: AB cắt IO tai H Chứng minh IO� R� , suy IO  IO� R  R� Tính độ dài IO, OH , AH  và AB Tương tự cho CD Bài 19 Cho hai đường tròn  O; R   O’; R  Vẽ tiếp tuyến chung AB ' O , B O’ tiếp tuyến chung CD với A C  thuộc   D thuộc   Đặt d   OO  Tính độ dài AB CD theo R, R’ d BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC CI OI R   R  R� Hướng dẫn: CD cắt OO’ tai  I Chứng minh CD d Sử dụng định lý Pythagore để tính IC , suy độ dài CD Bài 20 Hai đường tròn  O1; R1   và  O2 ; R2  tiếp xúc A Vẽ tiếptuyến chung BC với tiếp điểm B thuộc  O1  tiếp điểm C  thuộc  O2  Hãy tính độ dài AB AC theo R1 R2 Hướng dẫn: Tiếp tuyến chung A cắt BC I Tính độ dài BC AI  theo R1 1   2 AO1 AI R2 Gọi H giao điểm IO1 AB Ta có AH Bài 21 Hai đường tròn  O1; R1   O2 ;R  tiêp xúc A Vẽ tiếp tuyến chung O O BC với tiếp điểm B thuộc   tiếp điểm C  thuộc   Giả sử AB   1 2cm AC   1 6cm Hãy tính R1 R O ; R O ;R Bài 22 Cho điểm B thuộc đoạn thẳng AC Gọi  1   2  hai đường trịn O đường kính AB BC tương ứng Vẽ d1 tiếp tuyến   A d tiếp tuyến  O2  thuộc O C Vẽ tiếp tuyến chung FG với tiếp điếm F thuộc   tiếp điểm G  O2  ; FG cắt d1  tại D cắt d E Tiếp tuyến chung B cắt FG I Tính độ dài BI,  AD CE theo R1 R Hướng dẫn: Chứng minh BI  FG  R1 R2 ; VADO1 đồng dạng với VBO1I Tính diện tích tứ giác ACED theo R1 R O Bài 23 Cho điểm A cố định bên đường tròn tâm O A khác O Dây BC   quay quanh điểm A Gọi O1 O2 tâm hai đường tròn cung qua A tiếp xúc với  O B C tương ứng Chứng minh tứ giác OO1 AO2 hình bình hành Dây BC vị trí hình bình hành trở thành hình thoi? � Hướng dẫn:chứng minh BAO1 … BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC O O Hai đường trịn     cắt M khác A Chứng minh OM // O1O2 M di động đường cố định dây BC quay quanh A � Hướng dẫn: xác định đường trung bình VAMO Có nhận xét AMO ? Bài 24 Cho ba đường trịn tâm O1; O2  và O3 tiếp xúc ngồi đôi một, với A tiếp điểm  O2   và  O3  ; B tiếp điểm  O3   O1  ; C tiếp điểm  O1   O2  ; AB AC cắt  O1  D E Chứng minh DE đường kính   O1  Hướng dẫn vẽ hình: vẽ đường trịn nhỏ (bán kính khoảng lcm ) lấy ba điểm A,  B,  C tùy ý Vẽ ba tiếp tuyến A, B,  C cắt điểm O1 , O2 , O3 thích hợp với đề Sau vẽ ba đường trịn tâm O1;O ,  O3 Chứng minh O1D // AO3 O1E // AO2 Bài 25 Hai đường tròn tâm O vá O�ngoài Vẽ tiếp tuyến chung AB với tiếp điểm A thuộc  O O� tiếp điểm B thuộc   Vẽ hai tiếp tuyến chung EH FG với E F thuộc  O  ; G H thuộc  O’ EH cắt AB C , FG cắt AB D Chứng minh AC    BD Hướng dẫn: Gọi I trung điểm OO�và M trung điểm CD Chứng minh: OCO’ vuông C VODO’  vuông D , tứ giác AOO’B hình thang IM đường trung trực đoạn thẳng CD đường trung bình hình thang AOO ' B, suy AC    BD Ghi chú: tốn có nguồn gốc từ tốn lớp sau: vẽ tam giác nhọn KOO' có hai C Vẽ OA vng góc với CD A' , O� B vng góc với CD B đường cao OD O� Chứng minh AD    BC BÀI GĨC Ở TÂM ĐƯỜNG TRỊN – GĨC NỘI TIẾP VÀ GĨC CĨ ĐỈNH TRONG, NGỒI ĐƯỜNG TRỊN BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GÓC Ở TÂM VÀ GÓC NỘI TIẾP Bài Cho AB dây cung khơng chứa tâm đường trịn tâm O Vẽ dây AC vng góc � � với AB Chứng minh BOC    2BAC suy B, O, C  thẳng hàng Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AC ,có bán kính OB vng góc với AC Điểm � � M thuộc cung AB Tính BMC AMB BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC Bài Cho hai đường tròn tâm O O’ có bán kính R , cắt A B O O’ cho O O’ nằm hai bên đường thẳng AB Cát tuyến qua A cắt     C D ( A nằm C D ) Tứ giác AOBO�là hình gì? Chứng minh BC    BD Câu hỏi nâng cao: Nếu A không nằm C D kết câu cịn khơng? � O Bài Cho BAC  30 nội tiếp đường tròn tâm O ( B C thuộc   ) Vẽ đường tròn tâm I qua O cho hai điểm B C nằm ởbên  I  Hai tia OB OC cắt  I  E �   F Tính EIF Bài Cho AB đường kính đường trịn tâm O , bán kính R Vẽ hai dây cung AD BC cắt E Vẽ EF vng góc với AB F Chứng minh tam giác AFE dồng dạng với tam giác ADB ; tam giác BFE đồng dạng với tam giác BCA Bài Cho hai đường tròn tâm O O’ cắt A B Vẽ AC AD hai đường kính  O   O’ Chứng minh C,  B,  D thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD Đường trịn đường kính BC cắt AB AC F E Chứng minh AD,  BE CF đồng qui Bài Cho AB CD hai dây song song đường tròn (tia AB tia DC � � chiều) Chứng minh sđ AC     sđ DB Tứ giác ABCD hình gì? Bài Cho AB đường kính đường trịn tâm O CD dây song songvới AB (tia CD chiều với tia AB ) � � Chứng minh ADC  BCD � � Chứng minh ACD  ADC  90� Bài 10 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn Lấy D thuộc cung BC không � � chứa A Chứng minh ADC    ACB Bài 11 Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC vẽ đường kính AD AH là đường cao tam giác Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác ACD Bài 12 Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính AB Vẽ tiếp tuyến A nửa � � đường trịn Vẽ MH  vng góc với tiếp tuyến H So sánh MAH và MBH , chứng minh MH � AB  MA2 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC Bài 13 Cho AB dây cung đường tròn tâm O Trên tia đối tia BA lấy điểm D Bán O kính OC  vng góc với AB với C thuộc cung lớn AB CD cắt   � � Chứng minh CEA  CAB ; CD Chứng minh CA  CE � Bài 14 Lấy ba điểm A,  B,  C đường tròn tâm O Gọi Ax tia đối củatia AB , Ay tia �  CAx  �  sđ BC BAy đối tia AC Chứng minh với BC cung chứa điểm A Bài 15 Cho tam giác ABC có AB  AC nội tiếp đường tròn tâm O Lấy I điểm (trung điểm) cung BC chứa A Kéo dài BA ta có tia Ax Nối đoạn thẳng BI Chứng minh: � IAx   với BI  là cung chứa điểm A � AI tia phân giác CAx   Bài 16 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi OM bán kính vng góc với cạnh BC ( M thuộc cung BC không chứa A ) Chứng minh AM tia phân giác góc � BAC Bài 17 Cho đường trịn tâm O có dây AB Bán kính OM vng góc với dây AB ( M thuộc O cung nhỏ AB ) Tiếp tuyến   A cắt tia OM C Chứng minh AM tia phân giác góc SAC (Hướng dẫn: sđAM  sđBM ) Bài 18 Trên nửa đường trịn tâm O , đường kính AB , có điểm C di động Tia phân giác � O BAC  cắt   D Chứng minh OD vng góc với BC Tia AC cắt tia BD K Tam giác ABK có đặc biệt? Chứng minh C  di động K chạy đường cố định Bài 19 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O có hai đường cao BE;  CF cắt  O  I K � � Chứng minh ABE   ACF Chứng minh OA vng góc với IK BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC Bài 20 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Đường cao AD tam giác cắt  O � � E Vè đường kính AF đường tròn Chứng minh EF PBC BAD  CAF Bài 21 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn tâm O có đường cao AD Gọi H trực tâm tam giác Tia AD cắt  O  E Chứng minh � � � DBE  DAC  DBH Đ iểm H E đối xứng qua đường thằng BC Bài 22 Cho đường tròn tâm O có dây AB Gọi M trung điểm dây AB Vẽ dây CD qua M ( CD không trùng với AB ) Chứng minh dây CD dài dây AS Bài 23 Cho hai đường tròn đồng tâm O Điểm I thuộc đường tròn lớn Từ I kẻ tia Ix cát đường tròn nhỏ lớn theo thứ tự A, B,  E Kẻ tia It cắt đường tròn nhỏ lớn theo thứ tự C , D,  F cho CD   AB Vẽ OH vng góc với AB H OI vng góc với CD I Chứng minh IF  IE Bài 24 Cho điểm I bên đường tròn tâm O Cho hai cung AC BD qua I AIB Vẽ OH vng góc với AC H , OK vng góc với BD cho IO tia phân giác � ởK Chứng minh AC    BD � � Chứng minh sđAD   sđBC tứ giác ABCD hình thang cân Chứng minh OI vng góc với AB BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GĨC CĨ ĐỈNH BÊN TRONG VÀ NGỒI ĐƯỜNG TRỊN Bài 25 Gọi C điểm cung lớn AB đường tròn tâm O Trên cung nhỏ BC lấy điểm M Tia CM cắt tia AB D � � Chứng minh CBM  CDB CM Chứng minh CB   CD � Bài 26 Gọi I   điểm dây AB đường tròn tâm O cho IA    IB Gọi D điểm O O cung AB DI cắt   C Tiếp tuyến   C cắt tia AB E Chứng minh EI    EC BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC Bài 27 Gọi C điểm cung AB lớn đường tròn tâm O Trên cung nhỏ BC lấy điểm M Tiếp tuyến M  O   và tia CM cắt AB D E Chứng � � minh DE    DM (Gợi ý: Kéo dài đoạn DM ta có tia Mx Chứng minh CMx  MED ) Bài 28 Cho AB AC làdây cung đường tròn tâm O E D lần lượtlà điểm (trung điểm) cung AB khơng chứa C cung AC không chứa B ED cắt AB AC H K Chứng minh tam giác AHK cân A � � Bài 29 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Hai tia phân giác ABC và ACB   O cắt I   cắt   D E � � � � Chứng minh sđ AD  sđDC sđ AE    sđEB Chứng minh tam giác DCI cân D ; tam giác EBI cân E Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H ; I ; K  lần lượt điểm cung BC không chứa A , CA không chứa B AB không chứa C AH cắt IK E � � Chứng minh AEI     AEK Chứng minh AH vng góc với IK � � Bài 31 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Hai tia phân giác ABC và ACB   O O cắt I  và cắt   D E DE cắt AB AC H K Tia AI cắt   M � � � � � � Chứng minh sđ EA  sđ EB; sđ DA  sd DC; sđ MB  sđ MC Chứng minh tam giác DAI cân D , tam giác EAI  cân E Đường thẳng DE đoạn thẳng AI ? Chứng minh tứ giác AHIK hình thoi O Bài 32 Hai tiếp tuyến A B đường tròn   cắt C Vẽ cát tuyến CDE  O ( D nằm C E ) Lấy điểm F dây DE cho CF    CA    CB Hai tia AF O BF cắt   I K Chứng minh: � � � � � � sđ  AI  sđ  AD   sđ  IE   sđ  BK  sđ  BD  sđ  EK (qui ước cung cung nhỏ  O ) I K điểm DE (lớn nhỏ) 10 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC Bài 29 Cho đường trịn tâm O đường kính BC Điểm H thuộc đoạn thẳng OB Lấy điểm A bên ngồi đường trịn cho AH vng góc với BC Từ A kẻ hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm D E cho D B E Chứng minh: Tứ giác AEHD nội tiếp (Gợi ý: đường trịn đường kính AO) HA tia phân giác góc DHE; Câu hỏi nâng cao (tùy chọn): Ba đường thẳng BE, CD AH đồng quy (Gợi ý: EH cắt (O) F, DH cắt (O) G Chỗ đồng quy tâm đường tròn nội tiếp DEH) Ba đường thẳng BD, CE AH đồng quy (Gợi ý: Tại tâm đường tròn bàng tiếp DEH) Bài 30 Cho tam giác ABC có I tâm đường trịn nội tiếp Gọi O tâm đường tròn (BIC) � � � � Chứng minh IOC = ABC IOB = ACB Có nhận xét tứ giác OBAC? Chứng minh O, I, A thẳng hàng (Hướng dẫn: AO tia phân giác góc BAC) � Vẽ đường kính IJ (O) Điểm J có đặc biệt tam giác ABC?Tính BJ C theo � a = BAC Bài 31 Cho A di động nửa đường trịn đường kính BC cố định Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi O tâm đường tròn (BIC) Chứng minh điểm O điểm cố định tính bán kính (O) Bài 32 Cho tam giác ABD có AD