Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định.. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2014 – 2015 Môn thi: Toán Ngày thi: 23 tháng năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) x 1 x x = 1) Tính giá trị biểu thức : x 1 x P x x x x với x > 0; x 1 2) Cho biểu thức x 1 P x a) Chứng minh A b) Tìm giá trị x để 2P = x Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Bài III (2,0 điểm) x y y 5 1) Giải hệ phương trình x y y 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + và parabol (P): y = x2 a) Tìm tọa độ các giao điểm (d) và (P) b) Gọi A, B là giao điểm (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt cắt các đường thẳng AM, An các điểm Q, P 1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc đường tròn 3) Gọi E là trung điểm BQ Đường thẳng vuông góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F là trung điểm BP và ME // NF 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Bài V (0,5 điểm) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q 2a bc 2b ca 2c ab Hết Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh Số báo danh: (2) Giám thị (Họ tên và ký) Giám thị (Họ tên và ký) ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2014 – 2015 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI Môn thi: Toán Ngày thi: 23 tháng năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút ( Đây là đáp án, biểu điểm dự kiến Nguyễn Thị Xuyến giáo viên Trường THCS Nam Phương Tiến B, Chương Mỹ, Hà Nội Website: nganduongnpt.violet.vn ) Bài I (2,0 điểm) x 1 x x = 1) Tính giá trị biểu thức : x 1 x P x x x x với x > 0; x 1 2) Cho biểu thức x 1 P x a) Chứng minh A b) Tìm giá trị x để 2P = x Bài Bài 1.1 (0,5 điểm) Bài 1.2 (1,5 điểm) Hướng dẫn giải Với x = thì x 3 A P 1 2 3 Điểm 0, x 1 x a) Chứng minh - Với x > 0; x 1 ta có x 1 x x P x ( x 2) x x ( x 2) P P 0, 25 x x x 1 x ( x 2) x ( x 1)( x 2) x x ( x 2) x 1= - Vậy với x > 0; x 1 ta có b) - Với x > 0; x 1 ta có: 0, 25 x 1 x P P 0, 25 x 1 x x 1 x x 1 x x 5 x - Để 2P = nên - Đưa phương trình x x 0 0, 25 0, 25 (3) x 2(loai ) x x 1 - Tính thỏa mãn điều kiện x > 0; x 1 0, 25 - với x = 1/4 thì 2P = x Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán sau cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Bài Hướng dẫn giải (2,0 điểm) 0, Bài - Gọi ngày phân xưởng phải sản xuất số sản phẩm theo là x ( sản phẩm; đk x nguyên dương) Khi đó trên thực tế ngày phân xưởng làm số sản phẩm là x + (sp) (2,0 điểm) 1100 - Số ngày làm theo kế hoạch là: x ngày 1100 Số ngày làm trên thực tế là: x ngày 0,5 Vì thời gian thực tế ít kế hoạch ngày , ta có phương 1100 1100 2 x 5 trình: x 0,25 + Giải phương trình tìm x1 55; x2 50 0,5 Vì x nên x1 50 thỏa mãn điều kiện ẩn, x2 55 không thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng làm 50 sp 0,25 (4) Bài III (2,0 điểm) x y y 5 1) Giải hệ phương trình x y y 2)Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + và parabol (P): y = x2 a) Tìm tọa độ các giao điểm (d) và (P) b) Gọi A, B là giao điểm (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB Bài Bài 3.1 (1,0 điểm) Hướng dẫn giải x y y 5(1) 4(2) Giải hệ phương trình x y y đk x y; y 1 - Lấy (1) trừ vế cho (2) ta được: Điểm 0,25 0, 9 y 1 y 2(tm) y Bài 3.2 (1,0 điểm) - Thay y = vào (1) ta tính x = -1 Vậy hệ pt có nghiệm là (x; y) = ( - 1; ) a) - Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2 x = -x + x + x - = x x 2 y 4 - Chỉ ra: x y 9 0,25 0, 25 0, 25 - Kết luận: A(2;4) và B(-3;9) - b) Gọi A’, B’ là hình chiếu A và B xuống trục hoành Ta có S OAB SAA 'B'B SOAA ' SOBB' x x A ' x B' x A ' 5 Ta có A’B’ = B' , AA’ = y A 9 , BB’ = y B 4 0, 25 AA ' BB ' 94 65 A 'B ' 2 (đvdt) Diện tích hình thang : SAA 'B'B 27 SOAA ' A ' A.A 'O (đvdt); SOBB' B'B.B'O 4 (đvdt) 65 27 S OAB SAA 'B'B SOAA ' SOBB' 15 (đvdt) 0, 25 - Kết luận (5) Bài IV (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt cắt các đường thẳng AM, An các điểm Q, P 1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc đường tròn 3) Gọi E là trung điểm BQ Đường thẳng vuông góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F là trung điểm BP và ME // NF 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ .Bài Hướng dẫn giải (3,5 điểm) Hình vẽ: P N F O A B 0,25 M E Q (0,75 điểm) (1 điểm) - Tứ giác AMBN có góc vuông, vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;R) 0,75 Ta có ANM ABM (cùng chắn cung AM (O;R) ) 0,25 - Chỉ ABM AQB (cùng phụ với góc MAB) 0,25 - Nên ANM AQB 0,25 - Vì ANM AQB nên MNPQ nối tiếp (do có góc ngoài đỉnh góc đối diện ) */ Chứng minh: F là trung điểm BP - Chỉ OE là đường trung bình tam giác ABQ - Chứng minh OF // AP nên OF là đường trung bình 0,25 0,25 (6) (1,0 điểm) tam giác ABP 0,25 Suy F là trung điểm BP */ Chứng minh: ME // NF Mà AP vuông góc với AQ nên OE vuông góc OF Xét tam giác vuông NPB có F là trung điểm cạnh huyền BP Xét tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên ONF 90 Tương tự ta có OME 90 nên ME // NF vì cùng vuông góc với MN 0,25 0,25 - Ta thấy : 2SMNPQ 2SAPQ 2SAMN (0,5 điểm) 2R.PQ AM.AN 2R.(PB BQ) AM.AN AB BP QB BA - Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy AB BP.QB 0,25 Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có PB BQ 2 PB.BQ 2 (2R) 4R - Ta có Do đó, AM AN MN 2 = 2R2 2R.4R 2R 6R SMNPQ 3R AM.AN 2SMNPQ Suy 0,25 Dấu xảy AM =AN và PQ = BP hay MN vuông góc AB Bài V (0,5 điểm) Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q 2a bc 2b ca 2c ab Bài Hướng dẫn giải (0,5 điểm) - Ta có Q 2a bc 2b ca 2c ab Mà 2a bc (a b c)a bc (Do a + b +c = 2) a ab bc ca (a b)(a c) (0,5 điểm) (a b) (a c) 0,25 (Áp dụng bất đẳng thức với số dương a+b và a+c) Vậy ta có 2a bc Tương tự ta có : (a b) (a c) (1) (a b) (b c) 2b ca (2) (a c) (b c) 2c ab (3) Cộng (1) (2) (3) vế theo vế Q 2(a b c) 4 Khi a = b = c = thì Q = giá trị lớn Q là 0,25 (7) Lưu ý chấm bài: - Điểm toàn bài không làm tròn - Trên đây là sơ lược các bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng - Với bài 4, học sinh không vẽ hình thì không chấm (8)