Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 49 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
49
Dung lượng
1,33 MB
Nội dung
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN Bài 1.Giải hệ bậc ba ẩn sau theo phép hay cộng đại số bình thường �x y z � �x y z �x y z 27 � �x y z 2 � 2 x y z � � 3x y z � �x y z � 3x y z � � 4x y 2z � 5x y 2z � � �x y 3z 14 � 4 x y z � �x y z 11 � 2x y z � � x y z 14 � �x y z � x y z 8 � � 3x y z 46 � Bài 2.Giải hệ phương trình sau PHƯƠNG PHÁP THẾ �xz x � 2 y xz 3x 14 � �2 x z 35 y � 1 2 3 2 a) Thay x xz từ phương trình vào để chứng minh y xz x z b) Thay y xz vào phương trình để tính c) Tìm x, y, z �xz x � y xz 3x 28 � �2 x z 140 y 2 � 1 2 3 2 a) Thay x xz từ phương trình vào để chứng minh y xz x 2z b) Thay y xz vào phương trình để tính c) Tìm x, y, z �xz x 16 � y xz x 56 � �2 x z 140 y � 1 2 3 2 a) Thay x 3xz 48 từ phương trình vào để chứng minh y xz x z b) Thay y xz vào phương trình để tính BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ c) Tìm x, y, z �xz x �2 �y 14 xz x 28 � x z 140 y � xz x � �2 �y 14 xz x � x z 35 y � Bài 3.Giải hệ phương trình sau cách tính hai ẩn theo ẩn cịn lại dùng PHƯƠNG PHÁP THẾ �x y z 1 � �x y z � x yz zx 3 � a) Từ phương trình 1 2 tính x, y theo z b) Thay x, y theo z câu a vào phương trình để tìm x, y, z �x y z � �x y z �x yz zx � a) Từ phương trình 1 2 tính x, y theo z b) Thay x, y theo z câu a vào phương trình để tìm x, y, z �x y 3z 4 � 2x 3y 2z � �x xz xy � �x y 3z � x y z 12 � �z xy yz 12 � �x y 3z � x y z 17 � � 2 xy x y 3z yz 14 � �x y z � � 2x 3y z � �2 2 x y z z 1 35 � a) Từ hai phương trình đầu tính x, y theo z b) Thay x, y theo z câu a vào phương trình cịn lại để tìm x, y, z �x y 3z � �x y z � xy z � 1 2 3 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ a) Từ phương trình 1 2 tính x, y theo z b) Thay x, y theo z câu a vào phương trình để tìm x, y, z �x y z � �x y z � xy z 1 � [ PTNK BAN AB 00 – 01] 15 � �x y xy � � �yz xz xy � � xyz � 10 � � 2x y z � �x y z �xy z � a) Chia hai vế phương trình � � 3z � x �y � � � 5� � � 9z2 x y � � �xy z 1 � � 1 cho 1 2 3 xy , chia hai vế phương trình cho xyz , nghịch 1 X ,Y , Z x y z để đưa hệ ẩn X , Y , Z đảo hai vế phương trình , sau đặt b) Trong hệ phương trình theo ẩn tính X , Y theo Z từ hai phương trình đầu thay vào phương trình cịn lại để tìm X , Y , Z c) Tìm x, y, z � x y 3xy 1 � yz zx xy � � xyz 3 11 � a) Chia hai vế phương trình 1 cho xy , chia hai vế phương trình cho xyz , nghịch 1 X ,Y , Z x y z để đưa hệ ẩn X , Y , Z đảo hai vế phương trình , sau đặt b) Trong hệ phương trình theo ẩn tính X , Y theo Z từ hai phương trình đầu thay vào phương trình cịn lại để tìm X , Y , Z c) Tìm x, y, z BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ � � y z 11 yz � 5 � �xy yz xz � 1 � xyz � 14 12 � 13 z 3x 13xz � � yz xy xz � � xyz 1 � � � y z yz � 8 � �xz xy yz � 1 � xyz � 14 � Bài 4.Giải hệ phương trình sau cách TRỪ VẾ theo vế sử dụng PHƯƠNG PHÁP THẾ �x y yz z � � 2 �x y y z � x y y3 z � 1 2 3 a) Trừ vế theo vế phương trình 1 2 chứng minh rằng: z 1 � � yz � b) Thay kết câu a vào hệ để tìm x, y, z �x y yz z � � 2 �x y y z � x y y3 z � 1 2 3 a) Trừ vế theo vế vế phương trình 1 2 chứng minh rằng: b) Thay kết câu a vào hệ để tìm x, y, z �x y yz z � 2 �x y y z �x y y z � �x y yz z � 2 �x y y z �x y y z � �x y yz y z 1 � � 2 �x y y z z � x y y3 z 3 � �x y yz z � 2 �x y y z �x y y z � a) Trừ vế theo vế vế phương trình 1 2 chứng minh rằng: b) Thay kết câu a vào hệ để tìm x, y, z z0 � � y z 1 � BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ �x y yz y z � 2 �x y y z z �x y y z � �x y yz y z � 2 �x y y z z �x y y z � �x y yz y z � 2 �x y y z z �x y y z � � x y yz z � � 4x y y2 4z2 � � 8x y y3 8z 10 � 1 2 3 �x y yz z 1 � � 2x y y z 2 � � x y y z 3 11 � a) Nhân hai vế phương trình trừ phương trình 2 1 cho 2 ta phương trình vế theo vế chứng minh rằng: z2 � � z 2y � Lấy phương trình b) Thay kết câu a vào hệ để tìm x, y, z �x y yz z 1 � � 2x y y2 z2 2 � � x y y z 3 12 � 4 a) Nhân hai vế phương trình cho ta phương trình Lấy phương trình z 2 z y trừ phương trình vế theo vế chứng minh rằng: b) Thay kết câu a vào hệ để tìm x, y, z � x y yz z � x 18 y 18 y z � � 3x y y z 13 � � x y yz z � x 16 y 16 y z � � x y y3 z 14 � � x y yz z � x 18 y 18 y z � � 3x y y z � � x y yz z � x 16 y 16 y z � � 2x y y3 z � 15 16 Bài 5.Giải hệ phương trình sau phương pháp tích hai biến vào phương trình chứa tích ba biến BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ �x y z � �xy z � xyz 216 � 1 2 3 a) Thay phương trình 2 vào phương trình 3 để tìm z b) Thay z tìm câu a vào hệ phương trình cho để tìm x, y �x y z 1 � �xy z �xyz � 2x y z � � �xy z �xyz 512 � �2 x y z 2 � �xz y �xyz 27 � 3x y z 10 � � �xy z �xyz 125 � �2 x y z � �yz x �xyz 64 � 2x y 9z � � �yz x �xyz 343 � Bài 6.Giải hệ phương trình sau cách NHÂN VẾ theo vế dùng PHƯƠNG PHÁP THẾ �xy z � �yz 25 x � zx y � 1 2 3 a) Nhân phương trình 1 , , 3 vế theo vế để chứng minh xyz xyz 100 b) Tìm x, y , z �xy z � �yz x �zx y � �xy z � �yz 49 x � �zx y �xy z � �yz 16 x �zx y � �xy z � �yz 16 x �zx y � �xy z � �yz x � �zx y [ PTNK BAN AB 05 – 06] Bài 7.Giải hệ phương trình sau cách tìm TỔNG VÀ TÍCH CỦA HAI ẨN �x y z �2 2 �x y z 21 �xz y � BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ a) Chứng minh hệ phương trình cho viết dạng sau: �x z y 1 � � x z y xz 21 � � 3 �xz y b) Thay phương trình 1 3 vào phương trình 2 để tìm y Sau tìm x, y, z �x y z 15 �2 2 �x y z 75 �xy z � a) Chứng minh hệ phương trình cho viết dạng sau: �x z 15 y 1 � � x y z xy 75 � � 3 �xy z b) Thay phương trình 1 3 �x y z �2 2 �x y z 27 �xz y � vào phương trình 2 �x y z 14 �2 2 �x y z 84 �yz x � để tìm y Sau tìm x, y, z �x y z 19 �2 2 �x y z 133 �xz y � Bài 8.Giải hệ phương trình sau cách sử dụng ĐỊNH LÝ VIET ĐẢO �x y z 1 � �x y z � y x z 3 � a) Từ phương trình 1 2 tìm x, y z b) Tìm x, y, z �x y z � �x y z 14 � y x z 18 � �x y z � �x y z 3 � y x z 1 � BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ �x y z � �x y z 6 � y x z 2 � �x y z 6 � �x y z � y x z � �y z x 1 � �x y z 5 � y z x 3 � a) Từ phương trình 1 3 tìm y, z x 3 tìm x z , y b) Tìm x, y, z �x y z 1 � �x y z 5 � y x z 8 � a) Từ phương trình 1 b) Tìm x, y, z �x y z � �x y z 14 � y x z 18 � �x y z � �x z y 3 � y x z 1 � �x y z � �x y z 3 � y x z 1 10 � �x y z 1 � �xy yz zx �2 x y z 14 11 � a) Từ phương trình 1 3 tính xy yz zx b) Từ phương trình 2 4 tìm y x z c) Từ phương trình 1 5 x z tìm y Sau tìm x, y, z �x y z 1 � �xy yz zx 11 �2 x y z 14 3 12 � 4 5 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ a) Từ phương trình 1 3 tính xy yz zx b) Từ phương trình 2 4 tìm x y z c) Từ phương trình 1 5 y z tìm y Sau tìm x, y, z 13 �x y z 6 � �xy yz zx �x y z 14 � 16 �x y z � �xy yz zx 2 �x y z � �x y z � �yz zx xy �x y z 14 19 � 4 5 14 �x y z 2 � �yz zx xy �x y z 14 � 17 �x y z � �xy yz zx 1 �x y z 14 � 15 �x y z � �xy yz zx �x y z 29 � 18 �x y z � �xy yz zx �x y z 14 � �x y z � �xy yz zx �x y z 14 20 � � x y xy 1 � �xy yz zx 108 � xyz 180 3 21 � xy � x y � � � �xy xyz 108 2 a) Từ phương trình chứng minh rằng: � b) Tìm x, y, z � x y 3xy 1 � �xy yz zx 11 � xyz 3 22 � xy � x y � � � �xy xy 11 2 a) Từ phương trình chứng minh rằng: � b) Tìm x, y, z BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ �x y xy � �xy yz zx 27 � xyz 45 � � 15 y z yz � �xy yz zx 23 �xyz 15 24 � � x z xz � �xy yz zx 44 �xyz 48 25 � � y z yz � �xy yz zx 99 �xyz 162 26 � 23 Bài 9.Giải hệ phương trình BA ẨN ĐỐI XỨNG LOẠI I sau �x y z � �xy yz zx 12 � �xyz �x y z 1 � �xy yz zx 3 �xyz � �x y z 6 � �xy yz zx 12 � �xyz 8 �x y z � �xy yz zx 11 � �xyz �x y z � �xy yz zx �xyz 3 � � �x y z � � �xy yz zx 12 �2 2 � 3 x y z � (Từ phương trình thứ ba hệ tìm xyz đưa dạng trên) � �x y z 2 � � �xy yz zx 1 �2 2 � 1 �x y z � �x y z 7 � � �xy yz zx 14 �4 4 � 7 �x y z � �x y z � � �xy yz zx 6 �4 4 � 3 �x y z � 13 �x y z � � �xyz �1 1 13 � 10 �x y z (Tìm xy yz zx từ phương trình thứ ba hệ để đưa dạng trên) BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 33 �x 4y 16 �2 �y 4z 16 �z 4x 16 � 34 �x 2y �2 �y 2z �z 2x � Dạng 10 Sử dụng kĩ thuật BẤT ĐẲNG THỨC BIẾT DẤU biến số �4x y (1) � �4y z (2) �4z - x (3) � a) Từ phương trình (1), (2) (3) chứng minh rằng: x , y , z b) Nếu x y từ phương trình (1) (2) chứng minh rằng: y z Sau từ phương trình (2) (3) chứng minh rằng: z x Từ rút kết luận c) Nếu x y từ phương trình (1) (2) chứng minh rằng: y z Sau từ phương trình (2) (3) chứng minh rằng: z x Từ rút kết luận d) Tìm x, y, z � 3x y (1) � 3y z (2) � � 3z - x (3) � a) Từ phương trình (1), (2) (3) chứng minh rằng: x , y , z b) Nếu x y từ phương trình (1) (2) chứng minh rằng: y z Sau từ phương trình (2) (3) chứng minh rằng: z x Từ rút kết luận c) Nếu x y từ phương trình (1) (2) chứng minh rằng: y z Sau từ phương trình (2) (3) chứng minh rằng: z x Từ rút kết luận d) Tìm x, y, z �2 x y � � y z2 �2 z x � � 5x y � � 5y z2 � 5z x2 � � 8x y2 � � y 4z2 � 8x x2 � � 8x y � � y z2 � 8z x2 � �x y 5 � �y z 5 �z x 5 � a) Từ phương trình (1),(2) (3) chứng minh y, z, x < BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ b) Nếu x > y từ phương trình (1) (2) chứng minh y > z , sau từ phương trình (2) (3) chứng minh z > x Từ rút kết luận c) Nếu x < y từ phương trình (1) (2), chứng minh y < z , sau từ phương trình (2) (3) chứng minh z < x Từ rút kết luận d) Tìm x,y,z �x y 6 � �y z 6 �z x 6 � a) Từ phương trình (1) (2) (3) chứng minh y, z, x < b) Nếu x > y từ phương trình (1) (2) chứng minh rằng: y > z , sau từ phương trình (2) (3) chứng minh rằng: z > x Từ rút kết luận c) Nếu x < y từ phương trình (1) (2) chứng minh rằng: y < z , sau từ phương trình (2) (3) chứng minh rằng: z < x Từ rút kết luận d) Tìm x,y,z �x 12 y 20 � x 12 y 5 � � �y 12 z 20 10 � y 12 z 5 �z 12 x 20 � z 12 x 5 � � �x 14 y 24 � 11 �y 14 z 24 �z 14 x 24 � � x y 3 � 12 � y z 3 � z x 3 � �3 x y y (1) � � � 13 �y z z (2) � �3 �z x x (3) � � 1� x y y �y � � � 12 x Tương tự a) Từ phương trình (1) chứng minh chứng minh rằng: y, z > 3 b) Nếu x > y từ phương trình (1) (2) chứng minh < x - y = ( y - z )( y + z +1) 3 y > z Từ phương trình (2) (3) chứng minh rằng: < y - z = ( z - x)( z + x +1) z > x Từ rút kết luận 3 c) Nếu x < y từ phương trình (1) (2) chứng minh > x - y = ( y - z )( y + z +1) 3 y < z Từ phương trình (2) (3) chứng minh rằng: > y - z = ( z - x )( z + x +1) z < x Từ rút kết luận d) Tìm x, y,z BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ �x3 - y - y = 9(1) � �3 14.� �y - z - z = 9(2) � � � �z - 3x - x = 9(3) � 3� x = 3( y + y + 3) = 3� y+ � + � � � � � 2� a) Từ phương trình (1) chứng minh rằng: x > Tương tự chứng minh y,z > b) Nếu x > y từ phương trình (1) (2) chứng minh 2 < x3 - y = 3( y - z )( y + z + 3) y > z 3 Từ phương trình (2) (3) chứng minh rắng: < y - z = 3( z - x)( z + x + 3) z > x Từ rút kết luận c) Nếu x < y từ phương trình (1) (2) chứng minh : > x - y = 3( y - z )( y + z + 3) y < z 3 Từ phương trình (2) (3) chứng minh rằng: > y - z = 3( z - x )( z + x + 3) z < x Từ rút kết luận d) Tìm x, y, z �3 �3 � 64 2 � � � x y y = x y 16 y = x y y = � � � � � � 3 � � � � � � �3 �3 � 64 2 15.� 16.� 17.� y - 3z - z = �y - z - z = �y - z - 16 z = � � � � 3 � � � � � � � � � 64 � � � z - x2 - x = z - x - 16 x = z - 3x - x = � � � � � � 3 � � � � � x - y - y =1 x3 - y - 27 y = 27 � � � � 18.� y - z - z =1 19.� y - z - 27 z = 27 � � � � � � � � z - x - x =1 z - x - 27 x = 27 � � �x = y + y + y - � � 21.� �y = z + z + z - � � � �z = x + x + x - a) Chứng minh hệ cho viết dạng: �x - = ( y - 1)( y + y + 3)(1) � � � �y - = ( z - 1)( z + z + 3)(2) � � � �z - = ( x - 1)( x + x + 3)(3) b) Nếu ba số x, y, z =1 hai số cịn lại nào? � 26 x - y - y =1 � � 20 � 26 y - z - z =1 � � � � 26 z - x - x =1 � c) Trường hợp ba số x,y,z khác hay nhân vế theo vế (1),(2),(3) để chứng minh rằng: � � � ( x +1) + 2� ( z +1)2 + 2� = 1(4) (�y +1) + 2� � � � � � � � Có nhaajnxest vế trái (4) Từ rút kết luận nghiệm hệ phương trình cho BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ �x = y - y - � � 22.� �y = z - z - � � � �z = x - x - a) Chứng minh hệ cho viết dạng: �x - = ( y - 2)( y + y + 3)(1) � � � �y - = ( z - 2)( z + z + 3)(2) � � � �z - = ( x - 2)( x + x + 3)(3) b) Nếu ba số x, y, z = hai số cịn lại nào? c) Trường hợp ba số x,y,z khác hay nhân vế theo vế (1),(2),(3) để chứng minh rằng: � � � ( x +1) + 2� ( z +1) + 2� = 1(4) (�y +1) + 2� � � � � � � � Có nhaajnxest vế trái (4) Từ rút kết luận nghiệm hệ phương trình cho �x = y - y - y - � � 23� �y = z - z - z - � � � �z = x - x - x - �x = y - y + y + � � 25.� �y = z - z + z + � � � �z = x - x + x + �x = y + y + y + � � 24.� �y = z + z + z + � � � �z = x + x + x + �x = y + y + y - � � 26.� �y = z + z + z - � � � �z = x + x + x - � x = 27 y + y + y - � � 27.� y = 27 z + z + 3z - � � � � z = 27 x + x + 3x - � �y - x +12 x - = 0(1) � �3 29.� �x - z +12 z - = 0(2) � � � �z - y +12 y - = 0(3) � x = y + y + y - 16 � � 28.� y = z + z + z - 16 � � � � z = x + x + x - 16 � �y - 6( x - 1) + � � � �x - 6( z - 1) + � � � z - 6( y - 1) + � a) Từ (1),(2),(3) chứng minh rằng: Từ suy x,y,z >0 3 b) Cộng vế theo vế (1),(2),(3) để chứng minh rằng: ( x - 2) + ( y - 2) + ( z - 2) = 0(4) c) Nếu x > từ (2) chứng minh rằng: z - 12 z + > � z > từ (3) chứng minh rằng: y > 2 d) Nếu x < từ (2) chứng minh rằng: z - 12 z + < � z < từ (3) chứng minh rằng: y < Từ tìm nghiệm hệ phương trình cho BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ �x - y + y - = 0(1) � �3 30.� �y - z + z - = 0(2) � � � �z - 3x + 3x - = 0(3) � � � x = 3� z� � � � � � � � � � �3 x�y = 3� � � � � � � � � � � z = 3� y� � � � � � � a) Từ (1), (2),(3) chứng minh rằng: 1� � + � � 2� 1� � + � � 2� 1� � + � � 2� Từ suy x, y, z >0 3 b) Cộng vế theo vế (1) (2) (3) để chứng minh rằng: ( x - 1) + ( y - 1) + ( z - 1) = 0(4) c) Nếu x >1 từ (1) chứng minh rằng: y - y +1 > � y > từ (2) chứng minh rằng: z > d) Nếu x < từ (1) chứng minh rằng: y - y +1 � � �1 16 1.� � + + = 16 � x y z � � � �x + y + z �4 a = x,b = y ,c = z ; A = ,B = ,C = x y z để đưa hệ phương trình cho a) Đặt 2 2 2 ẩn a,b,c,A,B,C Sau chứng minh rằng: ( a + b + c )( A + B + C ) �64 2 2 2 b) Dùng bất đẳng thức B C S chứng minh rằng: ( a + b + c )( A + B + C ) �64 Từ tìm x,y,z �x, y, z > � � �4 36 2.� � + + = 11 � x y z � � � �x + y + z �11 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ a = x,b = y ,c = z ; A = a) Đặt ,B = ,C = x y z để đưa hệ phương trình cho 2 2 2 ẩn a,b,c,A,B,C Sau chứng minh rằng: (a + b + c )( A + B + C ) �121 2 2 2 b) Dùng bất đẳng thức B C S chứng minh rằng: (a + b + c )( A + B + C ) �121 Từ tìm x,y,z �x, y, z > � � �1 1 3.� � + + = 12 � x y z � � � �x + y + z �3 a = x,b = y,c = z; A = a) Đặt 1 ,B = ,C = x y z để đưa hệ phương trình cho 2 2 2 ẩn a,b,c,A,B,C Sau chứng minh rằng: ( a + b + c )( A + B + C ) �36 2 2 2 b) Dùng bất đẳng thức B C S chứng minh rằng: ( a + b + c )( A + B + C ) �36 Từ tìm x,y,z �x, y , z > �x, y , z > � � � � � �1 1 � 4.� + + �16 5.� � + + =3 � � 4x y z x y z � � � � � � 4x +9 y +9z = � �x + y + z �12 �x, y, z > �x, y, z > � � � � � �1 25 1 � 6.� + + = 7.� � + + = 27 � � x y z x y z � � � � � � �x + y +16 z �32 �x + y + z �3 � 1 51 � x+ y +z + + + = � � x y z 8.� � � 1 771 � x2 + y2 + z + + + = � � x y z 16 � 1 X = x + ,Y = y + , Z = z + x y z để đưa hệ phương trình cho ẩn X,Y,Z a) Đặt 2601 ( X +Y + Z )2 � 16 Từ tìm x,y,z X, b) Dùng bất đẳng thức B C S chứng minh rằng: Y,Z � 1 � x + y + z + + + = 10 � � x y z 9.� � � 1 82 � x2 + y2 + z2 + + + = � � x y z � BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 1 X = x + ,Y = y + , Z = z + x y z để đưa hệ phương trình cho ẩnX,Y,Z a) Đặt b) Dùng bất đẳng thức B C S chứng minh rằng: ( X + Y + Z ) �100 Từ tìm x,y,z X, Y,Z � 1 15 � x+ y+z+ + + = � � x y z 10.� � � 1 51 � x2 + y2 + z + + + = � � x y z � 1 X = x + ,Y = y + , Z = z + x y z để đưa hệ phương trình cho ẩnX,Y,Z a) Đặt 225 ( X +Y + Z ) � Từ tìm x,y,z X, b) Dùng bất đẳng thức B C S chứng minh rằng: Y,Z � 1 � x+ y+z- - - = � � x y z 11.� � � 1 51 � x2 + y + z + + + = � � x y z � � 1 � x + y +z- - - =8 � � x y z 12.� � � 1 82 � x2 + y2 + z + + + = � � x y z � � 4 51 � x+ y +z + + + = � � x y z 13.� � � 16 16 16 771 � x2 + y2 + z + + + = � � x y z � � 4 � x + y + z + + + = 30 � � x y z 14.� � � 16 16 16 � x + y + z + + + = 294 � � x y z � Dạng Sử dụng bất đẳng thức cauchy � � � � x, y , z > � � �3 1.�x = y + z + ( 1) � � � � 1 1� � � � x + y + z + + � = ( 2) � ( ) � � � � � x y z � � � � BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ x y x z y z + + + + + = ( 3) y x z x z y a) Từ (2) chứng minh rằng: b) Áp dụng bất dẳng thức cauchy cho cặp số vế trái (3) để chứng minh rằng: VT( 3) �6 Dấu “ =” xảy ? c) Tìm x, y , z � � � � x , y , z >0 � � � 2.�x + y + z = 14 ( 1) � � � �1 �x y z � 1� � � � � � � + + + + = ( 2) � � � � � � � � � � � � x y z � � � � x y x z y z 11 + + + + + = ( 3) a) Từ (2) chứng minh rằng: y x 12 z 12 x 18 z 18 y 18 b) Áp dụng bất dẳng thức cauchy cho cặp số vế trái (3) để chứng minh rằng: 11 VT( 3) � 18 Dấu “ =” xảy ? c) Tìm x, y , z � � � � x , y , z >0 � � � 3.�x + y + z = 14 ( 1) � � � �1 1� � � � � x + y + z + + = ( 2) � ( ) � � � � � x y z � � � � x y x z y z 11 + + + + + = ( 3) a) Từ (2) chứng minh rằng: y x z x z y b) Áp dụng bất dẳng thức cauchy cho cặp số vế trái (3) để chứng minh rằng: 11 VT( 3) � Dấu “ =” xảy ? c) Tìm x, y , z � � � � x , y , z >0 � � 4.� �x + = y - z � � �1 � �x y z� 1 � 16 � � � � + + � + + = � � � � � � � � � � � 25 � 10 � x y 10 z � � � � � � � � x, y, z >0 � � 5.� �x = y + z + � � � � 1 1� � x + y + z) � + + � =9 � ( � � � � � � �x y z � � � BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ � � � � x , y , z >0 � � 6.� �x + y + z = 28 � � � � �x y z � � 1 1� � � � � + + � + + � � � � �= � � � � � � � x y z � � � � � � � � x, y , z >0 � � 7.� x + y + z = 126 � � � �1 � � �x y z � 1� � � � + + � + + =1 � � � � � � � � � � � � � x y z � � � � � � � � x , y , z >0 � � 8.� x + y + z = 14 � � � �1 � � y z� 1� � � � � � x + + + + =1 � � � � � � � � � � � � � x y z � � � � � � � � x , y , z >0 � � 9.� �x - y + z =- � � �1 � �x y � 1� 25 � � � � � + + z + + = � � � � � � � � � � � � � 2x y z � � � � � � � � x, y, z >0 � � � 10.�x + z = y - � � �1 � �x y z� 1 � � � � � + + � + + = � � � � � � � � � � � � 12 � 3x y 12 z � � � � � x2 � = y ( 1) � � + x � � � �2 y 11.� = z ( 2) � 1+ y2 � � � � 2z2 � = x ( 3) � � 1+ z � a) Từ hệ phương trình chứng minh rằng: x, y , z�0 Nếu ba số x, y, z = hai số cịn lại ? b) Trong trường hợp nhân vế theo x, y, z>0 (1), (2), (3) để chứng minh rằng: ( x +1)( y +1)( z +1) = xyz (4) Sau áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho thừa số VT( 3) �8xyz vế trái (4) để chứng minh rằng: Dấu “ =” xảy ? c) Tìm x, y , z � 4x2 � = y ( 1) � � + x � � �4 y2 12.� = z ( 2) � � + y2 � � � � 4z2 � = x ( 3) � �4 + z � BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ a) Từ hệ phương trình chứng minh rằng: x, y , z�0 Nếu ba số x, y, z = hai số cịn lại ? b) Trong trường hợp nhân vế theo x, y, z>0 (1), (2), (3) để chứng minh rằng: ( x + 4)( y + 4)( z + 4) = 64 xyz (4) Sau áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho thừa số VT( 3) �64xyz vế trái (4) để chứng minh rằng: Dấu “ =” xảy ? x , y , z c) Tìm � 6x2 � = y ( 1) � � + x � � � �6 y 13.� = z ( 2) � + y2 � � � � 6z2 � = x ( 3) � � �9 + z a) Từ hệ phương trình chứng minh rằng: x, y , z�0 Nếu ba số x, y, z = hai số lại ? b) Trong trường hợp nhân vế theo x, y , z>0 (1), (2), (3) để chứng minh rằng: ( x + 9)( y + 9)( z + 9) = 216 xyz (4) Sau áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho thừa số VT( 3) �216xyz vế trái (4) để chứng minh rằng: Dấu “ =” xảy ? x , y , z c) Tìm � � � 2x2 4x2 x2 � � � =z =z =z � � � � � � 1+ y2 + y2 + y2 � � � � � � � � � � � � y2 y2 y2 � � � 14 � = x 15.� =x 16.� =x � � � 1+ z + z2 + z2 � � � � � � � � � 2z2 4z 6z2 � � � � � � = y = y =y 2 � � � �+ � � x + x + x � � � �2 x � =y � � + x2 � � � �2 y 17.� =z � � + y � � � � 2z � =x � � �2 + z �2 3x � =y � � + x2 � � � �2 y 18.� =z � � + y � � � � 3z � =x � � �3 + z x + y + z �xyz ( x + y + z ) Dạng Sự dụng bất đẳng thức 2 Chứng minh rằng: x + y �2 xy " x, y Dấu “=” xảy nào? 4 2 Chứng minh rằng: x + y �2 x y " x, y Dấu “=” xảy nào? BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 2 2 Chứng minh rằng: x y + y z �2 xy z " x, y , z Dấu “=” xảy nào? 4 2 2 2 Chứng minh rằng: x + y + z �x y + y z + x z " x, y Dấu “=” xảy nào? Chứng minh rằng: x y + y z + x z �xyz ( z + y + z ) " x, y x + y + z �xyz ( x + y + z ) " x, y Chứng minh rằng: Dấu “=” xảy nào? �x + y + z = 7.� �4 4 � �x + y + z = xyz 4 Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh x + y + z �xyz Dấu “=” xảy nào? Từ tìm x,y,z �x + y + z = 8.� �4 4 � �x + y + z = xyz 4 Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh x + y + z �2 xyz Dấu “=” xảy nào? Từ tìm x,y,z �x + y + z = �x + y + z = � 9.� 10 �4 �4 4 4 � � x + y + z = xyz � �x + y + z = xyz � � x+ y+z = � � 12 � x + y + z =- � � xyz � 4 � 13 � x + y + z = � 4 � � �x + y + z =- xyz � Dạng Đánh giá trực tiếp biến � x + y + z �1(1) � 1.�2003 2005 2007 � �1(2) �x + y + z a) Từ (1) chứng minh rằng: - �x, y, z �1 � � �x + y + z = 11.� � � xyz � x4 + y + z = � � � �x + y + z =- 14.� �4 4 � �x + y + z =- xyz 1999 1999 1999 b) Từ (2) (1) chứng minh rằng: x ( x - 1) + y ( y - 1) + z ( z - 1) �0(3) VT �0 c) Từ kết câu chứng minh rằng: (3) Từ tìm x,y,z �x + y + z �1(1) 2.� �7 9 � �x + y + z �1(2) a) Từ (1) chứng minh rằng: - �x, y, z �1 5 b) Từ (2) (1) chứng minh rằng: x ( x - 1) + y ( y - 1) + z ( z - 1) �0 (3) VT �0 c) Từ kết câu chứng minh rằng: (3) Từ tìm x,y,z �x + y `6 + z �1(1) � � x + y + z10 �1(1) x10 + y12 + z14 �1(1) � � 3.�15 4.�21 5.� �19 17 19 23 25 21 23 � � � �x + y + z �1(2) �x + y + z �1(2) �x + y + z �1(2) BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ �x + y + z �4 (1) 6.� �3 3 � �x + y + z �8 (3) a) Từ (1) chứng minh rằng: - �x, y, z �2 3 2 b) Chứng minh rằng: x + y + z �2 x + y + z 2 c) Từ kết câu chứng minh rằng: x ( x - 2) + y ( y - 2) + z ( z - 2) �0 Từ tìm x,y,z � x + y + z �4 (1) � 7.�5 5 � �x + y + z �32 (3) a) Từ (1) chứng minh rằng: - �x, y, z �2 5 2 b) Chứng minh rằng: x + y + z �8 x + y + z 3 c) Từ kết câu chứng minh rằng: x ( x - 8) + y ( y - 8) + z ( z - 8) �0 Từ tìm x,y,z �x + y + z �16 �x + y + z �9 �x + y + z �4 � � 8.�3 9.�5 10.� �7 3 5 7 � � � �x + y + z �64 �x + y + z �243 �x + y + z �128 Bài 13 Giải hệ phương trình đối xứng ẩn sau cách sử dụng định lí vi ét đảo �x + y + z + t = 22 (1) � � � xyzt = 648 (2) � � � 1 1.� (3) �+ = � x y 12 � � � 1 � � + = (4) � �z t 18 a) Từ phương trình (3) (4) chứng minh rằng: ( x + y )( x + t ) = 105 b) Sử dụng định lí Viet đảo cho phương trình (1) (5) để tìm ( x + y);( z + t ) c) Tìm x,y,z,t x + y + z + t = 11 � � � � 81 � xyzt = � � � � � 2.�1 � + = � x y � � � � 1 � + = � � �z t (5) (1) (2) (3) (4) a) Từ phương trình (3) (4) chứng minh rằng: ( x + y )( x + t ) = 105 b) Sử dụng định lí Viet đảo cho phương trình (1) (5) để tìm ( x + y);( z + t ) c) Tìm x,y,z,t (5) BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ �x + y + z + t = 15 � � � xyzt =144 � � �1 3.� �+ = � x y � � � 1 � � + = � �z t 12 �x + y + z + t = 10 �x + y + z + t =16 � � � � � � xyzt = 24 xyzt =105 � � � � �1 � �1 4.� + = � �+ = � � x y x y � � � � � � 1 1 12 � � � � + = + = � � �z t 12 �z t 35 � x + y + z + 3t =11 � � �x + y + z + t = 20 � � � xyzt = � � � � xyzt = 384 � � � � � � 7.�1 1 6.� � + = �+ = � � x y x y � � � � � � � 1 1 � � � + = + = � � � � �z t �z t 24 Bài 14 Giải hệ phương trình đối xứng ẩn sau đưa tổng tích lũy thừa � x +y =3 ( 1) � � � xz + yt = ( 2) � 1.� � � xz + yt = ( 3) � � � � xz + yt = 10 ( 4) � z + t ) = 3zt + a) Nhân hai vế (2) cho z + t chứng minh rằng: ( z + t ) = 2zt + b) Nhân hai vế (3) cho z + t chứng minh rằng: ( c) Tìm z, t, x, y � x +y =4 ( 1) � � � xz + yt = 10 ( 2) � 2.� � � xz + yt = 28 ( 3) � � � � xz3 + yt = 82 ( 4) � 14 + 2zt = 5( z + t ) a) Nhân hai vế (2) cho z + t chứng minh rằng: 41 + 5zt = 14( z + t ) b) Nhân hai vế (3) cho z + t chứng minh rằng: c) Tìm z, t, x, y � x +y =5 � x +y =4 ( 1) ( 1) � � � � � � xz + yt =12 ( 2) xz + yt = � � ( 2) � � 3.� � � � xz + yt = 30 ( 3) xz + yt = 12 ( 3) � � � � � � 3 � � xz + yt = 78 xz3 + yt = 30 ( 4) ( ) � � BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ � x + y =10 ( 1) � � � xz + yt = 22 ( 2) � � � � xz + yt = 70 ( 3) � � � � xz + yt = 262 ( 4) � � ax + by = ( 1) � � � � ax + by = ( 2) � 7.� � ax + by3 = ( 3) � � � � ax + by =17 ( 4) � � x +y =6 ( 1) � � � xz + yt =16 ( 2) � 6.� � � xz + yt = 48 ( 3) � � � � xz + yt =160 ( 4) � x + y) = + 3xy a) Nhân hai vế (2) cho x + y chứng minh rằng: ( x + y) = 17 + 5xy b) Nhân hai vế (3) cho x + y chứng minh rằng: ( c) Tìm x, y, a, b � ax + by = ( 1) � � � � ax + by = ( 2) � 8.� � ax + by3 = 10 ( 3) � � � � ax + by = 18 ( 4) � � + 2xy = 3( x + y ) a) Nhân hai vế (2) cho x + y chứng minh rằng: + 6xy = 5( x + y) b) Nhân hai vế (3) cho x + y chứng minh rằng: c) Tìm x, y, a, b � � ax + by = ax + by =12 � � � � 2 � � ax + by =12 ax + by = 30 � � � � � 10.� � � ax + by3 = 30 ax + by3 = 78 � � � � � � � � ax + by = 84 ax + by = 210 � � ax + by = 17 ax + by = � � � � � � � � ax + by = 29 ax + by =10 � � � � 11.� 12.� � � ax + by3 = 53 ax + by3 =18 � � � � � � 4 � � ax + by = 101 ax + by = 34 � � ... x ) không xảy 30 �x y �2 �y z �z x � 31 � 4x 2y � 4y 2z � � 4z 2x � 32 � 9x 3y � 9y 3z � � 9z 3x � BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ 33 �x 4y 16 �2... < từ (3) chứng minh rằng: y < Từ tìm nghiệm hệ phương trình cho BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ �x - y + y - = 0(1) � ? ?3 30.� �y - z + z - = 0(2) � � � �z - 3x + 3x - = 0 (3) � � � x = 3? ?? z�... ( 2) xz + yt = � � ( 2) � � 3. � � � � xz + yt = 30 ( 3) xz + yt = 12 ( 3) � � � � � � 3 � � xz + yt = 78 xz3 + yt = 30 ( 4) ( ) � � BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC ĐẠI SỐ � x + y =10 ( 1) � � � xz