Trong phương pháp này khó nhất là các em phải xác định được tập giá trị của x và y , nếu tập giá trị của chúng khác nhau thì các em không được dùng phương pháp trên mà phải chuyển chúng [r]
(1)PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Nếu hệ có hai phương trình ta dưa dạng : f(x)=f(y) với x,y thuộc T thì đó ta khảo sát hàm số đặc trưng : y=f(t) trên T Nếu f(t) là đơn điệu thì để f(x)=f(y) xảy x=y Trong phương pháp này khó là các em phải xác định tập giá trị x và y , tập giá trị chúng khác thì các em không dùng phương pháp trên mà phải chuyển chúng dạng tích : f(x)-f(y)=0 hay : (x-y).A(x;y)=0 Khi đó ta xét trường hợp : x=y , và trường hợp A(x,y)=0 Sau đây là số bài mà các em tham khảo x y y x x y x Bài Giải hệ phương trình sau : 2 x y Giải x y 0 x y 2x x x x 2 x y y x x y x y 1 0 2 0 2 x y x y x x x y 1 x y 1 2 x y x y x 2 2 x 3 x 2 x Khi x=y , thì x=-1 Vậy nghiệm hệ là : (x;y)=(-1;-1) Khi x+y=1 , (2) có nghiệm : x=1 , đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0) 2 Chú ý : Tại ta không đưa chúng dạng : x x y y , sau đó xét hàm số y f (t ) t t ? ài 2.Giải hệ phương trình sau : 1 x2 x xy 2 y 1 x y x x y x 0 Giải 1 2x y x x y x x y x 0 x y x 1 0 * xy 1 x x Từ (2) : 2 1 x2 x2 1 x x2 1 x Phương trình này đã biết cách giải phần Thay vào phương trình (1): phương pháp giải phương trình mũ Phương trình có dạng : x2 2x 1 b a 1 1 b a x x x x 2 x b a b a 2b 2a 2b 2a 2 2 Do đó phương trình trở thành : t f t 2t f ' t 2t ln 0t R 2 Xét hàm số : suy hàm f(t) đồng biến trên R Do 2 2 x2 x x 1 x x x để xảy f(b)=f(a) xảy a=b : 2.2 3 y x ; y 2; 4 4 x x 0 x 2 ( vì x khác ) và Chú ý : Vì ta sử dụng phương pháp hàm số vì a,b thuộc R (2) x 12 xy 20 y 0 ln x ln y x y ài 3.Giải hệ phương trình sau Giải 2 x 12 xy 20 y 0 x y x 10 y 0 ln x ln y x y ln x ln y x y 1 t ln x x 1 ln(1 y ) y 1 f (t ) ln t t ; f '(t ) t 0 t t Từ (2) : Hàm số đồng biến với tthuoocj (0;1) và nghịch biến trên khoảng t>1 đạt GTLN t=1 Cho nên ta phải sử dụng phương pháp " Phương trình tích " Nếu thay vào (2) : x=2y x=2y x=2y x=2y 1 y y y y ln y ln y 2 y y ln y y y e 1 y 2 e Xét hàm số : 1 f ( y) e y f '( y ) ey 1 y 1 y có nghiemj : y=0 x 10 y x; y 0;0 x y Nếu : Tương tự trên ta có nghiệm y=0 x3 3x y y x 2 y 1 log y y log x x x 3 ài 4.Giải hệ phương trình sau : Giải 3 x x y y 1 1 x x x y y 3x x 2 y 1 log x log y x y 1 x 2 3 x 1 y y x 1 x 1 x 1 y y * Đặt : x-1=t suy (*) trở thành : t y t y 0 t y t ty y 3 0 x 1 y +/ Trường hợp : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 2 log y log x x 3 x 3 0 x 3 Thay vào (2) ta có : Do đó nghiệm hệ phương trình là : (x;y)=(3;2) t ty y 0 x 1 x 1 y y 0 +/ Trường hợp : x y x y y 0 2 x y y 2 x x x y x 1 Bài Giải hệ phương trình sau : Giải x y x y x 0 2 x y y 2 x x 2 x y x 1 x y x 1 y x x y yx x 0 x y x 1 , (3) -Trường hợp 1: y= x , thay vào (2) : x 2 x x x t x t x 0 t 2; t x x 2 x 3 x x x x x y yx x 0 y yx x x 0 -Trường hợp : y x x x x x x R y f (, y ) 2 x y yx x x, y Phương trình vô nghiệm 3;3 , 3;3 Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= * Chú ý : Ta còn có cách giải khác - Phương trình (1) x=0 và y=0 không là nghiệm ( không thỏa mãn (2) ) y y x3 0 1 2 x x3 x x - Chia vế phương trình (1) cho f t 2t t f ' t 2 3t 0t R - Xét hàm số : Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Để y x y x x phương trình có nghiệm thì xảy : Đến đây ta giải phần trên Bài Giải hệ phương trình sau : x 2 y y x y x x y x y Giải x 2 y y x y x x y x y - Trường hợp 1: Thay vào (2) - Trường hợp : x y y x y y 0 x x y x y x y y 0 x 2y 2y x x y x y y 0 x y y x y 4 y x y 4 y y y 4 y y y y 0 y 0 y 0 x y 3 y * 2 x y 9 y x 9 y y Thay vào (2) : y y y 9 y y y y y 9 y y 0 y x 9 7 t y y 0 t 2 2 y y 0 16 264 88 y y y 2 t t 0 91 9 Vậy hệ có nghiệm : 88 ; 9 x; y 7; 1 , Bài Giải hệ phương trình sau : xy 2 x y x y 1 x y x y Giải (4) a xy 2 x y x y 1 1 x y x y x y x y x2 x Từ (2) viết lại : t t t 0 f ' t 2t t 0 x y x y x x Ta xét hàm số f(t)= Chứng tỏ f(t) là hàm số đồng biến , x y x y x x cho nên ta có : (*) Thay vào (1) : 2x x2 x 2 xy 2 2 x y 1 x x x 1 x x x 1 x 1 0 x x x 0 x 0 x 1 x 1 x x x 1 0 ** x x 1 x x 0 x x x 0 x 1; y 2 y x2 x x; y 1; , 1;0 x 1; y Thay vào (*) : Chú ý : Các em có nhận xét gì không tôi giải trên Bây tôi nêu thêm hai cách để các em kiểm nghiệm nhé : Cách 2 xy xy x y u; xy v 1 x y 1 x y xy 1 x y x y Đặt : 2v 1 u u 2uv 2v 0 u u 1 2v u 1 0 u 1 u u 1 2v 0 u x y 1 u 1 x y x y xy 0 u u 2v 0 * Nếu x+y=1 thay vào (2) ta : x 1 y 0 x x x x 0 x; y 1;0 , 2;3 x y 3 u 2v x y +/ Với x y xy 0 x y x y 0 x vô nghiệm vì y 0; x y 0 x2 1 y 12 3 y x 2 2 x y x y 2 Bài Giải hệ phương trinh : Giải y x2 1 3 y x 1 2 2 x y x y 2 2 Từ - Điều kiện : x, y 0 - Từ (1) : 2.2 - Xét hàm số : x x 2.2 2 y 3 y f (t ) 2.t 3t t 0 f '(t ) 8t Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến x 2 y x 4 y * Do để phương trình (1) có nghiệm : 4 3 5y 5y 2t t f '(t ) 4t 2 Xét hàm số : f(t)= 2 - Thay vào (2) : (5) - Nhận xét : f(1)=2+ 2 Suy t=1 là nghiệm y x 4 y 1 x; y ; 5 y 1 x x y s inx e siny x 0; 3 x 6 y y y Bài Giải hệ phương trình : Giải s inx x y 1 e siny : x 0; 4 3 x 6 y y y Từ : et sin t cost e x s inx ex ey et f ( t ) f '( t ) 0t 0; y siny s inx sin y sin t sin t 4 - Từ (1) : e - Chứng tỏ hàm số f(t) luôn đồng biến Phương trình có nghiệm x=y 2 2 - Thay vào (2) : x 6 x x x x x x 8 x x 3 36 x x 1 x 1 8 x 8 x x2 x2 x 1 8x x x 1 x x 0 2 x x x 1 9 x 2 x x 3 1 x x; y ; 8 - Với 8x2 1 2 x x 0; 2 2 suy - Ta có : với 1 x; y ; 8 - Vậy hệ có nghiệm : 8x2 2 x2 x 1 x x y y 1 x x xy 4 xy x Bài 10 Giải hệ phương trình sau : Giải x x y y 1 x x y y x x xy 4 xy x x x xy 4 xy x Từ : ( nhân liên hợp ) t t t 1 t t f (t ) t t f '(t ) 1 0t R 2 t t 1 t Xét hàm số : Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f(x)=f(-y) xảy x=-y (*) - Thay vào phương trình (2) : (6) x x 3x x 25 x x x x x x x x 2 x x x x 0 x 0 x x 3x x 1; y 2 x x 9 x x x 0 * Trường hợp : x 0 x 0 x x x 2 x x 4 x 2 x x 0 * Trường hợp : 11 11 11 11 ;y ; 2 2 Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;-1),( ) x 1 x y 3 y 0 2 ài 11.Giải hệ phwpng trình : 4 x y x 7 Giải x 1 x y 3 y 0 1 2 (KA-2011) 4 x y x 7 Từ : t2 t2 t3 t t 5 2y y 3 t x x y 3 y 3 2 - PT(1): Đặt t3 t 3 4x x x x t t - Khi đó (2) : x - Xét hàm số : f(u)= u u f '(u ) 3u 0u suy f(u) luôn đồng biến Do đó để f(x)=f(t) x y x 5 y y 5 x xảy : 2x=t 4x2 3 g ( x) 4 x x 0 : x 0; Ta thấy x=0 và x= không - Thay vào (2) : 4 5 3 8x 8x 2x 4 x x 3 0x 0; 4x 4x 2 4 là nghiệm g'(x)= 1 g 0 x là nghiệm nhấy , thay vào (4) tìm y=2 - Mặt khác : x; y ; 2 - Vậy hệ có nghiệm : 2 y xy 8 x y y 6 Bài 12 Giải hệ phương trình sau : Giải : x t 1 t y x 3.t Lấy (1) +(2) : x 3x t 3t - Đặt : y f u u 3u f ' u 3u 0u R - Xét hàm số : - Chứng tỏ hàm số đồng biến Do đó phương trình có nghiệm và : x=t 2 x y x x x y y y x y y 6 y y 6 y y 0 y 1 y 0 y (7) - Vậy hệ có nghiệm : (2;1);(-1;-2) 2 x 1 x 1 y 3 y x y 6 Bài 13 Giải hệ phương trình : Giải : 2 x 1 x y y 1 2 x y 6 Từ : y 2; x * - Điều kiện : - Đặt : Từ (2) : x y 36 x y 15 x 16 y - Từ (1):Đặt : y t y t y 2 t 2t 2t 1 t 2t t 1 : x 1 x 1 2t t - Cho nên vế phải (1) : f u 2u u f ' u 2u 0u R - Xét hàm số : Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến Để f(x)=f(t) xảy : x=t 31 53 y x y 2 x y y 15 31 53 y 31 y 227 0 15 y y 2 x y 15 15 y 53 31 53 ; x; y - Vậy hệ có nghiệm : 2 x x y 1 x y 1 1 y x ln y x 0 Bài 14 Giải hệ phương trình : 2 x x y 1 x y 1 1 y x ln y x 0 Từ : - Điều kiện : y x 0(*) x3 x 2 y 1 x y 1 x x y 1 x - Phương trình (1) : - Do : x x y 1(**) - Thay vào (2) : y y 1 ln y y 1 0 f y y y ln y y 1 0 f ' y 3 y y 1 0 y y 1 Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến -Ta có : - Mặt khác : f(-1)=0 , đó phương trình có nghiệm : (x;y)=(0;-1) x 3 x y y 0 x x y y y 0 Bài 15 Giải hệ phương trình : Giải x 3 x y y 0 1 x 8x y y y 0 Từ : x - Điều kiện : (8) x x y y * - Từ (1) : t x x t x 3 x t 1 3 t 4t 1 t 4t t - Đặt : 3 - Do đó (*) : 4t t 4 y y 4u u f ' u 12u 0u R - Xét hàm số : f(u)= phương trình có nghiệm : f(t)=f(y) y 1 y 1 y - Thay vào (2) : y y y y 0 y y 1 y 2 Chứng tỏ hàm số đồng biến Do đó x y x y 1(**) y y 0 y y y y 0 y 0 y y 1 y y 1 0 y 0 y 1 y 0 x; y 1;1 x; y ;0 , x x x y - Vậy : y y y y 0 5 x; y 1;0 , x; y ; 2 2 2 x y x 1 2 x y x y 0 2 x y Bài 16 Giải hệ phương trình : 1 x2 x y xy x y x x y x 0 Giải : 1 x Từ : x y xy 1 x y x x y x 0 x - Từ (2) : 2 y x x y x 0 x y x 1 0 x y x 1 x y 1 x 2x y x * 1 x 1 x 2 1 2x 1 xy 1 x x x x x 2 x (3) - Hay : , thay vào (1) : 2x x2 x2 2x 1 1 1 2 2 x x x 2 x - Nhận xét : x x2 1 2x 1 1 a , b b a 2 x x 2 x Gọi : a b 2 b a 2a 2a 2b 2b - Cho nên (3) t t 2t f ' t 2 ln 0t R - Xét hàm số : f(t)= Hàm số đồng biến , phương trình có 1 0 x 2 nghiệm và : a=b , tức b-a=0 , hay : x Thay vào (*) ta tìm y= 3 x; y 2; 4 42 x y 51 x y 1 22 x y 1 y x ln y x 0 ài 17.Giải hệ phương trình : (9) Giải : 1 1 y x ln y x 0 Từ : x y 1 x y x y 1 1 2.2 x y - Phương trình (1) : x y x y 5.4a 5a 2.10a a 2 x y 5a 2.10a 54a 5 f a 5a 10a 4a 0 5 f ' a 5a ln 10a ln10 a ln 10 a ln10 10 a ln10 a ln 5 - Xét : - Chứng tỏ hàm số đồng biến Mặt khác : f(1)=0 , đó là nghiệm phương trình y y 1 ln y y 1 0 - Với a=1 suy 2x-y=1 , hay 2x=y+1 Thay vào (2) : y 1 f y y y ln y y 1 0 f ' y 3 y y y (*) - Xét : 1 2 y y y 2 y 1 g y g ' y 2 y y 1 y y 1 y y 1 y f ' y f ' y 0y R y g ' y g 0 f ' y 2 - Nhận xét : - Chứng tỏ f(y) đồng biến Mặt khác f(-1)=0 suy y=-1 là nghiệm PT - Kết luận : hệ có nghiệm (x;y)=(0;-1) x y 0 x x y y 0 Bài 18 Giải hệ phương trình : Giai x 2; y Đ/K : x x y 1 y y x x y y Từ (2) Ta xét hàm số : f (t ) t t f '(t ) 3t 0t R Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến trên R Do đó đẻ f 2 x f 2y , xảy : y 3 x x 2y x 3 y x3 x 0 x3 x 0 x 1 x x 0 x 1; y 3 2 Thay vào (1) Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;2) Bài 19 Giải hệ phương trình : x y xy 2 x y xy 1 x y x y Giải x y x y * x y 0 y x2 Đ/K : ( Ngô Trung Hiếu ) (10) x y xy 2 x y xy x y xy 2 x y xy 2 x y x y x x y x x y Hệ x t 0 t x y x x t t x t x t 0 x t x t 1 0 x t 0 Từ (2) : y x x x y x x +/ Trường hợp : x=t x x x x 2 y x x x x x x 2 x x x thay vào (1) x x3 x 16 x x x x x5 x x3 24 x 0 x 2 y 2 2 x x x x x 24 0 x x x x x 0 x y 6 x x 0 Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(2;2),(-2;6) x x y 0 x 1 x x y x 1 2 x y x x y x x +/ Trường hợp : 3 1 x y xy 16 x y xy x y x y 16 x y 8xy xy x y 0 x y 16 x y xy x y 0 x 1 x x x 1 2 x 1 x x x 1 Thay vào (1) : x 1 x x x 1 2 x 1 x x x 1 x y x y y 0 y x y 2 xy x x xy y y Bài 20 Giải hệ phương trình : Giải x y 0; y x y Đ/K : y x y y y xy x Từ (2) : y 1 y y x y f (t ) t 1 t t2 x y x y t 0 Xét hàm số : t 1 1 1 y f '(t ) t t 1 2t t 2 t t 20 t ( Vì : với t>0 ) y x y Như hệ có nghiệm xảy : hay x=2y 2 y y y y y 0 y 10 y y 0 Thay vào (1) : y y y 1 0 y 2 vì : y y 0 vô nghiệm Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(4;2 ) 2 x x 6 y x y y x x Bài 21 Giải hệ phương trình sau : Giải y 2; x Điều kiện : t 1 1 x y 2 0 t (11) y 2 x 2 y y x x y 1 Từ (2) : x 1 x 2 y 2 y 1 x 2 1 x 2 y 1 x y 1 x Xét hàm số 1 f '(t ) ' 0 t 2t t Chứng tỏ hàm số nghịch biến 2 f x f y 1 y x Để xảy : Thay vào (1) ta phương trình : t x 0 t x 0 1 x x x 0 2 t 2t t 7 2t t 7 t 0 t x 0 t x 0 t x 4 3 2 4t t t t 1 t 3t 49t 49 0 t 4t 46t 49 0 +/ Trường hợp : t=1 hay x-2=1 suy x=3 và y+1=1 hay y=0 Vậy nghiệm hệ là (x;y)=(3;0) f (t ) t 3t 49t 49 0 f '(t ) 3t 6t 49 3 t 1 52 0t 0; +/ Trường hợp : t 0; Hàm số nghịch biến và f(o)= -49<0 chứng tỏ f(t)<0 với Phương trình vô nghiệm 2 2 y y 3x x x 3 x y x x 4024 2012 Bài 22 Giải hệ phương trình sau : f (t ) t 1 t t 0 Giải Điều kiện : y x 0 +/ Nếu x=0 suy y=0 lại không thỏa mãn (2) x khác Từ (1( chia hai vế cho x 0 Khi đó : y y x x x 3 2y 2y 2y 2y 3 1 3 x 3x 3 x 3x 3 x x x x x x Xét hàm số : f (t ) t 3t f '(t ) 3t với t thuộc R Chứng tỏ hàm số đồng biến Để f( 2y 2y ) f ( x) x y x2 x , xảy : x Thay vào (2) ta : 2012 x x x x 4024 2012.2012 x Lại đặt t=x-1 suy : 2012.2012t g (t ) 2012t Lại xét hàm số : x 1 x 1 4024 t t 4024 g (t ) 2012t t t g '(t ) 2012t ln 2012 t t 2 t t t 2012t 1 t 4 t t ln 2012 t2 Hay : ln 2012 2 Vì : t t và t suy g'(t)>0 với t thuộc R mà g(0)=2 cho nên với 1 t x 0 x 1; y x; y 1; 2 t=0 là nghiệm và : g '(t ) 2012t (12) x 12 x y y 16 0 x x y y 0 Bài 23 Giải hệ phương trình sau : Giải x3 12 x y 12 y 4 x x y y 0 x 2;0 y Điều kiện : Khi đó hệ f t t 12t t 2; 2 f ' t 3t 12 3 t 0t 2; 2 Xét hàm số Chứng tỏ hàm số nghịc biến Cho nên để f(x)=f(y-2) xảy : x=y-2 , thay vào (2) ta : 2 x2 2 x x x 0 x x x 0 t x 0 2 x 3 x 4 t 3t t 2 t x 0 4t 3t 22 0 x 2 x 0 y 2 x; y 0; t x 0 19 11 0; t 2 t Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(0;2) x y x y 5 x y x y 2 Bài 24 Giải hệ phương trình sau : Giải x y x y 5 1 x x y y 5 1 x y x y 2 x x y y 2 x2 x 5 1 x x 2 2 y 3 y x 2 x 2 2 y 3 y y y 3 x x y y 2 Do : x2 x ; y2 y x2 x y2 y - Suy : Cho nên (1) xảy và x x 1 x x x x x x 2 y y y y y y y y 1 : ;1) - Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=( Bài 25 Giải hệ phương trình sau : Hệ : 2 x y x y 0 2 x x 10 y 0 Giải 8x 8x x y x y 0 y 2 y x x 4 y y 2 2 x x 10 y 0 y x 1 0 x x ( y 1)3 1 x y Bài 26 (Thi HSG tỉnh Hải Dương 2012) Giải hệ: 9( y 1) (1) (2) (13) Giải - Từ điều kiện và từ phương trình (2) có x 1; y 1 (1) x x ( y 1)3 y , xét hàm số f (t ) t 3t trên [1; ) Hàm số đồng biến trên [1; ) , ta có f ( x ) f ( y 1) x y x 1 x 2 , x y x 1; x 2 y 2 y 5 - Với thay vào (2) giải (4 x 1) x ( y 3) y 0 (1) 2 (2) 4 x y x 7 Bài 27 (A – 2010) Giải hệ phương trình Giải (4 x 1)2 x (2 y 6) y 0 (1) (2 x ) 1 (2 x ) y 1 y (2 x) x y y (2 x) f ( y ) với f (t ) t t f '(t ) 3t 0, t (t ) ĐB trên Vậy f (2 x) f ( y ) x y y 4x 2 , x 0 2 4x 4x x 0 g ( x ) 0 Thế vào pt (2) ta 2 3 4x g ( x ) 4 x x 7, x 0; 4 Với CM hàm g(x) nghịch biến x y 2 Ta có nghiệm x5 xy y10 y (1) x y 6 Bài 28 (Thử ĐT 2012) Giải hệ phương trình : Giải TH1 : Xét y 0 thay vào hệ thây không thỏa mãn x x ( )5 y y (3) y TH2 : Xét y 0 , chia vế (1) cho y ta y Xét hàm số f (t ) t t f '(t ) 5t nên hàm số đồng biến x x (3) f ( ) f ( y ) y x y y y Từ Thay vào (2) ta có PT x x 6 x 1 Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) (1;1) x x 3 y x y y 3 Bài 29 Giải hệ phương trình Giải (14) Trừ vế hai pt ta x x y y 3 y x x x 3x y y y t f (t ) 1 t 3t ln 0, f ( x) f ( y ) với f (t ) t t t 1 f (t ) đồng biến trên Bởi f ( x ) f ( y ) x y vào pt thứ ta x 1 x g (0) g ( x) x g ( x) 3 x x g '( x ) 3 ln x x x 1 Với 3 x x ln 0, x x 1 x 1 x x 1 x x 3x 3x x x 2 x x 2 và Suy g ( x ) đồng biến trên Bởi g ( x) g (0) x 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm x = y = (2x 3x 4)(2y2 3y 4) 18 x y2 xy 7x 6y 14 0 ( x, y ) Bài 30 (Thi thử ĐT 2013) Giải hệ : Giải 2 (2) x ( y 7) x y y 14 0 2 (2) y ( x 6) y x x 14 0 10 y y 0 x x x 0 y f (t ) 2t 3t 4, t R f '(t ) 4t - 3, f '(t ) 0 t Xét hàm số 3 ; hàm số f(t) đồng biến Vì trên TH x f ( x ) f (2) 6 Kết hợp với y 1 f ( y ) f (1) 3 f (x ).f ( y ) (2x 3x 4)(2 y 3y 4) 18 TH x 2 hệ trở thành Vậy hệ đã cho vô nghiệm 2 y y 0 y y 0 y 1, y y 2 vô nghiệm y y y x 22 x 21 x 1 x Bài 31 Giải hệ phương trình : 2 x 11x 2 y Giải x Nhân hai vế (2) với sau đó lấy (1) trừ cho nó ta có hệ : Điều kiện : (15) y y y x 22 x 21 x x 4 x 22 x 18 4 y y3 y y 1 y 4 x 22 x 18 4 y 3 y y y 2x 2x y 4 x 22 x 18 4 y 2x 2x y 1 y 1 4 x 22 x 18 4 y 2x 2x Xét hàm số : f (t ) t 2t f '(t ) 3t t R Chứng tỏ hàm số đồng biến trên R Để f y 1 f 2x xảy : y 1 x Thay vào (2) ta có : x 11x 2 y x 11x 11 2 y 1 x 11x 11 2 x * t 2x x Đặt t 1 t 1 t 1 * 11 11 2t t 2t 1 11t 11 22 4t t 9t 4t 12 0 t 1 t 3 t 4t 0 Suy : Với t 1 y t x 1 x 1 x 1 x; y 1;0 y 0 y 0 y 0 x 3 t 3 y t y 2 Với 2 x 9 y 2 x 5 x; y 5; y 2 Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(1;0),(5;2) ( ví t 4t t t 0 ) (16)