Đang tải... (xem toàn văn)
C là một điểm trên cạnh AB C≠A; C≠0;C≠B đờng vuông góc MC tại M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B với đờng tròn 0 tại E va F chứng minh a> Tứ giác BCMF nội tiếp một đớng tròn b> Tam gi¸c E[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT §¹i sè CHủ đề 1: C¨n thøc – rót gän biÓu thøc I c¨n thøc: KiÕn thøc c¬ b¶n: §iÒu kiÖn tån t¹i : √ A Cã nghÜa ⇔ A ≥0 Hằng đẳng thức: √ A 2=|A| Liªn hÖ gi÷a phÐp nh©n vµ phÐp khai ph¬ng: ( A ≥ 0; B ≥ 0) √ A B= √ A √ B A √A Liªn hÖ gi÷a phÐp chia vµ phÐp khai ph¬ng: ( A ≥ 0; B>0) = B √B §a thõa sè ngoµi c¨n: ( B≥ 0) √ A B=| A| √ B §a thõa sè vµo c¨n: ( A ≥ 0; B ≥ 0) A √ B=√ A B ( A<0 ; B ≥0) A √ B=− √ A B A √A.B Khö c¨n thøc ë mÉu: = ( B>0) B √B C( √ A ∓ √ B) C Trôc c¨n thøc ë mÉu: = A−B √ A ± √B Bµi tËp: Tìm điều kiện xác định: Với giá trị nào x thì các biểu thức sau đây xác định: −5 1) √ −2 x+3 2) 3) 4) x +3 x x +6 −3 5) √ x + 6) √ 1+ x 7) 8) −2 x x +5 Rút gọn biểu thức Bµi1 1) √ 12+5 √ − √ 48 2) √ 5+ √ 20 −3 √ 45 3) √32+ √ −5 √18 4) √ 12 − √ 27+5 √ 48 5) √ 12+ √ 75 − √ 27 6) √ 18 −7 √ 2+ √ 162 1 − 7) √ 20 − √ 45+ √ 8) ( √ 2+ 2) √ 2− √ 9) √ −1 √5+1 1 2 10) + 11) − 12) 2+ √ −3 √ 4+3 √ 1+ √ √5 −2 √5+2 13) √ 28− √14+ √¿ 14) √ 14 −3 √ 2¿ + √28 ¿ ¿ ¿ 2 15) √ − √ ¿ − √ 120 16) √ −3 √ ¿ +2 √ 6+ √ 24 ¿ ¿ 1− √ 2¿ √ 3− 2¿ ¿ ¿ 2 17) √ 2+3 ¿ 18) √ 3− 1¿ ¿ ¿ ¿ ¿ √¿ √¿ √ 5− ¿2 ¿ 19) √ 5− ¿ 20) ( √ 19− 3)( √19+ 3) ¿ ¿ √¿ √ √ √ THCS HOÀNG VĂN THỤ √ √ √ (2) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT 21) 23) x −12 ¿ ¿ ¿ x+ √ ¿ x − xy+ y ¿2 ¿ ¿ x +2 y − √ ¿ Bµi2: 1) ( 3+ √ )2+ ( − √ ) √ 8+2 √15 - √ −2 √15 √ √ √ 7+ √ + √7 − √5 √7 − √ √ 7+ √ 22) 2) √ ( 2− √3 ) − √( 2+ √3 ) 3) √ ( 5− ) +√ ( √5+ ) 5) √ ( 5+2 √ ) + √ −2 √15 6) √ 4+ √ 3+ √ −2 √3 − − √ −2 √ √3+ √ Giải phương trình: 1) √ x −1= √5 2) √ x −5=3 3) √ 9(x − 1)=21 4) 2 x − 3¿ x −1 ¿ 2 ¿ ¿ 5) √ x − √ 12=0 6) 7) √ x +4 x +1=6 8) ¿ ¿ √¿ √¿ 1− x ¿ ¿ 9) √ x 2=6 10) 4¿ √¿ II c¸c bµi to¸n rót gän: A.c¸c bíc thùc hiªn: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn đợc) T×m §KX§ cña biÓu thøc: lµ t×m TX§ cña tõng ph©n thøc råi kÕt luËn l¹i Quy đồng, gồm các bớc: + Chän mÉu chung : lµ tÝch c¸c nh©n tö chung vµ riªng, mçi nh©n tö lÊy sè mò lín nhÊt + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho mẫu để đợc nhân tử phụ tơng ứng + Nh©n nh©n tö phô víi tö – Gi÷ nguyªn mÉu chung Bỏ ngoặc: cách nhân đa thức dùng đẳng thức Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng Ph©n tÝch tö thµnh nh©n tö ( mÉu gi÷ nguyªn) Rót gän B.Bµi tËp luyÖn tËp: x 2x x Bài Cho biểu thức : A = x x x với ( x >0 và x ≠ 1) 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị biểu thức A x 3 2 a4 a 4 a 2 Bài Cho biểu thức : P = 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tìm giá trị a cho P = a + 4) √ x − √ 50=0 4 a 2 a ( Với a ; a ) x 1 x x x x x 1 Bài 3: Cho biểu thức A = 1/.Đặt điều kiện để biểu thức A có nghĩa THCS HOÀNG VĂN THỤ (3) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT 2/.Rút gọn biểu thức A 3/.Với giá trị nào x thì A< -1 (1 Bµi 4: Cho biểu thức A = a) Rút gọn A b) Tìm x để A = - x x x x )(1 ) x 1 x1 ( Với x 0; x 1 ) 1 x − + √ √ x − 2 √ x +2 − x a; T×m TX§ råi rót gän biÓu thøc B b; TÝnh gi¸ trÞ cña B víi x =3 Bµi 6: Cho biÓu thøc : P = √ x+1 + √ x + 2+5 √ x √ x − √ x+ − x a; T×m TX§ b; Rót gän P c; Tìm x để P = 1 a+1 √ a+2 Bµi 7: Cho biÓu thøc: Q=( − ¿ :( √ − ) √ a − √ a √ a − √ a −1 a; T×m TX§ råi rót gän Q b; Tìm a để Q dơng c; TÝnh gi¸ trÞ cña BiÓu thøc biÕt a = 9- √ a − √ a a+ √ a Bµi 8: Cho biÓu thøc: M = √ a − − 2 √ a √ a+1 √ a −1 a/ T×m §KX§ cña M b/ Rót gän M Bµi : Cho biÓu thøc : K = 15 √ x −11 + √ x − √ x+3 x +2 √ x −3 1− √ x √ x+3 a Tìm x để K có nghĩa b Rót gän K c T×m x K= 2 Bµi 10 : Cho biÓu thøc: G= √ x −2 − √ x+2 x − x +1 x −1 x +2 √ x +1 Xác định x để G tồn Rót gän biÓu thøc G TÝnh sè trÞ cña G x = 0,16 x +2 x x −1 Bµi 11 : Cho biÓu thøc: P= + √ + :√ x √ x −1 x + √ x +1 1− √ x a Rót gän biÓu thøc trªn b Chøng minh r»ng P > víi mäi x≥ vµ x ≠ 1 a2+ 1 Bµi 12 : cho biÓu thøc Q= + − 1+ a 2+ √ a 2− √ a 1− a a T×m a dÓ Q tån t¹i b Chøng minh r»ng : Q kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña a Bµi 5: Cho biÓu thøc : B = ( )( ( ) ) ( ) ( )( ) Víi x ≥ ; x ≠ -CHủ đề 2: hàm số - hàm số bậc I hµm sè: Kh¸i niÖm hµm sè * Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x cho giá trị x, ta luôn xác định đợc giá trị tơng ứng y thì y đợc gọi là hàm số x và x đợc gọi là biến số * Hµm sè cã thÓ cho bëi c«ng thøc hoÆc cho bëi b¶ng THCS HOÀNG VĂN THỤ (4) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT II hµm sè bËc nhÊt: KiÕn thøc c¬ b¶n: §Þnh nghÜa: Hàm số bậc có dạng: y=ax +b Trong đó a; b là các hệ số a ≠ Nh vậy: Điều kiện để hàm số dạng: y=ax +b là hàm số bậc là: a ≠ VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (1) Tìm các giá trị m để hàm số (1) là hàm số bậc Gi¶i: Hµm sè (1) lµ bËc nhÊt ⇔ −m≠ ⇔ ⇔m≠ TÝnh chÊt: + TX§: ∀ x ∈ R + §ång biÕn a> NghÞch biÕn a< VÝ dô: Cho hµm sè: y = (3 – m) x - (2) Tìm các giá trị m để hàm số (2): + §ång biÕn trªn R + NghÞch biÕn trªn R Gi¶i: + Hµm sè (1) §ång biÕn ⇔ −m>0 ⇔ ⇔ m< + Hµm sè (1) NghÞch biÕn ⇔ −m<0 ⇔ ⇔ m> §å thÞ: + Đặc điểm: Đồ thị hàm số bậc là đờng thẳng cắt trục tung điểm có tung độ b»ng b b cắt trục hoành điểm có hoành độ − a + Từ đặc điểm đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y= ax+b: Cho x=0 => y=b => điểm (0;b) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Cho y=0 => x=-b/a => điểm (-b/a;0) thuộc đồ thị hàm số y= ax+b Đờng thẳng qua hai điểm (o;b) và (-b/a;0) là đồ thị hàm số y= ax+b Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x + Gi¶i: Cho x=0 => y=1 => điểm (0;1) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + Cho y=0 => x=-1/2 => điểm (-1/2;0) thuộc đồ thị hàm số y = 2x + Đờng thẳng qua hai điểm (0;1) và (-1/2;0) là đồ thị hàm số y = 2x + Điều kiện để hai đờng thẳng: (d1): y = ax + b; (d2): y = a,x + b, : + C¾t nhau: (d1) c¾t (d2) ⇔ a≠ a , */ Để hai đờng thẳng cắt trên trục tung thì cân thêm điều kiện b=b' */ Để hai đờng thẳng vuông góc với thì : a a' =−1 + Song song víi nhau: (d1) // (d2) ⇔ a=a , ; b ≠ b' + Trïng nhau: (d1) (d2) ⇔ a=a , ; b=b' VÝ dô: Cho hai hµm sè bËc nhÊt: y = (3 – m) x + (d1) Và y = x – m (d2) a/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số song song với b/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt c/ Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trên trục tung Gi¶i: ¿ −m=2 ≠ −m ⇔ a/ (d1)//(d2) ⇔ ¿ m=1 m ≠− ⇔ {m=1 ¿{ ¿ b/ (d1) c¾t (d2) ⇔ −m≠ ⇔m ≠1 c/ (d1) c¾t (d2) t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung ⇔ −m=2 ⇔ m=−2 C¸c d¹ng bµi tËp thêng gÆp: THCS HOÀNG VĂN THỤ (5) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT -D¹ng 2: - Dạng1: Xác dịnh các giá trị các hệ số để hàm số đồng biến, nghịch biến, Hai đường §iÓm thuéc thẳng đồ thị; điểm kh«ng thuéc song song; cắt nhau; trùng đồ thị: Phơng pháp: Ví dụ: Cho hàm số bậc nhất: y = ax + b Điểm M (x1; y1) có thuộc đồ thị không? Thay giá trị x1 vào hàm số; tính đợc y0 Nếu y0 = y1 thì điểm M thuộc đồ thị Nếu y0 y1 thì điểm M không thuộc đồ thị -Dạng 3: Viết phơng trình đờng thẳng: Ví dụ: Viết phơng trình đờng thẳng y = ax + b qua điểm P (x0; y0) và điểm Q(x1; y1) Phơng pháp: + Thay x0; y0 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y0 = ax0 + b (1) + Thay x1; y1 vào y = ax + b ta đợc phơng trình y1 = ax1 + b (2) + Giải hệ phơng trình ta tìm đợc giá trị a và b + Thay giá trị a và b vào y = ax + b ta đợc phơng tri9nhf đờng thẳng cần tìm Bµi tËp: Bài 1: Cho hai đường thẳng (d1): y = ( + m )x + và (d2): y = ( + 2m)x + 1) Tìm m để (d1) và (d2) cắt 2) Với m = – , vẽ (d1) và (d2) trên cùng mặt phẳng tọa độ Oxy tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d1) và (d2) phép tính Bài 2: Cho hàm số bậc y = (2 - a)x + a Biết đồ thị hàm số qua điểm M(3;1), hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao? Bài 3: Cho hàm số bậc y = (1- 3m)x + m + qua N(1;-1) , hàm số đồng biến hay nghịch biến ? Vì sao? Bài 4: Cho hai đường thẳng y = mx – ;(m ¿ và y = (2 - m)x + ; (m≠ 2) Tìm điều kiện m để hai đường thẳng trên: a) Song song b) Cắt Bài 5: Víi giá trị nào m thì hai đường thẳng y = 2x + 3+m và y = 3x + 5- m cắt điểm trên trục tung Viết phương trình đường thẳng (d) biết (d) song song với −1 x và cắt trục hoành điểm có hoành độ 10 (d’): y = Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d), biết (d) song song với (d’) : y = - 2x và qua điểm A(2;7) Bài 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2; - 2) và B(-1;3) x2 Bài 8: Cho hai đường thẳng : (d1): y = và (d2): y = x a/ Vẽ (d1) và (d2) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy b/ Gọi A và B là giao điểm (d1) và (d2) với trục Ox , C là giao điểm (d1) và (d2) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC (đơn vị trên hệ trục tọa độ là cm)? Bài 9: Cho các đờng thẳng (d1) : y = 4mx - (m+5) với m (d2) : y = (3m2 +1) x +(m2 -9) a; Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× (d1) // (d2) b; Với giá trị nào m thì (d1) cắt (d2) tìm toạ độ giao điểm Khi m = c; C/m m thay đổi thì đờng thẳng (d1) luôn qua điểm cố định A ;(d2) qua điểm cố định B Tính BA ? Bài 10: Cho hµm sè : y = ax +b a; Xác định hàm số biết đồ thị nó song song với y = 2x +3 và qua điểm A(1,-2) b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo đờng thẳng trên với trục Ox ? c; Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ? d; Tìm giá trị m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2 CHủ đề 3: hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn I c¸c kh¸I niÖm: Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: +Dạng: ax + by = c đó a; b; c là các hệ số đã biết( a ≠ b ≠ ¿ + Mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ cÆp sè x0; y0 tháa m·n : ax0 + by0 = c THCS HOÀNG VĂN THỤ (6) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT + Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn ax + by = c lu«n lu«n cã v« sè nghiÖm + Tập nghiệm đợc biểu diễn đờng thẳng (d): ax + by = c Nếu a ≠ ; b ≠ thì đờng thẳng (d) là đồ thị a c hµm sè bËc nhÊt: y=− x+ b b HÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ¿ ax+ by=c (1) + D¹ng: a, x +b , y=c, (2) ¿{ ¿ + NghiÖm cña hÖ lµ nghiÖm chung cña hai ph¬ng tr×nh + NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiÖm chung th× ta nãi hÖ v« nghiÖm + Quan hệ số nghiệm hệ và đờng thẳng biểu diễn tập nghiệm: -Phơng trình (1) đợc biểu diễn đờng thẳng (d) -Phơng trình (2) đợc biểu diễn đờng thẳng (d') *NÕu (d) c¾t (d') hÖ cã nghiÖm nhÊt *NÕu (d) song song víi (d') th× hÖ v« nghiÖm *NÕu (d) trïng (d') th× hÖ v« sè nghiÖm Hệ phơng trình tơng đơng: Hai hệ phơng trình đợc gọi là tơng đơng với chúng có cùng tập nghiệm Ii.ph¬ng ph¸p gi¶I hÖ ph¬ng tr×nh: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ: a) Quy t¾c thÕ: + Bớc 1: Từ phơng trình hệ đã cho, ta biểu diễn ẩn theo ẩn kia, thay vào phơng trình thứ hai để đợc phơng trình (chỉ còn ẩn) + Bớc 2: Dùng phơng trình này để thay cho phơng trình thứ hai hệ (phơng trình thứ thờng đợc thay hệ thức biểu diễn ẩn theo ẩn có đợc bớc 1) VÝ dô: xÐt hÖ ph¬ng tr×nh: ¿ x −2 y=1 (1) x+2 y=3 (2) ¿{ ¿ + Bíc 1: Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta biÓu diÔn x theo y ( gäi lµ rót x) ta cã: x=1+2 y (∗) Thay x=1+2 y (∗) vào phơng trình (2) ta đợc: 3(1+2 y)+2 y=3 (**) + Bíc 2: ThÕ ph¬ng tr×nh (**) vµo ph¬ng tr×nh hai cña hÖ ta cã: ¿ x=1+2 y 3(1+2 y)+2 y=3 ¿{ ¿ b) Gi¶i hÖ : THCS HOÀNG VĂN THỤ (7) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT x=1+2 y 3(1+2 y)+2 y=3 ⇔ ¿ x=1+2 y 3+6 y +2 y=3 ⇔ ¿ x=1+2 y ¿ y=0 ⇔ x=1 ¿ y=0 ¿ ¿{ ¿ ¿ ¿¿ VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm (x = 1; y = 0) Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số: a)Quy tắc cộng đại số: + Bớc 1: Cộng hay trừ vế hai phơng trình hệ hệ phơng trình đã cho để đợc phơng trình + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy thay thÕ cho mét hai ph¬ng tr×nh cña hÖ (vµ gi÷ nguyªn ph¬ng tr×nh kia) Lu ý: Khi các hệ số cùng ẩn đối thì ta cộng vế theo vế hệ Khi c¸c hÖ sè cña cïng mét Èn b»ng th× ta trõ vÕ theo vÕ cña hÖ Khi hệ số cùng ẩn không không đối thì ta chọn nhân với số thích hợp để đa hệ số cùng ẩn đối (hoặc nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số) bµi tËp: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ ¿ ¿ ¿ x + y=2 x − y=m x+2 y=6 x − y=2 x+3 y =5 x + y =4 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ x y x y 7 x −3 y =1 − x+ y=2 5 x y 1 x y 0 ¿{ ¿ x y 2 x y 3x y 4 x y 9 Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số ¿ ¿ x −11 y =−7 x + y=3 10 x+11 y =31 x − y =7 ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ x +2 y=−2 −5 x +2 y=4 x −2 y=− x − y =−7 ¿{ ¿{ ¿ ¿ THCS HOÀNG VĂN THỤ 2x 3y 2 4x 6y 2 ¿ x+ y=8 x −3 y=0 ¿{ ¿ ¿ x −3 y=11 − x+ y=5 ¿{ ¿ (8) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT ¿ ¿ ¿ x+2 y=1 x +5 y=2 x − y =4 x − y=3 x − 15 y =6 x − y =3 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ §Æt Èn phô råi gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau ¿ ¿ 1 1 ¿ + = + =2 2(x + y)+3 (x − y )=4 x y x−2 y−1 (x+ y)+2( x − y )=5 1 − = − =1 ¿{ x y x −2 y −1 ¿ ¿{ ¿{ ¿ ¿ C¸c bµi tËp tù luyÖn Bµi Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau : ¿ x − y =−2 a) x − y=4 ¿{ ¿ ¿ x+ y =3 c) x −3 y=− ¿{ ¿ ¿ x +4 y =−2 e) x+ y+ 3=0 ¿{ ¿ ¿ x +5 y=1 b) −10 x − y=20 ¿{ ¿ ¿ x +3 y=− d) x+7 y=−9 ¿{ ¿ ¿ x y − =1 f) x y + =8 ¿{ ¿ Bµi : Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau : ¿ ¿ ¿ 1 + = − =2 − =1 x y x y −2 x +2 y x − y a) 1 b) c) 20 − = + − 1=0 + =1 x y x y −2 x+ y x −2 y ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ( m− ) x + y =5 Bµi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh x − y=7 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh m = b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ ph¬ng tr×nh nhËn cÆp sè ( x= ; y =- 6) lµm nghiÖm c) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm đó ¿ ax − y=2 Bµi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh x+ ay=3 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a = b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm và tìm nghiệm đó THCS HOÀNG VĂN THỤ (9) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT c) Tìm a để hệ phơng trình vô nghiệm ¿ ax − y =a Bµi : Cho hÖ ph¬ng tr×nh −2 x+ y=a+1 ¿{ ¿ a) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh a = -2 b) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm nhất, đó tính x ; y theo a c) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn: x - y = d) Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm thoả mãn x và y là các số nguyên ¿ x +(m− 4) y=16 Bµi :a) Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh: (4 −m) x − 50 y=80 (I) ¿{ ¿ b) Trong trờng hợp hệ phơng trình (I) có nghiệm hãy tìm m để x+y lớn Bµi 7* : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : a) √ 8+ √ x+ √5 − √ x=5 b) √ 2− x2 + √ x 2+ 8=4 CHủ đề 4: hÖ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn C¸c d¹ng to¸n vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai bµi mÉu: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸ch ®iÒn tiÕp vµo chç ( .) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 3x2 -27x = 3x(x-……) = 3x= (1) hoÆc (2) Gi¶i(1) x=………… Gi¶i(2) x=………… Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………………………… 2) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 5x2 - 45 = x2-…… = x2 = x1,2=……………… Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ………………………… 3)Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 -2007x +2005= (a=… ;b=… ;c=……) Ta cã:a+b+c=………………………= Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm …………… ; …………… ??:Em hãy đề xuất bài toán tơng tự cùng nhóm bạn mình cùng giải Xem nhanh h¬n,tr×nh bµy ng¾n gän chÝnh x¸c 4) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2x2 +7x -5= (a=… ;b=… ;c=……) Ta cã: ∆=………………….=……… >0 Vậy phơng trình đã cho có…….nghiệm ……………… ; ………………… 5) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x4 - 7x2 +10 = 0(*) §Æt x2 = y (y≥0) Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 - 7y +10 = (1) Gi¶i(1) ta cã: ∆=…………………….=……… >0 =>Ph¬ng tr×nh(1) cã hai nghiÖm y1=……………= …………; y2=……………=………… Víi y1=………; y2=…………tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n Mµ x2 = y Nªn y1=………=> x2 =……… <=>…………… y2=………=> x2 =……… <=>…………… VËy Ph¬ng tr×nh (*)cã ………nghiÖm………….;…………….;…………….;………… 6) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x+ √ x − 6=0 (*) §Æt √ x = y (y≥0) Lúc đó phơng trình (*)trở thành: y2 +5y -6 = (1) Gi¶i(1) ta cã: ∆=…………………….=……… >0 =>Ph¬ng tr×nh(1) cã hai nghiÖm y1=……………= …………; y2=……………=………… THCS HOÀNG VĂN THỤ (10) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Víi y1=………;……… tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n => y1=………(lo¹i) y2=…………tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n Mµ x2 = y Nªn y2=………=> √ x =……… <=>…………… VËy Ph¬ng tr×nh (*)cã ………nghiÖm………….;…………….;…………….;………… Bµi : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) 2x2 - 50 = c)54x2 = 27x e)y+ √ y -6=0 b) x +5 =x − d) y+ √ y =0 f)y-5 √ y +4=0 Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh a) 3x2 -17x - 20 = d) x2 - 4x + 4= b) 2x2 - 2007x + 2005 = e) x2 + 3x - = c) x + x + = f) x2 - x + √ 2− = Bµi : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng ph¬ng ph¸p Èn phô 1) x4 - 5x2 - = 6) ( x 2+ x )2 −2 ( x2 +2 x ) − 3=0 2) x4 + 7x2 - = 7) ( y +5 y )2 − y ( y +5 ) − 84=0 3) x4 + 9x2 + = 2x 8) ( y − ) −5 √ y −5=6 =2+ 4) x +1 x −1 9) x 2+ √ x −2+2=0 x x +1 5) + =−2 x +1 x bài mẫu: Tìm giá trị m để phơng trình: 5x2 + mx - m2 -12 = (1) cã mét nghiÖm b»ng 2.T×m nghiÖm cßn l¹i Gi¶i: §Ó ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2 th×: 5.22 +m.2 -m2-12=0 8+m.2 -m2=0 m2-2m - = 0(*) Gi¶i (*)Ta cã: ∆'=…………… =…… > => √ Δ' =…… => ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm m1=…………=…… ; m2=…………=…… +)Víi m1=………… ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2 m lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 = Mµ x1=2 ; m1=…… Nªn + x2 = x2=……….=……… +)Víi m2=………… ph¬ng tr×nh(1) cã mét nghiÖm x1=2 m lúc đó theo Vi-et ta có: x1+x2 = Mµ x1=2 ; m2=…… Nªn + x2 =…… x2=……….=……… VËy……………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Bµi : Víi gi¸ trÞ cña b th× c¸c ph¬ng tr×nh a) 2x2 + bx - 10 = cã mét nghiÖm b»ng T×m nghiÖm cßn l¹i b) b2x2 - 15x - = cã mét nghiÖm b»ng T×m nghiÖm cßn l¹i c) (b-1)x2 + (b+1)2.x - 72 = cã mét nghiÖm b»ng T×m nghiÖm cßn l¹i Bài : Cho các phơng trình ẩn x Xác định k để các phơng trình sau có nghiệm kép: a) x2 + 5x + k = c) x2 - (2k+3) + 4k + = b) x + kx + = d) (k-1) x2 + kx + = Bài : Xác định k để các phơng trình bài vô nghiệm Bài : Xác định k để các phơng trình bài có hai nghiệm phân biệt bµi mÉu: Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + m x +1= cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m Gi¶i: ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + m x +1= 0(*) ( a=…….; b=………; c=………) THCS HOÀNG VĂN THỤ (11) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT +) Xét a= hay m - = m =……… lúc đó phơng trình(*) trở thành: 3x+1=0 x=………… => m = …… th× ph¬ng tr×nh(*) cã mét nghiÖm x=…….(1) +) XÐt a ≠ hay m - ≠ m ≠…… Ta cã: ∆=………………………=………………………………= m2 - 4m + 12 = m2 - 2(….).m +(… )2-…… +12 = (… - ….)2 +……… NhËn thÊy: ( m - ….)2≥0 Víi mäi m ≠ 3 ( m - ….)2 + ≥…….>0 Víi mäi m ≠ Hay ∆>0 Víi mäi m≠ => ph¬ng tr×nh(*) cã hai nghiÖm Víi mäi m ≠ (2) Tõ (1) ;(2) => ph¬ng tr×nh(*) cã nghiÖm Víi mäi m Chó ý:Víi nh÷ng ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè ë hÖ sè a ta cÇn xÐt hai trêng hîp a=0 vµ a ≠ Bµi : Chøng minh r»ng c¸c ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi gi¸ trÞ cña m a)x2+(m+1)x+m=0 b) x2 -mx + m - = 2 c) -3x + 2(m-2)x+ 2m + = d) x + 4x - m2 + 4m - = e) (m+1)x2 + x - m = bài mẫu:Tìm m để phơng trình bậc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = có hai nghiệm trái dấu Gi¶i: ph¬ng tr×nh bËc hai: x2 +(3m+59)x - 5m + 30 = (1) §Ó ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu th× a.c < Hay 1.(30-5m) < 30-5m < 0 ……………….<=> m > VËy m……………………………………………………………………………… Chó ý:Trong d¹ng to¸n nµy Víi nh÷ng ph¬ng tr×nh cã chøa tham sè ë hÖ sè a ta kh«ng ph¶i xÐt hai trêng hîp a=0 vµ a ≠ Bài 9: Tìm m để các phơng trình bậc hai sau có hai nghiệm trái dấu a) x2 + 2x + m - = b) x2 + mx + = c)-3x + 2(m-2)x+ 2m + = d) 3x2 - 2(2m+1)x+ m2 -2 = e) (m2 + m +4)x + mx - = Bµi 10 : Cho ph¬ng tr×nh : (m+3)x2 - m(m+5)x + 2m2 = (1) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b) Chøng minh r»ng : x = m lµ mét nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép bµi mÉu: Gi¶i vµ biÖn luËn ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + 2(m-2) x +m = (Èn x , tham sè m) Gi¶i: ph¬ng tr×nh: (m-3)x2 + 2(m-2)x +m = 0(*) ( a=…….; b=………; c=………) +) Xét a= hay m - = m =……… lúc đó phơng trình(*) trở thành: ….x+1=0 x=………… => m = …… th× ph¬ng tr×nh(*) cã mét nghiÖm x=…… +) XÐt a ≠ hay m - ≠ m ≠…… Ta cã: ∆'=………………………=………………………………… = -m +4 m <4 -Khi ∆'>0 hay -m+4 >0 ………………… m<4 kết hợp vơí điều kiện ta đợc m≠3 −( m−2)+ − m √ lúc đó phơng trình(*) cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1= ;……………………… m− -Khi ∆'=0 hay -m+4 =0 ………………… m= −( m−2) lúc đó phơng trình(*) cã nghiÖm kÐp x1=….= =2 (do m= 4) m −3 -Khi ∆'>0 hay -m+4 <0 ………………… …… kết hợp vơí điều kiện ta đợc……… lúc đó phơng trình(*) v« nghiÖm VËy m = …… th× ph¬ng tr×nh(*) cã mét nghiÖm x=…… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… Bµi 11 : Cho ph¬ng tr×nh Èn x: mx2 - 2(m-2) x + m - = a) Gi¶i ph¬ng tr×nh m = b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm còn lại THCS HOÀNG VĂN THỤ (12) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT c) Gi¶i vµ biÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Bµi 12 : LËp ph¬ng tr×nh Èn x cã hai nghiÖm lµ a) vµ b) 3- √ vµ + √ 1 c) 3- √ vµ + √ d) vµ − 2√ 3+ √ 1 e) vµ víi a b a+b a− b bµi mÉu: LËp ph¬ng tr×nh Èn x cã hai nghiÖm lµ: 1- √ vµ + √ Gi¶i: §Æt x1=3- √ vµ x2= + √ Ta cã: x1+x2=………+………= x1.x2=(………….).(…………… )=………….= áp dụng định lý Vi-et đảo ta có x1,x2 là nghiệm phơng trình: …………………….= VËy ph¬ng tr×nh cÇn lËp lµ:……………………………… Bµi 13 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 5x - b = cã hai nghiÖm x1 ; x2 LËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 vµ y2 tho¶ m·n : y1 = x12 + vµ y2 = x22 + Bµi 14:Cho ph¬ng tr×nh : x2 - 2010 2005x +1 = Cã nghiÖm x1vµ x2 LËp ph¬ng tr×nh Èn y cã hai nghiÖm y1 vµ y2 tho¶ m·n : y2 = x12 + vµ y1 = x22 + Bµi 15: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : ¿ ¿ ¿ x + y=5 x − y=11 x 2+ y =25 a) x y=− 35 b) x y=60 c) x y=12 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ bài mẫu: Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) phơng trình a) 5x2 - 7x - = Gi¶i: cã : a.c = ………….=-5 < => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt tr¸i dÊu b) 5x2 - 7x + = Gi¶i: ph¬ng tr×nh: 5x2 - 7x+2 = (a=… ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= > ¿ = ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã: = ¿{ ¿ => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu d¬ng c) x2 + 11x + = Gi¶i: ph¬ng tr×nh: x2 +11x+5 = (a=… ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= … > ¿ = ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã: = ¿{ ¿ => ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt cïng dÊu ©m d) 5x2 + x + = Gi¶i: ph¬ng tr×nh: 5x2 + x +2 = (a=… ; b=…….; c=…….) Ta cã : ∆=……………….= … < THCS HOÀNG VĂN THỤ (13) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Bài 16 : Không giải phơng trình hãy xác định dấu các nghiệm (nếu có) c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1) 3x2 + 5x - = 3) 5x2 - 14x + = 2) 7x -3x + 1= 4) 2x2 - 4x - = 5) 4x - 3x +2 = 6) x2 +5x +1 = bài mẫu: Cho phơng trình : x2 - 2x + m-3 = (m là tham số ) tìm m để phơng trình có hai nghiÖm cïng dÊu d¬ng ? Gi¶i: ph¬ng tr×nh : x2 - 2x + m-3 = (*) (a=… ; b=…….; c=…….) ¿ Δ '>0 x 1+ x >0 §Ó ph¬ng tr×nh(*)cã hai nghiÖm cïng dÊu d¬ng th×: x1 x >0 hay ¿{{ ¿ ¿ .(1) .(2) (3) ¿{{ ¿ Gi¶i(1): 4-m > …………….<=>……………… Giải(2): > luôn đúng Gi¶i(3): …… > …………….<=>……………… Kết hợp ba điều kiện trên ta đợc:…………………………………… VËy m…………………………………………………………………………………………… Bài 17 : Cho phơng trình : x2 - 2x + m = (m là tham số ) tìm m để phơng trình 1) cã nghiÖm tr¸i dÊu 4) Cã nghiÖm cïng dÊu d¬ng 2) cã nghiÖm cïng dÊu 5) Cã nghiÖm cïng ©m 3) Cã Ýt nhÊt nghiÖm d¬ng Bài 18 : Tìm giá trị m để phơng trình: a) x2 - 2mx + (m-1)2 = Cã nghiÖm ph©n biÖt cïng d¬ng b) 2x2 - 2(m+1) x + m = Cã nghiÖm ph©n biÖt cïng ©m c) x2 - 2x + 2m -30 = Cã nghiÖm tr¸i dÊu Bµi 19 : Cho ph¬ng tr×nh : 5x2 - 6x - = Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh h·y tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau(x1; x2lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh) 1) S = x1 + x2 ; P = x1 x2 x1 x2 1 + 2) A = x12 + x22 ; B= ; C= ; D = x13 + x23 + x1 x2 x2 x1 E = x1(1-x2) + x2(1-x1) ; F = x13 - x23 Bµi 20 : Cho ph¬ng tr×nh : x - 8x + n = (1) n lµ tham sè a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi n = b) Tìm điều kiện n để phơng trình (1) có nghiệm c) Gọi x1 ; x2 là nghiệm phơng trình ; tìm n để phơng trình có nghiệm thoả mãn 1) x1 - x2 = ; 3) 2x1 + 3x2 = 36 2) x1 = 3x2 ; 4) x12 + x22 = 50 Bµi 21 : Cho ph¬ng tr×nh : 3x2 - 4x + m = Tìm để phơng trình có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn a) NghiÖm nµy gÊp lÇn nghiÖm b) HiÖu hai nghiÖm b»ng Bµi 22 : Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(m-2)x - 6m = (Èn x) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m = -3 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = 5, tìm nghiệm còn lại c) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m THCS HOÀNG VĂN THỤ (14) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT d) Gäi x1 ; x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh H·y tÝnh A = x12 + x12 theo m từ đó tìm giá trị nhỏ A bµi mÉu: d¹ng to¸n vÒ t×m gi¸ trÞ lín, nhÊt nhá nhÊt cña mét biÓu thøc nghiÖm VÝ dô 1: Cho ph¬ng tr×nh x2 + 2(m-3)x + 2m -15= (1) (Èn x) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Hãy m để biểu thức A= x21x2 + x22x1 đạt giá trị Lớn tìm giá trị Lớn đó Gi¶i: a) ph¬ng tr×nh: x2 + 2(m-3)x + 2m -15= (Èn x) (a=… ;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta cã : ∆'=……………………………………………………………………………………… = m2-8m+24 = m2-2m(… )+(….)2 -………+24 =(… -……)2 +……… NhËn thÊy: (… -……)2 ≥ víi mäi gi¸ trÞ cña m => (… -……)2 +………≥…… > víi mäi gi¸ trÞ cña m Hay ∆'> víi mäi gi¸ trÞ cña m => ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m b) Theo a) ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m ¿ = ¸p dông hÖ thøc Vi-et ta cã: = (I) ¿{ ¿ L¹i cã: A= x21x2 + x22x1 = x1x2 (……+……) Thay (I)vào A ta đợc : A= -2(m-3)(… -……) =……………………………………………… = - 4m2+ 42m - 90 -A = 4m2- 42m - 90 = (2m)2-2.2m(… )+(….)2 -………- 90 =(……-……)2 -……… NhËn thÊy: (… -……)2 ≥ víi mäi gi¸ trÞ cña m <=> (… -……)2 -………≥…… víi mäi gi¸ trÞ cña m Hay -4A ………… víi mäi gi¸ trÞ cña m A…………… víi mäi gi¸ trÞ cña m DÊu "=" x¶y ……………=0 m=……… VËy gi¸ trÞ ……………………………………………………………………………………… VÝ dô 2: Cho ph¬ng tr×nh x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= (1) (Èn x) Hãy m để biểu thức A= x1 + x2 đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ đó(x1 , x2 là nghiệm phơng tr×nh (1) ) Gi¶i: ph¬ng tr×nh x2 - 2(3m+1)x + 9m2 -17= (1) (Èn x) (a=… ;b=…………=>b'=…………;c=………….) Ta cã : ∆'=……………………………………………………………………………………… = 6m+18 §Ó hp¬ng tr×nh (1)cã nghiÖm th× ∆'≥ hay……………………… m ≥ …… Lúc đó theo Vi-et ta có: A= x1 + x2 =………………… mµ m …….=> 6m……… 6m+ Hay A……… DÊu "=" x¶y m = VËy A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ m= B¹n h·y tù ph©n chia c¸c bíc cña bµi to¸n t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ,nhá nhÊt mét biÓu thøc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi 23 : Cho ph¬ng tr×nh x2 + (m+1)x + m = (Èn x) a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi m b) H·y tÝnh x21x2 + x22x1 theo m c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc :E = x21x2 + x22x1 d) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt đó nghiệm gấp đôi nghiệm Bµi 24 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 + mx + m - = (1) (Èn x) a) Chøng minh r»ng Ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi m b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2(x21 + x22) - x1(x1-x2)- x2(x2+x1) Bµi 25 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k+1)x + k = (1) Èn x tham sè k THCS HOÀNG VĂN THỤ (15) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT a) Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã nghiÖm víi mäi k b) Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) TÝnh biÓu thøc A = x21x2 + x22x1 +2007 theo m T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A Bµi 26 Cho ph¬ng tr×nh: : x2 + 2mx + m2 + 4m + = (1) (Èn x) a)Tìm giá trị m để phơng trình (1)có nghiệm b)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :A=x1+x2 c)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña :B=x1+x2+x1.x2+2007 Bµi 27 *: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (m+1)x + m2 -2m + = (Èn x) a) Tìm giá trị m để phơng trình vô nghiệm b) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm đó c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm phân biệt Viết nghiệm đó theo m d) Tìm m để A = x21 + x22 đạt giá trị lớn e) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x1 + x2 Bµi 28 : Cho ph¬ng tr×nh : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + = (Èn x) a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A = x1x2 - 2x1 - 2x2 Bµi 29 : Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k-3)x + 2k + = (1) (Èn x) a) Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm b) Víi ®iÒu kiÖn ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm h·y tÝnh P = x1 + x2 ; S = x1 x2 c) Viết hệ thức liên hệ x1 ; x2 độc lập với k Bài 30 : Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 độc lập với m phơng trình sau a) x2 - (2m+5)x + m + = b) x2 -2(m-3)x - 2(m-1) = c) x2 + (m-1) x+ m2 + 5m = d) (m-1)x2 - 2mx + m + = 2 Bµi 31 : Cho ph¬ng tr×nh: x - (2m-1)x+ m - m - = (1) (m lµ tham sè) a) Tính để chứng tỏ phơng trình (1) luôn có nghiệm phân biệt Tìm nghiệm đó b) TÝnh A = 2x1x2 + x1 + x2 theo m c) Tìm m để A Bµi 32 : Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 - 7x + = x2 + (m+1)x + 24 = Xác định m để hai phơng trình trên có nghiệm chung Bµi 33 : Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 + x + m = vµ x2 + mx + = a)Với giá trị nào m thì hai phơng trình có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó b) Với giá trị nào m thì hai phơng trình trên tơng đơng Bài 34 : Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung 2x2 - (3m+2) x + 12 = 4x2 - (9m-2)x + 36 = Bài 35 : Xác định m và n để hai phơng trình sau tơng đơng x2 +(3m+2n)x - = x2 + (2m-3n)x + 2n = Bµi 36 : Cho hai ph¬ng tr×nh x + p1x + q1 = vµ x2 + p2x + q2 = BiÕt r»ng: p1p2 = 2(q1 + q2) CMR: Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh cã nghiÖm Bµi 37 : Chøng minh r»ng hai ph¬ng tr×nh ax2 + bx + c = (1) vµ a1x2 + b1x + c1 = (2) Cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung th× (ac1 - a1c)2 = (ab1 - a1b) (bc1-b1c) Mét sè bµi to¸n tæng hîp vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai Bµi 38: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - 2(m+1) x +m-4 = (1) a)Gi¶i ph¬ng tr×nh m=1 b)CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt c)Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh(1).CMR A= x1(1-x2)+ x2(1-x1) kh«ng phô thuéc vµo m d)T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M= x12 +x22 Bµi 39: Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (k+1) x +k = (1) a)Gi¶i ph¬ng tr×nh k = 2004 b)CMR ph¬ng tr×nh lu«n cã nghiÖm c)Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh TÝnh B= x12 + x22 - 16 x1.x2 theo k Từ đó tìm giá trị nhỏ B d)Tìm k để phơng trình có nghiệm thoả mãn x12 + x22 =5 e)Tìm k để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó Bµi 40:Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (a-1) x - a2 +a - = (1) 1) CMR ph¬ng tr×nh (1)lu«n lu«n cã nghiÖm tr¸i dÊu víi mäi a 2)Gäi x1,x2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh TÝnh S= x12 + x22 theo a Từ đó tìm giá trị nhỏ S 3)lập hệ thức liên hệ x1,x2 độc lập với a THCS HOÀNG VĂN THỤ (16) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT 1 4)Tìm a để nghiệm x1,x2 thoả mãn + nhËn gi¸ trÞ d¬ng x1 x2 Bµi 41:Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (m+1)x2 + x +m2 - 1= a) Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m =-1 b)Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu c)Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu đó có nghiệm Bµi 42:Cho ph¬ng tr×nh Èn x : (a+1)x2 - 2(a-1) x - a - = (1) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh a=1 CMR ph¬ng tr×nh lu«n lu«n cã nghiÖm ph©n biÖt víi mäi a kh¸c -1 Tìm a để phơng trình có nghiệm trái dấu Tìm a để phơng trình có nghiệm cùng dấu và nghiệm gấp đôi nghiệm 5.Tìm a để phơng trình có nghiệm x1,x2 thoả mãn nghiệm lớn và nghiÖm nhá h¬n Bµi 43:Cho ph¬ng tr×nh Èn x : x2 + p x +q = 0(1) a)Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh tÝnh theo p,q biÓu thøc 2 x +3 ¿ ¿ x +3 ¿2 A= theo p ,q 2¿ 2¿ ¿ b)Tìm p,q để phơng trình có hai nghiệm là và x 1+1 x 2+1 c)lËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã nghiÖm lµ vµ x −1 x −1 d)Gi¶ sö p+q = CMR ph¬ng tr×nh (1)vµ ph¬ng tr×nh ë c©u (c) cã nghiÖm chung e)CMR nÕu ph¬ng tr×nh (1) vµ ph¬ng tr×nh: x2 + n x +m = cã nghiÖm chung th× (n+p)2 +(m- p)(mq-np) = Bµi 44: Cho ph¬ng tr×nh Èn x: x2 + 2m x +2m-1 = (1) 1)CMR ph¬ng tr×nh (1)lu«n cã nghiÖm víi mäi m 2)Gi¶ sö x1,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) a.Tìm hệ thức liên hệ x1,x2 là độc lập với m b Tìm m để x1- x2 =6 c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A= x12 x2 + x22 x1 3)Tìm m để phơng trình có nghiệm đó có nghiệm lớn 4)Tìm m để phơng trình có nghiệm đó có nghiệm nhỏ CHủ đề 5: gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hÖ ph¬ng tr×nh vµ ph¬ng tr×nh dạng toán chuyển động Bài : Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến nơi sớm Tính quãng đờng AB và thời gian dự định lúc đầu Bài : Hai ngời hai địa điểm cách 3,6 km và khởi hành cùng lúc, ngợc chiều nhau, gặp vị trí cách hai địa điểm khởi hành km Nếu vận tốc không đổi nhng ngời chậm xuất phát trớc ngời phút thì họ gặp chính quãng đờng Tính vận tốc ngời Bài : Quãng đờng AB dài 270 km Hai ô tô khởi hành cùng lúc từ A đến B ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 12 km/h nên đến trớc ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc xe Bài : xe gắn máy từ A đến B cách 90 km Vì có việc gấp phải đến B tr ớc dự định là 45 phút nên ngời phải tăng vận tốc là 10 km Hãy tính vận tốc dự định ngời đó Bài : Một ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 24 km/h Lúc từ B A, ngời đó có công việc bận cần theo đờng khác dễ nhng dài lúc là km Do vận tốc lúc là 30 km/h Lên thời gian ít thời gian là 40 phút Tính quãng đờng lúc Bài : ngời xe đạp từ A đến B cách 50 km sau đó 1h30’ ngời xe máy từ A đến B và đến B sớm ngời xe đạp Tính vận tốc xe Biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp THCS HOÀNG VĂN THỤ (17) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bµi : Hai ngêi cïng khëi hµnh lóc giê tõ hai tØnh A vµ B c¸ch 44 km vµ ®i ngîc chiÒu hä gÆp lóc giê 20 phót TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi biÕt r»ng vËn tèc ngêi ®i tõ A h¬n vËn tèc ngêi ®i tõ B lµ km/h Bài : Từ hai địa điểm cách 126 km Có ngời và ngời ô tô cùng khởi hành lúc 30 phót NÕu ®i ngîc chiÒu hä sÏ gÆp lóc 10 giê, nÕu ®i cïng chiÒu(« t« ®i vÒ phÝa ngêi ®i bé) th× « t« ®uæi kÞp ngêi ®i bé lóc 11 giê TÝnh vËn tèc ngêi ®i bé vµ cña « t« Bµi : Hai tØnh A vµ B c¸ch 150 km Hai « t« khëi hµnh cïng mét lóc ®i ngîc chiÒu nhau, gÆp ë C cách A 90 km Nếu vận tốc không đổi nhng ô tô từ B trớc ô tô từ A 50 phút thì hai xe gặp chính quãng đờng Tính vận tốc ô tô Bài 10 : Một ô tô dự định 120 km thời gian dự định trên nửa quãng đờng đầu Ô tô với vận tốc dự định Xong xe bị hỏng lên phải nghỉ phút để sửa Để đến nơi đúng xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h trên nửa quãng đờng còn lại Tính thời gian xe lăn bánh trên quãng đờng Bài 11 : Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian dự định sau đ ợc Ô tô bị chặn xe lửa 10 phút, đó để đến B đúng giờ, xe phải tăng vận tốc km/ Tính vận tốc ô tô lúc ®Çu Bài 12 : Một quãng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài km, đoạn xuống dốc dài km Một ngời từ A đến B hết 40 phút, còn từ B đến A hết 41phút(vận tốc lên dốc lúc vận tốc lên dốc lúc vận tốc xuống dốc ®i b»ng vËn tèc xuèng dèc vÒ) TÝnh vËn tèc xuèng dèc vµ vËn tèc lªn dèc Bài 13 : Một ngời xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC và đoạn xuống dốc CB Thời gian AB là 20’, thời gian BA là Tính quãng đờng AC, CB Biết vận tốc xuống dốc là 15 km/h, vận tốc lên dèc lµ 10 km/h (VËn tèc lªn dèc lóc ®i b»ng vËn tèc lªn dèc lóc vÒ, vËn tèc xuèng dèc lóc ®i b»ng vËn tèc xuèng dèc lóc vÒ) Bµi 14 : Mét chiÕc thuyÒn khëi hµnh tõ mét bÕn s«ng A sau giê 20 phót mét ca n« ch¹y tõ bÕn A ®uæi theo vµ gÆp thuyÒn c¸ch bÕn A 20 km Hái vËn tèc cña thuyÒn BiÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn lµ 12 km mét giê Bµi 15 : Mét ca n« xu«i mét khóc s«ng dµi 90 km, råi ngîc vÒ 36 km BiÕt thêi gian xu«i nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ giê, vËn tèc xu«i dßng h¬n vËn tèc ngîc dßng lµ km/h Hái vËn tèc cña ca n« lóc xu«i dßng vµ lóc ngîc dßng Bài 16 : Một ca nô từ A đến B với thời gian đã định Nếu vận tốc ca nô tăng km/h thì đến sớm giờ, ca nô giảm vận tốc km/h thì đến chậm Tính thời gian dự định và vận tốc dự định Bài 17 : Một ca nô xuôi trên khúc sông từ A đến B dài 80 km và trở từ B đến A tính vận tốc thực cuả ca n« BiÕt tæng thêi gian ca n« xu«i vµ ngîc hÕt giê 20 phót vµ vËn tèc cña dßng níc lµ km/h Bµi 18 : Mét ca n« ch¹y trªn mét khóc s«ng giê, xu«i dßng 180 km, ngîc dßng 63 km Mét lÇn kh¸c ca n« còng ch¹y giê, xu«i dßng 81 km, ngîc dßng 84 km TÝnh vËn tèc riªng cña ca n« vµ vËn tèc cña dßng níc Bµi 19 : Trªn mét khóc s«ng mét ca n« xu«i dßng hÕt giê vµ ch¹y ngîc dßng hÕt giê BiÕt vËn tèc cña dßng níc lµ km/h TÝnh chiÒu dµi khóc s«ng vµ vËn tèc ca n« lóc níc yªn lÆng Bài 20 : Hai ca nô khởi hành cùng lúc từ A đến B , ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca n« II ch¹y víi vận tốc 24 km/h Trên đờng ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó chạy tiếp Tính chiều dài khúc sông, biết hai cô nô đến nơi cùng lúc Bµi 21 : Hai ca n« khëi hµnh tõ hai bÕn A vµ B c¸ch 85 km vµ ®i ngîc chiÒu Sau giê 40 phót ca n« gÆp TÝnh vËn tèc riªng cña mçi ca n« BiÕt vËn tèc ca n« xu«i dßng lín h¬n vËn tèc ca n« ngîc dßng lµ km/h Vµ vËn tèc dßng níc lµ km/h Bµi 22 : Hai bÕn s«ng A, B c¸ch 40 km, cïng mét lóc víi ca n« xu«i tõ bÕn A cã mét chiÕc bÌ tr«i tõ bÕn A với vận tốc km/h sau đến B ca nô trở bến A và gặp bè trôi đợc km Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc riêng ca nô không đổi Bµi 23 Mét «t« ®i tõ A vµ cÇn tíi B lóc 10 giê cßn c¸ch B 40 km Ngời lái xe thấy giữ nguyên vận tốc thì đến B lúc 10 10 phút Ngời đó đã tăng vận tốc thêm 10 kkm/h đó đến B lúc 10 kém 10 phút Tính vận tốc lúc đầu ô tô Bài 24 Một ôtô từ Hà Nội tới Hải Phòng đờng dài 100 km , lúc vận tốc tăng 10km/h Do đó thời gian Ýt h¬n th«õi gian ®i lµ 30 phót TÝnh vËn tèc lóc ®i Bµi 25 Mét ca n« ®i xu«i dßng 44 km råi ngîc dßng trë l¹i 27 kmhÕt giê 30 phót BiÕt vËn tèc thùc cña ca n« lµ 20 km/h TÝnh vËn tèc dßng níc THCS HOÀNG VĂN THỤ (18) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bài 26 Hai ngời cùng quãng đờng AB dài 450 km và cùng khởi hành lúc Vận tốc ngời thứ ít vận tốc ngời thứ hai.là 30 km/h, nên ngời thứ đến B sau ngời thứ hai là Tính vận tốc và thời gian quang đờng AB ngời Bài 27 Một ngời xe đạp từ A đến B cách 33 km với vận tốc xác định Khi từ B A ngời vòng đờng khác dài đờng cũ 29 km nhng với vận tốc lớn vận tốc lúc là km/h Tính vận tốc lóc ®i BiÕt r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ 30 phót Bài 28.Hai ngời xe đạp xuất phát cùng từ A đến B Vận tốc họ kém km/h nên họ đến B sớm muộn 30 phút tính vận tốc ngời , biết quãng đờng AB dài 30 km Sử dụng tính chất Bài 29 Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B , cùng lúc đó có ngời từ bến A dọc theo bờ sông hớng đến B Sau dợc 24km ca nô quay lại và gặp ngời đó địa điểm cách bến A 8km Tính vận tốc ca nô nớc yên lặng , biết vận tốc ngời và vận tốc dòng nớc 4km/h II D¹ng to¸n chung - riªng Bài : Hai đội xây dựng cùng làm chung công việc và dự định làm xong 12 ngày, họ cùng làm với đợc ngày thì đội đợc điều động làm việc khác, đội tiếp tục làm Do cải tiến kỹ thuật, suất tăng gấp đôi lên đội đã làm xong phần việc còn lại 3,5 ngày Hỏi đội làm mình thì bao ngày xong c«ng viÖc trªn (víi n¨ng suÊt b×nh thêng) Bµi : An vµ B×nh cïng lµm chung mét c«ng viÖc giê 20 phót th× xong NÕu An lµm giê vµ Bình làm thì hai ngời làm đợc công việc Hỏi ngời làm mình làm công việc đó thì mÊy giê xong Bµi : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau giê 20 th× bÓ ®Çy NÕu më vßi thø nhÊt ch¶y 10 phót vµ vßi thø ch¶y 12 phót th× ®Çy bÓ Hái mçi vßi ch¶y mét m×nh th× bao nhiªu l©u míi ®Çy bÓ 15 Bµi : Hai vßi níc nÕu cïng ch¶y th× sau giê ®Çy bÓ NÕu vßi thø nhÊt ch¶y 10 giê th× ®Çy bÓ Hái nÕu vßi thø hai ch¶y mét m×nh th× bao l©u ®Çy bÓ Bµi : Hai líp 9A vµ 9B cïng tu söa khu vêng thùc nghiÖm cña nhµ trêng ngµy xong NÕu mçi líp tu söa mét m×nh muèn hµnh thµnh c«ng viÖc Êy th× líp 9A cÇn Ýt thêi gian h¬n líp 9B lµ ngµy Hái mçi líp lµm mét m×nh th× bao l©u hoµn thµnh c«ng viÖc c«ng viÖc Nếu để tổ làm riêng thì tổ làm xong công việc trớc tổ là Hỏi tổ làm mình thì bao l©u xong c«ng viÖc Bài : Hai tổ cùng đợc giao làm việc Nếu cùng làm chung thì hoàn thành 15 Nếu tổ làm giờ, tổ làm thì làm đợc 30% công việc Hỏi làm mình tổ cần làm bao l©u míi hoµn thµnh c«ng viÖc Bài 8: Hai ngời làm chung công việc thì xong 50’ Sau làm đợc Ngời thứ phải ®iÒu ®i lµm viÖc kh¸c, nªn ngêi lµm tiÕp giê n÷a míi xong c«ng viÖc Hái nÕu lµm mét m×nh mçi ngêi lµm bao l©u th× xong Bµi : Hai ngêi thî cïng lµm mét c«ng viÖc, nÕu lµm riªng mçi ngêi nöa c«ng viÖc th× tæng céng sè giê lµm viÖc lµ 12h30’ NÕu hai ngêi lµm chung th× hai ngêi chØ lµm giê th× xong c«ng viÖc Hái mçi ngêi lµm riªng th× mÊt bao l©u xong viÖc Bµi : Hai tæ s¶n xuÊt nhËn chung mét c«ng viÖc.NÕu lµm chung giê th× hoµn thµnh Bµi 10 : Hai vßi níc cïng ch¶y vµo bÓ th× sau 4 giê ®Èy bÓ, m«Ü giê lîng níc cña vßi ch¶y b»ng lîng níc ë vßi Hái mçi vßi ch¶y riªng th× bao l©u ®Çy bÓ Bài 11 : Hai ngời thợ dự định cùng làm chung công việc 12’ thì xong nhng thực tế ngời làm và ngời tăng xuất lên gấp đôi và làm thì hai ngời làm đợc c«ng việc Hỏi ngời làm mình công việc đó bao lâu xong công việc Bµi 12 : Hai ngêi thî cïng lµm chung mét c«ng viÖc 16 giê th× xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê, ngêi thứ hai làm thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm công việc đó mình thì bao lâu xong c«ng viÖc THCS HOÀNG VĂN THỤ (19) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT II n¨ng xuÊt : Bµi : Mét tæ c«ng nh©n ph¶i lµm 144 dông cô c«ng nh©n chuyÓn ®i lµm viÖc kh¸c nªn mçi ng êi cßn l¹i ph¶i lµm thªm dông cô TÝnh sè c«ng nh©n cña tæ lóc ®Çu (n¨ng suÊt mçi ngêi nh nhau) Bài : Hai đội thuỷ lợi gồm ngời đào đắp mơng Đội đào đợc 45 m3 đất, đội hai đào đợc 40 m3 Biết công nhân đội đào đợc nhiều ccông nhân đội là 1m3 Tính số đất công nhân đội đào đợc Bài : Một máy kéo dự định ngày cày 40 Khi thực ngày đội máy kéo cày đợc 52 Vì đội không đã cày xong trớc thời hạn ngày mà còn cày thêm đợc Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã định Bài : Một tổ dệt khăn mặt, ngày theo kế hoạch phải dệt 500 chiếc, nhng thực tế ngày đã dệt thêm đợc 60 chiếc, cho nên đã hoàn thành kế hoạch trớc ngày mà còn dệt thêm đợc 1200 khăn mặt so v¬Ý kÕ ho¹ch T×m sè kh¨n mÆt ph¶i dÖt theo kÕ ho¹ch lóc ®Çu Bài : Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào bể chứa thời gian quy định thì phải bơm 10 m3 Sau bơm đợc dung tÝch cña bÓ chøa, ngêi c«ng nh©n vËn hµnh cho m¸y b¬m víi c«ng suÊt lín hơn, bơm đợc 15 m3 đó bể đợc bơm đầy trớc 48 phút so với thời gian quy định Tính dung tích bể chøa Bµi : Mét tæ s¶n xuÊt cã kÕ ho¹ch s¶n xuÊt 720 s¶n phÈm theo n¨ng suÊt dù kiÕn Thêi gian lµm theo n¨ng suÊt t¨ng 10 s¶n phÈm mçi ngµy kÐm ngµy so víi thêi gian lµm theo n¨ng suÊt gi¶m ®i 20 s¶n phÈm mçi ngµy ( t¨ng, gi¶m so víi n¨ng suÊt dù kiÕn) TÝnh n¨ng suÊt dù kÕn theo kÕ ho¹ch Bài : tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng 2, tổ vợt mức 15%, tổ hai vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết m¸y Bài : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ sản xuất vợt mức 15%, tổ sản xuất vợt mức 20%, đó cuối tháng hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy Hỏi tháng đầu, tổ công nhân sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ? Bài9 Một tàu đánh cá dự định trung bình ngày đánh bắt đợc 30 cá Nhng thực tế ngày đánh bắt thêm đợc nên đã hoàn thành kế hoạch sớm đợc ngày mà còn đánh bắt vợt mức 20 Hỏi số cá dự định đánh bắt theo kế hoạch là bao nhiêu? Bài 10 Trong buổi lao động trồng cây, 15 học sinh nam và nữ đã trồng đợc tất 180 cây Biết số cây các bạn nam trồng đợc số cây các bạn nữ trồng và bạn nam trồng nhiều bạn nữ là cây.Tính sè häc sinh nam vµ n÷ IV To¸n h×nh häc : Bµi : C¹nh huyÒn cña mét tam gi¸c vu«ng b»ng 10 m Hai c¹nh gãc vu«ng h¬n kÐm nhau2m T×m c¸c c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c Bài : Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m, ngời ta làm lối xung quanh vờn ( thuộc đất vờn) rộng 2m Diện tích đất còn lại để trồng trọt là 4256 m2 TÝnh c¸c kÝch thíc cña vên Bµi : TØ sè gi÷a c¹nh huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng lµ 13/12 c¹nh cßn l¹i b»ng 15m TÝnh c¹nh huyÒn Bµi : T×m hai c¹nh cña tam gi¸c vu«ng biÕt c¹nh huyÒn b»ng 13 cm, hiÖu hai c¹nh gãc vu«ng lµ cm Bài : Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 80 m Nếu chiều rộng tăng thêm m và chiều dài tăng thêm m thì diện tích tăng thêm 195 m2 Tính các kích thớc miếng đất Bµi : T×m c¸c kÝch thíc cña mét h×nh ch÷ nhËt biÕt chu vi b»ng 120m, diÖn tÝc b»ng 875m2 Bài : Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy hình tam giác biết tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi Bài : Một hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều dài 10 m Thì diện tích h×nh ch÷ nhËt t¨ng thªm 200m2 TÝnh chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lóc ®Çu Bµi : Mét tam gi¸c vu«ng cã chu vi 30 m, c¹nh huyÒn 13 m TÝnh mçi c¹nh gãc vu«ng Bµi 10 : tÝnh c¸c c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ng biÕt hiÖu cña chóng b»ng m vµ diÖn tÝch tam gi¸c b»ng 48 m2 Bài 11 Tính độ dài các cạnh tam giác vuông , biết chúng là số tự nhiên liên tiếp Bài12 Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật biết chu vi 34m , đờng cao 13 m THCS HOÀNG VĂN THỤ (20) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bài13 Một tam giác vuông có cạnh huyền là 15 cm và hai cạnh góc vuông kém 3cm Tính độ dài các cạnh tam giác vuông đó Bµi14 TÝnh c¸c c¹nh gãc vu«ng cña mét tam gi¸c vu«ngcã c¹nh huyÒn b»ng 10 Vµ mét c¸c c¹nh gãc vu«ng b»ng trung b×nh céng cña c¹nh vµ c¹nh huyÒn Bài15 Một sân tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy tam giác biết tăng cạnh đáy 4m và giảm chiều cao tơng ứng 1m thì diện tích không đổi.S phÇn thø hai : h×nh häc I_chøng minh tø gi¸c néi tiÕp Bài : Chứng minh các tứ giác các hình vẽ dới đây nội tiếp đợc đờng tròn A A D B B N M C A C A D K E F O O x G H P Q Bài : Cho đờng tròn (O) và điểm A bên ngoài đờng tròn, từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn (O) M là điểm tuỳ ý trên dây BC (M≠B ; M≠ C) đờng thẳng vuông góc với OM M cắt AB, AC lần lợt D vµ E CMR a Tứ giác ODBM và tứ giác ABOC nội tiếp đờng tròn b M lµ trung ®iÓm cña DE Bài : Cho đờng tròn (O) cung AB và S là điểm chính cung đó Trên dây AB lấy hai điểm E và H Các đờng thẳng SH , SE cắt đờng tròn (O) lần lợt C và D CMR tứ giác EHCD nội tiếp đờng tròn Bài : Cho tứ giác ACDB (AB>CD) nội tiếp đờng tròn (O) Gọi S là điểm chính cung nhỏ CD.đờng thẳng AD cắt BS E đờng thẳng BC cắt AS F CMR a Tứ giác AFEB nội tiếp đờng tròn b ED.EA= ES.EB c DC song song víi EF ❑ ❑ Bài : Cho ∆ ABC nhọn các đờng phân giác góc B và góc C gặp S các đờng phân giác ❑ ❑ ngoµi B vµ C gÆp ë E a> CMR: tứ giác BSCE nội tiếp đờng tròn b> Gọi M là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCE CMR tứ giác ABMC nội tiếp Bài 6: cho đờng tròn (0) và điểm A ngoài đờng tròn Các tiếp tuyến với đờng tròn (0) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (0) B và C gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M≠B ; M≠C ).Tõ M kÎ MH vu«ng gãc víi BC, MK vu«ng gãc víi AC, MI vu«ng gãc víi AB a> chøng minh tø gi¸c ABOC néi tiÕp b> chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK c> chøng minh MI.MK= MH2 Bài 7: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AB M là điểm trên đờng tròn(M≠A; M≠ B) C là điểm trên cạnh AB (C≠A; C≠0;C≠B) đờng vuông góc MC M cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A và B với đờng tròn (0) E va F chứng minh a> Tứ giác BCMF nội tiếp đớng tròn b> Tam gi¸c ECF vu«ng t¹i C Bài 8: cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O , hai đờng cao BB’ và CC’ cắt H a)chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BCB’C’ b)Tia AO cắt đờng tròn (O) D, cắt B’C’ I CMR tứ giác B’IDC nội tiếp, từ đó suy AO B’C’ c)Chứng minh H đối xứng với D qua trung điểm M BC Bài : cho (O; R) hai đờng kính AB và CD vuông góc với E là điểm chính cung nhỏ BC AE cắt OC ë F, DE c¾t AB ë N a Chứng minh tứ giứac CFMB nội tiếp, tìm tâm đờng tròn đó b Chứng minh : OE ; BF ; CM đồng quy THCS HOÀNG VĂN THỤ (21) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bài 10 : cho hai đờng tròn (O1) ; (O2) cắt E và F ; O1O2 cắt (O1) A, C ; cắt (O2) B, D (sắp xếp theo thứ tự A, B, C, D) và cắt EF H P là điểm trên tia đối tia EH CP cắt (O1) M ; BP cắt (O2) N ; AM c¾t DN t¹i I chøng minh r»ng : a Tø gi¸c MPNI néi tiÕp b HA HC = HB HD c Tø gi¸c BNMC néi tiÕp d H ; I ; P th¼ng hµng vµ tø gi¸c ANMD néi tiÕp II-Chứng minh đại lợng a.b=c.d (a,b,c,d là độ dài các đoạn thẳng) Bài : cho điểm A ngoài đờng tròn (O) từ A kẻ tiếp tuyến AT tới đờng tròn và các cát tuyến AEF ; APQ CMR : AT2 = AE AF = AP AQ Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O.Gọi I là giao điểm hai đờng chéo AC và BD.CMR :IA.ID = IB IC Bµi : Cho ∆ BAC vuông A,đờng cao AH, gọi P,Q theo thứ tự là hình chiếu H trên AB và AC a Chứng minh : tứ giác BPQC nội tiếp đờng tròn b Chøng minh r»ng : AP AB = AQ AC c Gäi O vµ O’ thø tù lµ trung ®iÓm cña BH vµ HC Gäi I lµ giao ®iÎm cña PQ vµ AH d CMR : OI2 = OH OO’ Bài 4: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau.Trên cung nhỏ BC lấy điểm M.Gọi dao ®iÓm cña AM vµ CD lµ K CMR :AM.AK =AD2 = BD2 = 2R2 AB Bµi : Cho ®o¹n th¼ng AB , kÎ Bx AB Trªn Bx lÊy mét ®iÓm O cho BO = Tia AO cắt đờng tròn (O ; OB) D và E ( D nằm A và O) đờng tròn (A ; AD) cắt AB C a Tìm vị trí tơng đối (A ; AC) với đờng tròn ( O ; OE) b Chøng minh r»ng : DE2 = AD AE c AC2 = BC AB Bài : cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Gọi K là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC AK cắt BC I’ và cắt đờng tròn (O) P Kẻ đờng kính PQ Gọi E và F thứ tự là giao điểm BK và CK với đờng thẳng AQ Chøng minh r»ng a PC2 = PI PA b điểm B, C, E, F cùng thuộc đờng tròn Bài 7:Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) (AC>AB) gọi D là điểm chính cung nhỏ BC, P là giao điểm AB và CD, tiếp tuyến đờng tròn C cắt tiếp tuyến D và cắt AD thứ tự E và Q a Chøng minh r»ng : DE // BC b Chøng minh : DP DC = DA DQ c Chøng minh : DE // PQ 1 d Gäi F lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC Chøng minh = + CE CQ CF III Chứng minh đờng thẳng là tiếp tuyến đờng tròn Bài : Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và hai tia tiếp tuyến Ax, By nó Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn (O) C (c ≠ A, B) cắt Ax, By lần lợt E, F a Chøng minh OE vu«ng gãc víi OF b Chứng minh tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB c Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OEF Từ đó chứng minh AB là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c OEF Bài : Cho đờng tròn (O), đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn A vẽ đờng tròn (I) đờng kính OA a Chứng minh hai đờng tròn (O) và (I) tiếp xúc với b Qua A vẽ cát tuyến cắt đờng tròn (I) và đờng tròn (O) lần lợt M và C CMR : MA= MC c §êng th¼ng OM c¾t d t¹i B Chøng minh r»ng : BC lµ tiÕp tuyÕn cña (O) Bài : cho nửa đờng tròn đờng kính AB và C ; D là hai điểm trên đó (C nằm A và D) AC và AD cắt tiếp tuyến Bx nửa đờng tròn lần lợt E và F a Chøng minh ABD = AEF ; ABC = AEB b Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đờng tròn c Gọi I là trung điểm FB.Chứng minh rằngDI là tiếp tuyến nửa đờng tròn d Gi¶ sö CD c¾t Bx ë G, ph©n gi¸c cña CGE c¾t AE vµ AF thø tù t¹i M vµ N Chøng minh tam ti¸c AMN c©n Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) và E là điểm chính cung AB Hai dây EC, ED cắt AB thø tù t¹i P vµ Q c¸c d©y AD vµ EC kÐo dµi c¾t ë I C¸c d©y BC vµ ED kÐo dµi c¾t ë K Chøng minh r»ng a Tø gi¸c CDIK néi tiÕp THCS HOÀNG VĂN THỤ (22) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT b Tø gi¸c CDPQ néi tiÕp c IK song song víi AB d §êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c AQP tiÕp xóc víi EA t¹i A Bài : Cho tam giác cân ABC(CA=CB) I là trung điểm AB, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB A, cắt CI H a Chøng minh r»ng : H lµ trùc t©m cña tam gi¸c ABC b Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua AC Chứng minh B’ thuộc đờng tròn (O) c Chứng minh ngợc lại : H là trực tâm tam giác ABC thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHC tiÕp xóc víi AB Bài : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và dây cung thay đổi MN=R √ (M nằm cung AN) AM c¾t BN ë C ; AN c¾t BM ë D a Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp đờng tròn tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN b Chøng minh r»ng CD vu«ng gãc víi AB c Chứng minh OM là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CMDN d Chứng minh CD =AB và CD song song với đờng thẳng cố định Bài 8: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự là A, B, C Vẽ hai nửa đờng tròn đờng kính AB và BC ( vẽ cùng phía AC) trên đờng thẳng vuông góc với AC B lấy điểm D cho góc ADC = 900 gọi giao điểm DA và DC với nửa đờng trònl à E và F Chứng minh a EF là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn b Tứ giác AEFC nội tiếp đờng tròn c Xác định vị trí điểm B trên đoạn thẳng AC để tứ giác DEBF là hình vuông Bài : Cho tam giác ABC nhọn và AB < AC nội tiếp đờng tròn (O,R) H là giao điểm các đờng cao AM ; BN ; CP còn Q là điểm đối xứng H qua trung điểm E cạnh BC Chøng minh c¸c gãc PNB = BNM = CBQ Chứng minh : Q thuộc đờng tròn tâm (O) Từ A kẻ đờng thẳng xy song song với NP đờng thẳng này cắt đờng thẳng BC K Chứng minh xy là tiếp tuyến đờng tròn (O) và AK2 = KB BC Gọi I là điểm đối xứng O qua BC, tính HI theo R IV.Chứng minh hai đờng thẳng song song vuông góc Bài : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O) đờng cao AH cắt đờng tròn (O) D, kẻ đờng kính AOE a Chøng minh r»ng : DE song song víi BC b Gäi M lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung DE, OM c¾t BC t¹i I Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña BC c Tính bán kính đờng tròn (O) biết BC = 24 cm ; IM = 8cm Bµi : Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, gọi S là trung điểm AO, vẽ đờng tròn tâm S qua A a Chứng minh các đờng tròn (O) và (S) tiếp xúc với A b Một đờng thẳng d qua A cắt đờng tròn (S) M và đờng tròn (O) P Chøng minh r»ng : SM // OP M lµ trung ®iÓm cña AP vµ OM //BP Bài : Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt hai điểm A và B, vẽ đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O) C cắt đờng tròn (O’) D (A nằm C và D), vẽ đờng thẳng qua B cắt đờng tròn (O) E, cắt đờng tròn (O’) với F (B nằm E, F) hai đờng thẳng CD và EF không cắt bên hai đờng tròn Chứng minh r»ng CE // DE Bài : Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn này kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự C và D Các đờng thẳng AD và BC cắt N Chứng minh r»ng a MN // AC b CD MN= CM BD Bài :Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) các đờng phân giác các góc B, C lần lợt cắt đờng trßn t¹i E, F D©y cung EF c¾t AC, AB lÇn lît t¹i H, I a) Chøng minh c¸c tam gi¸c FKB vµ EAK c©n b) Chứng minh tứ giác FIKN nội tiếp Từ đó suy IK // AC c) Cã nhËn xÐt g× vÒ tø gi¸c AIKH ? Bài : cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O;R) hai tiếp tuyến B và D cắt T a Chøng minh r»ng OT// AB b Chøng minh r»ng : ba ®iÓm O,C,T th¼ng hµng c tÝnh chu vi vµ diÖn tÝch tam gi¸c TBD theo R Bài 7: Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông góc với I Chứng minh : a) Khoảng cách từ O tới AB nửa độ dài CD b) §êng th¼ng ®i qua I vµ trung ®iÓm cña BC vu«ng gãc víi AD Bµi 8: THCS HOÀNG VĂN THỤ (23) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Cho đờng tròn đờng kính BC Một điểm P ngoài đờng tròn có hình chiếu trên BC là điểm A ngoài đờng tròn Giao PB, với PC với đờng tròn lần lợt là M, N, giao AN với đờng tròn là E Chứng minh : a) Bốn điểm A, B, N, P nằm trên đờng tròn b) EM vu«ng gãc víi BC Bài 9: Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O), ngoài ACB = 450 Các đờng cao AH, BH tam giác cắt đờng tròn lần lợt P, Q Hai đờng thẳng AQ và BP giao S a) Chứng minh PQ là đờng kính đờng tròn (O) b) Chøng minh c¸c tam gi¸c ASH vµ APQ lµ h×nh b×nh hµnh c) Chøng minh c¸c tam gi¸c ASH vµ APQ lµ b»ng Bài 10: Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O).Các đờng phân giác các góc B,và C lần lợt cắt đờng tròn t¹i E& F.D©y cung Ì c¾t AC,AB lÇn lît t¹i H; I CMR: a) MN//AC b) CD.MN = CM.BD Bài 11:Trong đờng tròn (O) cho 12 dây cung AC và BD vuông góc với I CMR a)Khoảng cách từ O tơí AB nửa độ dài CD b)§êng th¼ng ®i qua I vµ trung ®iÓm cña BC vuong gãc víi AD Bài 12: Cho đờng tròn đờng kính BC.Một điểm P nằm ngoài đờng tròn có hình chiếu trên BC là điểm trên A ngoài đờng tròn Giao điểm PB và PC với đờng tròn lần lợt là M&N Gọi giao điểm AN với đờng trßn lµ E CMR: a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm trên đờng tròn b)EN vu«ng gãc víi BC Bài 13:Tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O),ngoài góc ACB =450 Các đờng cao AH,BH tam giác cắt đờn tròn lần lợt P,Q Hai đờng thẳng AQ ,BP giao S CMR: a)PQ là đờng kính đờng tròn(O) b) ACBS lµ h×nh b×nh hµnh c)C¸c Δ ASH vµ APQ lµ b»ng nhau: II chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng Bài 1cho hai đờng tròn tâm O và O’cắt Avà B từ B kẻ các đờng kính BOC và BO’D a chøng minh r»ng: ba ®iÓm C,A,D th¼ng hµng suy CD = 2OO’ b gäi M lµ trung ®iÓm cña d©y cung chung AB CMR ba ®iªmt O,M,O’ th¼ng hµng c biÕt OO’= 5cm ; O’B= 3cm ; OB= 4cm tÝnh AB,AC vµ diÖn tÝch OBO’ Bµi 3: Cho hai điểm A, B cố định trên đờng tròn (O) Các điểm C, D di động trên đờng tròn cho AD//BC và C, D cùng phía với dây AB ; M là giao điểm AC, BD các tiếp tuyến với đờng tròn A và D cắt I Chøng minh a Ba ®iÓm I, O, M th¼ng hµng b Chứng minh bốn điểm A, B, M, P cùng thuộc đờng tròn c Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác MDC là hình số Bài 4: Cho M là điểm di động trên nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi H là điểm chính cung AM Tia BH cắt AM I và cắt tiếp tuyến A đờng tròn (O) K C¸c tia AH, BM c¾t t¹i S a Chứng minh tam giác ABS cân.Từ đó chứng minh S nằm trên đờng tròn cố định b Chứng minh KS là tiếp tuyến đờng tròn (B, BA) c Đờng tròn ngoại tiếp tam giác BIS cắt đờng tròn (B, BA) N Chứng minh M, N, A thẳng hàng Bµi : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) với trực tâm H, AH kéo dài cắt đờng tròn E Kẻ đờng kính AOF a Chøng minh tam gi¸c BCEF lµ h×nh thang c©n b Chøng minh BAE = CAF c Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC chøng minh H, I, F th¼ng hµng VI phơng pháp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy Bài 1: Hai đờng tròn (O) ; (O’) cắt A và B Đờng thẳng vuông góc với AB B cắt các đờng tròn (O) và (O’) lần lợt C, D Các đờng thẳng CA, DA cắt (O’), (O) theo thứ tự E, F Chứng minh a) Tø gi¸c CFED néi tiÕp b) AB lµ ph©n gi¸c gãc FBE c) Các đờng thẳng CF, DE, AB nội tiếp Bài 2:Từ điểm C ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến CBA Gọi IJ là đờng kính vuông góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M và N a) Chứng minh IN, IM và AB đồng quy điểm D b) Chøng minh r»ng c¸c tiÕp tuyÕn t¹i M vµ N ®i qua trung ®iÓm E cña CD Bài 3: Cho hai đờng tròn (O, R) và (O’ , R’) tiếp xúc ngoài A(R>R’) Đờng nối tâm OO’ cắt đờng tròn (O) và (O’) theo thứ tự B và C(B và C khác A) EF là dây cung đờng tròn (O) vuông góc với BC trung điểm I BC, BC cắt đờng tròn (O’) D VII to¸n tæng hîp vµ to¸n kh¸c THCS HOÀNG VĂN THỤ (24) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bài 1: cho hình vuông ABCD có cạnh cm điểm M thuộc cạnh AD cho AM = cm vẽ đờng tròn tâm O có đờng kính BM đờng tròn cắt AC E ( khác A ) tính bán kính đờng tròn (O) CMR: DC là tiềp tuyến đờng tròn (O) CMR: tam gi¸c BEM lµ tam gi¸c vu«ng c©n tiếp tuyến Bx đờng tròn (O) cắt DC K CMR: M,E,K là ba điểm thẳng hàng Bài 2: cho hai đờng tròn (O) và(O’) cắt hia điểm Avà B đờng thẳng vuông góc với AB kẻ qua B cắt đờng tròn (O) và (O’) lần lợt các điểm thứ hai C và D Lấy điểm M trên xung nhỏ CB với đờng tròn tâm (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng CMvới đờng tròn tâm (O’) là N và giao điểm hai đờng th¼ng CM vµ DN lµ P a tam giµc AMN lµ tam gi¸c g× ? t¹i sao? b CMR: tứ giác ACPD nội tiếp từ dó suy P luôn thuộc đờng tròn c Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O’) là Q tứ giác BCPQ là hình gì? ? d Gọi giao điểm AP và CD là E CMR: M di động trên cung nhỏ BC thì tâm đờng tròn ngoại tiềp tam giác CED luôn thuộc đờng thẳng cố định Bài 3: cho nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB K là điểm chính cung AB M là điểm bất kì trên cung AK Trªn tia BM lÊy ®iÓm N cho BN =AM a chøng minh r»ng: tam gi¸c AMK = tam gi¸c BNK b tam giac MNK vu«ng c©n vµ MK lµ tia ph©n gi¸c gãc AMN c M chuyển động trên cung AK thì đờng vuông góc với BM kẻ từ N luôn qua điểm cố định Bài 4: cho đờng tròn (O) đờng kính AB I và K thuộc AB cho OI= OK M thuộc (O) MO,MI ,MK cắt (O) lần lợt E,C,D đờng thẳng CD cắ AB F EI cắt DE N MI cắt EF H a CMR: FA.FB = FC.FD b M? th× MI =IH c CM: tø gi¸c ENCH néi tiÕp d CMR: EF lµ tiÕp tuyÕn cña t©m (O) Bài 5.Cho đờng tròn tâm O ,dây AB , C nằm ngoài (O) , C thuộc tia AB P là điểm nằm chính cung lớn AB , kẻ đờng kính PQ cắt dây AB D ,tia CP cắt đờng ròn I , AB cắt QI K Chøng minh r»ng tø gi¸c PDKI néi tiÕp Chøng minh QB2 = QK.QI Chøng minh CI.CP = CK.CD Chứng minh IC là phân giác góc ngoài đỉnh I tam giác AIB chøng minh CK.CD = CA.CB Bài Cho (O;R) tiếp xúc ngoài (O'; r) (R > r) C AC,BC là hai đờng kính (O) và (O') DE là dây (O) vuông góc với AB trung điểm M AB; đờng thẳng DC cắt (O') F Chứng minh rằng: Tø gi¸c AEBD lµ h×nh g×? ®iÓm B,E,F th¼ng hµng Tø gi¸c MDBF néi tiÕp DB cắt (O') G Chứng minh DF,EG,AD đồng quy 5.DE = MF vµ MF lµ tiÕp tuyÕn (O') Bµi Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp (O) ,P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cung AB kh«ng chøa C vµ D Hai d©y PC ,PD c¾t d©y AB t¹i E,F ; c¸c d©y AD, PC kÐo dµi c¾t t¹i I C¸c d©y BC, PD kÐo dµi nc¾t t¹i K So s¸nh hai gãc CID vµ CKD Chøng minh tø gi¸c CDEF néi tiÕp Chøng minh IK song song víi AB Chứng minh AP là tiếp tuyến đờng tròn qua điểm A,F,D mét sè bµi to¸n h×nh häc líp Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng cao AD, BE, CF cắt H và cắt đờng tròn (O) lần lợt M,N,P Chøng minh r»ng: C¸c tø gi¸c AEHF, néi tiÕp Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đờng tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H và M đối xứng qua BC Xác định tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt H Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiÕp tam gi¸c AHE Chøng minh tø gi¸c CEHD néi tiÕp Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên đờng tròn Chøng minh ED = BC Chứng minh DE là tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm THCS HOÀNG VĂN THỤ (25) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt C và D Các đờng thẳng AD và BC cắt N Chøng minh AC + BD = CD Chøng minh COD = 900 Chøng minh AC BD = AB 4 Chøng minh OC // BM Chứng minh AB là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính CD Chøng minh MN AB Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đờng tròn nội tiếp, K là tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O là trung ®iÓm cña IK Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên đờng tròn Chứng minh AC là tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bài Cho đờng tròn (O; R), từ điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đờng thẳng d lấy điểm M bất k× ( M kh¸c A) kÎ c¸t tuyÕn MNP vµ gäi K lµ trung ®iÓm cña NP, kÎ tiÕp tuyÕn MB (B lµ tiÕp ®iÓm) KÎ AC MB, BD MA, gäi H lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD, I lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB Chøng minh tø gi¸c AMBO néi tiÕp Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên đờng tròn Chøng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 Chøng minh OAHB lµ h×nh thoi Chøng minh ba ®iÓm O, H, M th¼ng hµng Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển trên đờng thẳng d Bài Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AH Gọi HD là là đờng kính đờng tròn (A; AH) Tiếp tuyến đờng tròn D cắt CA E Chøng minh tam gi¸c BEC c©n Gäi I lµ h×nh chiÕu cña A trªn BE, Chøng minh r»ng AI = AH Chứng minh BE là tiếp tuyến đờng tròn (A; AH) Chøng minh BE = BH + DE Bài Cho đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó điểm P cho AP > R, tõ P kÎ tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (O) t¹i M Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đợc đờng tròn Chøng minh BM // OP §êng th¼ng vu«ng gãc víi AB ë O c¾t tia BM t¹i N Chøng minh tø gi¸c OBNP lµ h×nh b×nh hµnh BiÕt AN c¾t OP t¹i K, PM c¾t ON t¹i I; PN vµ OM kÐo dµi c¾t t¹i J Chøng minh I, J, K th¼ng hµng Bài Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K a) Chøng minh r»ng: EFMK lµ tø gi¸c néi tiÕp b) Chøng minh r»ng: AI2 = IM IB c) Chøng minh BAF lµ tam gi¸c c©n d) Chøng minh r»ng : Tø gi¸c AKFH lµ h×nh thoi e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đờng tròn C¸c tia AC vµ AD c¾t Bx lÇn lît ë E, F (F ë gi÷a B vµ E) Chứng minh AC AE không đổi Chøng minh ABD = DFB Chøng minh r»ng CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp Bài 10 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và điểm M bất kì trên nửa đờng tròn cho AM < MB Gọi M’ là điểm đối xứng M qua AB và S là giao điểm hai tia BM, M’A Gọi P là chân đơng vuông góc từ S đến AB Chứng minh bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên đờng tròn Gäi S’ lµ giao ®iÓm cña MA vµ SP Chøng minh r»ng tam gi¸c PS’M c©n Chứng minh PM là tiếp tuyến đờng tròn Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) Cạnh AB, BC, CA tiếp xúc với đờng tròn (O) các điểm D, E, F BF c¾t (O) t¹i I , DI c¾t BC t¹i M Chøng minh : Tam gi¸c DEF cã ba gãc nhän DF // BC Tø gi¸c BDFC néi tiÕp THCS HOÀNG VĂN THỤ (26) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT BD BM = CB CF Bài 12 Cho đờng tròn (O) bán kính R có hai đờng kính AB và CD vuông góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N đờng tròn ë P Chøng minh : Tø gi¸c OMNP néi tiÕp Tø gi¸c CMPO lµ h×nh b×nh hµnh CM CN kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ®iÓm M Khi M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định nào Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điển A , Vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, Nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F Chøng minh AFHE lµ h×nh ch÷ nhËt BEFC lµ tø gi¸c néi tiÕp AE AB = AF AC Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn Bài 14 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm Vẽ phía AB các nửa đờng tròn có đờng kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K Đờng vuông góc với AB C cắt nửa đờng tròn (O) E Gọi M N theo thứ tự là giao điểm EA, EB với các nửa đờng tròn (I), (K) Chøng minh EC = MN Chứng minh MN là tiếp tuyến chung các nửa đờng tròn (I), (K) TÝnh MN Tính diện tích hình đợc giới hạn ba nửa đờng tròn Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đờng tròn (O) có đờng kính MC đờng thẳng BM cắt đờng tròn (O) D đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S Chøng minh ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh CA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc SCB Gọi E là giao điểm BC với đờng tròn (O) Chứng minh các đờng thẳng BA, EM, CD đồng quy Chøng minh DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ADE Chứng minh điểm M là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và điểm D nằm A và B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng tròn CD, AE lần lợt cắt đờng tròn F, G Chøng minh : Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD Tø gi¸c ADEC vµ AFBC néi tiÕp AC // FG Các đờng thẳng AC, DE, FG đồng quy Bài 17 Cho tam giác ABC có đờng cao là AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( M không trùng B C, H ) ; tõ M kÎ MP, MQ vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB AC Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O đờng tròn ngoại tiếp tứ giác đó Chøng minh r»ng MP + MQ = AH Chøng minh OH PQ Bài 18 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì ( H không trùng O, B); trên đờng thẳng vuông góc với OB H, lấy điểm M ngoài đờng tròn ; MA và MB thứ tự cắt đờng tròn (O) C vµ D Gäi I lµ giao ®iÓm cña AD vµ BC Chøng minh MCID lµ tø gi¸c néi tiÕp Chứng minh các đờng tròn AD, BC, MH đồng quy I Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, Chứng minh KCOH là tứ giác nội tiếp Bài 19 Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ) Gọi M là trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB CD cắt đờng tròn đờng kính BC I Chøng minh tø gi¸c BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi Chøng minh BI // AD Chøng minh I, B, E th¼ng hµng Chứng minh MI là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính BC Bài 20 Cho đờng tròn (O; R) và (O’; R’) có R > R’ tiếp xúc ngoài C Gọi AC và BC là hai đờng kính ®i qua ®iÓm C cña (O) vµ (O’) DE lµ d©y cung cña (O) vu«ng gãc víi AB t¹i trung ®iÓm M cña AB Gäi giao ®iÓm thø hai cña DC víi (O’) lµ F, BD c¾t (O’) t¹i G Chøng minh r»ng: Tø gi¸c MDGC néi tiÕp Bốn điểm M, D, B, F cùng nằm trên đờng tròn Tø gi¸c ADBE lµ h×nh thoi B, E, F th¼ng hµng THCS HOÀNG VĂN THỤ (27) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT DF, AG, AB đồng quy MF = 1/2 DE MF lµ tiÕp tuyÕn cña (O’) Bài 21 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Gọi I là trung điểm OA Vẽ đờng tron tâm I qua A, trên (I) lÊy P bÊt k×, AP c¾t (O) t¹i Q Chứng minh các đờng tròn (I) và (O) tiếp xúc ngoài A Chøng minh IP // OQ Chøng minh r»ng AP = PQ Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn Bài 22 Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự H và K Chøng minh BHCD lµ tø gi¸c néi tiÕp TÝnh gãc CHK Chøng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào? Bµi 23 Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A Dùng ë miÒn ngoµi tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABHK, ACDE Chøng minh ba ®iÓm H, A, D th¼ng hµng Đờng thẳng HD cắt đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC F, Chứng minh FBC là tam giác vuông cân Cho biÕt ABC > 450 ; gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ ED, Chøng minh ®iÓm b, k, e, m, c cïng n»m trên đờng tròn Chứng minh MC là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 24 Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đờng tròn đờng kính AC có tâm O, đờng tròn này cắt BA vµ BC t¹i D vµ E Chøng minh AE = EB Gọi H là giao điểm CD và AE, Chứng minh đờng trung trực đoạn HE qua trung điểm I cña BH Chứng minh OD là tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BDE Bài 25 Cho đờng tròn (O), BC là dây bất kì (BC< 2R) Kẻ các tiếp tuyến với đờng tròn (O) B và C chúng cắt A Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ các đờng vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, AC, AB Gọi giao điểm BM, IK là P; giao điểm CM, IH là Q Chøng minh tam gi¸c ABC c©n Chøng minh MI2 = MH.MK C¸c tø gi¸c BIMH, CIMH néi tiÕp Chøng minh PQ MI Bài 26 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R Vẽ dây cung CD AB H Gọi M là điểm chính cung CB, I lµ giao ®iÓm cña CB vµ OM K lµ giao ®iÓm cña AM vµ CB Chøng minh : KC AC = AM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CMD KB AB Tø gi¸c OHCI néi tiÕp Chứng minh đờng vuông góc kẻ từ M đến AC là tiếp tuyến đờng tròn M Bài 27 Cho đờng tròn (O) và điểm A ngoài đờng tròn các tiếp tuyến với đờng tròn (O) kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn (O) B và C Gọi M là điểm tuỳ ý trên đờng tròn ( M khác B, C), từ M kẻ MH BC, MK CA, MI AB tø gi¸c ABOC néi tiÕp Chứng minh tam giác MIH đồng dạng với tam giác MHK Chøng minh MI.MK = MH2 Chøng minh BAO = BCO Bài 28 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Gọi H là trực tâm tam giác ABC; E là điểm đối xứng H qua BC; F là điểm đối xứng H qua trung điểm I BC Chøng minh tø gi¸c BHCF lµ h×nh b×nh hµnh E, F nằm trên đờng tròn (O) Chøng minh tø gi¸c BCFE lµ h×nh thang c©n Gäi G lµ giao ®iÓm cña AI vµ OH Chøng minh G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC Bài 29 BC là dây cung đờng tròn (O; R) (BC 2R) Điểm A di động trên cung lớn BC cho O luôn nằm tam giác ABC Các đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC đồng quy H Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC Gäi A’ lµ trung ®iÓm cña BC, Chøng minh AH = 2OA’ Gäi A1 lµ trung ®iÓm cña EF, Chøng minh R.AA1 = AA’ OA’ Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC suy vị trí A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhát Bài 30 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt (O) M Vẽ đờng cao AH và bán kÝnh OA Chøng minh AM lµ ph©n gi¸c cña gãc OAH Gi¶ sö B > C Chøng minh OAH = B - C Cho BAC = 600 vµ OAH = 200 TÝnh: a) B vµ C cña tam gi¸c ABC b) DiÖn tÝch h×nh viªn ph©n giíi h¹n bëi d©y BC vµ cung nhá BC theo R THCS HOÀNG VĂN THỤ (28) ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP VÀO THPT Bµi 31 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp (O; R), biÕt BAC = 600 Tính số đo góc BOC và độ dài BC theo R Vẽ đờng kính CD (O; R); gọi H là giao điểm ba đờng cao tam giác ABC Chứng minh BD // AH vµ AD // BH TÝnh AH theo R Bài 32 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB = 2R Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB Chứng minh MN di động , trung điểm I MN luôn nằm trên đờng tròn cố định Tõ A kÎ Ax MN, tia Bi c¾t Ax t¹i C Chøng minh tø gi¸c CMBN lµ h×nh b×nh hµnh Chøng minh C lµ trùc t©m cña tam gi¸c AMN Khi MN quay quanh H thì C di động trên đờng nào Bài 33 Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R), tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đờng tròn M Chøng minh OM2 BC Chøng minh MC = MI.MA Kẻ đờng kính MN, các tia phân giác góc B và C cắt đờng thẳng AN P và Q Chứng minh bốn điểm P, C , B, Q cùng thuộc đờng tròn Bài 34 Cho tam giác ABC cân ( AB = AC), BC = Cm, chiều cao AH = Cm, nội tiếp đờng tròn (O) đờng kÝnh AA’ Tính bán kính đờng tròn (O) Kẻ đờng kính CC’, tứ giác CAC’A’ là hình gì? Tại sao? KÎ AK CC’ tø gi¸c AKHC lµ h×nh g×? T¹i sao? TÝnh diÖn tÝch phÇn h×nh trßn (O) n»m ngoµi tam gi¸c ABC Bài 35 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A và O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vu«ng gãc víi AB t¹i I, gäi C lµ ®iÓm tuú ý thuéc cung lín MN cho C kh«ng trïng víi M, N vµ B Nèi Ac c¾t MN t¹i E Chøng minh tø gi¸c IECB néi tiÕp Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM Chøng minh AM2 = AE.AC Chøng minh AE AC – AI.IB = AI2 Hãy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhÊt Bài 36 Cho tam giác nhọn ABC , Kẻ các đờng cao AD, BE, CF Gọi H là trực tâm tam giác Gọi M, N, P, Q lÇn lît lµ c¸c h×nh chiÕu vu«ng gãc cña D lªn AB, BE, CF, AC Chøng minh : C¸c tø gi¸c DMFP, DNEQ lµ h×nh ch÷ nhËt C¸c tø gi¸c BMND; DNHP; DPQC néi tiÕp Hai tam giác HNP và HCB đồng dạng Bèn ®iÓm M, N, P, Q th¼ng hµng Bài 37 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B (O), C (O’) tiÕp tuyÕn chung t¹i A c¾t tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë I Chøng minh c¸c tø gi¸c OBIA, AICO’ néi tiÕp Chøng minh BAC = 900 TÝnh sè ®o gãc OIO’ Tính độ dài BC biết OA = 9cm, O’A = 4cm THCS HOÀNG VĂN THỤ (29) Bài 38 Cho hai đờng tròn (O) ; (O’) tiếp xúc ngoài A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B(O), C (O’) TiÕp tuyÕn chung t¹i A c¾ tiÕp tuyÕn chung ngoµi BC ë M Gäi E lµ giao ®iÓm cña OM vµ AB, F lµ giao ®iÓm cña O’M vµ AC Chøng minh : Chøng minh c¸c tø gi¸c OBMA, AMCO’ néi tiÕp Tø gi¸c AEMF lµ h×nh ch÷ nhËt ME.MO = MF.MO’ OO’ là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính BC BC là tiếp tuyến đờng tròn đờng kính OO’ Bài 39 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC, dấy AD vuông góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự là chân các đờng vuông góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi ( I ), (K) theo thứ tự là các đờng tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF Hãy xác định vị trí tơng đối các đờng tròn (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K) Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g×? V× sao? Chøng minh AE AB = AF AC Chứng minh EF là tiếp tuyến chung hai đờng tròn (I) và (K) Xác định vị trí H để EF có độ dài lớn Bài 40 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Trên Ax lấy điểm M råi kÎ tiÕp tuyÕn MP c¾t By t¹i N Chứng minh tam giác MON đồng dạng với tam giác APB Chøng minh AM BN = R2 S MON R TÝnh tØ sè AM = S APB TÝnh thÓ tÝch cña h×nh nöa h×nh trßn APB quay quanh c¹nh AB sinh Bài 41 Cho tam giác ABC , O là trung điển BC Trên các cạnh AB, AC lần lợt lấy các điểm D, E cho DOE = 600 Chứng minh tích BD CE không đổi Chứng minh hai tam giác BOD; OED đồng dạng Từ đó suy tia DO là tia phân giác góc BDE Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đờng tròn này luôn tiếp xúc với DE Bài 42 Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyÕn t¹i B vµ C lÇn lît c¾t AB, AC ë D vµ E Chøng minh : BD2 = AD.CD Tø gi¸c BCDE néi tiÕp BC song song víi DE Bài 43 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm M thuộc đờng tròn Vẽ điểm N đối xứng với A qua M, BN c¾t (O) t¹i C Gäi E lµ giao ®iÓm cña AC vµ BM Chøng minh tø gi¸c MNCE néi tiÕp Chøng minh NE AB Gọi F là điểm đối xứng với E qua M Chứng minh FA là tiếp tuyến (O) Chứng minh FN là tiếp tuyến đờng tròn (B; BA) Bài 44 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt A và B Dây AC đờng tròn (O) tiếp xúc với đờng tròn (O’) A Dây AD đờng tròn (O’) tiếp xúc với đờng tròn (O) A Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm I OO’, E là điểm đối xứng với A qua B Chứng minh rằng: AB KB Bốn điểm A, C, E, D cùng nằm trên đờng tròn Bài 45 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC) nội tiếp đờng tròn (O) Gọi D là trung điểm AC; tiếp tuyến đờng tròn (O) A cắt tia BD E Tia CE cắt (O) F Chøng minh BC // AE Chøng minh ABCE lµ h×nh b×nh hµnh Gäi I lµ trung ®iÓm cña CF vµ G lµ giao ®iÓm cña BC vµ OI So s¸nh BAC vµ BGO Bài 46 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB , trên đờng tròn ta lấy hai điểm C và D cho cung AC = cung AD Tiếp tuyến với đờng tròn (O) vẽ từ B cắt AC F Chøng minh hÖ thøc : AB2 = AC AF Chứng minh BD tiếp xúc với đờng tròn đờng kính AF Khi C chạy trên nửa đờng tròn đờng kính AB (không chứa điểm D ) Chứng minh trung điểm I đoạn à chạy trên tia cố định , xác định tia cố định đó Bài 47 Cho điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo thứ tự Vẽ đờng tròn (O) qua B và C ( BC không là đờng kính (O) Kẻ từ các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếp điểm) Gọi I là trung ®iÓm cña BC; K lµ trung ®iÓm cña EF, giao ®iÓm cña FI víi (O) lµ D Chøng minh: AE2 = AB.AC (30) Tø gi¸c AEOF Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên đờng tròn ED song song víi Ac Khi (O) thay đổi tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc đờng thẳng cố định Bài 48 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng tròn (O) đờng kính BC cắt AB; AC E và D BD c¾t CE t¹i H; AH c¾t BC t¹i I VÏ c¸c tiÕp tuyÕn AM vµ AN cña (O) Chøng minh: Các tứ giác ADHE; ADIB nội tiếp đợc CD.CA + BE BA = BC2 M; H; N th¼ng hµng Tính chu vi đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE tam giác ABCD là tam giác có cạnh b»ng 2a Bài 49: Cho đờng tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O) Kẻ hai tiếp tuyến MB; BC (O) và tia Mx nằm hai tia MO và MC Qua B kẻ đờng thẳng song song với Mx, đờng thẳng này cắt (O) điểm thứ hai là A; AC cắt Mx I Vẽ đờng kính BB’ Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với BB’ đờng này c¾t ; BC lÇn lît t¹i K vµ E Chøng minh: Tø gi¸c MOIC néi tiÕp OI vu«ng gãc víi Mx ME có độ dài không phụ thuộc vị trí điểm M Khi M di động mà OM = 2R thì K chuyển động trên đờng nào? Tại sao? Bµi 50: Cho (O; R) vµ ®iÓm A (O) Mét gãc vu«ng xAy quay quanh A vµ lu«n tho¶ m·n Ax; Ay c¾t (O) giọ các giao điểm thứ hai Ax; Ay với (O) lần lợt là B; C Đờng tròn đờng kính AO cắt AB; AC t¹i c¸c ®iÓm thø hai t¬ng øng lµ M; N Tia OM c¾t (O) t¹i P Gäi H lµ trùc t©m tam gi¸c AOP Chøng minh: Tø gi¸c AMON lµ h×nh ch÷ nhËt MN // BC Tø gi¸c PHOP néi tiÕp Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn ******************* (31)