CLB Giáo viên tr TP Hu... Ta ch ng minh ph.[r]
(1)Chuyên H ph ng trình Luy n thi TUY N T P : H PH Ch 1) (B- 2002) Gi i h ph THI I H C: NG TRÌNH − ng trình: = − + = Bài gi i: i u ki n: Ph + + x− y≥0 x+ y+2≥0 ( ) ng trình (1) ⇔ x − y − x − y = ⇔ + Thay x = y vào (2) gi i x= y x = y +1 c x = y = + Thay x = y + vào (2) gi i c x= ; y= ; 2 i chi u i u ki n ta có nghi m c a h là (1;1) ; = 2) (D- 2002) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: 3x H ã cho ⇔ V yh i h c 2014 - 2015 ng trình: + + − + = x∈ y∈ 2 = 5y − 4y 2x = y 2x = y > x=0 x=2 2x = y > ⇔ ⇔ ⇔ ∨ y =1 y=4 y = ∨ y = 1∨ y = y − 5y + 4y = ã cho có các nghi m là ( 0;1) ; ( 2;4 ) 3) (D b - 2002) Gi i h ph ng trình: − + = − Bài gi i: i u ki n: x− y≥0 x+ y+2≥0 4) (D b - 2002) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: ( ( ng trình: + − − + − − )= )= x− y≥0 x+ y+2≥0 5) (A- 2003) Gi i h ph ng trình: − = Bài gi i: i u ki n: = = − + x≠0 y≠0 Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 CLB Giáo viên tr TP Hu (2) Chuyên Ph H ph ng trình Luy n thi ng trình (1) ⇔ ( x − y ) + TH 1: x= y y = x3 + i h c 2014 - 2015 x= y =0⇔ xy = −1 xy x= y ⇔ x = x3 + x= y x =1 ⇔ ⇔ ∨ y =1 ( x − 1) ( x + x − 1) = −1 + −1 − x= 2 ∨ −1 + −1 − y= y= 2 x= x TH 2: ⇔ ⇔ x 2 y = x3 + − = x +1 x +x+2=0 x y=− xy = −1 Ta ch ng minh ph ng trình vô nghi m: Cách 1: x + x + = x − + x+ 2 > 0, ∀x −1 f ( x ) ≥ f ( x ) = f > x∈ Cách 2: f ( x ) = x + x + Tr y=− + ng h p này, h vô nghi m K t lu n: V y h −1 + −1 + ; ; 4 ã cho có các nghi m là (1;1) ; 6) (D b - 2003) Gi i h ph = ng trình: + x+ y+2≥0 = 7) (B- 2003) Gi i h ph ng trình: = TH 1: TH 2: V yh x= y y2 x = x2 + + y≠0 ng ⇔ xy + x + y = xy = x + + x≠0 Bài gi i: i u ki n: ng trình t = x− y≥0 Bài gi i: i u ki n: H ph −1 − −1 − ; 4 ng v i 3x y = y + y2 x = x2 + ⇔ ( x − y )( 3xy + x + y ) = y x = x2 + x =1 y =1 vô nghi m vì t (1) và (2) suy x > 0, y > ã cho có nghi m nh t (1;1) Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 CLB Giáo viên tr TP Hu (3) Chuyên H ph ng trình 8) (A- 2004) Gi i h ph Luy n thi ( ng trình: + Bài gi i: i u ki n: ( Ta có Thay vào ph − )− − = y>0 = ⇔− ng trình còn l i, ta 9) (D- 2004) Tìm ( )− − c: 3y + y = 25 ⇔ + h sau có nghi m: y=4 y = −4 = − y≥0 ⇔ u , v là hai nghi m c a ph u + v =1 u + v = − 3m ng trình t − t + m = H ã cho có nghi m ( x; y ) ⇔ H (*) có nghi m u ≥ 0, v ≥ ⇔ Ph không âm ∆ = − 4m ≥ Y.c.b.t ⇔ S = > P=m≥0 − + ng trình: − = − Ph = x ≥1 0< y≤2 ng trình (2) ⇔ (1 + log x ) − 3log y = ⇔ log x = log y ⇔ x = y Thay x = y vào (1) ta ⇔ ng trình (**) có hai nghi m ⇔0≤m≤ 10) (B- 2005) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: = x≥0 t u = x , v = y ( u ≥ 0, v ≥ ) H tr thành uv = m = ⇔ = + u + v =1 − = ⇔− c nghi m c a h là ( 3;4 ) i chi u i u ki n, ta ⇔ = y−x>0 )− Bài gi i: i u ki n: i h c 2014 - 2015 c: ( x − 1)( − x ) = ⇔ V yh x −1 + − x = ⇔ x −1+ − x + ( x − 1)( − x ) = x =1 x=2 ã cho có các nghi m là (1;1) ; ( 2; ) 11) (D b - 2005) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: ng trình: + ( + + = + + )+ ( + )= x− y≥0 x+ y+2≥0 Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 CLB Giáo viên tr TP Hu (4) Chuyên H ph ng trình Luy n thi 12) (D b - 2005) Gi i h ph + + − ng trình: + Bài gi i: i u ki n: + i h c 2014 - 2015 = = x− y≥0 x+ y+2≥0 13) (A- 2006) Gi i h ph + − ng trình: = + + + = xy ≥ Bài gi i: i u ki n: x ≥ −1 y ≥ −1 t t = xy ( t ≥ ) T (1) suy x + y = + t Bình ph ng hai v c a ph ng trình (2) ta Thay xy = t , x + y = + t vào (3) ta ≤ t ≤ 11 ⇔ ( t + t + ) = (11 − t ) V i t = , ta có V yh ⇔ c: x + y + + xy + x + y + = 16 c: + t + + t + + t + = 16 ⇔ t + t + = 11 − t ≤ t ≤ 11 3t + 26t − 105 = ⇔t =3 x+ y =6 x=3 ⇔ xy = y=3 ã cho có nghi m nh t là ( 3;3) Bài gi i: i u ki n: ng trình: ( + )( + + )= − )= x− y≥0 x+ y+2≥0 15) (D b - 2006) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: ( + + 14) (D b - 2006) Gi i h ph − ng trình: = − = + ( + ) x− y≥0 x+ y+2≥0 16) (D- 2006) CMR: ∀ > , h ph ng trình sau có nh t nghi m: − = ( + )− ( + ) − = Bài gi i: i u ki n: H ã cho t ng x > −1 y > −1 ng v i e x + a − e x + ln (1 + x ) − ln (1 + a + x ) = y = x+a Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 CLB Giáo viên tr TP Hu (5) Chuyên H H ph ng trình Luy n thi i h c 2014 - 2015 ng trình (1) có nghi m nh t trên ( −1; +∞ ) ã cho có nghi m nh t ch ph Xét hàm s f ( x ) = e x + a − e x + ln (1 + x ) − ln (1 + a + x ) ( x > −1) Do f ( x ) liên t c trên ( −1; +∞ ) và lim f ( x ) = −∞, lim f ( x ) = +∞ nên ph x →+∞ x →−1+ ng trình f ( x ) = có nghi m trên ( −1; +∞ ) M t khác: f / ( x ) = e x + a − e x + 1 a − = e x ( e a − 1) + > 0, ∀x > −1 1+ x 1+ a + x (1 + x )(1 + a + x ) ng bi n trên ( −1; +∞ ) Suy f ( x ) = có nghi m nh t trên ( −1; +∞ ) K t lu n: V y h ã cho có nghi m nh t ( p.c.m) f ( x) 17) (D b - 2006) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: − = ( ( )− ( + )= − + = + + ng trình: x− y≥0 x+ y+2≥0 18) (D b - 2006) Gi i h ph ( ng trình: + − Bài gi i: i u ki n: ng trình: ( ( − + )( )( )= )= + − x− y≥0 x+ y+2≥0 ng trình: + − + = − + + − + = − + x− y≥0 x+ y+2≥0 21) (D b - 2007) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: = x+ y+2≥0 20) (D b - 2007) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: + − x− y≥0 19) (D b - 2006) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: − ) ) ng trình: − − + + = = x− y≥0 x+ y+2≥0 22) (D b - 2007) CMR: H ph ng trình sau có nghi m tho Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 > > CLB Giáo viên tr TP Hu (6) Chuyên H ph ng trình Luy n thi = i h c 2014 - 2015 − − = − − Bài gi i: i u ki n: x− y≥0 x+ y+2≥0 + 23) (D b - 2007) Gi i h ph ng trình: − + − + + Bài gi i: i u ki n: = + = + x− y≥0 x+ y+2≥0 24) (D - 2007) Tìm các giá tr c a tham s m h ph ng trình sau có nghi m th c: 1 + y+ =5 x y 1 x + + y + = 15m − 10 x y x+ Bài gi i: i u ki n: x t u = x+ ; v= y+ H ã cho tr thành x≠0 y≠0 ( u ≥ 2; v ≥ ) y u+v =5 u + v − ( u + v ) = 15m − 10 ⇔ u+v =5 uv = − m Suy u , v là nghi m c a ph ng trình t − 5t + = m H ã cho có nghi m ⇔ Ph ng trình (1) có hai nghi m t1 , t2 th a mãn t1 ≥ 2, t2 ≥ Xét hàm s f ( t ) = t − 5t + ( t ≥ 2) Xét b ng bi n thiên: D a vào b ng bi n thiên, ta có giá tr c n tìm c a m là m ∈ Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 ;2 ∪ [ 22; +∞ ) CLB Giáo viên tr TP Hu (7) Chuyên H ph ng trình 24) (A- 2008) Gi i h ph Luy n thi + + + + ( ng trình: + ng ng v i (*) 5 5 u + v + uv = − v = − − u2 u = 0, v = − u=x +y 4⇔ 4 H (*) tr thành ⇔ t u v = xy u2 + v = − u3 + u + = u=− , v=− 4 2 (x 2 ã cho có nghi m 1; − Bài gi i: i u ki n: ng và + = = + + x∈ y∈ ng v i 2 + xy ) = x + x2 xy = x + − + V i x = không th a mãn h ph y= x2 x + 3x + − 2 V y nghi m c a h 25 ;− 16 + ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = ⇔ x ( x + ) = ⇔ + V i x = −4 + ng trình: (x ã cho t ⇔ 25 y = −3 16 x =1 x3 + x − = x2 + y = − ⇔ ⇔ 3 y=− y=− xy = − 2x 25) (B- 2008) Gi i h ph x= xy = − + V i u = − , v = − , ta có h K t lu n: V y h + y ) + xy = − x2 + y = + V i u = 0, v = − , ta có h H )=− + y∈ x + y + xy + xy ( x + y ) = − ã cho t =− x∈ Bài gi i: i u ki n: H + i h c 2014 - 2015 = 2x + x=0 x = −4 ng trình 17 ã cho là −4; 17 Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 CLB Giáo viên tr TP Hu (8) Chuyên H ph ng trình 26) (D- 2008) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: H ã cho t ng Luy n thi + + ng trình: = − i h c 2014 - 2015 − − = − y≥0 x ≥1 ng v i ( x + y )( x − y − 1) = x y − y x −1 = 2x − y T i u ki n ta có x + y > , nên (1) ⇔ x = y + Thay (3) vào (2) ta c: ( y + 1) y = ( y + 1) ⇔ y = V y nghi m c a h là ( 5; ) 27) ( H-A-2009) Gi i h ph ng ng trình: + y − xy = 81 x2 + y2 > xy > ng v i x + y = xy x= y H ã cho t T ây suy h có các nghi m là ( 2;2 ) ; ( −2; −2 ) 28) (B- 2009) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: x = log ( x + y ) = + log ( xy ) 3x Bài gi i: i u ki n: y +1 > x − xy + y = ⇔ y2 = + + = ng trình: + + = x∈ y∈ x + =7 y y ng v i (do y = không th a mãn h x x + + = 13 y y x+ H ã cho t x+ ⇔ x+ ng x + =7 y y y − x = 13 y = −5 y ⇔ x = 12 y x+ x+ y ⇔ + x+ − 20 = y x =7− x+ y y =4 y x = 3y x+ H (I) vô nghi m H (II) có các nghi m là 1; K t lu n: V y h ã cho) ã cho có các nghi m là 1; Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 ; ( 3;1) ; ( 3;1) CLB Giáo viên tr TP Hu (9) Chuyên H ph ng trình Luy n thi ( 29) (D- 2009) Gi i h ph ng trình: ( )− + − ) + − i h c 2014 - 2015 = + = x≠0 Bài gi i: i u ki n: y∈ 3 x + y = −1 =0 x + y = −1 x x x ng v i ⇔ ⇔ − +2=0 −1 − +1 = ( x + y) − +1 = x x2 x x x x + y +1− H ã cho t ng 1 = x =1 ⇔ x x+ y =2 x =1 ⇔ y =1 x+ y = x=2 y=− K t lu n: V y h ã cho có nghi m là (1;1) ; 2; − 30) ( H-B-2010) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: y> ng trình: log ( y − 1) = x (1) 4x + 2x = y (2) x∈ ng trình (1) ⇔ y − = x Ph x = −1 3y −1 = 2 Do ó h ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ y= y2 − 3y = ( y − 1) + y − = y y= 2 V y h có nghi m nh t là −1; y − = 2x 31) ( H-D-2010) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: T h ã cho, ta có: 2x = x ng trình: x2 − x + y + = 2log ( x − 2) − log y=0 x>2 y>0 x − 3x = y = x−2 ⇔ x=0 y = −2 x=3 ho c y =1 i chi u v i i u ki n, ta có nghi m c a h là ( 3;1) Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 CLB Giáo viên tr TP Hu (10) Chuyên H ph ng trình Luy n thi 32) ( H-A-2010) Gi i h ph ( ng trình: + ) +( + + ) − − − i h c 2014 - 2015 = = i u ki n: x≤ y≤ Bài gi i: Ph ng trình (1) ⇔ (2x) + x = Nh n xét (*) có d ng f ( x ) = f ( Ta có: f / ( t ) = 3t + > ∀t ∈ (5 − y ) + − y (*) ) − y v i f ( t ) = ( t + 1) t f (t ) ng bi n trên x≥0 Suy (*) ⇔ x = − y ⇔ y= − 4x2 ng trình (2) ta có x + Thay vào ph Nh n th y x = 0; x = − 2x2 2 + − 4x − = không ph i là nghi m c a ph ng trình (3) Xét g ( x ) = x + − x + − x − , trên kho ng 0; 4 g / ( x ) = 8x − 8x − 2x2 − = x ( x − 3) − < ∀x ∈ 0; − 4x − 4x 1 = x = là nghi m (3) g ( x ) ngh ch bi n trên 0; M t khác g 2 Suy y = ;2 V y h có nghi m nh t 2 33) ( H-A-2011) Gi i h ph Bài gi i: i u ki n: − ng trình: + )+ − ( =( + + )= ) x∈ y∈ Ta có (2) ⇔ ( xy − 1) ( x + y − ) = ⇔ TH 1: V i xy = Ph ( + xy = x2 + y = ng trình (1) tr thành: y − y + = ⇔ y =1 y = −1 Suy h có các nghi m (1;1) và ( −1; −1) TH 2: V i x + y = , t (1) suy y ( x + y ) − xy + x y − ( x + y ) = Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 10 CLB Giáo viên tr TP Hu (11) Chuyên H ph ng trình ⇔ y − xy + x y − ( x + y ) = ⇔ (1 − xy )( y − x ) = ⇔ Luy n thi i h c 2014 - 2015 xy = x = 2y 10 10 10 Suy ra: y + y = ⇔ Suy h có các nghi m là ; 5 10 y=− y= K t lu n: V y h có nghi m là (1;1) , ( −1; −1) , 34) ( H-D-2011) Tìm m h ph 10 10 ; 5 và − và − 10 10 ;− 5 10 10 ;− 5 ng trình sau có nghi m: x − ( y + ) x + xy = m x + x − y = − 2m Bài gi i: i u ki n: H ã cho ⇔ (x (x x∈ y∈ − x)(2x − y ) = m − x ) + ( x − y ) = − 2m t u = x − x ≥ − ; v = x − y H ã cho tr thành uv = m u + v = − 2m ⇔ u + ( 2m − 1) u + m = v = − 2m − u H có nghi m ch ph ng trình (1) có ít nh t nghi m u ≥ − −u + u V i u ≥ − ; (1) ⇔ m ( 2u + 1) = −u + u ⇔ m = 2u + −u + u 2u + 2u − / −1 + Xét f ( u ) = , u ≥ − Ta có f / ( u ) = − ; f (u ) = ⇔ u = 2u + ( 2u + 1) B ng bi n thiên: Suy giá tr c n tìm là m ≤ 2− − 35) ( H-A-2012) Gi i h ph ng trình: Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 + 11 − + = + − − + = CLB Giáo viên tr TP Hu (12) Chuyên H ph Bài gi i: ng trình x∈ i u ki n: y∈ Luy n thi ( x − 1) H ã cho t ng ng x− i h c 2014 - 2015 − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1) 2 + y+ =1 −1 ≤ x − ≤ − ≤ x −1 ≤ 2 T (2) suy ra: ⇔ 1 −1 ≤ y + ≤ − ≤ y +1 ≤ 2 3 3 Xét hàm s f ( t ) = t − 12t t ∈ − ; f / (t ) = 3(t − 4) < f ( t ) ngh ch bi n trên − ; 2 2 Ph ng trình (1) có d ng f ( x − 1) = f ( y + 1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − 1 Thay vào ph ng trình (2) ta c x− + x− = ⇔ x2 − 8x + = ⇔ 2 x= 3 Suy ra, h ph ng trình ã cho có các nghi m là ;− và ;− 2 2 36) ( H-A-2013) Gi i h ph x= + + ng trình: ( + Bài gi i: i u ki n: T ph Xét hàm s Do ó ph − + )+ − = + = x ≥1 y∈ ng trình (2) ta t u = x −1 − − u ≥ , ph c: y = ( x + y − 1) y ≥ ng trình (1) tr thành u + + u = y + + y f ( t ) = t + + t , t ≥ Ta có f / ( t ) = 2t + > ∀t ≥ t4 + ng trình (3) có d ng f ( u ) = f ( y ) ⇔ y = u = x − ⇔ x = y + Thay vào ph ng trình (2) ta c: y ( y + y + y − ) = Hàm g ( y ) = y + y + y − 4, y ≥ g / ( y ) = y + y + > 0, ∀y ≥ Mà g (1) = , nên ph ng trình (4) có nghi m y = 0, y = T ây suy ra, h ph ng trình ã cho có nghi m (1;0 ) và ( 2;1) 37) ( H-A-2014) Gi i h ph − + ng trình: − 12 − y ≥ Bài gi i: i u ki n: 12 − x ≥ ⇔ y−2≥0 − = ( − )= − y ∈ [ 2;12] x ∈ −2 3; Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 12 CLB Giáo viên tr TP Hu (13) Chuyên H ph ng trình Luy n thi a +b Cách 1: S d ng B T ab ≤ +( − ≤ Ta có: ( − + )≤ − ( )= + )= − − + C ng (3) và (4) v theo v ta có: Lúc ó, ph i h c 2014 - 2015 − − 12 − y = x ng trình (1) ⇔ ( + x≥0 12 − x = )≤ − y = 12 − x x≥0 ⇔ y thay vào ph ng trình (2), ta c: − − = − ý, ta nh m c nghi m x = , nên ta phân tích k thu t nh sau: − − = ( ⇔( − )( + ⇔( − ) + − + )⇔( − )= ( − + ( + + )( − − − = − ( )= Xét hàm s ( )= ⇔ − − − − ( ) + ) = ⇔ = − − )− − + Do x ≥ = − ( − ≤ ≤ ) ) ∈ ( − ng trình có nghi m nh t ( 3;3) + − + ( + − − )= ) + − + Ta có ( )= + + T ây suy y = V y h ph X lí h ng khác: − )( − − ) ) ng bi n trên > ∀ ∈ f ( x ) = có t i ) a nghi m, mà f ( 3) = 0, f ( −1) = nên x = 3; x = −1 là nghi m c a f ( x ) = L i i u ki n x ∈ 0; 10 nên ta lo i x = −1 T ây suy y = V y h ph Cách 2: Ph ng trình (1) ( − )= ng trình có nghi m nh t ( 3;3) − Bình ph − ng v c a ph ng trình này, ta c: y (12 − x ) = 144 − 24 x 12 − y + x (12 − y ) ⇔ 12 y − 144 + 24 x 12 − y − 12 x = t t = 12 − y ≥ thì y = 12 − t , ta av Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 13 CLB Giáo viên tr TP Hu (14) Chuyên H ph ng trình 12 (12 − t ) − 144 + 24 xt − 12 x = Luy n thi i h c 2014 - 2015 ⇔ −12t − 12 x + 24 xt = ⇔ −12 ( t − x ) = ⇔ x = t Hay y = 12 − x ( x ≥ ) c gi ti p t c bài toán theo h Giáo viên: LÊ BÁ B O 0935.785.115 14 ng x lí nh trên CLB Giáo viên tr TP Hu (15)