Bồi dưỡng năng lực tự học toán 9 hình 1

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC PHẦN B HÌNH HỌC Bài HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Cho tam giác BH , CH , AH , AC ABC vng A có đường cao AH Hãy tính độ dài đoạn biết: AB = 6cm; BC = 10cm AB = 20cm; BC = 25cm AB = 3cm; BC = 2cm AB = 12cm; BC = 13cm AB = 5cm; BC = 1dm AB = 2cm; BC = 4cm Bài Cho tam giác BC , AH , BH , CH ABC vng A có đường cao AH Hãy tính độ dài đoạn biết: AB = 3cm; AC = 4cm AB = 12cm; AC = 9cm AB = 2cm; AC = 2cm AB = 12cm; AC = 5cm AB = 3cm; AC = 1cm AB = 3a; AC = 4a (với Bài Cho tam giác AH , BC , AB, AC ABC a độ dài cho trước, vng A a>0 có đường cao ) AH Hãy tính độ dài đoạn biết: BH = 2cm; CH = 2cm BH = 9cm; CH = 16cm BH = 1cm; CH = 3cm BH = 25cm; CH = 144cm BH = 16a; CH = 9a (với a độ dài cho trước, a>0 ) BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC BH = 144a, CH = 25a (với Bài Cho tam giác DEF a vuông độ dài cho trước, D có DI a>0 ) đường cao Tính độ dài DE = 15cm, DF = 20cm DI biết: DE = 1cm, DF = 1cm DE = 7cm, DF = 24cm DE = 12cm, EF = 15cm DF = 3cm, EF = 2cm EI = 9cm, EF = 25cm LUYỆN TẬP ABC AH A Bài Cho tam giác vuông có đường cao Hãy điền số thích hợp vào ô trống (Sử dụng máy tính bỏ túi để làm tròn kết đến chữ số hàng phần trăm) AB AC 12 24 40 20 29 60 61 84 85 Bài Giả sử tam giác biết: ABC BC AH BH CH 16 3,2 1,96 1,8 23,04 khơng có góc tù Chứng minh tam giác AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm ABC tam giác vuông AH = 30cm, BH = 36cm, CH = 25cm AB = 15cm, AC = 20cm, AH = 12cm AB = 2cm, BH = 1cm, BC = 4cm AH = 12cm, BH = 16cm, CH = 9cm AC = 24cm, BH = 1,96cm, BC = 25cm BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC ABC AH N M H Bài Cho tam giác nhọn có đường cao Gọi hình chiếu lên AC AB AM = AC AN AB Chứng minh rằng: Bài Cho tam giác ABC AH nhọn có đường cao Chứng minh rằng: AB − AC = BH − CH Bài Cho tứ giác lồi ABCD có AC ⊥ BD O Chứng minh rằng: AB + BC + CD + DA2 = ( OA2 + OB + OC + OD ) AB + CD = AD + BC ABC A AC D DE Bài 10 Cho tam giác vuông Từ trung điểm cạnh kẻ vng góc BC E với Chứng minh rằng: BE − CE = BD − CD AB = BE − CE ABC O Bài 11 Cho tam giác có góc nhọn Lấy điểm tùy ý miền OH , OK , OL AB, BC , CA H , K , L tam giác Kẻ vng góc với Chứng minh rằng: AH + BK + CL2 = OA2 + OC − OH − OK − OL2 AH + BK + CL2 = AL2 + BH + CK Bài 12 Cho tam giác ABC A, vuông đường cao AH Chứng minh rằng: BC = AH + BH + CH Bài 13 Cho tam giác ABC A, cân đường cao CD Chứng minh AB + BC + AC = BD + AD + 3CD BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC ABC Bài 14 Cho tam giác vng BC , CA, AB Chứng minh: S ABC = a , b, c A Gọi ( a + b + c) ( b + c − a) Bài 15 Cho tam giác chiều dài cạnh S ABC = ABC A ( a + c − b) ( a + b − c) M vuông cân điểm thuộc cạnh AB, AC F E lượt vng góc với Chứng minh rằng: BM = ME CM = MF BC ME , MF Kẻ lần BM + CM = AM ABCD BC DC N M AM Bài 16 Cho hình vng điểm thuộc cạnh Kéo dài cắt tia CB E A AM Qua kẻ đường thẳng vng góc với cắt tia Chứng minh rằng: AE = AN ABC A, 1 = + 2 AB AM AN AH BK Bài 17 Cho tam giác cân có đường cao Qua BC AC D vng góc với cắt tia đối tia Chứng minh rằng: BD = AH B kẻ đường thẳng 1 = + BK BC AH BÀI TẬP NÂNG CAO AM A AH vuông có đường cao đường trung tuyến Hãy AM , HM , BH , CH , AB, AC tính độ dài đoạn biết: Bài 18 Cho tam giác ABC AH = 4,8cm, BC = 10cm AH = 12cm, BC = 25cm AH = 3cm, BC = 4cm AH = 6cm, BC = 13cm 4 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC x, BH = x A AH vuông có đường cao Đặt Hãy tính suy AB, AC độ dài đoạn biết: Bài 19 Cho tam giác ABC AH = 2, 4cm; BC = 5cm AH = 1cm; BC = 2cm AH = 2cm; BC = 5cm AH = 6,72cm; BC = 25cm Bài 20 Cho tam giác ABC A vng có đường cao AH , AC độ dài đoạn biết: AH Đặt BH = x x, Hãy tính suy AB = 6cm; CH = 2cm AB = 3cm; CH = 3, 2cm AB = 60cm; CH = 27cm AB = 1cm; CH = 1,5cm BC a>0 2a A Bài 21 Cho đoạn cố định có độ dài với điểm di động cho · BC H BAC = 90° AH HE HF Kẻ vng góc với Gọi đường cao ACH ABH tam giác tam giác Chứng minh rằng: BC = AH + BE + CF Tìm điều kiện tam giác ABC để tổng BE + CF đạt giá trị nhỏ BC 2a a>0 A Bài 22 Cho đoạn cố định có độ dài với điểm di động cho · BC H BAC = 90° AH HE HF Kẻ vng góc với Gọi đường cao ACH AH = x ABH tam giác tam giác Đặt Chứng minh rằng: Tính Tìm S∆AEF x theo a AH = BC.BE.CF − BC HE.HF x S∆AEF để đạt giá trị nhỏ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC Bài 23 Cho tam giác ABC AH A E, F vuông có đường cao Gọi AB, AC BC = 2a a > H vng góc cạnh Đặt với hình chiếu BH CH BE = ; CF = BC BC Chứng minh rằng: Tính giá trị BE + CF Bài 24 Cho tam giác Chứng minh: Gọi S ABC theo a có trực tâm H AB + HC = AC + HB = BC + HA2 diện tích tam giác ABC Chứng minh: AB.HC + BC.HA + CA.HB = 4S ABC Bài 25 Cho tam giác vng A có đường trung tuyến AM BN Biết rằng: AM = 6cm; BN = 61cm ABC Bài 26 Cho tam giác vng AM = 2,5cm; CN = 4cm A có đường trung tuyến AM BN Biết rằng: ABC BN A AM Bài 27 Cho tam giác vuông có đường trung tuyến vng góc với AB = x x > AC BC x Biết rằng: với Tính theo Bài 28 Cho tam giác ABC vng A có đường trung tuyến BM = 73cm, CN = 13cm AM BN Biết rằng: AB, AC Tính độ dài cạnh BC 2a a>0 A Bài 29 Cho đoạn cố định có độ dài với điểm di động cho · BAC = 90° CN ABC BM Gọi đường trung tuyến tam giác Chứng minh rằng: BM + CN = 5a BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC Tìm điều kiện tam giác ABC BM + CN để tổng đạt giá trị lớn ABC A BD Bài 30 Cho tam giác vng có dường phân giác Biết AD = x, CD = x x > ABC x với Hãy tính độ dài cạnh tam giác theo ABC A AD Bài 31 Cho tam giác vuông có đường phân giác Biết BD = 15 x, CD = 20 x x > ABC x với Hãy tính độ dài cạnh tam giác theo Bài 32 Cho tam giác ABC vuông A có BD AM ⊥ BD, BD = 3x tuyến Biết ABC với đường phân giác x > AM đường trung Hãy tính độ dài cạnh tam giác ABC A AD BD = x, CD = y ABC A AD AD = a, CD = y Bài 33 Cho tam giác vuông có đường phân giác Đặt x, y > y ABC x Hãy tính độ dài cạnh tam giác theo với Bài 34 Cho tam giác vng có đường phân giác Đặt y y > x > ABC x Hãy tính độ dài cạnh tam giác theo với AD = t AB ( t > ) ABCD BC M Bài 35 Cho hình chữ nhật với Lấy điểm cạnh Đường CD P AM EF AM AB E thẳng cắt đường thẳng Đường thẳng vng góc với cắt · CD F CD K DAM cắt Đường phân giác cắt Chứng minh rằng: EF = tBM + DK Bài 36 Co hình thoi BC ABCD với M, cắt đường thẳng · BAD = 120° CD N Tia 1 t2 = + AB AM AP Ax tạo với tia Chứng minh rằng: AB góc 15° cắt cạnh 1 + = 2 AM AN AB BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC Bài 37 Cho tam giác ABC A, cân đường cao AH BK Chứng minh: 1 = + 2 BK BC AH Bài 38 Cho tam giác nhọn AB = c, p = a+b+c ABC có đường cao AH BH = x, BC = a, AC = b, Đặt Chứng minh rằng: a − b2 − c2 x= 2a S ∆ABC = S∆ABC = ( a 2b + b c + c a ) − ( a + b + c ) p ( p − a) ( p − b) ( p − c) Bài 39 Cho tam giác ABC nhọn có đường cao BH = x, BC = a, AC = b, AB = c, Đặt Tính x p= AM , BN , CP đường trung tuyến a+b+c , AM = ma , BN = mb , CP = mc a, b, c theo Tính 2b + 2c − a m = ma2 + mb2 + mc2 a , b, c a AH Tính theo a, b, c theo ma , mb , mc Bài 40 Cho tam giác a b ·AMB ABC ( AC > AB ) , ·AMC góc nhọn, AM , trung tuyến c góc tù BC + AM ; AC − AB = BC MH Bài 41 Cho tam giác ABC Bài 42 Cho tam giác ABC b+c Trên nửa đường thẳng thuộc đường trng trực cạnh BC , AC , AB miền tam giác lấy điểm Gọi Đặt a+b+c 2 bcp ( p − a ) Chứng minh rằng: D, O đường phân giác AD theo l0 = B1C1 AH a, b, c x, BD, CD Tính nhọn có đường cao AB = c, p = BH = x, BC = a, AC = b, Chứng minh rằng: BH = BM − BM MH + MH ; CH = CM − 2CM MH + MH AB + AC = đường cao AH từ B By kẻ vng góc với By giao điểm Cz Kẻ OH A1C1 A1 , B1 , C1 E, từ C vng góc với OC12 − OA12 = BC12 − BA12 ( = EC12 − EA12 ) OB12 − OA12 = CB12 − CA12 ( = FB12 − FA12 ) OC12 − OB12 = BC12 − CB12 ( = AC12 − AB12 ) DC12 − DB12 = OC12 − OB12 ; HC12 − HB12 = AC12 − AB12 kẻ B1C1 Từ Cz A kẻ Ax vng góc với vng góc với Chứng minh rằng: A1B1 F Ax, By, Cz O, Bài 43 kính địng quy điểm Cho đường trịn tâm AB M Lấy điểm vị trí M ( O) tùy thuộc ( O) MH Vẽ cho tổng độ dài vng góc với OH + MH R, bán kính AB H đường Hãy xác định lớn BÀI TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài Cho tam giác ABC vuông A ·ABC = x Đặt sin x = cos ( 90° − x ) tan x = cot ( 90° − x ) Bài Cho tam giác ABC BH , AH Tính theo có cạnh Tính AB ABC AC 0° < x < 90° Chứng minh rằng: cos x = sin ( 90° − x ) cot x = tan ( 90° − x ) với a>0 đường cao AH a Tính tỉ số lượng giác góc Bài Cho tam giác 2a với 30° góc vng cân theo A có 60° BC = 2a với a > a Tính tỉ số lượng giác góc 45° LUYỆN TẬP Bài Cho tam giác biết: ABC vuông A Hãy tính tỉ số lượng giác góc AB = 3cm, AC = 4cm AB = 6cm, BC = 10cm AB = 5cm, BC = 1dm AC = 5cm, BC = 12cm B góc C xy Bài 5: Vẽ đường thẳng Lấy điểm C khác Đường thẳng A OC So sánh tam giác ( O) tiếp xúc với đường tròn tâm thuộc khác BA = BC cho AB đoạn thẳng OCA tam giác OCB A thuộc So sánh tam giác A ( O) Bài 7: Cho tam giác đường tròn tâm BA = BC cho OBA Chứng minh tứ giác (Hướng dẫn: vẽ tam giác OABC cho AB = AO Chứng minh đường thẳng OBC O CB tiếp tuyến , lấy điểm AH vuông góc với AI = R Lấy điểm tan ·AIO ·AIB Kéo dài R theo B A BC khác A Lấy điểm tiếp xúc với AB = ( O) cm Chứng minh BC tiếp ) đường tròn tâm thuộc ( O) O bán kính cho IB = IA R , lấy điểm I cho chứng minh BO BC cho AB = AO ·ABC = 300 A B hình vng ABC Bài 8: Trên tiếp tuyến Tính B ? Tại sao? vng có A xúc với đường trịn tâm có bán kính cm Tính , lấy điểm Bài 6: Trên tiếp tuyến C ( O) O cắt tia IA IB K tiếp xúc với ( O) Dùng tỉ số lượng giác, tính cạnh tam giác IBK Bài 9: Trên tiếp tuyến khoảng H Tính Tính 2R · sin OAB BC R OA C · BAC khác B bán kính thuộc AC ( O) tiếp xúc với đoạn thẳng B O R , lấy điểm A cách O AB = AC BC OA cho cắt chứng minh Bài 10: Hai tiếp tuyến ( O) đường tròn tâm Lấy điểm tính theo Đường thẳng B C BC ( O) OH , HA ? Tại sao? Tính đường trịn tâm O cắt A Vẽ đường kính CD Chứng minh Chứng minh OA vng góc với BD / / OA BC C O O B A Bài 11: Hai tiếp tuyến đường tròn tâm cắt Từ kẻ tia vuông OB AC OD / / AB DO = DA D góc với cắt Chứng minh Bài 12 Cho đường trịn tâm O bán kính R Lấy điểm A cách O khoảng 2R Từ A vẽ hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm B C Đoạn thẳng OA cắt (O) I Đường thẳng qua O vng góc với OB cắt AC K // Chứng minh OK AB tam giác OAK cân K Chứng minh đường thẳng KI tiếp tuyến (O) Bài 13 Hai tiếp tuyến A B đường tròn tâm O cắt I Đường thẳng qua I vng góc với Ia cắt OB K Chứng minh // IK OA; Tam giác IOK cân Bài 14: Hai tiếp tuyến B C đường tròn tâm O cắt A Điểm D di động cung nhỏ BC Tiếp tuyến D cắt AB AC I K Chứng minh D di động chu vi tam giác AIK không đổi (Hướng dẫn: Chu vi tam giác AIK hai lần độ dài AB) ∆AIK ? Điểm O (Ghi chú: Câu tốn phát biểu thành tốn dạng khác sau: l >0 Cho cho trước số Chứng minh có vơ số tam giác ABC, với B thuộc Ax, C 2l thuộc Ay cho chu vi Bài 15.Cho đường trịn tâm O bán kính R có đường kính AB Từ điểm T tiếp tuyến A (O), vẽ tiếp tuyến thứ hai TM (M tiếp điểm) Gọi H K hình chiếu vng góc M lên AB tia AT Chứng minh HK qua trung điểm I AM Chứng minh ba đoạn thẳng OT, HK AM đồng quy LUYỆN TẬP Bài 16 Cho AB đường kính đường trịn tâm O bán kính R Cho dâyBC = R Tiếp tuyến (O) A cắt tiaBC D Tiếp tuyến (O) C cắt AD M Tính Tính ·ABC ·AOM dùng tỉ số lượng giác để tính AD theo R tính AM theo R Bài 17 Cho đường trịn tâm O có đường kính BC có bán kính R Tiếp tuyến (O) A cắt đường thẳng BC I Chứng minh: IB.IC = IO − R IB.IC = IA2 Bài 18 Tiếp tuyến M đường tròn (O;R) cắt dâyBC kéo dài A ngồi (O) Vẽ OH vng góc với BC H Chứng minh AB + AC=2AH AB + AC ≥ AM Chứng minh AH = AO − OH AM = AO − R (Hướng dẫn: ) Bài 19.Trên nửa đường trịn tâm O đường kính AB, lấy điểm M Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB H Vẽ tiếp tuyến AC BD (M) với C D hai tiếp điểm Tìm hai góc so le để chứng minh OM // BD; OM // AC Chứng minh C, M, D thẳng hàng đường thẳng CD tiếp xúc với (O) Giả sử CD = 2a Tính AC.BD theo a Bài 20: Cho AC đường kính đường tròn tâm CB OI Vẽ dây cung song song với Chứng minh: Trên tiếp tuyến O I A , lấy điểm · · IOA = IOB Đường thẳng Bài 21: Cho cho O IA AC IB tiếp tuyến ( O) đường kính đường trịn tâm lớn bán kính ( O) Từ I O A Trên tiếp tuyến ( O) vẽ tiếp tuyến thứ hai với tiếp điểm , lấy điểm I B ·AOB BC OI OBC Chứng minh // (Gợi ý: góc ngồi tam giác ) AC O CB H IH Đường thẳng vng góc với cắt tia Chứng minh //AC (Hướng OCH ) AOI dẫn: so sánh tam giác tam giác OB IOK K IH K Tia cắt tia Chứng minh tam giác cân IA Ghi chú: Nếu nhỏ bán kính kết tốn không đổi chứng minh dài O ·AOB ( O) A có dây cung cho tù Tiếp tuyến dây ·AOB C K BI AC I OC AB cắt tia phân giác cắt Vẽ vng góc với cắt H Chứng minh: Bài 22.Cho đường tròn tâm H trực tâm tam giác AH OB // AHBO Tứ giác hình thoi ABC O , bán kính R, có xy tiếp tuyến A Điểm M di động ·AOM Vẽ MH vng góc với xy H Tia phân giác cắt tiaMH I Chứng minh M di động I di động mộ đường cố định Bài 23 Cho đường tròn tâm Hướng dẫn: O AB Chứng minh MI//OA Chứng minh tứ giác ∆OMI AOMI cân M I hình thoi, suy chạy đường trịn tâm A bán kính O Bài 24 Cho đường trịn tâm đường kínhAB Đường thẳng xy tiếp xúc (O) A Điểm K thuộc (O) khác A,B Tiếp tuyến K (O)cắt xy M Vẽ KH vng góc với AB H KH cắt BM I Chứng minh I trung điểm KH Hướng dẫn: BK cắt xy C Chứng minh BC OM vng góc với AK Chứng minh M trung điểm AC, suy I trung điểm KH Bài 25 Cho đường trịn tâm O đường kính AB Đường thẳng xy tiếp xúc (O) A Điểm K thuộc (O)và khác A,B Tiếp tuyến K O cắt xy M Vẽ Kh vng góc với AB H KH cắt BM I Chứng minh I trung điểm KH Hướng dẫn: BK cắt xy C Chứng minh BC cắt OM vuông góc với AK BÀI 27.Cho nửa đường trịn tâm O Chứng minh Chứng minh Bài 28.Gọi vẽ hai tiếp tuyến Ax By nửa Ax, By M mặt phẳng chứa nửa đường tròn Tiếp tuyến nửa đường tròn cắt lần ượt C D Chứng minh đường kính AB AC + BD = CD · COM · MOD phụ AC.BD = R O AB Ax By trung điểm đoạn thẳng vẽ tia phía vuông · = 90° By AB Oz Ax C Ot D zOt góc với vẽ cho cắt cắt CO Chứng minh phân giác IOC tam giác có đặc biệt?) ·ACD (hướng dẫn: gọi I trung điểm CD Chứng minh AB tiếp xúc với đường trịn đường kính CD CD AB OH Chứng minh tiếp xúc với đường trịn đường kính (hướng dẫn: vẽ CD H AB H vng góc vơi chứng minh thuộc đường trịn đường kính AB Ax AB, C By Bài 29.Cho đoạn thẳng vẽ tia phía vng góc với thuộc By Ax AC + BD = CD CD D thuộc cho Chứng minh tiếp tuyến đường trịn AB đường kính Hướng dẫn: Gọi O AB, I trung điểm trung điểm · · OCA = OCI Chứng minh chứng minh H OH CD H ( vng góc với ) O CD R CD OI = Chứng minh CD = IC = ID tiếp xúc với đường trịn đường kính AB AB D Bài 30.Cho nửa đường trịn tâm bán kính có đường kính Điểm di động Bx BA C D E tia tia đối tia Từ kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn điểm Lấy thuộc DC DE = DO EH AB H D tia cho vng góc với Chứng minh di động Bx EH R tia độ dài không đổi AB, O C R Bài 31.Cho nửa đường trịn đường kính tâm , bán kính Điểm di động nửa C C A B AB D đường tròn, khác Tiếp tuyến cắt đường thẳng Đường thẳng qua · CDO , O DC E C E vng góc với tia phân giác cắt tia Chứng minh di động R E AB chạy đường cố định (Hướng dẫn: cách khoảng ) OABC BC D AB E Bài 32.Cho hình vng Điểm di động cạnh di động cạnh DE = AD + EC DE thỏa mãn Chứng minh ln tiếp xúc với đường trịn cố định Hướng dẫn: AF = CE OE = OF F AD Lấy thuộc tia đối tia cho Chứng minh ∆ODE = ∆ODF OH Vẽ vng góc với trịn cố định nào? DE H Chứng minh OH = OA suy OE tiếp xúc với đường OABC BC D AB E Bài 33.Cho hình vng Điểm di động cạnh di động cạnh · DOE = 45° DE thỏa Chứng minh tiếp xúc với đường trịn cố định Hướng dẫn: Đường thẳng vng góc với ∆OCE = ∆OAF OE O cắt đường thẳng AB F Chứng minh OH OH = OA OE DE H Vẽ vng góc với Chứng minh suy tiếp xúc với đường tròn cố định nào? BC AB E di động đường thẳng di động đường thẳng OD OE 45° cho hai đường thẳng tạo góc kết tốn khơng đổi Ghi chú: Nếu D Bài 34.Cho tam giác HB cắt AB D ABC vng Đường trịn tâm Chứng minh Chứng minh O2 A có đường cao đường kính HC AH cắt Đường trịn tâm AC O1 đường kính E AH DE I , cắt ID = IH = IE ∆IO1D = ∆IO2 H ; ∆IO2 E = ∆IO2 H DE tiếp tuyến chung ( O1 ) ( O2 ) M BC 2a = BC , h = AH Gọi trung điểm Đặt MA, MH , HB, HC , AB AC h a theo CÁC BÀI TẬP TÍNH TỐN VÀ NÂNG CAO Tính theo thứ tự độ dài B C A D Bài 35.Hai tiếp tuyến đường tròn tâm) cắt Điểm di động cung BC CE AD BC D ADE lớn Vẽ dây // Tìm vị trí cung lớn để diện tích tam giác lớn Gợi ý: S ADE = S ACD Bài 36.Trên nửa đường trịn đường kính AB, lấy điểm K khác A B VÃ KH vuông góc với AB H Gọi I trung điểm KH Tia BI cắt tia tiếp tuyến Ax nửa đường tròn M Chứng minh MK tiếp xúc với nửa đường tròn Bài 37: Cho AC đường kính đường trịn tâm O Trên tiếp tuyến A O, lấy điểm I cho IA lớn bán kính O từ I vẽ tiếp tuyến thứ hai với tiếp điểm B Từ O kẻ tia vng góc với AC cắt tia CB H cắt tia IB D OI cắt AH E OB cắt IH K Chứng D,E,K thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh ∆AOI = ∆OCD, ∆IOK cân K, D trực tâm ∆IOK Ghi chú: IA nhỏ bán kính O kết tốn khơng đổi Bài 38 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax By nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn Lấy điểm M cắt BC I MI cắt AB H Chứng MH minh //Ax//By I trung điểm MH Hướng dẫn: dùng định lý Thales đảo ∆ACD Bài 39: Hai tiếp tuyến A B đường tròn O cắt M OM cắt AB H Từ M vẽ cát tuyến cắt O C D Vẽ OI vng góc với CD I cắt đường thẳng AB K Chứng minh OI OK = OK OM Chứng minh ∆OIC OH OM = OA2 = OC đồng dạng với ) Có nhận xét hai đường thẳng ∆OCK KC theo trường hợp cạnh góc cạnh (Gợi ý: KD ? OA = R O Bài 40 Bên đường trịn tâm bán kính R, lấy điểm Asao cho vẽ đường OA trịn đường kính cắt (O) B C Chứng minh AB AC tiếp tuyến ABOC Tứ giác hình gì? O tính AB,AC theo R O Bài 41 Trên tiếp tuyến điểm A đường tròn tâm bán kính R, lấy điểm T Đoạn thẳng OT cắt O M Gọi N giao điểm tiếp tuyến M với đường thẳng vng góc với AT ·AOM cosα T Vẽ MH vng góc với NT H Đặt số đo MNT α Dùng tỉ số lượng giác, tính theo R cạnh tam giác (Hướng dẫn: Ot MT tính trước) NT = R α Nếu bao nhiêu? R AT = MT , MN , MH α 3 Nếu bao nhiêu? Lúc tính theo R Bài 42 Cho đường trịn ( I; R) R đường tròn r nhỏ khoảng nửa ) Gọi ( O) K H Ax tương ứng với ( O, r ) không cắt R>r Ay ( I) hai tiếp tuyến chung Tia ( O) F T (nên vẽ Ax Vẽ đường kính ( O) ( I) tiếp xúc với TE ( I) ( O) A, O, I Chứng minh Chứng minh Chứng minh F thẳng hàng thẳng hàng AO r = AI R ∆AOE đồng dạng với ∆AIF theo trường hợp c-g-c, suy ba diểm A, E, Bài 43.Kết quan trọng cần nhớ: Chứng minh độ dài hai đoạn tiếp tuyến nối từ đỉnh tam giác đến hai tiếp điểm đường tròn nội tiếp nửa chu vi trừ cạnh đối diện đỉnh Hướng dẫn: gọi p nửa chu vi tam giác A1 B1 C1 Các tiếp điểm cạnh BC, CA, AB , x = AB1 = AC1 y = BA1 = BC1 z = CA1 = CB1 BC = y + z , CA = z + x, x + y + z = p Đặt , Bài 44 Kết quan trọng cần nhớ: Chứng minh độ dài hai tiếp tuyến nối từ đỉnh tam giác đến hai tiếp điểm đường tròn bàng tiếp năm bên góc đỉnh nửa chu vi tam giác Bài 45.Cho tứ giác M N ABCD Đường nội niếp AM − AN = ∆ACB ∆ACD tiếp xúc AC ( AB + CD ) − ( BC + DA) Chứng minh: Giả sử thêm đường tròn nội tiếp P Q Chứng minh MN=PQ ∆BDA ∆BDC tiếp xúc với BD Bài 46 Cho S, p, r diện tích, nửa chu vi bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh S=pr Bài 47.Cho tam giác ABC Gọi r,p,a,b,c bán kính đường tròn nội tiếp, nửa chu vi, ∆ABC độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C r = ( p − a ) tan Chứng minh A B C = ( p − b ) tan = ( p − c ) tan 2 , rb , rc Bài 48.Cho tam giác ABC có S diện tích; bán kính đường trịn A, B, C bàng tiếp bên góc đỉnh tương ứng.p, a, b, c nửa chu vi, độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C tương ứng Chứng minh S = ( p − a ) = ( p − b ) rb = ( p − c ) rc Hướng dẫn: Gọi I tâm đường trịn bàng tiếp bên góc đỉnh A, với điểm A1 , B1 , C1 thuộc đường thẳng BC, CA, AB Gợi ý đẳng thức Gọi A, B, C r , , hb , hc S = S IAB + S IAC − S IBC bán kính đường tròn nội tiếp, độ dài đường cao kẻ từ ∆ABC Chứng minh: 1 1 1 P = + + = + + = r hb hc rb rc S ABC Bài 49 Cho tam giác vng góc A có r bán kính đường trịn nội tiếp Trên cạnh BC lấy D E cho BD=BA, CE=CA Chứng minh r nửa chu vi trừ cạnh huyền Chứng minh DE=2r S ABC = p ( p − a ) Chứng minh Bài 50 Cho tam giác ABC (vng A) có p nửa chu vi, r R bán kính đường trịn nội tiếp ngoại tiếp Chứng minh r nửa chu vi trừ cạnh huyền, suy tổng hai cạnh góc vng 2( r + R) Giả sử r1 , p1 , r2 , p2 ∆ABC (vuông A), có đường cao AH bán kính ∆AHC ∆AHB đường trịn nội tiếp nửa chu vi tương ứng Dùng câu 2, chứng minh: AH = r + r1 + r2 Bài 51 Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp tâm I tiếp xúc với BC D, p nửa chu vi, BC=a, CA=b, AB=c DB.DC = 1 2 a − ( b − c)   4 Chứng minh Hướng dẫn: DB= p-b, DC= p-c S ABC = BD.DC ∆ABC Nếu vuông ởA, dùng câu định lý Pythgore, chứng minh Bài 52.Tam giác ABC vng A có I tâm đường trịn nội tiếp bán kính r tiếp điểm cạnh BC, CA, AB D, E, F tương ứng Chứng minh Chứng mính S AEIF = r S BDIF = r.BD S ABC Chứng minh: S ABC = DB.DC Bài 53.Cho đường trờn kính DE ( O) ( O, r ) SCDIE = r.DC = AB AC = ( r + DB ) ( r + DC ) nội tiếp tam giác Tiếp tuyến ( O) ABC kết hợp hai để suy với tiếp điểm Dthuôc cạnhBC.Vẽ đường E cắt AB H cắt AC K Tia AE cắt BC F BD = Chứng minh: r r , CD = B C tan  ÷ tan  ÷ 2 2 C KE = rtan Chứng minh ∆OEK ∆OEH ) Chứng minh: Chứng minh: Bài 54 Cho điểm B KE = rtan B với B C , 2 ¼ ABC , ¼ ACB nửasố đo (Hướng dẫn: dùng tỉ số lượng giác C  tan  ÷ BD 2 =   BC B C  tan  ÷+ tan  ÷  2 2 C  tan  ÷ CF KE 2 = = CB KH B C  tan  ÷+ tan  ÷ 2 2 BD = CP AC H A C có đường kính (nên vẽ gần ) Dy AD = AB DC Ax D AB Lấy điểm tia cho Tia vng góc với cắt tia tiếp ( O) E thuộc đường tròn ( O) , suy ra: Chứng minh tam giác Hướng dẫn: Vẽ EI ⊥ AD BDE I cân E Chứng minh AB = BI = ID ( O; R ) d M cố định bên ngồi đường trịn cố định Điểm di động Q QM PQ d M P K Từ vẽ hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm , cắt Chứng PQ k minh đoạn thẳng qua điểm cố định di động đường cố định Bài 55 Cho đường thẳng Hướng dẫn: PQ H QH I Vẽ vuông góc với cắt OA ×OH = OK ×OM = R Chứng minh OI I Chứng minh độ dài không đổi (nghĩa cố định) Suy điều phải chứng minh OH d’ O O I R I Bài 56 Cho điểm cố định bên đường tròn tâm bán kinh ( khác ) Dây PQ Q I P M M quay quanh điểm Hai tiếp tuyến cắt Chứng minh di động PQ đường cố định dây quay Hướng dẫn: Vẽ MH vng góc với OI ×OH = OK ×OM = R , suy điểm B H OI H , OM PQ cắt K Chứng minh cố định ta có điều phải chứng minh C O R A đường trịn tâm , bán kính , cắt AC DE OA D AB E K Gọi trung điểm , trung điểm , cắt Chứng minh OK > R Bài 57 Hai tiếp tuyến Hướng dẫn: Giả sử OK − KI = R OA cắt BC I Sử dụng đẳng thức, hay chứng minh C O R A đường trịn tâm , bán kính , cắt AC M AB F Gọi E trung điểm , trung điểm , điểm đường thẳng MQ Q MQ = MA EF Vẽ tiếp tuyến ( tiếp điểm) Chứng minh Bài 58 Hai tiếp tuyến B OA BC Hướng dẫn: Giả sử cắt chứng minh đẳng thức sau: EF I II Ta suy MQ = MA2 việc MQ = OM − R MO − MA2 = HO − HA2 HO − HA2 = R O R A L đường trịn tâm , bán kính , cắt BC D M AD điểm đường thẳng Gọi trung điểm Đường trịn đường kính Bài 59 Hai tiếp tuyến AD cắt ( O)   Q T B C MQ Chứng minh hai tiếp tuyến MQ’ MQ′ = MA = MQ   (Hướng dẫn: Vẽ tiếp tuyến Chứng minh (nghĩa làm lại tập trên) QT BC D Giả sử di động đường thẳng Chứng minh đường thẳng quay quanh điểm cố định QT QT OA K OM I (Hướng dẫn: Gọi giao điểm với , giao điểm OI ×OH = OK ×OM , vv … OA MH H Vẽ vng góc với Chứng minh ) Bài 60 Cho điểm I ( O) MT Q H hình chiếu vng góc MI = MQ = MO − R định (tại sao?) Vậy M cố định Điểm , suy MO − MI = R Mà M di động ( O) cho không Q QI O I M thẳng hàng với Tiếp tuyến cắt đường trung trực đọan thẳng Q M Chứng minh di động di động đường cố định Hướng dẫn: Gọi đường tròn tâm O xuống đường thẳng MO − MI = HO − HI di động đườn thẳng vuông góc với OI H OI Ta có: nên H cố ABCD E AB Bài 61 Cho tứ giác ngoại tiếp đường tròn với tiếp điểm thuộc cạnh , BC G CD F H DA thuộc cạnh , thuộc cạnh thuộc cạnh Chứng minh đường thẳng AC , BD, EG , FH đồng qui F , G , H VMCD Hướng dẫn: Để vẽ hình dễ nhìn, nên vẽ có đường trịn nội tiếp tiếp điểm MC , CD, DM E HF E thuộc tương ứng Lấy thuộc cung nhỏ vẽ tiếp tuyến MD, MC A, B, Q CD cắt Đặt AH = AE = a; CF = CG = c; MH = MF = m; QE = QG = q VACQ Dùng định lí Menelaus với cát tuyến EG Giả sử , chứng minh EG IA a = IC c cắt AC I Tương tự, AC ∆ACM I’ HF cắt xét cát tuyến , ta có: AC , EG , FH BD, EG , FH   đồng qui Tương tự, đồng qui FH I ′A a = I ′C c , suy I trùng  I ’ ABCD E AB Bài 62 Cho tứ giác ngoại tiếp đường tròn với tiếp tuyến thuộc cạnh , BC G CD F H DA thuộc cạnh , thuộc cạnh thuộc cạnh Chứng minh đường thẳng AC , EF , GH BD, GF , HE đồng qui; đường thẳng đồng qui (giả sử khơng có song song xảy ra) ABC BC E AC D F Bài 63 Cho tam giác nhọn có thuộc cạnh , thuộc cạnh thuộc cạnh AD, BE , CF AB H H cho đồng qui Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp ∆DEF   H ABC trực tâm tam giác Hướng dẫn: đường thẳng qua có AI AI DC DB = × × AK DC DB AK A song song với BC , cắt tia DE Sử dụng hệ định lí Thales định lí Ceva, suy ra: AI = AK I , cắt tia DF K Ta ... A1C1 A1 , B1 , C1 E, từ C vng góc với OC12 − OA12 = BC12 − BA12 ( = EC12 − EA12 ) OB12 − OA12 = CB12 − CA12 ( = FB12 − FA12 ) OC12 − OB12 = BC12 − CB12 ( = AC12 − AB12 ) DC12 − DB12 = OC12... 36cm, CH = 25cm AB = 15 cm, AC = 20cm, AH = 12 cm AB = 2cm, BH = 1cm, BC = 4cm AH = 12 cm, BH = 16 cm, CH = 9cm AC = 24cm, BH = 1 ,96 cm, BC = 25cm BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC ABC AH N M H Bài... = 6cm, BC = 13 cm 4 BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC HÌNH HỌC x, BH = x A AH vng có đường cao Đặt Hãy tính suy AB, AC độ dài đoạn biết: Bài 19 Cho tam giác ABC AH = 2, 4cm; BC = 5cm AH = 1cm; BC = 2cm