Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 đại số 2

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ BÀI ĐỊNH LÍ VI – ET VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ TÍNH BIỂU THỨC CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BẰNG HỆ THỨC VI – ET Bài Kiểm tra tồn nghiệm tính tổng tích hai nghiệm mà khơng giải phương trình x2 − 4x − = 2 x + 3x − = 4 x2 − 4x + = x + x + 11 = x2 − ( x2 − x − = ( ) ) +1 x + = Bài Cho hai số x2 + 5x − = 6x2 + − x − = x2 − 5x + = x1 , x2 S, có tổng x12 + x22 ( x1 − x2 ) tích P tính đại lượng sau theo 2 Bài Nếu phương trình sau có hai nghiệm x12 + x22 , ( x1 − x2 ) , x1 − x2 , x12 − x22 x13 + x23 x1 , x2 tính giá trị đại lượng sau: x + 3x − = mà không giải phương trình P x14 + x24 x − x − 12 = S x2 + 5x + = x2 + 5x − = BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ x2 − 2x − = Bài Nếu phương trình sau: có hai nghiệm đại lượng sau mà không giải phương trình x +x 10 13 16 19 2 2 x1 x + x2 + x1 + x2 x + 21 x − x1 − 2 x12 x22 + x2 x1 x12 x22 + x1 x22 − x12 x2 − x1 − x2 x1 x2 − x2 x1 11 14 22 25 28 x1 x − 3 x1 x2 − x1 x2 − x12 x22 + x22 x12 1 + 2 x1 x2 x12 + x22 + + x2 x1 x1 x + 2 3x1 x2 − 3x1 x2 − 17 20 23 26 29 2 x1 x − x2 − x1 − x12 x22 − x2 x1 1 − 2 x + x2 x1 + x23 x1 x + 32 x + x1 + x12 + x22 + + x1 x2 tính giá trị x1 + x2 + = x2 x1 x1 − x2 − + x2 x1 x −x x −x x1 x2 + x2 x1 x1 , x2 ( x1 < x2 ) x13 + x23 12 15 18 21 24 27 x1 − x2 − + x22 x1 ( x1 − x2 ) 1 − x1 x2 x1 − x2 − − x2 x1 x1 + x2 + − x22 x1 x14 + x24 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 30 x12 + x22 + + x22 + x12 + 31 3x13 − x1 + x23 − x2 + + x2 x1 x Bài Nếu phương trình bậc hai ẩn tính đại lượng sau: ( x1 − x2 ) x Bài Nếu phương trình bậc hai ẩn tính đại lượng sau: Bài Cho Bài Cho Bài Cho x >    x + x = 14 Tính x >    x + x = 23 x <    x + x = 34 Bài 10 Cho Bài 11 Cho Tính Tính x <    x + x = 47 x >    x + x = ( x1 − x2 ) 2 x − ( m − ) x − 4m + = sau: ; x1 − x2 sau: theo m mà không giải phương trình x − ( 2m − 1) x − 4m = ; x1 − x2 theo m có hai nghiệm x1 , x2 có hai nghiệm x1 , x2 mà khơng giải phương trình 1    x + , x + ,  x + ÷ x + ÷; x5 + x  x  x x  x 1    x + , x3 + ,  x + ÷ x + ÷; x5 + x  x  x x  x 1    x + , x3 + ,  x + ÷ x + ÷; x5 + x  x  x x  x x5 + Tính x5 + Tính x5 x5 (TS lớp 10 trường THPT chuyên LHP, vòng 2, 04 –05) VẤN ĐỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 12 Tìm điều kiện tham số phân biệt m để phương trình bậc hai ẩn x sau có hai nghiệm BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 9 x + x + 2m = −3x + x + 2m = x − ( m + ) x + m2 − = ( m − 1) x − 2mx + m − = ( m − ) x2 − ( m + 1) x + 4m + = Bài 13 Tìm điều kiện m ( m + 1) x − ( 2m + 1) x + m + = ( m + ) x − 4mx + ( m + ) = ( m − 1) x − ( m − 1) x + 3m + = m ( m + 1) x − ( 2m − 1) x + m = ( − 2m ) x − ( − m ) x + − 2m = 10 m2 =0 12 mx − ( m + 1) x + ( m − ) = ( m − 1) x − ( m + 1) x + 4m + = ( m − ) x − ( m − 3) x + m − = ( m − 3) x − ( m − ) x + m + = ( − m ) x − ( − 2m ) x − m + = ( m − 1) x + ( 2m − 1) x + m + = ( m − 1) x − ( m − 1) x + m − = x sau có nghiệm x + 3x + m − = x − ( 2m − 1) x + m = mx − ( − m ) x + mx − x − = để phương trình bậc hai ẩn x − x − 2m = 3x − ( − m ) x + x − ( m + 1) x + m + = đê phương trình sau có nghiệm mx − ( m + 1) x + m + = Bài 14 Tìm điều kiện 2x2 − x + + m = m −2=0 ( 2m + 1) x − ( 2m − 3) x + 2m − = 10 ( m − 3) x − ( m − ) x + 2m + = BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ Bài 15 Tìm điều kiện 9 để phương trình sau vơ nghiệm 3x − x + m = x − ( 2m + 1) x + m + = mx − 4mx + 4m − = ( 3m − ) x − ( 3m − ) x + 3m + = ( m + 3) x − ( m + 3) x + m + = Bài 16 Tìm m m 8 x + x − 5m = x − ( m + ) x + ( m + 1) ( m − 3) = ( m − 1) x − ( m − 1) x + m + = ( m − ) x − ( 2m + 1) x + 4m + = 10 ( m − 4) x2 − ( m − 4) x + m − = để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt ( x − ) ( x − 3x + m ) = ( x − 1) ( x − x + m − 1) = ( x − 3) ( x − x + m + 1) = ( x − 1) ( mx − 4mx + 4m − 1) = ( x − 1) ( m − 1) x − ( m + 1) x + m − 2 = ( x − 1) ( m − 1) x − ( m + 1) x + 4m − 8 = ( x − 1) ( m − ) x − ( m + ) x + m −  = ( x − 1) ( m − 5) x2 − ( m + 5) x + m − 10 = ( x − 1) 4 ( m − 1) x − ( m + 1) x + m − 2 = BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ ( x − 3) ( m − 1) x − ( m + 1) x + m − 3 = 10 Bài 17 Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm x − ( m − 1) x + 9m =0 x 3x − ( 3m + ) x + 3m + =0 5x − Bài 18 Tìm để phương trình sau vơ nghiệm ( m − 1) x + x − 4m = ( m − ) x + ( 2m − 3) x + 3m = x−2 ( 2m − 3) x + ( 12 − m ) x − 4m = x+3 2mx + ( 2m − 3) x + m − =0 2x −1 x−4 m2 x − ( m + 1) x + +1 =0 8x − 2 m x + ( − 2m ) x + m − =0 x+3 ( 2m − 1) x − ( m − ) x + 2m =0 3x − ( m − 1) x − 2mx + m + = x −1 mx − ( 2m + 3) x + m − =0 x +1 ( m + 1) x − ( m − 1) x + 4m = 2x + ( m + 3) x − ( m + 1) x + 9m = 4x − 10 mx − ( m + 1) x + m + =0 x−2 TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM THỎA MỘT HỆ ĐỐI XỨNG m Bài 19 Tìm để phương trình bậc hai ẩn thức đối xứng x − 2mx + m − m − = 07) có hai nghiệm x sâu có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 , x2 x12 + x22 = thỏa mãn đẳng (TS lớp 10 chuyên 06 – BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ x − ( 2m + 1) x + m + = 4 x + ( 2m + 3) x + 4m − = Bài 20 Tìm đối xứng m để phương trình bậc hai ẩn x − 3x − m2 + m + = có hai nghiệm − x + x + m + 2m + = x + x + m2 − 3m + = có hai nghiệm x − x + 3m − 2m − = x − x + 2m + m + = Bài 21 Tìm đối xứng m x1 , x2 có hai nghiệm để phương trình bậc hai ẩn x − ( m − 1) x + m + = x − ( m − 1) x + m + = có hai nghiệm 2 thỏa: x1 , x2 có hai nghiệm có hai nghiệm có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: thỏa: x12 + x22 = thỏa: x1 , x2 x1 , x2 x x1 , x2 thỏa đẳng thức x13 + x23 = 34 x13 + x23 = 10 thỏa: thỏa: x13 + x23 = −2 x13 + x23 = −8 sau có hai nghiệm x1 , x2 x1 , x2 x13 + x23 = thỏa: thỏa: thỏa: x + mx + = thỏa: 15 x12 + x22 = 20 sau có hai nghiệm x1 , x2 có hai nghiệm thỏa x1 , x2 có hai nghiệm x x12 + x22 = x1 , x2 có hai nghiệm x12 + x22 = thỏa: x1 , x2 có hai nghiệm x − ( m + 1) x + m + 6m − = có hai nghiệm x − ( m + ) x + 2m + = x1 , x2 x1 , x2 x1 x2 + = x2 x1 x1 x2 + = 14 x2 x1  x1   x2   ÷ + ÷ =  x2   x1  thỏa đẳng thức BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ x − ( m + 1) x + = có hai nghiệm x1 , x2  x1   x2   ÷ +  ÷ = 14  x2   x1  thỏa: x + ( 2m − 1) x + m + = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa:  x1   x2   ÷ +  ÷ = 98  x2   x1  TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CĨ NGHIỆM THỎA HỆ THỨC KHƠNG ĐỐI XỨNG m Bài 22 Tìm để phương trình bậc hai ẩn không đối xứng x2 − ( m + 5) x − m + = x2 + 2x + m = có hai nghiệm có hai nghiệm x − ( m + 3) x − 24 = x − 2mx + ( m − 1) = x1 , x2 có hai nghiệm x − 18mx + ( m − 3) = x1 , x2 có hai nghiệm x − ( 2m + 1) x + 3m2 + 6m =0 x−2 x + ( 3m − ) x + 3m + 6m =0 x−2 x − ( m + ) x + − 9m =0 x+8 x − 3mx − =0 x−2 thỏa: thỏa: x1 , x2 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa đẳng thức x1 + 3x2 = 13 x1 = x22 x1 = x22 x1 , x2 x1 , x2 x1 , x2 thỏa: x1 + x2 = −1 thỏa: có hai nghiệm có hai nghiệm có hai nghiệm thỏa: x1 , x2 x1 = x2 x1 , x2 sau có hai nghiệm x1 , x2 thỏa: có hai nghiệm x thỏa: thỏa: thỏa: x1 + x2 = 16 x1 + x2 = x1 + x2 = 20 x1 + x2 = BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI x1 , x2 S P có tổng (kí hiệu ) tích (kí hiệu ) biết trước, lập x1 , x2 phương trình bậc hai nhận hai số làm nghiệm Bài 23 Cho hai số S = 5; P = S = 3; P = 2 S = −7; P = 12 S = 8; P = −9 S = 4; P = S = −10, P = 25 S = + 2; P = S = − 2; P = − S = 3; P = −9 S = + 2; P = 6 10 Bài 24 Cho phương trình bậc hai ẩn Chứng minh (1) có hai nghiệm Khơng giải ( 1) , Không giải X1 = lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: Bài 25 Cho phương trình bậc hai ẩn Chứng minh Không giải ( 1) , x1 , x2 x1 x ; X2 = x1 + x2 + ( 1) sau: x − x + = ( 1) lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: X = x1 + 1; X = x2 + ( 1) , x có hai nghiệm x sau: x − x − = ( 1) x1 , x2 lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ X1 = 1 ; X2 = x1 x2 Không giải X1 = ( 1) , lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: x1 x2 ; X2 = x1 − x2 − Bài 26 Cho phương trình bậc hai ẩn Chứng minh Khơng giải X = x1 − ( 1) ( 1) , có hai nghiệm x sau: x − 2mx − = ( 1) x1 , x2 lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: 3 ; X = x2 − x1 x2 Bài 27 Biết x1 , x2 ax + bx + c = ( a ≠ ) hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn Viết phương trình bậc hai nhận x13 x23 x sau: làm nghiệm [PTNK ban AB, 1999 – 2000] Bài 28 Biết x1 , x2 ax − bx + c = ( a ≠ ) Bài 29 Biết Viết phương trình bậc hai nhận x1 , x2 ax + 2bx + 4c = ( a ≠ ) Bài 30 Biết hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn x1 , x2 4ax + 2bx + c = ( a ≠ ) x13 x23 Viết phương trình bậc hai nhận x23 Viết phương trình bậc hai nhận x23 x sau: làm nghiệm hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn x13 sau: làm nghiệm hai nghiệm phương trình bậc hai ẩn x13 x x làm nghiệm sau: 2 + xy = x  2 xy + y = x a) Nếu x=0 (1) (2) hệ phương trình cho nào? Sau chia vế phương trình x (1) cho phương trình (2) cho x, đặt phương trình theo hai ẩn u, y u= x để đưa hệ phương trình cho hệ b) Tìm x, y 2 + xy = x (1)  2 xy + y = x (2) a) Nếu x=0 x hệ phương trình cho nào? Sau chia vế phương trình u= (1) cho phương trình (2) cho x, đặt phương trình theo hai ẩn u, y x để đưa hệ phương trình cho hệ b) Tìm x, y 8 + xy = x  8 xy + y = x 2 + xy = x  2 xy + y = x 10  18 + xy = x   18 xy + y = x HỆ CHO MỘT PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP (ĐỒNG BẬC) Bài 19 Giải hệ sau đây: 2 x − 12 xy + 15 y =  2  x − xy + y = 2 x − xy + y =  2  x − 3xy + y = −1  x + y =  2 xy − y =  x − xy + y = 19( x − y)  2  x − xy + y = 7( x − y ) 2 x − xy + y = 13  2  x + xy − y = −6 ( x + y )( x − y ) = 45  2 ( x − y )( x + y ) = 85 a) Sử dụng đẳng thức: ( x + y )2 ( x − y ) = 45 (1)  2 ( x − y )( x + y ) = 85 (2) rằng: a − b = (a − b)(a + b) để đưa hệ phương trình dạng: Lấy phương trình (1) chia cho phương trình (2) để chứng minh x + 17 xy + y = (3) Giải phương trình (3) theo ẩn x b) Tìm x, y ( x + y )( x − y ) = 32  2 ( x − y )( x + y ) = 20 a) Sử dụng đẳng thức: ( x + y )2 ( x − y ) = 32 (1)  2 ( x − y )( x + y ) = 20 (2) rằng: a − b = (a − b)(a + b) để đưa hệ phương trình dạng: Lấy phương trình (1) chia cho phương trình (2) để chứng minh 3x − 10 xy + y = (3) Giải phương trình (3) theo ẩn x b) Tìm x, y 2 ( x + y )( x − y ) = 25  2 ( x − y )( x + y ) = 13 10 12 14 16 2 ( x + y )( x − y ) = 45  2 ( x − y )(4 x + y ) = 85 2  (2 x + y )(4 x − y ) = 72  2  (2 x − y )(4 x + y ) = 40 2 x − xy − y =   x x + y y = −1 2 x − xy − y =   x x + y y = 2 ( x + y )( x − y ) = 72  2 ( x − y )( x + y ) = 40 11 13 15 17 (2 x + y )(4 x − y ) = 32   2  (2 x − y )(4 x + y ) = 20 2  x + xy − y =   x x + y y = −3 2 x − 3xy − y =   x x + y y = −3 4 x − xy − y =   x x + y y = Bài 20 Giải hệ phương trình sai bằn cách CÂN BẰNG BẬC 3  x + y = + xy (1)  4  x + y = x + y (2) a) Cân bậc hai vế phương trình (2) cách thay (1) vào VP = x.1 + y.1 = x + y − xy phương trình (2) Sau chứng minh từ phương trình xy ( x − y ) = b) Tìm x, y 3   x − y = + xy (1)  4   x + y = x − y (2) a) Cân bậc hai vế phương trình (2) cách thay (1) vào VP = x.1 − y.1 = x − y − xy phương trình (2) Sau chứng minh từ phương trình xy ( x − y ) = b) Tìm x, y 3   y − x = − xy  4  4 x + y = y − x  x − xy + y =  4 3 x + y = x + y 2  x − x y + y =  4  2 x + y = 2x + y 2   x − xy + y =  4  x + y = 2x + y HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài: 21 Giải hệ sau phép thế:  x − y + y =   x − y = a) Tính x theo y từ phương trình thứ hai thay vào phương trình thứ b) Tìm x, y  x − y + y =   x − y =  x − y + y =   x − y =  y − x + x = 10  2 x − y =  x − y + =   3x − y + y =  x − y + =   x − y + y =  xy − 10 = 10 − x (1)   xy = + y (2) a) Thay phương trình (2) vào phương trình (1) để đưa hệ phương trình cho dạng:  y − = 20 − x (3)  (4)  xy = + y x= + y2 y b) Từ phương trình (3) đơa hai trường hợp sau thay trường hợp để tìm x, y , từ phương trình (4) vào  xy − 40 = 50 − x (1)   xy = 20 + y (2) a) Thay phương trình (2) vào phương trình (1) để đưa hệ phương trình cho dạng:  y − 20 = 50 − x (3)  (4)  xy = 20 + y x= b) Từ phương trình (3) đơa hai trường hợp sau thay trường hợp để tìm x, y  xy − 10 = 20 − x  4 xy = + y 11  xy − 10 = 20 − x  4 xy = 20 + y 10 12 20 + y y , từ phương trình (4) vào  xy + 10 = 20 − x  4 xy = −5 − y  xy − 10 = 20 − x  2 xy = 45 + y Bài 22 Gải hệ sau (Từ điều kiện giá trị tuyệt đối hệ phương trình biết dấu biểu thức bên giá trị tuyệt đối lại)  x + y = (1)  3x + y − = (2) y≤ a) Từ phương trình (1) chứng minh rằng: y −3≤ b) Tìm x, y  x + y = 15   x + y − =  x + y = 11  3 x + y − = 3 x + y = −9  2 x − y =  x + y =  6 x + y − = 10  x + y = −1  3 x + y =  x − + y =  3 x + y − =  x − y − =   x − + y − = (1) (2) a) Từ phương trình (1) chứng minh rằng: y≤− ; từ phương trình (2) chứng minh rằng: x≥ b) Tìm x, y 4 x − y = −13 (1)  2 x − y − = (2) y≥ a) Từ phương trình (1) chứng minh rằng: 13 ; từ phương trình (2) chứng minh rằng: x≥ b) Tìm x, y 10 4 x − y = −13  4 x − y − = Bài 23 Giải hệ sau (Chia trường hợp để giải)  x + y =  2 x + y − = 2 x + x − = − y  2 x + y − = 2 x + x − = − y   x + y − =  x + x = −1 − y   x + y − = 2 x + x − = − y  2 x + y − = 6 6 x + x − = − y  6 x + y − = 18 Bài 24 Giải hệ sau (Đặt ẩn phụ giá trị tuyệt đối)  x − y − y − x =  3 x − y − y − x = 10  x − y − y − x =  3 x − y − y − x = 20  x − y − y − x =  6 x − y − y − x = 20 4 x + y + y − 3x = −7  2 x + y − y − 3x = 16 2 x − y + y − =  − x − y + y − = 10 A=A Bài 25 Giải hệ sau (Một hai phương trình hệ có dạng: A = −A hay )  x + + y =   x + − y = x+2 = y +5 a) Thay y = − y từ phương trình (2) vào phương trình (1) để chứng minh rằng: b) Tìm x y  x + + y − =   x + − y =  x + + y − =   x + − y =  x + + y − =   x + − y =  x + + y − = 10   x + − y =  x + + y − =   x + − y = CÁC DẠNG KHÁC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN VÀ ƠN TẬP Bài 26 Giải hệ phương trình sau cách làm xuất đẳng thức: A2 ± B  x + y + xy =   3  x + y = x + 3y (1) (2) a) Giải hệ trường hợp b) Trong trường hợp cho có dạng: sau tìm x x≠ y x− y cho có dạng: sau tìm x Lúc trừ vế theo vế hai phương trình thu để tìm y x = −y x+ y ≠0 nhân hai vế phương trình (1) cho  x + y = x + y  3  x − y = x − y x+ y để chứng minh hệ Lúc trừ vế theo vế hai phương trình thu để tìm y 2   x + y + xy =  3   x − y = 23 x − y 2   x + y + xy = 16  3   x + y = x + 16 y  x + y + xy = 19  3  x + y = 19 x − y 2   x + y − xy =  3   x + y = 23x + y Bài 27 Giải hệ phương trình ĐỐI XỨNG LOẠI I BẬC CAO sau để chứng minh hệ  x + y − xy =  3  x − y = x − y b) Trong trường hợp nhân hai vế phương trình (1) cho 3  x − y = x − y  3  x + y = x + 3y a) Giải hệ trường hợp x= y  x + x + x + x = y + y + y + y (1)  2 (2)  x + y = a) Từ phương trình (1) chứng minh rằng: x = y  2y +  x = −  2+ y  b) Giải hệ trường hợp câu a  x + x3 + x + x = y + y + y + y  2  x + y = a) Từ phương trình (1) chứng minh rằng: x = y  4( y + 2)  x = − + y  b) Giải hệ trường hợp câu a  x + 3x + x + 27 x = y + y + y + 27 y  2 4 x + y = 8 x + x3 + x + x = y + y + y + y  2 4 x + y = 27 x + x3 + x + x = 27 y + y + y + y  2 9 x + y = Bài 28 Ứng dụng phương pháp để tính giá trị biểu thức Cho hệ: x − 3y − = (1)  2  x + y − x − y − = (2) có hai nghiệm ( x1 ; y1 );( x2 ; y2 ) a) Từ phương trình (1) tính x theo y thay vào phương trình (2) để thu phương trình bậc hai theo ẩn y b) Tính y1 + y2 ; y1 y2 Cho hệ: M = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) x − y − =  2 9 x + y − 18 x − y − 81 = có hai nghiệm ( x1 ; y1 );( x2 ; y2 ) a) Từ phương trình (1) tính x theo y thay vào phương trình (2) để thu phương trình bậc hai theo ẩn y b) Tính y1 + y2 ; y1 y2 Cho hệ: Tính 2 x − y − =  2  y − 3x + x + y + = có hai nghiệm ( x1 ; y1 );( x2 ; y2 ) 3x − y − =  2  y − x + 3x + y + = có hai nghiệm ( x1 ; y1 );( x2 ; y2 ) M = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )2 Cho hệ: Tính có hai nghiệm ( x1 ; y1 );( x2 ; y2 ) M = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )2 Cho hệ: Tính x − y + =  2  x − y + x + 13 y − 13 = M = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )2 Cho hệ: Tính M = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) x + y +1 =  2  x − y + 3x + y − = có hai nghiệm ( x1 ; y1 );( x2 ; y2 ) M = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )2 Bài 29 Giải hệ phương trình phương pháp bất đẳng thức Dạng Đánh giá trực tiếp từ phương trình hệ  x3 + y − y + = (1)  2  x + x y − y = (2) a) Từ phương trình (1) chứng minh rằng: x ≤ −1 rằng: −( x3 + 1) = 2( y − y + 1) sau chứng minh b) Từ phương trình (2) chứng minh rằng: 2 y = x (1 + y ) b) Từ phương trình (2) chứng minh rằng: −( x + 17) = 2( y − y + 1) 18 y = x3 (1 + y )   x + y − y + 10 =  2   x + x y − 16 y + 12 = 8 x + y − y + =  2 2 x + x y − y = 8 x + y − y + =  2 2 x + x y − y = a) Từ (1) chứng minh rằng: chứng minh rằng: 4  x + y ≤  5  x + y ≥ x ( x − 1) + y ( y − 1) ≤ y ≥ y2 + Sau tìm x, y 4 x3 + y − y + =  2  x + x y − y + =  x + y − y + =  2  x + x y − y =  x + y ≤   x + y ≥ (1) (2) x ( x − 1) + y ( y − 1) ≥ Mặt khác Từ dấu “=” xảy (1) (2) a) Từ (1) chứng minh rằng: −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ b) Cộng vế theo vế (2) (3) chứng minh rằng: chứng minh rằng: sau chứng minh −1 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ (3) b) Cộng vế theo vế (2) (3) chứng minh rằng: Sau tìm x, y   x − y − y − 29 = (1)  2   x − x y − 18 y = (2) a) Từ phương trình (1) chứng minh rằng: x ≤ −3 rằng: y ≥ y2 + x ( x − 1) + y ( y − 1) ≤ − x − y ≥ −1 (3) x ( x − 1) + y ( y − 1) ≥ Mặt khác Từ dấu “=” xảy 10 6  x + y ≤  7  x + y ≥ 11 a) Từ (1) chứng minh rằng: 2  x + y ≤  3  x + y ≥ 12 −2 ≤ x ≤ 2; −2 ≤ y ≤ b) Cộng vế theo vế (2) (3) chứng minh rằng: chứng minh rằng: 13 x ( x − 1) + y ( y − 1) ≤ ( 1) x ( x − 1) + y ( y − 1) ≥ chứng minh chứng minh rằng: 2  x + y ≤ 16  3  x + y ≥ 64  2 x + y ≤    x3 + y ≥  ( 2) ( 3) chứng minh rằng: x ( x − 1) + y ( y − 1) ≤ −3x − y ≥ −27 ( 3)   x, y >  x + y ≤ 4  + =5  x y x ( x − 1) + y ( y − 1) ≥ Mặt khác Từ dấu “=” xảy nào? 15 17  x + y ≤ 25   3   x + y ≥ 125  2 x + y ≤    x3 + y ≥  27 Dạng 2.Sử dụng bất đẳng thức B.C.S Mặt khác Từ dấu “=” xảy −3 ≤ x ≤ 3; − ≤ y ≤ b) Cộng vế theo vế 16 −2 x − y ≥ −8 (3)  x + y ≤ ( 1)  3  x + y ≥ 27 ( ) a) Từ 14 2  x + y ≤ (1)  3  x + y ≥ (2) a = x;b = y ;c = ;d = x y a) Đặt a , b, c , d Đưa hệ phương trình cho biến chứng minh rằng: (a + b ) ( c + d ) ≤ 25 b) Dùng bất đẳng thức B.C.S để chứng minh rằng: y ;c = Sau tìm ;d = x y a) Đặt x y a , b, c , d Đưa hệ phương trình cho biến chứng minh rằng: (a Sau tìm x Sau + b ) ( c + d ) ≤ 49 b) Dùng bất đẳng thức B.C.S để chứng minh rằng: 25 ≤ ( a + b ) ( c + d )   x, y >  x + y ≤  16  + =7  x y a = x;b = Sau 49 ≤ ( a + b ) ( c + d ) y   x, y >  x + y = 4  + ≤4  x y   x, y >  x + y = 16  + ≤5  x y   x, y >  x + y = 1  + ≤3  x y [PTNK BAN AB 1997-1998]   x, y >  x + y ≤ 16 25  + =9 y  x   x, y >  x + y ≤  25  + =6  x y Dạng Đánh giá cách sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai 697  ( 1) x + y = 81   x + y + xy − 3x − y + = ( )  a) Viết lại ( 2) thành phương trình bậc hai theo ẩn 1≤ y ≤ minh rằng: ( 2) b) Viết lại x từ điều kiện có nghiệm chứng y thành phương trình bậc hai theo ẩn 0≤x≤ chứng minh rằng: từ điều kiện có nghiệm x4 + y2 ≤ c) Chứng minh rằng: 697 81 Dấu “=” xảy nào? d) Tìm nghiệm hệ phương trình cho 211  x + y = 27  2  x + y + xy − 3x − y + =  a) Viết lại ( 2) minh rằng: b) Viết lại ( 2) thành phương trình bậc hai theo ẩn 1≤ y ≤ ( 2) ( 1) x từ điều kiện có nghiệm chứng y thành phương trình bậc hai theo ẩn 0≤x≤ chứng minh rằng: x3 + y ≤ c) Chứng minh rằng: 211 27 Dấu “=” xảy nào? d) Tìm nghiệm hệ phương trình cho từ điều kiện có nghiệm 697  x + y = 81  2  x + y + xy − 3x − 12 y + =   x + 81 y = 697  2  x + y + xy − x − 36 y + 36 = a) Viết lại ( 2) minh rằng:  x + y = 20  2  x + 16 y + xy − x − 40 y + 25 =  x + y ≤ 17 ( 1)  2 4 x + 16 y + xy − x − 40 y + 25 = ( ) thành phương trình bậc hai theo ẩn 1≤ y ≤ x từ điều kiện có nghiệm chứng ( 2) b) Viết lại y thành phương trình bậc hai theo ẩn −2 ≤ x ≤ chứng minh rằng: c) Chứng minh rằng: x + y ≥ 17 từ điều kiện có nghiệm ( 1) Rồi sau kết hợp với để dấu “=” xảy d) Tìm nghiệm hệ phương trình cho  x3 + y ≥ 40 ( 1)  2 4 x + 16 y − xy + x − 40 y + 25 = ( ) a) Viết lại ( 2) minh rằng: b) Viết lại thành phương trình bậc hai theo ẩn 1≤ y ≤ x từ điều kiện có nghiệm chứng ( 2) y thành phương trình bậc hai theo ẩn 0≤x≤2 chứng minh rằng: c) Chứng minh rằng: x + y ≥ 40 Rồi sau kết hợp với d) Tìm nghiệm hệ phương trình cho 2   x + y ≥ 40  2  4 x + 16 y − xy + x + 40 y + 25 = từ điều kiện có nghiệm ( 1) để dấu “=” xảy 8 x + y ≥ 40   25 =0 4 x + y − xy + x − 10 y +  10  x3 + 32 y ≥ 40   25 =0  x + 16 y − xy + x − 10 y +  ... x 22 + x2 x1 x 12 x 22 + x1 x 22 − x 12 x2 − x1 − x2 x1 x2 − x2 x1 11 14 22 25 28 x1 x − 3 x1 x2 − x1 x2 − x 12 x 22 + x 22 x 12 1 + 2 x1 x2 x 12 + x 22 + + x2 x1 x1 x + 2 3x1 x2 − 3x1 x2 − 17 20 23 26 29 . .. + x23 12 15 18 21 24 27 x1 − x2 − + x 22 x1 ( x1 − x2 ) 1 − x1 x2 x1 − x2 − − x2 x1 x1 + x2 + − x 22 x1 x14 + x24 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 30 x 12 + x 22 + + x 22 + x 12 + 31 3x13 − x1 + x23... 29 2 x1 x − x2 − x1 − x 12 x 22 − x2 x1 1 − 2 x + x2 x1 + x23 x1 x + 32 x + x1 + x 12 + x 22 + + x1 x2 tính giá trị x1 + x2 + = x2 x1 x1 − x2 − + x2 x1 x −x x −x x1 x2 + x2 x1 x1 , x2 ( x1 < x2 )