Chuyên đề ứng dụng vectơ để giải toán hình học có lời giải

thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC Phương pháp chung Để giải tốn tổng hợp phương pháp vectơ ta thường thực theo bước sau Bước 1: Chuyển giả thiết kết luận tốn sang ngơn ngữ vectơ, chuyển toán tổng hợp toán vectơ Bước 2: Sử dụng kiến thức vectơ để giải tốn Bước 3: Chuyển kết tốn vectơ sang kết toán tổng hợp Sau số dạng toán thường gặp I CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH Phương pháp giải uuur uuuu r AB AC • Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ phương, tức tồn uuur uuuu r số thực k cho: AB = kAC • Để chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định ta chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H điểm cố định Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B Chứng minh M thuộc đường thẳng AB có hai số thực α , uuuu r uuur uuur β có tổng cho: OM = αOA + βOB Lời giải uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuur ⇒ AM = kAB ⇔ AO + OM = k ( AO + OB ) * Nếu A, B, M thẳng hàng uuuu r uuur uuur ⇒ OM = (1 − k)OA + kOB Đặt α = − k ; β = k ⇒ α + β = uuuu r uuur uuur OM = αOA + βOB uuuu r uuur uuur OM = α OA + β OB * Nếu với α + β = ⇒ β = − α uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuur uuur ⇒ OM = αOA + (1 − α )OB ⇒ OM − OB = α (OA − OB ) ⇒ BM = α BA Suy M, A, B thẳng hàng Ví dụ 2: Cho góc xOy Các điểm A, B thay đổi nằm Ox, Oy cho OA + 2OB = Chứng minh trung điểm I AB thuộc đường thẳng cố định uur uuur uuur OI = OA + OB 2 Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I (*) uur uuuu r uuuur OI = α OA ' + β OB ' với α + β = Do từ hệ Từ ví dụ ta cần xác định hai điểm cố định A', B' cho thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' Ox, Oy uur r OB uuuur OA uuuu OA OB ⇔ OI = OA ' + OB ' + =1 2OA ' 2OB ' Ta có từ ta cần chọn điểm cho 2OA ' 2OB ' Kết 3 OA ' = , OB ' = hợp với giả thiết OA + 2OB = ta chọn điểm A' B' cho thuvienhoclieu.com Trang ( *) thuvienhoclieu.com Lời giải Trên Ox, Oy lấy hai điểm A', B' cho OA ' = 3 , OB ' = uur uuur uuur r OB uuuur OA uuuu OI = OA + OB = OA ' + OB ' 2 2OA ' 2OB ' Do I trung điểm AB nên OA OB OA OB + = + = ( OA + 2OB ) = 2OA ' 2OB ' 3 2 Ta có Do điểm I thuộc đường thẳng A'B' cố định Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD , I trung điểm cạnh BC E điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AE = AC Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta tìm số k cho uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur DE , DI DE = kDI , muốn ta phân tích vectơ qua hai vectơ không phương AB AD sử r r r r r a, b dụng nhận xét " ma + nb = ⇔ m = n = với hai vectơ khơng phương " từ tìm k= Lời giải (hình 1.35) uuu r uuuu r uur uuuu r uuur uuur uuur DI = DC + CI = DC + CB = AB − AD 2 Ta có (1) uuur uuuu r AE = AC Mặt khác theo giả thiết ta có suy uuur uuur uuur uuur uuuu r DE = DA + AE = DA + AC uuur uuur uuur uuur uuur = −AD + AB + AD = AB − AD 3 (2) ( ) Hình 1.35 uuur uuu r DE = DI Từ (1) (2) suy Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động hai đoạn thẳng cố định BC BD ( M ≠ B, N ≠ B ) cho BC BD +3 = 10 BM BN Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com r r BC uuur BD uuu IM + IN = ( 1) BN Dễ thấy tồn điểm I thuộc MN cho BM uuuu r uuur r 2HC + 3HD = ( 2) Gọi H điểm thỏa mãn Ta có H cố định uuur uuur uuur r ( 2) ⇔ 5HB + 2BC + 3BD = uuur 2BC uuuur 3BD uuur BM + BN = 5BH BM BN r uuur r uuu r uuur 2BC uuu 3BD uuu ⇔ BI + IM + BI + IN = 5BH BM BN r uuur  BC BD  uuu ⇔ 2 +3 BI = BH ÷ BN   BM (theo (1)) ⇔ ( ) ( ) uuu r uuur uuu r uuur ⇔ 10BI = 5BH ⇔ BI = BH (3) Do điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định hệ thức (3)) AA1, BB1,CC đường tròn (O) Chứng minh trực tâm ba tam Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song giác ABC 1, BCA1,CAB1 nằm đường thẳng Lời giải Gọi H 1, H 2, H Ta có: trực tâm tam giác ABC 1, BCA1,CAB1 uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuu r OH = OA + OB + OC OH = OB + OC + OA1 , uuuur uuur uuur uuuu r OH = OC + OA + OB1 uuuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r H 1H = OH − OH = OC − OC + OA1 − OA = C 1C + AA1 Suy uuur uuuur uuuu r uuur uuuu r uuuu r = OC − OC + OB1 − OB = C 1C + BB1 Vì dây cung Nên ba vectơ AA1, BB1,CC song song với uuuu r uuuu r uuuur AA1, BB1,CC Do hai vectơ uuuuur uuuur uuuur H 1H = OH − OH uuuuur H 1H có phương uuuuur H 1H phương hay ba điểm H 1, H 2, H thẳng hàng Bài tập luyện tập Bài 1.101: Cho tam giác ABC điểm M trung điểm AB, N thuộc cạnh AC cho điểm đối xứng với B qua C Chứng minh M, N, P thẳng hàng thuvienhoclieu.com AN = AC , P Trang thuvienhoclieu.com Bài 1.102: Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho AM = AB, AN = AC Gọi O giao điểm CM BN Trên đường thẳng BC lấy E Đặt uuur uuur BE = xBC Tìm x để A, O, E thẳng hàng uur uur uur uuu r r ∆ABC IA = IB J A + J C = Chứng minh IJ qua Bài 1.103: Cho lấy điểm I, J thoả mãn , trọng tâm G ∆ABC uuuur uuur uuuu r uuuur Bài 1.104: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N di động thỏa mãn MN = MA + MB + MC a) Chứng minh MN qua điểm cố định b) P trung điểm AN Chứng minh MP qua điểm cố định uuuu r uuur uuuu r uuuur Bài 1.105: Cho hai điểm M,P hai điểm di động thỏa mãn MP = aMA + bMB + cMC Chứng minh MP qua điểm cố định Bài 1.106 Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng D qua điểm A, F điểm đối xứng tâm O hình bình hành qua điểm C K trung điểm đoạn OB Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng K trung điểm EF A B C A B ,C Bài 1.107: Cho hai tam giác ABC 1 ; 2 trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC Gọi G,G1,G2 trọng tâm tam giác ABC , A1B1C , A2B2C Chứng minh G,G1,G2 thẳng hàng tính GG1 GG2 Bài 1.108 Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm đường thẳng BC, CA, AB cho uuuu r uuuur uuuu r uuur uuur uuur MB = α MC , NC = β NA, PA = γ PB Tìm điều kiện α, β, γ để M, N, P thẳng hàng Bài 1.109: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh trung điểm hai đường chéo AC, BD tâm O thẳng hàng Bài 1.110: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O thỏa mãn AB = CD = EF Về phía ngồi lục giác dựng tam giác O1, O2 AMB, BNC , CPD, DQE , ERF , FSA đồng dạng cân M, N, P, Q, R, S Gọi O, O1, O2 trọng tâm tam giác MPR NQS Chứng minh ba điểm thẳng hàng uuuur r uuuu MN = − MP ⇔ Bài 1.101: Ta chứng minh M, N, P thẳng hàng uuur uuur uuuu r AO = AB + AC Bài 1.102: Ta có: uuur uuur uuuu r AE = (1 − x)AB + xAC uuur uuur ⇔ AE = kAO A, E, O thẳng hàng thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com uuur uuuu r k uuur k uuuu r 36 ⇔ (1 − x)AB + xAC = AB + AC ⇔ k = ; x= 13 13 13 giá trị cần tìm Vậy uur uur uur uur r IA = IB ⇔ IA − 2IB = Bài 1.103: uur uuu r r uur uuu r uur 3J A + 2J C = ⇔ 3IA + 2IC = 5IJ uur uur uuu r uur suu uur 2( IA + IB + IC ) = IJ ⇔ IG = I J ⇔ I, J, G thẳng hàng Suy x= Bài 1.104: a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy uuuur uuur uuuu r uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur MN = MA + MB + MC ⇔ MN = GA + GB + GC + 3MG = 3MG Suy M, N, G thẳng hàng hay MN qua điểm cố định G uuuu r uuur uuuur r uuuur uuur uuuu ⇒ MP = MA + MN = 2MA + MB + MC 2 b) P trung điểm AM uur uuu r uuu r r J A + J B + J C =0 Gọi I trung điểm BC, J trung điểm AI suy uuuu r uuur MP = MJ Do suy MP qua điểm cố định J uur uur uuu r r Bài 1.105: Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC suy aI A + bIB + cIC = uuuu r uuur uuuu r uuuur uuuu r uuur MP = aMA + bMB + cMC ⇔ MP = ( a + b + c ) MI ( ) ( ) Do Vậy MP qua điểm cố định I uuur uuur uuur uuur uuur uuur EF = AD + AB EK = AD + AB 2 4 Bài 1.106: Ta có: , uuur uuur ⇒ EF = 2EK Vì K trung điểm EF Bài 1.107: Vì G, G1 trọng tâm tam giác ABC , A1B1C suy uuuur uuuu r uuuu r uuuur 3GG1 = GA1 + GB1 + GC uuuur uuur uuur uuur uuuu r uuuur uuuur ⇔ 3GG1 = GA + GB + GC + AA1 + BB1 + CC uuuur uuuu r uuuur uuuur ⇔ 3GG1 = AA1 + BB1 + CC Tương tự G , G2 trọng tâm tam giác ABC , A2B2C suy uuuur uuuu r uuuu r uuuur 3GG1 = GA1 + GB1 + GC uuuur uuuur uuuur uuuur ⇔ 3GG2 = AA2 + BB2 + CC Mặt khác Mà uuuur uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuur uuuuu r uuuuu r AA2 + BB2 + CC = AA1 + BB1 + CC + A1A2 + B1B2 + C 1C A2.B2,C trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC thuvienhoclieu.com Trang Suy thuvienhoclieu.com uuuur uuuuu r uuuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r A1A2 + B1B2 + C 1C = A1B + A1C + B1C + B1A + C 1A + C 1B ( ) ( ) uuur uuur uuur uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuu r uuuu r uuur = A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA + C 1C + CA + C 1C + CB uuuu r uuuur uuuur = AA1 + BB1 + CC Do uuuur uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuur AA2 + BB2 + CC = AA1 + BB1 + CC ( ( ) ) ( ) uuuur uuuu r uuuur uuuur ⇒ GG2 = AA1 + BB1 + CC Vậy uuuur uuuur GG2 = 3GG1 uuuu r MB = α uuur uuur uuur BC ; BP = AB 1− α γ −1 Bài 1.108: Ta có: uuur uuuur uuur BC = (1 − α )MC ;CN = uuuur MN = − Ta có: r β uuuu AC ; 1− β r uuur β uuuu AB + ( + )AC 1− α 1− α 1− β Và uuuu r r α uuur α uuuu MP = (− − )AB + AC 1− α 1− γ 1− α Để M, N, P thẳng hàng ta phải có − α α − 1− α 1− γ 1− α = ⇔ αβγ = 1 β − + 1− α 1− α 1− β Bài 1.109: Gọi P, Q, R, S tiếp điểm đoạn thẳng AB,BC,CD,DA đường tròn tâm O Đặt SA = AP = a, BP = BQ = b, CQ = CR = c, DR = DS = d Áp dụng định lý nhím cho tứ giác ABCD ta có: uuur uuur uuur uuu r a + b OP + b + c OQ + c + d OR + d + a OS ( ) ( ) ( ) ( ) = a uuur   b uuur  c uuur ⇔ ( a + b)  OA + OB ÷ + ( b + c )  OB a +b a +b  b+c c uuur   d uuur  a uuur +( c + d)  OC + OD ÷ + ( d + a )  OD  c u+uurd uuur c + d  uuur uuur d +ra ⇔ ( b + d ) OA + OC + ( a + c ) OB + OD = uuuu r uuur r ⇔ ( b + d ) OM + ( a + c ) ON = ( ) ( ) r b uuur  OC ÷ b+ c  d uuur  + OA ÷ d+a  + Suy O, M, N thẳng hàng (đpcm) Bài 1.110: Gọi M 1, N 1, P1,Q1, R1, S1 AB, BC ,CD, DE , EF , FA Suy hình chiếu M 1, N 1, P1,Q1, R1, S1 M , N , P ,Q, R, S lên trung điểm thuvienhoclieu.com AB, BC ,CD, DE , EF , FA Trang thuvienhoclieu.com u u u u u r u u u u r uuuu r uuur uuur uuur uuur = MM + M A + AS + S1S + 1 Ta có MS + RQ + PN uuuur uuuu r uuuur uuuu r uuur uuur uuuur uuuur + RR1 + R1E + EQ1 + Q1Q + PP1 + P1C + CN + N 1N ( ) ( ) ( uuuuur uuur uuuur = MM + PP1 + RR1 ( ) ( Vì theo định lí nhím uuuuur uuur uuuur uuuur uuuu r uuur r MM + PP1 + RR1 + N 1N + Q1Q + S1S = Mặt khác AB = CD = EF suy Do ) MM RR1 PP1 = = = OM OR1 OP1 k uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur MS + RQ + PN = k OM + OP + OR ( ) uuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur ⇔ OS + OQ + ON = ( k + 1) OM + OP + OR uuuur uuuur ⇔ OO2 = ( k + 1) OO1 ( Hay ba điểm O, O1, O2 ) ) thẳng hàng II CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp giải uuur uuur AB = kCD • Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta chứng minh điểm A khơng thuộc đường thẳng CD • Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh theo hai hướng sau: + Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định + Chứng minh đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng cịn lại Các ví dụ Ví dụ 1: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I, J trung điểm đoạn MP NQ Chứng minh IJ song song với AE Lời giải (hình 1.36) uur uur uuu r uuur uuuu r uur uuur 2IJ = IQ + IN = IM + MQ + IP + PN Ta có uuuu r uuur uuur uuur uuur = MQ + PN = AE + BD + DB 2 uuur = AE ( ) Hình 1.36 Suy IJ song song với AE Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn α + β + γ ≠ , uuuu r uuuur uuuu r uuur uuur uuur r β MB + γ MC = γ NC + α NA = α PA + β PB = AM, BN, CP đồng quy O, với O điểm xác uuur uuur uuur r định αOA + βOB + γ OC = thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải Ta có uuuu r uuuur r uuuu r uuur uuuu r uuur r β MB + γ MC = ⇔ β MO + OB + γ MO + OC = ( ) ( ) uuur uuur uuur uuuu r uuur ⇔ αOA + βOB + γ OC + ( β + γ ) MO = αOA uuuu r uuur ⇔ ( β + γ ) MO = αOA Suy M, O, A thẳng hàng hay AM qua điểm cố định O Tương tự ta có BN, CP qua O Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy Ví dụ 3: Cho sáu điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi ∆ tam giác có ba đỉnh lấy sáu điểm ∆ ' tam giác có ba đỉnh cịn lại Chứng minh với cách chọn ∆ khác đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác ∆ ∆ ' đồng quy Định hướng Giả sử sáu điểm A, B, C, D, E, F Ta cần chứng minh tồn điểm H cố định cho với cách chọn ∆ khác H thuộc đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác ∆ ∆ ' Nếu ∆ tam giác ABC ∆ ' tam giác DEF Gọi G G' trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF uuuu r uuuur ' H thuộc đường thẳng GG ' có số thực k cho HG = kHG ⇔ r r k uuur k uuur k uuur r uuur uuur uuuu k uuur uuur uuur uuur uuur uuuu (HA + HB + HC ) = (HD + HE + HF ) ⇔ HA + HB + HC − HD − HE − HF = 3 3 3 3 Vì vai trị điểm A, B, C, D, E, F toán bình đẳng nên chọn k cho uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur r HA + HB + HC + HD + HE + HF = − k = ⇔ k = −1 3 Lời giải Gọi H trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur r HA + HB + HC + HD + HE + HF = ( * ) Giả sử G, G ' trọng tâm hai tam giác ABC , DEF suy uuur uuur uuur r uuuuu r uuuuu r uuuuu r r GA + GB + GC = 0, G 'D + G 'E + G 'F = Suy ( *) uuuu r uuur uuur uuur uuuur uuuuu r uuuuu r uuuuu r ⇔ 3HG + GA + GB + GC = 3HG ' + G 'D + G 'E + G 'F uuuu r uuuur ⇔ HG = HG ' Do GG' qua điểm cố định H đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác ∆ ∆ ' đồng quy Bài tập luyện tập Bài 1.111: Cho tứ giác ABCD , gọi K, L trọng tâm tam giác ABC tam giác BCD Chứng minh hai đường thẳng KL AD song song với thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Bài 1.112: Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy điểm A1B B1C C 1A = = = k ( k > 0) AC B1A C 1B A2B1 B2C C 2A1 = = = A2C B2A1 C 2B1 k tam giác ABC Trên cạnh B1C 1,C 1AB1, A1B1 Chứng minh tam giác A1, B1,C cho lấy điểm A2, B2,C cho A2B2C có cạnh tương ứng song song với cạnh Bài 1.113: Trên đường trịn cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Qua trọng tâm ba năm điểm kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng qua hai điểm lại Chứng minh mười đường thẳng nhận cắt điểm Bài 1.114 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Kẻ MM', NN', PP', QQ' vng góc với CD, DA, AB, BC Chứng tỏ bốn đường thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy điểm Nhận xét điểm đồng quy hai điểm I, O (I giao điểm MP NQ) Bài 1.115: Cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi ∆ tam giác có ba đỉnh lấy năm điểm đó, hai điểm cịn lại xác định đoạn thẳng θ Chứng minh với cách chọn ∆ khác đường thẳng nối trọng tâm tam giác ∆ trung điểm đoạn thẳng θ qua điểm cố định Bài 1.116: Cho tam giác ABC Ba đường thẳng x, y, z qua A, B, C chúng chia đôi chu vi tam giác ABC Chứng minh x, y, z đồng quy Bài 1.117: Cho tam giác ABC, đường trịn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P.Chứng minh AM, BN, CP qua điểm, xác định điểm Bài 1.118 : Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA uuur uuur uuur uuur r a) Gọi G giao điểm MP NQ Chứng minh GA + GB + GC + GD = A1, B1,C 1, D1 trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh đường AA1, BB1, CC 1, DD1 b) Gọi thẳng đồng quy điểm G A , B1,C điểm đối xứng Bài 1.119: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M điểm tùy ý Gọi với M qua trung điểm I, J, K cạnh BC, CA, AB Chứng minh a) Các đường thẳng AA1, BB1,CC đồng quy trung điểm O đường MO = b) M, G, O thẳng hàng MG Bài 1.120: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với BC , CA, AB ∆a đường thẳng qua trung điểm PN vng góc với BC, ∆b đường thẳng ∆ qua trung điểm PM vng góc với AC, c đường thẳng qua trung điểm MN vng góc với AB Chứng cạnh minh ∆a, ∆b Gọi ∆c đồng quy Bài 1.121: Cho hai hình bình hành ABCD AB 'C 'D ' xếp cho B' thuộc cạnh AB, D' thuộc DB ', CC ', BD ' cạnh AD Chứng minh đường thẳng đồng quy uuur uuur uuuu r r uuur uuur uuur r Bài 1.111: Ta có K A + K B + K C = LB + LC + LD = thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Trừ vế với vế ta uuur uuur uuur r uuur uuu r uuur uuur r uuur uuur r K A − LD + 2K L = ⇔ K L + LA − LD + 2K L = ⇔ DA + 3K L = ( ) uuuuu r k2 − k + uuuu r A2C = AC ( k + 1) Bài 1.112: Tương tự ta có Suy KL//AD A ∉ AC nên A2C / / AC , k − k + > B2C / / BC A2B2 / / AB A , A2, A3, A4, A5, A6 Bài 1.113: Giả sử năm điểm điểm H thuộc mười đường thẳng nằm đường trịn (O) Ta cần chứng minh tồn A1A2A3 ; P trung điểm đoạn thẳng A4A5 Vì OP ⊥ A4A5 (do OA4 = OA5 ) AA nên điểm H thuộc đường thẳng qua G vng góc với đường thẳng có số thực k cho uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuur OG = OA1 + OA2 + OA3 AAA HG = kOP Mà (vì G trọng tâm tam giác ) uuur uuuu r uuuu r OP = OA4 + OA5 AA (vì P trung điểm đoạn thẳng ) uuuu r uuur uuur uuur uuur HG = kOP ⇔ OG − OH = kOP Do Gọi G trọng tâm tam giác ( ( ) ) r uuuu r uuuu r uuur k uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuuu r uuuu r k uuuu r k uuuu r uuuu OA1 + OA2 + OA3 − OH = OA4 + OA5 ⇔ OH = OA1 + OA2 + OA3 − OA4 − OA5 3 2 Hay ( ) Vì điểm ( A1, A2, A3, A4, A5, A6 ) tốn có vai trị bình đẳng nên chọn k cho uuur uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuu r OH = OA1 + OA2 + OA3 + OA4 + OA5 Khi ( − k = ⇔k=− 3 ) uuur uuur OH = OG { A1, A2, A3, A4, A5 } ) Hay (G trọng tâm hệ điểm Bài 1.114: Ta cần chứng minh tồn điểm H thuộc đường thẳng MM', NN', PP', QQ' uuuur uuur Vì OP ⊥ CD (do OC = OD) nên điểm H thuộc đường thẳng MM' có số thực k cho HM = kOP Mà M P trung điểm AB CD nên uuuur uuur uuur uuur uuur uuur HM = HA + HB ; OP = OC + OD 2 uuur uuur k uuur uuur uuuur uuur HA + HB = OC + OD Do HM = kOP Hay uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇔ HO + OA + HO + OB = k OC + OD ⇔ 2OH = OA + OB − kOC − kOD ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) tốn có vai trị bình đẳng nên chọn k = −1 Vì điểm A, B, C, D uuur uuur uuur uuur uuur Khi 2OH = OA + OB + OC + OD uuur uur uuur uur ⇔ OH = OI OH = OI Hay (Dễ thấy I trọng tâm tứ giác ABCD) thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Vậy H điểm đối xứng O qua I Bài 1.115: Gọi A, B, C ba đỉnh tam giác ∆ DE đoạn thẳng θ Gọi G trọng tâm tam giác ∆ M uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OA + OB + OC + OD + OE = OG + IM trung điểm DE với điểm O tùy ý ta có Do GM ln qua điểm cố định O trọng tâm hệ điểm A, B, C, D, E Bài 1.116: Hướng dẫn : Đặt BC = a, CA = b, AB = c Giả sử đường thẳng x qua A cắt BC M ta có AB + BM = AC + MC ⇔ c + BM = b + MC ⇒ c + 2BM = b + ( BM + MC Suy BM = Do : ) a +b−c a −b+c , CM = 2 uuuu r uuuur r ( a + c − b) MB + ( a + b − c ) MC = Tương tự ta có : uuuu r uuur uuur uuur r ( a + b − c ) NC + ( b + c − a ) NA = ( b + c − a ) PA + ( a + c − b ) PB = Do x, y, z đồng quy I uur uur uuu r r ( b + c − a ) IA + ( a + c − b ) IB + ( a + b − c ) IC = xác định bới Bài 1.117: Giả sử đường tròn bàng tiếp góc A tiếp xúc BC M Gọi B’,C’ tiếp điểm cạnh AB,AC với đường tròn bàng tiếp góc A Khi AB ' = AC ' ⇔ AB + BB ' = AC + CC ' ⇔ c + BM = c + CM Đến tương tự 1.116 uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur GA + GB + GC + GD = GM + MA + MB + GP + PC + PD = Bài 1.118: a) Ta có: uuuu r uuur uuur uuuu r uuur uuur r = 2(GM + GP ) + (MA + MB ) + (PC + PD) = uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur ⇒ AA = AG 3AA1 = AB + AC + AD 4AG = AB + AC + AD b) ; uuuu r uuuu r ⇒ AA1; AG phương hay AA1 qua G Tương tự ta có BB1 qua G; CC1 qua G; DD1 qua G Vậy ta có AA1, BB1, CC 1, DD1 đồng quy G Bài 1.119: a) Gọi O trung điểm CC1 uuuu r uuuur uuuur uuuur uuuu r uuuur uuuu r uuuu r AA1 = AM + MA1 = AM + MB + MC = AC + MB uuur uuuu r uuuur uuuu r uuuu r 2AO = AC + AC = AC + MB uuuu r uuur AC BM ⇒ AA = AO 1 (vì hình bình hành) hay O trung điểm AA1 thuvienhoclieu.com Trang 11 uuuur uuur BB1 = 2BO Tương tự ta có Vậy AA1, BB1, CC thuvienhoclieu.com hay O trung điểm BB1 đồng quy trung điểm O đường uuuur uuur uuuu r uuuur 3MG = MA + MB + MC b) Ta có: uuuu r uuur uuuur uuur uuuu r uuuur uuuu r uuuur 2MO = MA + MA1 = MA + MB + MC ⇒ 2MO = 3MG MO = ⇒ M, G, O thẳng hàng MG uuur ur uuu r ur uur ur I M = e1, IN = e2, IP = e3 Bài 1.120: Đặt Gọi X, Y, Z trung điểm NP, PM, MN O điểm xác định uur ur ur ur 2IO = e1 + e2 + e3 uuur uur uuu r ur ur ur ur ur ur OX = OI + IX = − e1 + e2 + e3 + e2 + e3 = − e1 2 Suy ( Suy OX ⊥ BC , tương tự ta có Suy ∆a, ∆b ) ( ) OY ⊥ AC , OZ ⊥ AB ∆c đồng quy O AB ′ AD′ = m, = n(0 < m, n < 1) AD Bài 1.121: Đặt AB Gọi I giao điểm BD' DB' uuuu r uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur AC = AB + AD; AC ′ = AB ′ + AD ′ = mAB + nAD Ta có uuur n uuur BA − BD u u u u r u u u u r u u u u r r uuur AD ′ n − n uuuu n −1 = n ⇒ D ′A = D ′D ⇒ BD ′ = = BB ′ + nBD AD n −1 n 1− m 1− n −1 uur r uuur n(m − 1) uur − n uuur ⇒ I B ′ + nI D = ⇒ IB ′ = ID 1− m 1− n uuuur n(m − 1) uuur uuur uur u AD uuu r AB ′ + m ( n − ) AB + n ( m − ) AD n −1 ⇒ AI = = n(m − 1) mn − 1+ n −1 Do uuu r uuuu r uuu r u u u r u u u r IC = AC − AI = (m − 1)AB + (n − 1)AD mn − ; ( ) uuuu r uuuu r uuuur uuur uuur C ′C = AC − AC ′ = (1 − m)AB + (1 − n)AD Suy uuu r IC = r uuuuu C 'C mn − Suy I, C', C thẳng hàng ⇒ đpcm thuvienhoclieu.com Trang 12 thuvienhoclieu.com III BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp Phân tích vectơ qua hai vectơ không phương sử dụng kết sau: Cho r r a, b hai vectơ không phương r r r r m, n • Với vectơ x tồn số thực cho x = ma + nb r r r • ma + nb = ⇔ m = n = • Nếu r r r ur r r c = ma + nb, c ' = m 'a + n 'b, m '.n ' ≠ r ur c, c ' m n = hai vectơ phương m ' n ' Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho AM = AB, AN = AC Gọi O giao điểm CM BN ON OM Tính tỉ số OB OC Lời giải (hình 1.37) uuur uuur uuuu r uuuu r ON = nBN OM = m CM Giả sử ; uuur uuuur uuuur uuuur uuuu r AO = AM + MO = AM − mCM Ta có Hình 1.37 uuur uuuu r uuuur uuuur uuuu r = 1(1 − m)AB + mAC = AM − m(AM − AC ) ; uuur uuuu r uuur uuuu r uuur AO = AN + NO = AN − nBN Và uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur = AN − n(AN − AB ) = (1 − n)AC + nAB uuur uuur uuuu r Vì AO có cách biểu diễn qua AB AC suy 1  3(1 − m) = n ⇔   3(1 − n) = m 4  m =  n =  ON OM = = OC Vậy OB Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD M thuộc đường chéo AC cho AM = kAC Trên cạnh AB, BC lấy điểm P, Q cho MP / / BC , MQ / / AB Gọi N giao điểm AQ CP AN CN Tính tỉ số AQ CP theo k thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Lời giải (hình 1.38) uuuu r uuur uuur uuur AN = xAQ , CN = yCP Đặt , ta có: uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r DN = DA + AN = DA + xAQ uuur uuur uuur = DA + x(AB + BQ) uuur uuuu r BQ uuur = DA + xDC + x BC BC Hình 1.38 uuur uuuu r BQ uuur = DA + xDC − x DA BC BQ AM uuuu r uuur uuuu r = =k DN = (1 − kx ) DA + xDC (1) BC AC Vì nên uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur uuur DN = DC + CN = DC + yCP = DC + y ( CB + BP ) Mặt khác MQ / / AB ⇒ uuuu r uuur BP uuur = DC + yDA + y BA BA Vì MP / / BC ⇒ BP CM CA − AM = = = 1− k BA CA CA nên uuuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r DN = DC + yDA − y(1 − k)DC = yDA + (1 + ky − y)DC (2) k   y = − kx  x = k2 − k + ⇒   x = + ky − y y = − k  k2 − k + Từ (1) (2) ta suy ra: AN k CN 1− k = = k − k + CP k −k+1 Do AQ Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AB AC lấy điểm B’ C’ Gọi M' giao điểm AB AC AM + =2 AM ' B'C' AM Chứng minh: AB ' AC ' Lời giải (hình 1.39) uuur uuuur uuuu r uuuur uuuur uuuuur AB = xAB ' ; AC = yAC ' ; AM = zAM ' Đặt uuuuuur uuuuur Vì M ' ∈ B 'C ' ⇒ ∃k : B ' M ' = kB 'C ' uuuuu r uuuur uuuur uuuur ⇔ (AM ' − AB ') = k(AC ' − AB ') uuuuur uuuur uuuur ⇒ AM ' = (1 − k)AB ' + kAC ' Hình 1.39 thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com ⇔ r uuuur − k uuur k uuuu AM = AB + AC z x y r r 11 uuur uuuu − k uuur k uuuu (AB + AC ) = AB + AC z2 x y 1− k k ⇔ = = = ⇒ x + y = 2z 2z x y x+y ⇔ AB AC AM + =2 AM ' đpcm Hay AB ' AC ' Bài tập luyện tập Bài 1.122 Cho tam giác ABC, cạnh AB, BC ta lấy điểm M, N cho AM BN = ; = MB NC Gọi I giao điểm AN CM AI CI Tính tỉ số AN IM Bài 1.123: Cho tam giác ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt đoạn thẳng AM, AC BC D, E F Một điểm G nằm cạnh AB cho FG song song AC ED Tính GB Bài 1.124: Cho ∆ABC có AB = 3, AC = Phân giác AD góc BAC cắt trung tuyến BM I AD Tính AI Bài 1.125: Cho tam giác ABC , cạnh AC lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm N cho: AM = 3MC , NC = 2NB , gọi O giao điểm AN BM Tính diện tích ∆ABC biết diện tích ∆OBN Bài 1.126: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N nằm cạnh AB, CD cho AB = 3AM , CD = 2CN BI , G trọng tâm tam giác MNB AG cắt BC I Tính BC Bài 1.127: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Qua trung điểm M AB dựng đường thẳng MO cắt CD N Biết OA = 1,OB = 2, OC = 3, OD = CN , tính ND S = 3SAMC Một đường thẳng cắt Bài 1.128 Cho tam giác ABC M điểm nằm cạnh BC cho ABC cạnh AB, AM , AC B ', M ',C ' AB AC AM +2 =3 AC ' AM ' phân biệt Chứng minh AB ' Bài 1.129: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB CD cắt M Qua trung điểm S BD kẻ SM cắt AM AK = CK AC K Chứng minh CM uuu r uuuu r uur uuuu r AI = xAN ; CI = yCM Bài 1.122: Đặt thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com uuu r uuur uuur uuur x uuur AI = x(AB + BN ) = xAB + BC Ta có: uuur x uuuu r uuur r 21x uuuur x uuuu r 3x uuur x uuuu = xAB + (AC − AB ) = AB + AC = AM + AC 4 21 x AI x + = 1⇒ x = ⇒ = 23 AN 23 Vì M, I, C thẳng hàng nên ta có: IC 21 = Tương tự: I M r uuuu r b uuur uuu r r uuu r r uuur r CM = CE = kCA = ka Bài 1.123: Ta đặt: CA = a;CB = b Khi Vì E nằm ngồi đoạn thẳng AC nên có uuur uuu r r uuur uuur r số k cho CE = kCA = ka , với < k < Khi CF = kCB = kb uuur uuu r uuuu r uuur uuur CD = xCA + (1 − x ) CM = yCE + (1 − y ) CF Điểm D nằm AM EF nên có hai số x y cho: r 1− x r r r xa + b = kya + k(1 − y)b Hay 1− x rr = k(1 − y) a , b x = ky Vì hai vectơ không phương nên uuur r r Suy x = 2k − 1, CD = (2k − 1)a + (1 − k)b r r uuur uuur uuur uuur = (1 − k )( b − a ) (1 − k ) AB Ta có: ED = CD − CE = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur (1 − k ) AB = GB Chú ý CF = kCB hay AB + BG = kAB suy ED =1 Do GB uur uuur r IB AB = = ⇒ 2IB + 3IM = AM Bài 1.124: Ta có: I M uuur uuuur uuu r ⇒ 2AB + 3AM = 5AI (1) uuur uuuu r r uuur uuuu r uuur DB AB = = ⇒ 4DB + 3DC = ⇒ 4AB + 3AC = 7AD DC AC (2) Từ (1) (2) suy uuuu r uuuur uuur uuu r uuur uuu r r AD 10 3AC − 6AM = 7AD − 10AI ⇒ 7AD − 10AI = ⇒ = AI uuur uuur uuur BO = xBA + ( − x ) BN Bài 1.125: Vì A, O, N thẳng hàng nên: thuvienhoclieu.com Trang 16 Tương tự: thuvienhoclieu.com uuur uuuur uuur AO = yAM + ( − y ) AB uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur r ⇒ AB = yAM + (x − y + 1)AB + (x − 1)BN hay (x − y)AB + yAM + (x − 1)BN = (1) uuur r r uuuur r uuur 1r uuur u r uuu r r AB = a − b; AM = − b; BN = − a Đặt CB = a , CA = b , Ta có : r r r  1r  r x − y a − b − yb + x − y ( ) ( )  − 3a ÷ =   Thay vào (1) ta có: ( ) r r x − r 3y r ⇔ ( x − y) a − ( x − y) b = a− b  x−1 x − y = ⇔   y−x = y Từ ta có:  Với x=   x = 10  y=2  uuur 1 uuur uuur BO = BA + (1 − )BN 10 ⇒ 10 10 uuur uuur uuur uuur uuur uuur NA BO − BN = BA − BN NO = NA = 10 ⇒ ⇒ NO 10 10 hay ( Vì ) SONB = ⇒ SNAB = 10 ⇒ SABC = 30 uuu r uuur BI = k, k > ⇒ BI = kBC Bài 1.126: Đặt BC uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur Ta có AI = AB + BI = AB + kBC = AB + kAD Mặt khác G trọng tâm tam giác MNB suy uuuu r uuuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur 3AG = AM + AN + AB = AB + AD + AC + AB uuur 11 uuur uuur uuur uuur uuur = AB + 2AD + AB + AB = AB + AD ( Vì uuuu r uuu r AG, AI ) ( ) 11 = ⇒k= k 11 phương nên uuur uuur uuur uuur OC = −3OA, OD = −2OA Bài 1.127: Ta có Vì uuuu r uuur OM , ON uuur uuuu r uuur k uuur uuur ON = kOM ⇒ ON = OA + OB cung phương nên có số thực k cho ( ) uuur CN uuur 2k uuur = k, k > ON = − OA − OB 1+ k k+1 Đặt ND , ta có thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com − Suy 4k =− ⇔k= k( 1+ k ) k ( k + 1) uuuur uuur SABC = 3SAMC ⇒ BC = 3MC ⇒ BM = BC Bài 1.128: Ta có uuuur uuur uuuur uuuu r uuuuur uuuur AB ' = xAB ; AC '= yAC ; AM ' = zAM Đặt uuuuuur uuuuur uuuur uuuur uuur Ta có B ' M ' = AM ' − AB ' = zAM − xAB uuur uuuur uuur uuur 2z uuur = z AB + BM − xAB = ( z − x ) AB + BC uuur 2z uuuu r uuur r z  uuur 2z uuuu = ( z − x ) AB + AC − AB =  − x ÷AB + AC 3 3  ( ) ( ) uuuuur uuuur uuuur uuuu r uuur B 'C ' = AC ' − AB ' = yAC − xAB z 2z −x 3 uuuuuur uuuuur = ⇔ = + y z x y Mặt khác B 'M ' , B 'C ' phương nên −x AB AC AM +2 =3 AC ' AM ' Hay AB ' AK =x>0 Bài 1.129: (hình 1.56) Đặt CK Ta có: Do: uuuur MK = uuuur uuur MK , MS uuur x uuuur MA + MC 1+ x 1+ x (1) phương nên uuuur uuur l uuuu r uuuu r MK = l.MS = MB + MD ( ) Hình 1.56 r a uuur  uuuu MB = − MA  MA MA.MB = MC MD = a > ⇒  uuuu r uuuur  MD = − a MC  MC Mặt khác uuuur al uuur al uuuur MK = − MA − MC 2MA 2MC Suy ( 2) al   + x = − 2MA MA ⇒ ⇒x= ⇒ AM AK MC  = − al = 1+ x 2MC CM CK Từ (1) (2) suy ra: thuvienhoclieu.com Trang 18 ... hai vectơ không phương " từ tìm k= Lời giải (hình 1.35) uuu r uuuu r uur uuuu r uuur uuur uuur DI = DC + CI = DC + CB = AB − AD 2 Ta có (1) uuur uuuu r AE = AC Mặt khác theo giả thiết ta có suy... thuvienhoclieu.com III BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp Phân tích vectơ qua hai vectơ không phương sử dụng kết sau: Cho r r a, b hai vectơ khơng phương r r r r m, n • Với vectơ x ln... O2 ) ) thẳng hàng II CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Phương pháp giải uuur uuur AB = kCD • Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta chứng minh điểm A khơng