Các dạng bài tập chọn lọc ôn tập Toán 9 thi vào 10

Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó... + Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta đ

b) Tìm x để Q > - Q.

c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên

H ớng dẫn :

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1

2 .

H ớng dẫn :

x x

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

4 1

c) Tìm x để A < 0

d) Tìm x để A = A

H ớng dẫn : a) ĐKXĐ : x  0, x  1 Biểu thức rút gọn : A =

b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9.

H íng dÉn :

3 x 1 x

x 2 3

x 2 x

19 x 26 x x P

b Tính giá trị của P khi x7 4 3

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

H ớng dẫn :

a ) ĐKXĐ : x  0, x 1 Biểu thức rút gọn :

3 x

16 x P

P  c) Pmin=4 khi x=4

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x P

a ) ĐKXĐ : x  0, x 9 Biểu thức rút gọn :

3 x

3 P

 )



)

x x

 )

)

b Tìm x để A < -1

2 ( KQ : A = 3

)



)

Chuyên đề II: hàm số bậc nhấtB

ài 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

H ớng dẫn :

4 2

b a

1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy

H ớng dẫn :

2

x y

x y

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

H ớng dẫn :

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2  m = -1

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3 Ta đợc : m = -3

Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0) Ta có

y0 = (m – 1)x0 + m + 3  (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0  



 2 1

0 0

y x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2)

B

ài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).

1) Viết phơng trình đờng thẳng AB

2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m – 3m)x + m – 2m + 2 song song với đờng thẳng

AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)

H ớng dẫn :

2 1 1

b a

2 3

2 2

m m

m m

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cố địnhấy

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 .

H ớng dẫn :

0 0

y x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (

2

5

; 2

Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :

1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đờng thẳng x – y + 3 = 0

x a'

c

by

+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.

+) Phơng pháp cộng đại số :

- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau)

- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó

- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai

B Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :

1

x x

1-2x

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm các giá trị của m để x + y = -1

3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

có nghiệm duy nhất là (x; y)

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a

2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5

3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 2x 5y

2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất

0 3)y (m

mx

0

y m -

x

(m là tham số)

a) Giải hệ khi m = -1

b) Tỡm giaự trũ nguyeõn cuỷa m ủeồ heọ coự hai nghieọm nguyeõn

c) Xaực ủũnh moùi heọ coự nghieọm x > 0, y > 0

B

ài 10 (trang 23): Moọt oõtoõ vaứ moọt xe ủaùp chuyeồn ủoọng ủi tửứ 2 ủaàu moọt ủoaùn ủửụứng sau 3 giụứ

thỡ gaởp nhau Neỏu ủi cuứng chieàu vaứ xuaỏt phaựt taùi moọt ủieồm thỡ sau 1 giụứ hai xe caựch nhau 28

km Tớnh vaọn toỏc cuỷa moói xe

HD : Vaọn toỏc xe ủaùp : 12 km/h Vaọn toỏc oõtoõ : 40 km/h.

B

ài 11 : (trang 24): Moọt oõtoõ ủi tửứ A dửù ủũnh ủeỏn B luực 12 giụứ trửa Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc

35 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 2 giụứ chieàu Neỏu xe chaùy vụựi vaọn toỏc 50 km/h thỡ seừ ủeỏn B luực 11 giụứtrửa Tớnh ủoọ quaỷng ủửụứng AB vaứ thụứi dieồm xuaỏt phaựt taùi A

ẹaựp soỏ : AB = 350 km, xuaỏt phaựt taùi A luực 4giụứ saựng.

ài 12 : (trang 24): Hai voứi nửụực cuứng chaỷy vaứo moọt caứi beồ nửụực caùn, sau 454 giụứ thỡ ủaàybeồ Neỏu luực ủaàu chổ mụỷ voứi thửự nhaỏt, sau 9 giụứ mụỷ voứi thửự hai thỡ sau 56 giụứ nửừa mụựi nay beồ Neỏu moọt mỡnh voứi thửự hai chaỷy bao laõu seừ nay beồ

ẹaựp soỏ : 8 giụứ.

y 2,5

x

Vaọy caàn 2,5 lớt nửụực soõi vaứ 75 lớt nửụực 200C

B

ài 14 : Khi theõm 200g axớt vaứo dung dũch axớt thỡ dung dũch mụựi coự noàng ủoọ 50% Laùi theõm

300g nửụực vaứo dung dũch mụựi ủửụùc dung dũch axớt coự noàng ủoọ 40% Tớnh noàng ủoọ axớt trongdung dũch ban ủaàu

Hửụứng daừn :Goùi x khoỏi axit ban ủaàu, y laứ khoỏi lửụùng dung dũch ban ủaàu

Theo baứi ra ta coự heọ pt :

% 100 500

y 200) (

% 50

% 100 200

y 200) (

y 400

x

Vaọy noàng ủoọ phaàn traờm cuỷa dung dũch axớt ban ủaàu laứ 40%

Chuyên đề iV: Phơng trình bậc hai

- hoặc vụ nghiệm

- hoặc vụ số nghiệm

b)Nếu a 0

Lập biệt số  = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac

*  < 0 ( / < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm

p = x1x2 =

a c

Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đú là nghiệm (nếu có )của phơng trình bậc 2:

x2 – S x + p = 0

3 Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai.

Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) Gọi x1 ,x2 là các nghiệm của phơng trình Ta

 Nếu a – b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -

a c

c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho

trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):

2 1 2 1

11

x x

x x x x





p S

*)

2 1

2 2

2 1 1

2 2

1

x x

x x x

x x

2 1 2

1

2)

)(

(

21

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện   0)

d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trớc Tìm

nghiệm thứ 2

Cách giải:

 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và

giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này

có  < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc

* Nếu m – 3 0  m  3 Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số  / = m2

– (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- Nếu  / = 0  9m – 18 = 0  m = 2 phơng trình có nghiệm kép

x1 = x2 = -

3 2

- Nếu  / < 0  m < 2 Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -

2 1

Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Với m > 2 và m  3 phơng trình có nghiệm x1,2 =

3

2 3

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :

7 2 - 3 x x

2 1 2 1

2 1

m

m x

1)(

1(

2)(

2 1

2 1

S x

x

x x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2

1 1

1

2 1

1 )

1 )(

1

(

1 2 1

1 Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2 Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

3 Tìm m để x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trongphần 2.)

3 Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

Vậy x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2 1

Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) Giải phơng trình khi m = -

2 9

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

2

5 1 2

4 2

2 ( 2

) 3 ( 2 ) 2 ( 2

5 1 2

m m

m

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m  - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp

3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

Kiểm tra lại: Thay m =

2

11

vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm

(thoả mãn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Giải

1.+ NÕu m = 0 thay vµo (1) ta cã : 4x – 3 = 0  x =

4 3

+ NÕu m 0 LËp biÖt sè /

 = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m

2 4 2

m = 4 : ph¬ng tr×nh (1) Cã nghiÖm kÐp x =

2 1

0  m < 4 : ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

2 (1) cã nghiÖm tr¸i dÊu 

m m

m m

Trêng hîp 



 0 3

m

m

kh«ng tho¶ m·nTrêng hîp 



 0 3

§èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m =

2

1

x x

C¸ch 2: Thay m =

-4 9

vµo c«ng thøc tÝnh tæng 2 nghiÖm:

x1 + x2 =

934

49

)24

9(2)2(2

49

34

93

Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số

Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

2 7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào  / = k2 + 5k – 2

+ k1 = 1 => /

 = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn + k2 = -

8 70 49 2 2

35 4

1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)

B

ài 4 : Cho phơng trình:

x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

ài 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2  0

 = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m

ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

với m 1/2 pt còn có nghiệm x=

1 2

=

1 2

0 1 1 2

0 1 2

2

m m

m

=>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0

Chuyên đề I: GiảI bài toán bằng cách lập pt

B

ài 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km Ô tô thứ nhất mỗi giờ

chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc mỗi xe ô tô

B

ài 1 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với

vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB

B

ài 2 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy Nðu chảy cùng một thời gian

nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lơng nớc của vòi I chảy đợc Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể

ài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35

km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu

B

ài 4 : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc

của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai2h Tính vận tốc của mỗi ôtô?

B

ài 5 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc

tất cả 80 cây Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằngnhau ; mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây Tính số học sinh nam và số học sinhnữ của tổ

B

ài 6 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở

B rồi trở lại từ B về A Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ Biết vận tốc lúc về kém vận tốclúc đi là 5 km/h Tính vận tốc lúc đi của ô tô

B

ài 7 : Một hình chữ nhật có diện tích 300m2 Nếu giảm chiều rộng 3m, tăng chiều dài thêm 5mthì ta đợc hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu Tính chu vi củahình chữ nhật ban đầu

B

ài 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ

A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôitại một địa điểm C cách A là 8 km Tính vận tốc thực của ca nô

B

ài 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến

B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vậntốc mỗi xe

B

ài 10 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến khi làm việc, do phải

điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sảnphẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là

nh nhau

B

ài 11 : Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng 120lít Nếu đổ đầy nớc vào bình thứ nhất rồi đem rót

vào hai bình kia thì hoặc bình thứ 3 đầy nớc, bình thứ 2 chỉ đợc 1/2 thể tích của nó, hoặc bình thứ

2 đầy nớc thì bình thứ 3 chỉ đợc 1/3 thể tích của nó Tìm thể tích của mỗi bình

B

ài 11 : Hai địa điểm A, B cách nhau 56km Lúc 6h45' một ngời đi từ A với vận tốc 10km/h Sau

2h , một ngời đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km

B

ài 12 : Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngợc từ B trở về A Thời gian đi

xuôi ít hơn thời gian đi ngợc là 40' Tính khoảng cách giữa A và B Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nớc là 3km/h

B

ài 13 : Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A

và đến B sớm hơn một giờ Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2.5 lần xe đạp

B

ài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng bằng

nhau Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ghế ở mỗi hàng tăng thêm 1 thì trong phòng có 400 ghế Hỏi

có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

B

ài 15 : Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ

và ngời thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong?

B

ài 16 : Hai vật chuyển động trên một đờng tròn có đờng kính 20m , xuất phát cùng một núc từ

cùng một điểm Nếu chúng chuyển động ngợc chiều nhau

thì cứ 2 giây lại gặp nhau Nếu chúng chuyển động cùng chiều nhauthì cứ sau 10 giây lại gặp nhua.Tính vận tốc của mỗi vật

B

ài 17 : Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2

v-ợt 20% Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu sản phẩm